HERRERARH_P5

Vista previa del material en texto

INSTITUTO POLITÉCNICO 
NACIONAL. 
Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica 
Unidad Ticomán. 
 
Materia: Física Clásica. 
Profesor: José Ramón García Álvarez. 
 
Practica 5 Laboratorio de colisiones. 
Tema: “Dinámica de un sistema de partículas”. 
Subtema: “Cinemática de un sistema de partículas”, “Cinética de un 
sistema de partículas” y “Principio del trabajo y la energía en un 
sistema de partículas”. 
 
Nombre del Alumno: Herrera Rangel Héctor Francisco. 
Boleta: 2022370143. 
Grupo: 1AV1. 
 
18 de noviembre de 2021
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 1AV1. 
Fundamentación teórica. 
Definición de sistema de partículas. 
En mecánica consideramos un sistema de partículas como un conjunto 
de N partículas que se mueven por separado, si bien interactúan entre sí y están 
sometidos a fuerzas externas. 
El número de partículas que forman un sistema puede ser muy variado e ir desde 2 
(por ejemplo, al estudiar un átomo de hidrógeno), hasta cantidades gigantescas (por 
ejemplo, en 1 l de agua hay del orden de 1024 partículas). 
Cuando el número de partículas es reducido se puede abordar el problema dinámico 
analizando cada una por separado. Cuando es elevado, es preciso recurrir a 
promedios y descripciones colectivas (como la mecánica estadística, la elasticidad 
o la mecánica de fluidos). 
Los sistemas se clasifican en abiertos o cerrados. Un sistema cerrado es aquél en 
el que no entra ni salen partículas del sistema. Por tanto, su masa permanece 
constante. Un sistema abierto es aquel que permite el paso de partículas (y por 
tanto masa) a través de los límites del sistema. Aquí consideraremos solo sistemas 
cerrados. 
Entre las fuerzas internas en un sistema estarían, por ejemplo, las fuerzas eléctricas 
de atracción entre las cargas de un sistema de protones y electrones, o la atracción 
gravitatoria entre las estrellas de una galaxia. Entre las fuerzas externas figura, por 
ejemplo, el peso de un sistema de partículas, originado por la atracción de un cuerpo 
externo como la Tierra. 
Cada una de las partículas del sistema posee una masa propia, mi, 
siendo un índice que sirve para etiquetar individualmente cada una 
de las partículas. la partícula i está caracterizada por una posición y una 
velocidad . Esta posición y esta velocidad evolucionan de acuerdo con las leyes 
de la dinámica. 
 
siendo la resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula i. Esta resultante 
se compone de las fuerzas internas que cada una de las demás partículas del 
sistema ejerce sobre i, más la resultante de las fuerzas externas (causadas por un 
agente externo al sistema) aplicadas sobre ella. 
 
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 1AV1. 
Suponemos que las interacciones entre las partículas obedecen la 3ª ley de Newton. 
 
O, lo que es lo mismo. 
 
En la mayoría de los casos se cumplirá además que la fuerza que la 
partícula k ejerce sobre la i (y por tanto la que la i ejerce sobre la k) va en la 
dirección de la recta que une ambas partículas. Matemáticamente, esto se expresa 
imponiendo que el vector es paralelo a la posición relativa , esto es, 
si: 
 
Eliminando paréntesis y aplicando la tercera ley de Newton esto equivale a la 
condición. 
 
Masa total. 
La masa total del sistema es la suma de las masas de las partículas que lo 
componen. 
 
Densidad de masa. 
Volumétrica. 
Cuando tenemos un sistema de muchos millones de partículas (como en un sólido, 
o un fluido), no es práctico hacer el sumatorio de las masas individuales. En su lugar 
se divide el sistema en elementos de volumen, ΔV, que son regiones del espacio lo 
suficientemente pequeñas para tratarlas como diferenciales, pero lo suficientemente 
grandes como para que contengan miles de partículas. El sistema se considera 
entonces como continuo, esto es, en lugar de describirse como formado por 
partículas separadas, se considera constituido por elementos de volumen 
adyacentes. 
Se define entonces la densidad de masa, , de un elemento de volumen, como 
la masa de las partículas que lo forman, dividida por el volumen del elemento. 
 
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 1AV1. 
Dicho de otra forma, la masa de un elemento de volumen es el producto de la 
densidad de masa por el volumen del elemento. 
 
La masa total del sistema será la suma de la masa de todos sus elementos. 
 
Una suma de muchas cantidades muy pequeñas no es otra cosa que una integral. 
 
Aquí la densidad es una función de la posición porque en un sistema no homogéneo 
(por ejemplo, el cuerpo humano) la densidad varía de un punto a otro. 
Un material homogéneo es aquel en que sus propiedades son iguales en todos sus 
puntos. Para este tipo de materiales. 
 
A menudo, un sistema compuesto está formado por varias partes cada una de las 
cuales es homogénea. En ese caso. 
 
En ese caso podemos definir una densidad media como. 
 
Superficial. 
Aunque en principio todas las masas ocupan un volumen en el espacio hay 
ocasiones (una chapa metálica, una hoja de papel…) en las que se concentran en 
una superficie de pequeño espesor. En ese caso, se define la densidad superficial 
de masas. 
 
Esta densidad de masa se mide en kg/m² en el SI. 
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 1AV1. 
La densidad superficial de masa, como la volumétrica, es una función de la posición, 
por lo que la masa total será la suma de las de todos los trozos en que se divide la 
superficie. 
 
En una superficie de un material homogéneo (y que además tenga el mismo espesor 
en todos sus puntos). 
 
Lineal. 
De la misma manera, para hilos y cables, es útil definir la densidad lineal de masa, 
que se mide en kg/m, 
 
De manera que la masa total de un hilo es: 
 
Para un hilo homogéneo: 
 
Centro de masas (CM). 
Definición. 
El centro de masas (CM) de un sistema de partículas es una media ponderada, 
según la masa individual, de las posiciones de todas las partículas que lo componen. 
 
Equivalentemente se cumple. 
 
En el caso de un sistema continuo, habrá que sumar para todos los elementos que 
lo componen. 
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 1AV1. 
 
El centro de masas siempre ocupará una posición intermedia entre las posiciones 
de las diferentes partículas del sistema. Así, en un triángulo formado por masas 
iguales, el centro de masas es el llamado baricentro, que se encuentra siempre en 
el interior. 
No obstante, hay que destacar que el centro de 
masas de un sistema de partículas no tiene por 
qué coincidir con ninguna de las partículas que lo 
componen. 
De hecho, en el caso de un sistema sólido, es 
perfectamente posible que el centro de masas 
esté fuera del sólido. Por ejemplo, en un salto de 
altura estilo Fosbury, el atleta pasa por encima del 
listón, pero su centro de masas pasa por debajo de él (consiguiendo el deportista 
arrancar así unos cuantos centímetros más en el salto). 
Velocidad del centro de masas. 
El centro de masas no es un punto fijo, sino que puede desplazarse cuando lo hacen 
las partículas del sistema. Obtenemos su velocidad derivando la definición respecto 
al tiempo 
 
Aceleración del centro de masas. 
Derivando de nuevo respecto al tiempo, hallamos la aceleración con la que se 
mueve el centro de masas. 
 
Posición relativa al centro de masas. 
Una vez definida la posición del centro de masas, interesa indicar dónde están 
situadas las partículas respecto al CM. Esto se consigue definiendo la posición 
relativa. 
 
Dado que la posición del centro de masas respecto a sí mismo es evidentemente 
nula, se cumple. 
http://laplace.us.es/wiki/index.php/Archivo:Fosbury.jpg
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 1AV1.De manera análoga se define la velocidad relativa al CM. 
 
y, del mismo modo que con la posición. 
 
ya que el centro de masas no se mueve respecto a sí mismo. 
Cantidad de movimiento. 
La cantidad de movimiento (o momento lineal) del sistema es la suma de las 
cantidades de movimiento de cada una de las partículas. 
 
La cantidad de movimiento se relaciona directamente con el centro de masas del 
sistema. Derivando respecto al tiempo la relación. 
 
Obtenemos: 
 
Esto es: 
 
En palabras: la cantidad de movimiento del sistema equivale a la que tendría una 
sola partícula material que concentrara toda la masa del sistema y que se moviera 
como el centro de masas de éste. 
De la relación entre cantidad de movimiento y velocidad del centro de masas se 
llega a que la cantidad de movimiento del sistema respecto al centro de masas es 
siempre nula 
 
Esto permite redefinir el centro de masas como aquel punto (variable) desde el cual 
la cantidad de movimiento del sistema es nula en todo momento. Cuando un sistema 
de partículas se estudia empleando este punto como origen del sistema de 
referencia se dice que se está estudiando desde el sistema centro de masas. 
 
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 1AV1. 
Momento cinético (o angular). 
De manera análoga a la cantidad de movimiento, se define el momento cinético (o 
angular) de un sistema de partículas como la suma vectorial de los momentos 
cinéticos individuales. 
 
Descomposición del momento angular. 
Las ecuaciones de la dinámica de sistemas se simplificarían notablemente si el 
momento angular, como el lineal, equivaliera al de una partícula puntual que 
concentrara toda la masa. No es así. 
Para relacionar el momento angular con el centro de masa, descomponemos cada 
posición y cada velocidad en suma de la del centro de masas más la posición o 
velocidad relativas. 
 
Con esta descomposición, el momento angular de cada partícula se separa en 
cuatro términos. 
 
Al sumar los momentos cinéticos individuales para obtener el momento angular total 
nos quedan cuatro sumas, en cada una de las cuales podemos sacar factor común 
la posición o la velocidad del CM, que es una cantidad que no depende del índice i. 
 
El segundo y el tercer término en la expresión del momento cinético total se anulan 
y la expresión se reduce a: 
 
Donde: 
 
es el momento cinético relativo al centro de masas. Empleando la notación del tema 
de dinámica, lo denotaríamos como . 
Según esto, el momento angular o cinético de un sistema de partículas se compone 
de dos contribuciones: el momento angular que tendría una partícula que contuviera 
toda la masa y se moviera como el centro de masas del sistema, más el momento 
angular que tienen las partículas por moverse alrededor del centro de masas. 
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 1AV1. 
Un ejemplo físico sencillo de esta descomposición lo tenemos en el momento 
angular de la Tierra en cuanto planeta del Sistema Solar. Su momento angular se 
compone de una parte debida al movimiento de traslación alrededor del Sol (lo que 
se conoce como momento angular orbital), que sería el primer término, más otra 
parte debida al movimiento de rotación alrededor de su eje (el llamado momento 
angular intrínseco), que sería . 
Energía cinética. 
La energía cinética del sistema es la suma escalar de las energías cinéticas 
individuales. 
 
Descomposición de la energía cinética. 
Para la energía cinética podemos efectuar una descomposición análoga a la del 
momento cinético. Escribiendo cada velocidad como suma de la del CM más la 
relativa. 
 
Queda, para la energía cinética individual, 
 
Y para la energía cinética total. 
 
El segundo término se anula por aparecer en él , lo que reduce la energía 
cinética a: 
 
Con: 
 
La energía cinética del sistema relativa al centro de masas. 
Esta descomposición se interpreta como que el sistema posee una energía cinética 
por el movimiento de traslación colectivo, más un término debido al movimiento 
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 1AV1. 
sobre sí mismo. Esta energía cinética intrínseca, K, es parte de la energía interna 
del sistema. Puede estar asociada a: 
 Un movimiento organizado. Por ejemplo, en la rotación de la Tierra alrededor de 
su eje. 
 Un movimiento desorganizado. Por ejemplo, en un gas que se encuentra a una 
cierta temperatura, el centro de masas puede estar estacionario y sin embargo el 
gas posee una energía cinética debido al movimiento de las moléculas que lo 
componen. Esta energía cinética es lo que llamamos agitación térmica. 
 Una combinación de ambos. Este es el caso general. La energía cinética del 
sistema parte se encuentra en movimientos macroscópicos (rotación o traslación 
de partes del sistema) y parte en movimientos microscópicos caóticos. 
Por la presencia de estos términos microscópicos caóticos la energía cinética total 
del sistema es normalmente desconocida. En su lugar el estudio de los sistemas 
suele limitarse a la suma del término con la suma de la energía cinética 
intrínseca debida a los movimientos macroscópicos (rotación, vibración, etc.). 
Energía propia. 
Teniendo en cuenta que las fuerzas internas suelen ser conservativas, por ser 
centrales, el trabajo realizado por ellas se puede expresar en función de una energía 
potencial asociada. Utilizando la relación anterior, queda entonces: 
 
Definimos una nueva magnitud, llamada energía propia (U) como la suma de la 
energía cinética y la potencial interna: 
 
Conviene hacer notar que la energía cinética debe estar referida a un sistema de 
referencia inercial, ya que se calcula a partir de las velocidades. Sin embargo, la 
energía potencial interna es independiente del sistema de referencia, ya que sólo 
depende de las distancias relativas entre las partículas. 
Conservación de la energía. 
En términos de la energía propia, el trabajo de las fuerzas externas es: 
 
Podemos distinguir tres casos: 
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 1AV1. 
 Sistema aislado (no actúan fuerzas externas): el trabajo de las fuerzas externas 
es nulo de lo que se deduce que en un sistema aislado la energía propia se 
conserva. 
 
 
 Las fuerzas externas son conservativas: en este caso el trabajo de dichas fuerzas 
se expresa en función de una energía potencial externa. Sustituyendo: 
 
 
La energía mecánica de un sistema es la suma de la energía cinética, la potencial 
interna y la potencial externa. 
 
Entonces, cuando las fuerzas internas y externas son conservativas, la energía 
mecánica del sistema se conserva. 
 
 Actúan fuerzas de rozamiento (no conservativas): en el término del trabajo de las 
fuerzas externas hay que considerar también el trabajo realizado por las fuerzas 
de rozamiento, y la expresión final queda: 
 
Es decir, cuando actúan fuerzas de rozamiento, la variación de energía mecánica 
es igual al trabajo de las fuerzas de rozamiento. 
Principio de trabajo y energía de un sistema de partículas. 
El principio de trabajo y energía puede aplicarse a cada partícula P del sistema de 
partículas: 
 
Las cantidades T1 y T2 representan la energía cinética total del sistema. La 
expresión V12 representa el trabajo de todas las fuerzas que actúan sobre las 
partículas del sistema. 
Si todas las fuerzas que actúan sobre las partículas del sistema son conservativas, 
la ecuación puede reemplazarse por: 
 
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 1AV1. 
Donde V representa la energía potencial asociada con las fuerzas internas y 
externas que actúan sobre las partículas del sistema. La conservación expresa el 
principio dela conservación de la energía del sistema. 
La energía cinética total de un sistemade partículas simplemente es la suma de las 
energías cinéticas individuales de todas las partículas. 
Supongamos que la partícula de masa m1 se desplaza r1, y que la partícula de masa 
m2 se desplaza r2, como consecuencia de las fuerzas que actúan sobre cada una 
de las partículas. 
El trabajo realizado por la resultante de las fuerzas que 
actúan sobre ambas partículas es igual al producto 
escalar: 
 
Las fuerzas interiores F12=-F21 son iguales y de sentido 
contrario. 
Denominando trabajo de las fuerzas exteriores a la suma. 
Tendremos: 
 
Que es la suma de la energía cinética de las dos partículas que forman el sistema 
y de la energía potencial que describe la interacción entre 
las dos partículas. 
Para un sistema formado por tres partículas hay tres 
interacciones, de la partícula 1 con la 2, la 1 con la 3 y la 2 
con la 3, descritas por las fuerzas internas conservativas 
F12, F23, F13 o por sus correspondientes energías 
potenciales. La energía del sistema es: 
 
 
 
 
 
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 1AV1. 
Desarrollo. 
Primer ejercicio propuesto / Dos bolas. 
Si a la bola A se le da una velocidad inicial V0=0.40 m/s a lo largo de la línea CA. 
Esta bola choca con la bola B, la cual se encuentra en reposo y que tocan la orilla 
de la mesa en los puntos A’ y B’, se suponen superficies sin fricción, así como 
impactos perfectamente elásticos, determina VA y VB con los cuales las bolas 
chocan con los laterales de la mesa. 
 
 
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 1AV1. 
 
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 1AV1. 
 
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 1AV1. 
 
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 1AV1. 
Segundo ejercicio propuesto / Tres bolas. 
Con los datos del ejercicio anterior se le añade una tercera bola C con la cual choca 
A después de su primer impacto con B, las bolas chocarán contra la orilla de la mesa 
en A’, B’ y C’, calcula VA, VB y VC con la que chocan contra la mesa. 
 
 
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 1AV1. 
 
 
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 1AV1. 
 
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 1AV1. 
 
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 1AV1. 
 
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 1AV1. 
Bibliografía. 
 Departamento de Física Aplicada III. (2016). Definición y propiedades de un 
sistema de partículas. 2021, de Universidad de Sevilla Sitio web: 
http://laplace.us.es/wiki/index.php/Definici%C3%B3n_y_propiedades_de_un_sis
tema_de_part%C3%ADculas 
 Martín, T y Serrano, A. (2018). Dinámica de un sistema de partículas. 2021, de 
Universidad Politécnica de Madrid (UPM) Sitio web: 
https://www2.montes.upm.es/dptos/digfa/cfisica/dinamsist/energiasist.html 
 Villegas, A. et al. (2016). Principio de trabajo y energía de un sistema de 
partículas. 2021, de Instituto Tecnológico de Toluca Sitio web: 
https://es.scribd.com/document/319494003/Principio-de-Trabajo-y-Energia-
Para-Un-Sistema-de-Particulas 
http://laplace.us.es/wiki/index.php/Definici%C3%B3n_y_propiedades_de_un_sistema_de_part%C3%ADculas
http://laplace.us.es/wiki/index.php/Definici%C3%B3n_y_propiedades_de_un_sistema_de_part%C3%ADculas
https://www2.montes.upm.es/dptos/digfa/cfisica/dinamsist/energiasist.html
https://es.scribd.com/document/319494003/Principio-de-Trabajo-y-Energia-Para-Un-Sistema-de-Particulas
https://es.scribd.com/document/319494003/Principio-de-Trabajo-y-Energia-Para-Un-Sistema-de-Particulas