TEORIA 2 - DETERMINANTES

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ALGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 22 
 
 
 
 UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL 
 FACULTAD REGIONAL TUCUMÁN 
 
 
 
 
 
 
DETERMINANTES 
 
 
 
NOTAS TEÓRICAS 
EJERCICIOS Y APLICACIONES 
 
 
 
MG ANALIA MENA 
ESP. GRACIELA ABRAHAM 
 
 
 
ALGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 23 
 
2.- DETERMINANTES 
 
La teoría de los determinantes tiene su origen con el matemático alemán G. Leibniz, quien los 
usó en 1693 en referencia a los sistemas de ecuaciones lineales que es precisamente donde 
tienen su más importante campo de aplicación. Sin embargo, Cauchy en 1812 fue el primero 
que utilizó los determinantes en el sentido moderno puesto que él fue el responsable del 
desarrollo de gran parte de la joven teoría de los determinantes, incluyendo varios resultados 
importantes tales como: la regla del producto para determinantes, el polinomio característico, 
los eigenvalores y la noción de matriz diagonalizable. 
Recién en 1841, Jacobi los popularizó aunque en el contexto de las funciones de varias 
variables, tales como las que se encuentran en un curso de Cálculo de variables múltiples. 
Estos tipos de determinantes fueron llamados posteriormente “jacobianos”, término que se 
utiliza hasta la fecha. 
Lo cierto es que los determinantes representan uno de los temas más útiles del Álgebra lineal, 
con muchas aplicaciones en ingeniería, física, economía, estadística, matemática y otras 
ciencias lo que hace más importante su estudio particular y detallado. 
En esta unidad abordaremos un concepto importante y muy particular, el de determinante de 
una matriz, con el cual resolveremos una gran cantidad de problemas. Este concepto nos 
permitirá más adelante hallar una forma de llegar a la inversa de una matriz y aprenderemos 
un nuevo método para resolver sistemas de ecuaciones lineales. 
La particularidad de este concepto es que a diferencia de las operaciones de matrices, que nos 
dan como resultado otra matriz, éste nos da un número. 
 
2.1.- Definición: Dada la matriz A  M 
nxn
, se llama determinante de A al único número real 
asociado a dicha matriz. Lo representamos por Det(A) o A o D(A) o bien 
 A = 
 
nn
a
.....
in
a
....
nj
a
........
...a
....
2n
a
......
....
2i
a
1n
a
.....
1i
a
.....................
n2
a....
j2
a....
22
a
21
a
n1
a....
j1
a....
12
a
11
a
 .ij
 
 
Observación 1: i) No debe confundirse esta notación con las barras de valor absoluto. 
 A denota determinante A si A es una matriz cuadrada, mientras que x denota el valor 
ALGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
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absoluto de x si x es un número real. 
ii) Se aclara que una tabla ordenada de n filas y n columnas de escalares situada entre dos 
líneas verticales y que llamamos determinante de orden n, no es una matriz, sino que se trata 
de una forma de escribir el determinante de dicha matriz. 
iii) Un determinante siempre es un número asociado a una matriz cuadrada. 
 
El determinante de orden n se definirá de manera inductiva; por ello comenzaremos 
definiendo los casos especiales de los determinantes de órdenes uno, dos y tres. 
Posteriormente, definiremos un determinante de orden arbitrario.. 
 
2.2.- Determinante de orden uno 
Definición: Si A = (a11)  M
1x1 
 entonces A = a11 
 
Ejemplo: Sea A  M
1x1
 tal que A = (-3) entonces A = 3 = -3 
 
2.3.- Determinante de orden dos 
Definición: Sea A  M
2x2
 / A= 





2221
1211
aa
aa
definimos A = 
aa
aa
 
2221
1211
 = a11 a22 – a12a21 
Esto es, el determinante de orden dos es igual al producto de los elementos situados en la 
diagonal principal menos el producto de los elementos situados en la diagonal secundaria. 
 
Ejemplo: Sea A = 




 
63
52
entonces A = 
63
52
 

 = 2.6 – 3. (-5) = 12 + 15 = 27 
 
Observación 2: El valor de un determinante es un único número real. Pero dado un número 
real, éste puede ser el valor de más de un determinante. 
En el ejemplo anterior: 
 
 
63
52
 

 = 27 y 27 = 
63
52
 

 = 
90
03
 = … = 
51
74
 

 
 
2.4.- Determinante de orden 3 
Definición: Sea A  M
3x3
 tal que A = 










333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
 definimos 
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 25 
 A = 
aaa 
aaa 
aaa 
 
333231
232221
131211
= a11 a22 a33+a12 a23 a31+a21 a32 a13–a31 a22 a13–a21 a12 a33–a32 a23 a11 
 
Observación 3: Obsérvese que hay seis términos, cada uno compuesto por los productos de 
tres elementos de la matriz original. Cada término tiene tres factores y ninguno de ellos 
pertenece a la misma fila ni a la misma columna que el otro. 
Tres de los términos aparecen con signo positivo y tres con signo negativo respondiendo a la 
siguiente ley de formación. 
Los tres términos algebraicamente positivos se forman de la siguiente manera: “el primero es 
el producto de los elementos situados en la diagonal principal, y cada uno de los otros dos es 
el producto de los elementos situados en las paralelas a esta diagonal multiplicados por el 
elemento situado en el ángulo opuesto de A . Los términos que figuran con signo menos se 
forman de manera semejante, pero respecto a la diagonal no principal ó secundaria.” Se 
puede ver en el esquema siguiente. 
 



 



 
 Signo + Signo - 
 
Ejemplo 3 Sea A = 












210
515
214
, calcule el A 
4 1 2 
5 -1 5 
 0 1 -2 
 = 4 (-1)(-2) + 1.5.0 + 5. 1. 2 – 0 (-1) 2 – 1.5.4 – 5. 1. (-2) = 
 = 8 + 0 + 10 – 0 – 20 + 10 = 18-10 = 8 
 
Observación 4: Es importante aclarar que este esquema sólo es válido para calcular 
determinantes de orden 3. 
 
A continuación abordaremos conceptos que nos permitirán enunciar cómo calcular el 
determinante asociado a cualquier matriz cuadrada de orden n. 
 
A = 
ALGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 26 
2.5.- Menor de un elemento 
Definición: Dada una matriz A = (aij)  M
nxn
 denominamos menor de un elemento 
cualquiera aij al determinante asociado a la matriz cuadrada de orden n-1 que se obtiene al 
suprimir la fila i y la columna j. Al menor del elemento aij lo representamos como Aij. 
Dada la matriz A = 






















nn
a
.....
in
a
....
nj
a
........
....
ij
a
....
2n
a
......
....
2i
a
1n
a
.....
1i
a
.....................
n2
a....
j2
a....
22
a
21
a
n1
a....
j1
a....
12
a
11
a
, el menor del elemento a11 es el determinante 
de orden n-1 asociado a la matriz cuadrada que resulta de suprimir la fila 1 y la columna 1. Es 
decir A11 = 
 ......
...............
......
...............
......
 
1
2
2222
nnnjn
iniji
nj
aaa
aaa
aaa
 
Como el menor de in elemento es un determinante, tiene entonces un valor numérico, o lo que 
es lo mismo, es un número. 
 
Ejemplo: Dada A = 










087
654
321
determinar los menores de los elementos a11, a12 y a13 
 A11 = 
08
65
 = - 48 A12 = 
07
64
 = -42 A13 = 
87
54
 = -3 
 
2.6.- Cofactor de un elemento 
Definición: Al cofactor de un elemento aij lo representamos por Cij y está dado por la 
igualdad: Cij = (-1)
i+j
 Aij 
 
Ejemplo: Dada la matriz A = 










087
654
321
, calcular todos los cofactores. 
C11 = (-1)
1+1
 A11 = -48 , C12 = (-1)
1+2
 A12 = - (-42) = 42, C13 = (-1)
1+3
 A13 = -3 
 
C21 = (-1)
2+1
A21= - 
08
32
 = 24, C22 = (-1)
2+2
A22 = 
07
31
 = -21, C23 = (-1)2+3
 A23 = - 
87
21
 = 6 
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 27 
 
C31 = (-1)
3+1
 A31 = 
65
32
 =-3, C32 = (-1)
3+2
 A32 = - 
64
31
 = 6, C33 = (-1)
3+3
 A33 = 
54
21
 = -3 
Observación 5: Se observa que el menor y el cofactor de un elemento sólo pueden diferir en 
el signo. Son iguales si ( i + j ) es par y opuestos si ( i + j ) es impar. 
 
Ejemplo: Sea A = 
















7204
2951
3042
6531
. Calcular C32 y C24 
C32 = (-1)
3+2
 A32 = - 
724
302
651
 = - 8 ; C24 = (-1)
2+4 
204
951
531
 

 = -192 
Teniendo en cuenta lo expuesto hasta ahora, sólo aprendimos a resolver determinantes 
asociados a matrices de órdenes uno, dos y tres. 
Veremos a continuación un teorema, cuya demostración escapa a los objetivos del presente 
curso y que permite calcular determinantes de órdenes superiores. 
 
2.7.- Determinantes de orden n 
Teorema: Sea A una matriz cuadrada de orden n, ( n > 2 ) entonces 
 A = 
 
nn
a
.....
in
a
....
nj
a
........
....
ij
a
....
2n
a
......
....
2i
a
1n
a
.....
1i
a
.....................
n2
a....
j2
a....
22
a
21
a
n1
a....
j1
a....
12
a
11
a
 
 es el único número asociado a la matriz A dado por: 
 A = ij
n
1j
ijCa

=  


n
1j
ij
ji
ij A)1(a (1) 
O bien por: A = ij
n
1i
ijCa

=  


n
1i
ij
ji
ij A)1(a (2) 
 
A la expresión (1) se la llama desarrollo mediante cofactores (o menores) 
correspondientes a los elementos de la i- ésima fila. 
A la expresión (2) se la llama desarrollo mediante cofactores (o menores) 
correspondientes a los elementos de la j- ésima columna. 
ALGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 28 
 
Observación 6: A este desarrollo se lo conoce con el nombre de Desarrollo Laplaceano y se 
puede probar que consta de n! términos. Asegura que un determinante se puede calcular 
sumando los productos de los elementos de una de sus filas o columnas por el cofactor 
correspondiente a cada elemento. 
Observación 7: Sea A una matriz cuadrada de orden 3 dada por: A = 










333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
 
Dijimos que el determinante asociado a esa matriz, se calcula de la siguiente manera: 
 A = 
aaa
aaa
aaa
 
333231
232221
131211
= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a21 a32 a13 – a31 a22 a13 – a21 a12 a33 – a32 a23 a11 
Si trabajamos algebraicamente esta expresión, podemos escribir: 
 A = a11 (a22 a33 – a23 a32) + a12 (a23 a31 - a21 a33) + a13 (a21a32 – a22 a31) 
 = a11 (a22 a33 – a23 a32) + a12 (-1) (a21 a33-a23 a31) + a13 (a21a32 – a22 a31) 
 = a11 
aa
aa
 
3332
2322
 + a12 (-1) 
aa
aa
 
3331
2321
 + a13 
aa
aa
 
3231
2221
 
 A = a11 (-1)
1+1
A11 + a12 (-1)
1+2
 A12 + a13 (-1)
1+3
 A13 = a11 C11 + a12 C12 + a13 C13 
 A = 


3
1 j
j1
j 1
j1 A1a )( = 

3
1 j
j1j1 Ca 
En este caso, el determinante de A es igual a la suma de los productos de los elementos de la 
primera fila por sus cofactores correspondientes 
Este resultado sería igualmente válido si se hubiese utilizado cualquier otra fila o columna de 
la matriz A. Para llegar a él, bastaría, en el desarrollo anterior, haber sacado como factor 
común los elementos de la fila o columna considerada. 
Ejemplo: Calcular el determinante asociado a la matriz A = 










087
654
321
 usando el teorema 
anterior. 
ALGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 29 
 A = 
087
654
321
 = 

3
1j
j1j1 Ca = a11 C11 + a12 C12 + a13 C13 
Calculamos los cofactores correspondientes a los elementos d la primera fila: 
C11 = (-1)
1+1
 
08
65
 = - 48 , C12 = (-1)
1+2
 
07
64
 = 42 , C13 = (-1)
1+3
 
87
54
 = -3 
 Entonces: A = 1 (-48) + 2 (42) + 3. (-3) = 27 
 
El teorema permite calcular un determinante de cualquier orden, reduciendo el cálculo a 
determinantes de orden inferior. Así por ejemplo, para calcular un determinante de orden 4 se 
deben calcular cuatro determinantes de orden 3, como lo muestra el siguiente ejemplo. 
Ejemplo: Calcular el determinante asociado a la matriz C = 
















0120
1031
5102
0041
 
Desarrollando el determinante de C por los cofactores de la cuarta columna obtenemos: 
 C = 
0120
1031
5102
0041
 


 = 0 C14 + 5 C24 + 1 C34 + 0 C44 = 5 (-1)
2+4
 A24 + (-1)
3+4
 A34 
 C = 5 
120
031
041
 

 - 
120
102
041
 

 . Desarrollando el primer determinante obtenido por los 
cofactores de los elementos de la tercera columna, y el segundo determinante por los 
cofactores de la primera fila: 
 C = 5 ( 0 C13 + 0 C23 + 1 C33 ) – (1 C11 + 4 C12 + 0 C13 ) = 5 
31
41
 - 
12
10


 + 4 
10
12
 

 
 C = 5 .(-1) + 2 + 4 2 = 5 , entonces C = 5 
 
Observación 8: Se observa que la línea elegida para desarrollar el primer determinante tiene 
dos elementos nulos, por lo que sólo se necesita calcular un cofactor. Por lo tanto, siempre es 
conveniente elegir la fila o columna que tenga la mayor cantidad d ceros. 
Se deja como ejercicio, además verificar que si se utiliza otra columna u otra fila para el 
desarrollo, el valor del determinante es el mismo. 
 
ALGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 30 
2.8.- Determinante de una matriz triangular 
Teorema: Si A  M
nxn
 es una matriz triangular superior o inferior, entonces el determinante 
de A es igual al producto de los elementos de su diagonal principal. 
Esto se puede verificar en el siguiente ejemplo: 
Ejemplo: Sea A = 














44434241
333231
2221
11
aaaa
0aaa
00aa
000a
 matriz triangular inferior. Calcule A . 
 A = 
44434241
333231
2221
11
aaaa
0aaa
00aa
000a
 = a11 C11 + 0 C12 +0 C13 + 0 C14 = a11 C11 
Dado que a12 , a13 y a14 son nulos sólo se deberá calcular un determinante de orden 3. 
 A = a11(-1)
1+1
 A11 = a11 
444342
3332
22
aaa
0aa
00a
 = a11 








  
aa
0a
 )1(a 
4443
3311
22 = a11 a22 a33 a44 , 
Que es, precisamente, el producto de los elementos de la diagonal principal. 
Ejemplo: Calcule A = 
10000
25000
06100
75230
40132
 


 . Aplicando directamente el teorema: 
 A = 2.3.1.5.(-1) = -30 
En general (es decir a menos que sea una matriz triangular o tenga alguna otra forma 
especial), el cálculo de un determinante por medio del desarrollo por cofactores no es 
eficiente. Por ejemplo, el determinante de una matriz de orden 3 tiene 6 sumandos, cada uno 
de los cuales requiere de dos multiplicaciones, y posteriormente es necesario realizar cinco 
sumas y restas para finalizar los cálculos. Y esto se complica al crecer el orden de las 
matrices, pero, afortunadamente existen métodos más eficientes. 
 
2.9.- Propiedades de los determinantes 
A continuación se estudiará un conjunto de propiedades, que permitirán simplificar el cálculo 
de un determinante. 
 
Propiedad 1: Sea A  M 
nxn
, entonces el determinante de A es igual al de su transpuesta. 
ALGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 31 
En símbolos: 
tA A  
Demostración: Un enfoque sencillo para comprobar esta propiedad puede hacerse a través 
del determinante asociado a una matriz cuadrada de orden 3. 
Si A = 










333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
, A
t
 = 










332313
322212
312111
aaa
aaa
aaa
 
 A = 
aaa
aaa
aaa
 
333231
232221
131211
 = a11 (a22 a33 – a23 a32) - a12 (a21 a33 - a23 a31) + a13 (a21a32 – a22 a31) (1) 
tA = 
aaa
aaa
aaa
 
332313
322212
312111
 = a11 (a22 a33 – a23 a32) - a12 (a21 a33 - a23 a31) + a13 (a21a32 – a22 a31) (2) 
Como (1)= (2)  A = 
tA 
Este resultado puede generalizarse para matrices de orden nxn a través del principio de 
inducción completa. 
Observación 9: Esta propiedad es relevante ya que permite hacer extensiva cualquier otra 
propiedad demostrada para fila a columna o viceversa. 
 
Ejemplo: 
En un ejemplo anterior se calculó el determinante asociado a la matriz A = 










087
654
321
, 
obteniéndose como resultado A = 27 
 
Si consideramos ahora A
t 
= 










063
852
741
 y calculamos 
tA = 
063
852
741
 
tA = a11 C11 + a12 C12 + a13 C13 = 1.(-1)
1+1
 
08
65
 + 4 (-1)
1+2
 
03
82
 + 7 (-1)
1+3
 
63
52
 
tA = -48 + 96 - 21 = 27  A = 
tA 
Propiedad 2: Sea A  M 
nxn
. Si en la matriz A se intercambian dos líneas (filas o columnas), 
el determinante asociado a dicha matriz cambia de signo. 
Demostración: Se dará un enfoque sencillo para comprobar esta propiedad a través del 
determinante asociado a una matriz cuadrada de orden 3. 
ALGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 32 
Sea A = 










333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
 y B = 










333231
131211
232221
aaa
aaa
aaa
 la matriz que se obtiene al permutar las 
dos primeras filas de A. 
Si calculamos los determinantes asociados a cada una de las matrices, obtenemos: 
 A = a11 C11 + a12 C12 + a13 C13 = a11 A11 – a12 A12 + a13 A13 
 B = a11 C11 + a12 C12 + a13 C13 = -a11 A11 + a12 A12 – a13 A13 = -a11 A11–a12 A12+a13 A13 
Por lo tanto: B = - A . Luego A = - B 
 
Ejemplo: Sea A = 










 520
413
123
. Al intercambiar las filas 1 y 3 se obtiene B = 









 
123
413
520
 
Si desarrollamos el A por los cofactores de la primera fila y B por los cofactores de la 
tercera fila: 
 A = 3 (-1)
1+1
 
52
41
 

 + 2 (-1)
1+2
 
50
43
 + 1 (-1)
1+3
 
20
13
 

 = 39 - 30 - 6 = 3 
 B = 3 (-1)
3+1
 
41
52
 

 + 2 (-1)
3+2
 
43
50
 + 1 (-1)
3+3
 
13
20
 

 = -39 + 30 + 6 = -3 
 A = 3 , B = -3  A = - B 
Propiedad 3: Sean A  M
nxn
 y B  M
nxn
 la matriz que se obtiene al multiplicar una línea (fila 
o columna) de la matriz A por un escalar k, entonces B = k A 
Demostración: 
Sea A = 






















nn
a
.....
in
a
....
nj
a
........
....
ij
a
....
2n
a
......
....
2i
a
1n
a
.....
1i
a
.....................
n2
a....
j2
a....
22
a
21
a
n1
a....
j1
a....
12
a
11
a
 y sea B = 






















nn
a
.....
in
ka
....
nj
a
........
....
ij
ka
....
2n
a
......
....
2i
ka
1n
a
.....
1i
ka
.....................
n2
a....
j2
a....
22
a
21
a
n1
a....
j1
a....
12
a
11
a
 la matriz que se 
obtiene al multiplicar fila i de A por el escalar k. 
Si desarrollamos el determinante de B por los cofactores de la i – ésima fila, obtenemos: 
ALGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 33 
 B = 
 
nn
a
.....
in
ka
....
nj
a
........
....
ij
ka
....
2n
a
......
....
2i
ka
1n
a
.....
1i
ka
.....................
n2
a....
j2
a....
22
a
21
a
n1
a....
j1
a....
12
a
11
a
 
 = (k ai1) Ci1 + (k ai2) Ci2 +…+ (k aij) Cij +…+ (k ain) Cin 
 B = 

n
1j
ijij C)ka( . Aplicado propiedad homogénea de ∑, obtenemos: B = k

n
1j
ijijCa (1) 
Considerando que el desarrollo de A por los cofactores de la i-ésima fila es: 
 A = 

n
1j
ijijCa , al reemplazar en (1) se obtiene B = k A 
 
Ejemplo: Sea A =










ihg
fed
cba
 tal que A = 
ihg
fed
cba
 = 3. Calcular B = 
ihg2
f5e5d10
cba2
 

 
usando propiedades de los determinantes. 
Sacando factor común (-1) de la fila uno, 5 de la fila dos y 2 de la columna uno de B , 
obtenemos: 
 B =(-1) 
ihg2
f5e5d10
cba2
 =(-1) 5 
ihg2
fed2
cba2
 =(-1) 5 2 
ihg
fed
cba
 =-10 
ihg
fed
cba
 = -10 3 = -30 
 
Corolarios de la Propiedad 3: 
a) Sea A  M
nxn
 y k escalar arbitrario, entonces A k kA 
n 
Esto es evidente puesto que: 
a...aa
............
a...aa
a...aa
k kA 
nn2n1n
n22221
1n1211














 = 
ka...kaka
............
ka...kaka
ka...kaka
 
nn2n1n
n22221
1n1211
 = 
 = 
sfactoren 
k ... k k 
a...aa
............
a...aa
a...aa
 
nn2n1n
n22221
1n1211
 = k
n
 A 
Ejemplo: Si A  M
4x4
 con A = 2, calcular A 3  . 
 A 3  = (-3)
4
 A = 81 . 2 = 162 
ALGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 34 
b) El producto de un escalar por un determinante, es igual al determinante que se obtiene 
multiplicando el escalar por una de las líneas (filas o columnas ) del determinante dado. 
 
 
Propiedad 4: Sea A  M
nxn
. Si A tiene todos los elementos de una línea (fila o columna) 
nulos, entonces A = 0 
Demostración: Sea A = 






















nn
a
.....
in
a
....
nj
a
........
....
ij
a
....
2n
a
......
....
2i
a
1n
a
.....
1i
a
.....................
n2
a....
j2
a....
22
a
21
a
n1
a....
j1
a....
12
a
11
a
. Supongamos que todos los elementos de 
la i-ésima fila de A son ceros, es decir que ai1 = ai2 = …= ain = 0. Entonces desarrollando el 
determinante de A por los cofactores de la i – ésima fila, obtenemos: 
 A = ai1 Ci1 + ai2 Ci2 +…+ ain Cin = 0 Ci1 + 0 Ci2 +…+ 0 Cin  A = 0 
 
Ejemplo: Sea A = 










 252
434
000
. Calcular A . 
 A = 
252
434
000

 = 0 C11 + 0 C12 + 0 C13 = 0  A = 0 
 
Propiedad 5: Sea A  M 
nxn
. Si la matriz A tiene dos líneas (filas o columnas) iguales, 
entonces su determinante es nulo. 
Demostración: Sea A una matriz cuadrada tal que las filas i-ésima y j- ésima son iguales. 
Al intercambiar estas filas, se obtiene una matriz B con la propiedad de que B = - A (1) 
(por la propiedad 2). 
Pero como la fila i es igual a la fila j , al intercambiarlas se obtiene la misma matriz. Es 
decir B = A y por lo tanto B = A . 
Reemplazando en (1) B = A = - A  2 A = 0  A = 0 
 
Ejemplo: Sea A = 










 252
434
101
. Calcular A . 
ALGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 35 
 A = 
252
434
101
 

 = 1(-1)
1+1
 
25
43
 

 + 1 (-1)
1+3
 
52
34
 

 = 14 -14 = 0  A = 0 
 
Propiedad 6: Sea A  M
nxn
 .Si una matriz A tiene dos líneas paralelas (filas o columnas) 
proporcionales, entonces su determinante es nulo. 
Demostración: Sea A una matriz cuadrada que tiene dos líneas paralelas proporcionales. Sin 
perdida de generalidad podemos suponer que la fila i es proporcional a la fila uno. 
Es decir A = 






















nn
a
.....
n1
ka
....
nj
a
........
....
j1
ka
....
2n
a
......
....
12
ka
1n
a
.....
11
ka
.....................
n2
a....
j2
a....
22
a
21
a
n1
a....
j1
a....
12
a
11
a
 
Como todos los elementos de la fila i admiten el factor común k (k un escalar arbitrario), 
podemos escribir: 
 A = 
 
nn
a
.....
n1
ka
....
nj
a
........
....
j1
ka
....
2n
a
......
....
12
ka
1n
a
.....
11
ka
.....................
n2
a....
j2
a....
22
a
21
a
n1
a....
j1
a....
12
a
11
a
 
 = k 
 
nn
a
.....
n1
a
....
nj
a
........
....
j1
a
....
2n
a
......
....
12
a
1n
a
.....
11
a
.....................
n2
a....
j2
a....
22
a
21
a
n1
a....
j1
a....
12
a
11
a
 
 
Se observa que el determinante obtenido tiene dos filas iguales y por lo tanto: A = k 0 = 0 
 
Ejemplo: Sea la matriz A = 










642
1284
623
. Calcular A . 
 A = 
642
1284623
 

 = 2 
642
642
623
 

 = 2.0 = 0. El determinante es nulo porque tiene dos 
filas iguales. 
 
Propiedad 7: Sea A  M 
nxn
. Si los elementos de una línea (fila o columna) de A son suma de 
m términos, entonces el determinante asociado puede descomponerse en la suma de m 
determinantes 
ALGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 36 
Demostración: Se comprobará esta propiedad a través de un determinante asociado a una 
matriz cuadrada de orden 3. 
Sea la matriz A = 









 
333231
232221
131312121111
aaa
aaa
bababa
 donde la primera fila es la suma de dos 
sumandos, entonces A = 
aaa
aaa
bababa
 
333231
232221
131312121111 
 
Si desarrollamos A por lo cofactores de correspondientes a los elementos de la primera fila 
obtenemos: 
 A = (a11 + b11) C11 + (a12 + b12) C12 + (a13 + b13) C13 = 
 = a11 C11 + a12 C12 + a13 C13 + b11 C11 + b12 C12 + b13 C13 = 
 = (a11 C11 + a12 C12 + a13 C13) + (b11 C11 + b12 C12 + b13 C13) 
 = 
aaa
aaa
aaa
 
333231
232221
131211
 + 
aaa
aaa
bbb
 
333231
232221
131211
 
Luego: 
aaa
aaa
bababa
 
333231
232221
131312121111 
 = 
aaa
aaa
aaa
 
333231
232221
131211
 + 
aaa
aaa
bbb
 
333231
232221
131211
 
Ejemplos: 
i) A = 
fdb
e2c2a2
fedcba
 


 = 
fdb
e2c2a2
eca
 

 + 
fdb
e2c2a2
fdb
 

 
Como la fila uno de la matriz A es su 
ma de dos términos, el determinante puede descomponerse en la suma de dos determinantes 
 
ii) B = 
3fed
2cba
 


 = 
3d
2a 
 + 
3e
2b
 + 
3f
2c
 
Como la columna uno de la matriz B es suma de tres términos, el determinante puede 
descomponerse en la suma de tres determinantes. 
 
ALGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 37 
Propiedad 8: Sea A  M
nxn
. El número que se obtiene al sumar los productos de los 
elementos de una línea (fila o columna) por los cofactores correspondientes a una paralela a 
ella es cero. 
Demostración: Se comprobará esta propiedad a través de un determinante asociado a una 
matriz cuadrada de orden 3 
Sea A = 










333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
, y consideremos la suma de los productos de los elementos de la 
segunda fila por lo cofactores de los elementos correspondientes a la primera fila: 
a21 C11 + a22 C12 + a23 C13 = 
aaa
aaa
aaa
 
333231
232221
232221
= 0, por tener dos filas iguales. 
 
Propiedad 9: Un determinante no varía si a una línea (fila o columna) cualquiera se le suma 
otra línea paralela multiplicada por un escalar k 
Demostración Se comprobará esta propiedad a través de un determinante asociado a una 
matriz cuadrada de orden 3 
 
 
Sea A = 
aaa
aaa
aaa
 
333231
232221
131211
 y sea B = 
aaa
aaa
kaakaakaa
 
333231
232221
231322122111 
el determinante 
obtenido a partir de A sumando a la primera fila, la segunda multiplicada por k. 
 B = 
aaa
aaa
kaakaakaa
 
333231
232221
231322122111 
 = 
aaa
aaa
aaa
 
333231
232221
131211
 + 
aaa
aaa
kakaka
 
333231
232221
232221
 
 Por propiedad 7 
 B = 
aaa
aaa
aaa
 
333231
232221
131211
 + k 
aaa
aaa
aaa
 
333231
232221
232221
 = A + k .0 = A 
 Por propiedad 3 Por propiedad 5 
Luego se mostró que B = A 
 
ALGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 38 
Ejemplo: Calcular B = 
9963
1
2
5
21
10662
4321
 

 
La propiedad anterior asegura que un determinante no varía si a una fila (columna) se le 
suman o restan múltiplos de otras filas (columnas) 
En este caso aplicamos la propiedad con el objetivo de transformar en ceros a los elementos 
a21 , a31 y a41 de la siguiente manera: 
1º) F2 + F1(-2) ( a la fila 2 le sumo la fila 1, multiplicada por (-2)). 
2º) F3 + F1 ( a la fila 3 le sumo la fila 1). 
3º) F4+ F1(-3) ( a la fila 4 le sumo la fila 1 multiplicada por (-3)). 
 B = 
9963
1
2
5
21
10662
4321
 

 = 
3000
3
2
1
00
2020
4321
 

 = 1. 2. 
2
1
.(-3) 
 Por ser una matriz triangular superior 
Ejemplo: Sea B = 













302
410
231
, calcular B . 
 B = 
302
410
231
 



 = 
160
410
231
 



 = 1 (-1)
1+1
 
16
41
 


 = 23 
 
Observación 8: Las propiedades anteriores facilitan en gran medida la evaluación de 
determinantes de orden elevado. El objetivo será emplear la propiedad 9 en forma repetida 
hasta que el nuevo determinante tenga una línea (fila o columna) compuesta por la mayor 
cantidad de ceros posibles. Esto nos permite simplificar el cálculo puesto que cada elemento 
que se logre anular evita el cálculo de un cofactor al desarrollar el determinante. 
 
Propiedad 10: Sean A  M
nxn
 y B  M
nxn
. El determinante del producto entre las matrices 
A y B es igual al producto entre sus respectivos determinantes. 
En símbolos: B A B A  
La demostración de esta propiedad escapa a los fines de este curso. 
F3+F1(-2) 
ALGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 39 
Ejemplo: Sean las matrices A= 




 
13
12
 y B = 





41
52
. Compruebe que B A B A  
A B = 





197
63
 , B A = 
197
63
 = 57 – 42 = 15 
A = 




 
13
12
  A = 5 Luego B A B A  
B = 





41
52
  B = 3 
 
Observación 9: Sabemos que el determinante de un producto de matrices es igual al producto 
de los determinantes, cuando las matrices son cuadradas y de igual orden. Sin embargo, no 
sucede lo mismo para la suma de matrices cuadradas. Esto es, en general, 
 BABA  , como lo muestra el siguiente ejemplo: 
Ejemplo: Sean A = 





43
21
 y B = 







25
43
 
A + B = 





43
21
 + 







25
43
 = 







62
62
 ; BA  = 
62
62
 


 = 0 
 A = 
43
21
 = -2 , B = 
25
43
 


 = 14  A + B = 2 + 14 = 16 
Por lo tanto, B A BA  
 
2.10.- Aplicaciones 
1.- Dada la matriz A = 











121
0b1
02a
 tal que A = a b +2, calcule los determinantes de las 
siguientes matrices, utilizando A y las propiedades de los determinantes. 
i) A1 = 









 
100
2b2
11a
 
Se observa que A1 = A
t 
 y como 
tA A    A A A 
t
1 a b + 2 
ii) A2 = 











02a
0b1
121
 
ALGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 40 
A2 se obtiene intercambiando en A la primera y tercera fila, por lo tanto: 
 A A 2  = -a b - 2 
iii) A3 = 











2b2
11a
100
 
3A = 
2b2
11a
100
  = - 
2b2
100
11a
 

 = 
100
2b2
11a
 

= 
tA = A = a b + 2 
iv) A4 = 











123
0b3
02a3
 
4A = 
123
0b3
02a3
  = 3 
121
0b1
02a
  = 3 A = 3 (a b + 2) 
v) A5 = 











633
b303
60a3
 
5A = 
633
b303
60a3
  = 3
3
 
211
b01
20a
  = - 27 
121
0b1
02a
  = -27 (a b + 2) 
vi) A6 = 
3
121
0b1
02a










 
6A = A A A = (a b + 2)
3
 
2.- Dado el determinante A, formar el determinante C, de los cofactores de cada elemento y 
comprobar que: C = A
2
. 
 A = 
214
102
321

 
 
Recordemos que: 
C= 
333231
232221
131211
ccc
ccc
ccc
  C= 
472
7147
201

 
ALGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA41 
Calculamos ambos determinantes 
Desarrollamos el determinante A, por la fila 2 y el determinante C, por la fila 1 y se obtiene: 
 
49
72
147
)1(2
47
714
)1(1
7
14
21
)1()1(
21
32
)1(2
3111
3212












C
A
 
 
3.- Determinante de Vandermonde 
Entre los determinantes especiales está el de Vandermonde, que está formado por 
potencias sucesivas de n números distintos a, b, c,…, h. 
Veamos el caso particular donde n = 4 
 V = 
dcba
dcba
dcba
1111
 
3333
2222
 
Para resolverlo se reducen a cero los elementos de la primera columna, excepto el 
primero, restando a cada fila la anterior multiplicada por a. 
 
 V = 
)ad(d)ac(c)ab(b0
)ad(d)ac(c)ab(b0
adacab0
1111
 
222 


 
Desarrollando por los cofactores de los elementos de la primera columna y luego 
extrayendo los factores comunes, obtenemos: 
 
 V = 1(-1)
1+1
 
)ad(d)ac(c)ab(b
)ad(d)ac(c)ab(b
adacab
 
222 


 
 
 V = (b-a) (c-a) (d-a) 
dcb
dcb
111
 
222
, este determinante también es de Vandermonde, se 
procede de la misma manera; ahora a cada fila se le resta la anterior multiplicada por b: 
 
2AC  
ALGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 42 
 V = (b-a) (c-a) (d-a) 
)bd(d)bc(c0
bdbc0
111
 

 
= (b-a) (c-a) (d-a) (-1)
1+1
 
)bd(d)bc(c
bdbc
 


 
= (b-a) (c-a) (d-a) (c-b) (d-b) 
dc
11
 = (b-a) (c-a) (d-a) (c-b) (d-b) (d-c)