Movimento de Partículas e Sistemas

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Movimiento de un sistema de partículas
1. Sí cada partícula de un sistema es atraída hacía un punto fijo 0 con una fuerza
proporcional a su masa y a su distancia al punto 0, demuestre que el centro de masas se
mueve como sí fuera una partícula del sistema
2. Un conjunto de partículas de masas m, pueden deslizar libremente sobre alambres
paralelos y se atraen una a otras con fuerzas proporcionales al producto de sus masas y
a sus distancias. Demuestre que las partículas efectúan oscilaciones armónicas del
mismo período relativas a un plano perpendicular a los alambres y que pasa por el centro
de masas supuesto en reposo.
3. Dos partículas iguales se atraen con una fuerza inversamente proporcional al cuadrado
de su distancia. Sí las partículas deslizan sobre correderas lisas en ángulo recto,
demuestre que el centro de masas describe una cónica con su foco en la intersección de
las correderas.
 
4. Dos partículas deslizan sobre correderas lisas perpendiculares que se interceptan en 0.
Demuestre que si las partículas. se atraen y ellas parten desde el reposo de posiciones
cualquiera sobre las correderas, ellas llegarán simultáneamente a la intersección.
 
5. Dos partículas de masas iguales a m se mueven sobre las correderas lisas
perpendiculares OX y OY y se atraen con una fuerza proporcional a su distancia siendo K
la constante de proporcionalidad. Inicialmente:
x a y a
x V y
( ) , ( ) ,
&( ) ( ) ,
0 0
0 0 00
= =
= − =
a) Determine x(t) , y(t).
b) Determine la ecuación cartesiana de la trayectoria del centro de masas del sistema.
6. Dos partículas de igual masa están unidas por un resorte de constante K y largo natural
a. Además actúa entre ambas partículas una fuerza amortiguadora proporcional a la
rapidez de la variación de la distancia entre ellas. El sistema se coloca en movimiento
dándole a una de las partículas una velocidad V0 perpendicular a la línea que une las
partículas. Determine V0 si después de un tiempo muy largo, el largo del resorte es 2a.
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7. Dos partículas A y B de idéntica masa m, están
unidas entre sí por una cuerda inextensible de
largo a. La partícula A se mueve por una
corredera horizontal lisa OX, mientras que la
partícula B se mueve por una corredera vertical
lisa OY, ambas en un plano vertical. Inicialmente
B está en 0 y OA = a, con el sistema en reposo.
Si θ es el ángulo en B:
a) Calcular en función de θ las reacciones que
ejercen las correderas sobre las partículas.
b) Calcular la tensión en la cuerda en función de θ
8. Se tiene el sistema de dos partículas m1 y m2 de
la figura en que el resorte, de constante k no
tiene masa. Determinar el valor mínimo de la
compresión ∆X del resorte, medido respecto de
su largo natural, para que al soltar m1 se
despegue m2 .
9. Tres partículas iguales están inicialmente en línea recta igualmente espaciadas sobre un
plano horizontal liso y unidas por dos hilos de largos "a". La partícula del medio
inicialmente está en reposo y a las partículas externas se les da una velocidad V0
perpendicular a la línea que las une. Calcule la velocidad con que chocan las partículas.
Sistemas de masa variable
10. Una cadena de longitud L y masa total M se suspende verticalmente de modo que su
extremo inferior está justo a nivel del suelo. Si la cadena se suelta, determine la
reacción la acción contra el suelo mientras la cadena se deposita cayendo por su propio
peso.
11. Una cadena de longitud L y masa total M está amontonada sobre el suelo. Si la cadena
se levanta de un extremo aplicando una fuerza constante F hacia arriba, determine la
altura que sube la cadena en función del tiempo. Discuta sobre la altura máxima que
Y
X
O
B
A
θ
m
m
m
m
1
2
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alcanza la cadena, supuestamente muy larga de tal modo que siempre queda cadena
depositada.
12. Una gota esférica de agua atraviesa una capa de nube en reposo. Suponiendo que se
condensa agua por unidad de tiempo sobre la gota, proporcionalmente a su superficie
con constante de proporcionalidad K conocida, determine como crece el radio de la
gota con el tiempo y como varía la altura de ella a medida que transcurre el tiempo.
13. Un carrito, inicialmente de masa M y en reposo sobre un plano horizontal liso, comienza
a moverse debido a que es impulsado por un chorro continuo de masa que se le va
incorporando. Dichas masas salen desde el punto de partida (como de una
ametralladora) con rapidez Uo y a razón de λ unidades de masa por unidad de tiempo y
se incrustan en el carrito cuando lo impactan. Determine la forma en que varían la
aceleración, la velocidad y la posición el móvil con el tiempo.
14. Un cohete de masa total M de la cual una fracción fM, con f menor que uno, es de
combustible, descansa verticalmente antes de encender los motores. Si se encienden
los motores que arrojan masa a razón de λ unidades de masa por unidad de tiempo y
con rapidez relativa al cohete Uo , establezca la condición que debe cumplirse para que
el cohete comience a despegar de inmediato. Para este caso, determine la máxima
altura que alcanza, suponiendo aceleración de gravedad constante y despreciando el
roce con el aire.
 
15. Una cadena de largo total M y longitud L, flexible, es sostenida colgando de modo que
su extremo inferior está justo al nivel del suelo. Si el extremo superior de la cadena se
suelta, determine la reacción del suelo contra la parte depositada, en función del tiempo.
 
16. Una cadena flexible tiene masa total M y
longitud L. La cadena está inicialmente
amontonada en el suelo. Una cuerda se hace
pasar sobre una polea lisa, uno de los
extremos unido a un extremo de la cadena y
el otro extremo de la cuerda a un partícula de
masa M. Si la partícula se suelta partiendo
del reposo
a) escriba la ecuación de movimiento para el
extremo de la cadena.
b) determine la rapidez del extremo de la
cadena en función de su posición.
M
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Movimiento en un campo de fuerzas centrales
17. Una partícula describa una órbita circular en un, campo de fuerzas dado por
F r
K
r
( ) = − 2
Demostrar que si k disminuye bruscamente a la mitad de su valor inicial, la órbita la
partícula se hace parabólica. Calcular explícitamente la media temporal,. (o sea, la
media en un periodo completo) de la energía potencial de una partícula que se, mueve,
sobre una órbita elíptica en un campo central en el que la fuerza obedece la ley de
inversa del cuadrado de la distancia. Expresar. el resultado en función de la constante
de proporcionalidad de la fuerza y del semieje mayor de la elipse. Efectuar un cálculo
similar para la energía cinética. Comparar los resultados y comprobar el teorema del
virial en este caso.
18. Dos partículas iguales que se mueven bajo la influencia atracción gravitacional mutua,
describen órbitas circulares una en torno de la otra con. un período τ. Si
repentinamente se detienen y caen una sobre la. otra, demostrar que chocarán después
de un tiempo
τ
4 2
.
19. Dos masas que se atraen, m1,, y m2 (m1+ m2= M), están separadas una distancia ro y se
las suelta a partir del reposo. Demostrar que cuando la distancia sea r menor que ro,
las velocidades serán
 
v m
G
M r r
v m
G
M r r
1 2
0
2 1
0
2 1 1
2 1 1
= −
= −
( )
( )
20. Demuestre que la velocidad areolar es constante en, el caso de una partícula se mueva
bajo la acción de una fuerza atractiva dada por F r Kr( ) = − . Calcule las medias
temporales de las energías cinética y potencial y comparar con los resultados que da el
teorema del virial.
21. Estudiar el movimiento de una partícula repelida por un centro de fuerzas de acuerdo
con la ley F(r)=kr. Demostrar que la órbita sólo puede ser hiperbólica.
22. Una partícula se mueve bajo la influencia de una fuerza central dada por F r
K
r n
( ) = − .
Demuestre si la órbita es circular y pasa por el centro de fuerzas, entonces n=5.
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23. Suponga un cometa que describe una órbita parabólica en el mismo plano que la órbita
terrestre. Si la menor distancia del cometa al Sol es γRt donde Rt es el radio de la
órbita de la Tierra (supuesta circular) y γ<1, demostrar que el tiempo que el cometa
pasa dentro de la órbita terrestre viene dado por
2 1 1 2 3( )( ) /− +γ γ π años
¿Cuántos días estará el cometa en la órbita terrestre, si se acerca al Sol hasta distancia
del perihelio de Mercurio?
24. Estudiar el movimiento de una partícula en un campo de fuerzas centrales que sigue la
ley de proporcionalidad inversa del cuadrado de la distancia, si además se superpone
otra fuerza de magnitud inversamente proporcional al cubo de la distancia entre la
partícula y el centro de fuerzas. Es decir,
F r
K
r r
( ) = − −2 3
λ
 con K,λ >0.
Demuestre que la trayectoria es una elipse que rota o precesa
25. Determine la expresión de la fuerza de un campo central que permita a una partícula
describir una órbita espiral dada por r=kθ , siendo k una constante.
 
 
26. Determine la expresión de la fuerza de un campo central que permita a una partícula
describir una órbita espiral logarítmica dada por r Kea= θ siendo k y a constantes.
 
27. Una partícula de masa unidad se desplaza desde el infinito a lo largo de una recta que,
de seguir, haría que la partícula pasase a una distancia b 2 de un punto P. Si la
partícula es atraída hacia P con una fuerza proporcional a k
r5
 y el momento angular
respecto de P es k b/ , demuestre que la trayectoria está dada por
r b= coth( / )θ 2
28. Una partícula es atraída hacía un centro fijo de fuerzas con una fuerza proporcional a la
distancia de la partícula del centro. Demuestre que la trayectoria es una curva plana
que puede ser representada por las ecuaciones:
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x A nt
y B nt
= +
= +
cos( )
sen( ).
α
β
29. Determine la fuerza central si la órbita es una circunferencia y el centro de fuerza está
situado sobre la circunferencia.
 
30. Una partícula es atraída hacia un centro fijo de fuerza 0 por una fuerza de forma K
r 2
 La
partícula es lanzada desde un punto P con una velocidad. de magnitud V0 en un ángulo
α respecto de OP. Demuestre que la órbita es una elipse sí OP K V≤ 2 0
2 Determine
además en términos de m, K, V0 , α , y OP = ro la excentricidad de la órbita y la
inclinación del eje mayor respecto de OP.
 
31. Admitiendo que la tierra es una esfera fija de radio R y despreciando la resistencia del
aire, considere el lanzamiento de un proyectil con rapidez inicial Vo formando un ángulo
ξo con la vertical del lugar. Si
V
GM
R*
,2
2
= donde G es la constante de gravitación, M la masa terrestre y V V0 < * ,
demuestre que la excentricidad y la ecuación de la trayectoria del proyectil son:
e
R
r
e
= −
=
− −
1 2
1
2
2 2
0
2 2
0
(sen ( )sen ( ))
cos( )
sen ( )sen ( )
β ξ
θ α
β ξ
siendo
 
sen
sen
sen sen( )
*
β
α
β ξ
=
=
V
V
e
0
2
02
32. Con respecto al problema anterior, V V0 2< * / demuestre que el ángulo de disparo para
tener un alcance máximo está dado por:
sen
( / )*
ξ 0
0
2
1
2
1
1
=
− V V
 y el ángulo máximo por sen( / )
( / )
( / )
*
*
θ 2
1
0
2
0
2= −
V V
V V
¿Qué ocurre sí V V0 2≥ * / ?
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33. Una partícula de masa m se mueve en una órbita circular de radio R con rapidez Vo
atraída hacía el centro con una fuerza inversamente proporciona al cuadrado de la
distancia de la partícula al centro. Si repentinamente la rapidez se reduce a la mitad,
determine en términos de Ro y Vo : la ecuación de la nueva órbita, su excentricidad y la
distancia mínima de la partícula al centro durante el movimiento siguiente.
 
34. Una partícula de masa m = 1 es atraída por una fuerza inversamente proporcional al
cuadrado de su distancia a un punto fijo 0 y se mueve describiendo la elipse:
r =
−
100
1 12 cosθ
35. Sí en el punto más alejado de su trayectoria, la rapidez de la partícula es V=1 ,
determine la constante de la ley de fuerza. Sí en el punto más alejado, la rapidez de la
partícula es duplicada, determine la ecuación de la nueva órbita.
 
36. Una partícula de masa m se mueve en una órbita circular de radio Ro con rapidez V0
atraída hacía el centro con una fuerza inversamente proporcional al cuadrado de la
distancia de la partícula al centro. Sí repentinamente la rapidez de la partícula se
aumenta a V = α Vo siendo α >1 demuestre que si α ≥ 2 la partícula se aleja hasta el
infinito. En cambio si α < 2 , determine la ecuación de la nueva órbita en términos de
Ro, Vo y α.
 
37. Determine las posibles leyes de fuerza central si una partícula describe bajo su acción
una circunferencia, con el centro de fuerzas en el interior del círculo.
 
38. Considere una partícula que se mueve en un campo central atractivo K r 2 con K < 0,
Demuestre que para un momentum angular dado, la mínima energía que puede tener la
partícula es:
E
mK
l
= −
2
22
.
39. Un cohete de masa m es disparado desde un punto de la superficie de la tierra con una
rapidez inicial VO haciendo un ángulo ξo con la vertical del lugar. Despreciando la
rotación terrestre, la resistencia del aire y el movimiento de la tierra, demuestre que:
La excentricidad de la trayectoria está dada por:
e
R V
G M
V
GM
R
o2
2 2 2
0
2 2 0
21
2
= + −



sen ξ
y la trayectoria es:
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r
R V
GM e
o=
+
2 2 2
0
1
sen
( cos )
ξ
θ
Aquí R es el radio terrestre, M la masa de la tierra y G la constante de gravitación.
¿Cuál es la ubicación del eje polar?
40. Respecto al problema anterior, suponga que V GM R0 = / y ξo =30
0 Demuestre
entonces que el proyectil caerá de regreso a la tierra en un punto situado a una
distancia πR/3 del punto de partida, medida sobre la superficie de la tierra. Demuestre
además que la altura máxima del proyectil sobre la superficie terrestre es de alrededor
de 0.92 R.
 
41. Una partícula de masa m se mueve en una órbita circular de radio Ro con rapidez V0
atraída hacia el centro con una fuerza inversamente proporcional al cuadrado de la
distancia de la partícula al centro, Si repentinamente la velocidad se reduce a la mitad,
determine en termino de Ro y V0 la ecuación de la nueva órbita.
 
 
42. Un satélite está en órbita ecuatorial geo estacionaria, es decir permanece en el mismo
punto relativo a la tierra que rota. Dados, la masa terrestre M, la constante de
gravitación G, la velocidad angular terrestre ω, determine la ecuación de la nueva órbita
si la rapidez absoluta del satélite es repentinamente aumentada al doble.
 
43. Un satélite de masa m está en órbita circular de radio 2R en torno a la tierra supuesta
esférica, de masa M y radio R, en reposo y sin atmósfera si la velocidad se altera en un
punto de la órbita en un factor f, determine;
a) la ecuación de la nueva órbita.
b) el rango de de valores de f para los cuales el satélite chocará con la tierra
c) el rango de valores de f para los cuales el satélite se aleja Indefinidamente.
La constante de gravitación es G.
44. Un satélite está en órbita ecuatorial geo estacionaria, es decir permanece en el mismo
punto relativo a la tierra que rota. Dados, la masa terrestre M, la constante de
gravitación G, la velocidad angular terrestre Ω. Determine la ecuación de la nueva órbita
si la rapidez absoluta del satélite es repentinamente reducida a la mitad.
 
45. Considere la tierra como esférica, en reposo de masa M y radio R, sin atmósfera. Se
lanza un proyectil con rapidez inicial V0 formando un ángulo α respecto a la horizontal.
Determine el arco que el proyectil recorre hasta llegar al suelo (si lo hace). Discuta las
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condiciones bajo las cuales el proyectil cae nuevamente al suelo. La constante de
gravitación es G.
Rotaciones
46. Sean $ ( )e ti con i=1, 2, 3, un conjunto ortogonal de vectores dependientes del tiempo.Demuestre la identidad:
de
dt
e e e ei k k i i
$
$ $& $ $ .= ×




× = ×∑12
r
ω
47. Considere una matriz [ ]ra × definida por:
[ ] ar × =
−
−
−










0
0
0
a a
a a
a a
z y
z x
y x
Demuestre las relaciones:
[ ] [ ]r ra a a× = − ×3 2 siendo a a a ax y z2 2 2 2= + + .
[ ] [ ] [ ]e I a aaθ θ θ
r r r× = + × + − ×sen( ) ( cos( ))1 2 si a = 1.
48. Demuestre que las componentes x', y', z' del vector obtenido haciendo una rotación del
vector de componentes x, y, z en un ángulo θ respecto de eje $n satisfacen:
′
′
′










=




















x
y
z
R R R
R R R
R R R
x
y
z
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
donde
R n
R n n n
etc
xx x
xy z x y
= + −
= + −
cos ( cos ) ,
(sen ) ( cos ) ,
θ θ
θ θ
1
1
2
L
49. Obtenga explícitamente las matrices de rotación para rotaciones en torno de los ejes x, y
z.
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50. El plano x +4y - z + 8 = 0 es rotado en un ángulo de 600 en torno de un eje que pasa por
el punto (I, -2, 1) en la dirección y sentido del vector (5, -1,1). ¿Cuál. es la ecuación del
plano en su posición final?
51. Determine la matriz para una rotación de π/6 en torno del vector (1,-1,1).
52. Se realiza una rotación de π/6 alrededor del eje OY seguida de una rotación de π/3
alrededor del eje OZ. Determine el ángulo y eje de la rotación equivalente a las dos
anteriores.
53. Considere la recta cuyas ecuaciones paramétricas son: x = x, y = 3x, z = 0 Determine las
ecuaciones paramétricas de la recta obtenida rotando la anterior un ángulo de π/2 en
torno del eje 
r
n i k= +2$ $ que pasa por el origen 0.
 
54. Considere un cubo que manteniendo su vértice 0 fijo es sometido a una rotación en -π/2
respecto al eje OX seguida de una rotación en - π/2 respecto al eje OY. Determine el
ángulo y eje de la rotación que es equivalente a las dos rotaciones sucesivas. El
sistema OXYZ no se mueve.
 
 
55. Considere un campo escalar V(r) el cual se hace rotar un ángulo dθ en la dirección y
sentido del eje $n . Demuestre que el nuevo campo está dado por:
′ = − ⋅ × ∇V r V r n r V r d( ) ( ) ( $ ) ( )
r r r r
θ
56. Determine el ángulo y dirección de la rotación equivalente a la sucesión de dos
rotaciones infinitesimales
$ $n d n d1 1 2 2θ θ+
57. Considere un cuerpo rígido donde las velocidades de tres de sus puntos son conocidas,
demuestre que
 
r
r r r r
r r rω =
− × −
⋅ −
( ) ( )
( )
V V V V
AB V V
A B C A
C A
 
58. Respecto a la situación del problema anterior, demuestre que si
AB V VC A
r r r
⋅ − =( ) ,0
entonces
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r
r r r r r r r r r r
r rω =
− ⋅ × + − ⋅ ×
×
( ) ( ) ( ) ( )V V AB AC AB V V AB AC AC
AB AC
C A A B
59. Una lámina cuadrada de arista 2 pasa de
la posición inicial i a la final f indicada en la
figura. Determine el ángulo y eje de la
rotación equivalente.
60. Demuestre el teorema de Chasles (1830). "Todo desplazamiento de un cuerpo rígido
puede ser logrado de manera equivalente por una traslación en cierta dirección seguida
de una rotación en torno de un eje en la dirección de la traslación
61. Demuestre que cualquier plano de un cuerpo rígido tiene un punto cuya velocidad es
perpendicular a ese plano, siempre que 
r
ω ⋅ ≠$n 0 donde $n es normal a ese plano.
62. Demuestre que todo plano de un cuerpo rígido tiene una línea de puntos cuyas
velocidades son paralelas al plano siempre que 
r
ω × ≠$n 0 donde $n es perpendicular al
plano.
 
63. Una lámina triangular equilátera OAB de lado a
se mueve de modo que su vértice 0 está fijo, el
vértice A permanece en el plano OYZ y el
vértice B permanece en el plano OXY. El
ángulo que la arista OA forma con OZ es θ.
Determine la velocidad angular de la lámina en
términos de a, θ y su derivada.
 
 
 
 
 
64. Considere el sistema ortonormal de vectores $, $ , $r θ φ correspondiente a las coordenadas
esféricas Determine la velocidad angular del sistema en termino de las derivadas de las
coordenadas.
 
A
A
O O
(i) (f)
X
Y
Z
O
A
B
θ
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65. Repita lo anterior para el sistema de vectores $ , $, $ρ φk correspondiente a las coordenadas
cilíndricas.
Movimiento relativo a la tierra
66. Una barra lisa OM de largo 2a, ubicada en el plano vertical que contiene al Este, está
inclinado en un ángulo φ respecto de la horizontal. Por ella se desliza una argolla
pequeña P, partiendo desde el extremo M. Calcular la reacción de la barra sobre la
argolla cuando ella pasa por el punto medio de la barra si se toma en cuenta la rotación
de la tierra.
 
67. Una partícula se lanza verticalmente hacía arriba con velocidad Vo en un punto de latitud
λ Encontrar el punto sobre el que vuelve a caer si se toma en cuenta la rotación de la
tierra en la aproximación usual de primer orden.
 
 
68. Una partícula se mueve, por la acción de la gravedad, sobre un plano inclinado en el
ángulo α respecto de la horizontal y que rota con pequeña velocidad angular ω respecto
de un eje vertical fijo, que intercepte el plano en el punto 0. Tomando ejes rectangulares
OXY fijos en el plano de modo que el eje OX está orientado a lo largo de la línea de
máxima gradiente, demostrar que sí inicialmente la partícula parte del reposo desde 0,
que su desviación desde OX, después de t segundos, viene dada aproximadamente por
1
6
23ω αgt sen
siempre que se desprecien los términos en ω 2
69. Una partícula de masa unitaria se mueve en movimiento armónico simple x a nt= cos en
una ranura suave orientada en E a 0 sobre la superficie de la tierra en un punto de
latitud λ. Demostrar que, si desprecian los términos que contienen el cuadrado de la
velocidad angular de la tierra, la reacción de la ranura tiene una componente horizontal
en ángulo recto respecto al movimiento y de magnitud 2an ntω λsen sen y una
componente vertical cuya magnitud fluctúa armónicamente, con una amplitud
2anω λcos .
70. Una partícula de masa m puede deslizar sin roce en el interior de un tubo pequeño
doblado en forma de un círculo de radio a. Inicialmente se hace rotar en torno de un
diámetro vertical el tubo con velocidad ω 0 estando la partícula en una posición definida
por el ángulo θ 0 respecto de la vertical. Estudiar el movimiento subsiguiente de la
partícula.
 
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71. Una partícula de masa m, puede deslizar, sin fricción en un tubo rígidamente unido en
un ángulo θ 0 = 60
0 con un eje vertical que gira con velocidad constante ω 0 tal que
ω 0
2
0
2
=
g
r
.
Sí la partícula se suelta con las condiciones iniciales:
r r r gr= =0 2, &
encontrar el menor valor que alcanza el radio r en el movimiento de la partícula.
72. Un plano suave inclinado en un ángulo α con respecto a la horizontal está rígidamente
conectado con un eje vertical en 0 (fijo en el espacio) alrededor del cual se mueve con
una velocidad angular uniforme ω. Una partícula de masa unitaria se mueve bajo la
acción de la gravedad sobre el plano. Pruebe que si x es el desplazamiento de la
partícula a lo largo de la línea de máxima pendiente que pasa por 0, entonces:
d x
dt
d x
dt
x g
4
4
2 2
2
2
4 2 23 1+ − + =ω α ω α ω α( cos ) cos sen .
Sí se. desprecian los términos en ω 2 , pruebe que:
y t gt( ) sen= −
1
6
23ω α
sí la partícula parte del origen.
73. Una partícula de masa m cae desde el reposo desde una altura h. Determinar x, y, z en
función del tiempo, tomando en cuenta la rotación de la tierra, en la aproximación usual
de primer orden en ω.
 
 
74. Una partícula de masa m cae desde una altura h por el interior de un tubo liso vertical.
Determinar z en función del tiempo y la reacción del tubo debido a la rotación terrestre.
 
 
75. Una partícula de masa m está vinculada a un plano liso horizontal y sometida a una
fuerza −kr hacia un origen O en el plano, siendo k una constante, Determinar las
coordenadas sobre el plano (x,y) y la reacción del plano enfunción del tiempo tomando
en cuenta la rotación de la tierra.
 
 
76. Una partícula de masa m está vinculada a un plano liso horizontal. Determinar las
coordenadas sobre el plano (x,y), y la reacción del plano en función del tiempo tomando
en cuenta la rotación terrestre.
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Cuerpo Rígido.
77. Las aristas de. un paralelepípedo rectangular, de masa M, tienen respectivamente las
longitudes 2a, 2a y 4a. Probar que los momentos principales de inercia en el punto
medio de una arista de largo 4a son 5 32Ma / , 8 32Ma / y 11 32Ma / .
 
 
78. Encontrar la altura en función del radio basal de un cilindro recto de base circular de
radio a, de modo que el elipsoide de inercia en el centro de masa sea una esfera.
 
 
79. Demostrar que en todo cuerpo rígido, se cumplen las 6 desigualdades:
I Ixx yx≥ 3 y dos análogas.
I I Ixx yy zz+ ≥ y dos análogas
analizar en que casos la segunda es una igualdad.
80. Demostrar que en la cúspide o polo de una cáscara uniforme esférica, el elipsoide de
inercia es una esfera.
 
 
81. Determinar la forma del elipsoide de inercia de un cubo homogéneo, en uno de sus
vértices.
82. Una superficie plana S tiene un eje de simetría y la distancia media cuadrática de los
punto de S al eje es P2 . Se genera un cuerpo sólido homogéneo anular girando S en
torno de un eje EE' coplanar con S y paralelo al eje de simetría a una distancia h.
Demostrar que el momento de inercia en torno del eje EE' del sólido es:
I m h P= +( )2 23
83. Un tubo homogéneo circular tiene masa m, largo h y radios a, exterior y b interior.
Determinar los momentos de inercia principales en torno del centro de masa.
 
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84. Sí en dos puntos P y Q de un cuerpo rígido es eje principal de inercia la recta PQ,
demostrar que contiene el centro de masa y es eje principal de inercia en todos sus
puntos.
 
 
85. Determinar la forma de los conos rectos circulares, como sólidos homogéneos, cuyo
elipsoide de inercia en su cúspide o vértice es una esfera.
 
 
86. Se tiene un sólido homogéneo de la forma de un cono recto circular de altura h, radio
basal a, masa m y semiángulo α. Demostrar que:
a) En el vértice sus momentos principales de inercia son:
A B
m
a h= = +
3
20
42 2( ) y C
ma
=
3
10
2
b) En el centro de su base son:
A B
m
a h= = +
20
3 22 2( ) y C
ma
=
3
10
2
c) El momento de inercia en torno de su generatriz es:
I
mh
= +
3
4
1
1
5
2
2 2( sec )senα α
87. Un cuerpo homogéneo de masa m tiene la forma de un hemisferio de radio a. Demostrar
que el momento de inercia en torno de un eje tangente en el polo del hemisferio es:
I
ma
=
13
20
2
88. Se tiene una lámina homogénea de masa m y forma triangular. Calcular el momento de
inercia en torno de un lado.
89. Considere una placa delgada de contorno arbitrario de masa M y momentos principales
de inercia en G, A y B. Determine los puntos del plano de la lámina donde el elipsoide
de inercia es de revolución.
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90. Determine la energía cinética de un
cilindro homogéneo de masa M y radio a
que rueda sin resbalar en el interior de
una superficie cilíndrica de radio R en
términos de &φ , ver figura
91. Determine la energía cinética de un cono de masa
m y semiángulo en el vértice α que rueda sin
resbalar sobre un plano horizontal en términos de
&φ , ver figura.
92. Una semiesfera homogénea de radio esta en reposo sobre un plano horizontal liso con
su base paralela a una pared vertical lisa sobre la cual la superficie esférica se apoya.
La semi-esfera parte del reposo y comienza a caer debido a su peso. Demuestre que
cuando la base esta horizontal:
ω 2
15
8
=
g
a
 y v
a
=
3
8
ω
.
donde v es la velocidad del centro de masas. Demuestre también que durante el
movimiento siguiente el ángulo entre la base del hemisferio y el plano horizontal, nunca
excede de:
cos .−




1 45
128
φR a
φ
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93. Un disco uniforme de radio a que está rotando con velocidad angular ω alrededor de su
eje, se coloca sobre un plano horizontal. Si el disco se apoya uniformemente y el
coeficiente de roce es µ , demuestre que el disco se detiene en un tiempo
3
4
a
g
ω
µ
.
94. Un aro circular de acero de radio a y masa m por unidad de longitud rota con velocidad
angular ω respecto a su eje. Demuestre que la tensión en el aro es T ma= 2 2ω . Sí la
tensión de ruptura del acero es 105 libras por pulgada y su densidad es 7.85 demuestre
que la velocidad angular no puede exceder ω=973/a si a esta en pies.
95. Un cilindro circular recto descansa sobre un plano horizontal rugoso. Si el plano se
mueve de cualquier forma, pero horizontalmente y perpendicular al eje del cilindro,
demuestre que el cilindro vuelve al reposo en el mismo instante en que el plano lo hace.
96. Tres barras iguales AB, BC, CD cada una de largo 2l y masa M, suavemente articuladas
en B y C descansan sobre una mesa horizontal suave. Una cuerda liviana unida al
punto medio de BC pasa perpendicularmente por un borde suave de la mesa y de ella
cuelga una partícula también de masa M. Inicialmente las tres barras están en línea
recta paralelas al borde de la mesa y en reposo. Demuestre que el tiempo que emplean
los extremos A y C en juntarse esta dado por:
t
g
d=
+
∫
1
3
5 3 2
0
2 3 sen
sen
/ θ
θ
θ
π
97. Dos barras iguales de masa M y
largo 2a, AB y BC que están
suavemente articuladas en B, A
articulado suavemente a un punto
fijo 0 y C que puede deslizar
libremente sobre una superficie
horizontal lisa. Sí las barras parten
del reposo estando horizontales,
determine las reacciones en A y C
en función de θ.
O C
A
B
θ
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98. Un disco masa m y radio a está inicialmente en el punto más alto de un cilindro
semicircular de radio R que está fijo. Perturbado levemente comienza a caer rodando
sin deslizar. Determine:
a) El momentum angular Lo del disco en función de θ.
b) El ángulo θ para el cual el disco deja de estar apoyado sobre el cilindro.
99. Una barra de masa m y largo 2a está
inicialmente en reposo apoyada
horizontalmente sobre un hemisferio fijo
liso de radio a. Si se perturba la barra
levemente de modo que ella comience a
caer deslizando sobre el hemisferio,
determine las ecuaciones, que permiten
calcular:
a) &θ en función de θ.
b) La reacción normal en función de θ.
100. Un cilindro sólido circular de radio a
descansa sobre un plano horizontal.
Otro cilindro idéntico al primero descansa
en el punto más alto. Si no hay
deslizamiento, demuestre que mientras
los cilindros permanecen en contacto:
& ( cos )
( cos cos )
θ
θ
θ θ
2
2
12 1
17 4 4
=
−
+ −
g
a
101. Un cono recto de base circular y semi ángulo α rueda sin deslizar sobre un plano
inclinado en ángulo β respecto de la vertical. Se suelta del reposo con la línea de
contacto horizontal. Demuestre que el cono permanece apoyado sobre el plano sí:
9 tg β α α< cot + 4tan
θ
G
θ
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102. Una barra de masa M y largo 2a se mueve sobre un plano horizontal liso de manera que
su extremo A está vinculado a una corredera horizontal lisa OX. Inicialmente la barra
está en reposo perpendicularmente a la corredera y se aplica a su extremo A una fuerza
constante F . Determine la reacción normal horizontal de la corredera sobre la barra en
función de F, a, M y θ.
103. Un aro de alambre de radio r y masa m,
rueda sin deslizar con su plano vertical
sobre la superficie curva de un cilindro de
radio R. Inicialmente él aro está en reposo
en el punto más alto y se perturba
levemente.
a) Obtenga &θ en función de θ.
b) Obtenga el ángulo θ para el cual el aro
abandona el contacto con el cilindro.
104. Una esfera homogénea S de radio a se
coloca en reposo sobre el punto más alto
de otra esfera So fija de radio ao . Si se
perturba levemente, la esfera S rueda sin
resbalar sobre laesfera So . Si θ es el
ángulo que forma la línea de los centros
con la vertical, demuestre que:
&
( )
( cos )θ θ2
0
10
7
1=
+
−
g
a a
y que se separan cuando cosθ = 107 .
105. Un trompo simétrico con momentos de inercia A mh= 5 42 y C mh= 2 2 , siendo m su
masa y la distancia de su púa fija al centro de masas, está en movimiento cuspidal con
el eje del trompo oscilando entre θ=600 y θ=120°. Determine el spin y la energía del
trompo.
R
r
θ
a
θ
a
0
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106. Un cilindro de radio R/4 y de masa m puede moverse rodando sin deslizar sobre el
interior de una superficie cilíndrica de radio R, cuyo eje está horizontal. Determine la
mínima energía que puede tener el cilindro, para que pueda dar vueltas completas sin
caer.
107. Un automóvil arranca del reposo con una de sus puertas inicialmente en ángulo recto.
Si las bisagras de la puerta están hacia el frente del auto, la puerta se cerrará de golpe
cuando éste se acelere. Hállese una fórmula para determinar el tiempo que necesita la
puerta para cerrarse si la aceleración del auto es una constante a, el radio de giro de la
puerta con respecto al eje de rotación es ko y la distancia del centro de masa a las
bisagras es d. Demuéstrese que si a es 0.3 m/seg2 y la puerta es un rectángulo
uniforme de 1.20 m de ancho, el tiempo será aproximadamente 3.04 seg.
108. Encuentre la energía cinética de un cilindro de radio R, cuyo centro de masa está a una
distancia h de su centro geométrico y uno de sus ejes principales es paralelo al eje del
cilindro cuando éste está rodando sobre un plano horizontal. Exprésese K en función del
momento de inercia principal, I, con respecto a este eje. Determine además las
ecuaciones de movimiento del cilindro y el período de las pequeñas oscilaciones del
mismo a uno y otro lado de su posición de equilibrio.
109. Encuentre la energía cinética de un cilindro homogéneo de radio r que está rodando sin
deslizar dentro de un cilindro hueco fijo de radio R. Obtenga las ecuaciones de
movimiento de Lagrange y a partir de ellas el período de las pequeñas oscilaciones en
torno a la posición de equilibrio.
110. Un cono circular recto macizo cuyo ángulo en el vértice es 2α, rueda sin deslizar en un
plano inclinado un ángulo β con la horizontal. El cono tiene una masa M y una
generatriz de longitud L.
a) Escriba las ecuaciones de Lagrange del movimiento del cono, usando como
coordenada generalizada el ángulo θ entre su línea o generatriz de contacto con el
plano y la línea, o recta, de máxima pendiente de descenso.
b) ¿Cuál es la frecuencia de las pequeñas oscilaciones a un lado y otro de la posición
de equilibrio?
111. Se lanza una pelota de radio R a una velocidad vo hacia la parte superior de un plano
inclinado un ángulo θ y cuyo coeficiente de rozamiento es µk Determine la posición de
la pelota en función del tiempo, si ésta no tiene inicialmente movimiento de rotación:
Tome para el momento de inercia en torno a una línea por el centro I mR= 25
2 .
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112. Una varilla uniforme de longitud l se coloca en equilibrio, verticalmente, sobre el suelo y
después se deja caer perturbándola levemente. Hállese su aceleración y velocidad
angulares en un instante en que forme un ángulo θ con la vertical, si
a) el piso es tan áspero que el extremo inferior no pueda resbalar.
b) para el caso en que el piso sea liso
c) para el caso en que el coeficiente que el coeficiente de rozamiento sea µk.
113. Un trompo de masa M, momentos de inercia A mh= 5 42 y C mh= 2 2 siendo h la
distancia de la púa fija al centro de masas, se coloca en movimiento con ángulo polar
θ=π/2 dándole solamente un spin s g h= .
Determine las características del movimiento resultante.
114. Un trompo simétrico con momentos de inercia A mh= 5 42 y C mh= 2 2 se coloca en
movimiento con su eje inclinado en 90° respecto a la vertical, con un spin s g h= y
precesión nula.
 
 a) Determine los valores extremos de la inclinación del eje del trompo
 b) Determine el valor de la velocidad angular de precesión en el punto más bajo.
 
115. Un elipsoide homogéneo de masa m y semiejes a, b y c, rota con velocidad angular
constante ω alrededor de un eje fijo en el espacio que forma ángulos fijos α, β y γ con los
ejes del elipsoide. Demostrar que las componentes del torque a lo largo de los ejes del
elipsoide necesarios para mantener el movimiento son:
 
 
1
5
2 2 2m b cω β γ( ) cos cos ,− y otras dos similares
 
 
116. Una lámina plana rota libremente respecto de su centro de masas 0 fijo. Sí OX, OY son
ejes principales de inercia en el plano de la lámina y la lámina se pone en movimiento
con velocidad angular ω en el plano OXY formando un ángulo φ con OX, demostrar que
el ángulo θ que forma la proyección de ω sobre el plano OXY con el eje OX satisface:
 
 ( )& ( ) (sen sen )I I I Ixx yy xx yy+ = − −θ ω θ φ
2 2 2 2
 
 
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117. Un disco circular de radio a y masa m está apoyado en su centro sobre el extremo de
un eje vertical fijo. El disco se pone en rotación con velocidad angular ω respecto de
una línea que forma un ángulo α con la normal al disco. Determinar la velocidad
angular del disco en un instante cualquiera indicando sus componentes respecto a ejes
fijos al cuerpo. Determine además el tiempo que tarda el eje del, disco en describir un
cono en el espacio.
 
118. Una placa rectangular de aristas 2a y 2b y
de masa m se hace rotar con su centro fijo en
torno de un eje por su diagonal con rapidez
angular ω constante. Sin considerar el peso
de la lámina, determine las reacciones
dinámicas en los descansos lisos indicados
en la figura. Además, para el caso en que a
= 2b, se quieren eliminar las reacciones
dinámicas colocando dos masas iguales
colocadas simétricamente en las aristas AB y
CD. Determine valores apropiados de M y x
para que ello ocurra.
 
 
 
119. Una lámina rectangular uniforme cuyos
momentos principales de inercia en su
centro son A, B, y A+B, está montada de
modo que ella puede oscilar libremente
alrededor de un eje horizontal suave que
coincide con el eje para el cual el momento
de inercia vale A. El eje va montado sobre
un armazón sin inercia que puede rotar
libremente alrededor de un eje vertical
suave que pasa por el centro de la lámina.
 
 Si θ es la inclinación de la lámina respecto de la horizontal, φ el ángulo que gira la armazón
e inicialmente:
 
 θ π θ φ( ) / ; & ( ) ; ( ) .0 4 0 0 0= = = Ω
 
 Demuestre que en el movimiento subsiguiente:
 
 &
( ) cos
( cos )
θ
θ
θ
2
2
2
2 2
4
=
+
+
A B
B A
Ω
 
C D
A
B
C D
A B
x M
M
x
 
φ
θ
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120. Un disco de masa m y radio a gira en
torno A de un eje con velocidad angular s
constante a la vez que el eje del disco gira
en torno de la vertical con velocidad
angular Ω constante siendo la estructura
ABC indicada en la figura rígida y liviana.
Determine las reacciones en los
descansos lisos A y B indicados en la
figura.
 
 
 
121. Un trompo esta formado por un disco de masa M y radio a y un eje sin masa de largo a
que pasa perpendicularmente por el centro del disco. El otro extremos del eje
permanece en reposo. Si el movimiento del trompo es de precisión uniforme Ω con el
eje horizontal, determine el spin absoluto del trompo y la reacción en la púa fija.
 
122. Un trompo simétrico de momento de inercia axial C y transversal A se coloca en
movimiento con su eje horizontal, dándole solo un spin S. Si la masa el trompo es M y su
centro masas está ubicado a distancia h de la púa fija, determine la inclinación máxima
del eje del trompo respecto a la vertical y la velocidad angular de precesión para esa
posición.
 
123. Un trompo simétrico de momento de inercia axial C y transversal A en su púa, se coloca
en movimiento con su eje en 60º respecto a la vertical de manera que inicialmente:
 
 & , & , & ( )θ φ ψ= = = −0 2
3
3
3 2
Mgh
A
A C
Mgh
ACDemuestre que las variaciones del ángulo polar θ con el tiempo están dadas por (Whittaker)
 
 s e c s e c ( )θ = +1 h
M g h
A
t
 
124. Respecto a la situación del problema anterior, demuestre que si h A mg< Ω2 4/ el eje del
trompo pasa por la posición vertical en un tiempo finito. un tiempo finito. 4mg
 
125. Demuestre que en el movimiento del trompo simétrico "dormido", es decir con su eje
vertical., el movimiento es estable mientras que:
 
 C s2 2 > 4mghA
 
A
B
C
a
a
a a
s
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126. Considere un trompo simétrico formado por un disco de masa m y radio a unido por un
eje sin masa de largo a que coincide con el eje de simetría del disco a un punto fijo 0.
Durante su movimiento la inclinación del eje del trompo respecto de la vertical
ascendente varia entre 60' y 120', ¿Para qué valores del spin absoluto S se anula la
velocidad angular de precesión durante el movimiento?.
 
127. Un trompo de masa M, momentos de inercia A mh= 5 42 y C mh= 2 2 , siendo h la
distancia de la púa fija al centro de masas, se coloca en movimiento verticalmente con
ángulo polar θ=0 dándole solamente un spin s g h=
10 . Si el trompo es perturbado
levemente, determine el ángulo de inclinación máximo que alcanzará el eje del trompo
en su movimiento.
 
128. Un trompo simétrico con momentos de inercia A mh= 5 42 y C mh= 2 2 se coloca en
movimiento con su eje inclinado en 60° respecto a la horizontal, dándole movimiento de
spin s g h= y precesión inicial 
&φ = g h
 
 a) Determine los valores extremos de la inclinación del eje del trompo
 b) Determine el valor de la velocidad angular de precesión en el punto más bajo.
 
 
129. Un trompo de masa M, momentos de
inercia A mh= 5 42 y C mh= 2 2 siendo h la
distancia de la púa fija al centro de masas,
se coloca en movimiento con ángulo polar
θ=π/2 dándole solamente un spin
s g h= .
 
 Determine las características del movimiento
resultante.
 
130. Un trompo simétrico con momentos de
inercia A mh= 5 42 y C mh= 2 2 se coloca en movimiento con su eje inclinado en 90°
respecto a la vertical, con un spin s g h= y precesión nula.
 
 a) Determine los valores extremos de la inclinación del eje del trompo
 b) Determine el valor de la velocidad angular de precesión en el punto más bajo.
 
s
θ
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 Fuerzas impulsivas
 
131. Un hexágono regular formado por 6 barras iguales articuladas en sus extremos
descansa sobre un plano horizontal.. Si se aplica un impulso perpendicularmente en el
punto medio de una de las barras, demuestre que la barra opuesta adquiere una
velocidad 1/10 de la que adquiere la primera.
 
 
132. Cuatro barras iguales de masa m y largo
2a están articuladas suavemente entre sí
formando un cuadrado que inicialmente
está con su plano vertical, apoyado en
reposo sobre un plano horizontal liso. Un
impulso J se aplica a la barra AB
horizontalmente y a una altura b del plano
horizontal. Determine el movimiento
inicial subsiguiente de las 4 barras.
 
 
 
133. Un disco de masa M y radio R cae con su
plano vertical con un movimiento de traslación pura. En el instante en que la rapidez de
caída es Vo, se aplica un impulso vertical hacía arriba en el punto A del borde de modo
que ese punto queda con velocidad instantánea cero. Determine:
 
 a) La magnitud del impulso aplicado.
 b) La pérdida de energía cinética del disco.
 
 
134. Un disco de masa M y radio R está en reposo
sobre un plano horizontal liso y sobre el se
apoya suavemente una barra de masa m y
largo l que tiene uno de sus extremos
articulados a un punto fijo 0. Determine la
velocidad de traslación que adquiere el disco
en términos de θ, m, l, M, R y J si se aplica a la
barra un impulso J como se indica en la figura.
 
 
 
 
 
 
 
J
A
B C
D
b
J
M
m,l
O θ
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135. Dos cuerpos rígidos de superficies continuas y
lisas se mueven en forma general en el
espacio. Sí los cuerpos chocan y los impulsos
son perpendiculares al plano tangente común a
ambos cuerpos, demuestre que la energía
cinética es conservada en el choque sí el
coeficiente de restitución es e ,estando e
definido por:
 
 
 ( ) $ ( ) $
r r r r
v v n e v v n
P P P P1 2 1 2
′ ′− ⋅ = − − ⋅
 donde $n es normal al plano tangente.
 
Ecuaciones de Lagrange.
136. Considere una partícula que se mueve en el espacio de manera que su posición está
dada por:
r r
r r q q q t= ( , , , )1 2 3
siendo q q q1 2 3, , funciones del tiempo. Demuestre la identidad:
d
dt q
v
q
v
a
r
qk k k
∂
∂
∂
∂
∂
∂&
r r
r
r2 2
2 2
− = ⋅
Verificar explícitamente lo anterior si:
r
r r i r j r k= + +sen cos $ sen sen $ cos $θ φ θ φ θ
137. Utilice la identidad señalada en el problema anterior para obtener las componentes de
la aceleración de una partícula en coordenadas cilíndricas.
138. Considere una barra de masa m, largo 2a que se mueve en un plano vertical bajo
acción de su peso de modo que su extremo A puede moverse libremente sobre la
corredera lisa OX. Escriba las ecuaciones de Lagrange para las. coordenadas
generalizadas x y θ indicadas en la figura.
G G
P P
1
1 2
2
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139. Una barra de longitud 2l se balancea sin deslizarse sobre el punto más alto de un
cilindro horizontal de radio a. Demuestre que:
& ( cos sen )θ
θ θ θ
θ
2
2 2 2
6
3
=
− −
+
g h a a
l a
siendo h una constante,
140. El extremo de una barra uniforme de largo l
está montado sobre un eje de modo que la
barra puede rotar libremente en un plano
normal al eje. Sí el eje se hace rotar sobre un
plano horizontal con velocidad de rotación
constante Ω, permaneciendo fija la unión de la
barra al eje, demuestre que el ángulo θ que la
barra forma con la vertical descendente
satisface:
&& sen cos senθ θ θ θ= −Ω2
3
2
g
l
141. Considere un disco de masa m radio r que
rueda sin deslizar con su plano vertical sobre un
plano horizontal tirado de su centro con una fuerza
horizontal constante F.
a) Resuelva el problema por el método de Lagrange
considerando que el sistema es holonómico con
un grado de libertad.
b) Resuelva el mismo problema, tratando al sistema
como si fuera no holonómico con la restricción adicional:
& &x r− =θ 0
θ
Ω
F
x
θ
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142. Una argolla de masa 3m puede deslizarse
horizontalmente sin rozamiento por un alambre
como se indica en la figura. Unido a la argolla hay
un péndulo doble, formado por dos partículas de
masas m e hilos de largo a. Si, en una posición
cercana a la de su equilibrio, se deja al sistema
en libertad, a partir del reposo, las masas oscilan
en el plano de la figura en torno de la vertical.
a) Escriba las ecuaciones de Lagrange del
movimiento del sistema.
b) Determine las aceleraciones cuando los desplazamientos angulares y las velocidades
son pequeñas.
143. Un péndulo formado por una barra liviana de
longitud l, unida a dos masas iguales a m una de
ellas que puede oscilar en un plano vertical, la
otra restringida a moverse verticalmente unida a
un resorte de constante k, como se ve en la
figura. Escriba las ecuaciones de Lagrange del
movimiento del sistema.
144. Una barra de longitud 2a y masa M se coloca horizontalmente sobre el punto más alto
de un hemisferio rugoso de radio R y masa igual M que puede deslizar sobre un plano
horizontal liso, y se perturba levemente. Determine las ecuaciones de movimiento para
el sistema. La barra no desliza sobre el hemisferio
145. Una partícula de masa m está vinculada suavemente a un tubo liso el cual se hace rotar
en torno de la vertical con velocidad angular Ω constante, de modo que el ángulo de
inclinación del tubo con la vertical es constante α. Para la coordenada generalizada r, la
distancia de la partícula al punto fijo del tubo:
a) Escriba la ecuación de movimiento.
b) Escriba explícitamente las cantidades conservadas.
3m
m
m
a
a
m
m
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c) Determinela posición dentro del tubo donde la partícula podría estar estacionaria, es
decir sin moverse respecto al tubo.
d) Si la partícula es colocada dentro del tubo en el punto fijo determine la velocidad
mínima que debe dársele respecto al tubo, para que ella sobrepase la posición
determinada en la pregunta (c).
146. Una partícula de masa m está en reposo en el punto más alto de un hemisferio liso fijo
de radio R. Si ella es perturbada levemente, comienza a resbalar sobre el hemisferio.
Determine el punto donde ella abandona el contacto con el hemisferio.
147. Un disco de masa M y radio a está
inicialmente en reposo apoyado en el punto
más alto de un hemisferio rugoso de radio R.
Si el disco es perturbado levemente, el
comienza a rodar sin resbalar. Escriba la
ecuación de movimiento del disco, para el
ángulo θ indicado en la figura. Determine
además el ángulo para el cual el disco
abandona el contacto con el hemisferio.
148. Una partícula de masa M se coloca en
reposo sobre el punto más alto de un
hemisferio semicilíndrico de masa M y radio
R, el cual descansa sobre un plano
horizontal liso. Si la partícula se perturba
levemente, el sistema comienza a moverse.
Determine la expresión que determina el
ángulo para el cual la partícula perdería
contacto con el hemisferio.
149. Dos partículas de masas m1 y m2 están en reposo sobre un plano horizontal liso unidas
por una cuerda inextensible de largo L. Si a una de ellas se le da una rapidez inicial vo
perpendicular a la línea que une las partículas, determine para el movimiento siguiente,
la magnitud de la tensión en la cuerda.
 
R
θ
R
θ
O
x
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150. Respecto a la situación anterior, si x es una función dada del tiempo, x=f(t), escriba la
ecuación de Lagrange para la coordenada θ. Determine además las posibles funciones
f(t) tales que el Hamiltoniano H sea constante,
 
151. Un cono recto de semiángulo en el vértice β, generatriz de longitud l rueda sin deslizar
sobre un plano inclinado un ángulo α respecto del plano horizontal. Si θ es el ángulo
que forma la línea de máxima pendiente con la generatriz de contacto, demuestre que:
 
&& sen
( cos )
senθ
α
β
θ+
+
=
5
1 5
02
g
l
152. Un péndulo simple tiene Hamiltoniano
 
 
 H
p
ml
mgl= + −
2
22
1( cos )θ
 
 
153. Por el método que usted desee, pruebe que hasta primer orden en la energía, el periodo
del péndulo es:
 
 T
l
g
E
mgl
= +2 1
8
π ( )
154. Resuelva mediante el método de Hamilton Jacobi, el problema del movimiento de una
partícula en el plano xy (dos dimensiones, x horizontal, y vertical), bajo la aceleración
constante de gravedad solamente.
 
 
155. Demuestre la identidad de Jacobi para los paréntesis de Poisson
 
 
 {A, {B,C}} + {B, {C, A}} + {C, {A, B}} = O
 
156. Si en el plano Oxy, la rapidez de una partícula es una función conocida de la posición:
v=g(x,y) determine la ecuación diferencial para la trayectoria que hace que la partícula
ocupe un tiempo mínimo al ir entre dos puntos dados del plano de movimiento.
 
157. Encontrar el Lagrangiano de los siguientes sistemas, colocados en un campo
gravitatorio con aceleración de gravedad constante g.(Landau)
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 a )Péndulo doble coplanario
 
 b) Péndulo plano de masa m2, cuyo
punto de suspensión de masa m1
puede desplazarse en el mismo
plano sobre una recta horizontal
 
 c)Péndulo plano cuyo punto de
suspensión se desplaza sobre una
circunferencia vertical con una
frecuencia angular constante ω.
 
 d) Péndulo plano cuyo punto de
suspensión oscila horizontalmente en el plano del péndulo en la forma x a t= cosω
 
 e) Péndulo plano cuyo punto de suspensión oscila verticalmente en el plano del péndulo en
la forma y a t= cosω
 
 
158. Determinar las posiciones de equilibrio estable de un péndulo cuyo punto de suspensión
oscila verticalmente en la forma y a t= cosω con una frecuencia elevada ω ff g l
 
 
159. Determinar las posiciones de equilibrio estable para un péndulo cuyo punto de
suspensión oscila horizontalmente en la forma x a t= cosω .
 
 
160. Demuestre que las siguientes transformaciones son canónicas:
 
 a) Q p q P q p= =sen( ) / , cot
 b) Q arctan q p P q p q= = +( / ), ( / ) /α α α2 2 2 21 2
 c) P q Q pq= =1 2/ ,
 
 
161. Considere la transformación:
 
 Q aq p P bq p= =2 cos( ), sen( )β βα con a, b, α y β constantes.
 
 a) determine valores de a, b, α y β de modo que la transformación sea canónica.
 b) utilice la transformación para reducir el problema del oscilador armónico.
 c) resuelva el problema del oscilador armónico.
m
m
m
m
m
(a)
(b)
(c)
a
1
2
1
2θ
φ
φ
φ
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162. El problema anterior puede ser considerado un caso general del siguiente problema.
Dado H q p( , ) deduzca una transformación canónica donde el nuevo Hamiltoniano sea
H Q P Q( , ) = una función del momento solamente.
 
 
163. Considere la transformación
 
Q q P p p
Q p P q q
1 1 1 1 2
2 2 2 1 2
2
2
= = −
= = − −
,
,
 
 
 
 Demuestre directamente que ella es canónica y encuentre una función
generadora.(Goldstein ).
 
 
164. Para un sistema con dos grados de libertad, considere:
 
Q q Q q q1 1
2
2 1 2= = +,
Encuentre la transformación más general para P P1 2, consistente con que la
transformación completa sea canónica.
165. Suponga que el Hamiltoniano es una forma positiva definida de los momento, es decir
que:
∂
∂ ∂
δ δ δ δ
2
0
H
p p
p p para p p arbitrarios
i j
i j i j∑ ≥ , ,
Demuestre que esa propiedad es conservada si se efectúa una transformación
canónica puntual definida por la siguiente función generadora:
F f q Pi i= ∑ ( )
166. Considere una transformación canónica (infinitesimal) generada por:
F q P dtH q Pi i= −∑ ( , )
 siendo H el Hamiltoniano del sistema. Demuestre entonces que:
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q t Q t dt
p t P t dt
i i
i i
( ) ( )
( ) ( )
= +
= +
167. Si se hacen dos transformaciones canónicas sucesivas q,p → Q, P → q p, generadas
por F q Q1( , ) y G Q q1( , ) , demuestre que la función generadora de la transformación
canónica equivalente está dada por:
F q q F q Q G Q q( , ) ( , ) ( , )= +1 1
debiendo eliminarse los Qi mediante las ecuaciones:
∂
∂
∂
∂
F
Q
G
Qj j
1 1 0+ =
168. Si se hacen dos transformaciones canónicas sucesivas q,p → Q, P → q p, generadas
por F q P2 ( , ) y G Q pq2 ( , ) , demuestre que la función generadora de la transformación
canónica equivalente está dada por:
F q p F q P G Q p PQi i( , ) ( , ) ( , )= + − ∑2 2
debiendo eliminarse los Q P, mediante las ecuaciones:
∂
∂
∂
∂
F
P
Q y
G
Q
P
j
j
j
j
2 2= =