4AM2 Herrera Rangel Hector Francisco Método de Área de Momentos para determinar rotación y deflexión en la elástica de la viga

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INSTITUTO POLITÉCNICO 
NACIONAL. 
Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica 
Unidad Ticomán. 
 
Materia: Flexión. 
Profesor: Mejía Carmona Alejandro. 
 
Método de Área de Momentos para determinar rotación y 
deflexión en la elástica de la viga. 
 
Nombre del Alumno: Herrera Rangel Héctor Francisco. 
Boleta: 2022370143. 
Grupo: 4AM2. 
 
 
19 de abril de 2023
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 4AM2. 
TEOREMAS DE MOMENTO DE 
ÁREA. 
Considere una viga AB sometida a alguna 
carga arbitraria (figura 9.41a). Se dibuja el 
diagrama que representa la variación de la 
cantidad M/EI a lo largo de la viga, que se 
obtuvo dividiendo el momento flexionante M 
entre la rigidez de flexión EI (figura 9.41b). Se 
observa que, excepto para distintas escalas 
en la ordenada, este diagrama será el mismo 
que el del momento flector si la rigidez a 
flexión de la viga es constante. 
Al recordar la ecuación diferencial, y el hecho 
de que dy/dx = θ, se tiene: 
(9.54) 
Al considerar dos puntos arbitrarios C y D en la viga e integrando ambos 
miembros de la ecuación (9.54) de C a D, se tiene 
(9.55) 
En donde θC y θD denotan la pendiente en los puntos C y D, 
respectivamente (figura 9.41c). Pero el miembro del lado derecho de la 
ecuación (9.55) representa el área bajo el diagrama (M/EI) entre C y D, 
y el miembro del lado izquierdo es el ángulo entre las tangentes a la 
curva elástica en C y D (figura 9.41d). Si se denota este ángulo como 
θD/C, se tiene 
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 4AM2. 
(9.56) 
Éste es el primer teorema del momento de superficie. 
Se observa que el ángulo θD/C y el área bajo el diagrama (M/EI) tienen 
el mismo signo. En otras palabras, un área positiva (por ejemplo, un 
área localizada sobre el eje x) corresponde a una rotación contra las 
agujas del reloj de la tangente a la curva elástica conforme se pasa de 
C a D, y un área negativa corresponde a una rotación en el sentido del 
movimiento del reloj. 
Considere dos puntos P y P’ localizados entre C y D y a una 
distancia dx uno de otro (figura 9.43). Las tangentes a la 
curva elástica dibujadas en P y P’ interceptan un segmento 
de longitud dt sobre la vertical a través del punto C. Dado 
que la pendiente θ en P y el ángulo dθ formado por las 
tangentes en P y P’ son cantidades pequeñas, se puede 
asumir que dt es igual al arco de círculo de radio x1 que 
subtiende el ángulo dθ. Se tiene, entonces 
; (9.57) 
Ahora, se integra la ecuación (9.57) desde C hasta D. Se observa que, 
conforme el punto P describe la curva elástica desde C hasta D, la 
tangente en P recorre la vertical en C, desde C hasta E. La integral del 
miembro del lado izquierdo, entonces, es igual a la distancia vertical de 
C a la tangente en D. Esta distancia se denota por tC/D y se llama 
desviación tangencial de C con respecto a D. Así, se tiene 
(9.58) 
Se observa que (M/EI) dx representa un elemento de área 
bajo el diagrama (M/EI), y x1(M/EI) dx es el primer 
momento de ese elemento con respecto al eje vertical que 
pasa por C (figura 9.44). El miembro del lado derecho de 
la ecuación (9.58), entonces, representa el primer 
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 4AM2. 
momento del área localizada bajo el diagrama (M/EI) entre C y D, con 
respecto a dicho eje. 
Por tanto, es posible establecer el segundo teorema del momento de 
área como sigue: la desviación tangencial tC/D de C con respecto a D 
es igual al primer momento del área bajo el diagrama (M/EI) entre C y 
D con respecto a un eje vertical que pasa por C. 
Si se tiene presente que el primer momento de un área 
con respecto a un eje es igual al producto del área con 
la distancia de su centroide a dicho eje, también puede 
establecerse el segundo teorema del momento de área 
como sigue: 
(9.59) 
En donde el área se refiere al área bajo el diagrama 
(M/EI), y donde x1 es la distancia del centroide del área 
al eje vertical que pasa por C (figura 9.45a). 
Se debe tener cuidado para distinguir entre la 
desviación tangencial de C con respecto a D, denotada 
por tC/D, y la desviación tangencial de D con respecto a 
C, la cual se denota por tD/C. La desviación tangencial 
tD/C representa la distancia vertical de D a la tangente a 
la curva elástica en C, y se obtiene multiplicando el área 
bajo el diagrama (M/EI) por la distancia x2 desde su 
centroide al eje vertical que pasa por D (figura 9.45b): 
(9.60) 
Se observa que, si el área bajo el diagrama (M/EI) se localiza arriba del 
eje x, su primer momento con respecto al eje vertical será positivo; si se 
localiza abajo del eje x, su primer momento será negativo. En la figura 
9.45 se observa que un punto con una desviación tangencial positiva se 
localiza arriba de la tangente correspondiente, mientras que un punto 
con una desviación tangencial negativa se localizará debajo de esa 
tangente. 
Beer, F., Russell, E., DeWolf, J. & Mazurek, D. (2010). Deflexión de vigas. En Mecánica 
de Materiales (pp. 569-570). México: Mc Graw Hill. 
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 4AM2. 
PENDIENTE Y DESPLAZAMIENTO POR EL 
MÉTODO DEL ÁREA DE MOMENTO. 
El método del área de momento proporciona una 
técnica semigráfica para encontrar la pendiente y el 
desplazamiento en puntos específicos sobre la curva 
elástica de una viga o un eje. La aplicación del 
método requiere el cálculo de segmentos de área del 
diagrama de momento de la viga; entonces, si este 
diagrama se compone de formas simples, el uso de 
este método es muy conveniente. 
Para desarrollar el método del área de momento se 
harán los mismos supuestos que se usaron en el 
método de integración: la viga es inicialmente recta, 
se deforma elásticamente debido a las cargas, de 
manera que la pendiente y la deflexión de la curva 
elástica son muy pequeñas y las deformaciones sólo 
son causadas por la flexión. El método del área de 
momento se basa en dos teoremas: uno se usa para 
determinar la pendiente y el otro para encontrar el 
desplazamiento. 
Teorema 1. Considere la viga simplemente 
apoyada con su curva elástica asociada, que se 
muestra en la figura 12-19a. Un segmento diferencial 
dx de la viga se muestra en la figura 12-19b. Aquí, el 
momento interno M de la viga deforma el elemento 
de modo que las tangentes a la curva elástica a cada lado del elemento 
se intersecan a un ángulo dθ. Este ángulo puede determinarse a partir 
de la ecuación 12-10, escrita como: 
 
Como la pendiente es pequeña, θ = dv>dx, y por lo tanto: 
(12-16) 
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 4AM2. 
Si se construye el diagrama de momento para la viga y se divide entre 
la rigidez a la flexión EI (figura 12-19c), entonces esta ecuación indica 
que dθ es igual al área bajo el “diagrama M/EI” para el segmento dx de 
la viga. Al integrar desde un punto A seleccionado sobre la curva 
elástica hasta otro punto B, se tiene: 
(12-17) 
Este resultado forma la base para el primer teorema del área de 
momento. 
El ángulo, medido en radianes, entre las tangentes en dos puntos 
cualesquiera sobre la curva elástica es igual al área bajo el diagrama 
M/EI entre estos dos puntos. 
La notación θB/A se conoce como el ángulo de la tangente en B medido 
con respecto a la tangente en A. De la comprobación resulta evidente 
que este ángulo se mide en sentido antihorario, desde la tangente A 
hasta la tangente B, si el área bajo el diagrama M/EI es positiva. Por el 
contrario, si el área es negativa, o se encuentra por debajo del eje x, el 
ángulo θB/A se mide en sentido horario desde la tangente A hasta la 
tangente B. 
Teorema 2. El segundo teorema del área de 
momento se basa en la desviación relativa de las 
tangentes a la curva elástica. En la figura 12-20a se 
muestra una vista muy exageradade la desviación 
vertical dt de las tangentes a cada lado del elemento 
diferencial dx. Esta desviación se debe a la curvatura 
del elemento y se ha medido a lo largo de una línea 
vertical que pasa por el punto A de la curva elástica. 
Como se supone que la pendiente de la curva elástica y su deflexión 
son muy pequeñas, resulta satisfactorio aproximar la longitud de cada 
línea tangente mediante x y el arco ds’ por medio de dt. Si se usa la 
fórmula de arco circular s = θr, donde r es la longitud x y s es dt, puede 
escribirse dt = x dθ. Al sustituir la ecuación 12-16 en esta ecuación y al 
integrar desde A hasta B, la desviación vertical de la tangente en A con 
respecto a la tangente en B se convierte en: 
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 4AM2. 
(12-18) 
Como el centroide de un área se encuentra a partir de x∫dA = ∫xdA y 
∫(M/EI) dx representa el área bajo el diagrama M/EI, también se puede 
escribir: 
(12-19) 
Aquí x es la distancia desde A hasta el centroide del 
área bajo el diagrama M/EI entre A y B (figura 12-
20b). 
Ahora el segundo teorema del área de momento 
puede enunciarse de la manera siguiente: 
La distancia vertical entre la tangente en un punto 
(A) sobre la curva elástica y la tangente extendida 
desde otro punto (B) es igual al momento del área 
bajo el diagrama M/EI entre estos dos puntos (A y 
B). Este momento se calcula respecto del punto (A) 
donde debe determinarse la distancia vertical (tA/B). 
Observe que tA/B no es igual a tB/A, lo cual se muestra 
en la figura 12-20c. Esto es porque el momento del 
área bajo el diagrama M/EI entre A y B se calcula 
respecto del punto A para determinar tA/B (figura 12-
20b), y se calcula respecto del punto B a fin de 
determinar tB/A (figura 12-20c). 
Si tA/B se calcula a partir del momento de un área 
positiva M/EI entre A y B, esto indica que el punto A 
está por encima de la tangente extendida desde B (figura 12-20a). Del 
mismo modo, las áreas M/EI negativas indican que A está por debajo 
de la tangente extendida desde el punto B. Esta misma regla es válida 
para tB/A. 
Hibbeler, R. (2017). Deflexión de vigas y ejes. En Mecánica de Materiales (pp. 611-612). 
México: Pearson Educación. 
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 4AM2. 
DIAGRAMAS DE MOMENTO FLECTOR POR 
PARTES. 
En muchas aplicaciones, se simplifica la determinación del ángulo θD/C 
y de la desviación tangencial tD/C si el efecto de cada carga se evalúa en 
forma independiente. Se dibuja un diagrama (M/EI) distinto para cada 
carga, y se obtiene el ángulo θD/C sumando algebraicamente las áreas 
bajo los distintos diagramas. En forma similar, la desviación tangencial 
tD/C se obtiene con la suma de los primeros momentos de estas áreas 
respecto a un eje vertical que pasa por D. De un diagrama (M/EI) 
dibujado en la forma descrita se dice que fue dibujado por partes. 
Cuando se dibuja por partes un momento flector diagrama (M/EI), las 
distintas áreas definidas por éste consisten en formas geométricas 
simples, tales como rectángulos, triángulos y segmentos parabólicos. 
Por conveniencia, en la figura 9.52 se indican las áreas y centroides de 
dichas formas. 
 
Beer, F., Russell, E., DeWolf, J. & Mazurek, D. (2010). Deflexión de vigas. En Mecánica 
de Materiales (p. 573). México: Mc Graw Hill. 
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 4AM2. 
Bibliografía. 
1.- Beer, F., Russell, E., DeWolf, J. & Mazurek, D. (2010). Deflexión de 
vigas. En Mecánica de Materiales (pp. 569-570). México: Mc Graw Hill. 
2.- Hibbeler, R. (2017). Deflexión de vigas y ejes. En Mecánica de 
Materiales (pp. 611-612). México: Pearson Educación. 
3.- Beer, F., Russell, E., DeWolf, J. & Mazurek, D. (2010). Deflexión de 
vigas. En Mecánica de Materiales (p. 573). México: Mc Graw Hill.