PRACTICA INVERNAL 3 AM 1

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EJERCICIOS DE PRÁCTICA 
 
 
Ejercicio 1: Sea la función definida por 𝑓(𝑥) =
𝑥
𝑥2−|𝑥|
 se pide: 
a. Dominio. 
b. Intersección con los ejes coordenados. 
c. Simetría. 
d. Asíntotas, aplicando límites. 
 
a. Dominio: 
 
Como sabemos el valor absoluto puede expresarse como: 
 
|𝒙| = √𝒙𝟐 𝑷𝒐𝒓 𝒍𝒐 𝒕𝒂𝒏𝒕𝒐 𝒍𝒂 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏 𝒑𝒐𝒅𝒓í𝒂 𝒕𝒆𝒏𝒆𝒓 𝒍𝒂 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂: 
 
𝒇(𝒙) =
𝒙
𝒙𝟐 − √𝒙𝟐
 𝑬𝒏 𝒄𝒐𝒏𝒄𝒆𝒄𝒖𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒂𝒏𝒂𝒍𝒊𝒛𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒔𝒖 𝒅𝒆𝒏𝒐𝒎𝒊𝒏𝒂𝒅𝒐𝒓 
 
𝒙𝟐 − √𝒙𝟐 = 𝟎 → 𝒙𝟐 = √𝒙𝟐 𝑬𝒍𝒆𝒗𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒂𝒎𝒃𝒐𝒔 𝒎𝒊𝒆𝒎𝒃𝒓𝒐𝒔 𝒂𝒍 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐 
 
𝒙𝟒 = 𝒙𝟐 → 𝒙𝟒 − 𝒙𝟐 = 𝟎 → 𝒙𝟐. (𝒙𝟐 − 𝟏) = 𝟎 𝑫𝒆 𝒂𝒒𝒖𝒊 𝒑𝒐𝒅𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒅𝒆𝒅𝒖𝒄𝒊𝒓: 
 
𝒙𝟐 = 𝟎 → 𝒙 = 𝟎 𝑷𝒐𝒓 𝒐𝒕𝒓𝒐 𝒍𝒂𝒅𝒐 𝒕𝒆𝒏𝒅𝒓𝒆𝒎𝒐𝒔: 
 
𝒙𝟐 − 𝟏 = 𝟎 → 𝒙𝟐 = 𝟏 → 𝒙 = ±𝟏 
 
𝑫𝒐𝒎𝒊𝒏𝒊𝒐 = (−∞,−𝟏) ∪ (−𝟏, 𝟎) ∪ (𝟎, 𝟏) ∪ (𝟏,∞) 
 
 
b. Intersección con los Ejes Coordenados: 
 
 ∩ 𝒄𝒐𝒏 𝑶𝑿⃗⃗⃗⃗⃗⃗ → 𝒉𝒂𝒈𝒐 𝒚 = 𝟎 
 
𝟎 =
𝒙
𝒙𝟐 − |𝒙|
 → 𝒙 = 𝟎. (𝒙𝟐 − |𝒙|) → 𝒙 = 𝟎 
 
 
 
∩ 𝒄𝒐𝒏 𝑶𝒀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ → 𝒉𝒂𝒈𝒐 𝒙 = 𝟎 
 
𝒚 =
𝟎
𝟎𝟐 − |𝟎|
 → 𝒚 =
𝟎
𝟎
 ∴ 𝑵𝒐 𝒄𝒐𝒓𝒕𝒂 𝒂𝒍 𝑬𝒋𝒆 𝑶𝒀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
 
c. Simetría: 
 
Simetría Par: 𝒇(𝒙) = 𝒇(−𝒙) 
𝒙
𝒙𝟐 − |𝒙|
≠
−𝒙
(−𝒙)𝟐 − |−𝒙|
≠
−𝒙
𝒙𝟐 − |𝒙|
 
 
∴ 𝑵𝒐 𝒕𝒊𝒆𝒏𝒆 𝑺𝒊𝒎𝒆𝒕𝒓í𝒂 𝑷𝒂𝒓 
 Simetría Impar: 𝒇(𝒙) = −𝒇(−𝒙) 
 
𝒙
𝒙𝟐 − |𝒙|
= −
−𝒙
(−𝒙)𝟐 − |−𝒙|
=
𝒙
𝒙𝟐 − |𝒙|
 
 
∴ 𝑻𝒊𝒆𝒏𝒆 𝑺𝒊𝒎𝒆𝒕𝒓í𝒂 𝑰𝒎𝒑𝒂𝒓 
d. Asíntotas: 
 𝑨𝒔𝒊𝒏𝒕𝒐𝒕𝒂𝒔 𝑽𝒆𝒓𝒕𝒊𝒄𝒂𝒍𝒆𝒔: 
lim
𝑥→−1
𝑥
𝑥2 − |𝑥|
=
−1
(−1)2 − |−1|
=
−1
1 − 1
=
−1
0
= −∞ ∴ 𝑨𝒔𝒊𝒏𝒕𝒐𝒕𝒂 𝑽𝒆𝒓𝒕𝒊𝒄𝒂𝒍 
lim
𝑥→0
𝑥
𝑥2 − |𝑥|
=
0
0
 → lim
𝑥→0
𝑥
𝑥2 − 𝑥
= lim
𝑥→0
𝑥
𝑥. (𝑥 − 1)
=
1
0 − 1
= −1 ∴ 𝑵𝒐 𝒆𝒔 𝒖𝒏𝒂 𝑨𝒔𝒊𝒏𝒕𝒐𝒕𝒂 𝑽𝒆𝒓𝒕𝒊𝒄𝒂𝒍 
lim
𝑥→1
𝑥
𝑥2 − |𝑥|
=
1
12 − |1|
=
1
1 − 1
=
1
0
= ∞ ∴ 𝑨𝒔𝒊𝒏𝒕𝒐𝒕𝒂 𝑽𝒆𝒓𝒕𝒊𝒄𝒂𝒍 
 
𝑨𝒔𝒊𝒏𝒕𝒐𝒕𝒂𝒔 𝑯𝒐𝒓𝒊𝒛𝒐𝒏𝒕𝒂𝒍𝒆𝒔: 
lim
𝑥→∞
𝑥
𝑥2 − 𝑥
= lim
𝑥→∞
𝑥
𝑥. (𝑥 − 1)
=
1
∞ − 1
= 0 
∴ 𝒚 = 𝟎 𝒕𝒆𝒏𝒈𝒐 𝒖𝒏𝒂 𝑨𝒔𝒊𝒏𝒕𝒐𝒕𝒂 𝑯𝒐𝒓𝒊𝒛𝒐𝒏𝒕𝒂𝒍 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicio 2: Resolver los siguientes Límites 
𝑎. lim
𝑥→0
𝑥2. √1 + 𝑇𝑔 𝑥 − 𝑥2
2𝑥2. 𝐶𝑜𝑠𝑥
 𝑉𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑠𝑎𝑐𝑎𝑟 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚ú𝑛 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑦 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟 
 
lim
𝑥→0
𝑥2. (√1 + 𝑇𝑔 𝑥 − 1)
2𝑥3. 𝐶𝑜𝑠 𝑥
= lim
𝑥→0
√1 + 𝑇𝑔 𝑥 − 1
2𝑥. 𝐶𝑜𝑠 𝑥
 𝑉𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑅𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 
 
lim
𝑥→0
√1 + 𝑇𝑔 𝑥 − 1
2𝑥. 𝐶𝑜𝑠 𝑥
.
√1 + 𝑇𝑔 𝑥 + 1
√1 + 𝑇𝑔 𝑥 + 1
= lim
𝑥→0
(√1 + 𝑇𝑔 𝑥)
2
− 12
(2𝑥. 𝐶𝑜𝑠 𝑥)(√1 + 𝑇𝑔 𝑥 + 1)
 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 
 
lim
𝑥→0
1 + 𝑇𝑔 𝑥 − 1
(2𝑥. 𝐶𝑜𝑠 𝑥)(√1 + 𝑇𝑔 𝑥 + 1)
 𝑈𝑡𝑙𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎 𝑇𝑔 𝑥 
 
lim
𝑥→0
𝑆𝑒𝑛 𝑥
𝐶𝑜𝑠 𝑥
∶ (2𝑥. 𝐶𝑜𝑠 𝑥)(√1 + 𝑇𝑔 𝑥 + 1) = lim
𝑥→0
𝑆𝑒𝑛 𝑥
2𝑥. (𝐶𝑜𝑠 𝑥)2. (√1 + 𝑇𝑔 𝑥 + 1)
 𝑆𝑒𝑝𝑎𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 
 
lim
𝑥→0
𝑆𝑒𝑛 𝑥
𝑥
. lim
𝑥→0
1
2. (𝐶𝑜𝑠 𝑥)2. (√1 + 𝑇𝑔 𝑥 + 1)
 𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑎𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 (𝑥) 
 
𝟏.
1
2. (𝐶𝑜𝑠 0)2. (√1 + 𝑇𝑔 0 + 1)
= 𝟏.
1
2. 12. (1 + 1)
=
1
2 + 2
=
𝟏
𝟒
 
 
 
𝑏. 𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟 𝑠𝑖 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑜 𝑛𝑜 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐿í𝑚𝑖𝑡𝑒 lim
𝑥→−∞
(
1
3)
𝑥+2
+ 4
(
1
3)
𝑥
− 6
 
 
𝑉𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑠𝑒𝑝𝑎𝑟𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛 𝑑𝑜𝑠 
 
lim
𝑥→−∞
(
1
3)
𝑥
. (
1
3)
2
+ 4
(
1
3)
𝑥
− 6
 𝑇𝑎𝑚𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑣𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑜𝑟𝑑𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒 (
1
3
)
𝑥
= (3)−𝑥 
 
lim
𝑥→−∞
(3)−𝑥. (
1
3)
2
+ 4
(3)−𝑥 − 6
 𝑉𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑠𝑐𝑎𝑟 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚ú𝑛 (3)−𝑥 𝑒𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑦 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟 
 
lim
𝑥→−∞
(3)−𝑥. [
1
9 +
4
(3)−𝑥
]
(3)−𝑥. [1 −
6
(3)−𝑥
]
 𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 (𝑥) 
 
lim
𝑥→−∞
[
1
9 +
4
(3)−𝑥
]
[1 −
6
(3)−𝑥
]
 = 
1
9 +
4
3−(−∞)
1 −
6
3−(−∞)
 = 
1
9 +
4
3∞
1 −
6
3∞
 = 
1
9 +
4
∞
1 −
6
∞
 = 
1
9 + 0
1 − 0
= 
𝟏
𝟗
 
 
 
 
 
Ejercicio 3: Sea la función 𝑓(𝑥) = (
1
2
)
|𝑥2−1|
se pide: 
a. Dominio y Rango de la función. 
b. Diga si es Biunívoca. 
c. De no serlo, restrinja su dominio para que admita inversa. 
d. Encontrar 𝑓(𝑥)−1 
e. Graficar 𝑓(𝑥) 𝑦 𝑓(𝑥)−1 
 
a. Al ser una Función Exponencial no presenta restricciones de Dominio, razón por la cual podemos 
decir entonces que: 
 
𝑫𝒐𝒎 𝒇 = (−∞,∞) 𝒐 𝑫𝒐𝒎 𝒇 = 𝓡 
 
Para analizar su Rango vamos a valernos de su Gráfica. 
 
De la misma podemos deducir que el Rango estará definido por: 
𝑹𝒈𝒐 𝒇 = (𝟎, 𝟏] 
b. La función NO es Biunívoca puesto que tiene Simetría Par. Además, podríamos justificarlo de la 
siguiente manera: 
 
Dados dos valores cualesquiera pertenecientes al dominio tal que 𝑥1 ≠ 𝑥2, obtenemos que 𝑓(𝑥1) =
𝑓(𝑥2) como, por ejemplo: 
 𝒙𝟏 = −𝟏 𝒚 𝒙𝟐 = 𝟏 → 𝒇(𝒙𝟏) = 𝒇(𝒙𝟐) = 𝟏 
 
Otra forma sería el análisis gráfico, al trazar una paralela al eje de las Abscisas vemos que corta en 
más de un punto, con lo cual también aseguramos que la función NO es Biunívoca. 
 
c. Por no ser Biunívoca deberemos restringir su Dominio. De la gráfica vemos que es conveniente 
tomar el intervalo correspondiente a [1,∞) y la función estaría dada por: 
 
𝒇(𝒙) = 𝒚 = (
𝟏
𝟐
)
(𝒙𝟐−𝟏)
 𝑫𝒐𝒎𝒓 𝒇 = [𝟏,∞) 𝑹𝒈𝒐𝒓 𝒇 = (𝟎, 𝟏] 
 
d. Para despejar la variable (x) aplicamos Logaritmo con base 1/2: 
 
𝐥𝐨𝐠𝟏
𝟐
𝒚 = 𝐥𝐨𝐠𝟏
𝟐
(
𝟏
𝟐
)
(𝒙𝟐−𝟏)
 → 𝐥𝐨𝐠𝟏
𝟐
𝒚 = (𝒙𝟐 − 𝟏). 𝟏 → 𝒙 = √𝟏 + 𝐥𝐨𝐠𝟏
𝟐
𝒚 
 
𝒇(𝒙)−𝟏 = √𝟏 + 𝐥𝐨𝐠𝟏
𝟐
𝒙 𝑫𝒐𝒎 𝒇−𝟏 = (𝟎, 𝟏] 𝑹𝒈𝒐 𝒇−𝟏 = [𝟏,∞) 
 
e. 
 
 
 
Ejercicio 4: Analice la Continuidad de la función en el intervalo (-6, -1). Si presenta discontinuidades, 
clasifíquelas y refina si es necesario. 
 
 
 
 
Recordemos que, una función es continua en un intervalo abierto o unión de intervalos abiertos si es 
continua en cada punto de ese conjunto. Decimos que 𝒈(𝒙) es continua en (a, b) sí y sólo sí 𝒈(𝒙) es 
continua ∀ x ∈ (a, b). 
Al no haber un signo igual en ningún tramo de la función 𝒈(𝒙) podemos establecer que: 
−𝟓 ∈ 𝑫𝒐𝒎 𝒈 𝒑𝒆𝒓𝒐 𝒏𝒐 𝒆𝒔𝒕𝒂 𝒅𝒆𝒇𝒊𝒏𝒊𝒅𝒂 ∴ 𝒑𝒐𝒅𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒂𝒇𝒊𝒓𝒎𝒂𝒓 𝒒𝒖𝒆 𝒍𝒂 𝒎𝒊𝒔𝒎𝒂 𝒆𝒔 𝑫𝒊𝒔𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖𝒂 𝒆𝒏 (−𝟔,−𝟏) 
Para conocer la naturaleza de la misma, debemos calcular los límites laterales. 
lim
𝑥→−5−
4 − √4𝑥2 − 84
𝑥 + 5
=
0
0
 𝑉𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 
lim
𝑥→−5−
4 − √4𝑥2 − 84
𝑥 + 5
.
4 + √4𝑥2 − 84
4 + √4𝑥2 − 84
= lim
𝑥→−5−
42 − (√4𝑥2 − 84)
2
(𝑥 + 5)(4 + √4𝑥2 − 84)
 𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑦 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑛𝑑𝑜 
lim
𝑥→−5−
16 − 4𝑥2 + 84
(𝑥 + 5)(4 + √4𝑥2 − 84)
= lim
𝑥→−5−
−4𝑥2 + 100
(𝑥 + 5)(4 + √4𝑥2 − 84)
= lim
𝑥→−5−
−4(𝑥2 − 25)
(𝑥 + 5)(4 + √4𝑥2 − 84)
 
lim
𝑥→−5−
−4. (𝑥 + 5)(𝑥 − 5)
(𝑥 + 5)(4 + √4𝑥2 − 84)
= lim
𝑥→−5−
−4. (𝑥 − 5)
(4 + √4𝑥2 − 84)
 𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 (𝑥) 
𝑔(𝑥) =
ە
۔
4ۓ − √4𝑥
2 − 84
𝑥 + 5
 
⬚
6𝑥 + 35 
 
𝑥 < −5 
 
𝑥 > −5 
 
−4. (−5 − 5)
4 + √4(−5)2 − 84
=
40
4 + √16
=
40
8
= 𝟓 
 
lim
𝑥→−5+
6𝑥 + 35 = 6. (−5) + 35 = 𝟓 
 𝐥𝐢𝐦
𝒙→−𝟓−
𝒈(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦
𝒙→−𝟓+
𝒈(𝒙) = 𝟓 → 𝐥𝐢𝐦
𝒙→−𝟓
𝒈(𝒙) = 𝟓 
Como los Límites laterales existen y además son iguales, podemos concluir que la Discontinuidad es del 
Tipo Evitable en el Intervalo (−6,−1). 
𝒈(𝒙) = {
𝟒 − √𝟒𝒙𝟐 − 𝟖𝟒
𝒙 + 𝟓
 𝒙 < −𝟓
𝟓 𝒙 = −𝟓
𝟔𝒙 + 𝟑𝟓 𝒙 > −𝟓