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RESPUESTAS A LAS ACTIVIDADES INCLUIDAS EN EL LIBRO: “MATEMATICA DISCRETA” –UNIDAD IV - AÑO 2020
Actividad 4.1
Dar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones, justificando su respuesta:
a) El conjunto correspondiente a la sucesión 1 , 1 , 1 , 1 , 1 es {1}
b) Si entonces con es una sucesión infinita y su conjunto correspondiente es {-1, 1}
c) La sucesión 2 , 4 , 6 , ... , 12 es finita y está formada por 6 términos
d) Las sucesiones y con no son iguales
Respuestas:
a) Verdadero, los valores de la sucesión son todos iguales a 1 y por lo tanto su conjunto imagen es {1}
b) Falso, el conjunto correspondiente es {1}
c) Verdadero, es una sucesión finita pues comienza en 2 y termina en 12. Luego observando el comportamiento de los términos explicitados, los restantes son dos: 8 y 10 , y por lo tanto en total son 6 términos.
d) Falso, dado que por la propiedad de la potenciación que indica que si la base es negativa y el exponente es par el resultado siempre será positivo.
Actividad 4.2
Sea el alfabeto = {a,b,c}, responder verdadero o falso, y justificar la respuesta
a) aaaa * aaa+aabaca *
b) Sea = {x / x es la palabra vacía o es una palabra de longitud 2 generada
por el alfabeto } entonces | | = 10
c) Si = {x / x es una palabra de long. 3 y de símbolos distintos} entonces
|| = 27.
Respuestas:
a) Falso, aaa+aabaca * dado que +
b) Verdadero, = {,aa,ab,ac,ba,bb,bc,ca,cb,cc} y por lo tanto| | = 10
c) Falso, = {abc,acb,bac,bca,cab,cba} con lo cual || = 6
Actividad 4.3
a) Escribir los 6 primeros términos de las sucesiones y luego el término general:
i) A cada número natural le corresponde el cuadrado de su siguiente
ii) A cada número natural le corresponde el siguiente de su cuadrado
iii) A cada número natural le corresponde su triple disminuido 1
b) Para cada sucesión, encontrar su término general:
i) 2, 7, 12 , 17, 22 , ... ii) -5 , -13 , -21 , -29, …
iii) 1 , -1 , 1 , -1 , 1 , -1 ... iv) -2 , 2 , -2 , 2 , -2 , 2 , -2 ...
v) vi) 3 , -9 , 27, -81,…
Respuestas:
a)i) ,
Los primeros seis términos son: 4 , 9 , 16 , 25 , 36 , 49 , ....
ii) ,
Los primeros seis términos son: 2 , 5 , 10 , 17 , 26 , 37 , ....
iii) ,
Los primeros seis términos son: 2 , 5 , 10 , 17 , 26 , 37 , ....
b) i) Se observa que es una progresion aritmética que comienza en 2 con , por lo tanto
ii) Se observa que es una progresion aritmética que comienza en -5 con , por lo tanto
iii) Se observa que es una progresion geométrica que comienza en 1 con , por lo tanto
iv) Se observa que es una progresion geométrica que comienza en -2 con , por lo tanto
v) Se observa que es una progresion geométrica que comienza en 10 con , por lo tanto
otra forma equivalente es:
vi) Se observa que es una progresion geométrica que comienza en 3 con , por lo tanto
Actividad 4.4
a) Decir cuántos términos tienen las siguientes sumas y luego desarrollar a las mismas:
b) Usar el símbolo para representar a las siguientes sumas considerando que todas tienen términos
i)
ii)
iii)
Respuestas:
a)i)
Esta suma tiene n-1 términos y es la suma de las mitades de los n-1 primeros números naturales. Es la suma de términos de la sucesión aritmética de primer término y diferencia
ii)
Esta suma tiene 19 términos y es la suma de los términos de la sucesión aritmética que comienza en 4 y cuya diferencia es 3
iii)
Esta suma tiene n-2 términos y es la suma de los términos de una sucesión geométrica que comienza en -8 y cuya razón es -2
b)i) (Esta fórmula no es única)
ii)
i)
Actividad 4.5
Interpretar la siguiente igualdad y demostrarla
Respuesta:
La igualdad plantea que la suma de los primeros n términos de la sucesión aritmética que comienza en 2 y cuya diferencia es 3 se puede calcular como el producto de la cantidad de términos n , por 3n+1 dividido en 2.
Demostracion (por el principio de inducción)
Paso básico:Se debe probar que vale para
Por lo tanto se cumple para
Paso inductivo: Se supone que se cumple para
Se debe probar que se cumplirá para
Para la demostración se trabaja con ambos miembros hasta que se prueba la igualdad
Por prop del símbolo suma
Simplificacion del segundo termino
por reemplazo en el primer termino de la hipotesis
por suma de fracciones y simplificacion
por prop. distributiva y simplificacion
Como entonces se cumple la igualdad para
Conclusion: Una vez demostrado el paso básico y el paso inductivo podemos decir que
Actividad 4.6
a) Encontrar los seis primeros términos de la sucesión definida por
b) Encontrar la forma recursiva de la sucesión dada por
i)
ii)
iii) ,
c) Encontrar la fórmula recursiva de las siguientes sucesiones:
i) -1 , 1 , -1 , 1 , -1 , 1 …
ii) 3 , 6 , 12 , 24 , …
iii) -1 , 4 , -16 , 64 , -256 , ...
Respuestas:
a) 5 , -10 , 20 , -40 , 80 , -160 , ...
b) i)Para cuyos primeros elementos son 3 , 1 , -1 , -3 , .... se observa que es una sucesión aritmética cuyo primer elemento es 3 y la diferencia es -2 . La forma recursiva será:
ii)Para cuyos primeros términos son 1 , -2 , 4 , -8 , 16 ..... se observa que es una sucesión geométrica cuyo primer elemento es 1 y cuya razón es -2 . La forma recursiva será:
c) i) -1 , 1 , -1 , 1 , -1 , ... es una sucesión geométrica cuyo primer elemento es -1 y cuya razón entre dos términos consecutivos es -1 , la forma recursiva es:
ii) 3 , 6 , 12 , 24 , .... es una sucesión geométrica cuyo primer elemento es -3 y cuya razón entre dos términos consecutivos es 2 , la forma recursiva es:
iii) -1 , 4 , -16 , 64 , -256 , ... es una sucesión geométrica cuyo primer elemento es -1 y cuya razón entre dos términos consecutivos es -4 , la forma recursiva es:
Actividad 4.7
1) Obtener la solución de la siguiente sucesión dada por su fórmula recursiva
con valor inicial
2) Determinar cuál de las siguientes fórmulas es la solución de la fórmula de recurrencia con valores iniciales y
i)
ii)
Respuesta:
1) con valor inicial
Los términos son que es una sucesión geométrica de primer termino 1 y razón
Por lo tanto la formula recursiva es
2) Para determinar cuál es la solución se reemplaza en la formula recursiva y en las condiciones iniciales de la sucesión y se observa cual la verifica:
i) Para
(se verifica)
(se verifica)
Ahora, para reemplazar en necesito las expresiones de los términos y , según la solución propuesta; y
Bien, está todo listo para reemplazar en la forma recursiva y ver si verifica
se reemplazo la posible solución en la forma recursiva
se sacaron los paréntesis
se conmutaron dos términos con el objetivo de asociar posteriormente las potencias de dos por un lado y las de cinco por otro lado
se sacó factor común la menor de las potencias
se observó que 4 y 25 son potencias de 2 y 5 respectivamente
finalmente se aplica propiedad del producto de potencias de la misma base
se observa que se cumple la igualdad.
Por lo tanto la fórmula explicita es solución de con y
ii) Para
No se verifica, por lo tanto no es solución de con y
Actividad 4.8
Clasificar las siguientes relaciones de recurrencia:
a) orden 1 , grado 1 , homog , coef ctes
b) orden 2 , grado 1 , homog , coef ctes
c) orden 1 , grado 1 , no homog , coef ctes
d) orden 3 , grado 2 , homog , coef vles (n+1)-(n-2)=3
Actividad 4.9
Resolver las siguientes relaciones de recurrencia:a) con condición inicial
b) con condición inicial
c) con condición inicial
Actividad 4.10
Encontrar la solución general para las siguientes relaciones de recurrencia:
1) con y
2) con y
3) con y
Respuestas:
1)
2)
3)
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RESPUESTAS A LAS ACTIVIDADES INCLUIDAS EN EL LIBRO: “MATEMATICA
DISCRETA”
–
UNIDAD I
V
-
AÑO 20
20
Actividad 4.1
Dar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones, justificando su respuesta:
a) El conjunto correspondiente a la sucesión 1 , 1 , 1 ,
1
, 1 es {1}
b) Si
??
??
=
(
-
1
)
2
??
entonces
con
??
?
N
es una sucesión infinita y su conjunto
correspondiente es {
-
1, 1
}
c) La sucesión 2 , 4 , 6 , ... , 12
es finita y está formada por 6 térm
inos
d) Las sucesiones
??
??
=
(
-
2
)
2
??
y
??
??
=
2
2
??
con
??
?
N
no son iguales
Respuestas:
a)
Verdadero, los valores de la sucesión son todos iguales a 1 y por lo tanto su
conjunto imagen es {1}
b)
Falso, el conjunto correspondiente es {
1
}
c)
Verdadero, es una sucesión finita pues comienza en 2 y termina en 12
. L
uego
observando
el comportamiento de los términos explicitados, los restantes son dos:
8 y 10
,
y por lo tanto en total son 6 t
é
rminos.
d)
Falso
, dado que
??
??
=
(
-
2
)
2
??
=
2
2
??
=
??
??
por la propiedad de la potenciación que
indica
que si la base es negativa y el exponente es par el resultado siempre será
positivo.
Actividad 4.2
Sea el alfabeto
Σ
= {a,b,c}, responder verdadero o falso, y justificar la respuesta
a) aaaa
Î
Σ
*
Ω
aaa+aabaca
Ξ
Σ
*
b) Sea
L
1
= {x / x es la palabra vacνa o es una palabra de longitud 2 generada
por el alfabeto
Σ
} entonces |
L
1
| = 10
1
RESPUESTAS A LAS ACTIVIDADES INCLUIDAS EN EL LIBRO: “MATEMATICA
DISCRETA” –UNIDAD IV - AÑO 2020
Actividad 4.1
Dar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones, justificando su respuesta:
a) El conjunto correspondiente a la sucesión 1 , 1 , 1 , 1 , 1 es {1}
b) Si ??
??
= (-1)
2??
entonces con ???N es una sucesión infinita y su conjunto
correspondiente es {-1, 1}
c) La sucesión 2 , 4 , 6 , ... , 12 es finita y está formada por 6 términos
d) Las sucesiones ??
??
= (-2)
2??
y ??
??
= 2
2??
con ???N no son iguales
Respuestas:
a) Verdadero, los valores de la sucesión son todos iguales a 1 y por lo tanto su
conjunto imagen es {1}
b) Falso, el conjunto correspondiente es {1}
c) Verdadero, es una sucesión finita pues comienza en 2 y termina en 12. Luego
observando el comportamiento de los términos explicitados, los restantes son dos:
8 y 10 , y por lo tanto en total son 6 términos.
d) Falso, dado que ??
??
= (-2)
2??
= 2
2??
=??
??
por la propiedad de la potenciación que
indica que si la base es negativa y el exponente es par el resultado siempre será
positivo.
Actividad 4.2
Sea el alfabeto Σ = {a,b,c}, responder verdadero o falso, y justificar la respuesta
a) aaaa Σ * aaa+aabaca Σ *
b) Sea L
1
= {x / x es la palabra vacía o es una palabra de longitud 2 generada
por el alfabeto Σ } entonces |L
1
| = 10
