Filosofía_de_la_vida_con_cálculo_explorar_la_filosofía_de_la_vida

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Tabla	de	contenidoinformacion	registradaListafilosofia	de	vida	del	calculoinformacion	registradaDedicaciónPrefacio	a	la	versión	china:	aprendí	todo	sobre	la	vida	a	través	de	las	matemáticasPrefacio	Algo	más	profundo	que	el	cálculoPrueba	la	filosofía	de	vida	del	cálculo,	¿la	entiendes?Primera	parte:	La	línea	recta	de	la	juventudCapítulo	1	No	hay	punto	de	ruptura	en	la	vida.Primer	encuentro	con	Joffrey.Secuencia	de	la	Cabra	y	FibonacciSe	convirtió	en	mi	increíble	animador.Capítulo	2	La	vida	es	siempre	una	espiral	y	puede	que	no	haya	solución.Pregunta	típica	de	JoffreySolo	hay	unos	pocos	problemas	que	podemos	resolver.Capítulo	3	Cambia	el	marco	de	referencia	y	te	volverás	muy	poderosoEinstein	y	su	teoría	de	la	relatividadPrimera	carta	al	Sr.	JoffreyDe	otra	manera,	¿qué	pasa	si	no	usamos	una	espiral	logarítmica?Capítulo	4	Descúbrete	a	ti	mismo	y	sal	de	la	vida	irracionalLa	curiosidad	de	los	matemáticos	sobre	■Método	de	prueba	geométrica	elegante	y	potente.Una	elección	de	la	que	nunca	te	arrepentirásParte	2	Una	carrera	en	espiralCapítulo	5:	Avanzando	un	poquito,	la	relación	se	vuelve	más	estrecha.El	camino	hacia	los	logros	legendarios	de	Jamie	WilliamsDe	"Joffry"	a	"Jove"Capítulo	6	Prueba	en	el	mantel,	todo	surge	de	compartirFascinante	serie	infinita.Serie	de	Fourier	y	función	gamma.Fórmula	escrita	en	mantel	individualObras	especiales	de	"arte"Capítulo	7	Siempre	hay	un	punto	de	encuentro	en	la	vida.monje	y	montañaDiferentes	viajes	al	mismo	tiempo	y	lugarLos	problemas	inusuales	requieren	enfoques	inusualesSean	testigos	juntos	del	mayor	logro	de	su	carrera	docenteCapítulo	8	Selección	aleatoria	impredecibleBodas	y	funeralesEl	momento	que	se	queda	en	la	cima	de	la	ola.
Pregunta	de	tres	puertas	contradictoriaTercera	parte:	Percepciones	de	vida	no	linealesCapítulo	9	Los	límites	y	el	infinito	pueden	serlo	todo	en	la	vida.El	misterioso	límite	de	Boyerfantasía	picoCapítulo	10	El	matrimonio	es	un	caosDirección	impredecible	de	la	vida.Después	de	un	producto	infinito,	todo	queda	claro.Se	despide	de	su	carrera	docenteCapítulo	11	El	camino	recto	no	es	el	más	rápido.La	trayectoria	de	descenso	más	rápida.La	vida	está	llena	de	problemas.Capítulo	12	La	vida	es	una	colección	de	cambios	de	fase	y	puntos	de	inflexión.No	podemos	evitar	el	nacimiento,	la	vejez,	la	enfermedad	y	la	muerte.Fueron	30	años	después	que	me	acerqué	a	su	vida.Capítulo	13	El	tiempo	siempre	te	empuja,	así	es	la	vida.Más	rápido	más	rápidoLa	fórmula	de	Helen,	la	felicidad	está	por	delante.Confesiones	de	un	hombre	de	76	añosPosdata	del	traductorHéroe	de	las	Mil	Caras	Nueva	Edicióninformacion	registradaIntroducción	a	José	CampbellSerie	de	mitología	de	CampbellPrefacio	de	la	versión	china	La	resurrección	del	mitoPrefacio	a	la	edición	de	1949Prueba:	¿Conoces	las	aventuras	de	héroes	míticos?monomito	de	aperturaMitos	y	sueñostragedia	y	comediaHéroes	y	diosescentro	del	mundoPrimera	parte	La	aventura	del	héroe01	SalidaEl	llamado	a	la	aventurarechazar	la	llamadaayuda	sobrenaturalcruzando	el	primer	umbralvientre	de	ballena02	Iluminacióncamino	de	pruebaConoce	a	la	diosa
Tentación	de	la	tentadoraReconciliado	con	el	Padre	Celestialadoración	como	diosesregalo	definitivo03	Regresonegarse	a	regresarEscapa	con	magiaRescate	del	mundo	exteriorCruzando	el	umbral	del	retornoSeñor	de	dos	mundoslibertad	de	vida04	respuestasUn	mito	de	segunda	manomito	arruinadoBuscar	pistas	faltantesParte	2	El	ciclo	de	la	creación	del	universo05	generadoDe	la	psicología	a	la	metafísicaciclo	cósmicoOriginario	del	espacio	-	espacioEn	el	espacio	-	vidaconvertir	uno	en	muchosCuentos	populares	de	creación.06	Nacimiento	Virginalmadre	del	universocuerpo	madre	del	destinoel	vientre	de	la	salvaciónCuentos	populares	sobre	la	maternidad	virgen.07	La	transformación	de	un	héroeLos	primeros	héroes	y	humanos.La	infancia	de	los	héroes	humanos.héroe	guerrerohéroe	amantehéroe	rey	y	héroe	tiranohéroe	salvadorsanto	héroeLa	partida	del	héroe.08	digestiónEl	fin	del	pequeño	universoEl	fin	del	universoEpílogo	Mito	y	sociedadcambiaformas
El	papel	del	mito,	el	culto	y	la	meditaciónel	héroe	de	hoyApéndice:	Genealogía	de	personajes	de	la	mitología	y	las	historias	religiosasComentarioAnotación	de	ilustraciónExpresiones	de	gratitudAcerca	de	la	Fundación	Joseph	CampbellPosdata	del	traductorSigue	el	camino	de	la	intuición	Nueva	edicióninformacion	registradaIntroducción	a	José	CampbellSerie	de	mitología	de	CampbellPrefacio	de	la	versión	china	La	resurrección	del	mitoPrólogo	del	editor	original	Experto	en	mitología	en	Cooper	UnionIntroducción	Por	qué	necesitamos	mitosPrueba:	¿Entiendes	la	función	del	mito?Primera	parte:	el	hombre	y	el	mito01	La	necesidad	de	los	ritualesfunción	del	mitoMitos	y	desarrollo	personalmito	futuro02	Viajar	a	través	del	tiempo	y	el	espacio	para	encontrar	mitosLa	superficie	y	la	sustancia	del	mitoEl	nacimiento	del	mito:	sociedades	primitivas	y	primitivasEl	nacimiento	de	Oriente	y	Occidente:	la	alta	culturaParte	2	Mitos	vivientes03	La	sociedad	y	sus	símbolosEl	mecanismo	del	mito:	cómo	funcionan	los	símbolosSociedad,	mitología	y	desarrollo	personalYo:	Grandes	diferencias	entre	Oriente	y	Occidente04	Mito	y	yoJung	y	la	personalidad	bipolarArquetipos	del	inconsciente	colectivo05	Mito	personalJung:	El	mito	de	mi	vidaLas	funciones	pasadas	y	presentes	del	mito.Parte	3	El	viaje	del	héroe06	El	viaje	del	autohéroeParte	4	Diálogo07	Diálogo	EspiritualComentarioAcerca	de	la	Fundación	Campbell
20	conferencias	sobre	la	confusión	en	la	vidainformacion	registradaPrefacio	20	maestrías	en	psicología	para	responder	a	las	confusiones	de	tu	vidaHaz	esta	prueba	y	ve	si	puedes	resolver	la	confusión	en	la	vida.Primera	parte:	yo	y	crecimiento01 	 ¿Por 	qué 	 todos 	 culpamos 	 a 	nuestra 	 familia 	 de 	 origen 	de 	nuestros 	 errores 	 cuando	crecemos?	Familia	de	origen·Freud02 	 ¿Cuál 	 es 	 la 	 misión 	 que 	 se 	 debe 	 cumplir 	 en 	 las 	 diferentes	edades?Autodesarrollo·Erickson03	Cómo	realizar	el	valor	de	tu	propia	vida	y	la	autorrealización·Maslow04	Si	quieres	cambiar	tu	comportamiento,	aprende	conductismo	del	fundador	del	diseño	conductual	Skinner.05 	 ¿Por 	 qué 	muchos 	 tests 	 psicológicos 	 dan 	 a 	 la 	 gente 	 la 	 impresión 	de 	 que 	 son 	muy	precisos?	Autotest·Galton06	¿Cuándo	necesitamos	asesoramiento	psicológico?	Asesoramiento	y	terapia	psicológica	·	Jung07 	 ¿Existe 	 realmente 	 la 	 pregunta 	 fundamental 	 de 	 la 	 humanidad, 	 el 	 “libre 	 albedrío”?	Cerebro	y	conciencia	·	GazzanigaParte	2	Emociones	y	Género08 	 Me 	 siento 	 deprimido 	 todos 	 los 	 días, 	 ¿cómo 	 puedo 	 hacerme 	 feliz? 	 Psicología	Positiva·Seligman09 	Cómo 	encontrar 	 el 	 equilibrio 	 entre 	 sensibilidad 	 y 	 racionalidad 	Cerebro 	Racional 	 y	Cerebro	Emocional·Hait10	¿Existe	una	forma	rápida	y	sencilla	de	reducir	el	estrés	y	aliviar	la	ansiedad?Kabat-Zinn11	Cuando	conoces	a	la	persona	que	te	gusta	en	el 	 lugar	de	trabajo, 	¿deberías	intentar	enamorarte?	Workplace	Romance·Watson12 	 Cómo 	 experimentar 	 la 	 diversión 	 de 	 sumergirse 	 en 	 el 	 flujo 	 y 	 olvidar 	 el 	 paso 	 del	tiempo·Hiszant	Mihayly13	¿Cómo	es	el	amor	perfecto	para	ambos	sexos?	SternbergParte	3	Comunicación	y	Socialización14.	¿Cómo	puedo	ayudar	a	mi	amigo	cuando	me	regaña	por	algo	que	le	molesta?Centro	Rogers15	¿Qué	piensa	mi	hijo?	Psicología	infantil·Piaget16	¿Cómo	digo	"no"	cuando	otros	me	presionan?Influencia	social·Milgram17.	Para	tener	éxito,	¿qué	competencia	es	más	importante	que	el	coeficiente	intelectual	y	el	coeficiente	intelectual?	McClelland18	Cómo	mejorar	tu	salón	de	influencia	personal19	Cómo	lograr	el	equilibrio	psicológico	y	la	disonancia	cognitiva·Aronson20	Cómo	entender	la	psicología	cultural	de	personas	diferentes	a	ti·MarcusDoce	reglas	de	la	vida	2La	página	de	derechos	de	autorSobre	el	Autor
Dedicaciónpalabras	del	autorPrefacio	Más	allá	del	orden,	no	intentes	controlarlo	todo,	lo	mejor	es	un	caos	moderadoPon	a	prueba	las	reglas	efectivas	de	la	vida,	¿las	has	dominado?Regla	1:	Saber	mantener	la	tradición	y	atreverse	a	innovar	con	audaciaSalud	mental	y	relaciones	sociales.Estructura	jerárquica	construida	de	abajohacia	arriba.Mantener	una	mentalidad	de	novatoLa	obediencia	es	el	prerrequisito	para	la	creación.Niveles	de	personalidad	y	potencial	de	transformaciónRegla	2:	La	autonarración	correcta	te	hace	ser	mejorquien	eres	y	quien	puedes	serGuía	la	vida	con	historias.Encuentra	tus	intereses	y	potencialIntégrate	ante	el	dolorHacia	grandes	objetivosComo	actuarRegla	3:	Haz	las	cosas	que	repites	en	la	vidaLos	pequeños	problemas	que	eventualmente	te	destruiránMantente	fiel	a	los	sentimientos	y	la	verdad.Regla	4:	Cuantas	más	responsabilidades	esté	dispuesto	a	asumir,	más	significado	obtendrá	de	la	vida.ser	una	persona	útilLiberar	el	potencial	en	las	dificultadessalva	a	tu	padreEsté	siempre	preparado	para	el	futuro.Tomar	la	iniciativa	para	asumir	responsabilidades	adicionales.Regla	5:	Escucha	tu	corazón	y	no	hagas	cosas	malas	por	cosas	pequeñasrechazar	el	absurdodefender	su	posiciónÚnete	al	lugar	idealRegla	6:	Manténgase	alejado	de	las	palabras	vacías,	sólo	el	trabajo	duro	puede	conducir	a	la	felicidadSi	el	cuidado	está	fuera	de	lugarNo	reduzca	los	problemas	complejos	a	una	sola	variableNo	más	resentimientoRegla	7:	Haz	tu	mejor	esfuerzo	en	al	menos	una	cosa	que	te	ayude	a	encontrar	una	salida	cuando	estés	confundidoEl	valor	del	calor	y	la	presión.La	peor	decisión	es	no	tomar	una	decisión.Autodisciplina	e	integraciónAdherirse	y	trascender
Regla	8:	Usa	la	belleza	para	mejorar	la	vidaDale	vida	a	la	bellezaMantén	tus	ojos	de	niñoExplora	activamente	lo	desconocidoDefiende	tu	acto	creativoSigue	el	llamado	de	la	bellezaRegla	9:	Expresa	miedo	y	dolor	y	supera	los	recuerdos	que	quieres	olvidar.¿El	pasado	todavía	te	persigue?Reexaminar	el	dolor	interiorDeshazte	de	los	demonios	internosActualiza	tu	mapa	de	vida	con	la	escritura.Convertir	el	potencial	en	realidadCúrate	a	ti	mismo	con	palabrasRegla	10	El	romance	no	es	sólo	una	relación,	sino	también	una	capacidad.fecha	insoportableEl	matrimonio	es	el	cumplimiento	de	los	votos.Negociación,	tiranía	y	esclavituddirigir	una	familia	felizNunca	ignores	el	romanceRegla	11:	No	luches	contra	el	mal	con	el	malLas	historias	son	la	clave	para	entender	el	mundo.Los	elementos	eternos	que	componen	el	mundo.resolver	el	resentimientoDeshazte	del	engaño	y	la	arrogancia.La	dirección	que	debes	seguirRegla	12:	No	te	resientas	por	el	sufrimiento	que	el	mundo	te	ha	dado,	usa	la	gratitud	para	reconciliarte	con	tu	corazónmás	allá	del	dolorResiste	la	tentación	de	MefistófelesLa	mejor	actitud	para	afrontar	las	vicisitudes	de	la	vida	es	ser	agradecidoMás	allá	del	coraje,	hay	amorposdatanotas	y	referenciasPosdata	del	traductorHaz	tu	mejor	esfuerzo	para	vivir	el	momento	de	dejar	que	la	naturaleza	siga	su	curso.informacion	registradaDedicaciónEl	prólogo	no	posee	nada.Pon	a	prueba	estos	conocimientos	culturales	sobre	Japón,	¿lo	entiendes?Capítulo	1:	No	es	necesario	cooperar	con	quienes	te	rodean,	protege	completamente	tu	resistencia.1	Hoy	lo	es	todo,	¿por	qué	no	renunciar	a	todo	con	audacia	y	rapidez?
2.	Haz	todo	lo	que	puedas	hacer	hoy,	porque	puede	que	no	haya	un	mañana	en	la	vida.3. 	No	es	necesario	cooperar	con	quienes	te	rodean	y	debes	proteger	completamente	tu	resistencia.4.	No	te	preocupes	por	las	valoraciones	de	los	demás,	si	puedes	aceptarlas	o	no	es	más	importante.5	Nunca	esperarás	hasta	el	día	en	que	todo	esté	listo,	no	tienes	que	pensar	en	nada,	sólo	tomar	una	decisión.6	No	importa	si	no	tienes	lo	que	quieres	hacer,	si	lo	afrontas	con	honestidad,	habrá	un	futuro	brillante.7	Da	el	primer	paso	bajo	la	guía	de	quienes	te	rodean8	No	importa	si	no	sabes	hacer	nada,	puedes	hacer	cualquier	cosa	si	no	te	pones	límites.9.	Una	empresa	es	sólo	una	oficina,	no	importa	si	no	amas	a	la	empresa.10	Es	peligroso	avanzar	a	ciegas,	hay	que	tener	el	valor	de	rendirse	en	cualquier	momento.11	No	es	necesario	fijarse	metas.	Si	te	esfuerzas	demasiado	y	fracasas,	simplemente	desiste.12	No	pienses	en	5	años	a	partir	de	ahora,	disfruta	el	hoy	y	concéntrate	en	hacer	lo	que	te	apasiona.13	No	hay	estabilidad	en	el	mundo,	el	cambio	constante	es	la	ley	de	la	naturaleza14	La	vida	humana	es	insignificante,	a	los	ojos	del	universo	es	sólo	un	momento.Una	figura	única	en	el	mundo	empresarial	japonésCapítulo	2:	La	posesión	no	crea	estabilidad,	pero	rendirse	puede	conducir	a	la	libertad.15 	 Cultivar 	 la 	 conciencia 	 de 	 la 	 renuncia, 	 empezando 	 por 	 comprender 	 los 	 gustos 	 y	aversiones.16	Es	mejor	no	poseer	nada	que	renunciar	a	ello,	ya	sea	un	automóvil,	una	casa	o	un	reloj.17	La	posesión	no	crea	estabilidad,	rendirse	puede	conducir	a	la	libertad.18	Incluso	los	recuerdos	pueden	descartarse	porque	son	inútiles19	Para	llevarlo	contigo	solo	basta	con	un	bolso	pequeño20	Abandona	los	planes	y	deja	espacio	para	la	inspiración21	Deja	de	socializar	y	no	te	molestes	en	ampliar	tu	red.22 	Renuncia 	a 	 la 	 comunicación 	 interpersonal, 	 siempre 	que 	 tengas 	amigos 	con 	quienes	puedas	hablar	sobre	el	futuro.23	Deja	de	dar	las	cosas	por	sentado,	habla	con	extraños	y	atrévete	a	añadirte	“carga”24	Renuncia	al	apego	y	elige	la	libertad	espiritual25	Las	personas	son	como	las	flores,	sólo	con	el	contraste	pueden	destacar	más.26	Deja	los	libros	porque	quieres	volver	a	leerlos	con	un	humor	fresco27 	 Puedes 	 deshacerte 	 de 	 la 	 ropa 	 en 	 cualquier 	momento, 	 porque 	 no 	 tienes 	 ninguna	obsesión,	así	que	no	dudarás.28	Abandona	las	huellas	del	pasado	y	mantente	siempre	fresco29	Abandona	el	periódico,	solo	lee	los	titulares	e	imagina	el	contenido30	Abandona	los	arreglos	del	director	y	decide	por	tu	cuenta	lo	que	te	toca31	Abandona	los	objetos	físicos,	el	juego	definitivo	está	en	la	mente32	Renuncia	a	tu	smartphone	porque	no	quieres	perderte
33	Las	películas	que	se	ven	en	teléfonos	móviles	no	son	cultura,	utiliza	tus	cinco	sentidos	para	disfrutar	de	películas	reales.34	La	cultura	es	como	una	flor,	renunciar	es	el	mayor	lujoSoy	un	guía	Su	forma	de	vida	es	realmente	libre	y	hermosa.Capítulo 	3 	Atrévete 	a 	cambiar 	el 	orden	y 	hazlo 	con	decisión, 	si 	no 	puedes 	hacerlo, 	no	puedes	hacerlo.35	Una	vez	que	te	decidas,	hazlo	con	decisión	y	atrévete	a	cambiar	el	orden.36	Tengo	que	decir	lo	que	me	viene	a	la	mente	porque	quiero	expresar	verdaderamente	mi	motivación	en	ese	momento.37	Si	no	puedes	hacerlo,	no	puedes	hacerlo,	renuncia	y	sigue	adelante.38	Ríndete	sin	dudarlo39	No	te	rindas	en	este	mundo,	mantente	optimista	y	empieza	de	nuevo40	No	importa	si	no	tienes	experiencia,	piensa	libremente	y	hazlo	de	todos	modos41	No	tragues	nada	que	no	puedas	aceptar.42	No	tienes	que	depender	de	ti	mismo	para	todo,	mientras	pidas	ayuda,	siempre	habrá	una	manera43	No	tiene	sentido	quedarse	donde	estás	si	no	puedes	hacer	lo	que	quieres	hacer.44	No	te	ciñas	al	lugar,	no	importa	a	dónde	vayas,	haces	lo	mismo45	No	juzgues	por	el	pasado	o	el	desempeño,	y	trabaja	con	personas	con	quienes	puedas	hablar	sobre	el	futuro.46	Si	te	importa	alguien,	ve	a	verlo	inmediatamenteEl	señor	Nakano	siempre	ha	sido	el	señor	Nakano.Capítulo	4	Escucha	siempre	el	sonido	de	la	escena.47	Cuando	confías	en	otros,	debes	confiar	y	dejar	ir.48	Aunque	sea	1	segundo	más	rápido,	debemos	decidir	lo	antes	posible.	Tomar	decisiones	es	trabajo	del	presidente.49 	 No 	 es 	 necesario 	 informar 	 de 	 todo 	 ni 	 planificar, 	 lo 	 único 	 que 	 queremos 	 son 	 los	resultados.50	Capte	el	flujo	de	caja	y	haga	juicios	simples51	La	única	manera	de	que	la	empresa	y	el	equipo	sobrevivan	es52	No	se	trata	en	absoluto	de	cultivar	subordinados,	sino	de	tratar	de	alcanzarlos.53	El	curso	de	la	vida	es	dejar	que	la	naturaleza	siga	su	curso54	Si	estás	interesado,	ve	a	visitarlo,	dondequiera	que	estés,	habrá	nuevas	oportunidades.55	Haz	tu	mejor	esfuerzo	para	vivir	el	momento	de	dejar	que	la	naturaleza	siga	su	curso56	Lo	que	empezó	por	capricho	se	ha	desarrollado	inesperadamente57	Desafíate	a	cosas	nuevas.	Si	no	funciona,	no	hay	nada	que	puedas	hacer	al	respecto.58	La	posición	no	es	algo	de	lo	que	estar	orgulloso59	Si	fuera	yo,	haría	esto:	templar	mi	trabajo	con	espíritu	crítico60 	 Vuelva 	 a 	 examinar 	 los 	 activos 	 que 	 posee 	 actualmente 	 y 	 la 	 respuesta 	 surgirá	naturalmente61ideas	que	mejoran	el	valor	generaron	varias	reformas62	Escucha	siempre	el	sonido	de	la	escena.
63	Deja	tu	obsesión	y	proporciona	lo	que	la	otra	persona	quiere.64	Sólo	pregunta	y	alguien	te	enseñará	cómo	combinar	cosas	existentes.Una	de	las	personas	mayores	que	ha	tenido	la	mayor	influencia	en	mí	en	mi	vida.Capítulo	5:	Un	lugar	por	el	que	pasas	casualmente,	pero	un	encuentro	que	te	cambia	la	vida65	Lo	que	debes	hacer	cada	día	es	hacerte	un	voto	a	ti	mismo66	El	sabor	de	la	vida	cambiará,	disfruta	de	la	diversión	de	diferentes	edades.67	La	vida	es	una	meta	tras	otra,	quiero	sentir	que	esta	vida	es	muy	feliz	10	segundos	antes	de	la	muerte.68	Todo	es	causa	y	efecto,	debemos	tener	responsabilidad,	conciencia	y	esperanza69	No	agregues	carga	a	la	naturaleza	y	deja	que	la	vida	termine	como	está.70	Dedica	tu	tiempo	a	crear	un	futuro	mejor71	No	te	preocupes,	volverá	el	momento	de	reunirse	con	amigos.72 	Mantener 	 comunicación 	 con 	 compañeros 	de 	diferentes 	 industrias 	 y 	personalidades	alegres.73	Lugares	por	los	que	pasas	casualmente,	pero	tienes	encuentros	que	te	cambian	la	vida74	La	forma	de	usar	el	dinero	la	determina	tu	propio	corazón75	No	me	atraen	las	críticas	establecidas	y	quiero	comprar	obras	con	alma.76	Si	no	quedan	cosas	tangibles,	¿cuántas	cosas	intangibles	pueden	quedar?77	Para	un	viaje	sin	planificación,	el	encuentro	es	la	mejor	guía78	La	esclavitud	de	la	ciudad	natal	es	sólo	una	ilusión79	Abandona	tu	lugar	actual	y	comienza	desde	cero	en	cualquier	momento80	Quiero	trabajar	hasta	la	muerte,	para	poder	mantenerme81	Poniendo	nuestra	esperanza	en	la	era	venidera,	hacia	un	futuro	donde	la	cultura	de	la	confianza	será	cada	vez	más	próspera.Una	vez	dudé:	¿existe	realmente	tal	persona?Conclusión: 	 disfrute 	 de 	 cada 	 momento 	 y 	 busque 	 constantemente 	 la 	 precisión 	 en 	 la	sensibilidad.Doce	reglas	de	vidaLa	página	de	derechos	de	autorJordan	PetersonLa	regla	de	recomendación	más	importante:	asumir	la	responsabilidad	de	tu	propia	vida.Tabla	de	contenidoIntroducción	Cómo	resistir	tus	propias	insuficiencias	e	ignoranciaRegla 	1: 	Una	 langosta 	ganadora 	nunca 	 inclina 	 la 	cabeza: 	se 	mantiene 	erguida 	y 	con	 la	cabeza	en	alto.La	batalla	por	el	territorio	en	el	mundo	biológicoPirámide	de	jerarquía	de	dominanciaDesarrolla	tu	autoconcienciaSal	del	modo	perdedorRegla 	2: 	Cuídate 	como	cuidarías 	a 	una 	mascota 	enferma: 	 trátate 	como	ayudarías 	a 	 los	demásLa	naturaleza	del	mundo:	caos	y	orden
Conócete	a	ti	mismoDios	ayuda	a	quienes	se	ayudan	a	sí	mismosRegla	3:	Renunciar	duele	a	los	amigos:	hazte	amigo	de	personas	que	sinceramente	quieran	que	seas	bueno.juventud	estérilDeshazte	de	la	"repetición	compulsiva"¿Salvar	a	otros	es	noble	o	vanidad?Construir	relaciones	mutuamente	beneficiosasRegla	4:	Derrota	a	tu	crítico	interior:	compárate	con	quién	eras	ayer,	no	con	quién	son	los	demás	hoyJuego	con	uno	mismoLo	que	persigues	determina	lo	que	vesSalir	del	dilema	cognitivoCentrarse	en	mejorar	la	situación.Regla	5:	Disciplina	a	tu	pequeño	monstruo:	No	dejes	que	tu	hijo	haga	cosas	que	te	hagan	odiarloMejorar	la	relación	costo/beneficioEstablecer	conciencia	de	las	reglas	y	estructuras.Cinco	principios	de	disciplinaRegla 	6: 	Cuando	el 	dolor 	 te 	da 	ganas 	de	maldecir 	 todo: 	Limpia 	 tu 	habitación	antes 	de	criticar	al	mundovalor	de	la	existenciaCómo	elegir	cuando	tienes	dolorlimpia	tu	vidaRegla	7:	La	elección	de	Sócrates:	buscar	significado	y	negarse	a	conformarseEl	valor	de	la	gratificación	retrasadaMuerte,	trabajo	y	malLa	libertad	debe	basarse	en	limitacionesMirar	más	allá	del	presente	y	centrarse	en	el	futuroRegla	8:	No	le	compres	a	un	borracho:	di	la	verdad,	o	al	menos	no	mientasEscapar	o	decir	la	verdad.negarse	a	engañarelige	la	verdadRegla	9:	No	robes	las	preguntas	del	cliente:	asume	que	la	persona	a	la	que	estás	escuchando	sabe	algo	que	tú	no	sabesNo	des	consejos,	elige	escucharExpresa,	piensa,	escúchate	a	ti	mismoIdentifique	su	motivación	para	la	conversación.Exploren	juntos	y	beneficien	unos	de	otrosRegla	10:	No	ignores	al	dragón	debajo	de	la	alfombra:	enfrenta	el	problema	de	frente	y	sé	preciso	en	tus	palabrasUn	mundo	complejo,	multidimensional	y	en	constante	cambio
Ignorar	los	problemas	es	un	precursor	de	que	todo	se	desmoroneAnálisis	preciso,	creación	de	estructura	y	reconstrucción	del	orden.Regla	11:	No	molestar	a	los	niños	que	practican	skate:	reconocer	la	realidad	y	luchar	contra	los	prejuiciosNo	es	sólo	el	skate	lo	que	está	bloqueadoTerrible	espíritu	antihumano"Grupos	vulnerables"	nacidos	del	prejuicioLa	cultura	se	origina	en	la	creación	humana.Cuidado	con	quienes	abogan	por	explicaciones	de	un	solo	factorcrimen	de	simpatíaLo	que	el	futuro	necesita	es	perseverancia,	no	debilidad.Regla	12:	Cuando	te	encuentres	con	un	gato	en	la	calle,	acarícialo:	céntrate	en	lo	bueno	que	existeHay	limitaciones	de	necesidadReemplace	el	pensamiento	con	el	enfoqueEncuentra	la	belleza	y	equilibra	el	dolor.Conclusión	¿Qué	debo	escribir	con	un	iluminador?Expresiones	de	gratitudnotas	y	referenciasPosdata	del	traductorEncuentro	con	Sócrates	en	una	gasolinera	a	altas	horas	de	la	nochepágina	de	título	del	libroinformacion	registradaTabla	de	contenidoLa	respuesta	a	la	secuencia	recomendada	está	en	el	vientoPrefacio	a	un	libro	que	cambia	la	vidaGasolinera	al	final	del	arco	iris	en	cuña.Parte	1:	Cambio	de	vientoCapítulo	1	Una	repentina	aparición	de	magia.Capítulo	2	Red	de	ilusionesCapítulo	3	LiberándoseParte	2:	El	entrenamiento	de	un	guerreroCapítulo	4	La	espada	ha	sido	afilada.Capítulo	5	Sendero	de	montañaCapítulo	6	Alegría	más	allá	de	la	menteParte	3:	Felicidad	inexplicableCapítulo	7	La	búsqueda	finalCapítulo	8	La	puerta	está	abierta.Risas	en	el	viento	al	final.Posdata:	El	camino	del	guerrero	pacíficoExpresiones	de	gratitudLa	ley	del	sabio	ciervo
La	página	de	derechos	de	autorPrefacio:	Doce	reglas	para	ayudarte	a	comprender	la	sabiduría	de	la	vidaTabla	de	contenidoPrueba:	¿Sabes	aplicar	las	leyes	de	la	vida?Prólogo:	Encuentro	con	el	sabio	que	habita	en	la	montaña01	La	Ley	del	Equilibrio	Encuentra	el	punto	medio	y	mantén	el	equilibrio	en	la	vida	diaria02	Ley	de	Elección	Las	decisiones	no	se	expresan	en	palabras,	sino	en	acciones03	La 	regla 	del 	proceso 	considera 	cada 	paso 	en 	diferentes 	etapas, 	en 	 lugar 	de 	solo 	el	objetivo	a	largo	plazo.04 	 La 	 Ley 	 de 	 la 	 Existencia 	 se 	 centra 	 en 	 el 	momento 	 presente 	 y 	 se 	 involucra 	 en 	 la	experiencia	del	aquí	y	ahora.05	Ley	de	la	Empatía	Actúa	por	amor	y	comprensión,	no	actúes	por	odio	e	ignorancia06	Ley	de	Creencia	Acepta	la	incertidumbre	de	la	vida	y	siente	tu	camino	con	el	corazón.07 	La 	Ley 	de 	 la 	Expectativa 	Antes 	de 	poder 	hacerlo, 	primero 	debes 	creer 	que 	puedes	hacerlo.08	La	Ley	de	la	Honestidad	Actúa	según	tus	más	altos	estándares	incluso	si	tienes	impulsos	contrarios09	Reglas	de	Acción:	Hazlo,	practícalo,	nunca	esperes	a	que	llegue	la	oportunidad10	leyes	de	los	ciclos	Prepárate	para	realizar	cambios	que	funcionen	perfectamente	con	el	progreso	de	tu	vida11	La	Ley	de	la	Tolerancia:	Deja	ir	tus	apegos	y	acepta	voluntariamente	todo	lo	que	sucede.12	La	Ley	de	la	Identidad:	Ten	presente	la	conexión	entre	ti	y	todas	las	cosas,	y	mira	el	mundo	con	los	ojos	de	un	solo	cuerpo.La	despedida	del	sabio	al	finalExpresiones	de	gratituda	los	lectoresPosdata	del	traductor	Despertar	entre	las	montañas	y	la	nieblaEl	cero	de	ShakespeareLa	página	de	derechos	de	autorAcerca	de	Daniel	TammetSecuencia	recomendada	para	estimular	el	sentido	numérico	en	tu	mentePrueba:	¿Conoces	estas	verdades	matemáticas	escondidas	en	la	literatura,	la	historia	y	la	vida	real?Prólogo	Cierra	los	ojos	y	empieza	a	imaginar.Tabla	de	contenido01	El	arte	de	coleccionar02	fracciones	infinitas03	Cuenta	del	1	al	4	en	islandés04	Proverbios	y	tablas	de	multiplicar05	Usa	la	intuición	para	resolver	problemas06	El	cero	de	Shakespeare07	La	forma	del	habla
08	gran	número09	copos	de	nieve	únicos10	ciudades	invisibles11	¿Se	sienten	solos	los	humanos?12	Personas	que	usan	el	sistema	decimal13	El	asombroso	pi14	ecuaciones	de	Einstein15	Cálculo	del	novelista16libros	dentro	de	libros17	La	poesía	de	los	números	primos18	Distribución	de	la	riqueza19	madre	modelo20	posibilidades	de	una	partida	de	ajedrez21	trampas	estadísticas22	El	torrente	del	tiempo23	Cuando	el	mundo	no	tiene	fin24	El	arte	de	las	matemáticas
	
informacion	registradaLa	versión	impresa	de	este	conjunto	fue	publicada	por	Zhejiang	Education	Press	en	mayo	de	2020.El	autor	autoriza	a	Cheers	Publishing	a	publicar	la	versión	electrónica	en	China	continental	(solo	chino	simplificado)La	infracción	de	derechos	de	autor	será	perseguidaTítulo	del	libro:	Cálculo	y	Filosofía	de	la	Vida	(conjunto	de	10	volúmenes)Autor:	Steve	Strogatz;	Joseph	Campbell;	Chi	Yukai;	Jordan	Peterson;	Zenhisa	Nakano;	Dan	Millman;	Daniel	TammetPrecio	del	libro	electrónico:	700,99	yuanesListafilosofia	de	vida	del	calculoHéroe	de	las	Mil	Caras	Nueva	EdiciónSigue	el	camino	de	la	intuición	Nueva	edición20	conferencias	sobre	la	confusión	en	la	vidaDoce	reglas	de	la	vida	2Haz	tu	mejor	esfuerzo	para	vivir	el	momento	de	dejar	que	la	naturaleza	siga	su	curso.Doce	reglas	de	vidaEncuentro	con	Sócrates	en	una	gasolinera	a	altas	horas	de	la	nocheLa	ley	del	sabio	ciervoEl	cero	de	Shakespeare
	
informacion	registradaTítulo	del	libro:	Cálculo	y	Filosofía	de	la	VidaAutor:	[Estados	Unidos]	Steve	StrogatzTraductor:	Li	XiaodongEditorial:	Prensa	de	Economía	y	Finanzas	de	China,	Zhanlu.Fecha	de	publicación:	agosto	de	2022ISBN:	9787522315423Número	de	palabras:	140.000	palabrasLa	infracción	de	derechos	de	autor	será	perseguidadedicado	a∫Mi 	 maestro, 	 el 	 Sr. 	 Joffray,		y	a	todos	los	maestros	como	él.Steve	StogatzSteven	StrogatzPrefacio	a	la	versión	china:	aprendí	todo	sobre	la	vida	a	través	de	las	matemáticasMe	siento	muy	feliz	y	profundamente	honrado	de	que	el	libro	"Cálculo	y	filosofía	de	la	vida"	pueda	llegar	a	los	lectores	chinos.Todavía	recuerdo	que	cuando	hablé	por	primera	vez	de	este	libro	con	editores	de	Estados	Unidos,	muchos	de	ellos	sentían	curiosidad	y	preocupación.	Les	interesó	el	esquema	de	la	historia 	que 	conté: 	mantuve 	correspondencia 	con	mi 	profesor 	de 	cálculo 	de 	 la 	escuela	secundaria 	durante 	más 	de 	30 	años. 	Discutíamos 	problemas 	de 	matemáticas 	 con 	gran	interés	pero	rara	vez	compartíamos	cosas	de	nuestras	vidas,	hasta	que	un	día	descubrimos	que	éramos	los	La	amistad	entre	ellos	es	tan	profunda	que	va	mucho	más	allá	del	cálculo.Lo	que	el	editor	quería	saber	era	si	podía	contar	la	historia	y	omitir	las	matemáticas.	Los	lectores	tienen	mucho	miedo	de	cualquier	cosa	que	tenga	que	ver	con	las	matemáticas,	por	lo	que	a	los	editores	les	preocupaba	que	muchas	personas	tuvieran	miedo	de	leer	un	libro	lleno	de	ecuaciones	y	símbolos.	Pero	en	realidad	las	matemáticas	no	son	un	problema	en	absoluto. 	Los	 lectores	pueden	disfrutarlo	u 	omitirlo 	según	su	 formación	 intelectual. 	No	importa	cuál	sea	la	situación,	todos	encontrarán	esta	historia	conmovedora	y	un	regalo	de	amor	para	el	maestro.	Espero	que	sientas	lo	mismo.La	mayoría	de	los	capítulos	de	este	libro	comienzan	con	historias	de	mi	vida	o	la	de	mis	profesores,	y	luego	presentan	brevemente	los	problemas	matemáticos	que	nos	fascinan,	seguidos	de	discusiones	en	profundidad	de	estos	problemas	matemáticos.	Algunas	de	estas	discusiones	son	extractos	de	nuestras	cartas	y	otras	son	cartas	completas.Aunque	puede	haber	cientos	de	ecuaciones	en	el	libro,	puedes	omitirlas	sin	que	afecte	tu	comprensión 	de 	 la 	 historia. 	 Por 	 supuesto, 	 incluso 	 si 	 estos 	 problemas 	matemáticos 	no	
significan	nada	para	usted,	es	posible	que	desee	echarles	un	vistazo.	Estas	fórmulas	son	tan	hermosas	visualmente	que	son	como	arte.Muchos	de	estos	problemas	matemáticos	fueron	resueltos	por	mi	maestro,	el	Sr.	Joffrey,	entre	sus	 inteligentes	estudiantes	de	secundaria, 	por	 lo	que	cualquiera	con	un	poco	de	conocimiento	de	cálculo	puede	entender	mis	respuestas.	Los	lectores	con	experiencia	en	matemáticas	complejas	verán	que	no	hay	nada	esotérico	en	la	carta,	pero	aun	así	espero	que	comprendan	y	aprecien	el	espíritu	de	investigación	involucrado.En	cada	capítulo	también	puedes	encontrar	algunos	temas	matemáticos.	Espero	que	esto	sea	útil	para	los	profesores	que	buscan	preguntas	novedosas	para	animar	su	enseñanza	diaria. Steve	Stogatzen	Ithaca,	Nueva	YorkPrefacio	Algo	más	profundo	que	el	cálculoDurante	los	últimos	30	años,	he	mantenido	correspondencia	con	el	Sr.	Joffrey,	mi	profesor	de 	 cálculo 	 en 	 la 	 escuela 	 secundaria. 	 Durante 	 este 	 período 	 sucedieron 	muchas 	 cosas	importantes.	La	carrera	del	Sr.	Joffrey	abarcó	desde	su	mejor	momento	hasta	su	retiro,	una	competencia	de	kayak	a	nivel	internacional	y	un	hombre	de	cabello	blanco	que	envió	a	un	hombre	de	cabello	oscuro.	Pasé	de	ser	un	joven	y	enérgico	experto	en	matemáticas	a	un	profesor 	 de 	 la 	 Ivy 	 League, 	 a 	 través 	 del 	 duelo 	 y 	 el 	 error 	 de 	 contraer 	 un 	matrimonio	condenado	al	fracaso.Lo	que	vale	 la 	pena	mencionar	no	son	los	altibajos	de	estos	30	años	de	vida, 	rara	vez	hablamos	de	estas	cosas	en	nuestras	cartas.	Por	el	contrario,	nuestra	asociación,	nuestra	amistad,	se	basaba	casi	por	completo	en	un	amor	compartido	por	el	cálculo.Nunca	sentí	nada	malo	al	respecto	hasta	que	mi	esposa,	Carol	(sí,	me	he	vuelto	a	casar	y	estoy	felizmente	casada)	se	burló	de	mí: 	"¿Le	has	estado	escribiendo	durante	30	años?	Deben	conocerse	muy	bien.	"	"Eso	no	es	del	todo	cierto",	dije.	"Escribimos	sobre	problemas	de	matemáticas".	"¡Ustedes,	hombres!",	dijo,	sacudiendo	la	cabeza.Su 	 pregunta 	me 	 hizo 	 pensar 	 profundamente. 	 ¿Qué 	 tan 	 bien 	 conozco 	 realmente 	 a 	mi	maestro?	¿Por	qué	no	discutimos	más	temas	de	la	vida	entre	nosotros?	Pero	disfrutamos	mucho	de	esta	forma	de	interactuar	unos	con	otros,	entonces,	¿cuál	es	el	problema?Estas	preguntas	seguían	molestándome	y	no	sabía	cómo	responderlas,	ni	siquiera	si	debía	buscar	respuestas.	Finalmente	encontré	la	pista	en	una	carpeta	verde	en	mi	oficina,	en	esta	carpeta, 	 las 	 cartas 	 entre 	 el 	 Sr. 	 Joffrey 	 y 	 yo 	 sobre 	 problemas 	matemáticos 	 tenían 	 10	centímetros	de	grosor.Tenía	sólo	15	años	cuando	tomé	por	primera	vez	la	clase	de	cálculo	del	Sr. 	Joffrey.	Era	diferente	de	otros	profesores	que	había	conocido:	idolatraba	a	algunos	de	los	estudiantes	a	los	que	enseñaba.	Nos	contó	historias	sobre	estos	estudiantes.	Estas	leyendas	los	hacen	parecer	figuras	parecidas	al	Olimpo,	sólo	dioses	de	las	matemáticas.	Para	mí,	él	no	es	tanto	mi	maestro	sino	mi	"fanático"	que	siempre	se	maravilla	con	los	problemas	que	encuentro	y	resuelvo.
Después	de	graduarme,	algo	me	hizo	querer	seguir	en	contacto	con	él.	Inicialmente,	escribí	sobre	algunos	problemas	matemáticos	que	pensé	que	podrían	interesarle.	Estas	preguntas	son 	 la 	 esencia 	 de 	 mis 	 cursos 	 universitarios. 	 Hay 	 muy 	 pocas 	 cartas 	 de 	 este 	 tipo,	aproximadamente	una	al	año.	Me	respondió	cartas,	pero	ninguna	ha	sobrevivido	porque	nunca	pensé	en	conservarlas.Diez 	 años 	 más 	 tarde, 	 cuando 	 me 	 convertí 	 en 	 profesor 	 universitario, 	 nuestra	correspondencia	se	hizo	más	frecuente.	Nuestra	correspondencia	siempre	siguió	el	mismo	patrón: 	el 	Sr. 	 Joffrey	me	escribió	para	pedirme	que	lo	ayudara	a	resolver	un	problema	difícil,	generalmente	planteado	por	un	estudiante	de	la	clase	avanzada	de	matemáticas	de	la	escuela.	Cuando	llega	una	carta	como	ésta,	dejo	lo	que	estoy	haciendo	y	veo	si	puedo	ayudar. 	Por	un	 lado, 	 las 	pequeñas	preguntas	 interesantes	que	me	hicieron	abrieron	mi	hermoso	viaje 	sobre 	el 	 cálculo; 	por 	otro 	 lado, 	quizás 	 lo 	más 	 importante, 	me	dieron	 la	oportunidad 	 de 	 aprender 	 de 	 personas 	 que 	 aman 	 aprender 	 matemáticas. 	 Enseñar	matemáticas	a	los	mejores	estudiantes	es	un	maestro.	podemos	tener,	a	quienes	estén	bien	preparados	y	con	alegría	y	gratitud.Después	de	que	el	Sr.	Joffrey	se	jubiló,	no	hubo	estudiantes	que	le	hicieran	preguntas,	por	lo	que	nuestra	correspondencia	disminuyó	gradualmente	o	yo	lo	necesitaba	e	interactuaba	menos	con	él.	De	hecho,	me	escribió	más	cartas	que	nunca,	tantas	que	me	sentí	un	poco	abrumada.También 	me 	 consoló 	 y 	me 	 dijo 	 que 	 no 	 tuviera 	 ninguna 	 carga 	 psicológica,	entendió	completamente	y	sabía	que	debía	estar	muy	ocupada	en	el	trabajo	y	tenía	que	mantener	a	mi	familia.	Irónicamente,	yo	tenía	la	misma	edad	que	él	cuando	me	enseñó.En	enero	de	2004	recibí	otra	carta	suya.	Tan	pronto	como	miré	el	sobre	sentí	una	punzada	de	preocupación.	La	letra	torcida	me	recordó	el	síndrome	de	Parkinson	de	mi	padre.Querido	Steve:¡Bueno!	Tuve	un	derrame	cerebral	leve	el	jueves	al	mediodía	y	perdí	toda	sensibilidad	en	mi	mano	derecha.	Unas	horas	más	tarde,	intenté	mover	mis	dedos	y	cerrar	el	puño	para	ver	si	podía	ejercer	alguna	fuerza,	¡pero	mis	manos	se	negaron	a	controlarme!	Nadie	necesita	un	pianista	manco,	así	que	mañana	no	puedo	unirme	al	cuarteto	de	jazz.…Comprobé	la	tasa	de	mortalidad	de	esta	enfermedad	y	me	sorprendió	darme	cuenta	de	que	no	me	había	preocupado	mucho	por	él	a	lo	largo	de	los	años.	Comencé	a	tener	un	fuerte	deseo	de	visitar	al	Sr.	Joffrey	y	entender	qué	clase	de	persona	era	este	hombre	detrás	de	las	matemáticas.El	cálculo	es	el	estudio	matemático	del	cambio	y	su	esencia	se	refleja	mejor	en	su	nombre	original.	Newton,	uno	de	sus	fundadores,	lo	llamó	"fluxion",	nombre	que	recuerda	a	la	gente	que	el	sistema	está	siempre	en	movimiento	y	desarrollándose.Al 	 igual 	que	Cálculo 	mismo, 	este 	 libro 	es 	una	exploración	de 	 los 	cambios 	que	ocurren	dentro	de	un	estudiante	a	medida	que	se	invierten	los	roles	de	un	estudiante	y	su	maestro,	y 	 a 	medida 	 que 	 crecen 	 y 	 son 	 templados 	 por 	 la 	 vida. 	 A 	 través 	 de 	 estos 	 cambios, 	 los	estudiantes	y	profesores	unieron	su	amor	por	el	cálculo.	Para	ellos,	el	cálculo	no	es	sólo	ciencia,	es	más	bien	un	juego	por	el	que	comparten	una	pasión:	a	menudo	la	base	de	la	amistad	entre	dos	hombres,	una	eternidad	en	lo	siempre	cambiante.
Prueba	la	filosofía	de	vida	del	cálculo,	¿la	entiendes?
·	¿Son	las	matemáticas	en	sí	mismas	una	actividad	altamente	social?	(	)A.	SíB.	No
·	Las	similitudes	entre	el	cálculo	y	la	vida	son:	(	)A.	sin	puntos	de	interrupciónB.	Exploración	continua	del	cambio.C.	No	todas	las	preguntas	tienen	respuestas	clarasD.	todo	lo	de	arriba
·	Temprano	en	la	mañana,	un	monje	partió	desde	el	pie	de	la	montaña	hacia	el	
templo	en	la	montaña,	y	llegó	al	templo	al	atardecer.	Unos	días	más	tarde,	partió	del	
templo	al	amanecer	y	bajó	la	montaña	por	el	mismo	camino,	pero	la	velocidad	
promedio	al	bajar	la	montaña	era	más	rápida	que	la	de	subir	la	montaña	antes.	Me	
gustaría	preguntar:	¿Pasará	el	monje	por	el	mismo	lugar	al	mismo	tiempo	durante	
estos	dos	viajes?	(	)A.	SíB.	NoEscanee	el	código	QR	a	continuación	para	ver	más	preguntas	del	examen	en	este	libroEscanee	el	código	QR	para	identificar	libros	genuinosObtén	tus	beneficios	exclusivos	Escanee	el	código	QR	para	ver	las	preguntas	y	respuestas	completasEntremos	en	el	maravilloso	mundo	del	cálculo.		Cálculo	es	como	una	película:	imagina	la	realidad	como	una	serie	de	instantáneas	y	luego	las 	vuelve	a 	ensamblar	según	el 	 tiempo	y	 la 	secuencia	de	 imágenes, 	continuando	estos	cambios	imperceptibles,	brindando	a	las	personas	la	ilusión	de	una	conexión	perfecta.El	cálculo	es	una	disciplina	que	se	nutre	de	la	continuidad.	Su	suposición	central	es	que	las	cosas	cambian	lentamente	y	que	todo	es	infinitamente	diferente	del	momento	anterior.Sin	cálculo,	la	vida	moderna	sería	difícil.	Esta	forma	de	entender	el	cambio	es	poderosa	y	trasciende	cualquier	lenguaje,	y	puede	ser	una	de	las	grandes	ideas	de	la	humanidad	hasta	la 	 fecha. 	El 	cálculo	nos	permite	viajar	a 	 la 	 luna, 	comunicarnos	a	 la 	velocidad	de	 la 	 luz,	construir	puentes	sobre	ríos	de	cientos	de	kilómetros	de	ancho	y	prevenir	eficazmente	la	propagación	de	epidemias.Pero	el	cálculo	es	simple	y	simple,	similar	a	la	inocencia	infantil.	La	experiencia	nos	dice	que	el	cambio	puede	ser	repentino,	discontinuo	y	en	espiral.	Pero	el	cálculo	no	considera	
tales 	 cambios. 	 Insiste 	en 	que 	no 	hay 	accidentes 	en 	el 	mundo. 	En 	este 	mundo, 	existen	conexiones	lógicas	entre	las	cosas,	y	una	cosa	conducirá	inevitablemente	a	la	otra.	Siempre	que	se	den	las	condiciones	iniciales	y	las	leyes	del	movimiento,	se	puede	predecir	el	futuro	e	incluso	reconstruir	el	pasado.Ojalá	pudiera	hacer	esto	ahora.	Pero,	desgraciadamente,	mi	correspondencia	con	el	señor	Joffrey	fue	intermitente. 	Algunas	cartas	se	perdieron	o	fueron	desechadas, 	pero	las	que	quedaron	fueron	fragmentos	y	emociones	difíciles	de	identificar.	A	veces	dicen	sólo	una	parte	de	la	verdad,	otras	revelan	la	verdad	y,	por	supuesto,	parte	del	contenido	se	omite	intencionalmente.Primer	encuentro	con	Joffrey.Era	1974.	En	el	segundo	semestre	de	mi	segundo	año	en	la	escuela	secundaria,	tomé	el	curso	de	"Cálculo	Básico"	impartido	por	el	Sr.	Johnson.	El	señor	Johnson	se	graduó	en	el	Instituto	Tecnológico	de	Massachusetts,	tiene	entre	35	y	40	años,	es	muy	alto,	muy	severo	y	serio.Algunos	de	mis	amigos	estaban	estudiando	el	mismo	curso	en	la	clase	del	Sr.	Joffrey.	No	había	hablado	con	el	señor	Joffrey	en	ese	momento	y	sabía	muy	poco	sobre	él.	Hay	muchas	leyendas	en	la	escuela	sobre	él	ganando	el	campeonato	nacional	de	piragüismo	y	demás.	Es	el 	 tipo 	 de 	 persona 	 que 	 impresiona 	 con 	 solo 	mirarlo: 	 pecho 	 grande, 	 brazos 	 y 	 piernas	musculosos,	cabello	muy	corto.Cuando	nos	presentaron	una	definición	de	cálculo	muy	básica	pero	difícil	de	entender,	la	definición	rigurosa	de	continuidad,	el	Sr.	Johnson	dijo	algo	que	nunca	antes	había	oído	de	ningún 	 otro 	 profesor: 	 dijo 	 que 	 tenía 	 un 	 presentimiento 	 siniestro 	 acerca 	 de 	 que 	 nos	enseñaran	conceptos	que	no	entenderíamos	pero	que	teníamos	que	aprender.	Mencionó	definir	la	continuidad	de	funciones	en	ε	-	lenguaje	delta	:Si	la	función	f	(	x	)	es	continua	en	el	conjunto	de	números	reales	R	,	para	cualquier	ε	>	0	,	siempre	hay	δ	>	0,	es	decir	,	
cuando	|	.Dijo: 	 "Nos 	 encontraremos 	 con 	 esta 	 definición 	 de 	 4 	 a 	 5 	 veces 	 durante 	 el 	 proceso 	 de	aprendizaje, 	y 	cada	vez	profundizaremos	nuestra	comprensión	de	ella. 	Aunque	todo	es	difícil	al	principio,	debe	haber	una	primera	vez,	¡así	que	comencemos	a	aprender!"Como 	 dijo, 	 los 	 estudiantes 	 de 	 nuestra 	 clase 	 encontraron 	 muchas 	 dificultades 	 para	comprender	la	lógica	de	definir	la	continuidad	de	funciones	en	el	lenguaje	ε	-	δ	.	Más	tarde	escuchamos 	 que 	 el 	 Sr. 	 Joffrey 	 había 	 utilizado 	 un 	 enfoque 	 completamente 	 diferente 	 al	enseñar 	este 	problema	a 	su 	clase. 	No	 intentó 	explicar 	ε 	y	δ	en	absoluto. 	Dijo 	que	una	función	continua	es	como	hacer	un	dibujo	en	papel	y	el	lápiz	nunca	sale	del	papel,	entonces	es	continua.Esto	me	enseñó	mucho.	Intuitivamente	hablando,	eso	es	lo	que	significa	"continuidad".	Me	conmovió. 	 Con 	mi 	 capacidad 	 de 	 comprensión 	 como 	 estudiante 	 de 	 segundo 	 año 	 en 	 la	escuela	secundaria,	este	método	de	explicación	intuitiva	es	de	hecho	más	simple	y	más	fácil	de 	entender, 	pero 	 también 	evita 	puntos 	difíciles. 	Por 	 lo 	 tanto, 	 comencé 	a 	dudar 	de 	 la	habilidad	del	Sr.	Joffrey,	tal	vez	no	sea	tan	fuerte	como	parece.	Me	alegro	de	haber	tomado	la	clase	del	Sr.	Johnson.
Al	año	siguiente,	el	señor	Joffrey	se	convirtió	en	mi	maestro.	Ahora	podía	mirar	al	hombre	de	cerca.	Nuevamente	quedé	impresionado	por	su	elegante	apariencia.	Su	mano	era	la	más	grande	que	jamás	había	sostenido	y	envolvía	completamente	la	mía.	Cada	vez	que	escribe	en	la	pizarra,	cada	trazo	convierte	la	tiza	en	polvo,	lo	que	hace	que	el	polvo	y	el	polvo	vuelen	por	todas	partes.	Después	de	clase,	su	cuerpo	quedó	cubierto	de	polvo	de	tiza.Es	un	gran	aficionado	a	las	actividades	al	aire	libre	(que	no	me	atraen	en	absoluto,	me	encanta 	 jugar 	 tenis 	y 	baloncesto, 	pero 	no 	me	gusta 	el 	bosque 	porque 	hay 	demasiados	bichos, 	y 	no	me	gusta 	andar 	en	canoa	ni 	viajar 	con	mochila 	y 	ese 	 tipo	de 	cosas). 	Una	fotografía	de	un	informe	anual	captura	al	Sr.	Joffrey	en	su	"dormitorio"	favorito:	en	lo	alto	de	un	árbol,	inspeccionando	un	nido	de	pájaro	que	había	hecho.También	es	instructor	de	una	sociedad	llamada	"Darwin	Club".	Aunque	no	sé	a	qué	se	dedican	específicamente,	debe	estar	relacionado	con	actividades	al	aire	libre.	El	señor	Joffrey	inspecciona	el	nido	de	pájaro	que	hizo.Secuencia	de	la	Cabra	y	FibonacciBien,	¡hablemos	de	la	clase	del	Sr.	Joffrey!	Su	clase	es	muy	interesante.	Siempre	fue	feliz,	amigable	con	la	gente	y	apasionado,	aunque	fuera	por	las	cosas	raras.	Una	vez,	tan	pronto	como	entró	por	la	puerta	de	la	escuela,	ató	una	cabra	a	un	árbol	con	una	cuerda	larga.	La	cabra	obstinadamente	siguió	tirando	de	la	cuerda,	tratando	de	escapar,	sólo	para	quedar	enredada	cada	vez	más	fuerte.	Luego	nos	pidió	que	formuláramos	una	ecuación	para	el	sinuoso	camino	de	la	cabra.No	tengo	ni	idea.	No	se	parecía	en	nada	al	Sr.	Johnson,	de	modales	apacibles	y	sensatos,	que	tenía	una	sólida	experiencia	en	el	MIT.	Realmente	no	puedo	entender	al	tipo	que	me	está	enseñando,	pero	sigue	siendo	muy	accesible, 	por	lo	que	nada	de	lo	anterior	es	un	gran	problema.Las	matemáticas	en	sí	son	muy	divertidas	y	fáciles.	Puedo	aprender	casi	cualquier	cosa	de	los	libros.	El	curso	del	Sr.	Joffrey	no	cubría	mucho	más,	excepto	esos	extraños	problemas	de	la	naturaleza.A	veces,	de	repente	dejaba	de	explicar	un	problema	y	luego	nos	hablaba	de	los	mejores	estudiantes	a	 los	que	había	enseñado	y	luego	caía	en	un	ensueño, 	mirando	a	lo	 lejos	y	sonriendo.	Tras	un	momento	de	calma,	nos	contó	que	Jamie	Williams	(uno	de	sus	antiguos	alumnos)	había	llegado	a	la	fórmula	del	enésimo	término	de	la	secuencia	de	Fibonacci	.	Este	logro	es	realmente	digno	de	ser	recordado.La	secuencia	de	Fibonacci	es	0,	1,	1,	2,	3,	5,	8,	13,	21,	34,...	Esta	secuencia	comienza	con	los	números	0	y	1,	y	cada	número	posterior	es	la	suma	de	los	dos	números	anteriores.	.
es	este,	si	F	0	=0	y	F	1	=1,	encuentra	la	fórmula	del	enésimo	término	F	n	.	Si	está	interesado	en	
F	100	o	F	1000	,	necesita	una	fórmula	como	esta	y	no	desea	agregar	esos	términos	intermedios	hasta	el	término	100	o	1000	para	obtener	una	respuesta.	¿Existe	una	fórmula	concisa	que	pueda	expresar	directamente	F	n	en	términos	de	n	?	La	respuesta	es	asombrosa:
	¿Cómo	consiguió	Jamie	Williams	esta	fórmula?Se	convirtió	en	mi	increíble	animador.Conforme	pasó	el	tiempo,	me	di	cuenta	de	que	yo	era	como	la	cabra	atada	a	un	árbol	y	el	señor	Joffrey	era	el	árbol.	Seguí	tirando	de	la	cuerda	para	alejarme	de	él,	pero	al	final	me	acerqué	cada	vez	más	a	él,	como	lo	hemos	hecho	a	lo	largo	de	los	años.¿Cómo	ocurrió	eso?	Todo	esto	no	se	debió	a	que	me	enseñara	mucho,	ni	siquiera	a	que	sus	métodos	fueran	simples	y	poco	convencionales,	lo	que	me	confundió	mucho.	Creo	que	soy	mejor	que	él	y	me	da	vergüenza	admitirlo,	pero	esa	es	la	verdad.Mira	lo	que	hizo.Hizo	una	pregunta	con	mucha	calma,	sin	prisas,	y	luego	se	hizo	a	un	lado.	Normalmente	competiría 	 con 	 Ben 	 para 	 ver 	 quién 	 podía 	 resolver 	 el 	 problema 	 primero. 	 Si 	 ambos	solucionamos	el	problema,	veremos	cuál	método	es	mejor.Ben	era	brillante,	era	un	año	menor	que	yo,	bajo	pero	con	una	mente	aguda	y	una	amplia	gama	de	intereses	(siempre	me	sentí	como	un	patán	con	él).	Es	el	tipo	de	jugador	genio	que	piensa	en	los	problemas	sin	escribir	nada.	Es	como	un	filósofo.	Cuando	llega	la	inspiración,	escribe	algunas	líneas	de	ecuaciones	y	calcula	algunos	pasos,	¡y	el	problema	se	resuelve	en	poco	tiempo!Y	soy	del	tipo	diligente,	no	tan	inteligente	como	Ben	(en	retrospectiva,	creo	que	Ben	tiene	más	talento	en	matemáticas	que	yo). 	Mi 	estilo	es	simple	y	directo, 	y 	estoy	dispuesto	a	encontrar	una	manera	de	resolver	un	problema,	incluso	si	ese	método	es	torpe	o	laborioso	y	requiere	horas	de	cálculo.	Porque	después	de	incansables	esfuerzos,	finalmente	obtendré	la	respuesta	correcta.De	hecho,	eso	es	lo	que	me	encanta	de	las	matemáticas,	es	justo.	Si	empiezas	bien,	trabajas	duro	y	haces	todo	bien, 	aunque	el 	proceso	pueda	ser	 insoportable, 	 lógicamente	al 	 final	ganarás.	La	respuesta	es	tu	recompensa.Cuando	atravesé	la	niebla	del	cálculo,	sentí	una	gran	sensación	de	logro,	junto	con	otra	recompensa.	El	señor	Joffrey	era	un	animador	increíble, 	constantemente	me	comparaba	con	Ben,	comparándonos	con	una	tortuga	y	una	liebre,	con	una	admiración	y	una	alegría	que	rayaban	en	el	asombro	en	sus	ojos.Al	final	de	mi	último	año,	la	escuela	celebró	su	ceremonia	anual	de	premios.	Cuando	se	entregó 	 el 	 Premio 	 Rensselaer 	 de 	Matemáticas 	 y 	 Ciencias, 	 leyeron 	mi 	 nombre. 	 Si 	 no	recuerdo	mal,	fue	el	señor	Joffrey	quien	pronunció	el	discurso	por	mí.	Me	comparó	con	un	escalador, 	que 	ascendía 	a 	 la 	 cima 	de 	 las 	matemáticas 	y 	 finalmente 	 regresaba 	con 	una	leyenda.Su	discurso	me	hizo	parecer	genial	y	como	un	héroe.
	Después	de	tomar	 los 	cursos	de	matemáticas 	que	ofrecía 	 la 	escuela, 	me	separé	del 	Sr.	Joffrey	durante	mi	último	año	de	secundaria	y	comencé	a	estudiar	por	mi	cuenta.	Pasaba	una 	hora 	 todos 	 los 	días 	sentado	solo 	en 	un 	aula 	vacía, 	 leyendo	un 	 libro 	sobre 	cálculo	multivariable	o	explorando	el	misterio	del	reloj	de	péndulo	de	Huygens.	El	resto	del	tiempo	lo	dedico	a	investigar,	normalmente	a	resolver	preguntas.	Quedé	completamente	fascinado	por	este	tipo	de	problemas	que	los	matemáticos	llaman	problemas	de	"persecución".La	primera	vez	que	me	presentaron	el	problema	de	ponerse	al	día	fue	en	la	clase	del	Sr.	Joffrey.	El	problema	es	este:Supongamos	que	un	cartero	intenta	alejarse	de	un	perro	que	lo	persigue.	El	cartero	parte	del	origen	O	y	luego	corre	en	línea	recta	con	velocidad	constante	v	.	Al	mismo	tiempo,	el	perro	parte	de	un	cierto	punto	fuera	de	la	línea	recta	y	corre	hacia	la	línea	recta	a	una	velocidad	constante	w	.	Después	de	llegar	a	la	línea	recta,	cambia	repentinamente	de	dirección	para	poder	ir	siempre	directamente	a	la	ubicación	actual	del	cartero.	Por	favor	indique	la	curva	de	persecución	de	esta	ecuación	de	perro	(ver	Figura	2-1). 	Figura	2-1Pregunta	típica	de	JoffreyTambién	hay	una	pregunta	de	recuperación	que	es	más	característica	de	Joffrey:Un	kayakista	rema	con	fuerza	hacia	algún	lugar	de	la	orilla	opuesta.	Un	kayakista	es	una	persona	ingenua	y	orientada	a	objetivos	que	siempre	va	directo	a	su	destino,	incluso	cuando	el	río	lo	arrastra	río	abajo.	Suponga	que	la	velocidad	del	agua	del	río	es	constante	v	y	el	kayakista	rema	a	una	velocidad	constante	w	en	relación	con	el	flujo	de	agua	.	Indique	la	trayectoria	de	movimiento	del	kayak	(consulte	la	Figura	2-2).	Figura	2-2Estos	dos	problemas	de	recuperación,	uno	sobre	el	cachorro	y	el	cartero	y	el	otro	sobre	el	kayakista	que	quiere	remar	hasta	el	otro	lado,	son	ejercicios	de	ecuaciones	diferenciales.	Éstas 	 son 	ecuaciones 	 sobre 	 cálculo, 	 sobre 	 flujo 	y 	 cambio. 	 Las 	 ecuaciones 	diferenciales	describen	cómo	un	sistema	cambia 	a 	sí 	mismo	en	respuesta 	a 	 fuerzas 	cambiantes 	que	actúan	sobre	él.	Todos	estos	empujones	y	tirones	colocan	al	sistema	en	nuevas	condiciones	o 	posiciones, 	donde	 las 	 fuerzas 	cambian	nuevamente. 	Por 	ejemplo, 	en 	el 	problema	del	perro	y	el	cartero,	el	cartero	está	siempre	en	movimiento,	por	lo	que	el	perro	debe	corregir	constantemente	su	dirección.Este	es	el	concepto	más	sorprendente	detrás	del	cálculo.	Imagínese	lo	que	sucede	en	cada	unidad	de	tiempo	infinitesimal.	En	efecto,	estás	convirtiendo	un	pensamiento	inefable	en	una	poderosa	herramienta	predictiva.	Podemos	escribir	una	ecuación	diferencial	basada	en	el 	 cambio 	 de 	 trayectoria 	 del 	 perro 	 en 	 cada 	momento 	 para 	 expresar 	 el 	 concepto 	 de	"apuntar".	Resolviendo	esta	ecuación,	conocemos	todo	el	camino	que	debe	seguir	el	perro.	Toda	la	trayectoria	se	basa	en	los	pasos	infinitamente	pequeños	del	perro	que	persigue	al	cartero.
Esta	visión	de	todo	en	el	mundo	como	una	acumulación	de	cambios	infinitesimales	es	la	idea	más	revolucionaria	del	cálculo.	Descubrir	cómo	convertir	esta	idea	en	matemáticas	viables	fue	un	gran	avance	que	condujo	directamente	a	la	creación	del	cálculo	en	el	siglo	XVII. 	En	ese	momento	Newton	quería	descubrir	cómo	se	movían	los	planetas	mediante	cálculos. 	 Pensó 	 que 	 elmovimiento 	 de 	 los 	 planetas 	 se 	 veía 	 afectado 	 por 	 la 	 fuerza	gravitacional	en	constante	cambio.	A	medida	que	giraban	alrededor	del	Sol,	su	distancia	al	Sol 	 también 	 cambiaba, 	 lo 	 que 	 cambiaba 	 la 	 fuerza 	 gravitacional 	 que 	 experimentaban.	Cuando	el 	planeta 	se 	mueva 	a 	una 	nueva 	posición 	en 	el 	momento 	siguiente, 	 la 	 fuerza	gravitacional	será	ligeramente	diferente.	Calcular	la	trayectoria	del	planeta	se	convierte	en	una	cuestión	de	ecuaciones	diferenciales.Al 	 resolver 	problemas 	de 	 recuperación, 	 sentirá 	que 	 camina 	 con 	Newton. 	 ¡Qué 	bien 	 se	siente!Solo	hay	unos	pocos	problemas	que	podemos	resolver.Las	preguntas	de	puesta	al	día	que	nos	hizo	el	Sr.	Joffrey	fueron	desafiantes,	pero	tenían	solución.	Los	puntos	en	común	entre	estas	preguntas	de	seguimiento	refuerzan	mi	sentido	de	justicia	matemática.	Todo	lo	que	tengo	que	hacer	es	convertir	los	problemas	expresados	en	palabras 	en	ecuaciones	correctas. 	Si 	resuelvo	problemas	de	álgebra	con	paciencia 	y	precisión,	definitivamente	obtendré	la	respuesta	correcta.Lo	primero	que	me	hizo	darme	cuenta	de	mi	superficialidad	fue	una	pregunta	que	me	hice	yo	mismo.	Era	muy	similar	a	uno	de	esos	problemas	de	recuperación	que	había	resuelto,	pero	por	alguna	razón	éste	era	particularmente	difícil	y	me	llevó	varios	meses	resolverlo.	Me	frustra	y	me	da	mucha	sed.	Pensé	que	si	me	esforzaba	lo	suficiente,	definitivamente	podría	conquistarlo,	y	los	meses	de	frustración	harían	que	la	sensación	de	conquista	fuera	mucho	mejor.El	problema	es	este:Supongamos	que	un	perro	está	en	medio	de	un	estanque	circular	y	ve	un	pato	nadando	alrededor	de	la	circunferencia.	Los	perros	siempre	nadan	directamente	hacia	el	pato	persiguiéndolo.	En	otras	palabras,	el	vector	velocidad	del	perro	siempre	está	relacionado	con	la	línea	que	lo	separa	del	pato.	Mientras	tanto,	el	pato	nadó	lo	más	rápido	posible	a	lo	largo	del	borde	del	estanque	en	sentido	antihorario	para	escapar	del	perro.	Suponiendo	que	los	dos	animales	nadan	uniformemente	a	la	misma	velocidad,	escriba	la	ecuación	para	la	trayectoria	de	nado	del	perro	(consulte	la	Figura	2-3).	Figura	2-3El	camino	del	perro	a	medida	que	se	acerca	gradualmente	al	círculo	alrededor	del	pato	es	claramente	en	espiral.	¿Qué	ecuación	puede	expresar	una	espiral?A	diferencia	de	la	cabra	atada	al	árbol,	donde	el	hilo	de	la	cabra	es	una	espiral	que	se	vuelve	cada	vez	más	apretada,	esta	es	una	espiral	en	expansión	que	se	hace	cada	vez	más	grande	comenzando	desde	el	centro	pero	sin	exceder	los	límites	del	círculo.¡Qué	camino	tan	encantador!No	puedo	resolverlo.	Probé	todas	las	variaciones	de	las	variables	que	se	me	ocurrieron	y	también	intenté	reducir	el	problema	a	una	inteligente	ecuación	diferencial.	Parece	que	esta	ecuación	debería	tener	una	solución,	pero	simplemente	no	puedo	entenderla.
Lo	que	no	entendí	en	ese	momento	fue	que	algunos	problemas	matemáticos	no	tienen	solución	y	es	imposible	obtener	una	respuesta	clara,	como	en	nuestras	vidas.Al	igual	que	en	este	ejemplo,	no	existe	una	fórmula	para	expresar	la	trayectoria	en	espiral	que 	 sigue 	 el 	 perro, 	 no 	 puede 	 describirse 	 mediante 	 nuestras 	 funciones 	 matemáticas	elementales	de	uso	común	y	este	problema	no	tiene	solución.Más	tarde	me	di	cuenta	de	que	ésta	era	la	regla,	no	la	excepción.	En	este	caso,	la	mayoría	de	las	ecuaciones	diferenciales	no	tienen	solución	y	nuestra	"biblioteca	de	fórmulas"	no	es	suficiente	para	resolverlas.	Esos	problemas	que	aprendimos	en	la	escuela	secundaria	y	que	podemos	resolver	son	solo	unos	pocos,	por	lo	que	son	valiosos.	La	teoría	de	la	relatividad	se	basa	en	la	empatía.	"Empatía"	aquí	no	es	empatía	en	el	sentido	emocional 	 habitual, 	 sino 	 empatía 	 en 	 el 	 sentido 	 científico 	 estricto. 	 La 	 idea 	 central 	 es	imaginar	cómo	se	verían	las	cosas	si	estuvieran	frente	a	alguien	que	se	mueve	de	manera	diferente	a	ti.En	una	época	en	la	que	la	idea	de	que	la	Tierra	giraba	alrededor	del	Sol	se	consideraba	absurda, 	 Galileo 	 pidió 	 a 	 sus 	 escépticos 	 que 	 se 	 imaginaran 	 estar 	 aprisionados 	 bajo 	 la	cubierta	de	un	barco	gigante:No	hay	ojos	de	buey	en	su	cabina,	por	lo	que	no	puede	ver	la	costa.	Si	el	mar	está	en	calma	y	el 	barco	se 	mueve	en	 línea 	recta 	a 	una	velocidad	constante, 	 ¿cómo	sabes 	que	 te 	estás	moviendo?	No	tienes	forma	de	saberlo.	Lo	que	observas	en	este	punto	es	exactamente	lo	mismo	que 	observarías 	si 	estuvieras 	en 	reposo: 	vierte 	vino 	 tinto 	en 	una 	copa 	y 	caerá	verticalmente	en	la	copa,	tal	como	lo	haría	en	tierra.	Esto	se	debe	a	que	todo	lo	que	hay	en	tu	camarote,	los	muebles,	el	aire,	el	vino,	todo	se	mueve	con	el	barco.Por	lo	mismo,	Galileo	mencionó	que	la	tierra	también	se	está	moviendo,	pero	no	podemos	detectarlo.Einstein	y	su	teoría	de	la	relatividad300	años	después,	Einstein	quería	saber	qué	tipo	de	paisaje	vería	si	viajara	a	la	velocidad	de	la	luz.	¿Las	ondas	electromagnéticas	violarían	las	ecuaciones	de	Maxwell	y	se	volverían	estacionarias? 	 ¿Parece 	 que 	 el 	 reloj 	 a 	 lo 	 lejos 	 ha 	 dejado 	 de 	 oscilar? 	 Basándose 	 en 	 su	exploración 	de 	estas 	cuestiones, 	propuso 	 la 	 teoría 	especial 	de 	 la 	 relatividad, 	que 	 tiene	conocimientos	extremadamente	disruptivos	sobre	cuestiones	como	el	tiempo	y	el	espacio,	la	masa	y	la	energía.	Más	tarde,	hizo	otra	pregunta:	¿cómo	serían	las	leyes	de	la	física	si	un	observador	estuviera	en	un	ascensor	que	cae	verticalmente	(suponiendo	que	permaneciera	en	calma	el	tiempo	suficiente	para	observar)?Cuando	era	adolescente	idolatraba	a	Einstein.	No	sólo	porque	tiene	talento,	sino	también	porque 	es 	amable 	y 	amable. 	Por 	 ridículo 	que 	parezca, 	postulé 	para 	 la 	Universidad 	de	Princeton 	principalmente 	gracias 	a 	él. 	Quiero 	acercarme	a 	él 	y 	 seguir 	 sus 	pasos. 	Poco	después	de	ingresar	a	la	escuela,	llevé	a	algunos	compañeros	de	clase	a	visitar	su	antigua	residencia.	Sólo	recientemente	comencé	a	mirarlo	desde	una	perspectiva	diferente.	No	es	
perfecto	y, 	en	cierto	modo,	incluso	está	un	poco	triste. 	Aunque	Einstein	era	en	muchos	sentidos	un	hombre	interesante, 	se	dio	cuenta	de	que	se	estaba	perdiendo	la	intimidad	humana	más	profunda.	Una	vez	escribió:	"Soy	un	verdadero	'viajero	solitario'.	Mi	corazón	nunca	ha	pertenecido	exclusivamente	al	país,	a	mi	familia,	a	mis	amigos	o	incluso	a	mis	parientes".	Toda	la	empatía	de	Einstein	es	teórica.	Sí,	es	muy	extraño	y	siempre	mantiene	una	distancia	de	las	personas	más	cercanas	a	él.Primera	carta	al	Sr.	JoffreyEl	señor	Joffrey	y	yo	comenzamos	a	mantener	correspondencia	el	26	de	marzo	de	1977,	la	primavera	de	mi	primer	año	en	la	universidad.	No	recuerdo	qué	me	impulsó	a	escribir;	después	de	todo,	nunca	nos	mantuvimos	en	contacto	después	de	que	resolví	el	problema	de	ponerme 	al 	día 	por 	mi 	 cuenta 	durante 	mi 	último 	año 	de 	 secundaria. 	Aunque 	disfruté	muchísimo	tomando	su	clase	de	cálculo,	eso	no	me	hizo	particularmente	cercano	a	él.	Él	no	era	mi	mentor	ni	mi	consejero	de	confianza:	otro	maestro,	el	Sr.	Dixio,	sí	lo	era.	Aparte	del	cálculo,	el	señor	Joffrey	y	yo	no	teníamos	intereses	en	común.	No	me	interesa	la	naturaleza,	los	deportes	de	equipo,	los	deportes	acuáticos,	etc.	Pero	debió	haber	alguna	razón	que	me	impulsó	a	escribirle	esa	primera	carta,	¿cuál	fue?Cuando	releo	la	carta	ahora	y	veo	la	frase	"Me	encanta	todo	acerca	de	Princeton	(excepto	hasta	ahora	mi	profesor	de	matemáticas)",	puedo	ver	que	estaba	tratando	de	ocultar	más	de	lo	que	intentaba	expresar.Lo	que	odio	admitir	es	que	mi	primera	clase	de	matemáticas	en	la	universidad	me	dejó	abatido 	y 	 cambió 	mi 	visión 	de 	mí 	mismo. 	Era 	un 	curso 	de 	álgebra 	 lineal 	 centrado 	en	pruebas	para	estudiantes	de	primer	año	que	querían	especializarse	en	matemáticas.	Son	matemáticas	rigurosas	y	abstractas,	y	si	quieres	ser	un	matemático	puro,	tienes	que	ser	bueno	en	eso.	El	profesor	de	la	clase	de	álgebra	lineal	era	un	topólogo	famoso,	era	muy	tímido,	cuando	nos	enseñó	por	primera	vez	se	deslizó	por	la	pared,	como	si	quisiera	ser	invisible. 	A	 lo 	 largo	del 	semestre,miró	 los 	zapatos	que	 llevaba	y 	se 	tocó	 la 	barba	roja	durante	la	clase.	Varias	veces	tuve	el	coraje	de	hacerle	preguntas,	pero	él	parecía	asustado	y	tartamudeaba	en	sus	respuestas.	Leí	libros,	hice	mis	tareas	y	escuché	atentamente	en	clase,	pero	todavía	no	entendía	de	qué	estaba	hablando.	¡Eso	da	mucho	miedo!	Por	más	que	lo 	 intento, 	simplemente	no	 lo 	consigo. 	El 	 libro	de	texto	es 	muy	aburrido, 	con	palabras	densas	y	sin	ilustraciones,	y	la	tarea	es	aún	más	confusa.	Sólo	de	pensar	en	el	próximo	examen	me	dan	ganas	de	ir	al	baño.Creo	que	se	me	puede	perdonar	por	omitir	muchos	detalles	en	mi	carta	al	Sr.	Joffrey,	e	incluso 	algunas 	de 	 las 	pequeñas 	 conversaciones 	en 	 la 	 carta 	me 	parecieron 	 superfluas.	Después 	 de 	 disculparme 	 por 	 estar 	 "fuera 	 de 	 tema", 	 desvié 	 la 	 conversación 	 hacia 	 las	matemáticas,	específicamente	al	problema	de	la	persecución,	que,	al	igual	que	el	Sr.	Joffrey,	era	un	viejo	amigo	de	mis	días	sin	preocupaciones.El	tema	de	esta	carta	es:	cambia	tu	marco	de	referencia	y	te	volverás	poderoso.	A	veces,	como	señala	la	teoría	de	la	relatividad,	un	problema	frustrante	se	vuelve	más	claro	cuando	vemos	las	cosas	en	el	marco	de	referencia	correcto.
De	otra	manera,	¿qué	pasa	si	no	usamos	una	espiral	logarítmica?En	la	siguiente	carta,	hablamos	de	la	persecución	de	cuatro	perros.Hay	cuatro	perros	a	partir	de	los	cuatro	vértices	de	un	cuadrado	con	una	longitud	de	lado	a	.	Cada	perro	persigue	al	perro	que	tiene	delante	en	el	sentido	contrario	a	las	agujas	del	reloj.	Si	empiezan	a	correr	a	la	misma	velocidad	al	mismo	tiempo,	¿qué	distancia	ha	recorrido	cada	perro	cuando	se	encuentran	en	el	centro	del	cuadrado	(ver	Figura	3-1)?	Figura	3-1Esta	pregunta	parece	difícil.	Cada	perro	persigue	al	perro	que	tiene	delante	y	su	camino	de	persecución	es 	en	espiral. 	Entonces, 	el 	problema	en	realidad	es 	simplemente 	 tratar 	de	encontrar	la	longitud	del	arco	de	la	trayectoria	en	espiral.La 	 forma	 tradicional 	de 	resolver 	este 	problema	es 	utilizar 	el 	 cálculo. 	Piensa 	en 	dónde	estarían	estos	perros	en	un	momento	dado.	Por	la	simetría	del	problema,	sabemos	que	siempre	están	en	el 	vértice	de	un	pequeño	cuadrado	dentro	del	cuadrado	original, 	y	el	centro 	 de 	 este 	 pequeño 	 cuadrado 	 coincide 	 con 	 el 	 centro 	 del 	 cuadrado 	 original. 	 Los	pequeños	cuadrados	giran	y	se	encogen	mientras	los	perros	se	persiguen	entre	sí.Ahora	veamos	el	caso	de	un	perro	en	el	vértice	de	un	cuadrado	reducido.	Sea	su	distancia	desde	el	centro	r	y	luego	use	coordenadas	polares	para	considerar	este	problema.En	el	siguiente	instante	d	t	,	el	perro	se	mueve	una	distancia	d	s	en	la	dirección	del	objetivo	
(el	perro	que	está	persiguiendo)	.	La	longitud	del	arco	pequeño	d	s	puede	considerarse	como	la	longitud	de	la	hipotenusa	de	un	triángulo	rectángulo	infinitesimal	con	las	longitudes	de	los	lados	rectángulos	r	d	θ	y	-d	r	(aquí,	asumimos	que	r	d	θ	es	un	segmento	de	línea,	no	un	arco	circular).	Tenga	en	cuenta	que	debido	a	que	d	r	es	negativo,	debe	escribirse	-d	r	.	Como	se	muestra	en	la	figura	3-2,	en	el	siguiente	instante,	la	distancia	que	el	perro	se	ha	movido	reduce	su	distancia	r	desde	el	centro	. 	Figura	3-2
Al	observar	el	triángulo	rectángulo	infinitesimal,	podemos	ver	que	en	realidad	es	un	triángulo	rectángulo	isósceles	con	un	ángulo	base	de	.	Entonces	conseguimos	.Dado	que	, 	 la	ecuación	de	la	trayectoria	del	perro	que	persigue	r	=	r	(	θ	)	satisface	las	
siguientes	condiciones:	 .
Esta	ecuación	diferencial	es	fácil	de	resolver,	basta	con	separar	r	de	θ	e	integrar	ambos	
lados: 	 , 	 se 	 puede 	 deducir 	 que 	 1n 	 r 	 =- 	 θ 	 + 	 C 	 , 	 o	equivalentemente	r	=	K	e	-	θ	,	donde	K	=e	C	.Esta 	 es 	 la 	 ecuación 	 de 	 la 	 curva 	 espiral 	 logarítmica, 	 la 	 famosa 	 y 	maravillosa 	 gráfica	estudiada	por	primera	vez	por	los	hermanos	Bernoulli.	Los	hermanos	Bernoulli	fueron	dos	de	los	más	grandes	matemáticos	desde	Newton.
Para	estimar	la	constante	K	 , 	observe	que	la	condición	es	θ	=	0	 (si	el	perro	está	en	el	cuadrado	de	la	Figura	3-3	cuando	resolvamos	este	problema).	Figura	3-3
De	esta	forma	 ,	y	dado	que	r	=	K	e	-	θ	,	podemos	derivar	
.	Así	 es	la	curva	que	traza	uno	de	los	perros.Para	resolver	completamente	este	problema,	necesitamos	saber	qué	distancia	ha	recorrido	el	perro	cuando	se	encuentra	con	otros	perros	en	el	centro.	En	este	momento	r	=0,	lo	que	significa	θ	→∞	(la	situación	en	la	que	la	espiral	aumenta	infinitamente).desde	θ	=0	hasta	θ	=∞	se	puede	calcular	de	la	siguiente	manera:	Del	triángulo	rectángulo	
isósceles	sabemos	 .	Esto	se	deriva	del	teorema	de	Pitágoras:	
aquí	consideramos	d	s	como	la	hipotenusa	y	r	d	θ	como	la	base.	Ahora	
reemplazamos	 r	en	r	d	θ	con	,	y	obtenemos	d	s	=	a	e	-	θ	d	θ	.	Por	lo	tanto	
.Esta	es	una	respuesta	sospechosamente	simple:	cuando	este	perro	y	otros	tres	perros	se	encuentran	en	el	centro	del	cuadrado,	cada	perro	recorre	una	distancia	total	a	,	igual	a	la	longitud	del	lado	del	cuadrado.La	siguiente	carta	trata	sobre	cómo	resolver	este	problema	de	recuperación	sin	cálculo.Estimado	Sr.	Joffrey:¡Esta	vez	les	voy	a	contar	un	método	realmente	valioso!	¿Recuerdas	la	siguiente	pregunta	(una	pregunta	de	recuperación,	por	supuesto)?	Hay	cuatro	perros	persiguiéndose	entre	sí.	Cada	perro	parte	de	un	vértice	del	cuadrado	y	persigue	al	perro	que	tiene	delante	en	el	sentido	contrario	a	las	agujas	del	reloj.	¿Qué	distancia	ha	recorrido	cada	perro	cuando	se	encuentran	en	el	centro	del	cuadrado?Quizás	recuerdes	la	impresionante	respuesta:	¡corren	una	distancia	igual	a	la	longitud	del	lado	a	(ver	Figura	3-4)!	Ahora	extiendo	esta	pregunta	a	la	situación	en	la	que	n	perros	comienzan	desde	cada	vértice	de	un	polígono	regular	de	n	lados.	La	respuesta	también	es	
muy	sencilla: 	
	Figura	3-4Aquí 	a 	es 	 la 	 longitud 	del 	 lado. 	Estos 	no 	 son 	nuevos. 	Pero 	 recuerdas 	que 	mencioné 	 la	posibilidad	de	una	solución	intuitiva	(parecía	muy	improbable).	Si	te	preguntas	si	voy	a	darte	una	respuesta	intuitiva,	tienes	razón.	Pero	primero…Espero 	que 	 le 	 vaya 	bien 	y 	que 	 tenga 	otro 	año 	exitoso 	en 	Loomis. 	Para 	mí, 	 la 	 alegría	permanece	y	me	encanta	todo	acerca	de	Princeton	(excepto	hasta	ahora	mi	profesor	de	matemáticas. 	Dos 	 tercios 	de 	 los 	profesores 	aquí 	 son 	en 	 realidad 	matemáticos, 	no 	 sólo	profesores.	Quieren	usar	el	rigor	en	el	segundo	semestre	en	mi	clase	de	cálculo	avanzado	"	"Me	ahogé, 	pero	afortunadamente	nadé	y	nadé	hasta	 las	orillas	 familiares	del 	curso	de	matemáticas	de	sexto	nivel.	El	álgebra	lineal	en	el	primer	semestre	también	era	demasiado	abstracto, 	pero	me	obligué	a 	dar. 	Esta 	clase	 fue	una	oportunidad. 	Siento	(como	si 	esta	abstracción 	acabara 	con 	el 	 interés 	de 	 Jamie 	Williams 	por 	 las 	matemáticas, 	y 	no 	voy 	a	permitir	que	eso	me	vuelva	a	pasar.	Ahora	todo	está	bien).Jugué	mucho	al	tenis	e	incluso	comencé	a	tener	algunas	pequeñas	actividades	sociales.Bien,	vayamos	al	grano.Primero, 	comencemos	con	 los 	cuatro 	perros. 	Según	 la 	simetría, 	 todos 	 los 	perros 	están	siempre	en	el	mismo	cuadrado	entre	sí.	¿Estás	de	acuerdo?	Es	decir,	en	cualquier	momento,	las	direcciones	de	la	velocidad	del	perro	están	en	ángulo	recto	entre	sí.	Ahora	considere	la	parte	que	conecta	las	posiciones	de	dos	perros	cualesquiera	(ver	Figura	3-5).	Figura	3-5(La	parte	complicada	está	por	llegar).En	este	instante, 	a	 lo	largo	del	segmento	de	línea	que	los	conecta, 	el 	perseguidor	tiene	velocidad 	máxima	en 	esta 	 línea, 	mientras 	que 	el 	perseguido 	 tiene 	una 	velocidad 	de 	0.	Entonces,	si	solo	consideramos	estas	partes	conectadas	en	todos	los	instantes,	es	como	si	la	persona 	perseguida 	nunca 	 "se 	escapara", 	y 	en 	este 	 sentido 	su 	velocidad 	es 	normal 	en	relación	con	el	segmento	de	línea.	El	perseguido	seguía	inmóvil	en	su	rincón,	lo	que	habría	hecho	su	movimiento	lateral.	Se	determina	el	perseguidor	y	se	fija	el	punto	de	partida.	¿Ves	que	la	distancia	recorrida	por	el	perseguidor	es	una	?
Si	no	lo	ve,	mire	el	problema	de	otra	manera.	Coloca	una	cámarade	vídeo	sobre	la	cabeza	del	perseguidor.	Siempre	gira	de	tal	manera	que	la	persona	perseguida	queda	en	el	centro	del	cuadro,	y	en	realidad,	eso	está	mal,	no	tiene	que	girar	en	absoluto,	¿verdad?De	todos	modos,	pon	la	cámara	en	su	cabeza	y	enciéndela,	y	comienza	la	persecución.	Una	vez	finalizada	la	persecución,	saca	la	película	y	mira	los	resultados	en	una	pantalla.	¿Qué	vas	a	ver?La	persona	perseguida	aparece	en	el	centro	de	la	pantalla	y	no	se	la	puede	ver	corriendo.	Estás 	 cada 	 vez 	 más 	 cerca 	 de 	 la 	 verdad. 	 ¿Puedes 	 distinguir 	 este 	 clip 	 del 	 siguiente	(suponiendo 	 que 	 no 	 haya 	 contexto)? 	 ¿El 	 perseguido 	 permanece 	 en 	 su 	 rincón, 	 el	perseguidor	corre	una	distancia	a	y	alcanza	al	perseguido?	No	se	puede	notar	la	diferencia,	por	lo	que	la	respuesta	es	a	en	ambos	casos	(por	supuesto,	la	declaración	de	la	cámara	es	solo	una	metáfora	para	compensar	la	velocidad	normal	del	perseguidor).dejo	el	problema	de	los	n	lados	como	ejercicio.	Te	sugiero	que	sigas	usando	el	método	de	la	
cámara. 	Debería 	poder 	resolverlo 	 (lo 	siento, 	Sr. 	 Joffrey, 	no	pude	evitar	dejarle	tarea).Amistad	para	siempre. esteban26	de	marzo	de	1977Adjunto:	El	método	anterior	fue	propuesto	por	Martin	Gardner	en	la	columna	"Scientific	American".También	adjunto:	Déle	esta	pregunta	a	Ed	Ecker,	pero	no	le	dé	la	respuesta.	Vea	lo	que	hará.	Después	del	álgebra	lineal,	me	deprimí	y	comencé	a	considerar	si	debería	cambiar	de	la	carrera	de	matemáticas	a	la	de	física.	Durante	mi	segundo	año,	tuve	un	maestro	increíble,	Elias	Stern,	que	enseñaba	análisis	complejo,	y	seguí	especializándome	en	matemáticas.Ese	año,	mi	hermano	Aian	tuvo	una	larga	conversación	conmigo.	No	recuerdo	los	detalles	con	claridad,	pero	recuerdo	que	íbamos	juntos	a	casa	para	el	Día	de	Acción	de	Gracias	y	él	me	preguntó	cuáles	eran	mis	planes	futuros,	en	qué	especialidad	quería	especializarme,	etc.,	y	luego	trató	de	convencerme	de	que	tomar	cursos	preparatorios	para	la	escuela	de	medicina. 	 La 	 gente 	 siempre 	me 	 decía 	 que 	 debería 	 ser 	médico 	 porque 	 "te 	 gustan 	 las	matemáticas	y	las	ciencias"	y	"como	médico	puedes	hacer	muchas	cosas,	algunas	de	las	cuales	tienen	mucho	que	ver	con	las	matemáticas,	como	la	radiología".	Mi	madre	también	decía:	"¡Qué	manos	más	inteligentes	tienes!"Pero	Aian	tomó	un	rumbo	diferente.	Es	un	abogado	con	excelente	criterio.	Y	estaba	seguro	de	que	su	consejo	era	el	adecuado	para	mí.	Dijo	que	debería	estudiar	biología	y	química,	y	
química	orgánica,	porque	disfrutaría	esas	materias.	Estoy	tomando	estos	cursos	no	porque	me	conviertan	en	médico,	sino	porque	es	mucho	más	fácil	aprender	ahora	que	cuando	esté	ocupado. 	 Incluso 	 si 	 no 	 voy 	 a 	 la 	 escuela 	 de 	 medicina 	 en 	 el 	 futuro, 	 todavía 	 puedo	beneficiarme	de	esta	amplia	formación	científica.Después	de	pensarlo	mucho,	decidí	probar	la	premedicina.Por 	supuesto 	que	esto 	es 	 totalmente 	 irracional. 	No	estoy 	 interesado	en	ser 	médico 	en	absoluto.	Siempre	ha	sido	mi	sueño	ser	profesora	de	matemáticas.Cuando	le	escribí	al	señor	Joffrey	en	febrero	de	1979,	tenía	este	pensamiento	en	mente,	pero	lo	mencioné	brevemente.	Después	de	todo,	él	no	es	ni	mi	confidente	ni	mi	mentor.	Él	era 	 alguien 	 que 	 disfrutó 	mi 	 viaje 	matemático 	 y 	 creo 	 que 	 simplemente 	 compartíamos	problemas	matemáticos	entre	nosotros.
La	curiosidad	de	los	matemáticos
Esta 	 carta 	 trata 	 sobre 	 lo 	 irracional. 	 Los 	matemáticos 	 se 	 preocupan 	 por 	 este	número	porque	es	un	principio	fundamental	de	la	geometría:	nos	dice	la	longitud	de	la	diagonal 	de 	un	cuadrado	en	relación	con	 la 	 longitud	de 	su 	 lado. 	Por 	ejemplo, 	para 	un	cuadrado	con	una	longitud	de	1	unidad	por	1	unidad,	la	longitud	unitaria	de	su	diagonal	es	
(ver	Figura	4-1). 	Foto	4-1Esta	respuesta	se	puede	derivar	directamente	del	teorema	de	Pitágoras.	Según	el	teorema	de	Pitágoras,	para	un	triángulo	rectángulo,	las	longitudes	de	los	dos	lados	rectángulos	son	a	y	b	respectivamente	,	y	la	longitud	de	la	hipotenusa	es	c	,	entonces	a	2	+	b	2	=	c	2	.	Considere	la	diagonal	del	cuadrado	como	la	hipotenusa	de	un	triángulo	rectángulo	con	lados	rectángulos	
a	=1	y	b	=1, 	 luego	obtenemos	c	 2 	=1	 2 	+1	 2 	=2, 	por	 lo	que	la 	 longitud	de	 la 	diagonal 	es	
.Los 	 antiguos 	 griegos, 	 antiguos 	 babilonios, 	 antiguos 	 indios 	 y 	 chinos 	 saben 	 desde 	 hace	mucho	tiempo	que	la	longitud	diagonal	de	un	cuadrado	es	aproximadamente	un	40%	más	
larga	que	la	longitud	de	su	lado,	pero	¿qué	es	esta	cosa	básica	y	mágica	 ?
Los	pitagóricos	inicialmente	supusieron	 que	debía	ser	la	razón	de	dos	números	enteros,	y	realmente	querían	saber	cuáles	eran	esos	dos	números.	Para	estos	matemáticos	esto 	 no 	 era 	 una 	 curiosidad 	 baladí, 	 formaba 	 parte 	 de 	 toda 	 investigación 	 basada 	 en 	 la	misteriosa	idea	de	que	todo	es	número.	Ésta	es	la	idea	de	que	las	leyes	del	universo	pueden	expresarse 	matemáticamente, 	 más 	 específicamente, 	 en 	 términos 	 de 	 números 	 enteros	pequeños.	El	propio	Pitágoras	descubrió	que	la	armonía	musical	se	basa	en	números:	si	se	tocan	dos	cuerdas	con	la	misma	fuerza,	pero	una	cuerda	se	toca	el	doble	de	larga	que	la	otra,	cuanto	más	larga	será	la	cuerda	El	tono	de	la	cuerda	es	exactamente	una	octava	más	bajo	que	el	tono	de	la	cuerda	más	corta.	De	hecho,	la	proporción	entre	cuerdas	de	cualquier	longitud 	 contiene 	 números 	 pequeños, 	 como 	2:3, 	 4:3, 	 5:2, 	 lo 	 que 	 hace 	 que 	 produzcan	hermosas	armonías.
Con	base	en	esto, 	es	natural 	esperar	que 	 también	deba	ser	una	proporción	de	
algunos 	números 	enteros. 	Es 	aproximadamente 	 igual 	 , 	pero 	no 	exactamente 	 igual,	porque	5	2	+5	2	=25+25=50	y	7	2	=49,	lo	cual	está	cerca	pero	no	es	suficiente.	¿Quizás	dos	números	más	grandes	serían	suficientes?
Aquí 	 es 	 donde 	 radica 	 el 	 problema. 	 ¿ 	 Podemos 	 encontrar 	 dos	números	enteros	myn	y	sean	,	o	n	2	+	n	2	=	m	2	?
la	respuesta	es	negativa.	 es	un	número	irracional,	lo	que	significa	que	no	se	puede	escribir 	 como 	 una 	 razón 	 de 	 dos 	 números 	 enteros. 	 Sus 	 implicaciones 	 filosóficas 	 son	profundas	y	sorprendentes.	Si	los	números	enteros	son	insuficientes	para	describir	algo	tan	simple	como	la	diagonal	de	un	cuadrado,	¿cómo	se	puede	esperar	que	puedan	describir	otros	principios	pitagóricos?
Hipaso, 	 uno 	 de 	 los 	 alumnos 	 de 	 Pitágoras, 	 descubrió 	 su 	 irracionalidad, 	 los	discípulos	pitagóricos	se	enojaron	tanto	que	lo	arrojaron	al	mar	y	lo	ahogaron.Método	de	prueba	geométrica	elegante	y	potente.
Existe	 una	prueba	estándar	de	que	los	números	irracionales	son	irracionales.	Es	posible	que	hayas	oído	a	gente	decir	que	ciertos	aspectos	de	las	matemáticas	son	elegantes.	Pero	en	mi	opinión	esta	prueba	es	todo	menos	elegante.	El	método	de	prueba	que	le	escribí	al	señor	Joffrey	es	un	ejemplo	elegante.
Esa 	prueba	estándar 	debería 	ser 	así. 	Supongamos 	 que	myn	son	
números 	 enteros 	 sin 	 divisores 	 comunes. 	 En 	 otras 	 palabras, 	 antes 	 de 	 comenzar 	 la	demostración 	 , 	 dividimos 	myn 	 por 	 sus 	 divisores 	 comunes 	 para 	 obtener 	 una 	 fracción	adecuada	.	El	propósito	de	esto	es	la	simplicidad,	asegura	que	m	y	n	sean	lo	más	pequeños	posible,	y	también	evita	la	confusión	causada	por	un	número	que	puede	representarse	por	varias	fracciones	diferentes,	como	por	ejemplo	1/2=2/4=3/6	.	Con	fracciones	verdaderas,	podemos	asegurarnos	de	que	la	fracción	se	exprese	de	una	manera	única.A 	continuación 	derivaremos 	una 	contradicción, 	mostrando 	que 	para 	cualquier 	m	y 	n 	 ,	
es	imposible	escribir.
Prueba:	si	 ,	entonces
	Ahora	sabemos	que	m	debe	ser	un	número	par,	lo	que	significa	que	podemos	escribirlo	como	2	veces	algún	número,	es	decir,	m	=	2	p	,	donde	p	es	un	número	entero.
Ahora	viene	la	contradicción.	Dado	que	m	=	2	p	y	m	2	=	2	n	2	(ver	el	razonamiento	anterior),	podemos	obtener	(2	p	)	2	=	2	n	2	y	podemos	deducir	4	p	2	=	2	n	2	.	Dividiendo	por	un	factor	común	de	2,	obtenemos	2	p	2	=	n	2	.	Hay	un	problema	aquí.	Debido	a	que	2	p	2	=	n	2	,	sabemos	que	n	2	también	se	puedeescribir	como	2	veces	un	cierto	número,	lo	que	significa	que	n	2	es	un	número	par,	entonces	n	también	es	un	número	par.Por	tanto,	podemos	concluir	que	tanto	m	como	n	son	números	pares.	Esto	contradice	el	
hecho	de	que	myn	no	tienen	divisor	común	(se	acaba	de	demostrar	que	myn	son	números	pares,	por	lo	que	se	pueden	dividir	por	2).	Esto	significa	que	nuestra	suposición	inicial	era	
errónea	y,	por	tanto	 ,	debe	ser	irracional,	lo	cual	también	es	el	caso.La	lógica	de	esta	prueba	es	rigurosa,	pero	sigue	siendo	algo	problemática.	Además	de	las	pruebas	tortuosas,	esta	afirmación	también	tiene	un	tema	poco	claro.	Esta	prueba	hace	que	
la 	 irracionalidad 	 parezca 	 un 	 hecho 	más 	 en 	 la 	 teoría 	 de 	 números 	 que 	 en 	 la	geometría.	¿Dónde	están	esas	formas	que	mencionamos	al	principio:	cuadrados,	diagonales	y	triángulos?La	prueba	de	mi	carta	al 	señor	Joffrey	era	puramente	geométrica	y	me	la	demostró	mi	profesor	en	Princeton,	Benedict	Gross.Estimado	Sr.	Joffrey:¡Es 	hora 	nuevamente 	de 	nuestro 	problema 	anual 	de 	matemáticas! 	Espero 	que 	 tú 	y 	 tu	familia 	 estéis 	 felices. 	 ¡Hasta 	 ahora, 	 todo 	 bien! 	 Mi 	 enfoque 	 ahora 	 ha 	 pasado 	 de 	 las	matemáticas	a	la	medicina,	y	estos	cursos	de	pre-medicina	son	muy	desafiantes.	Pero	las	matemáticas 	 siguen 	 siendo 	mis 	 favoritas 	 (me 	 especializo 	 en 	 ellas) 	 y 	 no 	 puedo 	 evitar	
mostrarles 	un	hecho	básico	en	geometría, 	que	es 	una	prueba 	 ingeniosa	de	 los	números	irracionales	(ver	Figura	4-2). 	Figura	4-2
Supongamos	 que	m	y	n	son	números	enteros.	Piense	en	n	como	un	número	múltiplo 	de	una	unidad	de	 longitud	que	sumamos	repetidamente	hasta 	que	el	resultado	es	igual	a	la	longitud	del	lado	(consulte	la	Figura	4-3).	Figura	4-3Lo	que	quiero	decir	es	que	la	longitud	del	lado	de	un	ángulo	recto	es	n	veces	la	unidad	de	longitud,	y	la	longitud	de	la	hipotenusa	es	m	veces	la	unidad	de	longitud.	Encuentre	un	punto	D	en	BC	tal	que	DB	=	AB	.	Dibuje	una	línea	vertical	DE	(	que	cruce	a	AC	en	el	punto	E	)	y	conecte	EB	(consulte	la	Figura	4-4). 	
Figura	4-4Porque	en	Rt△	ABE	y	Rt△	DBE	,	BE	=	BE	,	AB	=	DB	,	Rt△	ABE	≌Rt△	DBE	,	entonces	EA	=	ED	,	entonces	△	CDE	es	un	triángulo	rectángulo	isósceles	con	∠	ECD	=45°.	Por	lo	tanto	CD	=	ED	=	EA	,	consulte	el	área	marcada	en	la	Figura	4-5.
	Figura	4-5Hasta	el	momento	no	se	puede	ver	mucho.Ahora	viene	la	prueba	(espero	que	no	la	hayas	visto	antes).Suponemos 	 que 	 tanto 	 AB 	 como 	BC 	 son 	múltiplos 	 de 	 alguna 	 unidad 	 de 	 longitud 	 ℓ 	 .	Consideremos	ahora	el	triángulo	rectángulo	isósceles	CDE	.Mira	el	CD	primero	.	CD	=	CB	-	DB	.	Dado	que	DB	=	AB	,	la	longitud	de	CD	=	la	longitud	de	la	hipotenusa	original,	la	longitud	del	lado	rectángulo	original.	Todos	son	múltiplos	enteros	de	la	unidad	de	longitud	ℓ	.	Por	lo	tanto,	su	diferencia	también	es	un	múltiplo	entero	de	ℓ	(el	carácter	cerrado	de	los	números	enteros),	entonces	la	longitud	del	lado	CD	del	triángulo	
rectángulo	isósceles	CDE	es	un	múltiplo	entero	de	ℓ	.	Espera	un	minuto,	todavía	tenemos	que	demostrar	que	la	longitud	de	CE	también	es	un	múltiplo	entero	de	ℓ	.	CE	=	AC	-	AE	=	AC	-	CD	,	todos	son	múltiplos	enteros	de	ℓ	(	AC	=	longitud	del	lado	original,	se	ha	demostrado	anteriormente	que	la	longitud	de	CD	es	un	múltiplo	entero	de	ℓ	).la	longitud	de	la	hipotenusa	y	la	longitud	del	ángulo	recto	del	pequeño	triángulo	rectángulo	isósceles	CDE	también	son	múltiplos	enteros	de	la	unidad	de	longitud	ℓ	(es	obvio	que	la	razón	de	similitud	de	△	ABC	y	△	DCE	es	>	2,	es	decir	,	2	CE	<	antes	de	Cristo	).Entonces 	 (¿y 	 sabes 	 a 	 qué 	 conducirá 	 esto?) 	 podemos 	 dibujar 	 una 	 serie 	 de 	 triángulos	rectángulos 	 isósceles 	 progresivamente 	más 	 pequeños. 	 De 	 hecho, 	 podemos 	 dibujar 	 un	triángulo	muy	pequeño	cuyas	longitudes	recta	y	hipotenusa	siguen	siendo	múltiplos	de	la	unidad	de	longitud	ℓ	(consulte	el	argumento	anterior).
¡Pero 	 esto 	 es 	 una 	 locura! 	 ¿Qué 	 obtenemos 	 si 	 elegimos 	 un 	 triángulo 	 con 	 longitud 	 de	hipotenusa	<	ℓ	?	Ningún	múltiplo	entero	de	ℓ	(excepto	0)	tiene	menos	de	ℓ	de	longitud	,	por	lo	que	se	produce	una	contradicción.Por	lo	tanto,	no	existe	tal	ℓ	,	por	lo	que	la	longitud	de	la	hipotenusa	y	la	longitud	del	ángulo	recto 	son 	 inconmensurables. 	Esta 	demostración 	 la 	dio 	mi 	profesor 	en 	una 	conferencia	sobre	el	teorema	final	de	Fermat	(que,	por	cierto,	aún	no	ha	sido	demostrado).Prefiero	este	método	al 	método	de	prueba	tradicional. 	Porque	es	más	coherente	con	la	naturaleza	geométrica	del	problema.	Si	tienes	la	oportunidad,	por	favor	dime	qué	piensas	sobre	esto	y	cómo	te	va.adiós. esteban20	de	febrero	de	1979También	se	adjunta:	Preguntas	de	ejercicio	para	lectores:	utilice	este	método	de	prueba	para	demostrar	que	la	sección	áurea	es	un	número	irracional	(es	decir,	las	longitudes	de	los	lados	del	rectángulo	áureo	son	inconmensurables).¡Adiós!Una	elección	de	la	que	nunca	te	arrepentirásPoco	después	de	enviar	esta	carta,	llegó	el	punto	de	inflexión.Después	de	que	mi	hermano	me	convenciera	de	cambiarme	a	pre-medicina,	tuve	una	gran	carga	de	estudios,	tomando	álgebra	abstracta	y	geometría	diferencial,	biología	de	primer	año, 	química	de	primer	año	y	química	orgánica, 	 todo	al 	mismo	tiempo. 	También	hay	3	clases 	 experimentales 	 cada 	 semana. 	 Es 	 un 	 trabajo 	 duro 	 para 	 cualquiera, 	 pero	especialmente	para	las	personas	que	no	son	buenas	para	lidiar	con	cosas	del	mundo	real.	Siempre	era	el	último	en	salir	del	laboratorio,	lo	que	hacía	que	los	profesores	asistentes	me	odiaran.	"¿Por	qué	te	toma	tanto	tiempo?",	preguntó.	"Estos	experimentos	son	como	hervir	agua	o	cocinar	arroz".	Pero	nunca	había	hecho	ninguna	de	esas	cosas	antes.Otra	tarea	de	enormes	proporciones	es	la	preparación	para	el	examen	de	admisión	a	la	facultad	de	medicina	(MCAT).	Como	había	mucho	de	qué	ponerme	al	día,	me	inscribí	en	un	curso	de	repaso	de	Kaplan.	El	lugar	de	clase	más	cercano	está	en	New	Brunswick,	a	una	hora	en	coche	de	la	escuela,	y	las	clases	se	imparten	los	domingos	por	la	mañana.	Ningún	estudiante	universitario	quiere	despertarse	a	esta	hora,	especialmente	preparándose	para	el	MCAT.	Pero	todavía	me	convencí	de	completar	el	plan.Cuando	llegué	a	casa	para	las	vacaciones	de	primavera,	mi	mamá	me	miró	a	la	cara	y	dijo:	"Algo	anda	mal.	¿Qué	está	pasando?	¿Cómo	va	la	escuela?"."Me	gusta	la	escuela",	dije,	"afortunadamente	estoy	aprendiendo	cosas	útiles"."No,	no	te	ves	feliz.	¿Qué	está	pasando?"Yo	mismo	no	lo	sé	muy	bien.	"Tal	vez	estoy	demasiado	cansado",	dije,	"tengo	demasiada	tarea"."No,	debería	ser	otra	cosa.	¿Cuáles	son	tus	planes	para	el	próximo	año?	Para	entonces	serás	un	estudiante	de	último	año".
Eso	es	lo	que	me	molesta.	"Como	era	demasiado	tarde	para	convertirme	en	estudiante	de	premedicina,	tuve	que	tomar	bioquímica,	fisiología	de	vertebrados	y	muchos	otros	cursos	requeridos	por	la	escuela	de	medicina.	Además,	tuve	que	completar	mi	tesis	anual	y	dos	cursos	en	el	departamento	de	matemáticas.	Esto	significa	que	mi	agenda	de	cursos	está	demasiado	llena	para	cursar	mecánica	cuántica"."¿Por	qué	te	preocupas	tanto	por	esto?",	preguntó."¡Porque	eso	es	lo	que	siempre	quise	aprender!",	espeté.	"Cuando	era	estudiante	de	primer	año,	la	maestra	nos	pidió	que	fuéramos	a	la	biblioteca	y	escogiéramos	un	libro.	Yo	elegía	el	mismo	cada	vez:	"Principios	y	métodos".	:	Los	misterios	de	la	energía	atómica."	Siempre	ha	sido	así.	Bohr	y	Heisenberg,	Schrödinger	y	Einstein,	estos	son	mis	héroes.	Toda	mi	vida	ha	sido 	 para 	 llegar 	 a 	 este 	 punto, 	 y 	 ahora 	 finalmente 	 voy 	 a 	 aprender 	 el 	 principio 	 de	incertidumbre	de	Heisenberg.	Se	trataba	de	algo,	y	lo	que	pude	aprender	no	fue	solo	la	teoría	en	sí, 	sino	también	los	problemas	matemáticos	 involucrados, 	pero	nunca	tuve	 la	oportunidad 	 de 	 estudiar 	 nuevamente 	 porque 	 no 	 podía 	 programar 	 este 	 curso 	 en 	 el	cronograma. 	Era 	demasiado	tarde. 	Luego	 iría 	a 	 la 	 facultad	de	medicina	y 	diseccionaría	cadáveres”.Ella	me	miró	a	los	ojos."¿Qué 	 pasaría 	 si 	 dijeras 	 ahora 	mismo: 	 'Me 	 gustan 	 las 	matemáticas