Galería de Curvas no Plano

Vista previa del material en texto

Galeŕıa de curvas en el plano
Maŕıa del Carmen Fernández Garćıa
Índice general
1. Introducción 1
2. Familias de curvas 5
2.1. Envolturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.1. Determinación de las envolturas . . . . . . . . . . . . . 15
2.2. Cáusticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.1. Un ejemplo del cálculo de una cáustica . . . . . . . . . 19
2.3. Rodamientos y resbalamientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.1. Cicloides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.2. Epicicloides y epitrocoides . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.3. Hipocicloides e hipotrocoides . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3.4. Escaleras que resbalan [13] . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4. Propiedades Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4.1. Evolutas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4.2. Involutas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4.3. Inversa con respecto a un círculo . . . . . . . . . . . . 32
2.4.4. Curvas pedal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3. Galería de curvas 35
3.1. Astroide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2. Bruja de Agnesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3. Cardioide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.4. Catenaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.5. Cicloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.6. Círculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.7. Cisoide de Diocles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.8. Deltoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.9. Epicicloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
���
�� ÍNDICE GENERAL
3.10. Hipocicloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.11. Espiral de Arquímedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.12. Espiral de Cornu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.13. Espiral Equiángular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.14. Espiral de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.15. Espiral Hiperbólica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.16. Lituus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.17. Óvalos de Cassini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.18. Tractriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4. Conclusiones 91
A. Código en Maple 9 de las gráficas 95
Índice de figuras
2.1. Trayectoria de un proyectil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2. Trayectoria de una bala, 1547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3. Parábola de seguridad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4. Trayectoria de un proyectil auxiliar en el caso ideal, bajo la
acción única de la fuerza de gravedad, desdeñando la acción
de cualquier otra fuerza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.5. Curva balística (línea continua) y trayectoria del proyectil bajo
la influencia única de la fuerza de gravedad. . . . . . . . . . . 10
2.6. Vuelo supersónico de un avión . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.7. Límite de la zona de audibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.8. Zona de audibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.9. Cardioide formada por rayos de luz reflejados en una taza de
leche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.10. (A) Cáustica de un círculo; (B) Un rayo reflejado . . . . . . . 19
2.11. Nefroide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.12. Cicloide alargada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.13. Cicloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.14. Cicloide acortada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.15. Epicicloide - Epitrocoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.16. Hipocicloide - Hipotrocoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.17. Escalera que resbala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.18. Varias posiciones de la escalera en las que está señalado el
punto medio de ésta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.19. Varias posiciones de la escalera en la que está marcado un
punto fijo que no está en el centro de la escalera . . . . . . . . 26
2.20. Barra de longitud uno que resbala en una pared vertical . . . . 27
2.21. Astroide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.22. Familia de elipses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
�
�� ÍNDICE DE FIGURAS
2.23. Evoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.24. Parábola y su evoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.25. La catenaria y su involuta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.26. Involuta Aproximada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.27. Inversa con respecto a un círculo . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.28. Pedal positiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.29. A la izquierda la pedal positiva de la parábola con respecto
a su foco. A la derecha la pedal negativa de una recta con
respecto a un punto fuera de ella. . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.1. La astroide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2. (A) Astroide; (B) Generación doble de la astroide . . . . . . . 36
3.3. Trasmallo de Arquímedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.4. La astroide como envolvente de elipses . . . . . . . . . . . . . 37
3.5. Evoluta de la astroide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.6. La longitud de la tangente cortada por los ejes es constante . . 38
3.7. Logo de los Pittsburgh Steelers . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.8. Bruja de Agnesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.9. (A) Cardioide; (B) Generación doble de la cardioide . . . . . . 42
3.10. Generación de cremona de la cardioide . . . . . . . . . . . . . 43
3.11. La cardioide como envolvente de círculos . . . . . . . . . . . . 43
3.12. Evoluta de la cardioide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.13. Leva en forma de cardioide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.14. Conjunto de Mendelbrot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.15. Catenaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.16. Arco situado en el corazón de la ciudad de St. Louis Mis-
souri, Estados Unidos. En la fotografía de la izquierda, aparece
además el Antiguo Palacio de Justicia. . . . . . . . . . . . . . 47
3.17. Cicloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.18. Cicliode acortada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.19. Cicloide alargada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.20. Rueda de un tren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.21. Círculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.22. P es un punto de la cisoide de las dos curvas con respecto a O 56
3.23. Cisoide generada por un círculo que se mueve a lo largo de
una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.24. Construcción de la cisoide dada por Diocles . . . . . . . . . . 58
3.25. Construcción de la cisoide dada por Newton . . . . . . . . . . 58
ÍNDICE DE FIGURAS ���
3.26. Construcción de la tangente a un punto P de la cisoide . . . . 60
3.27. Duplicación del cubo con ayuda de la cisoide de Diocles . . . . 60
3.28. La deltoide como envolvente de las rectas de Simpson de un
triángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.29. Deltoide generada por rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.30. Propiedades de la deltoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.31. Evoluta de la deltoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.32. Deltoide rotor dentro de una astroide estator . . . . . . . . . . 64
3.33.Motor Wankel el cual se encuentra en el museo Deutsches de
Munich, Alemania. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.34. (A) Epicicloide; (B) Generación doble de la epicicloide . . . . 66
3.35. (A) Hipocicloide; (B) Generación doble de la hipocicloide . . . 68
3.36. Una rama de la espiral de Arquímedes . . . . . . . . . . . . . 70
3.37. Espiral de Arquímedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.38. Leva generada por un arco de una espiral de Arquímedes . . . 72
3.39. Espiral de Cornu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.40. Espiral equiángular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.41. Pentágono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.42. A la izquierda Jakob Bernoulli, junto a él Johann Bernoulli . . 77
3.43. Espiral equiángular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.44. Espiral equiángular con longitud de los sucesivos radio vec-
tores 0R0 = τ0, 0R1 = τ1, 0R2 = τ 2,... . . . . . . . . . . . . . 79
3.45. Espiral equiángular derivada de un rectángulo áureo . . . . . . 80
3.46. Inversa de la espiral equiángular . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.47. Espiral de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.48. Espiral hiperbólica o reciproca . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.49. Espiral hiperbólica y su asíntota . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.50. Lituus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.51. Óvalos de Cassini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.52. Tractriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.53. Tractriz y catenaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
���� ÍNDICE DE FIGURAS
Capítulo 1
Introducción
Lo más curioso, es que todos aquellos que estudian seriamente
esta Ciencia, caen en una especie de pasión. Verdaderamente, lo
que más placer proporciona no es el saber, sino el estudiar; no es
la posesión, sino la conquista; no es el estar aquí, sino el llegar
allá.
Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855)
La humanidad fue fascinada por las curvas mucho antes de que estas
fueran vistas como objetos matemáticos. Como evidencia están la forma de
olas y espirales en la alfarería prehistórica, o los espléndidos pliegues de las
esculturas griegas y góticas. Fueron los geómetras griegos quienes iniciaron el
estudio de curvas definidas geométricamente como, por ejemplo, el contorno
de la intersección de un plano con un cono. La recta y el círculo fueron
distinguidos como bordes de secciones planas de un cono. Algunas curvas
fueron generadas por el movimiento de mecanismos articulados, o al menos
fueron imaginadas para ser generadas así: la espiral de Arquímedes (287-212
antes de J. C.) fue de este tipo. Una clasificación en curvas “geométricas”
y “mecánicas” (la cual no corresponde al uso moderno de estos términos)
quedó fija hasta el siglo diecisiete cuando la geometría analítica hizo posible
distinguir con precisión que debemos (siguiendo a Gottfried Wilhelm Leibniz
(1646-1716)) llamar ahora curvas algebraicas1 y trascendentes2.
1Aquellas que pueden ser expresadas por potencias racionales de x y y vinculadas por
operaciones de suma, resta, multiplicación y división; por ejemplo: y2 = x/(x+ y).
2Una curva o ecuación trascendental es aquella que no es algebraica; por ejemplo:
y = 2x, y = sinx.
1
2 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
Buscando la forma de las órbitas planetarias Johannes Kepler (1571-1630)
trató una variedad de curvas antes de encontrar que la elipse daba el mejor
ajuste. En el antiguo sistema de Claudio Ptolomeo (85-165 después de J. C.)
se suponía que los planetas describían rutas que podían ser construidas por
medio de epiciclos (círculos transportados por otros círculos o esferas).
Cuando Bonaventura Francesco Cavalieri (1598-1647) trató de explicar su
método de cálculo de volúmenes (Principio de Cavalieri), tuvo el cuidado de
usar un tipo de curva realmente general, pero le faltó un método analítico de
descripción. Posteriormente en el siglo diecisiete, James Gregory (1638-1675)
e Isaac Barrow (1630-1677) dieron reglas de cálculo en forma geométrica para
referirse a arcos monótonos simples. Así las curvas individuales se estaban
perdiendo ya en una teoría más general.
Una invención poderosa fue crear una nueva curva por la transformación
de otra, por ejemplo, la evoluta se forma con los centros de curvatura de
una curva dada. Pero la mayor influencia en el estudio de las curvas fue,
por supuesto, la invención del cálculo, el cual no sólo obtiene la solución a
problemas de área y longitud de arco, sino que unifica todo el campo de
investigación. Una gran variedad de problemas mecánicos pueden ser formu-
lados con precisión, por ejemplo, para encontrar la curva del “más rápido
descenso”, la braquistócrona.
Las curvas planas ofrecen un rico y poco explorado campo de estudio, el
Capítulo 2 trata de las familias de estas curvas.
El Capítulo 3, Galería de Curvas, presenta información individual de las
curvas, todo lo que me pareció importante decir respecto a ellas, como su
longitud ([8] pp. 755-757), área ([8] pp. 789-790), superficie de revolución ([1]
p. 423), volumen de revolución ([1] p. 404), evoluta ([5] pp. 103-104), etc. Las
gráficas se realizaron en Scientific WorkPlace 4, se da el programa generado
en Maple 9 de cada una en el Apéndice A.
Asimismo en el Capítulo 3, para cada curva, las referencias bibliográficas
están en el primer párrafo de la curva en cuestión, aunque pueden apare-
cer más referencias posteriormente para puntualizar de dónde se extrajo la
información que se trata.
Hace algunos años Salvador López Mendoza me dijo que en el nuevo
edificio de la Facultad de Ciencias, el Tlahuizcalpan, había salones equipados
con computadoras para las materias teóricas y que hacia falta material de
apoyo para éstos, el Capítulo 3 de esta tesis se pensó como material de
apoyo para un curso de Cálculo Diferencial e Integral II o III, al respecto y
a manera de ejemplo se implementaron en Maple 9 cinco de las curvas de
3
dicho Capítulo.
Una de las razones para elaborar esta tesis fue el hecho de que no existía
en español un texto que hablara de estas curvas.
Dentro de los propósitos de esta tesis estuvo incluir al menos las curvas
que se consideran más importantes.
Otro de los propósitos al escribir una tesis debe ser el aprender a redactar
un libro, armarlo desde su estructura.
Antes de realizar este trabajo, intente varias veces hacer la tesis en com-
putación, tuve tres distintos asesores de tesis. Agradezco profundamente al
Dr. Pedro Miramontes el ayudarme tanto como lo hizo para realizar y concluir
este trabajo. Es en verdad en excelente director de tesis.
4 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
Capítulo 2
Familias de curvas
2.1. Envolturas
La noción de envoltura1 se encuentra en las diversas partes de la matemáti-
ca.
Supongamos que tenemos una familia de curvas que depende de un pará-
metro que es constante para cualquier curva individual, pero que cambia al
pasar de una curva a otra. Las curvas de una familia pueden ser tangentes a
una misma curva o a un mismo grupo de curvas. En este caso se da el nombre
de envoltura de la familia a la curva o al grupo de curvas. Así, la envoltura
de una familia de curvas es la curva tangente a cada una de las curvas de la
familia.
Problemas para calcular la curva tangente a una familia de curvas fueron
discutidos extensamente en 1694 entre Leibniz, Johann Bernoulli (1667-1748)
y Guillaume François Antonie, Marquis de L’Hôpital (1661-1704).
En calidad de envolturas aparecen curvas notables que encontramos fre-
cuentemente en la matemática y en las aplicaciones de ésta: la parábola, la
hipérbola, la astroide, la cicloide, la cardioide, etcétera. A continuación se
presentan la parábola y la hipérbola como ejemplos de envolturas.
Tiro parabólico [2]
Examinemos el movimiento de un cuerpo de manera idealizada, bajo la
acción única de la fuerza de gravedad, desdeñando la acción sobre él de
1En algunos textos ledicen envolvente.
5
6 CAPÍTULO 2. FAMILIAS DE CURVAS
Figura 2.1: Trayectoria de un proyectil
cualquier otra fuerza. La gravedad actúa verticalmente hacia abajo sobre el
cuerpo lanzado con una aceleración g constante.
Sea L la trayectoria por la que se mueve el cuerpo lanzado, ver figura
2.1. En cada instante el cuerpo móvil se encuentra en algún punto de ésta y
tiene una velocidad de movimiento determinada. La velocidad es un vector
tangente a la trayectoria L. Así L es la envoltura de los vectores de velocidad
del cuerpo lanzado.
Consideremos la primera ley del movimiento de Isaac Newton (1643-
1727): si ninguna fuerza actúa sobre un cuerpo y el cuerpo está en reposo, per-
manecerá en reposo; si ninguna fuerza actúa y un cuerpo está en movimiento,
continuará en movimiento a velocidad constante y en línea recta.
La velocidad del cuerpo lanzado puede ser descompuesta en dos compo-
nentes: una vertical y otra horizontal. Considerado la primera ley de Newton
sabemos que la fuerza de la gravedad actúa, además el cuerpo es lanzado con
un ángulo de elevación ϕ tenemos entonces que la componente vertical es
afectada por la gravedad y la horizontal permanece constante durante todo
el movimiento. Si designamos por vo a la velocidad con que el cuerpo es lan-
zado, ver figura 2.1, y a las componentes horizontal y vertical de la velocidad
por los signos vh y vv respectivamente, entonces:
vh(t) = vo cosϕ (2.1)
vv(t) = vo sinϕ− gt (2.2)
Si yo es la altura inicial del cuerpo lanzado y x(t) y y(t) denotan la
posición del mismo:
2.1. ENVOLTURAS 7
Figura 2.2: Trayectoria de una bala, 1547
x(t) = (vo cosϕ)t (2.3)
y(t) = yo + (vo sinϕ)t−
gt2
2
(2.4)
La trayectoria del cuerpo lanzado es una parábola. Las fórmulas dadas
describen el movimiento del cuerpo bajo la acción constante de la gravedad.
A principios del siglo XVII no era claro cuál sería la trayectoria de una
bala disparada oblicuamente; tan es así que, en 1613, el capitán español con
fama de experto artillero, Diego Ufano, publicó un Tratado de Artillería en
el que consideraba que eran tres los movimientos que participaban en la
determinación de la ruta seguida por una bala:
...estos tiros se producían primeramente como un movimiento
violento o recto, luego como un movimiento mezclado en el que
la bala declina de la línea recta con la que salió del mortero y
sigue un arco o línea curva; finalmente, cuando ya perdió toda
su fuerza, sigue el movimiento natural buscando el centro (de la
tierra) hacia abajo, como aparece en la figura (figura 2.2 [11] pp.
27-29)...
Ahora, examinemos las trayectorias de los proyectiles lanzados por un
cañón instalado en cierto punto 0 de la superficie terrestre. Debemos estudiar
la trayectoria del vuelo de un proyectil lanzado desde el punto 0 a la velocidad
vo bajo el ángulo ϕ respecto al horizonte.
8 CAPÍTULO 2. FAMILIAS DE CURVAS
En la ecuación 2.4 consideremos yo = 0 desdeñando la altura del cañón
que está instalado en la tierra. El origen de coordenadas se elige para que
x(t) y y(t) sean cero en t = 0.
y(t) = (vo sinϕ)t−
gt2
2
(2.5)
De la ecuación 2.2 es claro que en el momento t = vo sinϕ
g
la componente
vertical de la velocidad vv es nula. Hasta este instante la componente vv era
positiva, es decir, el cuerpo ascendía; después de este momento es negativa
y el cuerpo desciende. Así, cuando t = vo sinϕ
g
, el cuerpo alcanza su altura
máxima de ascensión, que según la ecuación 2.5 es igual a
ymáx =
(vo sinϕ)
2
2g
Por otra parte, en la figura 2.1 se ve que vv ≤ vo y que vv = vo sólo
cuando ϕ = 90◦. Por lo que finalmente
ymáx =
v2o
2g
La altura del proyectil sobre la tierra es nula solamente en dos puntos: en
el punto del disparo y en el punto de impacto, al caer a la tierra. Es decir, la
altura es nula para los valores de t que son raíces de la ecuación 2.5
(vo sinϕ)t−
gt2
2
= 0
esto es, cuando t = 0 ó t = 2vo sinϕ
g
. La primera raíz corresponde al momento
del lanzamiento del proyectil y la segunda al momento de caída. La distancia
entre el lugar del disparo y el lugar de explosión, de acuerdo a la ecuación
2.3, es igual a:
xmáx =
2v2o cosϕ sinϕ
g
=
v2o sin 2ϕ
g
La función sin 2ϕ alcanza su valor máximo cuando ϕ = 45◦ (o cuando
ϕ = 135◦). Así la distancia máxima de vuelo se obtiene cuando ϕ = 45◦
xmáx =
v2o
g
2.1. ENVOLTURAS 9
Figura 2.3: Parábola de seguridad
la cual es dos veces mayor que la altura máxima de ascensión.
Analicemos la zona de tiro, es decir, la parte del espacio que ocupan las
trayectorias de los proyectiles lanzados desde O para diferentes ángulos ϕ,
en la suposición de que la velocidad vo es fija y todas las trayectorias están
situadas en un mismo plano. La zona de tiro está limitada por la parábola
que pasa a través del punto de elevación máxima C = (0, v
2
o
2g
) y los puntos
D1 = (−v
2
o
g
, 0), D2 = (
v2o
g
, 0) de las explosiones más lejanas, ver figura 2.3. La
parábola en cuestión puede obtenerse lanzando horizontalmente un proyectil
con velocidad vo desde el punto C. Ya habíamos dicho que la trayectoria que
describen las ecuaciones 2.3 y 2.4 es la de una parábola, substituyendo en
dichas ecuaciones que el proyectil es lanzado horizontalmente, ϕ = 0◦ con
velocidad vo desde el punto C, esto es, yo =
v2o
2g
. La posición del proyectil que
se mueve por la parábola de seguridad esta dada por:
x(t) = vot (2.6)
y(t) =
v2o
2g
− gt
2
2
Esta parábola se denomina parábola de seguridad ya que limita la zona
de tiro, por encima de ella un vuelo está fuera de peligro. Veamos esto (figura
2.4), la posición de un proyectil auxiliar que se lanza desde O con un ángulo
de elevación ϕ a velocidad vo esta dada por:
x1(t) = (vo cosϕ)t
y1(t) = (vo sinϕ)t−
gt2
2
para x(t) = x1(t1) veamos como es y(t)−y1(t1). Si t = t1 cosϕ, x(t) = x1(t1),
10 CAPÍTULO 2. FAMILIAS DE CURVAS
y(t) = v
2
o
2g
− g(t1 cosϕ)2
2
y y1(t1) = (vo sinϕ)t1 − gt
2
1
2
además
y(t)− y1(t1) =
v2o
2g
− (vo sinϕ)t1 +
gt21
2
(1− cos2 ϕ) = 1
2g
(v0 − gt1 sinϕ)2 ≥ 0
el que esta diferencia sea no negativa muestra que la trayectoria de cualquier
proyectil que se lance desdeO a velocidad vo con cualquier ángulo de elevación
está situada debajo de la parábola de seguridad y es tangente a esta última en
un punto, es decir, la parábola de seguridad es la envoltura de las trayectorias
de vuelo de los proyectiles, bajo el supuesto de que la única fuerza que actúa
sobre el proyectil es la fuerza de gravedad y que desdeñamos la acción sobre
él de cualquier otra fuerza.
Figura 2.4: Trayectoria de un proyectil auxiliar en el caso ideal, bajo la acción
única de la fuerza de gravedad, desdeñando la acción de cualquier otra fuerza.
En la figura 2.5 ([2] p. 8) se expone el tipo aproximado de la trayectoria
de un proyectil en el aire (la línea continua es la llamada curva balística) y
la línea por la que volaría el proyectil bajo la influencia única de la fuerza de
gravedad.
Figura 2.5: Curva balística (línea continua) y trayectoria del proyectil bajo
la influencia única de la fuerza de gravedad.
2.1. ENVOLTURAS 11
La hipérbola como límite de la zona de audibilidad [2]
Un avión vuela a altura h sobre la superficie terrestre a velocidad super-
sónica v. ¿Cuál es en un momento dado la región de la superficie terrestre
en cuyos puntos ya se ha oído o se oye el sonido del motor del avión? Vamos
a suponer que la superficie terrestre sobre la que vuela el avión es absoluta-
mente plana y que la altura del avión h y su velocidad v son constantes.
En cada instante el avión en vuelo se encuentra sobre cierto punto, asimis-
mo el punto de proyección del avión sobre la superficie terrestre se mueve
uniformemente a la velocidad v, describiendo una línea recta l paralela a
aquella por la que vuela el avión en el espacio, ver figura 2.6. Representemos
el movimiento del avión de derecha a izquierda.
Figura 2.6: Vuelo supersónico de un avión
Supongamos que el avión se encuentra sobre el punto O de la recta l y
que hace t segundos el avión se encontraba sobre el punto A de la recta l a
la derecha delpunto O a distancia OA = vt. Sea B el punto del espacio en el
que en este mismo momento se encontraba el avión. Al pasar por el punto B
el avión produjo un ruido que comenzó a propagarse desde este punto B en
todas direcciones. Designaremos por u la velocidad del sonido en el aire. Para
el momento en que el avión sobrevuela el punto O, es decir, transcurridos
t segundos el sonido logra, desde el punto B, propagarse en una esfera de
radio ut cuyo centro es B. Si el radio de esta esfera es mayor que h, el sonido
tiene también tiempo para llegar hasta la tierra y. además, la región en la
tierra hasta la que llega el sonido desde el punto B será un círculo que se
obtiene de la intersección de la esfera con la superficie terrestre. De la figura
2.6 se ve que el radio de este círculo es igual a
√
u2t2 − h2, y que su centro
se encuentra en el punto A.
12 CAPÍTULO 2. FAMILIAS DE CURVAS
Figura 2.7: Límite de la zona de audibilidad
Tomando círculos para todas las posiciones posibles del avión obten-
dremos la zona de audibilidad. Sea l cierta semirrecta que parte del punto
O y u, v, h (u < v) tres números positivos. Supongamos que A es un punto
arbitrario de la semirrecta l, y que t es un número positivo tal que la longitud
del segmento OA es igual a vt. Designemos por KA al círculo con centro en
el punto A y radio
√
u2t2 − h2. Hallar en el plano la región de todos los cír-
culos KA que se obtienen para todas las posiciones posibles del punto A en la
semirrecta l. En la figura 2.7 se exponen varios de estos círculos y una línea
gruesa que limita la región rellena por estos círculos, es decir, la línea que es
el límite de la zona de audibilidad. Al examinar esta figura podemos concluir
que el límite de la zona de audibilidad es la envoltura de tales círculos.
Todos los círculos KA posibles llenan la región de audibilidad, así que
para que un punto M en el plano pertenezca a la zona de audibilidad es
necesario que pertenezca a algún círculo KA. Sean A = (vt, 0), M = (x, y)
y KA el círculo de radio
√
u2t2 − h2 y centro en el punto A. Para que M
pertenezca al círculo KA es necesario que se cumpla la desigualdad
(x− vt)2 + y2 ≤ u2t2 − h2
que es equivalente a
(v2 − u2)t2 − 2vxt+ (x2 + y2 + h2) ≤ 0 (2.7)
El puntoM pertenece a la región de audibilidad si existe un número positivo
t ( se consideró que no tiene sentido tomar valores negativos para el tiempo)
que satisface la desigualdad 2.7.
2.1. ENVOLTURAS 13
Se había dicho que u, v, h y t son números positivos y que u < v entonces
(v2−u2)t2, x2+y2+h2 y 2vt son positivos. Para que se cumpla la desigualdad
2.7, x debe ser positivo.
Considérese la igualdad
(v2 − u2)t2 − 2vxt+ (x2 + y2 + h2) = 0 (2.8)
y tómense a = v2 − u2, b = −2vx y c = x2 + y2 + h2, a es positivo ya que
u < v. Si es discriminante de la ecuación 2.8, b2 − 4ac es negativo entonces
la expresión
at2 + bt+ c = a
(
t+
b
2a
)2
− 1
4a
(
b2 − 4ac
)
es positiva y no se cumple la desigualdad 2.7, por tanto
b2 − 4ac ≥ 0
4v2x2 − 4(v2 − u2)(x2 + y2 + h2) ≥ 0
4u2x2 − 4(v2 − u2)y2 ≥ 4(v2 − u2)h2
Dividiendo esta desigualdad entre el número positivo 4(v2 − u2)h2
u2x2
(v2 − u2)h2 −
y2
h2
≥ 1
x2
(v2−u2)h2
u2
− y
2
h2
≥ 1 (2.9)
Por lo tanto, la región de audibilidad se compone de los puntos (x, y)
tales que x > 0 y (x, y) satisface la desigualdad 2.9. Si examinamos todos los
puntos cuyas coordenadas satisfacen la igualdad
x2
(v2−u2)h2
u2
− y
2
h2
= 1 (2.10)
No solo aquellos en que x > 0 obtendremos las dos ramas de la hipérbola.
Finalmente, el límite de la zona de audibilidad es la rama derecha de la
hipérbola, que se determina por la ecuación 2.10. Con lo expuesto se demostró
que la rama derecha de la hipérbola es la envoltura de los círculos KA, esto
es, todo punto de esta rama es tangente a uno de los círculos KA.
14 CAPÍTULO 2. FAMILIAS DE CURVAS
Ángulo característico [2]
Examinemos el caso h = 0, es decir, cuando el movimiento tiene lugar
en la superficie terrestre: en lugar del avión el “automóvil supersónico”. En
este caso el radio del círculo KA es igual a ut. El punto A en la semirrecta l
se encuentra respecto al punto O a distancia vt, ver figura 2.8. Hallar en el
plano la región que se llena con los círculos KA.
Figura 2.8: Zona de audibilidad
Todos los círculos KA tienen su centro sobre l. Al variar t la distancia
OA = vt y el radio del círculoKA, que es igual a ut varían. Por esto, la región
del plano que se llena por los círculos KA, es decir, la zona de audibilidad
en este caso representa en sí el ángulo SOT con el vértice en el punto O, el
cual está formado por las tangentes comunes de todos los círculos KA (figura
2.8). Podemos decir que los lados del ángulo SOT sirven de envoltura para
las circunferencias KA.
La semirrecta l es la bisectriz del ángulo SOT . El ángulo ϕ entre la semir-
recta l y una de las semirrectas OS, OT , se denomina ángulo característico
para el “automóvil supersónico”. Puesto que en el triángulo OAE de la figura
2.8 tenemos que OA = vt, AE = ut y OE =
√
(vt)2 − (ut)2 = t
√
v2 − u2
sinϕ =
AE
OA
=
ut
vt
=
u
v
tanϕ =
AE
OE
=
ut
t
√
v2 − u2
=
u√
v2 − u2
De esta manera, conociendo las velocidades u y v, se puede calcular la
magnitud del ángulo característico.
2.1. ENVOLTURAS 15
2.1.1. Determinación de las envolturas
La búsqueda de las envolturas generalmente se efectúa mediante la ope-
ración de diferenciación. Sea f(x, y, a) = 0 una familia de curvas, cada valor
de a da una curva de la familia. Considérese el sistema
f(x, y, a) = 0 (2.11)
f ′a(x, y, a) = 0
Cada punto de la envoltura satisface la ecuación que se obtiene del sistema
anterior al eliminar el parámetro a ([5] pp. 98-99, [2] pp. 61-64, [4] pp. 570-
571).
Si la familia de curvas esta determinada mediante dos ecuaciones con dos
parámetros a y b.
f(x, y, a, b) = 0
g(a, b) = 0
Entonces cada punto de la envoltura satisface a la ecuación que se obtiene
del sistema
f(x, y, a, b) = 0
g(a, b) = 0 (2.12)
f ′a · g′b − g′a · f ′b = 0
omitiendo los parámetros a y b ([2] p. 64).
Cabe mencionar que la curva determinada por la ecuación que se obtiene
de eliminar los parámetros en los sistemas (2.11) y (2.12) se compone de la
envoltura y del lugar geométrico de los puntos singulares2 de todas las curvas
de la familia ([2] p. 70).
Ejemplo 1. Hallar la envoltura de la familia de círculos KA con centro
en A = (vt, 0) y radio
√
u2t2 − h2 de la zona de audibilidad que se analizó
antes
(x− vt)2 + y2 = u2t2 − h2
2Son puntos singulares: los puntos aislados; aquellos en los que la curva se corta a si
misma; o bien, las puntos en los que la curva es tangente a si misma.
16 CAPÍTULO 2. FAMILIAS DE CURVAS
Haciendo a = vt y c = v
u
h se puede transformar a esta familia en
f(x, y, a) = a2
(
1− h
2
c2
)
− 2ax+ (x2 + y2 + h2) = 0
Cada valor de a da una curva de esta familia. La derivada de f(x, y, a) con
respecto de a es
f ′a(x, y, a) = 2a
(
1− h
2
c2
)
− 2x
De acuerdo a lo dicho con relación al sistema (2.11), para determinar la
envoltura debemos eliminar a en el sistema
a2
(
1− h
2
c2
)
− 2ax+ (x2 + y2 + h2) = 0
2a
(
1− h
2
c2
)
− 2x = 0
Despejando a de la segunda ecuación y substituyéndola en la primera ecuación
llegamos a
h2x2
c2 − h2 − y
2 = h2
dividendo entre h2 obtenemos
x2
c2 − h2 −
y2
h2
= 1
que es la ecuación de la envoltura y representa una hipérbola.
Ejemplo 2. Examinemos la familia de trayectorias de los proyectiles que
estudiamos al inicio de esta sección dadas por las ecuaciones paramétricas
(2.3) y (2.5)
x = (vo cosϕ)t
y = (vo sinϕ)t−
gt2
2
despejando t de la primera de estas ecuaciones y substituyéndola en la se-
gunda, obtenemos la ecuación cartesiana de la familia de trayectorias, mul-
tiplicando esta ecuación por 2v2o cos
2 ϕ llegamos a
gx2 − 2(vo cosϕ)(vo sinϕ)x+ 2(v2o cos2 ϕ)y = 0
2.1. ENVOLTURAS 17
finalmente, haciendo a = vo cosϕ y b = vo sinϕ
f(x, y, a, b) = gx2 − 2abx+ 2a2y = 0
g(a, b) = a2 + b2 − v2o = 0
Para encontrar la envoltura a la familia de curvas determinadas por dos ecua-
ciones con dosparámetros, aplicamos lo correspondiente al sistema (2.12).
Calculamos las derivadas:
f ′a = −2bx+ 4ay, f ′b = −2ax, g′a = 2a, g′b = 2b
Para hallar la ecuación de la envoltura debemos eliminar a y b del sistema
gx2 − 2abx+ 2a2y = 0
a2 + b2 − v2o = 0 (2.13)
2aby + (a2 − b2)x = 0
Multiplicando por b la primera de estas ecuaciones y por −a la tercera y
sumándolas obtenemos
gbx2 − a(a2 + b2)x = 0
De la segunda ecuación del sistema (2.13) tenemos que a2 + b2 = v2o , substi-
tuyendo en la ecuación anterior llegamos a
gbx2 − av2ox = 0
La recta x = 0 no pertenece a la envoltura (según se observa en la figura 2.3)
pues claramente que x = 0 no es solución del sistema (2.13), así
gbx− av2o = 0
despejando a de esta ecuación y substituyéndola en la tercera ecuación del
sistema (2.13) llegamos a la ecuación de la envoltura
y =
v2o
2g
− gx
2
2v2o
la cual coincide con la de la parábola de seguridad cuyas ecuaciones paramétri-
cas (2.6) se dieron antes.
18 CAPÍTULO 2. FAMILIAS DE CURVAS
2.2. Cáusticas
Cuando una luz se refleja desde un espejo en otra superficie frecuente-
mente se observa una curva de luz brillante en la superficie, esta curva es
llamada cáustica, de la idea de quemar.
Un basto ejemplo de envolturas son las curvas cáusticas, que aunque pare-
cen producto de la óptica, pertenecen completamente a la teoría de curvas.
Son de interés histórico por hacer surgir las primeras preguntas.
Una curva cáustica es la envoltura de rayos de luz emitidos de un punto
reflejados (catacáustica) o refractados (diacáustica) en una curva dada.
Los rayos de luz pueden estar a una distancia finita (como una llama) o
prácticamente a distancia infinita (como el sol).
Las curvas cáusticas fueron introducidas en 1682 por el matemático alemán
Ehrenfried Walter von Tschirnhaus (1651-1708), quien trabajó en geometría
diferencial y construyó espejos con un gran poder para quemar. Asimis-
mo fueron estudiadas por Christiaan Huygens (1629-1695), Jakob Bernoulli
(1654-1705), Johann Bernoulli (1667-1748), L’Hôpital (1661-1704), Adolphe
Quételet (1796-1874), Joseph Louis Lagrange (1736-1813) y otros.
Son ejemplos de éstas: las curvas luminosas que se ven en la superficie de
una taza de leche (ver figura 2.9, que se adoptó de la red de internet) y los
patrones de luz en el fondo de una alberca.
Figura 2.9: Cardioide formada por rayos de luz reflejados en una taza de
leche.
Pertenecen a esta familia la cardioide (es la catacáustica de un círculo
con un punto radiante en su circunferencia), la nefroide (es la catacáustica
de un círculo en el que se reflejan rayos paralelos, o bien, catacáustica de una
cardioide con un punto radiante en el vértice), etcétera.
2.2. CÁUSTICAS 19
Por la forma en como se obtienen, se pueden considerar como curvas
derivadas o asociadas.
No siempre una fuente de luz reflejada (o refractada) en una curva genera
otra curva. Por ejemplo, los rayos de luz reflejados desde el foco de una
parábola no se intersectan, por lo tanto su envoltura no forma ninguna curva.
Actualmente existe software que simula los efectos visuales de las cáusti-
cas generadas por el reflejo de los rayos del sol en el agua3.
2.2.1. Un ejemplo del cálculo de una cáustica
Sea x2 + y2 = 1 una circunferencia. Supongamos que rayos paralelos
verticales son reflejados por esta circunferencia. Estos producen una nueva
familia de líneas rectas (ver figura 2.10 A). Encuentre la ecuación de esta
cáustica [5].
Figura 2.10: (A) Cáustica de un círculo; (B) Un rayo reflejado
Para representar la familia de rayos reflejados elegimos como parámetro
el ángulo α entre el rayo y el radio del círculo. De la figura 2.10 B, se puede
ver que la pendiente del rayo reflejado es tan(2α − π
2
) = − cos 2α
sin 2α
y que la
ecuación de la recta del rayo reflejado es
y = − 1
2 cosα
− xcos 2α
sin 2α
= − 1
2 cosα
+
x
2
(
sinα
cosα
− cosα
sinα
)
(2.14)
La cáustica es a fin de cuentas una envoltura, así de la segunda ecuación del
3Para información respecto al software se recomienda consultar la siguiente dirección
en la red de internet http://www.lysator.liu.se/~kand/caustics/.
20 CAPÍTULO 2. FAMILIAS DE CURVAS
sistema (2.11) de la sección anterior tenemos que
f ′α(x, y, α) = −
sinα
2 cos2 α
+
x
2 cos2 α sin2 α
= 0
de donde
x = sin3 α (2.15)
substituyendo en la ecuación 2.14 llegamos a
y =
1
2
(
− 1
cosα
+
sin4 α
cosα
− sin2 α cosα
)
= − cosα
(
1
2
+ sin2 α
)
(2.16)
esta ecuación junto con la ecuación 2.15 son las ecuaciones paramétricas de
la cáustica. Para quitar el parámetro despejamos sinα de la ecuación 2.15,
de la relación sin2 α + cos2 α = 1 despejamos cosα y los substituimos en la
ecuación 2.16, obtenemos
y = −
√
1− x 23
(
1
2
+ x
2
3
)
que es la ecuación cartesiana de la cáustica y representa una nefroide, como
se dijo antes en esta sección (ver figura 2.11).
10.50-0.5-1
0.5
0
-0.5
x
y
x
y
Figura 2.11: Nefroide
2.3. Rodamientos y resbalamientos
Pertenecen a esta familia las curvas que se obtienen por rodamientos. Mas
específicamente, las que se obtienen como lugar geométrico de un punto a
distancia h del centro de un círculo de radio b que rueda: sobre una recta
2.3. RODAMIENTOS Y RESBALAMIENTOS 21
fija; en el exterior de un círculo fijo de radio a; o en el interior de un círculo
fijo de radio a. En esta familia se encuentran las cicloides, epicicloides (como
la cardioide y la nefroide), hipocicloides (como la astroide y la deltoide),
epitrocoides, hipotrocoides, etcétera.
También pertenecen a esta familia las curvas que se obtienen por resba-
lamientos, como la astroide.
2.3.1. Cicloides
Un círculo de radio a rueda, sin resbalar, sobre una recta. ¿Por qué curva
se mueve un punto fijo P = (x, y) a distancia h, h > a del centro del círculo
que rueda?
Figura 2.12: Cicloide alargada
Como se observa en la figura 2.12, cos(t− π
2
) = u
h
, por lo que
u = h cos(t− π
2
) = h sin t
Así la coordenada x del punto fijo sobre el círculo es x = at−u = at−h sin t.
Por otro lado, sin(t− π
2
) = v
h
, de donde
v = h sin(t− π
2
) = −h cos t
por lo que la coordenada y del punto fijo es y = a + v = a − h cos t. Las
coordenadas x y y obtenidas son las ecuaciones paramétricas de la cicloide
alargada. Substituyendo h por la distancia del origen del círculo que rueda
al punto fijo P = (x, y) se obtienen las ecuaciones paramétricas correspon-
dientes a la cicloide de que se trate: cicloide alargada si h > a (ver figura
2.12), cicloide si h = a (ver figura 2.13) y cicloide acortada si h < a (ver
figura 2.14).
22 CAPÍTULO 2. FAMILIAS DE CURVAS
Figura 2.13: Cicloide
Figura 2.14: Cicloide acortada
2.3.2. Epicicloides y epitrocoides
¿Por qué curva se mueve un punto fijo a un círculo de radio b que rueda
sin resbalar en el exterior de un círculo de radio a? Si el punto está en la
circunferencia del círculo que rueda, la curva generada es una epicicloide; si
el punto generador no está en la circunferencia, la curva es una epitrocoide.
Sea el punto generador aquel en donde se tocan los dos círculos y sea el
eje x la recta por la que pasan a los centros de los dos círculos y el punto ge-
nerador. Considérese otra posición del círculo que rueda, ver figura 2.15. Sea
H = (x, y) el punto generador; sean BF = a, FG = b, FBC = ϕ, JGF =
ψ, GH = c; como CF = FJ, aϕ = bψ; GHK = π − (ϕ+ ψ) = θ.
cosϕ = BD
BG
cos θ = KH
GH
BD = BG cosϕ KH = GH cos θ
BD = (a+ b) cosϕ KH = c cos(π − (ϕ+ ψ)) = −c cos(ϕ+ ψ)
Por lo que la coordenada x del punto H es
x = BD +KH = (a+ b) cosϕ− c cos(ϕ+ ψ)
sinϕ = GD
BG
sin θ = GK
GH
GD = BG sinϕ GK = GH sin θ
GD = (a+ b) sinϕ GK = c sin(π − (ϕ+ ψ)) = c sin(ϕ+ ψ)
2.3. RODAMIENTOS Y RESBALAMIENTOS 23
Figura 2.15: Epicicloide - Epitrocoide
Así la coordenada y de H es
y = GD −GK = (a+ b) sinϕ− c sin(ϕ+ ψ)
si a+ b = mb
a = (m− 1)b
(m− 1)bϕ = bψ
ψ = (m− 1)ϕ
ϕ+ ψ = mϕ
y las coordenadas de H son
x = mb cosϕ− c cosmϕ
y = mb sinϕ− c sinmϕ
Las ecuaciones paramétricas de la epicicloide se obtiene al hacer c = b,
mb = a+ b y m = a+b
b
así
x = (a+ b) cosϕ− b cos a+b
b
ϕ (2.17)
y = (a+ b) sinϕ− b sin a+ b
b
ϕ
2.3.3. Hipocicloides e hipotrocoides
Estas pueden ser generadas por un punto enlazado a un círculo de radio
b que rueda sin resbalar en el interior de un círculo de radio a. Como antes,
24 CAPÍTULO 2. FAMILIAS DE CURVAS
Figura 2.16: Hipocicloide - Hipotrocoide
si el punto está en la circunferencia del círculo que rueda, la curva es una
hipocicloide. Si no, la curva es una hipotrocoide.
Sea el punto generador el punto de intersección de los dos círculos y sea
el eje x la recta que pasa por el punto generador y el centro de los dos
círculos. Considérese otra posición del círculo que rueda, ver figura 2.16. Sea
F = (x, y) el punto generador; OH = a, GH = b, HOC = ϕ, HGD = ψ,
GF = d; como DH = HC, aϕ = bψ; FGE = π
2
− (ψ − ϕ) = α.
Procediendo como antes, las coordenadas de F son
x = OA+ EF = (a− b) cosϕ+ d cos(ψ − ϕ)
y = GA−GE = (a− b) sinϕ− d sin(ψ − ϕ)
si a− b = mb, entonces
x = mb cosϕ+ d cosmϕ
y = mb sinϕ− d sinmϕ
Haciendo d = b, mb = a−b ym = a−b
b
se obtienen las ecuaciones paramétricas
de la hipocicloide
x = (a− b) cosϕ+ b cos a− b
b
ϕ (2.18)
y = (a− b) sinϕ− b sin a− b
b
ϕ
Si en estas ecuaciones se reemplaza b por −b, se obtienen las ecuaciones
paramétricas de la epicicloide y viceversa.
2.3. RODAMIENTOS Y RESBALAMIENTOS 25
Cuando a
b
es racional, después de un cierto número de revoluciones, el
punto generador regresa a una posición anterior, la curva es cerrada, y al-
gebraica; pero si a
b
no es racional, el punto generador nunca regresará a la
misma posición y la curva será trascendente.
Todas las curvas antes mencionadas fueron trazadas por un punto rígida-
mente sujeto a un círculo que rueda sin resbalar sobre una recta, sobre un
círculo, o en el interior de un círculo. Es una extensión natural pensar en
qué curva trazará un punto fijo sujeto a un círculo, si el círculo rueda sobre
alguna otra curva. Se observa que esta forma de generar curvas producirá
una infinidad de ellas.
2.3.4. Escaleras que resbalan [13]
Una escalera situada sobre el suelo liso y apoyada con un extremo en la
pared se desliza hacia abajo. ¿Por qué curva se mueve el peldaño en el centro
de la escalera (figura 2.17)?
Figura 2.17: Escalera que resbala
Nuestro problema es hallar el conjunto de centros de un segmento de
longitud dada, cuyos extremos resbalan sobre una pared vertical y el piso.
Tracemos el punto medio del segmento en varias de las posiciones de su res-
balamiento (ver figura 2.18 A) para darnos una idea de la curva en cuestión.
Para determinar de que curva se trata establezcamos un sistema de coor-
denadas, tomando a los ejes x y y como el suelo y la pared respectivamente.
Sea d la longitud de la escalera y ϕ el ángulo de inclinación de ésta con res-
pecto al suelo (figura 2.18 B). El peldaño en el centro de la escalera está en
el punto medio del segmento de longitud d, así y = d
2
sinϕ, y x = d
2
cosϕ
para 0 ≤ ϕ ≤ π
2
.
26 CAPÍTULO 2. FAMILIAS DE CURVAS
Figura 2.18: Varias posiciones de la escalera en las que está señalado el punto
medio de ésta
Figura 2.19: Varias posiciones de la escalera en la que está marcado un punto
fijo que no está en el centro de la escalera
x2 + y2 =
(
d
2
)2
El conjunto de puntos que satisfacen esta ecuación es una circunferencia.
Formulemos la pregunta anterior más ampliamente. ¿Por qué curva se
moverá un peldaño de la escalera que no esté en el centro de la escalera?
En la figura 2.19 A están dibujados algunos puntos de la curva que des-
cribe el peldaño (que no está en el centro) de la escalera al resbalar ésta.
Consideremos ahora que la longitud de la escalera está dividida en dos partes
a y b, es decir, d = a+ b (ver figura 2.19 B). Como antes, determinamos las
coordenadas de (x, y), y = b sinϕ y x = a cosϕ para 0 ≤ ϕ ≤ π
2
.
x2
a2
+
y2
b2
= 1
En este caso el conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen esta
2.3. RODAMIENTOS Y RESBALAMIENTOS 27
ecuación es una elipse.
10
1
0
Figura 2.20: Barra de longitud uno que resbala en una pared vertical
La astroide como envoltura de una escalera que resbala
Consideremos una escalera de longitud uno que resbala a lo largo de una
pared vertical. Sean (0, a) y (
√
1− a2, 0) los extremos de la escalera, a ∈ [0, 1].
La distancia entre estos dos puntos es uno. Si conectamos estos puntos con
una línea recta
y = a− ax√
1− a2
(2.19)
obtenemos una infinidad de rectas las cuales crean una interesante curva, ver
figura 2.20. El problema es calcular esta curva. La envoltura a la familia de
curvas dada por la ecuación 2.19 al variar el parámetro a, nos da la ecuación
de la curva en cuestión. Empleando una vez más el sistema (2.11) de la
sección 2.1.1 tenemos
f(x, y, a) = a− ax√
1− a2
− y = 0
f ′a(x, y, a) = 1 +
−x
√
1− a2 − a2x(1− a2)− 12
1− a2 = 0
despejando a de la segunda ecuación del sistema tenemos
a =
√
1− x 23
substituyendo el valor de a en la primera ecuación del sistema llegamos a
x
2
3 + y
2
3 = 1
que es la ecuación de la curva generada por la escalera de longitud uno que
resbala a lo largo de una pared vertical, la cual resulta ser una astroide (figura
2.21).
28 CAPÍTULO 2. FAMILIAS DE CURVAS
10-1
1
0
-1
x
y
x
y
Figura 2.21: Astroide
La astroide como envoltura de una familia de elipses
Encuentre la envoltura a la familia de elipses
x2
c2
+
y2
(a− c)2 = 1
con parámetro c, la suma de cuyos ejes es la constante a > 0, c ∈ (0, a), ver
figura 2.22.
Figura 2.22: Familia de elipses
y = (a− c)
√
1− x
2
c2
Para obtener la ecuación de la envoltura empleemos el sistema (2.11) de
la sección 2.1.1
f(x, y, c) = (a− c)
√
1− x
2
c2
− y = 0
f ′c(x, y, c) =
(a− c)x2
c3
√
1− x2
c2
−
√
1− x
2
c2
= 0
2.4. PROPIEDADES GENERALES 29
despejando c de la segunda ecuación obtenemos
c = (ax2)
1
3
substituyendo en la primera ecuación llegamos a
x
2
3 + y
2
3 = a
2
3
que es la ecuación de la astroide.
2.4. Propiedades Generales
En esta sección veremos cómo a partir de una curva dada se puede obtener
su evoluta, involuta con respecto a un punto, inversa con respecto a un círculo
y pedal con respecto a un punto.
2.4.1. Evolutas
El concepto de evoluta se originó con Huygens (1673). Sin embargo, se
remonta a Apolonio de Perga (262-190 antes de J. C. aproximadamente) en
el año 200 antes de J. C. donde aparece en el libro V de sus Secciones Cónicas
([14] p. 86, [3]).
Figura 2.23: Evoluta
La evoluta de una curva es el lugar geométrico de sus centros de curvatura.
Ver figura 2.23. Si (α, β) es este centro
α = x− R. sinφ
β = y +R cos φ
30 CAPÍTULO 2. FAMILIAS DE CURVAS
donde R es el radio de curvatura, φ el ángulo tangencial y (x, y) es un punto
de la curva dada. Las cantidades x, y, R y φ pueden ser expresadas en
términos de una sola variable la cual actúa como parámetro en la ecuación
de la evoluta.
Asimismo, la evoluta es la envoltura de las normales de una curva dada.
A continuación se presenta un par de definiciones que se requieren para
calcular la evoluta de una curva dada ([14] p.86, [8] pp. 483, 500,501 y 503,
[5] p. 103).
Definición. Sea f : I ⊆ R → R2, f(t) = (x(t), y(t)) un camino regular4
dos veces diferenciable. Se define la curvatura (con signo) de f en t como
k(t) =
x’(t)y”(t)− x”(t)y’(t)
((x’(t))2 + (y’(t))2)
3
2
Definición. Sea f : I ⊆ R → R2, f(t) = (x(t), y(t)) un camino regular
dos veces diferenciable. Para los puntos p(t) ∈ R2 de la curva que describe f
en los cuales la curvatura k(t) es no nula, se define el radio de curvatura de
f en p denotado por r(t), como r(t) = 1|k(t)| . Se llama círculo osculador de la
curva en p al círculo que pasa por p, tiene radio igual a r(t) y cuyo centro se
encuentra en (
x(t)− y’(t)
k(t) ‖f ’(t)‖ , y(t) +
x’(t)
k(t) ‖f ’(t)‖
)
(2.20)
Ejemplo. Determine la evoluta de f : R→ R2, f(t) = (t, t2). De acuerdo
con la definición antes dada la curvatura de esta función es
k(t) =
2
(1 + 4t2)
3
2
por otro lado f ’(t) = (x’(t), y’(t)) = (1, 2t). Así que ‖f ’(t)‖ =
√
1 + 4t2.
Como la evoluta de una curva es el lugar geométrico de loscentros de cur-
vatura, substituyendo en la ecuación 2.20 el valor de las funciones se llega a
la ecuación de la evoluta.
(
t− 2t
2
(1+4t2)3/2
√
1 + 4t2
, t2 +
1
2
(1+4t2)3/2
√
1 + 4t2
)
=
(
−4t3, 1
2
+ 3t2
)
En la figura 2.24 están la función f y con línea gruesa su evoluta, es decir,
la gráfica de la función
(
−4t3, 1
2
+ 3t2
)
.
4Un camino es regular si la primera derivada de las funciones coordenadas de f son
continuas y f ’(t) 
= 0 (vector 0 de R2) para toda t ∈ I.
2.4. PROPIEDADES GENERALES 31
Figura 2.24: Parábola y su evoluta
Figura 2.25: La catenaria y su involuta
2.4.2. Involutas
La involuta de un círculo fue discutida y utilizada por Huygens en 1673
en relación con sus estudios de un reloj sin péndulo para el servicio de barcos
en el mar.
Para obtener la involuta de una curva con respecto a un punto en ésta,
considérese la tangente a la curva en ese punto. Sea ese punto un punto fijo
sobre la recta tangente. La involuta es la trayectoria del punto fijo sobre la
recta tangente, cuando la recta gira sobre la curva.
Siempre ocurre que si E es la evoluta de la curva C, entonces C es una
involuta de E ([14] p. 135, [3], [7] pp. 166-171).
Ejemplo. La involuta de la catenaria cuya ecuación cartesiana es
y = cosh x
con respecto al punto (0,1) es la tractriz cuya ecuación cartesiana es
x = ln
(
1 +
√
1− y2
y
)
−
√
1− y2
ver figura 2.25, en ella están la catenaria y su involuta con línea gruesa.
32 CAPÍTULO 2. FAMILIAS DE CURVAS
Para dibujar una involuta
La involuta de una curva dada puede dibujarse aproximadamente como
sigue. Dibujar un número de tangentes a la curva dada. Con centro en la
intersección de dos tangentes consecutivas dibujar un arco que pase a través
del punto de contacto de una de ellas (ver figura 2.26), continuar así.
El error en este método se debe al hecho de que la longitud de arco de la
curva original es remplazada por la suma de los segmentos de las tangentes,
la cual es mayor a la verdadera longitud de arco, pero el error puede ser tan
pequeño como se desee tomando las tangentes suficientemente juntas.
Figura 2.26: Involuta Aproximada
2.4.3. Inversa con respecto a un círculo
La inversión geométrica parece deberse a Jakob Steiner (1796-1863), quien
mostró conocimiento del tema en 1824. En 1825 Lambert Adolphe Jacques
Quetelet dio algunos ejemplos. En apariencia fue descubierta de manera inde-
pendiente por Giusto Bellavitis (1803-1880) en 1836, y por William Thomson
(Lord Kelvin) en 1845, quien la empleó con notable éxito en sus investiga-
ciones eléctricas.
Considere un círculo con centro 0 y radio k. Dos puntos A y B colineales
con 0 (figura 2.27), son mutuamente inversos con respecto a este círculo si
(0A)(0B) = k2
En coordenadas polares con 0 como polo, esta relación es
r.ρ = k2
2.4. PROPIEDADES GENERALES 33
Figura 2.27: Inversa con respecto a un círculo
Dos curvas son mutuamente inversas si cada punto de una tiene un inverso
que pertenece a la otra ([14] p. 127, [7] p. 177).
Ejemplo. Pruebe que la parábola y2 = bx es la inversa de la cisoide
y2 = x
3
2a−x con respecto al círculo de radio
√
2ab con centro en el origen
(figura 2.27). Haciendo
x = r cos θ
y = r sin θ
se obtienen las ecuaciones polares de la parábola r = b cos θ
sin2 θ
y la cisoide ρ =
2a tan θ sin θ. Al realizar el producto de r por ρ, llegamos a que
rρ = 2ab
por lo que la parábola y la cisoide dadas son mutuamente inversas con res-
pecto al círculo de radio
√
2ab con centro en el origen.
2.4.4. Curvas pedal
La idea de las curvas pedal positiva y negativa se le ocurrió a Colin
Maclaurin (1698-1746) en 1718. El nombre de “pedal” se debe a Terquem.
La teoría de las curvas cáusticas incluye a las pedal (Quetelet, 1822) ([14]
pp. 160-165, [7] pp.152-159).
El lugar geométrico G de los pies de las perpendiculares de un punto fijo
P (el punto pedal) sobre la tangente a una curva dada C es la pedal positiva
de C con respecto al punto fijo P (figura 2.28). La curva dada C es la pedal
negativa de G. O bien: Dada una curva y un punto fijo 0, dibuje la tangente a
un punto P cualquiera en la curva, marque un punto Q en la tangente tal que
34 CAPÍTULO 2. FAMILIAS DE CURVAS
Figura 2.28: Pedal positiva
las rectas PQ y 0Q sean perpendiculares, repita las dos últimas instrucciones
para cada punto P en la curva. El lugar geométrico de Q es la pedal positiva
(o pedal) de la curva dada con respecto al punto 0. Pedal negativa. Dada
una curva y un punto fijo 0, dibuje una recta de 0 a cualquier punto P en
la curva, dibuje una perpendicular a la recta 0P que pase por P , repita las
dos últimas instrucciones para cada punto P en la curva. La envoltura de las
rectas es la pedal negativa de la curva dada con respecto al punto 0.
Ejemplo. La pedal de una parábola con respecto a su foco es una recta.
A la inversa, la pedal negativa de una recta con respecto a un punto fuera
de ella es una parábola, ver figura 2.29.
Figura 2.29: A la izquierda la pedal positiva de la parábola con respecto a
su foco. A la derecha la pedal negativa de una recta con respecto a un punto
fuera de ella.
Capítulo 3
Galería de curvas
3.1. Astroide
Figura 3.1: La astroide
Buscando la mejor forma para los dientes de los engranes Olaf Roemer
(1644-1710), astrónomo danés, descubrió en 1674 las curvas cicloidales ([9]
p. 284), una de las cuales es la astroide. La generación doble fue observada
primero por Daniel Bernoulli (1700-1782) en 1725 ([14] pp. 1-3, [7] pp. 52-61,
[6] pp. 173-174, [4] p. 655, [3]).
“Astroide” es una palabra para nombrar un “asteroide” (del griego aster,
astro, y eidos, forma), objeto celestial en una órbita alrededor del sol, de
tamaño intermedio entre un meteorito y un planeta.
La astroide adquirió éste nombre, en un libro publicado en Viena, en [7]
(p.61) se dice que el libro se publicó en 1938, sin embargo según la pági-
na de internet http://www.daviddarling.info/encyclopedia/A/astroid.html el
libro se publicó en 1836 por Karl Ludwing von Littrow. Aún después de la
35
36 CAPÍTULO 3. GALERÍA DE CURVAS
publicación de dicho libro fue conocida por otros nombres como cubocicloide,
paracicloide, curva de cuatro vértices, etc. Johann Bernoulli y Jean Le Rond
d’Alembert (1717-1783) trabajaron con esta curva en 1691 y 1748 respectiva-
mente. La ecuación cartesiana de la astroide se encontró en correspondencia
de Leibniz de 1715.
Ecuaciones
La ecuación cartesiana de la astroide es:
x
2
3 + y
2
3 = a
2
3
Las ecuaciones paramétricas de la astroide son: 1
x = a cos3 t = (a
4
)(3 cos t+ cos 3t)
y = a sin3 t = (a
4
)(3 sin t− sin 3t)
La astroide es una hipocicloide de cuatro vértices. Curva que describe un
punto fijo en un círculo de radio a
4
rodando en el interior de un círculo fijo
de radio a (figura 3.2 A).
Figura 3.2: (A) Astroide; (B) Generación doble de la astroide
O bien, lugar geométrico de un punto en un círculo de radio 3a
4
rodando
en el interior de un círculo de radio a, esta descripción recibe el nombre de
generación doble (figura 3.2 B).
1Se dedujeron en la sección 2.3.3, b = a
4
en las ecuaciones (2.18).
3.1. ASTROIDE 37
La envoltura de una barra de longitud a que resbala a lo largo de una
pared vertical, genera también a la astroide (ver figura 3.6), como se demostró
en la sección 2.3.4.
Un aparato mecánico compuesto de una barra fija con extremos resba-
lando en dos vías perpendiculares es llamado trasmallo de Arquímedes (ver
figura 3.3, adoptada de la red de internet), así la astroide es la envoltura de
un trasmallo de Arquímedes.
Figura 3.3: Trasmallo de Arquímedes
Asimismo, la astroide es la envoltura de la familia de elipses
x2
c2
+
y2
(a− c)2 = 1
con parámetro c, la suma de cuyos semiejes es constante e igual a a, 0 < c < a
(figura 3.4), como se vio al final de la sección 2.3.4.
Figura 3.4: La astroide como envolvente de elipses
Propiedades de la astroide:
Longitud: 6a
38 CAPÍTULO 3. GALERÍA DE CURVAS
Área: 3πa
2
8
Superficie de revolución respecto al eje x: 12
5
πa2
Volumen de revolución respecto aleje x: 32
105
πa3
Su evoluta es otra astroide, ver figura 3.5
Figura 3.5: Evoluta de la astroide
Definamos los ejes de la astroide por dos rectas perpendiculares que
pasan por sus vértices. Propiedad: La longitud de la tangente cortada
por los ejes es la constante a (figura 3.6).
Figura 3.6: La longitud de la tangente cortada por los ejes es constante
Existen máquinas cuyo estator2 tiene forma de astroide.
El logo del equipo de fútbol americano profesional Pittsburg Steelers con-
sta de tres astroides el de arriba es amarillo, el de en medio rojo y el de abajo
azul, ver figura 3.7 que se adoptó de un documento publicado en la Wikipedia
de la red de internet.
2Parte fija de una máquina rotatoria por oposición a la parte móvil o rotor.
3.2. BRUJA DE AGNESI 39
Figura 3.7: Logo de los Pittsburgh Steelers
3.2. Bruja de Agnesi
Esta curva fue estudiada por Pierre de Fermat (1601-1665) en 1666 y
Luigi Guido Grandi (1671-1742) en 1703. En 1748 fue estudiada y nombrada
correctamente versiera por María Gaetana Agnesi (1718-1799) en su libro
Instituzioni Analitiche ad uso della gioventù italiana ([3], [14] pp. 237-238, [6]
pp. 90-93). Respecto a este libro, un informe de la Academia de las Ciencias
de Paris declara:
Se requiere de mucha destreza y sagacidad para reducir, co-
mo el autor lo hizo, a métodos casi uniformes estos hallazgos
dispersos en medio de los trabajos de matemáticos modernos y
frecuentemente presentados por métodos muy diferentes unos de
otros. Orden, claridad y precisión reinan en todo este trabajo. ...
Estimamos que este es el tratado más completo y mejor hecho.
María Agnesi dominó lenguajes como el latín, griego y hebreo a muy
temprana edad. A raíz de la publicación de su libro fue designada profesora
de matemáticas de Bolonia por el Papa Benedicto XIV (1750), es probable
que ella no haya rechazado ni aceptado el cargo, sin embargo, su nombre
quedó en los documentos de la universidad por cuarenta y cinco años, a pesar
de que nunca fue a Bolonia. El nombre de la curva tiene una pintoresca
historia. “Versiera” es el nombre dado por Grandi, el cual significa “libre
para moverse”, viene de la palabra italiana “la versiera”. Al traducir el libro
de Agnesi el inglés John Colson tradujo incorrectamente “la versiera” por
“l’aversiera” palabra que significa bruja. Hoy en día la curva es conocida
como versiera, bruja de Agnesi, cúbica de Agnesi y agnésienne.
40 CAPÍTULO 3. GALERÍA DE CURVAS
Dado un círculo fijo con centro en (0, a
2
) y radio a
2
y dos rectas paralelas
y = 0 y y = a, las rectas son tangentes al círculo en 0 y K respectivamente.
Una secante 0A a través del punto fijo 0 corta al círculo en Q. Construya QP
perpendicular al diámetro 0K y AP paralelo a él. El punto P es un punto
de la Bruja de Agnesi (ver figura 3.8).
Figura 3.8: Bruja de Agnesi
La bruja es también el hiperbolismo3 de un círculo, un punto fijo en éste
y una recta tangente al círculo en el lado opuesto al punto fijo.
Con a = 1
π
la curva se parece a la función de densidad Cauchy de proba-
bilidad.
Esta curva se parece a las curvas de resonancia. Por ejemplo las que sirven
para caracterizar (por medio de dos parámetros: la frecuencia de resonancia
y el factor de calidad de la cavidad) a un semiconductor que se encuentra
dentro de la cavidad de un microondas.
En la figura 3.8 se observa que la coordenada x del punto P es igual a la
del punto A, y que la coordenada y del punto P coincide con la del punto
Q. Por otra parte Q = (a
2
cos θ, a
2
+ a
2
sin θ). La ecuación de la recta que pasa
por 0 y Q es:
y = x
1 + sin θ
cos θ
esta recta corta a la recta y = a en el punto A cuya coordenada x es:
x =
a cos θ
1 + sin θ
3Dada una curva C1, un punto 0 y una recta L1, el hiperbolismo de C1 es la curva C2
formada por los puntos P tales que: si Q es un punto de C1, entonces la recta L2 a través
de 0Q intersecta a L1 en A; si L3 es una recta paralela a L1 a través de Q; entonces P es
la proyección de A en L3.
3.2. BRUJA DE AGNESI 41
así las coordenadas de cualquier punto P de la bruja de Agnesi son P =
( a cos θ
1+sin θ
, a
2
(1 + sin θ)). Haciendo θ = π
2
− 2t tanto en x como en y llegamos a
las ecuaciones paramétricas de la bruja de Agnesi:
x =
a cos θ
1 + sin θ
=
a cos(π
2
− 2t)
1 + sin(π
2
− 2t) =
a sin 2t
1 + cos 2t
=
2a sin t cos t
1 + cos2 t− sin2 t = a tan t
y =
a
2
(1+sin θ) =
a
2
(1+sin(
π
2
−2t)) = a
2
(1+cos 2t) =
a
2
(1+cos2 t−sin2 t) = a cos2 t
Ecuaciones
La ecuación cartesiana de la bruja de Agnesi es:
y(x2 + a2) = a3
Las ecuaciones paramétricas de la bruja de Agnesi son:
x = a tan t, y = a cos2 t
Propiedades de la bruja de Agnesi:
La recta y = 0 es una asíntota de la curva4.
El área entre la bruja y su asíntota es cuatro veces el área del círculo
fijo dado (πa2).
Tiene puntos de inflexión en x = ±a/
√
3.
Una curva llamada la Seudobruja se produce duplicando las ordenadas de
la bruja. Esta curva fue estudiada por James Gregory (1638-1675) en 1658 y
usada por Leibniz en 1674 para derivar la expresión:
π
4
= 1− 1
3
+ 1
5
− 1
7
+ ...
4Una recta y = L es llamada asíntota horizontal para la gráfica de f si
ĺım
x→+∞
f(x) = L o ĺım
x→−∞
f(x) = L
([1] p. 258).
42 CAPÍTULO 3. GALERÍA DE CURVAS
3.3. Cardioide
La cardioide es un caso especial del caracol de Pascal estudiado por Eti-
enne Pascal (1588-1640), padre de Blaise Pascal (1623-1662). También es un
caso especial de las curvas cicloidales estudiadas por Roemer (1674) en una
investigación de la mejor forma de los engranes([3], [7] pp. 34-43, [14] pp. 4-7,
[6] pp. 118-120).
El nombre de cardioide (del griego cardi, corazón, y eidos, forma) fue usa-
do primero por Johann Castillon (1704-1791) en The Philosophical Transac-
tions of the Royal Society de 1741. Su longitud fue encontrada por Philippe
de La Hire (1640-1718) en 1708.
La cardioide es la curva que dibuja un punto fijo P en un círculo que
rueda sobre el exterior de un círculo fijo de igual tamaño (figura 3.9 A).
Figura 3.9: (A) Cardioide; (B) Generación doble de la cardioide
O bien, es el lugar geométrico de un punto fijo P en un círculo de radio 2a
que rueda en el interior de un círculo fijo de radio a, esta descripción recibe
el nombre de generación doble (figura 3.9 B).
La cardioide también puede obtenerse como:
La inversa de la parábola, con foco en el origen, con respecto a su foco5.
La pedal de un círculo con respecto a un punto en su circunferencia.
La cáustica de un círculo con un punto radiante en su circunferencia.
5Considere el círculo con centro 0 y radio k. Dos puntos A y A’, colineales con 0,
son mutuamente inversos con respecto a este círculo si (0A)(0A’) = k2. En coordenadas
polares con 0 como polo (origen), esta relación es r · ρ = k2 ([14] pp. 127-134, [7] pp.
177-181).
3.3. CARDIOIDE 43
Figura 3.10: Generación de cremona de la cardioide
Figura 3.11: La cardioide como envolvente de círculos
Además la curva puede ser vista como una espiral sinusoidal (con p = 1
2
)
o, como se dijo al inicio, como un caso especial del caracol de Pascal.
La cardioide es también la envoltura de cuerdas de un círculo. Sean 36
puntos igualmente espaciados en un círculo, etiquetados del 0 al 35. Conecte
los puntos 1 y 2, 2 y 4, 4 y 8, ...; 3 y 6, 6 y 12, ...; etcétera. Esta construcción
se llama generación de Cremona (figura 3.10).
Asimismo, la cardioide es la envoltura de los círculos que se describen a
continuación. Se dibuja un círculo base y se marca en el un punto fijo A. Con
centro en cualquier punto Q en el círculo base y radio QA, se dibuja otro
círculo. Se repite lo anterior para puntos Q uniformemente espaciados en el
círculo base. El punto A es el vértice de esta cardioide (figura 3.11).
44 CAPÍTULO 3. GALERÍA DE CURVAS
Ecuaciones
La ecuación cartesiana de la cardioide es:
(x2 + y2 ± 2ax)2 = 4a2(x2 + y2)
Las ecuaciones polares de la cardioide son:
r = 2a(1± cos θ), r = 2a(1± sin θ)
Las ecuaciones paramétricas de la cardioide son: 6
x = 2a cos t− a cos 2t
y = 2a sin t− a sin 2t
Propiedades de la cardioide:Longitud: 16a
Área: 6πa2
Superficie de revolución respecto al eje x: 128
5
πa2
Volumen de revolución respecto al eje x: 64
3
πa3
Su evoluta es otra cardioide (la más pequeña), ver figura 3.12.
La cáustica de una cardioide con un punto radiante en el vértice es una
nefroide.
Figura 3.12: Evoluta de la cardioide
La cardioide puede ser usada como leva7. Si la cardioide es montada sobre
un eje en el vértice y rotada con velocidad angular constante, una clavija,
3.3. CARDIOIDE 45
Figura 3.13: Leva en forma de cardioide
sujeta a un poste fijo y sostenida en la cardioide, se moverá con unmovimiento
armónico simple, ver figura 3.13 ([14] p. 6).
Existen cardioides de billar. Las órbitas periódicas de la caótica cardioide
de billar son estudiadas para introducir una dinámica binaria simbólica.
Figura 3.14: Conjunto de Mendelbrot
La cardioide es la figura central grande del conjunto de Mandelbrot, ver
la figura 3.14, la cual se adoptó también de la red de internet. El conjunto
de Mandelbrot es un fractal que esta definido como el conjunto de puntos c
en el plano complejo tales que:
zo = 0 y zn+1 = z2n + c converge.
6Estas se dedujeron en la sección 2.3.2, con b = a en las ecuaciones (2.17).
7Rueda provista de un resalte o de una muesca, destinada a transmitir o a accionar el
movimiento de una máquina.
46 CAPÍTULO 3. GALERÍA DE CURVAS
3.4. Catenaria
Figura 3.15: Catenaria
La catenaria (del latín catena que significa cadena), también conocida
como Cadeneta o curva Funicular, describe la forma asumida por una cadena
perfectamente flexible e inextensible de densidad uniforme colgando de dos
soportes y accionada por la gravedad. Fue investigada primero por Galileo
Galilei (1564-1642), quien afirmó que la curva era una parábola. Su error
fue detectado experimentalmente en 1669 por Joachim Jungius (1587-1657),
geómetra alemán ([9] pp. 287-289, [4] p. 654, [3], [14] pp. 12-14, [7] pp. 118-
124, [6] p. 195).
La verdadera ecuación de la curva fue obtenida hasta 1690-1691 por Leib-
niz, Huygens y Johann Bernoulli, en respuesta a un desafío puesto por Jakob
Bernoulli para encontrar la ecuación de la “curva cadena”. David Gregory,
profesor de Oxford, escribió un extenso tratado sobre la catenaria en 1697.
Huygens fue el primero en usar el término catenaria en una carta a Leibniz
en 1690.
Cuando la vela de un buque esta sujeta a dos barras horizontales y el
viento sopla en dirección perpendicular a las barras, la vela forma una cate-
naria.
Como antes se dijo, la catenaria es la forma asumida por una cadena
inextensible de densidad uniforme que está en reposo.
Asimismo, la catenaria puede obtenerse como la evoluta de la tractriz.
3.4. CATENARIA 47
Figura 3.16: Arco situado en el corazón de la ciudad de St. Louis Missouri,
Estados Unidos. En la fotografía de la izquierda, aparece además el Antiguo
Palacio de Justicia.
En St. Louis, Missouri, Estados Unido existe un arco con la forma de
una catenaria invertida que mide 192 metros, tanto de alto como de ancho.
El interior del arco es hueco, contiene un sistema de transporte, escaleras
de emergencia y un área de observación en la cima. Fue diseñado por el
arquitecto finlandés-americano Eero Saarinen, en 1947. La construcción del
arco empezó en febrero de 1963 y terminó en octubre de 1965. La forma
del arco no es exactamente el de una catenaria invertida, Saarinen prefirió
una forma que fuera ligeramente alargada y más delgada en la cima, para
transferir más peso de la estructura abajo en lugar de en el exterior en la base.
Ver la figura 3.16 que se adoptó de un documento publicado en la Wikipedia
de la red de internet.
La longitud de arco s medida desde el punto más bajo (el cual situamos
en (0, a)) a cualquier punto en la catenaria, es proporcional a la tangente del
ángulo que forman la tangente horizontal (ya que la tangente en el punto
más bajo es horizontal) con la tangente en el extremo superior. En cualquier
punto de la catenaria
s = a
dy
dx
(3.1)
48 CAPÍTULO 3. GALERÍA DE CURVAS
La longitud de arco tiene como base un triángulo rectángulo, en el cual dx y
dy son los lados, así ds2 = dx2+ dy2, por lo que para la ecuación de la curva
debemos tener
s2 + a2 = a2
ds2
dx2
dx2
a2
=
ds2
s2 + a2
dx
a
=
ds√
s2 + a2
(3.2)
Resolviendo esta ecuación tenemos
x
a
= ln
(
s+
√
s2 + a2
)
+ k
Sea k = ln 1
a
, así
x
a
= ln
(
s+
√
s2 + a2
)
+ ln
(
1
a
)
(3.3)
e
x
a =
(
s +
√
s2 + a2
)(1
a
)
(3.4)
Por otro lado, multiplicando por −1 cada lado de la ecuación 3.3 obtenemos
−x
a
= − ln
(
s+
√
s2 + a2
)
− ln
(
1
a
)
−x
a
= ln
(
s+
√
s2 + a2
)−1
+ ln
(
1
a
)−1
−x
a
= ln
(
1
s +
√
s2 + a2
)
+ ln (a)
e−
x
a =
a
s+
√
s2 + a2
s−
√
s2 + a2
s−
√
s2 + a2
e−
x
a =
−s+
√
s2 + a2
a
(3.5)
Sumando las ecuaciones 3.4 y 3.5 resulta que
e
x
a + e−
x
a =
2
√
s2 + a2
a
(3.6)
3.4. CATENARIA 49
Ahora, despejando dy de la ecuación 3.1 tenemos
dy =
sdx
a
Substituyendo en esta ecuación el lado derecho de la ecuación 3.2 obtenemos
dy =
sds√
s2 + a2
resolviendo esta ecuación llegamos a que
y =
√
s2 + a2
substituyendo el valor de
√
s2 + a2 en la ecuación 3.6 obtenemos la ecuación
cartesiana de la catenaria
e
x
a + e−
x
a =
2y
a
y =
(a
2
) (
e
x
a + e−
x
a
)
La ecuación cartesiana de la catenaria es:
y = a cosh
(
x
a
)
=
(
a
2
) (
e
x
a + e−
x
a
)
Propiedades de la catenaria:
Leonhard Euler (1707- 1783) mostró en 1744 que una catenaria rotada
alrededor de su asíntota genera un catenoide, la única superficie de
revolución mínima.
Su evoluta es la tractriz.
50 CAPÍTULO 3. GALERÍA DE CURVAS
3.5. Cicloide
Figura 3.17: Cicloide
Nicholas de Cusa (1401-1464) fue el primero en estudiar la cicloide, cuan-
do estaba intentando encontrar el área de un círculo por integración ([3], [14]
pp. 65-70, [9] pp. 275-278, [7] pp. 80-89, [6] pp. 192, 195).
Marin Mersenne (1588-1648) dio la primera definición formal de la cicloide
en 1599 y estableció propiedades obvias tales como que la longitud de la base
es igual a la circunferencia del círculo que rueda. Intentó encontrar el área
bajo la curva por integración pero fracasó.
En 1599 Galileo Galilei dio nombre a esta curva. Trató de encontrar el
área por comparación de esta área con la del círculo generador. Después de
fallar, recurrió a introducir cortes de pedazos de pesos de metal dentro de
la forma de la cicloide. Encontró que la razón de las pesos era aproximada-
mente tres a uno, pero decidió que no era exactamente tres, de hecho creyó
(equivocadamente) que la razón no era racional.
Mersenne propuso el problema del área al francés Gilles Personne de
Roberval (1602-1675) en 1628. Éste fue resuelto por Roberval en 1634. Si
a = h entonces el área bajo la curva de un arco es 3πa2. Roberval orgulloso
de su resultado, le escribió a René Descartes (1596-1650) dándoselo. Descartes
replicó que el resultado era “uno bueno del cual no me había dado cuenta
antes, que no causa dificultad a ningún geómetra moderadamente hábil.”
Descartes retó a Roberval a encontrar un método para dibujar una tan-
gente a la cicloide habiendo descubierto él mismo como construir una. Rober-
val fracasó, pero Fermat, quien estaba incluido en el reto, tuvo éxito.
Vale la pena notar que de manera independiente: Evangelista Torricelli
(1608-1647) descubrió el área de la cicloide; y Vincenzo Viviani (1622-1703)
encontró un método para construir una tangente.
En 1658 Blaise Pascal resolvió los problemas del área y el centro de
gravedad de cualquier segmento de la cicloide. También resolvió los pro-
3.5. CICLOIDE 51
blemas del volumen y el área de la superficie del sólido de revolución formado
por la rotación de la cicloide respecto al eje x.
Pascal (bajo el nombre de Dettonville) publicó un reto ofreciendo dos
premios por la solución de los dos primeros problemas antes mencionados.
El inglés John Wallis (1616-1703) y Antoine de Lalouvère (1600-1664) se en-
teraron. La solución de Lalouvère fue errónea. Wallis no tuvo éxito. René
de Sluze (1622-1685), Michelangelo Ricci (1619-1682),Huygens, Sir Chisto-
pher Wren (1632-1723) y Fermat comunicaron sus descubrimientos a Pascal
sin estar enterados de la competencia. La contribución de Wren fue la más
notable, encontró que la longitud de un arco es 8a.
El físico holandés Huygens descubrió en 1659 que la cicloide es tautócrona
(llamada también isócrona), lo que significa que dos partículas de la misma
masa que caen en un arco cicloidal invertido de diferentes alturas alcanzan
el punto más bajo en el mismo instante. El problema de la tautocronía es
la determinación del tipo de curva a lo largo de la cual debe moverse una
partícula sujeta a una fuerza específica para producir un movimiento armóni-
co. El período de este movimiento es 2π. En 1673 Huygens demostró que la
cicloide es tautócrona, y determinó su evoluta.
En 1692 Jakob Bernoulli y Johann Bernoulli mostraron que la cicloide es
la catacáustica (cáustica por reflexión) de un círculo cuando los rayos de luz
provienen de un punto en la circunferencia.
El problema de la braquistócronia (del griego brachistos, el menor, y
cronos, tiempo) es la determinación de un camino a lo largo del cual una
partícula se mueve de un punto en un plano a otro, sujeta a una fuerza es-
pecífica, en el menor tiempo posible. En junio de 1696 Johann Bernoulli retó
a su hermano Jakob Bernoulli (eran rivales) a resolver el problema. En di-
ciembre de 1696 Johann repitió su reto en el Acta eruditorum, pidiendo le
enviarán soluciones antes de la pascua de 1697. Él ya sabía que la cicloide era
braquistócrona y publicó su solución en 1697. Además de Johann y Jakob
Bernoulli también Leibniz, Newton y L’Hôpital resolvieron el problema. Éste
fue uno de los primeros problemas variacionales y su investigación fue el
punto de arranque para el desarrollo del cálculo de variaciones.
La cicloide puede obtenerse como la catacáustica de un círculo en la que
la fuente de luz proviene de un punto en la circunferencia.
Asimismo la cicloide es el lugar geométrico de un punto fijo P a distancia
h del centro de un círculo de radio a que rueda, sin resbalar, a lo largo de
una línea recta, si h = a (ver figura 3.17). Si h < a es una cicloide acortada
(ver figura 3.18), mientras que si h > a es una cicloide alargada (ver figura
52 CAPÍTULO 3. GALERÍA DE CURVAS
Figura 3.18: Cicliode acortada
Figura 3.19: Cicloide alargada
3.19).
Cabe señalar que mientras un tren se dirige de México a Querétaro, hay
momentos en que las ruedas retroceden. Las ruedas de los trenes no son sólo
discos, hay una saliente especial en cada una de ellas, ver figura 3.20. La
saliente evita que el tren se salga de la vía. La parte más baja de la rueda
es la que por momentos se mueve en dirección opuesta al rumbo del tren.
La curva por la que se mueve la parte más baja de la rueda es una cicloide
alargada.
Figura 3.20: Rueda de un tren
3.5. CICLOIDE 53
Ecuaciones paramétricas de la cicloide: 8
x = at− h sin t
y = a− h cos t
Propiedades de la cicloide:
La longitud de un arco es 8a, y fue calculada por Sir Christopher Wren
en 1658.
Si a = h, el área bajo un arco es 3πa2, como lo determinó Roberval en
1628.
Su evoluta es una cicloide en una posición diferente.
Su involuta también es una cicloide en otra posición.
Es tautócrona, esto es, dos partículas de la misma masa que caen en
un arco cicloidal invertido de diferentes alturas alcanzan el punto más
bajo en el mismo instante.
Es braquistócrona, es decir, es la curva del más rápido descenso. O bien,
el camino que une dos puntos fijos que debe seguir una partícula para
recorrerlo en un tiempo mínimo es el de una cicloide.
La catacáustica de un arco cicloidal cuando los rayos de luz son per-
pendiculares a su base está compuesta de dos arcos cicloidales más
pequeños.
Huygens diseño un reloj con un péndulo de longitud variable. El péndulo
se movía entre dos molduras, ambas tenían la forma de una cicloide. Huygens
uso el hecho de que la involuta de una cicloide es la cicloide misma. En su
experimento Huygens uso también la involuta de un círculo en el péndulo
del reloj para aproximar la trayectoria de la cicloide. Sin embargo, el uso del
principio de tautocronía en el diseño del reloj planteó demasiados problemas
mecánicos para hacerlo práctico.
Hay ruedas de engranes que tienen la forma de una cicloide.
8Se dedujeron en la sección 2.3.1.
54 CAPÍTULO 3. GALERÍA DE CURVAS
Con un propulsor Voith-Schneider, probado primero en 1927, un buque
puede maniobrar de manera precisa y moverse al lado. El propulsor gira
alrededor de un eje, vertical al movimiento, así el buque sigue la trayectoria
de una cicloide. La posición de la hoja determina la dirección del buque, está
basado en el mismo principio que el mecanismo de la aleta de un pez. El
propulsor es llamado cicloidal o propulsor trocoidal.
3.6. Círculo
El estudio del círculo se remonta más allá de la historia registrada. Los
primeros teoremas relacionados con círculos se atribuyeron a Tales de Mileto
(624- 547 antes de J. C. aproximadamente) alrededor del año 650 antes de
J. C. ([14] pp. 21-25, [6] pp. 65-66).
Uno de los problemas de los matemáticos griegos fue el de encontrar un
cuadrado con la misma área que un círculo dado. Anaxágoras (499-428 antes
de J. C.) en 450 a. de J. C. es el primer matemático registrado que estudió
este problema.
El libro III de los Elementos de Euclides (325-265 antes de J. C. aproxi-
madamente) del año 300 antes de J. C., trata de las propiedades del círculo.
El problema de encontrar el área de un círculo condujo a la integración.
El círculo es una sección cónica. Menaechmus (380-320 antes de J. C.
aproximadamente) es famoso por su descubrimiento de las secciones cónicas.
Él fue el primero en mostrar que las elipses, parábolas e hipérbolas se obtienen
cortando un cono con un plano no paralelo a la base. Menaechmus descubrió
las secciones cónicas mientras intentaba resolver el problema de la duplicación
del cubo.
Figura 3.21: Círculo
3.6. CÍRCULO 55
El círculo es la elipse cuyos ejes son de igual longitud. O bien la colección
de puntos en el plano que equidistan de un punto fijo llamado centro.
Como se dijo antes, el círculo es la sección cónica que se obtiene cortando
un cono con un plano paralelo a la base.
El círculo es la pedal de una hipérbola con respecto a uno (u otro) de sus
focos.
El círculo es una rosa de un pétalo. Las rosas son un tipo de hipotrocoides.
La rosa de un pétalo se obtiene haciendo c = 0 en la ecuación paramétrica
del hipotrocoide.
Si en la ecuación polar de la espiral sinusoidal p = 1, la espiral sinusoidal
en cuestión es un círculo.
Ecuaciones
La ecuación cartesiana del círculo es:
x2 + y2 = a2
Las ecuaciones paramétricas del círculo son:
x = a cos t, y = a sin t
Propiedades del círculo:
La cardioide es la catacáustica (cáustica por reflexión) de un círculo
con un punto radiante es su circunferencia.
La catacáustica de un círculo en el que se reflejan rayos paralelos es la
nefroide.
El caracol de Pascal es la catacáustica de un círculo en el que punto
radiante no está en su circunferencia.
La envoltura de círculos con centro en un círculo C, donde cada círculo
pasa a través de un punto fijo A en C, es la cardioide.
La forma de un círculo permanece intacta mientras damos una vuelta,
lo que la hace muy útil como tapa para frascos. Y también para relojes con
manecillas que dan vuelta. La cabeza de un tornillo también es un círculo.
El hombre obtuvo grandes ventajas con el uso de la rueda.
56 CAPÍTULO 3. GALERÍA DE CURVAS
3.7. Cisoide de Diocles
Ésta curva fue descubierta por el griego Diocles (240 − 180 antes de J.
C. aproximadamente) para resolver la duplicación del cubo o problema de
Delian: ¿cuánto debe incrementarse la arista de un cubo para duplicar el
volumen del cubo? Diocles también estudió el problema de Arquímedes de
cortar una esfera con un plano de manera que los volúmenes de los segmentos
estuviesen en una proporción dada. ([14] pp.26-30, [3], [7] pp.130-133, [4] p.
653.)
El nombre de cisoide (viene de una palabra griega que significa en