Problemas_de_Analisis_Matematico_I

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DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS 
Ing. Jorge Portilla K. Página 1 
 
PROBLEMAS DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL. 
 
LÍMITES Y CONTINUIDAD. 
 
A.- Demostrar la existencia del límite, utilizando la definición: 
 
1)  





 

 6
,1mín.R.95x3xlím 2
4x
 
2) 







 4
3
,3mín.R.51x8lím
3x
 
3) 







 3
22
,1mín.R.
2
1
5x3
2
lím
3x
 
4) 









 2
3
,1mín.R.
7
3
1x
5x4x
lím
2
2
2x
 
5) 











 4
954
,1mín.R.
4
1
6x
22x
lím
6x
 
 
B.- Que valor debo darle a n para que )x(flím
1x
 exista 
6) 













1x;
xx
3xx2
1x;
1x
)1x(n21x
)x(f 2
2
n
 
 
C.- Calcular los siguientes límites: 
 
7) 0a
a3
1
.R
ax
1
ax
ax2x
lím
33
2
ax











 8) 
 
  2a
1a
.R
a2x)2ax
ax1ax
lím
2
2
ax 




 
9) 
3
4
.R
x
x12x1x1
lím
43
0x


 10) 
24
1
.R
4x
7x46x6
lím
2
3
cx 


 
11) 
27
32
.R
216x
327x
lím
4
3
0x 


 12) 
90
3
.R
25x
32x
lím
333
25x 


 
13) 
6
13
.R
4x
3x15x
lím
x
x3 x2
2x 


 14) 
12
823
.R
4x
8x22xx2
lím
3
4x




 
15) 
  9
1
.R
1x
1x2x
lím
2
3
1
3
2
1x 


 16) 
  9
1
.R
1x
1x2x
lím
2
3 2
1x 


 
17) 
139
263
2
3
1



x
x
lím
x
 18) 
   
10029
152142
24
222
5 

 xx
xxxx
lím
x
 
 
 
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17) 






 

.R
x1
2
x
Cos
lím
1x
 18) 32.R
x3sen
xcos*641
lím
6
3
x




 
19)    



1
.RxTan*1x3x2lím 2
2
1
x
 20) 
2
1
.R
x
xsenarcxTanarc
lím
30x





 

 
21) 
23
2
1xx1xx2
2x
e.R
2x
ee
lím
22


 

 22) 1.
1
1
ln.
1
0
R
x
x
x
lím
x 










 
21) 8.R
x
x4
4
TanLn
lím
0x















 22) 
2
2
.R
Tanx1
xcossenx
lím
4
x





 
23)  
12
1
.R2Senx6xSen4Senx3xSen2xTanlím 222
2
x



 
24) 
   
2R
x1arctanx1arctan
x1
x1
ln
lím
0x 









 
25) 1.R
xln*x
1x
lím
x
1x


 
26) 3.R
5x2x
1x2x3
lím
2
2
x 


 27)   0.Rxsen1xsenlím
x


 
28)  
2
5
.R3x7x1x2xlím 22
x


 
29) 
2
1
.R
42x
1x
arctan*xlím
x





 









 
30) 

















 xx
senlím
x
1
cos
1
 
31) 0.R.
x
senx
lím
x 
 
 
D.- Hallar todas las asíntotas de las siguientes funciones. 
 
31) 
 
x2x
1x
)x(f
2
2


 
32) 3xy,x,V.A0x.Re*)2x()x(f x
1
  
 
33) xy,x;x3y,x.R1x4x)x(f 2  
 
34) 
2xx
x
x23)x(f
2
2

 
 
 
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35)   e.RxSecxTanlím xCsc
0x


 36)  
4
x
x4Tanarc
0x
e.Rsenxxcoslím 3
2


 
37) Sena 2Senx
0x
e.R
SenxSena
SenxSena
lím



 38) 






 








2
a2
x
Tan
ax
e.R
a
x
2lím 
 
E.- Analizar la continuidad de las siguientes funciones, redefinirla si es del caso. 
 
39) 
3x2x
3xx3x
)x(f
2
34


 
40) 
x1
1
e1
1
)x(f

 
41) 












2x,
5x4x
3x3x
2x,
x
xxx2
)x(f
2
2
2
2
 R. Discontinuidad esencial





especie1,2x
especie2,0x
ra
da
 
42) 
 
 













3x,5,0,
3x2x
9x
3x,0,5,
9x3x3x
)1x(sign*27x
)x(f
2
2
23
3
 
43) 
 
 
 


















2,5x,
x5
4x
5,2x,
x5
4x
)fog(
?fog,x)x(g,
x5
4x
)x(f
2
2
x
x
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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DERIVADAS: 
 
A.- Aplicando la definición de derivada calcular las siguientes derivadas: 
 
a) 
x2 e
1x
R,
xcosh
xtanh
)x(f

 
b) La función 
 
1xx
1x2*x
)x(f
2


 , es derivable en x=1. 
Derivar y simplificar: 
 
  x3sin*e*10.Rx3cos3x3seney.1 xx  
   x2cos4x2sin7e.Rx2cos2x2sen3ey.2 xx  
 
22
22
ax
nmx
R,
ax
ax
ln
a2
n
axln
2
m
y.3










 
 
1e4e
1
R,1e4e1e2lnxy.4
xx2
xx2x

 
 
x2
x
x2x
e1
e
R,e1elny.5

 
x
1x
.R,
x
1
1
x
1
ln1xy.6
2
2
2 








 
  2222
2
22 axR,axxln
2
a
ax
2
x
y.7  
     32222
4
22
2
322 ax4R,axxln
2
a3
ax
2
xa3
ax*xy.8  
 
 2
3
2
2
2
2
1x
x
R,
1x
x
1xxlny.9

 
xcsc*xcot.R,
senx
xcos1
ln
xsen2
xcos
y.10 2
2

 
xcos4
3xsen
R,
2
x
tan1
2
x
tan1
ln
8
3
xcos8
senx3
xcos4
senx
y.11
5
4
24















 
x2cos.R,
xtan1
xcos
xcot1
xsen
y.12
22



 
 24
422
22
x1x
1x
x2
R,
1x1x
1x1x
y.13 


 
1x
x1x
R,
1x1x
1x1x
y.14
2
2




 
 
 
 
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5
x
tan*
5
x
secR,
5
x
sec
21
1
5
x
sec
11
2
1
5
x
sec*25y.15 55425 





 
x2cscR,
x2sen4
x2cos
x2cos1
x2cos1
ln*
8
1
y.16 3
2








 
senx21
1
R,
32
2
x
tan
32
2
x
tan
ln
3
1
y.17















 
1x
x4
.R,
x1x
x1x
lny.18
424
24












 
xtanh21
xhsec
R,
xtanh21
xtanh21
ln
8
2
xtanh
2
1
y.19
2
4









 
xcosba
ba
R,
xcosba
senx*ba
arctany.20
2222












 
 
 222 2x2x
2
.R,
2x2x
1x
1xarctany.21


 
44
3
ax
a2
R,
ax
ax
ln
x
a
arctany.22








 
x1
x1
x
1
:R,
x1
x1
arctan*2
x1x1
x1x1
lny.23












 
24.- 







 












3
x21
arctan3
xx1
x1
lny
3
3 23
3
 
0R,
2
ee
arctan
2
ee
secarcy.25
xxxx





 





 


 
    axsecarc.R,1xaaxln
a
1
axsecarc*xy.26 22  
     1ecotarc*e.R,1ecotarc*1eee22lny.27 xxxxx2x  
   
 1x6
7xx
R,
3
1x2
arctan
3
1
1xxln
6
1
x1ln
2
1
y.28
3
2
2







 
 
 senxarctan2
senx1
senx1
lny.29 











xcos*senx
2
.R 
1x
1
R,
3
1x2
arctan
3
1
1xx
1x
ln
3
1
y.30
32 





 











 
 





 














3
1x4
arctan
6
3
x4x21
x21
ln
12
1
x81
x
y.31
2
2
3
 
 
 
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 
2
22
2
xax2
x
R,
a
ax
arcsen
2
a3
xax2*a3x
2
1
y.32






 
 











2
2
2
x11
x11
ln
2
1
x
xarccos
y.33 
1x2hsecR,
xcos2senx
senx2xcos
arctan
ee
ee
arctany.34
xx
xx



















 
22 ax
ax
R,
a
x
arctan
ax
ax
lny.35




 
1x
1
.R,
3
1x2
arctan
3
1x2
arctan
32
1
1xx
1xx
lny.36
4
4
2
2












 





 



 
 4 34
4 4
4 4
4 4
x1
1
.R,
x
x1
arctan
2
1
xx1
xx1
ln
4
1
y.37








 











 
38.-     
1x
x
.R.1x2arctan1x2arctan
22
1
1x2x
1x2x
ln
24
1
y
4
2
2
2












 
39.- 
 32
2
2
x1
arcsenx
.R,x1ln
x1
arcsenx*x
y



 
40.- 0R.
1x
1x
arcsen
1x
1x
secarcy 















 
41.- 
   4 53
4
4
y1*y12
1
R?,
dy
dx
,
x1
x1
y




 
42.- 












2
x
coshln
xsenh
xcosh
y
2
 
43.- 0ybxyaxx 3223  
44.- 
2
2
33
yax
ayx
´yR.axy3yx


 
45.- 
x
y
R,6
x
y
y
x
 
46.-   0eeyxtan 22 yx22   
 








222y
22x
yxsece
yxsece
y
x
.R
2
2
 
47.-     03xy2xylnxysin 222  
48.-
 
 22
22
y11x1
x11y1
R.arcsenyarcsenxyx


 
49.-
x
y
´yR.
y
x
arctany*x 





 
 
 
 
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50.- 
 
xy
1xy
R,0xy
y
x
arcsen
2
22








 
51.- 
yx
yx
R,0yxln
x
y
arctan 22








 
52.-    
 
xy6y2
x2yx3
R.yxyxyx
3
322
3322


 
53.-    
 
3
223
4433
y2xy6
yx3x2
R,yxyxyx


 
54.- 
x2
y
xy2y12
yx2
R,3
y3x
x
x
y3x
2
2
2
2







 
55.- 
x
y2
´yR.8
yx
yx
lne
yx
yx














 
56.-  
x
y
´yR.eelnxy1 xyxy   
57.-       1R.?)9´(g,3x2fxg,3x6x23x2f 22  
58.- ?
dx
dy
,
1x2
2x
fy,2x3x2)x´(f 2 







 
59.- 
 2
2
2
t1*t
1t
R,
t1
1t
y
t1x











 
60.- 1R,
t1
t
arcseny
t1
1
arccosx
2
2




























 
61.- 
tcos1
tsin
R,
)tcos1(ay
)sentt(ax





 
62.- 
 
 
1R,
tcossentay
senttcosax





 
63.- 
tsint2sin
t2costcos
R,
t2sen*a
2
1
sent*ay
a
2
1
t2cos*a
2
1
tcos*ax









 
64.- 
 
t24
t38*t
R,VerticalTangenciadePuntos,
tt4y
tt4x
32
2







 
65.- 
 
2R,
t1lny
tarctanx
2





 
 
 
 
 
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66.- 



2sin2cos
2sin2cos
R,cossenr 
67.- 



sin42cos3
cos42sin3
R,sin34r 
68.- 


2cos*cos
3
R,2sen4r 2 
69.- 



2sen6sen23
2sen3cos2
R,sen32r 
70.- 
 




222 sin3coscos
2cos*2sin
R,HorizontalTangenciadePuntos,
cos
2cos
ar 
71.- HorizontalTangenciadePuntos,cos*sen4r 2  
72.- 




 





 

3
4
tanR,
2
sinar 3 , Puntos de Tangencia Horizontal y Vertical. 
 
B.- Calcular la derivada enésima de las siguientes funciones: 
 
73.- 
 
  1n
n
x1
!n*12
R,
x1
x1
y





 
74.-  
   













 1n1n
n
2
2x
3
2x
2
!n*1R,
4x
2x5
)x(f 
75.-  
 
 
 
 
1n,
2x
!1n3
3x2
4
1.R,
2xx2
5x8
)x(f
1n1n
1n
n
2















 
 
76.-  nxeR,e*x)x(f xx  
77.-    
 
 n
1n
ax
!1n
1R,axln)x(f




 
78.- 




 
 
2
nx4cos*4.R,xcosxseny 1n44 
79.-     ?y,1x2sen*1x2xy n2  
80.-  !1nR,
x1
1
ln)x(f?,)0(f n 






 
81.- .R,Lnx*xy 3 
82.-    429x58x9*e*3R?,y,e*1xy 2x31820x32   
83.- 
 
 
 
 
















 1n
1n
1n
n
42
2
1x
1
2x
1
!nR?,y,
2x3x
1
y 
84.- ?y,
3x2
5x3
y 13 


 
85.- 
 
?)x(y,
e
x1ln
y 6
x


 
86.- ?)x(y,xln*xsiny 62  
 
 
 
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C.- Calcular la segunda derivada y simplificarla: 
 
87.- xxy  
88.-     xlncosxlnsinxy  
89.- 
 32
3
33
axy
axy2
.R,axy3yx


 
90.- 
 
 3
22
22
yx
yx2
.R,0yxln
y
x
arctan








 
91.- 
sent*tcos*a3
1
.R,
tsen*ay
tcos*ax
43
3





 
92.- 
 
 2
2
t12R,
t1lny
tarctanx






 
93.- 
 
  tsin*at
1
R,
tsenttcosay
tcostsentax
3






 
94.- 
 
 




t2cos1lny
tsin1lnx
 
95.- Demostrar que la función xcos*ey x , satisface la ecuación: 0y4y4  . 
96.- Demostrar que 





tcos*ey
sent*ex
t
t
, satisface la relación   )yy*x(*2yx*y ´2´́  . 
 3t
´́
senttcose
2
y.R

 
97.- Demostrar que 





32
2
t2ty
t3t2x
, satisface la relación 
32
dx
dy
2
dx
dy
y 











 . 
98.- Demostrar que 





 t2t2 beaey
sentx
, satisface la relación   )y2xyx1*y ´2´́  . 
      
tcos
senttcos2besenttcos2ae2
y,
tcos
beae2
y.R
3
t2t2
´́
t2t2
´ 



 
99.- Demostrar que 
















 



2
2
2
t1
t
y
t
t11
ln
t1
1
x
, satisface la relación ´2 yý1*y  . 
100.- Demostrar que  y*xlny  , satisface la relación 
  0y2y*yy*xyxy*y ´´2´´́  
101.- Calcular y´´´ =? 





sent
tcot
3R,
ttany
tsecx 4
 
 
 
 
 
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D.- Rectas Tangentes y Normales: 
 
1.- Determine una ecuación de cada una de las rectas normales a la curva x4xy 3  y 
paralela a las rectas que pasan por el punto (4; 13) y que son tangentes a 1x2y 2  . 
2.- Demostrar que las curvas 72y9x4,5yx 2222  , se cortan ortogonalmente. R. 
m1=3/2, m2=-2/3. 
3.- Halle el ángulo de intersección de las curvas: .8yx,0yx4x 2222  R.
4

 
4.- Demostrar que las curvas
xa2
x
y,ax8yx
3
222

 , se cortan ortogonalmente. 
5.-Por el punto (6; 8) y la curva 020y4x4x 2  , hallar el área del triángulo formado 
por la recta tangente, la recta normal en el punto y el eje X, Y. R 45u² 
6.- Hallar los puntos en que la gráfica de la ecuación dada tiene una tangente vertical u 
horizontal. 144yxy10x169 22  . 
7.- Para el punto (1; 1) de la curva 0y6x2yxy2x 22  , hallar las longitudes de la 
tangente, de la normal, de la subtangente, de la subnormal. 
8.-Determinar los coeficientes A, B y C de manera que la curva CBxAxy 2  , pase por 
el punto P (1; 3) y sea tangente a la recta 4x+y=8 en el punto Q (2; 0). 
9.- Demostrar que la recta y=-x es tangente a la curva dada por la ecuación 
x8x6xy 23  . Hállese el punto de tangencia. 
10.- Calcular las coordenadas de los puntos P y Q en la parábola 2x1y  de modo que las 
tangentes en estos puntos y el eje de las X formen un triángulo equilátero. 
11.- Demostrar que la normal a una elipse en el punto de contacto es bisectriz de los radios 
vectores de ese punto. 
12.- Demostrar que la tangente a una hipérbola es la bisectriz de los radios vectores de ese 
punto. 
13.- Dada la curva  sen*32r , calcular las coordenadas de los puntos de tangencia 
horizontal. 
14.- Halle el ángulo entre la tangente y el radio polar del punto de contacto para 
 2cos*ar 22 . 
15.- Calcule el ángulo entre la curva  3sen*a2r , y su tangente cuando 
3

 . 
E.- Rapidez de variación: 
 
1.- Una torre está al final de una calle, un hombre va en automóvil hacia la torre a razón de 50 m/seg. 
La torre tiene 500m de altura. ¿Con qué rapidez crece el ángulo subtendido por la torre y el ojo del 
hombre cuando éste se encuentra a 1000m de la torre? 
2.- La sección de una artesa de 16m de largo es un trapecio isósceles con base inferior de 4m, base 
superior 6m y 4m de altura. La artesa está recibiendo agua a razón de 10 m3/min. ¿A qué ritmo está 
subiendo el nivel del agua cuando el ésta llena 2m de altura? R. 1/8 
3.- Un hombre de 6 pies de altura camina a 5 pies/seg alejándose de una farola cuya bombilla está a 15 
pies de altura sobre el suelo. Cuando el hombre está a 10 pies de la base de la farola: 
a) ¿a qué velocidad se mueve el extremo de la sombra? R.25/3 
b) ¿a qué ritmo está cambiando la longitud de su sombra? R. 10/3 
 
 
 
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4.- Un tren sale a las 11:00 A.M se dirige hacia el este a una velocidad de 45 Km/h, mientras que otro 
sale a las 12:00 de la misma estación se dirige hacia el sur a una velocidad de 60 Km/h. Hallar la 
velocidad a la que se separan ambos trenes a las 3:00 P.M. h/Km2
2
105
.R 
5.- Una escalera de 25 pies de longitud se apoya contra una casa. Si el pié de la escalera se aleja a una 
razón de 3 pies/seg. Hallar la velocidad de la parte superior de la escalera cuando su base está a 15 
pies/seg de la casa. R -9/4 pies/seg. 
6.- Un cuadro de 4 pies de altura se coloca sobre una pared con su base 3 pies arribadel ojo de un 
observador. Si el observador se acerca a la pared a razón de 4 pies/seg. ¿Con qué rapidez está 
cambiando la medida del ángulo subtendido en su ojo por el cuadro cuando el observador está a 10 
pies de la pared. 
7.- Un filtro cónico de 18 cm de profundidad y 6 cm de radio en la parte superior, se encuentra lleno 
de una solución. Esta va pasando a un vaso cilíndrico de 5cm de radio. Cuando la profundidad de la 
solución en el filtro es de 10 cm su nivel está bajando a razón de 2 cm/min. Hallar la rapidez con que 
está subiendo la solución en el vaso, para dicha profundidad. R dh/dt=8/3 cm/min 
8.- En un instante dado la longitud de un cateto de un triángulo rectángulo es de 10 pies y está 
aumentando a razón de 1 pie/seg, el otro cateto es de 12 pies y esta disminuyendo a razón de 2 
pies/seg. Hallar la razón respecto al tiempo del ángulo agudo opuesto al cateto que en ese instante 
mide 12 pies. R. dθ/dt=-8/61 rad/seg. 
9.- La medida de uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo disminuye a razón de 
seg/rad
36
1

. Si la longitud de la hipotenusa es constante e igual a 40 cm, con qué rapidez cambia el 
área, cuando la medida del ángulo agudo es de 
6

. 
10.- Un recipiente tiene la forma de un cono circular recto con el vértice hacia arriba. La altura es 10m 
y el radio de la base 4m. Se introduce agua en el recipiente a una velocidad constante de 5 m3/min. 
¿Con qué velocidad se eleva el nivel del agua cuando su profundidad es de 5m? R. dh/dt = 5/4π 
m/min. 
11.- La longitud de un canalón es de 12 pies y sus extremos tiene la forma de un triángulo isósceles 
invertido que tiene una altura y una base de 3 pies. Se bombea agua al canalón a razón de 2 pies3/min. 
¿Qué tan rápido sube el nivel del agua cuando la altura del agua es de 1 pie? dh/dt = 1/6 pies/min. 
 
F.- Método de Newton: 
 
Calcular la raíz (+.-) con una precisión 
410*1  de la ecuación: 
 
1.- 06x18xe*2 2x  . R x=0.196 
2.- 03x8x2x 23  . R x=-0.349, x=2.218 
3.- 04senxx4  . R x=-1.236 
4.- Punto de corte entre 
3
2
10*1,
1x
1
)x(g,x3)x(f 

 . R x=2.893 
5.- Halle el punto de corte entre: 





sin2r
cos2r
 
 
G.- Máximos y Mínimos: 
 
 
 
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1.- Hallar a, b, c y d tales que dcxbxax)x(p 23  , tenga un mínimo relativo en (1;-2) y un 
máximo relativo en (2; 3). R 7x12x9x2)x(P 23  
2.- Halle un polinomio cúbico con un máximo en (3; 3), un mínimo en (5; 1), y un punto de inflexión 
en (4; 2).R. 24x
2
45
x6x
2
1
)x(p 23  
3.-Hallar las dimensiones del triángulo isósceles de área máxima que puede inscribirse en un círculo 
de radio 4u. R 34l  
4.- Halle las dimensiones del cono circular recto, de máximo volumen que puede ser inscrito en una 
esfera de radio R. R
3
4
h,
3
8R
r  
5.- Hallar la altura del cilindro circular recto de volumen máximo que sea susceptible de ser inscrito en 
una esfera de radio R. 
3
3R2
h,
3
R
r
2
 
6.- Si tres lados de un trapecio miden cada uno 10cm, ¿cuánto debe medir la base mayor para que el 
área sea máxima? R B=20u 
7.- Se va a construir un tanque de concreto para agua, con base cuadrada y sin tapa. El tanque ha de 
tener una capacidad de 192 m3. Si los lados cuestan $4 por m2 y la base $3 por m2. ¿Cuáles han de ser 
las dimensiones para que el costo total sea mínimo? Cuál es ese costo. R l=8 
8.- Un rectángulo está limitado por el eje X y por la curva 
2x25y  ¿Para qué longitud y anchura 
del rectángulo se hace mínima su área? R 
6
5
l  
9.- Se corta un sector circular con un ángulo central  en un círculo de radio r = 12 pulgadas, con el 
que se formará un cono recto de revolución. Hallar el valor del ángulo  que maximiza el volumen 
del cono.  63
3
2
.R 

 
10.- En un círculo de radio r, se corta un sector circular, el arco externo tiene longitud s. Si el 
perímetro total del sector es de 100u ¿Qué valores de r y s maximizarán el área del sector. R r=25, 
s=50. 
11.- Se forma un sólido adosando dos semiesferas a las bases de un cilindro circular recto. El volumen 
total del sólido es de 12u3. Hallar el radio del cilindro que produce el área mínima de la superficie del 
sólido. 3
9
R

 
12.- Una caja rectangular de base cuadrada y no tiene tapa, el área combinada de los lados y del fondo 
es de 48 pies cuadrados. Hallar las dimensiones de la caja de máximo volumen que cumpla estos 
requerimientos. R. b=4, h=2. 
13.- Se utilizan 20 pies de hilo para formar dos figuras a) cuadrado y triángulo equilátero, b) exágono 
regular y círculo. 
¿Qué cantidad de hilo debe invertirse en cada figura para lograr que el área encerrada sea máxima? 
14.- Un fabricante de cajas de cartón quiere elaborar cajas abiertas a partir de trozos rectangulares con 
dimensiones de 8 x 15 pulgadas cortando cuadrados en las esquinas y doblando los lados hacia arriba. 
Se desea determinar la longitud del lado del cuadrado de modo que la caja tenga el mayor volumen 
posible. R. 5/3 
15.- Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto P (3; 4) y forma con el primer cuadrante 
un triángulo de área mínima. R. 4x+3y-24=0. 
16.- Encontrar las dimensiones del cilindro circular recto de volumen máximo que puede inscribirse en 
un cono circular recto de altura de 12u y el radio de la base 5u. R. 4h,
3
10
r  
 
 
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H.- Teoremas de valor medio: 
 
Utilice el método de Newton para aproximar el valor. 
 
1.- Calcular el valor medio de la función, y calcular los valores de x en los que la función tiene ese 
valor: 
 2,1,
x
1
x)x(f
2
2  . 65.1x,07.1xR  
 4,1,
x
1
x)x(f  . 81.1xR  






 2,
2
1
,
x
1
x)x(f
2
2
. R x=1 
2.- Verifique el teorema de Lagrange y encuentre todos los valores de c:  4,2,
1x
xln
y

 . R x=2.86 
 
Encuentre los intervalos en los que la curva es: a) creciente, decreciente, b) cóncava hacia 
arriba, cóncava hacia abajo: 
 
1.- 
22
3
xa
a
)x(f

 2.- 
1x
x
)x(f
2
2

 
3.- 
2
x
cossenx)x(f  4.- 
x
xln
)x(f  
5.- 
xln
x
)x(f  6.- xex)x(f  
 
7.- 
xxe)x(f  8.- 35
68
x5x
2
x
8
x
)x(f  
9.- 
22 xlnx)x(f  10.- 





tcos*senty
ttanx
 
11.- Demostrar que los puntos de inflexión de 
22 ax
xa
y


 , están situados sobre una recta y deducir 
su ecuación. 
 
I.- Analizar y graficar las siguientes funciones: 
 
1x2x
x4x5x2
)x(f.1
2
3


 
2
2
xx21
xx2
)x(f.2


 
 
5x4x
1x*4
)x(f.3
2
2


 
x8x2
x1
)x(f.4
3
4


 
5.- 
 
 2
3
1x
1x
)x(f


 6.- 
1x
1x
)x(f
3
3


 
7.- 
2xx
1x3x3x
)x(f
2
23


 8.- 2x9*x)x(f  
 
 
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS 
Ing. Jorge Portilla K. Página 14 
9.- 
x4
x
)x(f

 10.- x2x*3)x(f 3
2
 
11.- 3
2
x3x2)x(f  12.-    3
2
3
1
1x*2x)x(f  
13.- senx
2
x
)x(f  14.- xcos
2
x
)x(f  
15.- x2cossenx2)x(f  16.- x2sensenx2)x(f  
17.- 
senx1
xcos
)x(f

 18.- senx*e)x(f x 
19.- 
x22 e*x)x(f  20.-  x24e2)x(f x3  
21.- 









t
1
y
1t
1t
x
 22.- 










1t
t
y
1t
t
x
2
2
 
 
J.- Aplicando la regla de Hospital, calcular los siguientes límites: 
 
1R.
senx1
xtan1
lím.1
senx
1
0x










   3
1x
4
2
x
0x
e.R,e*xcoslím.2
42

 







 
3.- 
    2
1
.R,
x1ln
1
x1xln
1
lím
20x












 
  8
R.
1ex2x4
lím.4
2
x0x













 
22
22
0x ba3
ba
.R,0ba,
b
x
arctan*b
a
x
arctan*a
xx
1
lím.5





























 
2
1
R.
1xcosh
1
xsenh
2
lím.6
20x









 4R.
senxx
x2
x1
x1
ln
lím.7
0x 









 
128
1
R.
x2sen
x1e
lím.8
6
3x
0x
3



 2R.
xlnx1
xx
lím.9
x
1x





 
10.-  Tanx
0x
xsinxlím 

R. 1 11.- 






 








2
a2
x
Tan
ax
eR.
a
x
2lím 
12.- 
2
x
x
eR.
x
2
coslím
2














 
 
 
 
 
 
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS 
Ing. Jorge Portilla K. Página 15 
 
INTEGRAL INDEFINIDA: 
 
CxarctanR.dx
xx
xln1
.1 x
xx



   
C
2ln3
2
R.dxxsen*2.2
xcos3xcos
3xcos*3xcos
3
3



 
Cx3csc
3
1
x3cot
3
1
R.
x3cos1
dx
.3 

  
C
4
5x2
arcsen2R.dx
9x20x4
4
.4
2





 

  
 
R.dx
15xx2
4x3
.5
2 

 
  C
2
1x
arcsen31x42R.dx
xx23
2x
.6
2
2





 



  
C1x9x4
2
1
1x9x449x8ln
8
29
R.dx
1x9x4
x25
.7 22
2



  
CxsecarcR.dx
1x*x
x3
.8 3
63
2


  
  CxlnarcsenR.
xln1*x
dx
.9
2


  
C
1senx
5senx
ln
4
1
R.dx
5senx6xsen
xcos
.10
2




  
  C1elnelnR.
1e
dx
.11 xx
x


  
12.- 
 xe1
dx
 
13.- C1eelnR.
e1
dx x2x
x2


  
14.-     C659x89x8ln
16
61
659x8
4
5
R.dx
1x9x4
x52 2
2



 
15.- C
3
1x2
arcsen
2
7
x4x48
2
1
R.dx
x4x48
x26 2
2





 



 
16.- C
2
1x
arcsen3xx23R.dx
xx23
2x 2
2





 



 
17.- C
32xtan
32xtan
ln
2
1
R.dx
1Tanx*4xTan
xSec
2
2




 
18.-   CxarcsenR.dx
x1
x2 2
4


 
 
 
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS 
Ing. Jorge Portilla K. Página 16 
19.-
   
  Cx1xln2R.
x1xlnx1
dx 2
22


 
20.-
     Cx1xln
3
2
R.dx
x1
x1xln 2
3
2
2
2



 
21.-  
dx
1x
x
2
4
 
22.- 


dx
9x
17x
2
2
 
23.- cx2cos
2
1
.R,dx
xsenxcos
xcos*senx
22


 
24.- C
2
xsen
arcsen
2
1
R.dx
xsen2
xcos*senx 2
4







 
25.-   Cx6arcsen
64
1
R.dx
x61
x 4
8
3


 
26.-   C)x4lnln*2lnx4lnR.dx
x4ln*x
x2ln
 
27.- 
 
C
x
8x
ln
8
1
R.
8xx
dx 2
2



 
28.-   2x
dxx
8
3
 
29.-  
dx
2x3x
x
24
 
30.-  

dx
1xx
x3x2
24
3
 
31.-  1x
dx
4
 
32.- R.dx
27x
1x2x
3
2
 

 
33.-  

dx
1x2x
xx
412
37
 
34.- 
  

dx
x1x
x21
22
2
 
35.- R.dx
8x
5x3x
3
2
 

 
36.-   1xx
dx
24
 
 
37.- 
 
Ce
x1
e*x
R.dx
x1
e*x x
x
2
x


 
 
 
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS 
Ing. Jorge Portilla K. Página 17 
38.-  
x
x11
lnx1*xln1R,dx
x1
xln*x 22
2



 
39.-   CxR.dxxln1x xx  
40.-   dx)x2cosx2sen(*e
x3
 
41.-  

dx
x1
xx21
5 2
 
42.-     c4x4x2*e
4
1
.R,dxe*1x3x 2x2x22  
43.-     Cxcotxcsclnxtanln*xcosR.dxxtanln*senx  
44.-   Cxxsen*x12R.dx
x1
xarcsen


 
45.-   C1xlnxarctan*x2R.dxxarctan  
46.-   C)2x2senxcos
5
e
R.dxxcos*e 2
x
2x 


 
47.-         C1xlnx3xxln
2
x
xxln
3
x
R.dxxln*3x2x 22
2
33
3
2  
48.-   Cx3sen
3
2
x12sen
96
1
x
8
7
.R,dxx3cosx3sen 3
22  
49.- Cxsen
24
1
senx
2
1
x2sen
32
5
x
16
3
.R,dx*
2
x
cos*
2
x
sen 324  
50.- C
18
xsec
26
xsec
R.dxx4sec*x4tan
2
9
2
13
2
9
3  
51.-         CxlnSec
6
1
xlnSec
8
1
.R,
x
dx
xlnsec*xlntan 6863  
52.- Cx2Sec
6
1
x2Sec
10
1
.R,dxx2tan*x2sec 3533  
53.- dxx5tanx5sec 4 34 
54.-  dxx3csc
5
 
55.-  dxx2hsec
3
 
56.- Cx4senhln
4
1
x4coth
4
1
x4hcsc
16
1
R.dxx4coth 245  
57.-  dxx5cosh*xsenh
2
 
58.-   cxtan3arctan
3
6
R.dx
3xsen2
xcos4
2
2


 
59.- 
    41e
1e
4
1
.R,dx
5e2e
e
2x2
x
3xx2
x



 
 
 
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS 
Ing. Jorge Portilla K. Página 18 
60.-   xx ee
dx
 
61.- 

dx
e16
e
x
2
x
 
62.- 
   
C
3
1x
3
1x
R.
1x1x
dx 2
3
2
3






 
63.-
 
C
3
11x2
arctan*
3
32
1x2xln11xln*2.R,dx
1x1x
21x
2








 



 
64.- 
     
C1
1x
2
1
1x
2
1x
2
ln.R,dx
xx21*1x
x
2222








 
65.-
 

 5x8x3*2x
dx
23
 
66.-       c1xsenh
2
5
1xarcsen
6
15
2x2x1x5x2
6
1
.R,dx
2x2x
1xx 122
2
3


 
 
67.-     C111x2xln*637x4x*30x4xR.dx
7x4x
5x8x3 222
2
3



 
68.- 
 



dx
3x3x*1x
2x3
2
 
69.- dx3x2x 2  
70.-   dxx4x410
2
 
71.- C
3
x2
secarc*
3
1
R.
9x4*x
dx
2







 
72.-       c1x
5
1
1x
8
1
.R,dxx1*x
5
3 3
8
3 33 235  
73.-   dxx52x 3
2
35
  
74.- cxsecarc
2
1
x
1x1
ln
2
1
.R,dx
1x
1x 2
2
4
2
2




 
75.- 
 
dx
xsen
xcos*xsen*21
3
3
1
2


 
76.- 
 
 
 










c
senx
senx1
2.R,dx
xsen1*xsen
xcos
3
2
4
3
4
3
3 4 33
 
 
77.- C
2e
3
2elnR.dx
e44e
1e
x
x
xx
x





  
 
 
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS 
Ing. Jorge Portilla K. Página 19 
78.- 
 
  C
4x
x4
2
x
arctan
2
3
4xlnR.dx
4x
4xx2
2
2
22
23











 
79.- 


dx
3x4x
6x11x6x
2
23
 
80.- Cxxcsc2xcotR.dx
xcos1
xcos1



 
81.-  
dx
xcossenx
xcossenx
 
82.- 
   
dx
1xx*1x
2x
22 

 
83.-   Cx2senx2cos2
4
e
R.dx
2
x2cos1
e
x2
x2 




 
 
84.- C
x
4x
2
1
x
24x
ln
4
1
R.dx
x
x4
2
22
3
2




 
85.- 
 
xarctanu,cu4sen
32
1
u
8
7
u2sen
4
1
.R,
x1
dx
32


 
86.- c
2
7
2
1
x
2
1
xln
2
7
2
7
2
1
x*
2
1
x.R,dxx4x415
22
2 


























 
87.-     cxaxaxln*x.R,dxxaxln 222222  
88.-   

cx1
3
1
x1.R,dx
x1
x 322
2
3
 
89.- 

dx
x1
x
3 2
 
90.- 


dx
x4x48
x26
2
 
91.- 


dx
xx1x
xx1
2
2
 
92.-   1xx
dx
24
 
93.- 
 
dx
10
52
x
1x1x
 
94.-    dxxcotxtan
2
 
95.-   xcos2xsin
dx
22
 
 
96.- 
 
dx
x
2xx
3
44
 
 
 
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS 
Ing. Jorge Portilla K. Página 20 
 
INTEGRAL DEFINIDA: 
1.- Mediante la definición de integral definida, calcular la integral:   
4
1
2 dx5x4x 
2.- Hallar el valor medio de la función en el intervalo indicado, y el valor de x en los que la 
función tiene ese valor: 
 






 2,
2
1
,
x
1x
)x(f
2
2
  4,1,5x4x)x(f 2  
 
 12,7,3x*x)x(f 2  
 
3.- Calcular las siguientes derivadas: 
 
a) 3
x3
0
3 x2713)x´(FR.dtt1)x(F   
 
b) 
arcsenx1
xcos
R.
arcsent1
dt
)x(F
senx
0

  
 
c)  

3
x
2
3 15sent*9t
dt
)x(F d) 



x
x
2t1
dt
)x(F 
 
e)  


x
x
2 dt1tcos)x(F f)   dxdt1t2
dx
d
)x(F
16
4
x
5
  





 
 
4.- Calcular el siguiente límite: 
 
1R.
dtsent
dtttan
lím
xtan
0
senx
0
0x



 
 
5.- Calcular las siguientes integrales definidas: 
 
2
29
R.dx3x.1
5
2


 2.- 
6
R.
xx28
dx
1
2
1
2




 
3.-   28R.dx2x6
8
0
  4.- 



4
2
dx
6x
1x
 
 
 
 
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS 
Ing. Jorge Portilla K. Página 21 
5.- 4R.dx3x4x
4
0
2
  6.- R.dxxx6
6
0
2
  
 
7.-
9
R.
xcos*45
dx3
2
0



 8.- 2R.dx
x3
x1
1
1





 
 
9.- 
4
1
R.dx*xln*x
1
0
 10.- 0R.dx2x*x2
5
5
23


 
 
11.-  


256
3
R.dxx1x 2
3
24 12.- 
4
R.
x41
dx*24
2
0
2


 
 
13.- 2lnR.
xln*x
dx
2e
e
 14.-  

2e
1
dxxlncos 
 
15.- 


2
0
dx
senx1
xcos
 16.- 
5
R.
9x4x
dx
2




 
 
17.- 
2
R.
ee
dx
xx





 18.- 1R.dxe*x
2x


 
 
19.- 
2
1
R.dxsenx*e,
2
1
.R,dxxcos*e
0 0
xx
 
 
