4AM2 Herrera Rangel Hector Francisco Ecuación diferencial de Elástica de la viga

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INSTITUTO POLITÉCNICO 
NACIONAL. 
Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica 
Unidad Ticomán. 
 
Materia: Flexión. 
Profesor: Mejía Carmona Alejandro. 
 
Ecuación diferencial de Elástica de la viga. 
 
Nombre del Alumno: Herrera Rangel Héctor Francisco. 
Boleta: 2022370143. 
Grupo: 4AM2. 
 
 
 
03 de abril de 2023
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 4AM2. 
Pendiente y desplazamiento por integración. 
La ecuación de la curva elástica en la figura 12-5a estará definida por 
las coordenadas v y x. Entonces, para obtener la deflexión v = f(x), es 
necesario representar la curvatura (1>ρ) en términos de v y x. En la 
mayoría de los libros de cálculo se demuestra que esta relación es: 
(12-3) 
Al sustituir en la ecuación 12-2, se tiene: 
(12-2) (12-4) 
Además de los pocos casos con geometría de viga y carga simples, esta 
ecuación es difícil de resolver, porque representa una ecuación 
diferencial no lineal de segundo orden. Por fortuna se puede modificar 
debido a que la mayoría de los códigos de diseño de ingeniería 
restringen la deflexión máxima de una viga o un eje. En consecuencia, 
la pendiente de la curva elástica, que se determina a partir de dv>dx, 
será muy pequeña y su cuadrado será insignificante comparado con la 
unidad.* Por lo tanto, la curvatura definida como la de la ecuación 12-3 
puede aproximarse mediante 1>ρ= d2v>dx2. Con esta simplificación, la 
ecuación 12-4 puede escribirse como: 
(12-5) 
También es posible escribir esta ecuación en dos formas alternativas. 
Si se diferencia cada lado con respecto a x y se sustituye V = dM>dx 
(ecuación 6-2), se obtiene: 
(12-6) 
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 4AM2. 
Al diferenciar de nuevo, y usando w = dV>dx (ecuación 6-1), se obtiene: 
(12-7) 
Para la mayoría de los problemas, la rigidez a la flexión (EI) será 
constante en toda la longitud de la viga. Si se supone que éste es el 
caso, los resultados anteriores pueden reordenarse en el siguiente 
conjunto de tres ecuaciones: 
 
Condiciones de frontera. La solución de cualquiera de estas 
ecuaciones requiere integraciones sucesivas para obtener v. 
Para cada integración es necesario introducir una “constante 
de integración” y luego despejar todas las constantes para 
obtener una solución única para un problema particular. Por 
ejemplo, si la carga distribuida w se expresa como una 
función de x y se usa la ecuación 12-8, entonces deben 
evaluarse cuatro constantes de integración; sin embargo, por 
lo general es más fácil determinar el momento interno M 
como una función de x, y usar la ecuación 12-10 para que se 
encuentren sólo dos constantes de integración. 
La mayoría de las veces, las constantes de integración se 
determinan a partir de las condiciones de frontera para la 
viga (tabla 12-1). Como se observa, si la viga se sostiene 
mediante un rodillo o pasador, entonces se requiere que el 
desplazamiento sea cero en estos puntos. En el soporte fijo, 
tanto la pendiente como el desplazamiento son cero. 
 
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Condiciones de continuidad. Recuerde de la sección 
6.1 que si la carga sobre una viga es discontinua, es 
decir que consiste en varias cargas concentradas y 
distribuidas (figura 12-7a), entonces deben escribirse 
varias funciones para el momento interno, cada una 
válida dentro de la región entre las dos 
discontinuidades. Por ejemplo, el momento interno en 
las regiones AB, BC y CD puede escribirse en 
términos de las coordenadas x1, x2 y x3 seleccionadas, 
como se muestra en la figura 12-7b. 
Cuando cada una de estas funciones se integra dos 
veces, esto producirá dos constantes de integración y, 
puesto que no todas estas constantes pueden 
determinarse a partir de las condiciones de frontera, 
algunas deben hacerlo usando las condiciones de 
continuidad. Por ejemplo, considere la viga de la figura 
12-8. Aquí se eligen dos coordenadas x con origen en 
A. Una vez que se obtienen las funciones para la 
pendiente y la deflexión, se deben obtener los mismos 
valores para la pendiente y la deflexión en el punto B, de modo que la 
curva elástica sea físicamente continua. Expresadas en términos 
matemáticos, estas condiciones de continuidad son θ1(a) = θ2(a) y v1(a) 
= v2(a), las cuales se utilizan para evaluar las dos constantes de 
integración. Una vez que se determinan las funciones y las constantes 
de integración, éstas proporcionarán la pendiente y la deflexión (curva 
elástica) para cada región de la viga en la que son válidas. 
Hibbeler, R. (2017). Deflexión de vigas y ejes. En Mecánica de Materiales (pp. 581-583). 
México: Pearson Educación. 
 
 
 
 
 
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 4AM2. 
Vigas con ángulos de rotación pequeños. 
Las estructuras que se encuentran en la vida cotidiana, como edificios, 
automóviles, aeronaves y barcos, experimentan cambios relativamente 
pequeños en su forma mientras están en servicio. Los cambios son tan 
pequeños que no los nota un observador casual. En consecuencia, las 
curvas de deflexión de la mayor parte de las vigas y columnas tienen 
ángulos de rotación muy pequeños, deflexiones muy pequeñas y 
curvaturas muy pequeñas. En estas condiciones podemos hacer 
algunas aproximaciones matemáticas que simplifican en gran medida el 
análisis de la viga. 
Considere, por ejemplo, la curva de deflexión que se muestra en la 
figura 9.2. Si el ángulo de rotación u es una cantidad muy pequeña (y 
de aquí que la curva de deflexión sea casi horizontal), de inmediato 
observamos que la distancia ds a lo largo de la curva de deflexión es 
prácticamente la misma que el incremento dx a lo largo del eje x. Esta 
misma conclusión se puede obtener de manera directa a partir de la 
ecuación (9.3a). Dado que cos ≈ 1 cuando el ángulo θ es pequeño, la 
ecuación (9.3a) da 
(b) 
Con esta aproximación, la curvatura resulta (consulte la ecuación 9.1) 
(9.4) 
Además, ya que θ ≈ θ cuando θ es pequeño, podemos hacer la siguiente 
aproximación para la ecuación (9.2a): 
(9.2) (c) 
Entonces, si las rotaciones de una viga son pequeñas, podemos 
suponer que el ángulo de rotación θ y la pendiente dv/dx son iguales. 
(Observe que el ángulo de rotación debe medirse en radianes.) 
Al derivar θ con respecto a x en la ecuación (c), obtenemos 
 
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(d) 
Combinamos esta ecuación con la ecuación (9.4) para obtener una 
relación entre la curvatura de una viga y su deflexión: 
(9.5) 
Esta ecuación es válida para una viga de cualquier material, siempre 
que las rotaciones sean pequeñas. 
Si el material de una viga es linealmente elástico y sigue la ley de Hooke, 
la curvatura es 
(9.6) 
en donde M es el momento flexionante y EI es la rigidez a la flexión de 
la viga. La ecuación (9.6) muestra que un momento flexionante positivo 
produce una curvatura positiva y un momento flexionante negativo 
resulta en una curvatura negativa, como se mostró antes en la figura 
5.10. 
Al combinar la ecuación (9.5) con la ecuación (9.6) se obtiene la 
ecuación diferencial básica de la curva de deflexión de una viga: 
(9.7) 
Esta ecuación se puede integrar en cada caso particular para encontrar 
la deflexión v, siempre que el momento flexionante M y la rigidez a la 
flexión EI se conozcan como funciones de x. 
Como recordatorio, repetimos las convenciones de signos que deben 
emplearse con las ecuaciones anteriores: (1) los ejes x y y son positivos 
hacia la derecha y hacia arriba, respectivamente; (2) la deflexión v es 
 
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positiva hacia arriba; (3) la pendiente dv/dx y el ángulo de rotación θ son 
positivos cuando son en sentido contrarioal de las manecillas del reloj 
con respecto al eje x positivo; (4) la curvatura k es positiva cuando la 
viga se flexiona con concavidad hacia arriba y (5) el momento 
flexionante M es positivo cuando produce compresión en la parte 
superior de la viga. 
Se pueden obtener ecuaciones adicionales a partir de las relaciones 
entre el momento flexionante M, la fuerza cortante V y la intensidad q 
de la carga distribuida. En el capítulo 4 dedujimos las siguientes 
ecuaciones entre M, V y q: 
(9.8a,b) 
Las convenciones de signos para estas cantidades se muestran en la 
figura 9.4. Al derivar la ecuación (9.7) con respecto a x y luego 
sustituyendo las ecuaciones anteriores para la fuerza cortante y la 
carga, podemos obtener las ecuaciones adicionales. Al hacerlo, 
consideraremos dos casos: vigas no prismáticas y vigas prismáticas. 
 
Gere, J., & Goodno, B. (2009). Deflexiones de vigas. En Mecánica de Materiales (pp. 681-
683). México: Cengage Learning. 
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 4AM2. 
Bibliografía. 
1.- Hibbeler, R. (2017). Deflexión de vigas y ejes. En Mecánica de 
Materiales (pp. 581-583). México: Pearson Educación. 
2.- Gere, J., & Goodno, B. (2009). Deflexiones de vigas. En Mecánica 
de Materiales (pp. 681-683). México: Cengage Learning.