Practico N2_Relaciones de equivalencia

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MATEMATICA DISCRETA 2020 
TRABAJO PRACTICO Nº2 
RELACIONES DE EQUIVALENCIA 
 
18) Dadas las relaciones R1, R2 , R3 y R4 dadas por sus dígrafos, analizar si son relaciones de 
equivalencia. En caso afirmativo encontrar el conjunto cociente correspondiente 
R1 En A={a,b,c,d,e,f} 
 
 
Solución: 
 
R1 es reflexiva porque en todos sus vértices hay un bucle 
 R1 Es simétrica porque  x R1 y se cumple que y R1 x (doble flecha en cada par de vértices 
relacionados 
 
Por lo tanto R1 No es de equivalencia 
 
 
 R2 
R2 es 
reflexiva,simétrica 
y transitiva 
R2 es una relación de equivalencia en el conjunto A 
 A={a,b,c,d,e,f} 
 [c]={c,e,b,f} Clase del c 
 [a]={a,d} (clase del a) 
 a e b 
 d c f 
 
A/R2={[a], [c]} ={{a,d},{c,e,b,f} 
Conjunto cociente: es el conjunto de las 
clases de equivalencias . (en cada clase se 
encuentran los elementos que se relacionan entre si) 
 
 
R4 en A={a,b,c,d,e,f} 
 
R4 es reflexiva porque en todos sus vértices hay un bucle 
 R4 Es simétrica porque  x R4 y se cumple que y R4 x (doble flecha en cada par de vértices 
relacionados 
R4 es transitiva porque d R4 a a R4 a  d R4 a 
a R4 a  a R4 d  a R4 d 
d R4 d  d R4 a y d R4 a 
 
c R4 e e R4 e  c R4 e 
e R4 e e R4 c  e R4 c 
c R4 c c R4 e  c R4 e 
b R4 f  f R4 f  b R4 f 
b R4 b  b R4 f  b R4 f 
f R4 f f R4 b  f R4 b 
 
 
Por lo tanto R4 es una relación de equivalencia en A = {a,b,c,d,e,f} 
 
Siendo las clases de equivalencia: 
[a] = { a,d} 
[b] = { b,f} 
[c] = { c,e} a b c 
 d f e A 
El conjunto cociente A/ R4 = { [a], [b], [c]} 
A/ R4 = { { a,d} , { b,f} , { c,e} } 
 
 
19) Las siguientes matrices corresponden a relaciones binarias. Analizando las propiedades 
determinar si corresponden a relaciones de equivalencia. En caso afirmativo encontrar el 
conjunto cociente correspondiente. Designar a gusto el nombre de los elementos del 
conjunto adonde cada relación estaría definida 
 
 R1 definida en A={a,b,c,d} 
R1 es reflexiva porque en su matriz tiene únicamente 1 en la diagonal principal 
 R1 Es simétrica porque  x R1 y se cumple que y R1 x (simetría respecto de la diagonal 
principal a14 = a41= 1 y a23 = a32 =1 
 
𝑴(𝑹𝟏) ⊙ 𝑴(𝑹𝟏)= (
1 0 0 1
0 1 1 0
0 1 1 0
1 0 0 1
) ⊙ (
1 0 0 1
0 1 1 0
0 1 1 0
1 0 0 1
)= (
1 0 0 1
0 1 1 0
0 1 1 0
1 0 0 1
) 
 
M R1 = MR2 R1 es transitiva 
Por lo tanto R1 es de equivalencia 
Conjunto Cociente 
 
A/ R1 ={ {a,d},{b,c} } = {[a],[b]} 
Porque a, y d se relacionan entre si , al igual que b y c 
 
 
 
 
𝑴(𝑹𝟐) ⊙ 𝑴(𝑹𝟐)= (
1 1 0 1
1 1 0 0
0 0 1 1
1 0 1 1
) ⊙ (
1 1 0 1
1 1 0 0
0 0 1 1
1 0 1 1
)= (
1 1 1 1
1 1 0 1
1 0 1 1
1 1 1 1
) 
 
R2 No es transitiva MR2 2 > M R2 
a R d, d R c pero a no está relacionado con c 
Por lo tanto R2 No es de equivalencia 
 
 
 
𝑴(𝑹𝟒) ⊙ 𝑴(𝑹𝟒)= 
 
 
A{a,b,c,d,e,f,} 
R4 es reflexiva porque en su matriz tiene únicamente 1 en la diagonal principal 
 R4 Es simétrica porque  x R4 y se cumple que y R1 x (simetría respecto de la diagonal 
principal a15 = a51= 1 y a24 = a42 =1, etc. 
M R4 = MR2 R4 es transitiva 
Por lo tanto R4 es de equivalencia 
Conjunto Cociente 
 
A/ R4 ={ {a,c,e},{b,d,f} } = {[a],[b]} 
Porque a, c y e se relacionan entre si , al igual que b,d y f 
 
 
20) Sea A = { x  Z / | x |  5 } y sea R : A → A definida por R = { ( x , y ) / | x | = | y | } 
A={-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5} 
R={(-5,5), (-4,4), (-3,3), (-2,2), (-1,1), (5,-5), (4,-4), (3,-3), (2,-2), (1,-1), (0,0), (5,5), (4,4), (3,3), 
(2,2), (1,1), (-5,-5), (-4,-4), (-3,-3), (-2,-2), (-1,-1) } 
Se pide: 
a) Determinar si R es una relación de equivalencia en A sin realizar el digrafo ni la matriz 
R es reflexiva, simétrica y transitiva, por lo tanto es una relación de equivalencia 
Ejemplos prop. transitiva: 
-1R1  1R-1 -1R-1 
-1R-1  -1R1-1R1 
3R-3  -3R33R3 
-2R2  2R2-2R2 
Encontrar al conjunto relativo correspondiente a cada elemento de A 
R(-5) = {-5,5} = [-5] 
R(-4) = {-4,4}= [-4] 
R(-3) = {-3,3}= [-3] 
R(-2) = {-2,2}= [-2] 
R(-1) = {-1,1}= [-1] 
R(0) = {0} 
R(1)={-1,1} =[1]= [-1] 
 
R(2) = {2,-2}= [2]= [-2] 
R(3) = {-3,3}= [3]= [-3] 
R(4) = {-4,4}= [4]= [-4] 
R(5)={-5,5}= [5]= [-5] 
b) En caso afirmativo en a) encontrar A / R 
A/R={[5],[4],[-3],[-2],[1],[0]} ={{-5,5},{-4,4},{-3,3},{-2,2},{-1,1},{0}} 
c) Graficar A y a su conjunto Cociente por medio de diagramas de Venn