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Activados-Matemática-5
Josue
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MATEMÁTICA
Gerente editorial
Daniel Arroyo
Jefa de contenidos editoriales
Verónica Lombardo
Jefe del área de Matemática
Gabriel H. Lagoa
Editing
Belén Boscaroli
Autores
Aperturas: Pablo Amster
¿Para qué sirve?: Laura Pezzatti
Roxana Abálsamo
Adriana Berio
Silvana Mastucci
Nora Quirós
Fernando De Rossi
Corrector de estilo
Gabriel Valeiras
Coordinadora del área
de Marcas y derechos
Amorina Scalercio
Jefe del departamento de Arte y diseño
Lucas Frontera Schällibaum
Diseñadoras de maqueta
Patricia Cabezas
Laura Porta
Diagramación
Olifant – Florencia Galeano & Valeria Miguel Villar –
Ilustrador
Pablo Zerda
Fotografías
Archivo de imágenes de Grupo Macmillan
Thinkstock
Wikimedia commons
Gerente de Prerensa y Producción Editorial
Carlos Rodríguez
Matemática 5 ¿para qué sirve? / Roxana Abálsamo ... [et.al.]. - 1a ed. -Boulogne:
Puerto de Palos, 2013.
256 p. : il. ; 28x20 cm. - (Activados )
ISBN 978-987-547-590-8
1. Matemática. 2. Enseñanza Secundaria. I. Abálsamo, Roxana
CDD 510.712
© Editorial Puerto de Palos S.A., 2013.
Editorial Puerto de Palos S.A. forma parte del Grupo Macmillan.
Av. Blanco Encalada 104, San Isidro, provincia de Buenos Aires, Argentina.
Internet: www.puertodepalos.com.ar
Queda hecho el depósito que dispone la Ley 11.723.
Impreso en Argentina.
Printed in Argentina.
ISBN 978-987-547-590-8
La presente obra se ha elaborado teniendo en cuenta los aportes surgidos de los encuentros organizados por
el “Instituto Nacional contra la Discriminación, la Xenofobia y el Racismo” (INADI) con los editores de texto.
No se permite la reproducción parcial o total, el almacenamiento, el alquiler, la transmisión o la
transformación de este libro, en cualquier forma o por cualquier medio, sea electrónico o mecánico, mediante
fotocopias, digitalización y otros métodos, sin el permiso previo del editor.
Su infracción está penada por las leyes 11.723 y 25.446.
Primera edición.
Esta obra se terminó de imprimir en noviembre de 2013, en los talleres de F P Compañía Impresora,
Beruti 1560, Florida, provincia de Buenos Aires, Argentina.
MATEMÁTICA
MATEMÁTICA
Es una nueva propuesta que facilita el aprendizaje de la matemática a través de
691 actividades que favorecen la comprensión de los distintos temas.
En formato binarizado, la sección ¿Para qué sirve? conecta la matemática con la
vida cotidiana a través de una pregunta que surge constantemente en el aula.
Apertura: en esta sección, Pablo
Amster, especialista en el área de la
matemática, ofrece textos relacionados
con la historia y evolución del
pensamiento matemático.
En el cuadro de
contenidos aparecen los
temas numerados para su
fácil identificación.
InfoActiva: presenta
definiciones, clasificaciones,
procedimientos básicos y
ejemplos de cada contenido
que facilitan la comprensión.
Sucesiones
Contenidos
8. Sucesiones.
9. Sucesiones aritméticas.
10. Sucesiones geométricas.
11. Análisis de sucesiones.
12. Clasificación de sucesiones.
ca
p
ít
u
lo
2
1. Lean atentamente y respondan.
a. En un texto del escritor Jorge Luis B
orges, Aquiles corre diez veces más rá
pido
que la tortuga y parte diez metros atr
ás de ella. ¿Cuánto recorre para alcan
zarla?
b. ¿Por qué creen que este problema s
e discutió durante muchos siglos? ¿No
es
evidente que Aquiles alcanza a la tort
uga?
El filósofo griego Zenón de Elea imag
inó una supuesta carrera con un
resultado muy curioso.
“El mundo antiguo se ve alborotado p
or un evento deportivo fuera de
lo común: juegan una carrera Aquiles,
el más veloz de los hombres, y una
tortuga. Nobleza obliga: el glorioso h
éroe concede al animalito una ven-
taja inicial antes de comenzar a corr
er... y, ante la sorpresa de todos,
nunca lo alcanza. Es que cuando Aqu
iles llega al punto del que parte la
tortuga, ella, lenta pero persistente, s
e ha movido un poco; nuevamente
Aquiles intenta llegar a ella, pero la t
ortuga se ha movido un poco más,
y así sucesivamente.”
Zenón no estaba interesado en lides d
eportivas, sino más bien en refu-
tar el pensamiento filosófico de la ép
oca. No se trata de negar el hecho
“evidente” de que Aquiles efectivamen
te alcanza a la tortuga; lo que está
en juego es la posibilidad de dividir in
finitamente el espacio y el tiempo.
Los argumentos parecen sencillos, per
o motivaron siglos de una discu-
sión que recién empezó a resolverse
con la aparición del moderno con-
cepto de límite.
LOS CAPÍTULOS INCLUYEN LAS SIGUIENTES SECCIONES Y PLAQUETAS:
34
8 97 10 11 12 13 14 15 16 17
Sucesiones
INFOACTIVA
Una sucesión es un conjunto ordenado
de números, uno a continuación del
otro.
El conjunto de los números naturales
es una sucesión de infinitos elemento
s.
Se denomina término a cada uno de l
os elementos de la sucesión.
1; 8; 27; 64; 125;
216; ... n
3
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
↓ ↓
a 1 a 2 a 3
a 4 a 5 a 6
... a n
En algunas sucesiones se puede encon
trar un término general a n (término ené
simo), que es la fórmula
de un término cualquiera en función de
l lugar que ocupa.
En la sucesión 1; 8; 27; 64; 125; 216;…, el
término general de la sucesión es a n = n
3 .
Si se conoce el término general, se pu
ede hallar la sucesión, o cualquier térm
ino de la misma, reem-
plazando en forma consecutiva los nú
meros naturales en el valor n del térm
ino general.
Si el término general de una sucesión es a n =
1 __ n , entonces la sucesión
será: 1; 1 __ 2 ;
1 __ 3 ;
1 __ 4 ;
1 __ 5 ;
1 __ 6 ;... ;
1 __ n ;...
Por lo tanto una sucesión es una función
que le asigna a todo número natural un
número real. f: →
Sucesiones aritméticas
Se denomina sucesión aritmética a aqu
ella en la cual cada término de la mism
a se obtiene sumando
al anterior un número constante r llam
ado razón aritmética.
4 12 20 28 36 ...
Sucesión aritmética con r = 8.
4 + 8 12 + 8 20 + 8 28 + 8
Para que una sucesión sea aritmética, debe verificar
se que: a 2 – a 1 = a 3 – a 2 = … = a n
– a n–1 = r
Sucesiones geométricas
Se denomina sucesión geométrica a a
quella en la cual cada término de la m
isma se obtiene multi-
plicando el anterior por un número co
nstante q llamado razón geométrica.
3 –9 27 –81 243 ...
Sucesión geométrica con q = –3.
3 . (–3) –9 . (–3) 27 . (–3) 81 . (–3
)
Para que una sucesión sea geométrica, debe verifica
rse que:
a 2 __ a 1
=
a 3 __ a 2 = …
=
a n ___ a n–1 =
q ⇔ a 1 ≠ 0
¿Para qué sirve?
PÁGINA 3
111000
conjunto orden
números naturale
no a cada uno d
8; 27;
↓↓ ↓
a2 a3
ones se puede enc
iera en función de
8; 27; 64; 125; 2
érmino general, se
consecutiva los nú
general de una suce
sucesión es una fu
méétiticccaaass
ucesión aritmética a
mero constante r llamr
20 28
2 + 888 20 + 8 28
Para ra qquueue e uuunnaa ssucucesión sea a
S i nes gSucesiones gSucesiones geoméeométriceométricas
Se denomina sucesión geométri
160
40 41 42 43 44 45 46 47 48 4939
Ecuaciones exponenciales
Una ecuación exponencial es aquella ecuación en la que la incógnita aparece en el exponente.Para resolver una ecuación exponencial vamos a tener en cuenta:1. a x ⇒ a > 0 ∧ a ≠ 1
2. a x 1 = a x 2 ⇒ x
1 = x 2
3. Las propiedades de las potencias.
Resuelvan las siguientes ecuaciones exponenciales.
a. 3 2x+1 = 81
3 2x+1 = 3 4 ⇒ 2x + 1 = 4 ⇒ x = 3 __ 2
b. 2x+1
____
2 x+2 =
__
8
2
x+2 _____ 2x+1 = 2
3 __ 2 ⇒ x+2 _____ 2x+1 =
3 __ 2 ⇒ x =
1 __ 4
c. 4 x–2 + 4 x + 4 x+1 = 324
4
x ___ 4 2 + 4
x + 4 x . 4 = 324 ⇒ 4 x . ( 1 ___ 16 + 1 + 4 ) = 324
4 x . 81 ___ 16 = 324 ⇒ 4 x = 4 3 ⇒ x = 3
d. S n = 1 + 3 + 9 + 27 + … + 3 x = 3 280
Se utiliza la fórmula de la suma de n términos de una sucesión: S n =
a n . r – a 1 ________ r – 1
3
x . 3 – 1 ________ 3 – 1 = 3 280
3 x . 3 – 1 = 6 560 ⇒ 3 x . 3 = 6 561 ⇒ 3 x = 2 187 ⇒ 3 x = 3 7 ⇒ x = 7
e. 3 2x+1– 2 . 3 x – 1 = 0
3 . 3 2x – 2 . 3 x – 1 = 0
Se usa una variable t = 3 x ⇒ 3 2x = (3 x ) 2 = t 2
3t 2 – 2t – 1 = 0 { t 1 = 1 ⇒ 3 x = 1 ⇒ x 1 = 0 t 2 = – 1 __ 3 ⇒ 3 x = – 1 __ 3 ⇒ x 2 no es solución.
Cuando la incógnita está en el exponente, se puede despejar aplicando en cada miembro el logaritmo cuya base es la base de la potencia.
a x = b
log
a
a x = log
a
b ⇒ x . log
a
a = log
a
b ⇒ x = log
a
b
Hallen el valor de x.
10 x–2 = 8
log 10 x–2 = log 8 ⇒ (x – 2) . log 10 = log 8 ⇒ x = log 8 + 2 ⇒ x = 2,903
INFOACTIVA
En la página 20
pueden repasar
las propiedades de
la potenciación.
Conector: invita a repasar
conceptos explicados en páginas
anteriores.
Conexión con
¿Para qué sirve?
¿Para qué sirve?
Actividades: para cada tema
se proponen distintas actividades
que están organizadas de manera
secuencial.
menteACTIVA:
propone situaciones
problemáticas con
un mayor nivel de
complejidad.
47
46
INTEGRACIÓN
8*9*10*11*12
CONTENIDOS
28. Escriban el término general de las sucesio
nes.
Indiquen si son aritméticas o geométric
as y hallen
la razón.
a. –3; 0; 5; 12; 21;…
b.
__
3 ; 2 .
__
3 ; 3 .
__
3 ; 4 .
__
3 ;...
c. 0,2; 0,02; 0,002; 0,0002...
d. –2; 3; 8; 13;…
e. 2; 6; 18; 54; 162; 486;...
29. Las siguientes sucesiones no son aritmét
icas
ni geométricas. Hallen los términos pe
didos.
a. 1; 2; 3; 9; 8; 7; 1; 2; 3; 9; 8; 7;...
a 14 = ; a 120
=
b. 1; 2; 3; 4; 5; 11; 12; 13;…
b 21 = ; b 50
=
30. Tengan en cuenta la sucesión de término
general a n =
4n – 16 _______ n y respondan.
a. ¿Puede tener un término que valga
20? ¿Por
qué?
b. ¿Para cuál valor de n uno de los té
rminos
vale 2,4?
31. Resuelvan.
a. Una sucesión aritmética tiene términ
o gene-
ral a n = –5 + 4n. Ca
lculen la razón, a 395 y el
orden del término de valor 2 011.
b. Una sucesión geométrica tiene a 1 = 4
y a 2 = 2.
Calculen la razón, el término general y
a 10 .
c. Una sucesión geométrica tiene a 1 =
3, q = 2
y S k = 1 533. Calcu
len el valor de k.
d. Una sucesión geométrica tiene q =
–0,5 y
a 2 =
3 __ 4 . Calculen
S 15 .
32. Los números 2 y 20 son los extremos de
una sucesión aritmética de siete térmi
nos. Hallen
los números que completan la sucesió
n.
33. Resuelvan.
a. Los ángulos de un triángulo están e
n suce-
sión aritmética de razón 30 grados. C
alculen
cada ángulo.
b. Los ángulos de un cuadrilátero está
n en
sucesión geométrica y el último es 4
veces el
segundo. Calculen dichos ángulos.
34. Lean atentamente y resuelvan.
En un cuadrado de lado 1 se unieron l
os puntos
medios de sus lados determinando ot
ro cuadra-
do en su interior. Se repitió el procedi
miento en
el segundo cuadrado y en los sucesivo
s como
se ve en la figura.
a. Calculen los primeros cuatro términ
os de la
sucesión formada por el perímetro de
cada
cuadrado que se va formando.
b. La sucesión ¿es aritmética o geomé
trica?
c. Escriban el término general de la suc
esión.
d. ¿Es monótona creciente o decrecien
te?
35. Indiquen si estas sucesiones son monóto
nas
crecientes o decrecientes.
a. 1,2; 1,23; 1,234; 1,2345; 1,23456...
b. 0; 3; 5; 0; 3; 5; 0;…
c. 6,7; 6,07; 6,007; 6,0007;…
36. Tengan en cuenta la siguiente sucesión y
resuelvan.
5; 5; 4; 4; 3; 3; 2; 2;...
a. ¿Es una sucesión monótona decreci
ente?
b. ¿Está acotada superior o inferiormen
te?
c. Hallen, si es posible, tres cotas sup
eriores y
tres cotas inferiores.
d. ¿Es convergente, divergente u oscila
nte?
37. Clasifiquen las sucesiones en convergente
s,
divergentes u oscilantes. Luego, indiq
uen si son
monótonas crecientes o decrecientes y
si son
acotadas inferior o superiormente.
a. a n =
4 – n _____ n + 1
b. b n =
n 3 – n ______ 2n
c. c n = 3 . (–1)
n+1
d. d n = { 1 __ n si n es par 1 ___ 2n si n es impar
38. Observen los gráficos y clasifiquen las su
ce-
siones en convergentes, divergentes u
oscilantes.
a.
b.
c.
39. Resuelvan.
a. La sucesión a n =
1 __ n 2 ¿tiene
términos negati-
vos? ¿Es convergente?
b. Escriban una sucesión divergente a
infinito
negativo y una oscilante.
40. Tengan en cuenta que el término general
de
una sucesión es a n = 4 –
2 __ n y resuelvan.
a. Escriban los 4 primeros términos y
represen-
ten en un sistema cartesiano.
b. ¿Es monótona creciente o decrecien
te?
c. ¿Está acotada superior o inferiormen
te?
d. Si es posible, hallen el ínfimo y/o s
upremo
de la sucesión.
e. Clasifiquen la sucesión en converge
nte,
divergente u oscilante.
41. Hallen los términos 2, 5 y 8 de las siguie
n-
tes sucesiones.
a. a n = { a 1 = 5 a n = a n–1 + 12 si n 2
b. b n = { b 1 = –2 b n = b n–1 ___ 2n si n 2
42. Tengan en cuenta la actividad anterior y
marquen las opciones correctas.
a. ¿Cuáles son las características de la
sucesión
de término general a n ?
Es geométrica.
Es aritmética.
Tiene razón 12.
Tiene razón 5.
Es monótona creciente.
Es monótona decreciente.
Se la puede definir con a n = 12n – 7
.
Se la puede definir con a n = 5n + 7.
b. ¿Cuáles son las características de la
sucesión
de término general b n ?
Es convergente a 0.
Es divergente.
No tiene supremo.
Tiene supremo.
Está acotada.
No está acotada.
2
capítulo
1
0,5
0
-0,5
-1
1 2 3 4 5
x
y
3
2
1
0
-1
1 2 3 4 5
x
y
2
0
-2
-4
-6
-8
-10
-12
-14
-16
1 2 3 4
x
y
Funciones exponenciales y logarítmica
s
Las funciones nos permiten modelizar
fenómenos. Muchos de estos se pued
en describir utilizando
funciones exponenciales y logarítmicas
. Veamos algunos ejemplos.
La radiactividad es un fenómeno físico
que ocurre en el núcleo de elementos
inestables capaces de
transformarse espontáneamente en nú
cleos de elementos más estables prod
uciendo radiación. Este
fenómeno se aprovecha para la obten
ción de energía nuclear, se usa en me
dicina y en aplicaciones
industriales. En general, las sustancias
que no tienen un balan-
ce correcto entre protones y neutrones
son radiactivas.
Resulta que la desintegración radiactiv
a se puede modelizar
con la función n(t) = n 0 . e
– .t donde n(t) es la cantidad de
radionucleidos en un instante de tiem
po t, n 0 es la cantidad
existente en el instante t = 0 y es la
llamada constante de
desintegración radiactiva y dependerá
de cada elemento. Co-
nociendo esta función se puede analiz
ar y predecir el compor-
tamiento radiactivo de las diferentes s
ustancias, así como su
velocidad de desintegración.
Por otro lado, varios de nuestros sent
idos tienen que ver con las funciones
logarítmicas. Un ejemplo
conocido, es el llamado ley de Weber-
Fechner, que establece la relación ent
re la magnitud de un
estímulo físico (S) y la forma en que lo
percibimos (P). Weber y Fechner prop
usieron que la relación
está dada por P = k . ln ( S __ S 0 ) donde S 0 es el nivel de e
stímulo en el que por debajo suyo no
se perci-
be sensación y k es una constante qu
e dependerá de cada caso.
Esta relación nos dice varias cosas. Un
a que seguramente todos hemos exper
imentado es cuando el
estímulo físico es el peso. Por ejemplo
, es difícil que podamos percibir si algo
pesa 100 o 102 kilos,
sin embargo es probable que podamo
s percibir algún cambio entre algo que
pesa 100 y algo que
pesa 110 kilos. Pero esta misma relaci
ón nos dice que probablemente no po
damos percibir una
diferencia entre algo que pesa 1 000 y
algo que pesa 1 010 kilos, pues justam
ente la relación no es
lineal. Lo que si nos garantiza esta rel
ación es que los cambios exponencial
es en la magnitud del
estímulo los podremos percibir linealm
ente.
Actividades
1. Investiguen qué otros fenómenos se puede
n modelizar utilizando funciones expon
enciales.
2. Investiguen qué otros fenómenos se puede
n modelizar utilizando funciones logar
ítmicas.3. Reúnanse con un compañero y realicen la
siguiente experiencia.
-Uno de los dos debe tener los ojos v
endados y sostener alguna cosa con d
eterminado peso;
el otro irá agregándole, de a una, cosa
s de igual peso. El que no puede ver,
debe avisar cuan-
do percibe un cambio en el peso y se
anota el peso de inicio y el final.
-Por ejemplo, pueden empezar con algo
que pese unos 100 g y se van agregand
o cosas que pesen
unos 10 g hasta que el que tiene los ojo
s vendados perciba un cambio de peso.
-Repitan varias veces la experiencia em
pezando con cosas de distintos pesos
.
¿Cómo pueden relacionar los resultado
s obtenidos con la ley de Weber-Fechn
er?
capítulo 7
39
contenido
¿Para qué sirve..
.
¿Para qué sirve?
12
13
Trigonometría
Así como el teorema de Pitágoras estab
lece una relación entre los lados de un
triángulo rectángulo que
nos permite conocer la medida del terc
er lado una vez que conozco la medida
de los otros dos, los
teoremas del seno y del coseno nos pe
rmiten conocer la medida de un ángulo
o un lado conociendo
otros datos.
Por ejemplo, el teorema del coseno, qu
e es una generalización del teorema de
Pitágoras para cualquier
triángulo, establece la siguiente relació
n: C 2 = A 2 + B 2 – 2 . A . B . cos ̂ donde A
, B y C son las medidas
de los lados de un triángulo y ̂ es el
ángulo formado por los lados de medid
as A y B. Esta relación
nos permite, por ejemplo, si conocemo
s la medida de dos lados y un ángulo
de un triángulo, encontrar
la medida del tercer lado. El caso del t
eorema del seno, por otra parte, estab
lece una relación entre
ángulos y lados que nos permite, por e
jemplo, si conocemos la
medida de dos ángulos y un lado de u
n triángulo, encontrar la
medida de los otros dos lados.
Como vemos, la trigonometría nos sirve
para calcular distancias.
Uno de los principales logros en este se
ntido es el que le permitió
a los cartógrafos realizar mapas de los d
iferentes países. Uno de
los proyectos más conocidos en este s
entido fue el denominado
Gran Planimetría Trigonométrica allá po
r el siglo XIX y que, entre
otras cosas, cuenta la leyenda que perm
itió descubrir el punto
más alto sobre la Tierra en 1852, en es
e momento denominado
Pico XV y luego, en 1856, llamado Ever
est, como hoy lo conoce-
mos, en honor a uno de los inspectore
s de este proyecto.
La trigonometría, además de ser utiliza
da en áreas como la astronomía, la car
tografía
y la arquitectura principalmente para “m
edir cosas”, también se aplica en otras
disciplinas como la economía, la meteo
rología y la biología para estudiar
objetos que tienen comportamientos p
eriódicos. También los oceanógrafos y
los músicos hacen uso de ella.
Actividades
1. ¿Cómo les parece que podemos deducir el
teorema
de Pitágoras utilizando el teorema del
coseno?
2. ¿Podríamos utilizar estos teoremas para ca
lcular medidas
de lados de otros polígonos? ¿Cómo?
capítulo 8
47
contenido
-
37
Test de comprensión
9 ACTIV
IDADES
Sucesiones aritméticas
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. En una sucesión aritmética, si a 1 =
12 y a 3 = 0, ¿cuál es l
a razón?
b. ¿Cómo se puede expresar la razón d
e una sucesión aritmética en función
de x e y
con a 7 = x y a 8 = y?
5. Completen con el dato que falta en cada c
aso.
a. a 1 = –
12 ___ 5 ; r = 5
b. a 120 = 1 345; r = –
9 c. a n = 153,32; a 1 =
83 ___ 25 ; r = 25
a 12 =
a 1 =
n =
6. Calculen la suma de los 30 primeros térmi
nos.
a. Dada la sucesión aritmética cuyo té
rmino general es: a n = –12 + 5n.
b. Dada la sucesión: –4, –10, –16, –23
, …
7. Resuelvan teniendo en cuenta que en una
sucesión aritmética a 1 + a 3 = 18 y a 5 –
a 2 = –6.
a. ¿Cuál es la razón?
b. Calculen a 1 , a 2 y a 3 .
8. Tengan en cuenta los datos y resuelvan.
a 1 = x; r = x – 3
con x
a. ¿Cuál es la expresión correspondien
te a S 10 ?
(9x + 27) . 5
9x – 135
55x – 135
b. Calculen S 10 si la diferencia
entre dos términos consecutivos es 1
3.
9. Lean atentamente y resuelvan.
Franco decidió ahorrar dinero para co
mprarse una notebook. Si empezó res
ervando $1 000 y cada
mes agrega $260, ¿cuánto dinero tend
rá después de un año?
AUTOEVALUACIÓN
196
8
capítulo
Marquen las opciones correctas
50. ¿Cuáles son las expresiones equivalentes a las dadas?a.
180° 360° 270° 90°
b. cos 150°
cos 30° –cos 30° cos 60° cos 210°
51. ¿Cuáles son las igualdades correctas?
a. sen ̂ = –sen (2 – ̂ ) c. sen ̂ = sen (2 + ̂ )
b. cos ̂ = cos (2 – ̂ ) d. cos ̂ = cos (2 + ̂
52. ¿En qué intervalo tiene exactamente tres soluciones la siguiente ecuación?2 . sen 2 ̂ + 2 . sen ̂ = 0
a. [0; ] b. [ 0; 3 __ 2 ] c. [0;2 ] d. [– ; ]
53. ¿Cuáles son las soluciones de la siguiente ecuación en el intervalo [0; ]?2 . cos 3 ̂ = 1.
a. 5 __ 9 b. __ 9 c. – 5 __ 9 d. 2 __ 9
54. Lean atentamente y resuelvan.
Una persona observa la terraza de un edificio con un ángulo de elevación de 55° y la de otro edificio con un ángulo de elevación de 72°. Se encuentra a 80 m del primer edificio y a 60 m del segundo. ¿Qué altura tiene cada edificio, sabiendo que la persona observa desde una altura de 1,70 m?
a. 114,25 m y 184,66 m c. 115,95 m y 186,36 m
b. 114,25 m y 186,36 m d. 115,95 m y 184,66 m
80 m
55° 72°edificio I edificio II
60 m
55. ¿Qué fórmula conviene utilizar para resolver el siguiente triángulo oblicuángulo?
a.
___
ab
______
sen ̂ c
=
__
ac
______
sen
^
b
c.
__
ac 2 =
___
ab 2 +
__
bc 2 – 2 .
___
ab .
__
bc . cos
^
b
b.
___
ab
______
sen ̂ c
=
__
bc
______
sen ̂ a
d.
___
ab 2 =
__
ac 2 +
__
bc 2 – 2 .
__
ac .
__
bc . cos ̂ c
a b
c
10 cm
8 cm
20°
Integración: incluye más actividades para
resolver en el cuaderno.
Autoevaluación: propone más actividades
para que cada alumno pueda evaluar los
conocimientos adquiridos durante el capítulo.
¿Para qué sirve?: en esta
sección, Laura Pezzatti, especialista en
el área de la matemática, ofrece una
serie de textos que conectan los
contenidos de los capítulos con la vida
cotidiana y otras disciplinas con el
objetivo de responder a la pregunta
inicial que se plantea.
Test de comprensión: incluye
preguntas básicas que permiten
evaluar la comprensión de la teoría
y revisar errores comunes.
r = –9
ral es:
sión ar
os co
una n
és d
45
12 ACTIVIDADES Clasificación de sucesiones
24. Tengan en cuenta la siguiente sucesión definida por recurrencia y resuelvan.
a
n = { a 1 = 3 a
n = 2 a n–1 + 1 para n ≠ 1
a. Hallen los 10 primeros términos de esta sucesión.
b. ¿Es una sucesión monótona creciente? ¿Por qué?
c. Calculen la suma de los términos calculados.
25. Tengan en cuenta los primeros siete términos de esta sucesión y hallen una fórmula definida por recurrencia.
3; 16; 82; 412; 2 062; 10 312; 51 562;…
26. Resuelvan.
Fibonacci, matemático italiano del siglo XIII, descubrió una sucesión que tiene numerosas aplicacio-nes en biología, en ciencias de la computación, en matemática y en la teoría de juegos.La sucesión es: 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89; 144; 233; 377; 610; 987; 1 597; 2 584; 4 181; 6 765;…a. Hallen una fórmula por recurrencia para la sucesión de Fibonacci.
b. Construyan una nueva sucesión donde cada término esté formado por cocientes de términos con-secutivos de la sucesión de Fibonacci.
c. La sucesión anterior ¿es convergente o divergente? Si es convergente, indiquen a qué número se acercan sus términos.
27. Tengan en cuenta que el término general de una sucesión aritmética es a n = 2 + 3n y resuelvan.Escriban los 5 primeros términos y hallen una fórmula de la misma sucesión, pero por recurrencia.
Una ciclista tarda 40 segundos en dar la primera vuelta a una pista; porlos efectos del cansancio, en cada vuelta tarda 6 segundos más que en la anterior.a. Calculen los seis primeros términos de la sucesión que representa los segundos que tarda por cada vuelta.
b. Definan la sucesión por recurrencia. ¿Qué tipo de sucesión es?
menteACTIVA
Índice general
Capítulo 1: NÚMEROS REALES ..................... 9
1. Números reales. Intervalos ................ 10
2. Módulo de un número real. ............... 12
3. Ecuaciones e inecuaciones con
módulo. .............................................. 14
Integración .......................................... 18
4. Radicales. ........................................... 20
5. Operaciones con radicales. ................ 22
6. Operaciones combinadas. .................. 26
7. Racionalización de denominadores. ... 28
Integración .......................................... 30
Autoevaluación .................................... 32
Capítulo 2: SUCESIONES ........................... 33
8. Sucesiones. ......................................... 34
9. Sucesiones aritméticas. ...................... 36
10. Sucesiones geométricas. .................... 38
11. Análisis de sucesiones. ........................ 40
12. Clasificación de sucesiones. ............... 42
Integración .......................................... 46
Autoevaluación .................................... 48
Capítulo 3: NÚMEROS COMPLEJOS ........... 49
13. El conjunto de los números
complejos. .......................................... 50
14. Módulo de un complejo. Complejos
conjugados. ........................................ 52
15. Adición y sustracción. ........................ 54
Integración .......................................... 56
16. Potencias de la unidad imaginaria.
Cuadrado y cubo de un complejo. .... 58
17. Multiplicación y división. ................... 60
18. Operaciones combinadas. .................. 64
19. Ecuaciones. ......................................... 68
Integración .......................................... 72
Autoevaluación .................................... 74
Capítulo 4: CÓNICAS .................................. 75
20. Circunferencia. .................................... 76
21. Elipse. .............................................. 78
22. Parábola. ............................................ 82
23. Hipérbola. ........................................... 84
Integración .......................................... 88
Autoevaluación .................................... 90
Capítulo 5: FUNCIONES ............................. 91
24. Funciones. ........................................... 92
25. Función inversa. ................................. 96
26. Interpretación y análisis de gráficos. . 98
27. Función lineal. .................................. 100
28. Función cuadrática. .......................... 104
Integración ........................................ 108
29. Ecuaciones cuadráticas. .................... 110
30. Sistemas de ecuaciones lineales. ..... 112
31. Sistemas de ecuaciones mixtos. ....... 116
Integración ........................................ 120
Autoevaluación .................................. 122
¿Para qué sirve?
Capítulo 6: FUNCIONES POLINÓMICAS Y
RACIONALES .................................... 123
32. Función polinómica. ......................... 124
33. Análisis de la función polinómica. ... 126
Integración ........................................ 130
34. Función racional. .............................. 132
35. Representación gráfica de funciones
racionales. ......................................... 134
36. Función homográfica. ......................... 138
Integración ........................................ 142
Autoevaluación .................................. 144
Capítulo 7: FUNCIONES EXPONENCIALES Y
LOGARÍTMICAS ................................. 145
37. Función exponencial. ........................ 146
38. Logaritmos. ....................................... 150
39. Función logarítmica. ......................... 154
Integración ........................................ 158
40. Ecuaciones exponenciales. ............... 160
41. Ecuaciones logarítmicas. .................. 164
Integración ........................................ 168
Autoevaluación .................................. 170
Capítulo 8: TRIGONOMETRÍA .................... 171
42. Sistema de medición de ángulos. ... 172
43. Razones trigonométricas. .................... 174
44. Valores exactos y aproximados. ...... 178
45. Ecuaciones trigonométricas. ............. 180
Integración ........................................ 182
46. Triángulos rectángulos. ....................... 184
47. Teoremas del seno y del coseno. .... 188
48. Triángulos oblicuángulos. ................ 190
Integración ........................................ 194
Autoevaluación .................................. 196
Capítulo 9: ESTADÍSTICA
Y PROBABILIDAD ......................................... 197
49. Estadística. ....................................... 198
50. Intervalos de clase. .......................... 200
51. Parámetros de posición. .................. 202
52. Parámetros de dispersión. ............... 206
Integración ........................................ 210
53. Combinatoria. ................................... 212
54. Permutaciones, variaciones y
combinaciones. ................................. 214
55. Probabilidad. .................................... 218
56. Sucesos y probabilidad condicional. 220
Integración ........................................ 224
Autoevaluación .................................. 226
Control de resultados ............................... 227
Números reales
Contenidos
1. Números reales. Intervalos.
2. Módulo de un número real.
3. Ecuaciones e inecuaciones
con módulo.
4. Radicales.
5. Operaciones con radicales.
6. Operaciones combinadas.
7. Racionalización de
denominadores.
ca
p
ít
u
lo1
1. Lean atentamente y respondan.
a. Los matemáticos ¿podían resolver problemas con números irracionales antes
del siglo XIX?
b. Si se quiere confeccionar un aro de 60 cm de diámetro, ¿se puede utilizar un
número racional cercano a π para calcular la cantidad necesaria de material?
De todos los conceptos matemáticos, hay uno que debería ser el más
sencillo de todos y sin embargo llevó más de veinte siglos entenderlo.
Casi toda la matemática, y con ella la ciencia, se apoya en el número,
principio fundamental de toda medida. Los pueblos más antiguos
emplearon fracciones de enteros y estaban felices con esto; según
cuenta la historia, recién a los pitagóricos les cupo el trago amargo de
encontrarse, cara a cara, con los irracionales, que son aquellos que no
pueden expresarse como cociente de enteros. Pero su definición riguro-
sa no es sencilla: a la antigüedad siguió la Edad Media y luego los
tiempos modernos, en los que Newton y Leibniz desarrollaron el deno-
minado cálculo infinitesimal. Sin embargo, los irracionales seguían sien-
do, en algún sentido, un misterio. Hizo falta esperar al siglo XIX para
encontrar, por fin, una definición apropiada de “número real”.
a. Sí; porque la dificultad era teórica: definir los números reales. Esto no les impedía resol-
ver cálculos. b. Sí, porque hay infinitos racionales tan cerca como se quiera de cualquier
irracional. En este caso conviene usar un número mayor que π para que no falte material.
10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Números reales. Intervalos
INFOACTIVA
Los números reales ( ) están formados por los números racionales e irracionales.
Los números irracionales ( ) son aquellos que no pueden ser expresados como un cociente entre
dos números enteros.
Los números irracionales tienen infinitas cifras decimales no periódicas.
Al escribir su expresión decimal, en todos los casos se está realizando una aproximación.
__
2 ; 3
__
9 y π son númerosirracionales.
__
2 ~ 1,41421356… 3
__
9 ~ 2,08008382… π ~ 3,14159265…
Densidad y continuidad
Entre dos números reales siempre existe otro número real. Se dice entonces que es un conjunto denso.
A cada número real le corresponde un punto en la recta y recíprocamente. Se dice entonces que
es un conjunto continuo.
Intervalos reales
Se denomina intervalo real a toda semirrecta o segmento de la recta real.
Si se utiliza paréntesis, significa que el extremo no pertenece al intervalo (intervalo abierto).
Si se utiliza corchete, significa que el extremo pertenece al intervalo (intervalo cerrado).
Los números mayores que a y menores que b se representan de la siguiente manera:
A: x ∈ ∧ a < x < b = (a;b)
a b
Los números mayores o iguales que a y menores o iguales que b se representan de la siguiente
manera.
B: x ∈ ∧ a ≤ x ≤ b = [a;b]
a b
Los números mayores que a y menores o iguales que b se representan de la siguiente manera:
C: x ∈ ∧ a < x ≤ b = (a;b]
a b
Los números mayores o iguales que a se representan de la siguiente manera:
D: x ∈ ∧ x ≥ a = [a;+ )
a
Expresen de dos maneras distintas la siguiente expresión. Luego, grafiquen.
Los números mayores que –5 y menores o iguales que 3.
A: x ∧ –5 < x ≤ 3 = (–5;3]
–5 3
¿Para qué sirve?
PÁGINA 2
Test de comprensión
1 ACTIVIDADES Números reales. Intervalos
Test de comprensiónTest de comprensión
11
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a.
___
10 y 1,414215 son números reales. ¿Cuál es racional y cuál, irracional?
b. ¿Cuántos números hay entre 1,3 y 1,31?
1. Dados estos números reales, indiquen cuáles son racionales y cuáles, irracionales.
a. 0,215215215... e. –136
b. 4,134441334444…. f. 3
__
7
c. 2 __ 5 π g. π –
1 __ 3 π
d. 4
______
0,0016 h. 1,141414…
2. Completen los cifras de los siguientes números irracionales respetando su ley de formación.
a. 3,1112131415161 … b. –22,1871187711187 …
3. Escriban un número racional k que cumpla las condiciones pedidas en cada caso.
a. 2 < k < 3 c. 2,449 < k <
__
6
b. 3 < k < π d. –
__
8 < k < –
__
7
4. Escriban de dos formas distintas los números que están representados en las rectas, teniendo en
cuenta que a = – 2 __ 3 y b =
__
3 .
a. b.
a b -b a
5. Escriban como intervalo real y grafiquen en la recta numérica.
a. Los números reales mayores que –3 y menores o iguales que π.
b. Los números reales mayores o iguales que 6 __ 7 .
c. Todos los números reales positivos.
a.
___
10 es un número irracional, ya que tiene infinitas cifras decimales no periódicas y 1,414215 es un número racional
porque se puede expresar como fracción. b. Hay infinitos porque los números reales forman un conjunto denso.
Racional Racional
Irracional Irracional
Irracional Irracional
Racional Racional
7 1 8 1 9 2 7 7 1 1 1 1
Por ejemplo 5 __ 2 . Por ejemplo 2,4493.
Por ejemplo 3,12. Por ejemplo –2,5.
A: x ∧ 2 __ 3 ≤ x ≤
__
3 = [ 2 __ 3 ;
__
3 ] B: x ∧
__
3 < x ≤ 2 __ 3 = ( –
__
3 ;– 2 __ 3 ]
(–3; ]
[ 6 __ 7 ;+ )
(0;+ )
12
2 31 4 5 6 7 8 9 10 11
Módulo de un número real
INFOACTIVA
El módulo o valor absoluto de un número real es su distancia al cero sobre la recta real. Para todo
número real x, su módulo se expresa: |x|.
∀ x ∈ : | x | = { x si x ≥ 0 –x si x < 0
–3 0 4
|–3| = 3 |4| = 4
| 4 | = 4 | –3 | = –(–3) = 3
Propiedades del módulo
1. | x | 0 3. | x + y | | x | + | y |
| –5,2 | = –(–5,2) = 5,2 ≥ 0 | –2,1 + 1 | ≤ | –2,1 | + | 1 | ⇒ 1,1 ≤ 3,1
| 1 __ 5 | =
1 __ 5 ≥ 0 | –3,4 + (–2,1) | ≤ | –3,4 | + | –2,1 | ⇒ 5,5 ≤ 5,5
2. | x | = | –x | 4. | x . y | = | x | . | y |
| –3,2 | = –(–3,2) ∧ | –(–3,2) | = 3,2 | –4,7 . 5 | = | –4,7 | . | 5 | ⇒ 23,5 = 23,5
| 2 __ 3 | = 2 __ 3 ∧ | – 2 __ 3 | = – ( – 2 __ 3 ) = 2 __ 3 | –2,5 . (–4) | = | –2,5 | . | –4 | ⇒ 10 = 10
Para entender mejor las propiedades que siguen, se representan los siguientes intervalos reales.
–a 0 a
x < –a –a < x < a x > a
5. |x| > a ∧ a > 0 ⇒ x > a ∨ x < –a ⇒ x ∈ (– ;–a) ∪ (a;+ )
–a 0 a
|x| > a
|x| > 3 ⇒ x > 3 ∨ x < –3 ⇒ x ∈ (–∞;–6) ∪ (6;+∞)
|x| ≥ 1,8 ⇒ x ≥ 1,8 ∨ x ≤ –1,8 ⇒ x ∈ (–∞;–1,8] ∪ [1,8;+∞)
6. |x| < a ∧ a > 0 ⇒ –a < x < a ⇒ x ∈ (–a;a)
–a 0 a
|x| < a
|x| < 7 ⇒ –7 < x < 7 ⇒ x ∈ (–7;7)
|x| ≤ 3 __ 4 ⇒ –
3 __ 4 ≤ x ≤
3 __ 4 ⇒ x ∈ [– 3 __ 4 ; 3 __ 4 ]
Referencias
∀: para todo
⇒: entonces
: si y solo si
∪: unión
∧: y
∨: o
≠: es distinto a
13
Test de comprensión
2 ACTIVIDADES Módulo de un número real
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Es cierto que | a – b | ≤ | a | + | –b | ?
b. ¿Para cuáles valores de x se cumple | –x | = 2?
6. Calculen los siguientes módulos.
a. | 16,14 | = d.
| –3 +
__
11 | =
b. | –
__
5 | = e. Si b < 0,
| –b | =
c. | 1 – (–5) – 12 | = f. Si a > 0, | a – 2a + 1,25a | =
7. Completen con >, < o = según corresponda en cada caso.
a. | – 6 __ 7 | | 6 __ 7 | d. | –4 .
__
9 | | –4 | . | 3 |
b. | 2 +
__
7 | | 2 | + |
__
7 | e. | 3,5 – (–2,4) | | 3,5 | – | –2,4 |
c. | 5 + (–12) | | –5 | + | –12 | f. Si a = 0 y b = 0, | a + b | | a | + | b |
8. Expresen los valores que pueden tomar las variables. Luego, represéntenlos en la recta numérica.
a. | x | = 2
b. | x | = –5
c. | x | + 3 = 10
d. 1 __ 3 . | x | – 6 =
13 ___ 3
e. | x | 1 __ 4
f. | y | > 3
g. | h | <
__
6
h. 2 . | y | –
__
2 0
9. Marquen las opciones correctas.
¿Cuáles son los valores que puede tomar la variable en cada caso?
a. | x | = 4 x –2 x [–2;+ ) x = 4 x [–2;4]
b. | y | –2 y < 1 y [–2;1) y (– ,–1] y (– ,–2]
c. –3 . | h | > –9 x 1 h (–3;1) h (–3;3) – {1} h (1;3)
a. Sí, porque a – b = a + (–b) | a + (–b) | | a | + | –b | . b. x = –2 ∨ x = 2.
16,14 –3 +
__
11
__
5 –b
6 0,25a
= =
= >
< =
x = 2 ∨ x = –2
No tiene solución.
El módulo no puede ser negativo.
x = 7 ∨ x = –7
x = 31 ∨ x = –31
x [ – 1 __ 4 ; 1 __ 4 ]
y (– ;–3] (3;+ )
h (–
__
6 ;
__
6 )
y ( – ;–
__
2 __ 2 ) (
__
2 __ 2 ;+ )
X
X
X
14
3 42 5 6 7 8 9 10 11 12
Ecuaciones e inecuaciones con módulo
INFOACTIVA
Para resolver una ecuación, se debe aplicar la definición de módulo.
| x | = { x si x ≥ 0 –x si x < 0
Resuelvan las siguientes ecuaciones con módulo.
4 . | 2x – 5 | – 8 = x + 1 ← se elimina el módulo aplicando la definición.
Si 2x – 5 ≥ 0 ⇒ 4 . ( 2x – 5 ) – 8 = x + 1 ∨ Si 2x – 5 < 0 ⇒ 4 . ( –2x + 5 ) – 8 = x + 1
Si x ≥ 5 __ 2 ⇒ 8x – 20 – 8 = x + 1 ∨ Si x < 5 __ 2 ⇒ –8x + 20 – 8 = x + 1
Si x ≥ 5 __ 2 ⇒ 7x = 29 ∨ Si x <
5 __ 2 ⇒ –9x = –11
Si x ≥ 5 __ 2 ⇒ x =
29 ___ 7 ∨ Si x <
5 __ 2 ⇒ x =
11 ___ 9
0 1 2 3 4 5
5 __
2
29 ___
7
–2 –1 0 1 2 3 4 5 __
2
11 ___
9
La solución es S: x = 29 ___ 7 ∨ x =
11 ___ 9 .
Una inecuación se resuelve como una ecuación, salvo en el caso en que se divida o multiplique a
ambos miembros por un número negativo, lo que invierte el sentido de la desigualdad.
Resuelvan las siguientes inecuaciones con módulo.
a. | 3x + 5 | < 4 ← se elimina el módulo aplicando la definición.
Si 3x + 5 ≥ 0 ⇒ 3x + 5 < 4 ∨ Si 3x + 5 < 0 ⇒ 3x + 5 > –4
Si x ≥ – 5 __ 3 ⇒ 3x < –1 ∨ Si x < –
5 __ 3 ⇒ 3x > –9
Si x ≥ – 5 __ 3 ⇒ x < – 1 __ 3 ∨ Si x < – 5 __ 3 ⇒ x > –3
[ – 5 __ 3 ;– 1 __ 3 ) ∨ ( –3;– 5 __ 3 )
–2 –1 0– 5 __
3
– 2 __
3
– 4 __
3
– 1 __
3
–4 –3 –2 –1 0 1– 5 __
3
La solución es la unión de los intervalos. S: ( –3;– 5 __ 3 ) ∪ [ – 5 __ 3;– 1 __ 3 ) = ( –3;– 1 __ 3 )
b. | 2x – 7 | + 5 > 3 + x
| 2x – 7 | > –2 + x ← se elimina el módulo aplicando la definición.
Si 2x – 7 ≥ 0 ⇒ 2x – 7 > –2 + x ∨ Si 2x – 7 < 0 ⇒ 2x – 7 < 2 – x
Si x ≥ 7 __ 2 ⇒ x > 5 ∨ Si x <
7 __ 2 ⇒ 3x < 9
Si x ≥ 7 __ 2 ⇒ x > 5 ∨ Si x <
7 __ 2 ⇒ x < 3
( 5;+∞ ) ∨ ( –∞;3 )
1 2 3 4 5 7 __
2
1 2 3 4 5 7 __
2
La solución es la unión de los intervalos. S: ( –∞;3 ) ∪ ( 5;+∞ )
15
Test de comprensión
3 ACTIVIDADES Ecuaciones e inecuaciones con módulo
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. Si | x | = k, ¿qué valores puede tomar k para que la ecuación no tenga solución?
b. Si | x | > k, ¿qué valores puede tomar k para que tenga solución?
10. Resuelvan las siguientes ecuaciones con módulo.
a. | 2 + x | = 5 d. –5 + | 3 – 3x | = –2
b. | 3 – x | = 1 __ 6 e.
2 . | x – 5 |
_________ 7 – 1 = 4
c. | 4 + 2x | = –10 f. 7 . | x – 3
____
125 | = 8 . | x –
___
25 | – 1
11. Hallen los valores de a para que cada ecuación tenga la cantidad de soluciones pedidas.
a. | x – 2a | = a + 2, que tenga solución única.
b. | x – (–5) | = 9a – 2, que tenga dos soluciones distintas.
12. Lean atentamente y escriban V (Verdadero) o F (Falso) según corresponda.
La distancia entre dos puntos (a y b) se expresa: D
(a;b)
= | a – b |
a. Si | x – 4 | = 5 D
(x;–4)
= 5. c. Si
| x + 4 | = 5 D
(x;–4)
= 5.
b. Si | x – 4 | = 5 D
(x;4)
= 5. d. Si | x + 4 | = 5 D
(x;4)
= 5.
13. Planteen la ecuación y resuelvan.
La distancia entre el doble de un número real y el opuesto de 10 es 18.
a. k < 0, porque el módulo de un número no puede ser negativo. b. Siempre tendrá solución, pues si k > 0,
| x | puede ser mayor que ese positivo y si k < 0, para todo x, | x | > k.
x = 3 ∨ x = –7 x = 0 ∨ x = 2
x = 17 ___ 6 ∨ x =
19 ___ 6 x =
45 ___ 2 ∨ x = –
25 ___ 2
No tiene solución, pues | 4 + 2x | 0. x = 4 ∨ x = 6
Para que tenga solución única: a = –2.
Para que haya dos soluciones distintas: a > 2 __ 9 .
F V
V F
La ecuación es | 2x + 10 | = 18 y las soluciones son x = 4 y x = –14.
16
3 ACTIVIDADES Ecuaciones e inecuaciones con módulo
14. Marquen las opciones correctas.
¿Cuáles son las soluciones de la ecuación 1 __ 2 + 3 . | –6 + 5x | =
15 ___ 2 + 3?
a. x = 15 ___ 28 ∨ x =
15 ___ 8 b. x =
28 ___ 15 ∨ x =
8 ___ 15 c. x =
28 ___ 8 ∨ x =
15 ___ 8
15. Resuelvan las ecuaciones y representen la solución en la recta.
a. | 1 – x | = 2x + 1 c. 2 – 3x = –10 + 3 . | 2 – 2x |
b. 4 . | x – 4 | + 4 = 5 – x d. | 3 – 1 __ 2 x | – 4x = | – 1 __ 2 x + 3 | + 4
16. Marquen las opciones correctas.
a. ¿Cuál es el valor de a para que | x – 3 | 2 __ 5 a + 7 tenga como solución a [–6;12]?
a = 5 a = –5 a = –25
b. ¿Cuál es el valor de b para que | 5x – b | > 1 __ 2 b + 2 tenga como solución a ( – ;– 1 __ 5 ) (1;+ )?
b = –2 b = 0 b = 2
c. ¿Cuál es el valor de c para que | x + 1 | c __ 2 + 3 no tenga solución?
c = –6 c < –6 c > –6
17. Escriban las inecuaciones que representan cada situación y resuelvan.
a. Un número está a menos de 5 unidades de distancia con respecto a 2.
b. Un número está a una distancia no menor de 4,5 unidades con respecto a 8.
c. El anterior de un número está a una distancia mayor de 4 unidades con respecto a 0.
X
x = 0 x = –2
No tiene solución. x = –1
X
X
X
| x – 2 | < 5; S: (–3;7).
| x – 8 | 4,5; S: (– ;3,5] [12,5;+ ).
| x – 1 | > 4; S: (– ;–3) (5;+ ).
17
3 ACTIVIDADES Ecuaciones e inecuaciones con módulo
Observen la siguiente resolución | –3z + 6 | 21
y encuentren el error. –3z + 6 21
–3z 15
z –5 x [–5;+ )
menteACTIVA
18. Resuelvan las siguientes inecuaciones. Luego, representen la solución en la recta numérica.
a. | x + 6 | 3 d. | 2 – 2x | > 2
b. | 5 + 2x | < 2 e. 4 – | z + 1 | < 7 + 2z
c. –14 . | 1 __ 7 + x | > –7 f. 1 – 1 __ 2 . (3x + 4) 3 – | 1 + 2x |
19. Escriban una inecuación con módulo que tenga el conjunto solución pedido en cada caso.
a. S: [–2;4] d. S:
b. S: ( 1 __ 2 ; 9 __ 2 ) e. No tienen solución.
c. S: (– ;–6] [4;+ ) f. S: – {4}
S: [–9;–3] S: (– ;0) (2;+ )
S: ( – 7 __ 2 ;– 3 __ 2 ) S: (–2;+ )
S: ( – 9 ___ 14 ; 5 ___ 14 ) S: [ – 10 ___ 7 ;6 ]
| x – 1 | 3 | x + 2 | 0
| x – 5 __ 2 | | x + 2 | 0
| x + 1 | 5 | x – 4 | 0
No se aplicó correctamente la propiedad
del módulo.
| –3z + 6 | 21
[ –3z + 6 0 ⇒ –3z + 6 21 ] ∨ [ –3z + 6 < 0 ⇒ –3z + 6 –21 ]
z [–5;9]
18
INTEGRACIÓN
20. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según
corresponda. Expliquen las respuestas.
a. –5 es un número racional.
b. – 3
____
729 es un número irracional.
c. 1,18 es un número racional.
d.
__
5 es un número real.
e. 2 = 6,283
f. 3 __ 0 es un número racional.
g. Todo número real es irracional.
h. Todo número irracional es real.
i. Existen números reales que son racionales e
irracionales.
j. La suma de dos números irracionales siem-
pre es otro número irracional.
k. Un número decimal periódico es racional.
l. Todo número real tiene su inverso multipli-
cativo.
21. Completen las cifras de los siguientes números
irracionales respetando su ley de formación.
a. –0,3691215 …
b. 78,235711 …
c. 1,24816 …
d. –3,51015202 …
22. Escriban las siguientes expresiones como
intervalos. Luego, grafiquen en una recta.
a. – f. | x – 3 | > 1 __ 2
b. x –1 g. | 2x – 1 | < 4 x 1
c.
0
+ h. | x | > 2 | x | 5
d. – {3 } i. | x – 1 | < 1 | x | > 1
e. | x | 5 j. | x – 3 | 4 | x | 2
23. Escriban las siguientes expresiones de dos
maneras distintas.
a. Los números reales mayores que 4 y meno-
res e iguales que 18.
b. Los números reales mayores que cero y
menores que 21.
c. Los números reales menores que
__
8 .
d. Los números reales menores o iguales que
– 3 __ 4 .
e. Todos los números reales.
24. Escriban como intervalos los números que
están representados en las rectas. Tengan en
cuenta que a = – 2 __ 3 y b =
__
3 .
25. Marquen las opciones correctas.
a. ¿Cuál es la inecuación cuyo conjunto solu-
ción es (–4;4)?
| –x | < 4 – | x | > 4 | x | 4
b. ¿Cuál es la inecuación cuyo conjunto solu-
ción es (– ;–4] [4;+ )?
| x | > 4 – | x | ≤ –4 | x | 4
a b
–a b
a –a
–b a
a.
b.
c.
d.
V
F
V
V
F
F
F
V
F
F
V
F
1 8 2 1 2 4
1 3 1 7 1 9
3 2 6 4 1 2
5 3 0 3 5 4
(– ;0)
[–1;+ )
[0;+ )
d. (– ;3 ) (3 ;+ ); e. [–5;5];
f. ( – ; 5 __ 2 ] [ 7 __ 2 ;+ ) ; g. [ 1; 5 __ 2 ) ; h. [–5;–2) (2;5];
i. (1;2); j. (– ;–2] [2;7]
(4;18]; x > 4 ∧ x ≤ 18
(0;21); x > 0 ∧ x < 21
d. ( – ;– 3 __ 4 ] ; x ≤ – 3 __ 4 .
c. (– ;
__
8 ); x <
__
8 ; e. (– ;+ );
Solución a cargo del alumno.
X
X
19
1*2*3
CONTENIDOS
26. Marquen las opciones correctas.
¿Cuál es la expresión que representa cada inter-
valo?
a. [ –3;– 3 __ 2 ] [ 3 __ 2 ;3 ]
| x | 1,5 | x | 3
| x | 1,5 | x | 3
| x | 1,5 | x | 3
b. [
__
3 ;+ ) – {4}
| y | 4 y 1 | y |
__
3
y 4 y 1 | y |
__
3
y 4 y 1 | y |
__
3
27. Escriban V (Verdadero) o F (Falso).
Expliquen las respuestas.
a. | a | > 0 a > 0
b. | a | = | b | a = b
c. | z | > | w | z > w
d. | –4 + (–6,1) | | –4 | + | –6,1 |
e. | –3 .
__
7 | = 3 .
__
7
28. Resuelvan las siguientes ecuaciones.
a. – 1 __ 7 + 4 . | –x + 9 | =
6 __ 7
b. | x – 2 | + 4,5 = –1,5 . | x – 2 | – 1 __ 2
c. 7x + | 1 – 3x | = 1 – 1 __ 2 x
d. | x – a | – 2a = 2 . | x – a | – 3a a 029. Hallen los valores de w para que la siguiente
ecuación tenga la solución pedida en cada caso.
| x – w | – 2w = 2 . | x – w | – 3w w 0
a. S: x = 0 b. S: x = 0 ∨ x = 6
30. Planteen la ecuación y resuelvan.
a. La distancia entre el triple de un número y
el opuesto de –5 es 7.
b. La diferencia entre 4 y la distancia entre el
doble de un número real y –1 es igual a –10.
31. Resuelvan las siguientes inecuaciones.
a. 6 __ 5 . | 2,5x – 5 | 1 :
5 __ 6
b. 9 – 7 __ 4 . | 3 – x | >
1 __ 4
c. | 5x + 4 | + 10 3 . | 5x + 4 | + 2
d. 2 __ 3 . | x + 4 | –
5 __ 3 . | x + 4 | –5x + 4 . | x + 4 |
e. x 2 –
x + 1 __ 2 _____ 6 > ( x – 1 __ 2 ) . ( x + 1 __ 2 )
32. Planteen la inecuación y resuelvan.
a. El triple de la distancia entre un número real
y 2 es menor que el doble del consecutivo de 4.
b. La quinta parte de la distancia entre un
número real y 1 es mayor o igual a –2.
33. Escriban en lenguaje coloquial las siguientes
expresiones.
a. 4 . | x + 9 | 8
b. 1 + | x + 10 | = 7
c. 4
___
16 – | x – 8 | < – 3
___
27
34. Resuelvan las ecuaciones e inecuaciones del
ejercicio anterior.
35. Marquen las opciones correctas.
a. ¿Cuál es el conjunto solución de la ecuación
2 .
__
3 . | 3 __ 8 + 2x | = 0?
No tiene solución.
Su solución es x = – 3 ___ 16 .
Su solución es x = 3 ___ 16 .
b. Si | x – a | 3a tiene como conjunto solución
a S: ( – 1 __ 8 ; 1 __ 4 ) , ¿cuál es el valor de a? (a > 0)
a = 1 __ 8 a =
1 __ 4 a =
1 ___ 16
c. Si b > 0, ¿cuál es la inecuación que tiene la
siguiente solución?
x < –14b – 5 x > 16b + 5
| x + b | – 5b > 10b + 5
| x – b | – 5b > 10b + 5
| x – b | – 5b > –10b – 5
1
capítulo
X
X
F
F
F
V
V
x = 35 ___ 4 , x =
37 ___ 4
No tiene
x = 0 solución.
x = 2a, x = 0
a. w = 0; b. w = 3
a. | 3x – 5 | = 7 y S: x = 4 ∨ x = – 2 __ 3
b. 4 – | 2x + 1 | = –10 y S: x = –7,5 ∨ x = 6,5
S: [1,6;2,4]
S: (–2;8)
S: [ – 8 __ 5 ;0 ]
d. S:
e. S: (– ;–1)
a. 3 . | x – 2 | < 10; S: ( – 4 __ 3 ; 16 ___ 3 ) ; b. 1 __ 5 . | x – 1 | –2; S:
Solución a cargo del alumno.
a. S = (– ;–11] [–7;+ );
b. S = {–4;–16}; c. S = (– ;3) (13;+ )
X
X
X
20
4 53 6 7 8 9 10 11 12 13
Radicales
INFOACTIVA
Los números radicales son aquellas raíces que no tienen solución racional. Todos ellos son números
irracionales.
__
2 ; 3
__
9 ;
__
3 ; 4
__
4 ; son radicales.
Propiedades de la potenciación
Potencia de exponente cero. a 0 = 1 ⇔ a ≠ 0
Potencia de exponente negativo. a –n = 1 __ a n ⇔ a ≠ 0
Potencia de otra potencia. ( a n ) m = a n . m
Producto de potencias de igual base. a n . a m = a n + m
Cociente de potencias de igual base. a
n
___ a m = a
n – m ⇔ a ≠ 0
Distributividad respecto de la multiplicación. (a . b) n = a n . b n
Distributividad respecto de la división. ( a __ b )
n
= a
n
__ b n ⇔ b ≠ 0
Propiedades de la radicación
La radicación se puede expresar como una potencia de exponente fraccionario: n
__
a = a
1 __ n
__
7 = 7
1 __ 2 3
__
6 = 6
1 __ 3 5
__
x 4 = x
4 __ 5 4
__
1 __ x 3 = x
– 3 __ 4
Las propiedades de la radicación son análogas con las de la potenciación.
Raíz de raíz.
n
___
m
__
a = ( a 1 __ m )
1 __ n = a
1 ____ n.m = m.n
__
a
Distributividad respecto de la multiplicación.
n
_____
a . b = (a . b)
1 __ n = a
1 __ n . b
1 __ n = n
__
a .
n
__
b
Distributividad respecto de la división. n
__
a __ b = (
a __ b )
1 __ n = a
1 __ n ___
b
1 __ n
=
n
__
a
____
n
__
b
Simplificación de índices. n
___
a m = a
m __ n = a
m:r ___ n:r = n:r
___
a m:r ⇔ r ≠ 0
6
___
3 3 =
__
3 12
___
16 = 12
___
2 4 = 3
__
2 15
____
125 = 15
___
5 3 = 5
__
5
Eliminación del radical. n
__
a n = a ⇔ n es impar n
__
a n = |a| ⇔ n es par
___
36 =
___
6 2 = | 6 | = 6 5
___
32 = 5
___
2 5 = | 2 | = 2 3
____
125 = 3
___
5 3 = 5 7
_____
–128 = 7
_____
(–2) 7 = –2
Amplificación de índices. n
___
a m = a
m __ n = a
m.p
____ n.p =
n.p
____
a m.p ⇔ p ≠ 0
__
7 = 2.2
____
7 1.2 = 4
___
7 2 = 4
___
49 3
__
9 = 3.3
____
3 2.3 = 9
___
3 6 = 9
____
729 3
__
x 4 = 3.2
___
x 4.2 = 6
__
x 8
Extracción de factores de un radical
Existen factores, dentro de un radical, que pueden ser extraídos si el exponente de los mismos es
mayor o igual que el índice de la raíz. Para ello deben aplicarse las propiedades de la potenciación y
de la radicación.
3
______
48 x 6 y 4 = 3
_________
2 4 . 3x 6 y y 3 = 3
____________
2 . 2 3 . 3 x 6 y y 3 = 3
___
2 3 . 3
__
x 6 . 3
__
y 3 . 3
_____
2 . 3y = 2 x 2 y . 3
___
6y (x ≥ 0; y ≥ 0)
4
____
32 x
4 _____
81 y 6
= 4
______
2 . 2
4 x 4 _______ 3 4 y 2 y 4 =
4
____
2
4 x 4 ____
3 4 y 4
. 4
__
2 __ y 2 =
2x ___ 3y .
4
__
2 __ y 2 (x ≥ 0; y > 0)
21
Test de comprensión
4 ACTIVIDADES Radicales
1. Respondan y expliquen sus respuestas.
a. ¿Qué propiedad de la radicación se puede aplicar a
5
_______
3
_____
2 . a 6 ?
b. ¿Se puede cancelar el índice de la raíz con el exponente en
_____
(–7) 2 ?
36. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según corresponda.
a. b 4 . b 5 = b 20 e. (a + b – c) 2 = a 2 + b 2 – c 2 i.
___
5 a 3 =
__
5 . a
3 __ 2
b. a 10 : a 4 = a 6 f. (a . b 4 . c –3 ) 5 = a 5 . b 10 . c –5 j.
__
x 2 = x
c. d . d . d . d . d = 5d g.
4
__
a 7 = a
4 __ 7 k.
5
___
6
__
a = 11
__
a
d. (a : b) n = a n : b h.
_____
a – b =
__
a –
__
b l.
__
a 2 = | a |
37. Reduzcan a la mínima expresión posible aplicando las propiedades de la potenciación.
a. ( a 2 . a 9 : a 5 ) 7 = c. ( x –3 . z 4 ) 5 : ( x –2 . z 6 ) –3 =
b. ( y 5 ) –2 : ( y 3 . y 4 ) 3 = d. ( v –3 . w 5 . w 4 ) : ( v 5 . w –2 . 1 __ w ) =
38. Reduzcan a la mínima expresión posible aplicando las propiedades de la radicación.
a.
__
5 2 .
__
x 4 .
__
x 5 .
__
x 3 = c. 5
______
x 4 . y 2 . 10
______
x 6 . y 8 =
b. 6
______
x
15 ___ y 13 . z
18 = d. 4
_______
(x + y) 3 . 12
_______
(x + y) –1 . 3
_______
(x + y) 4 =
39. Resuelvan aplicando propiedades.
a. 5
4
__ 5 2 + 6
–2 –
__
3 .
__
3 + ( 1 __ 4 )
–3
= d.
__
8 .
___
18
_________
__
2 .
____
200
– ( 1 __ 4 )
–3
. 4 2 : ( 1 __ 4 )
–5
=
b. [ 4
___
2 –1 : 2 –2 ]
4 __ 7 – 5
1 __ 2 .
__
5 = e.
4
_______
625 . 3 4 . (–1) 17 . (–2) 5 =
c.
______
_____
256 _____ 2 401 – 4
–2 . 2
2 __ 4 3 . 4
6 – ( 1 __ 2 )
–3
= f.
6
__
9 5 .
3
__
3 8 . 5 2 : ( 2 . 12
_______
3 4 . 5 24 ) =
a. Se puede aplicar producto de índices de radicales y propiedad distributiva de la radicación con respecto
al producto.
15
___
2 a 6 =
15
__
2 .
15
__
a 6 .
b. No se puede cancelar la raíz con el exponente por tener basenegativa.
_____
(–7) 2 =
___
49 = 7.
F F V
V F F
F V F
F F V
a 42 x –21 . z 38
y –31 v –8 . w 12
5 x 6 x
7 __ 5 . y
6 __ 5
x
5 __ 2 . y –
13 ___ 6 . z 3 (x + y) 2
3 097 _____ 36 –0,4
7 480
– 164 ____ 7
81 ___ 2
22
5 64 7 8 9 10 11 12 13 14
Operaciones con radicales
INFOACTIVA
Radicales semejantes
Dos radicales son semejantes cuando tienen igual índice y el mismo radicando.
Términos con radicales semejantes. Términos con radicales no semejantes.
2 . 3
__
5 y 5 . 3
__
5 7 .
__
8 y –
__
8 2 .
__
5 y 2 . 3
__
5 8 .
__
7 y 7 .
__
8
Adición y sustracción de radicales
Solo es posible sumar o restar términos que contienen radicales semejantes.
4 .
__
3 + 2 .
__
3 –
__
3 =
__
3 . (4 + 2 – 1) = 5 .
__
3
3 . 3
__
2 – 4 .
__
2 + 3
__
2 + 6 .
__
2 = 3
__
2 . (3 + 1) +
__
2 . (–4 + 6) = 4 . 3
__
2 + 2 .
__
2
Existen casos en los cuales ciertos radicales son semejantes luego de llevarlos a su mínima expresión.
–4 .
__
3 + 5 . 8
___
81 – 3 .
___
12 +
___
27 = –4 .
__
3 + 5 . 8
___
3 4 – 3 .
_____
2 2 . 3 +
___
3 3
= –4 .
__
3 + 5 .
__
3 – 3 .
___
2 2 .
__
3 +
___
3 2 .
__
3
= –4 .
__
3 + 5 .
__
3 – 3 . 2 .
__
3 + 3 .
__
3
=
__
3 . (–4 + 5 – 6 + 3) = –2 .
__
3
Multiplicación y división de radicales
Para efectuar cualquier multiplicación o división de radicales, estos deben tener el mismo índice.
La operatoria con radicales cumple con las siguientes propiedades.
Propiedad distributiva de la multiplicación y de la división respecto de la suma y de la resta.
a . (b ± c) = (b ± c) . a = ab ± ac (b ± c) : a = b : a ± c : a
__
3 . (
__
3 +
___
27 ) =
__
3 .
__
3 +
__
3 .
___
27 (
___
18 –
__
8 ) :
__
2 =
___
18 :
__
2 –
__
8 :
__
2
=
__
9 +
___
81 = 3 + 9 = 12 =
__
9 –
__
4 = 3 – 2 = 1
Cuadrado de un binomio y diferencia de cuadrados.
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 (a + b) . (a – b) = a2 – b2
(
__
2 –
__
3 ) 2 = (
__
2 ) 2 – 2 .
__
2 .
__
3 + (
__
3 ) 2 (
__
7 +
__
5 ) . (
__
7 –
__
5 ) = (
__
7 ) 2 – (
__
5 ) 2
= 2 – 2 .
__
6 + 3 = 5 – 2 .
__
6 = 7 – 5 = 2
Multiplicación y división de radicales de distinto índice
Para que los índices de dos o más radicales sean iguales, se debe calcular el mcm de los índices
de los radicales dados, obteniéndose así el mínimo común índice.
3
__
a 2 y 6
__
x ← mcm(3;6) = 6; ambos radicales deben tener índice 6.
3
__
a 2 = 3.2
___
a 2.2 = 6
__
a 4 y 6
__
x
Para multiplicar o dividir radicales de distinto índice, se los debe reducir a mínimo común índice y
luego aplicar las propiedades recíprocas de las distributivas de la radicación respecto de la multipli-
cación y división.
n
__
a .
n
__
b . n
__
c ...
n
__
d =
n
___________
a . b . c ... d ∧
n
__
a
___
n
__
b
= n
__
a __ b ⇔ b ≠ 0
__
3 . 3
__
3 = 2.3
____
3 1.3 . 3.2
____
3 1.2 = 6
___
3 3 . 6
___
3 2 = 6
______
3 3 . 3 2 = 6
___
3 5
6
___
3 5 ____
4
___
3 3
=
6.2
____
3 5.2 ______
4.3
____
3 3.3
= 12
___
3
10 ___
3 9
= 12
__
3
23
Test de comprensión
5 ACTIVIDADES Operaciones con radicales
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. Los términos 2 .
__
v y –5 . 3
__
v ¿son semejantes? ¿Y
__
2 y
__
8 ?
b. ¿Qué propiedades de radicación se aplicaron en
7
__
a 2 .
7
__
b 3 .
7
__
c 4 =
7
______
a 2 b 3 c 4 ? ¿Y en
__
x . 3
__
x . 5
__
x =
30
___
x 31 ?
40. Sumen y resten los términos con radicales semejantes.
a. 8 .
__
2 – 2 .
__
2 + 3 __ 4 .
__
2 =
b. –3 .
__
3 + 4 .
__
5 – 1 __ 2 .
__
3 + 12 .
__
5 =
c. 0,5 .
___
12 + 4 .
___
75 – 0,3 .
____
108 =
d.
___
16x –
____
25x + 3 __ 2 .
____
36x –
___
81z =
e.
3
__
b 4 + 2b .
6
__
b 2 – 1 __ 4 b .
9
__
b 3 =
f. 2 __ 5 .
4
__
c 5 + 3 __ 2 .
4
__
c 9 – 1 __ 7 .
4
___
c 13 =
41. Resuelvan aplicando la propiedad distributiva o diferencia de cuadrado según corresponda.
a. –3 .
__
3 . (
__
5 + 4 .
__
11 ) = d.
__
3 . ( –
___
24 +
__
6 ) +
___
98 =
b. ( 2 .
__
2 + 5 .
__
5 ) . ( 3 .
__
5 +
__
2 ) = e. (
_____
100 a 7 +
_____
36 b 5 ) . ( 10 a 3 .
__
a – 6 b 2 .
__
b ) =
c. (
__
6 –
__
7 ) . (
__
6 +
__
7 ) = f. 5
_____
32 x 10 . 5
___
xy . 5
_____
x 4 . y 4 . (x – y) =
42. Resuelvan aplicando el cuadrado del binomio.
a. ( –2 .
__
3 + 3 .
__
2 ) 2 = c. 2 .
__
3 . (
__
3 +
__
2 ) 2 =
b. (
__
a 7 – 4 .
____
9 a 11 ) 2 = d. ( 5 .
__
5 – 8 .
___
20 ) 2 – 4
___
25 2 =
a. No son semejantes, pues en uno la raíz es cuadrada y en el otro, cúbica.
__
2 y
__
8 son semejantes, ya
que
__
8 = 2 .
__
2 que es semejante a
__
2 . b. Propiedad recíproca de la distributiva de la radicación del mismo
índice con respecto al producto. Propiedad de reducción a común índice de radicales distintos en el producto.
27 ___ 4 .
__
2
– 7 __ 2 .
__
3 + 16 .
__
5
19 .
__
3
13 .
__
x – 4 .
__
z
11 __ 4 b .
3
__
b
( 2 __ 5 c + 3 __ 2 c 2 – 1 __ 7 c 3 ) . 4
__
c
–3 .
___
15 – 12 .
___
33 4 .
__
2
11 .
___
10 + 79 100 a 7 – 36 b 5
–1 2 x 4 . y – 2 x 3 . y 2
30 – 12 .
__
6 10 .
__
3 + 12 .
__
2
a 7 – 24 a 9 + 144 a 11 600
24
5 ACTIVIDADES Operaciones con radicales
43. Reduzcan a común índice los siguientes radicales.
a.
4
__
a 3 y
3
__
a 4 d.
3
__
d ;
7
__
d y
21
__
d
b.
35
__
b 2 y
14
__
b 3 e.
5
__
e 2 ;
60
___
e 18 y
60
___
e 70
c.
52
__
c 7 y
65
__
c 4 f.
91
__
f 11 ;
77
__
f 13 y
143
__
f 7
44. Resuelvan.
a.
________
__
2 .
__
2 3 = c. 6
__
5 2 .
3
________
__
2 6 .
4
__
5 8 =
b.
3
__
3 4 : ( 8
__
3 5 . 12
__
3 7 ) = d. 3
___
18 . 12
__
9 4 :
9
__
3 6 =
45. Escriban V (Verdadero) o F (Falso). Expliquen las respuestas donde escribieron F.
a. 3
__
a . 6
__
a . 9
__
a =
18
___
a 36 d. 3
___
xy .
4
__
x 2 .
__
y 5 = y 10 . 12
______
x 10 . y 2
b.
4
__
x 3 ____
3
__
b4
=
12
__
x 9 _______
b . 12
__
b 4
e.
3
__
xy
___ 2 .
3
_____
x 2 . y
_____ 100 .
3
_____
x 2 . y
_____ 5 =
xy . 3
_____
x 2 . y
__________ 10
c.
___
a y 3
_____
3
___
a y 4
= 6
___
ay f.___________
3
__________
x 2 – 4x + 4
_____________
6
_______
(x – 2) 2
= 6
_____
x – 2
12
__
a 9 y
12
___
a 16 21
__
d 7 ;
21
__
d 3 y
21
__
d
70
___
b 4 y
70
___
b 15 60
___
e 24 y
60
___
e 18 y
60
___
e 70
260
___
c 35 y
260
__
c 16
1 001
___
f 121 ;
1 001
___
f 169 ;
1 001
___
f 49 .
2 10
8
__
3 3
___
18
F
18
___
a 11
V
V
F
y 2 . 12
_______
x 10 . y 10
F
xy .
3
___
x 2
_______ 10
F 1
25
5 ACTIVIDADES Operaciones con radicales
46. Resuelvan los siguientes cálculos hasta encontrar su mínima expresión.
a.
3
___
9a
______
4
____
27 a 2
= d.
5
___
m 2 .
2
___
m 5 : m
_____________
4
___
m 3 .
__
m
=
b.
__
v .
3
__
v 2
________
4
__
v 3
= e.
8
__
t 3 .
3
__
u 5 : u
___________
48
__
t 10 .
6
___
t u 2
=
c.
___
4x . 3
__
x 2 . 6
___
2 x 3
______________
3
____
27 x 2
= f.
7
____
b 3 d 11 .
3
__
d 5
___________
3
____
b 2 d .
7
____
b 3 d 8
=
47. Marquen las opciones correctas.
a. ¿Cuál es la expresión simplificada de ( 4
__
x 5 –
8
__
x 5 ) . ( 4
__
x 5 +
8
__
x 5 ) ?
x 2 .
__
x – x . 4
__
x x .
__
x – x 2 . 4
__
x x .
__
x + x . 4
__
x
b. ¿Cuál es la expresión simplificada de
4x + 9y – 12 .
___
xy
___________________
(a – b) . (
___
4x –
___
9y ) 2
?
1 _____ a + b a – b
1 _____ a – b
c. ¿Cuál es la expresión simplificada de
5
__________
a 2 . b 10 . c 12 .
4
__________
a 2 . b 10 . c 12 .
10
__________
a 2 . b 10 . c 12 ?
a b 10 c 12 .
20
_________
a 2 . b 5 . c 6 a b 5 c 6 .
20
__________
a 2 . b 10 . c 12 a b 5 c .
20
__________
a 2 . b 10 . c 12
d. ¿Cuál es la expresión simplificada de 1 __ 2 .
_____________
2 __ 3 . x
2 . v . w 3 . ( – 3
___
4 __ 9 v ) ?
– xw ___ 3 .
6
______
2 __ 3 v
5 w 3 xw ___ 3 .
6
_________
– 2 __ 3 x
2 v 3 w 3 xw ___ 3 .
6
________
2 __ 3 x
2 v 3 w 3
e. ¿Cuál es la expresión simplificada de a .
__
a +
_________
a
2 – b 2 . a 2
__________ 1 – b 2 –
__
a 3 ; con a > 0 y b 1?
__
a a .
__
a a
12
_______
3 –1 . a –2
12
__
v 5
2 __ 3 x .
6
__
2
20
___
m 13
3
__
u
21
___
d 37 _____
3
__
b 2
X
X
X
X
X
26
6 75 8 9 10 11 12 13 14 15
Operaciones combinadas
INFOACTIVA
Para resolver un cálculo combinando con radicales, se deben seguir estos pasos teniendo en cuen-
ta la jerarquía de las operaciones y sus propiedades.
1. Se separa en términos.
2. Se escriben los radicales en su mínima expresión.
3. Se resuelven las potencias.
4. Se resuelven las multiplicaciones y divisiones. Si es necesario, se obtiene el mínimo común índice
de los radicales para resolver.
5. Cuando sea posible, se reducen a su mínima expresión los radicales obtenidos en el paso anterior.
6. Se resuelven las sumas y restas entre los radicales semejantes.
Resuelvan los siguientes cálculos combinados.
a.
__
3 .
__
3 .
___
27 + (4 .
__
6 – 3 .
___
10 ) .
__
2 =
____
243 + 4 .
___
12 – 3 .
___
20 =
___
3 5 + 4 .
_____
2 2 . 3 – 3 .
_____
2 2 . 5 =
___
3 4 .
__
3 + 4 .
___
2 2 .
__
3 – 3 .
___
2 2 .
__
5 =
3 2 .
__
3 + 4 . 2 .
__
3 – 3 . 2 .
__
5 =
9 .
__
3 + 8 .
__
3 – 6 .
__
5 = 17 .
__
3 – 6 .
__
5
b.
__
5 . 3
___
__
6 : 6
___
10 – 6
___
51 : 6
___
17 =
2.3
____
5 1.3 .
3.2
____
6 1 __ 2 . 2 : 6
___
10 – 6
_______
51 : 17 =
6
____
125 . 6
__
6 : 6
___
10 – 6
__
3 =
6
___________
125 . 6 : 10 – 6
__
3 =
6
___
75 – 6
__
3 =
6
______
25 . 3 – 6
__
3 =
6
___
25 . 6
__
3 – 6
__
3 = ( 6
___
25 – 1 ) . 6
__
3
Hallen la mínima expresión posible.
__
5 . 5
__
5 ______
4
___
25
– 2 .
__
2 .
__
8 .
__
3 __ 8 + (
__
3 –
__
8 ) 2 =
2.10
____
5 1.10 . 5.4
____
5 1.4 _____________
4.5
____
5 2.5
– 2 .
_______
2 . 8 . 3 __ 8 + (
__
3 ) 2 – 2 .
__
3 .
__
8 + (
__
8 ) 2 =
20
___
5 10 . 20
___
5 4 __________
20
___
5 10
– 2 .
__
6 + 3 – 2 .
___
24 + 8 =
20
_______
5
10 . 5 4 _______
5 10
– 2 .
__
6 + 11 – 2 .
_____
2 2 . 6 =
20
___
5 4 – 2 .
__
6 + 11 – 2 .
___
2 2 .
__
6 =
5
__
5 – 2 .
__
6 + 11 – 4 .
__
6 = 5
__
5 – 6 .
__
6 + 11
27
Test de comprensión
6 ACTIVIDADES Operaciones combinadas
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Es correcta la resolución del siguiente cálculo?
9 .
__
3 – 6 .
__
3 .
__
2 + 2 .
___
54 = 9 .
__
3 – 6 .
__
6 + 2 . 3 .
__
6 = 9 .
__
3
b. ¿En qué orden se deben resolver las operaciones del siguiente cálculo? 3
__
4 + 3
__
4 . 5
__
4 : 15
__
4
48. Resuelvan.
a.
__
2 .
__
6 .
__
3 – 3
____
–27 . 3
__
3 = d. 1 +
4
____
405
_________
__
2 2
.
4
______
5 . 81 –1 =
b. (
__
6 +
__
5 ) 2 + (
__
6 –
__
5 ) 2 = e. ( 4
__
4 ___ 81 –
__
2 + 5 .
____
0,02 ) . (
__
2 + 1 ) 2 =
c. ( 3
____
500 – 3
__
4 + 3
____
108 ) . ( 3
____
256 – 3
____
500 ) = f. ( 0,3 . 4
_____
(–2) 4 +
3
_______
5 –
__
4 ) . ( 3
__
3 + 3
___
24 + 3
___
81 ) 3 =
49. Hallen la mínima expresión posible.
a. ( 3
__
b 4 + 2b .
6
__
b 2 – 1 __ 3 .
9
__
b 3 ) . 3
_____
27 ______ 512 b 16 = c. (
______
9x + 9 –
______
4x + 4 ) : [ –3 . (x + 1) 1 __ 2 ] =
b. ( __ y –
__
y 3
___ y +
__
y 5
___ y 2 ) . (
____
25y –
____
49y ) = d.
_____________
x 3 + 10 x 2 + 25x
_______________
_____
5 + x
–
_______
x 2 + 5x =
a. Sí, es correcto. b. Primero se debe resolver la multiplicación y la división de radicales, y luego, si se
obtienen términos semejantes, se resuelve la suma.
6 + 3 . 3
__
3 ( 4
__
5 + 3 .
__
5 ) : 6
22 – 1 __ 2 .
__
2 – 2 __ 3
–7 . ( 3
__
4 ) 2 1 944 _____ 5 + 648 .
__
3
1 __ b 4 –
1 __ 3
–2y 028
7 86 9 10 11 12 13 14 15 16
Racionalización de denominadores
INFOACTIVA
Racionalizar el denominador de una fracción es transformarlo en un número racional; por lo tanto,
siempre que en el mismo aparezcan radicales irracionales, se debe hallar una fracción equivalente a la
dada con denominador racional.
Primer caso: en el denominador hay un único radical.
1 ___
__
3
2 ___
4
__
3
1 ___
__
3
= 1 ___
__
3
.
__
3 ___
__
3
=
__
3 ______
(
__
3 ) 2
=
__
3 ___ 3
2 ___
4
__
3
= 2 ___
4
__
3
.
4
___
3 3 ____
4
___
3 3
= 2 .
4
___
3 3 ______
4
_____
3 . 3 3
= 2 .
4
___
27 ______
4
___
3 4
= 2 .
4
___
27 _______ 3
Si en el cálculo aparecen letras, se procede de la misma forma.
7 _____
5
____
x 2 y 4
(x ≠ 0; y ≠ 0)
7 _____
5
____
x 2 y 4
= 7 _____
5
____
x 2 y 4
.
5
___
x 3 y
_____
5
___
x 3 y
= 7 .
5
___
x 3 y
________
5
______
x 2 y 4 x 3 y
= 7 .
5
___
x 3 y
_______
5
____
x 5 y 5
= 7 .
5
___
x 3 y
_______ xy
Segundo caso: el denominador es una suma o resta de uno o dos radicales de índice 2.
Para racionalizar este tipo de expresiones, se debe aplicar el producto de una suma de dos términos
por su diferencia: ( a + b ) . ( a – b ) = a 2 – b 2
Racionalicen y hallen la mínima expresión.
a. 15 ________
__
7 –
__
2
15 ________
__
7 –
__
2 =
15 ________
__
7 –
__
2 .
__
7 +
__
2 ________
__
7 +
__
2
= 15 . (
__
7 +
__
2 ) ___________________
(
__
7 –
__
2 ) . (
__
7 +
__
2 )
= 15 .
__
7 + 15 .
__
2 _______________
(
__
7 ) 2 – (
__
2 ) 2
= 15 .
__
7 + 15 .
__
2 _______________ 7 – 2 =
= 15 .
__
7 + 15 .
__
2 _______________ 5 = 3 .
__
7 + 3 .
__
2
b.
__
3 + 2 _______
5 –
__
5
__
3 + 2 _______
5 –
__
5
=
__
3 + 2 _______
5 –
__
5
. 5 +
__
5 ______
5 +
__
5
= (
__
3 + 2 ) . ( 5 +
__
5 ) ________________
( 5 –
__
5 ) . ( 5 +
__
5 )
= 5 .
__
3 +
__
3 .
__
5 + 2 . 5 + 2 .
__
5 ___________________________
5 2 – (
__
5 ) 2
=
= 5 .
__
3 +
___
15 + 10 + 2 .
__
5 _______________________ 25 – 5 =
5 .
__
3 +
___
15 + 10 + 2 .
__
5 _______________________ 20 =
__
3 ___ 4 +
___
15 ____ 20 +
1 __ 2 +
__
5 ___ 10
Si en el cálculo aparecen letras, se procede de la misma forma.
Racionalicen y hallen la mínima expresión. (x > 0; y > 0)
2 _______
__
x +
__
y
2 _______
__
x +
__
y =
2 _______
__
x +
__
y .
__ x – __ y
_______
__
x –
__
y =
2 . (
__
x –
__
y ) _________________ (
__
x +
__
y ) . (
__
x –
__
y )
= 2.
__
x – 2 .
__
y
____________ (
__
x ) 2 – (
__
y ) 2
= 2.
__
x – 2 .
__
y
___________ x – y
29
Test de comprensión
7 ACTIVIDADES Racionalización de denominadores
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Cómo se racionaliza 3 ____
__
π ?
b. ¿Por cuánto hay que multiplicar la siguiente expresión para racionalizarla? 2 ______ 1 +
__
a
50. Racionalicen los cálculos que tienen un solo radical en el denominador y hallen la mínima expresión.
a. 2 ____
__
11
= d. 9z ____
8
___
z 11
=
b. 4 ______
3 .
__
3
= e. –5 .
____
v 4 w 3
__________
______
32 v 3 w
=
c. 5 ____
5
__
5 3
= f. 5abc ________
4
______
a 11 b 2 c
=
51. Racionalicen los cálculos que tienen una suma o resta con radicales en el denominador y hallen
la mínima expresión.
a. 3 _______
2 +
__
7
= c.
_____
5 – x __________
1 –
_____
5 + x
=
b. 3x ________
__
2 +
__
5
= d.
9x – 4y
___________
____
36x +
____
16y
=
52. Hallen la mínima expresión de los siguientes cálculos.
a.
______
__
2 + 1 ________
______
__
2 – 1
= b.
3y . 3
__
a
_______
3
__
y 2
+ 3
___
ay =
a. No se puede racionalizar porque π es un número irracional; b. Por 1 –
__
a ______ 1 –
__
a .
2 __ 11 .
__
11 9 .
8
__
z 5 _______ z
4 __ 9 .
__
3 – 5 __ 8 .
_____
2v w 2
5
__
5 2 5 .
4
_____
a b 2 c 3 _________ a 2
__
7 – 2
_____
5 – x +
_______
25 – x 2 ________________ –4 – x
x .
__
5 – x .
__
2 3 __ 2 .
__
x –
__
y
_________
3 + 2 .
__
2 4 . 3
___
ay
30
INTEGRACIÓN
53. Escriban V (Verdadero) o F (Falso).
Expliquen las respuestas donde escribieron F.
a. ( 2 3 . 2 4 : 2 –3 ) = 2 2
b. [ (4 3 ) –2 ] –3 = 4 18
c. 4
5 __ 3 =
5
__
4 3
d.
_____
8 . 3 =
__
8 .
__
3
e.
______
9 + 16 =
__
9 +
___
16
f. 4
______
25 : 8 = 4
___
25 : 4
__
8
g. 8
_____
(–2) 8 = –2
h.
4
___
6
__
3 = 10
__
3
i.
__
5 = 6
____
125
54. Resuelvan. Expresen el resultado utilizando
exponentes fraccionarios.
a. 4
__
3 .
5
__
3 3 .
7
__
3 5 :
__
3 =
b. 8 .
3
__
2 .
5
__
8
__________
9
____
256
=
55. Resuelvan. Expresen el resultado utilizando
radicales.
a. ( x
2 __ 5 )
1 __ 2 : ( x –
1 __ 3 )
6 __ 5 =
b. ( 5
__
a 8 )
1 __ 3 : ( a
2 __ 3 )
1 __ 2 =
c. e 3 . ( e
1 __ 5 )
2
. e
3 __ 5 . e –
4 __ 5 : ( 1 __ e )
– 1 __ 2 =
d. z
3 . z
1 __ 3 . z
3 __ 5
________
z
8 __ 9
=
56. Resuelvan.
a. 6
2 . 6 3
______ 6 4 + 2
–2 – 3
__
2 . 3 + ( 1 __ 4 )
–2
=
b.
5
___
2 –1 :
5
___
16 .
15
____
( 1 __ 8 )
3
– 4
1 __ 3 . 5
__
4 =
c. ( 3
1 __ 2 +
___
27 +
____
243 ) . 3 . 3
1 __ 4 . ( 1 __ 3 )
– 1 __ 4 =
d. (
___
72 –
__
8 __ 9 +
____
200 ) . 1 ___ 25 .
___
72 =
57. Resuelvan aplicando propiedades de la
potenciación y de la radicación.
a. (
____
___
__
v ) 8 . 4
__
v 3 .
7
__
v 4 =
b.
___
4a .
___
9a
__________
__
a .
_____
100a
+ ( 1 __ a )
–3
. a 2 : ( 1 __ a )
–5
=
c.
_____
b .
5
__
b .
5
_______
b 3 .
__
b – b .
10
__
b 3 =
d. [ a 3 . ( 5
__
a ) 2 . ( 5
__
a ) 3 . ( 5
__
a ) –4 ] :
__
a =
58. Resuelvan los siguientes cálculos.
a. –5 .
__
2 – 12 .
__
2 + 2 __ 3 .
__
2 =
b. 5 .
__
7 – 8 .
__
8 + 1 __ 3 .
__
7 – 17 .
__
8 =
c. –0,25 .
____
320 – 9 .
__
5 + 0,2 .
____
405 =
d. –4 .
__
6 . (2
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