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Ejercicios resueltos 473
aw
0
senx dx C
�
2w
a
� cosx dx D 1C �� cosa � � sena:
Deberá verificarse que1C �� cosa � � senaD 1=2. Teniendo en cuenta que:
� cosaD sena ) tgaD � ) 1
cos2a
D 1C �2 ) cosaD 1p
1C �2
;
donde hemos tenido en cuenta que como0 < a < �=2, cosa > 0. Sustituyendo ahora
en la igualdad anterior y teniendo en cuenta que debe ser� > 0, obtenemos:
1C � � cosa � � senaD 1
2
, 1C 2�D 2 cosaC 2� senaD 2.1C �2/ cosa ,
1C 2�D 2.1C �2/ 1p
1C �2
D 2
p
1C �2 , .1C 2�/2 D 4.1C �2/ , �D 3
4
:
©
Ejercicio resuelto 207 Calcula el área encerrada por el bucle de la curvay2 D x.x � 1/2.
Solución.En problemas de cálculo de areas debemos hacer, siempre que no sea compli-
cado, una representación gráfica para visualizar la región del plano cuya área queremos
calcular, de esta forma se evitan posibles errores. La curvade ecuacióny2 D x.x � 1/2
es simétrica respecto al eje de abscisas, pues para cada valor de x tenemos dos valo-
res opuestos dey, que vienen dados pory D pxjx � 1j, y D �pxjx � 1j. Observa
que esta curva está definida parax > 0. Los puntos de corte de la curva con el ejeOX
son x D 0 y x D 1. El bucle del enunciado debe estar comprendido entre ellos dos.
Para0 6 x 6 1 la parte de arriba de la curva
esy Dpx.1� x/. Tenemos quey 0D 1 � 3x
2
p
x
.
Deducimos que es creciente para0 6 x 6 1=3
y decreciente para1=3 6 x 6 1. Además, la de-
rivada segunda es negativa, por lo que se trata
de una curva cóncava (la parte de arriba del bu-
cle). Con estos datos ya podemos representar la
curva.
O 1
Teniendo en cuenta la simetría, el área pedida viene dada por:
2
1w
0
p
x.1 � x/dx D 8
15
©
Ejercicio resuelto 208 Calcula el área de una elipse de semiejesa y b.
Solución.Por medio de un giro y de una traslación (que son movimientos del plano que
conservan el área), la ecuación de la elipse puede escribirse de la forma:
x2
a2
C y
2
b2
D 1 ” y D˙b
a
p
a2 � x2
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Dpto. de Análisis Matemático
Prof. Javier Pérez
Cálculo diferencial e integral
Curvas en el plano 474
El área pedida viene dada por la integral:
b
a
aw
�a
2
p
a2 � x2 dx D �ab:
Donde, para evaluar la integral hemos usado la tabla de primitivas inmediatas. Para el
caso en queaD bD r , es decir, la elipse es un círculo de radior , obtenemos la conocida
fórmula�r2 para el área de un círculo. ©
8.7.4. Curvas en el plano
Seguramente te imaginas una curva en el plano como una línea continua que puede dibujar-
se de un trazo, sin levantar el lápiz del papel. Esa idea es esencialmente correcta. Las circunfe-
rencias, las elipses, las cardioides son todas ellas curvas. Faltaría más. Ninguna de ellas puedes
representarla por una igualdad de la formay D f .x/. Las curvas que pueden representarse por
una ecuación cartesiana del tipoyDf .x/ son curvas muy particulares pues son gráficas de fun-
ciones. No olvides que cuando dices “sea la curva dada por la ecuaciónyDf .x/” te estás refi-
riendo a la curva cuya imagen es el conjunto de puntos del plano f.x;y/ W x2 Œa; b�;y D f .x/g
es decir, a la gráfica def .
Si lo piensas un momento, verás que muy pocas curvas son gráficas. Para que una curva
sea una gráfica es necesario que cualquier recta vertical la corte a lo más en un solo punto;
ninguna curva cerrada cumple esta condición. Precisamenteentre las curvas cerradas se en-
cuentran algunas de las curvas más interesantes, a ellas pertenecen los distintos tipos de óvalos
y lemniscatas, las astroides, las cardioides y muchas más.
Vamos a ver ahora una forma de representar curvas planas mucho más general que las
ecuaciones cartesianas del tipoy D f .x/ que sólo sirven para representar curvas que también
son gráficas. Para empezar, consideremos una curva que vienedada por una ecuación cartesiana
de la formay D f .x/ dondex 2 Œa; b�. Nuestra curva es, por tanto, la imagen de la aplicación

 W Œa; b� ! R2 definida por
 .x/D .x; f .x// para todox 2 Œa; b�. Intuitivamente, cuandox
recorre el intervaloŒa; b�, el punto.x; f .x// recorre la curva. Es fácil generalizar esta situación
sin perder la idea intuitiva de curva. Lo esencial es que podamos describir las coordenadas de
los puntos de la curva como funciones continuas de un parámetro. En la situación que estamos
considerando se tiene queyD f .x/, es decir, la segunda coordenada es función continua de la
primera. La generalización consiste en que ambas coordenadas sean funciones continuas de un
parámetro. Llegamos así a la definición siguiente.
8.67 Definición. Una curva en el plano es una aplicación continua
 W Œa; b�! R2.
Si 
 .t/D .x.t/;y.t//, decimos quex D x.t/, y D y.t/ son lasecuaciones paramétricas
de la curva. El punto
 .a/ es el origen y
 .b/ el extremo de la curva. Si
 .a/D 
 .b/ se dice
que la curva escerrada. Se dice que una curva
 essimple si no se corta a sí misma, es decir,
si paras; t 2 Œa; b� cons ¤ t se verifica que
 .s/¤ 
 .t/. Una curva cerrada se llama simple si
la función
 es inyectiva en�a; bŒ.
8.68 Ejemplos.
� La curva de ecuaciones paramétricasx.t/DaCr cost , y.t/DbCR sent donde06 t 62�
es una elipse cuyo centro es el punto.a; b/ y semiejes de longitudesr y R. Cuandor D R se
trata de una circunferencia.
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Curvas en el plano 475
� La curva de ecuaciones paramétricasx.t/Dr.t�sent/, y.t/Dr.1�cost/ para06 t 62�
es lacicloide. Es la curva que describe un punto de una circunferencia de radio r que avanza
girando sin deslizar.
� La curva de ecuaciones paramétricasx.t/ D a.1C cost/ cost , y.t/ D a.1 C cost/ sent
para0 6 t 6 2� se llamacardioide. Es la curva que describe un punto fijo del borde de un
círculo de radioa=2 que rueda sin deslizar sobre el exterior de otro círculo del mismo radio.
2r
O 2�r
bP
t
Figura 8.12. Cicloide
b P
Figura 8.13. Cardioide
b P
Figura 8.14. Astroide
Figura 8.15. Espiral de Arquímedes
� La curva de ecuaciones paramétricasx.t/ D a cos3 t , y.t/ D a sen3 t dondea > 0 y
0 6 t 6 2� , se llamahipocicloide de cuatro picoso astroide. Es la curva que describe un
punto fijo de una circunferencia de radiorDa=4 que rueda sin deslizar sobre el interior de otra
circunferencia de radioa.
� La curva de ecuaciones paramétricasx.t/ D t cost , y.t/ D t sent donde0 6 t 6 2� , se
llamaespiral de Arquímedes. Es la curva que describe un punto que se mueve alejándose del
origen con velocidad uniforme sobre una semirrecta que giraalrededor del origen con velocidad
angular constante.
� Otro ejemplo final, para que aprecies las curvas tan complicadas que pueden representar-
se fácilmente por ecuaciones paramétricas. Se trata de una curva de las llamadascurvas de
Lissajoux. Sus ecuaciones sonx.t/D sen.3t/, y.t/D cos.5t/, t 2 Œ0; 2��.
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	Integral de Riemann
	Aplicaciones de la integral
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