U5_DERIVADAS_EJ_RESUELTOS

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FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 154 - 
 
EJERCICIOS RESUELTOS 
 
 
Ejemplo 1: 
Un cuerpo se deja caer desde una torre de 450m de altura. 
 
 Si nos interesa conocer la velocidad media del objeto en un periodo de tiempo 
 [ to , t0 + t], la determinamos con el cociente incremental. 
 
   
Δt
0t dΔt0t d 
Δt
Δd
 
tiempo
entodesplazami
 media velocidad

 
 
O sea que la velocidad media en el período está dada 
por la pendiente de la recta secante PQ 
 
 
 
 
 
 
Se quiere determinar la velocidad media entre los 4s y los 4,1s: 
 
 
 
El desplazamiento d está dado por: 
2t 4,9(t) d  
 
 
   
 
m/s 39,69media velocidad
0,1
2
44,9.
2
0,1) (4 4,9.
 media velocidad
Δt
0t dΔt0t d media velocidad





 
 
 
 
 
t0=4s 
t0 + t = 4,1 s 
d 
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 En cambio si se quiere determinar la velocidad en un determinado instante t0, estamos 
hablando de velocidad instantánea, la que se determina con el límite de las velocidad 
promedio, Es decir que la velocidad instantánea se determina con la derivada de la función 
en el punto. 
 
 
   
Δt
t dΔttd
lim tv ainstantáne velocidad 00
0t
0



 
 
 
Esto significa que la velocidad en el instante t0 es igual a la pendiente de la recta tangente en P. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Determinar la velocidad del cuerpo a los 
4s. 
 
 
   
 
m/s 39,2 v(4)
 39,2 0 4,9. 39,2 
0t
lim
)9,42,39.(
0t
lim v(4)
4,7829,4. 2,394,87
0t
limv(4)
0
0
2
4,9.
2
t) (4 4,9.
 
0t
lim v(4)
Δt
0t dΔt0t d 
0t
lim )0v(t
t
4




















t
tt
t
tt
 
 
 
 
t0=4s 
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Ejemplo 2: 
El área de un triángulo equilátero disminuye a razón de 4 cm2 por minuto. Calcula 
la rapidez de variación de la longitud de sus lados cuando el área es de 200 
cm2. 
Se supone que el triángulo se mantiene equilátero en todo instante. 
L h ; 
L
hL .
2
3
2
2
22 





 
Datos e incógnitas 
El área de un triángulo equilátero disminuye a razón de 4 cm2 por minuto: 
min
2
4
cm
dt
dA

 
A = 200 cm2. 
Se pide rapidez de variación de la longitud de sus lados: 
dt
dL
 
Resolución 
 Se expresa el área del triángulo en función de los lados: 
2.
4
3
2 2.
L 3 .
2
 . 
LA
Lhb
A 
 
 
La variación del área respecto al tiempo (dA/dt) puede expresarse: 
dt
dL
dL
dA
dt
dA
.
 
 La variación del área respecto a L (A´) está dada por: 
LA
dL
dA
.
2
3
'
 
 El valor de L para un A= 200 cm2 es: 
21,49cm L 
3
200 . 4
3
4

A
L
 
 Sustituyendo dA/dt y dA/dL= A’ y L en (1) 
 
dt
dL
 cm 21,49 
cm
dt
dL
 L 
cm
.
2
3
min
4
.
2
3
min
4
2
2


 
 Despejando dL/dt: 
min
21,0
49,21
1
.
3
2
.
min
4
2 cm
dt
dL
 ; 
cm
cm
dt
dL
 
 
fin 
L 
L 
L 
h 
L