Aritmetica - Principios basicos

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ARITMETICACONJUNTOS 
 
 NOCIÓN 
Entenderemos como conjunto a la 
reunión, agrupación, agregado, 
clase, colección o familia de 
integrantes homogéneos o 
heterogéneos con posibilidades 
reales o abstractas, que reciben el 
nombre de elemento del conjunto. 
 
 DETERMINACIÓN DE UN 
CONJUNTO 
 
A. Extensión o forma tabular 
Se enuncia todos los elementos 
válidos para conjuntos con 
escasa cantidad de elementos o 
para aquellos que siendo 
excesivamente numerosos (o 
hasta infinitos) poseen una 
cierta ley de formación la cual 
resulta evidente. 
 
B. Comprensión o forma 
constructiva 
Se enuncia a sus elementos por 
medio de una propiedad o 
cualidad común a ellos y que le 
es valida únicamente a estos. 
 
Ejemplos: 
 
A. Determinar el conjunto de 
las cinco vocales 
B. Determinar el conjunto de 
los números impares (+) 
menores que 16. 
 
Por extensión: 
 A = {a, e, i, o, u} 
B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por comprensión: 
 A = {x/x es una vocal} 
 B = {x/x es un número 
impar < 16} 
 
 RELACIÓN DE PERTENENCIA 
Un elemento pertenece () a un 
conjunto si forma parte o es 
agregado de dicho conjunto. Un 
elemento no pertenece () a un 
conjunto si no cumple con la 
condición anotada. 
La relación de pertenencia vincula 
cada elemento con el conjunto, más 
no vincula elementos o conjuntos 
entre sí. 
 
Ejm: 
 P = {a, b, c, … , x, y, z} 
 
 b  P   P 
 m  P 1  P 
5  P 
 
 RELACIÓN DE INCLUSIÓN 
Se dice que A esta incluido en el 
conjunto B cuando todo elemento “A” 
pertenece a “B” la inclusión se 
simboliza por: 
 
A  B  x  A → x  B 
 
También puede decirse que A es 
parte de, es contenido en, es 
subconjunto de conjunto B. Se 
puede denotar también por B  A 
 
CONJUNTOS I 
 
 
 
2 
ARITMETICA 
 
que se lee “A” incluye, contiene o es 
superconjunto del conjunto A. 
 
Ejm: 
 M = {Tener} 
 N = {Perros} 
 P = {Mamíferos} 
 
Entonces: M  N  P → N  P 
 
 
 CLASES 
 
 CONJUNTO NULO O VACÍO 
 
Un conjunto que no posee elementos se 
denomina conjunto vacío, también se le 
llama conjunto nulo. 
Se le denota comúnmente por:  ó { }. 
Convencionalmente el conjunto vacío es 
un subconjunto de cualquier otro 
conjunto. 
 
 CONJUNTO UNITARIO 
 
Es el conjunto que consta de un solo 
elemento, al conjunto unitario también se 
le llama SINGLETON. 
 
 CONJUNTO UNIVERSAL 
 
Es un conjunto de referencia para el 
marco de una situación particular, es 
posible elegirlo de acuerdo a lo que se 
trata. 
 
 CONJUNTO DISJUNTOS 
 
Dos conjuntos son disjuntos cuando no 
tienen elementos comunes, también se 
les llama conjuntos excluyentes. 
 
 CONJUNTO POTENCIA 
 
Se llama así al que está formado por 
todos los subconjuntos de un conjunto 
dado. Dado un conjunto “A” cuyo número 
de elementos (cardinal) es n(A), el 
cardinal de su conjunto potencia P(A) 
será aquella potencia de 2 cuyo 
exponente es n(A) 
n[P(A)] = 2n(A) 
 
 
 
 
 
 SUBCONJUNTO PROPIO 
 
Es aquel que siendo subconjunto de un 
conjunto dado no es igual a este. Para un 
conjunto a de cardinal n(A) tenemos: 
# de subconjuntos propios de A = 2n(A) - 1 
 
PRÁCTICA DE CLASE 
 
1. Colocar el valor de verdad a cada 
proposición si: A = {8; 3; {2}; {1, 3}} 
 
 3  A ( )  8  A ( ) 
 2  A ( )  3  {1, 3} ( ) 
 {3}  A ( )  4  A ( ) 
 
2. Señalar verdadero o falso: 
 
I.  = 0 ( ) 
II. 2  {3, 4, 2} ( ) 
III. {5, 6}  {3, 4} ( ) 
IV. {1, 3}  {1, 3, 2} ( ) 
V. {2}  {{2}, 3} ( ) 
 
3. Colocar el valor de verdad a cada 
proposición si: A = {2; 3; {1}; {2, 1}} 
 
1)   A 
2) 3  A 
3) 1  A 
4) {1}  A 
5) {3}  A 
6)   A 
 
a) FVFVVV b) FFVVFF 
c) FFFVVV d) FVFVFV 
e) VVFVFV 
 
4. Calcular la suma de los elementos de: 
 
A = {x/x  N; 10 < 3x + 2 < 18} 
 
a) 10 b) 12 c) 15 
d) 18 e) 23 
 
5. Determine por extensión el siguiente 
conjunto: T = {x/x = 
x12
x3
+
; x  N} 
 
a) {3} b) {3, 4} c) {0, 3} 
d) {0, 3, 4} e) {0, 4} 
 
 
6. El conjunto potencia de A tiene 512 
subconjuntos. ¿Cuánto es el n(A)? 
 
 
3 
ARITMETICA 
 
a) 4 b) 2 c) 3 
d) 8 e) N.A 
 
7. ¿Cuántos subconjuntos tiene: 
 
A = {x2/x  Z; -9 < 2x – 1 < 11} 
 
a) 10 b) 12 c) 15 
d) 18 e) 23 
 
8. ¿Cuántos subconjuntos propios tiene: 
 
A = {x/x  Z; -7 < 4x + 1 < 21} 
 
a) 64 b) 63 c) 16 
d) 15 e) 31 
 
9. Si n(A) = 2. ¿Cuántos subconjuntos propios 
tendrá P(A)? 
 
a) 3 b) 7 c) 8 
d) 31 e) 15 
 
10. Sabiendo que el conjunto: 
 
A = {a + b; a + 2b – 2; 10} 
 
Es un conjunto unitario, calcular el valor de: 
a2 + b2 
 
a) 16 b) 80 c) 68 
d) 58 e) 52 
 
11. Hallar a2 + b2, si los conjuntos son iguales: 
 
A = {a3 + 2; 20} ; B = {29; b5 – 4a} 
 
a) 10 b) 12 c) 13 
d) 18 e) 20 
 
12. ¿Cuántos de los siguientes conjuntos son 
vacíos? 
A = {x  N/ x + 1 = 0} 
B = {x  Z/ 3x + 1 = 0} 
C = {x  Q/ x2 – 7 = 0} 
D = {x  R/ x4 + 4 = 0} 
 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) F.D e) Todos 
 
13. Dados los conjuntos: 
 
A = {( x – 3)  Z/ 16  x2  625} 
B = {(2y – 1)  Z/ 2  2y3 −  7} 
 
Hallar: n(A) + n(B) 
 
a) 12 b) 14 c) 17 
d) 23 e) N.A 
 
 
14. Dado el conjunto: A = {3; {8}; {5; 7}; {3}} 
Si P(A) representa el conjunto potencia de “A” 
¿Cuántas proposiciones son falsas? 
1) {8}  P(A) 4)   P(A) 
2) {{5; 7}}  P(A) 5) { }  P(A) 
3) n[P(A)] = 32 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5 
 
Admisión Ciencias UNT 1998 
15. Sea el conjunto x = 2; 3, entonces de las 
siguientes afirmaciones: 
1)   P (x) 2)   x 
3) 2; 3  P(x) 4) 2; 3  
P(x) 
5) x  P(x) 
Son ciertas: 
a) Sólo 2, 3, 4 y 5 b) Sólo 1, 2, 
4 y 5 
c) Sólo 1 y 2 d) Sólo 2, 3 y 
4 
e) Todas 
 
PRÁCTICA DOMICILIARIA 
 
1. Si el siguiente conjunto C, 
C = {a + b, 8, 2a – 2b + 4}; es unitario 
Halla a3+b4 
a) 145 b) 397 c) 80 
d) 108 e) 206 
 
2. ¿Cuántos de los conjuntos dados a 
continuación no son vacíos? 
➢ A = {x  U / x = x; x  x}; 
➢ B = {x  N / x2+ 3x + 2 = 0} 
➢ C = {x  Q / 3 < x < 5}; 
➢ D = {x  N / x2 - 1 = 0} 
➢ E = {x  R / x2 = 4  2x = 3}; 
➢ F = {x  R - {0} / -x = x - 1} 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5 
 
3. Si los conjuntos: 
A = {x - y ; 12} y B = {x - 2y ; -3} 
Son iguales, además: C = {a + 2; 3b + 7}, es 
unitario 
Calcula: x2 + y2 + 2a - 6b 
a) 546 b) 581 c) 662 
d) 559 e) 613 
 
 
 
4 
ARITMETICA 
 
4. Dados los conjuntos unitarios: 
A = {3a + 1; 7}, B = {3; b + c} y C = {2; bc} 
Donde: b > c 
Calcula: a – 2b + 3c 
a) 2 b) 1 c) 3 
d) 4 e) 6 
 
5. Dados los conjuntos unitarios: 
P = {x + y; 8}; Q = {y + z ; 10}; S = {x+ z; 12} 
Calcula: (x +y +z) 
a) 10 b) 15 c) 20 
d) 25 e) 30 
 
 
6. Dados los conjuntos binarios: 
A = {6; a + b; a – b; 16} y 
2 2a b
B ;cd;c d
2
 + 
= + 
  
. 
Halle c - d 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5 
 
7. Sea el conjunto: A = {a, {a}, {b}, }; Indicar 
cuál de las siguientes expresiones son 
verdaderas o falsas. 
1. {a}  A 
2. {, {a}}  A 
3. {b,{a}}  A 
4. {{}, {b}}  P(A) 
5. {, {a}}  P (A) 
6. {{a}, {b}}  P (A) 
7.   P (A) 
8.   P(A) 
a) VVFFFVVV 
b) VFFFVVVV 
c) VFFVVVVV 
d) VVFFVVVV 
e) VVFFVVFF 
 
 
8. Sea: A = {n  Z+/ n ≤ 600} 
Calcule la suma de elementos del conjunto B; 
si 
 3B a 2 a A a A= +   
 
a) 1000 b) 1296 c) 1312 
d) 1424 e) 1528 
 
 
9. Dado el conjunto A = {2; {5}; 3; 2; {5}} 
Indicar verdadero (V) o falso (F) según 
corresponda: 
i) “A” tiene 8 subconjuntos 
ii) “A” tiene 31 subconjuntos propios 
iii) “A” tiene 4 subconjuntos unitarios 
iv)   P(A) 
a) VVFV b) FVVV c) FFVV 
d) VFFV e) VFVV 
10. Si los conjuntos “A” y “B” son unitarios, 
cuántos subconjuntos propios tendrá el 
conjunto “C” 
A = { a + b ; 12}; B = {2; a - b } 
C = {x + 1 / x  Z; b < 3x < a} 
a) 127 b) 63 c) 31 
d) 255 e) 511 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CLAVES 
1 2 3 4 56 7 8 9 10 
E B D B B D E C D C 
 
 
5 
ARITMETICAOPERACIONES 
 
A. UNIÓN O REUNIÓN 
 
A  B = {x/x  A  x  B} 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cuando los conjuntos tienen 
algo en común. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cuando los conjuntos no 
tienen nada en común. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cuando un conjunto incluye 
a otro. 
 
B. INTERSECCIÓN 
 
A  B = {x/x  A  x  B} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
C. DIFERENCIA 
 
A - B = {x/x  A  x  B} 
 
 
 
 
 
 
 A - B 
 
 
 
 
 
 
 A – B 
 
 
 
 
 
 
 
 
A - B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OPERACIONES CON CONJUNTOS 
 
A B 
A B 
A 
B 
A B 
A B 
A 
B 
A B 
A B 
A 
B 
 
 
6 
ARITMETICA 
 
B - A = {x/x  B  x  A} 
 
 
 
 
 
 
 
 
B - A 
 
 
 
 
 
 
 
 
B – A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B – A 
 
 
D. DIFERENCIA SIMÉTRICA 
 
A  B = (A - B)  (B - A) = (A  B) – (A 
 B) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E. COMPLEMENTO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROPIEDADES 
 
 (A’) = A  (A  B)’ = A’  B’ 
 U’ =   (A  B)’ = A’  B’ 
 ’ = U 
 
 
 LEYES Y PROPIEDADES DEL 
ÁLGEBRA DE CONJUNTOS 
 
I. IDEMPOTENCIA 
 
A  A = A 
A  A = A 
 
II. CONMUTATIVA 
 
A  B = B  A 
A  B = B  A 
A  B = B  A 
 
III. ELEMENTOS NEUTROS 
 
A  U = U 
A  U = A 
A   = A 
A   =  
 
IV. COMPLEMENTO 
 
A  A’ = U 
A  A’ =  
(A’)’ = A 
 
 
 
A B 
A B 
A 
B 
A B 
A B 
A 
B 
A 
 
 
7 
ARITMETICA 
 
V. DIFERENCIA DE CONJUNTOS 
 
A – B = A’  B’ 
A – B = B’ - A’ 
 
 
 
VI. LEYES DE MORGAN 
 
(A  B)’ = A’  B’ 
(A  B)’ = A’  B’ 
 
VII. ASOCIATIVAS 
 
(A  B)  C = A  (B  C) 
(A  B)  C = A  (B  C) 
(A  B)  C = A  (B  C) 
 
 
 
VIII. DISTRIBUTIVAS 
 
A  (B  C) = (A  B)  (A  C) 
A  (B  C) = (A  B)  (A  C) 
 
 
IX. SI A y B SON DISJUNTOS 
 
A  B =  
A – B = A 
B – A = B 
A  B = A  B 
 
X. ABSORCIÓN 
 
A  (A  B) = A 
A  (A  B) = A 
 
PRÁCTICA DE CLASE 
1. Si: 
U = {x/x  N  0  x  9} 
(A  B)‘ = {0, 6, 9} 
(A  B) = {1, 2, 7} 
(A – B) = {5, 3} 
 
¿Cuál es la suma de los elementos B – A? 
 
a) 12 b) 18 c) 15 
d) 10 e) 20 
 
2. Siendo: 
A = {1, b, c, d, e} 
B = {a, b, d} 
C = {c, e, b} 
 
Hallar el cardinal del conjunto: 
M = [(A  B) – C]  ( A  B) 
 
a) 0 b) 1 c) 2 
d) 3 e) 4 
 
3. Si: 
 
C – B = {7, 5, 6} 
C – A = {7, 9, 10} 
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
B = {2, 3, 4, 8, 9, 10} 
C = {4, 5, 6, 7, 9, 10} 
 
 
 
¿Cuántos elementos hay en la parte 
sombreada? 
 
a) 3 b) 4 c) 5 
d) 6 e) 2 
 
 
4. Si: A  B ≠  y además: 
 
n[P(A  B)] = 256 ; n(A) – n(B) = 1 
n[A  B] = 3 
 
Hallar: n(B) 
 
a) 3 b) 5 c) 7 d) 8 e) 4 
 
5. Determinar E = (A – B)  (B – C), si: 
 
A = {x/x  N / x es divisor de 12} 
B = {x/x  N / x es divisor de 18} 
C = {x/x  N / x es divisor de 16} 
 
Dar como respuesta: n(E) 
 
a) 1 b) 0 c) 2 d) 3 e) N.A 
 
6. Sean: 
 
A = {1, 5, 7, 8, 9} ; B = {1, 5, 8, 9} 
C = {1, 8} ; D = {1, 9, 7} 
 
Hallar:(A  C) – (B  D) 
 
a) {8} b) {9} c) {7, 8} 
d) {9, 7} e) {9, 8} 
 
7. Dados los conjuntos: 
 
A = {( x – 3)  Z/ 16  x2  625} 
B = {(2y – 1)  Z/ 2  2y3 −  7} 
A B 
C 
 
 
8 
ARITMETICA 
 
Hallar: n(A) + n(B) 
 
a) 12 b) 14 c) 17 d) 23 e) N.A 
 
 
8. Si: A = {x  IN/ 1  x < 9 } 
 B = {5, 6, 7, 9, 10} 
 C = {6,7, 8, 10, 11, 12}
 
 Hallar: n(A  ) + n(AC) + n(BC) 
 
 a) 3 b) 6 c) 9 
 d) 7 e) 5 
 
 
9. Dados dos conjuntos comparables M y N se 
sabe que: 
 n(M  N) + n(M  N) = 25, además: 
n(M – N) = 9. 
 Calcular: n(N). 
 
 a) 7 b) 8 c) 9 
 d) 10 e) 3 
 
10. Dados los conjunto A y B disjuntos y 
equivalentes,; se sabe que: 
 n(A) + n(B) + n(A  B) = 68 
 Hallar : n(A) . 
 
 a) 20 b) 21 c) 15 
 d) 10 e) 17 
 
11. Si: n(A  B  C) = 150 ; n(B – C) = 40 
 n(C – A) = 60 y n(A – B) = 45 . 
 Hallar : 
 n(A  B  C) 
 
 a) 4 b) 5 c) 8 
 d) 10 e) 15 
 
12. A y B son dos conjuntos tales que: 
( ) ( ) 83n A n B+ = 
( ) 74n A B = 
el ( )n A B es: 
a) 70 b) 80 c) 60 
d) 65 e) N.A 
 
 
13. A y B son conjuntos disjuntos cuyos 
cardinales son números consecutivos. 
Si 
   ( ) ( ) 12288n P A n P B+ = , 
el valor de n(A)+n(B) es: 
a) 21 b) 23 c) 25 
b) d) 27 e) 29 
 
14. Sean A y B dos conjuntos diferentes del 
vacío donde el número de elementos de A 
mas el número de elementos de B es igual a 
118. Si el cardinal de ( )A B es 98, 
entonces el valor de la expresión: 
3
( )
( ) ( )
13
n A B
E n A n B
 
= − − 
 
es: 
a) 94 b) 96 c) 98 
d) 100 e) 106 
 
15. Sabiendo que la intersección de P y Q tiene 
128 subconjuntos, la diferencia de P 
respecto a Q tiene 64 subconjuntos y el 
producto cartesiano P y Q tiene 182 pares. 
El n(Q-P) es: 
a) 7 b) 6 c) 5 
d) 3 e) 2 
 
 
16. Dados los conjuntos: 
 1;2;3;........;10U = ; 
 1;4;6;8;10A= 
 3;6;9B = 
 2;3;7;10C = 
El valor de 
 ( ´ ) ( ) ´B C B C A −   es: 
a)  1;3 
b) b)  3;5 
c) c)  1;5 
d)  1;3;2 
e)  9;10 
 
17. Para los conjuntos A, B y C se cumple: 
 ( ) 4n P A B C  =
 ( ) 16n P A B = 
( ) 6n A C = 
 
 
9 
ARITMETICA 
 
 ( ) 256n P A = 
( ) 17n B C = 
El valor de  ( )n B C A − es: 
a) 9 b) 7 c) 8 d) 6 e) 10 
 
PRÁCTICA DOMICILIARIA 
 
1. Sean los conjuntos: 
A = m; n; p; q; r 
B = m; n; q 
C = p; r; n 
 
Hallar:  n [(A C) B] (A C) −  − 
A) 3 B) 4 C) 6 
D) 2 E) 5 
 
2. Sean A y B dos conjuntos no vacíos donde 
se tiene: 
 A B 5;8;11;14;15;17 = 
 A B 8;15− = 
Indicar el número de subconjuntos de B 
A) 8 B) 16 C) 32 
D) 64 E) 4 
 
 
3. Sean los conjuntos E y F no vacíos donde 
- n(E  F) = 75 
- n(E – F) = 28 
- n(F – E) = 23 
Calcular el cardinal de E  F 
A) 24 B) 27 C) 28 
D) 23 E) 31 
 
4. Sean Q y T, dos conjuntos comparables y 
diferentes del vacío. Si el número de 
subconjuntos propios del conjunto potencia 
de Q es 255 y T tiene 3 elementos menos 
que Q entonces el número de subconjuntos 
propios diferentes del vacío, que tiene T es: 
a) 6 b) 14 c) 30 
d) 62 e) 126 
 
 
5. Si en los conjuntos A y B se cumple que 
( ) 6n A B = y 
   ( ) ( ) 40n p A n p B+ = 
Entonces el valor de  ( )n P A B es: 
a) 8 b) 7 c) 6 d) 5 e) 4 
6. Si ( )P Q R − tiene 4 subconjuntos, 
( )P R Q − tiene 16 subconjuntos, 
  3n P Q R  = y 
  14n P Q R  = ; el número 
máximo de elementos de Q es: 
a) 11 b) 10 c) 9 d) 8 e) 5 
 
7. Si A, B y C son conjuntos tales que: 
( )C A B  y 
( ) 68n B A− =
( ) 58n B C− = 
( ) 50n A B− =
( ) 30n C A− = 
( ) 45n A B =
( ) 62n A C = 
Entonces ( ) Cn A B C −   Es: 
A) 12 b) 13 c) 14 
D) 15 e) 16 
 
 
8. Dados tres conjuntos A, B y C, se sabe 
que: 
n(AB) = 22 
n(BC) = 16 
n(CA) = 14 
( ) ( ) 30n A B C n A B C  +   = 
 determine: ( )n p A B C    
a) 2 b) 4 c) 8 
d) 16 e) 32 
 
CLAVES 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
B B A C E B B B C B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
ARITMETICACONJUNTOS 
 
Para este capítulo es necesario tener en 
cuenta conocimientos previos aprendidos 
en anteriores capítulos. 
 
 Los elementos se relacionan con los 
conjuntos mediante pertenencia. 
 Los conjuntos se relacionan entre si 
mediante inclusión. 
  no pertenece a ningún conjunto 
pero esto incluido como subconjunto 
en todos los conjuntos. 
 Todo conjunto tiene 2n(A) 
subconjuntos donde n(A) es la 
cantidad de elementos. 
 A  B = (A - B)  (B - A) 
 En gráficos: 
Dos conjuntos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
U = Conjunto Universal 
x = elementos que sólo 
pertenecen a A. 
z = elementos que sólo 
pertenecen a B. 
y = elementos que pertenecen 
tanto a A como B. 
 
 
 
 
 
 
 
w = elementos que no 
pertenecen ni a A ni a B. 
Tres conjuntos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
U = Conjunto Universal 
a = elementos que pertenecen 
solo al Conjunto A 
e = elementos que pertenecen 
solo al Conjunto B 
g = elementos que pertenecen 
solo al Conjunto C 
b = elementos que pertenecen a 
A y B pero no C 
f = elementos que pertenecen a 
B y C pero no A 
d = elementos que pertenecen a 
A y C pero no B 
e = elementos que pertenecen a 
A, B y C a la vez 
h = elementos que no 
pertenecen ni a A, ni a B, ni a 
C 
 
PRÁCTICA DE CLASE 
 
1. En una biblioteca había 17 personas, de las 
cuales 6 leyeron la revista A, 9 la revista B y 
6 leyeron ambas revistas. ¿Cuántos no 
leyeron las revistas A y B? 
 
 
PROBLEMAS CON CONJUNTOS 
 
A B 
U 
x
A 
y
A 
x
A 
W 
A B 
U C 
a b c 
e 
d f 
g 
h 
 
 
11 
ARITMETICA 
 
a) 6 b) 7 c) 8 
d) 9 e) 10 
 
2. De 234 postulantes, 92 postulan a la PUC, 87 
a la UNMSM y 120 no postulan a ninguna de 
estas dos universidades. ¿Cuántos postulan 
a las 2 universidades simultáneamente? 
 
a) 45 b) 55 c) 65 
d) 75 e) N.A 
 
3. Durante el mes de febrero de 1 998 una 
persona salió a pasear en la mañana o en la 
tarde o en ambas horas. Si 14 días paseo en 
la mañana y 20 días paseo en la tarde. 
¿Cuántos días paseo en ambas horas? 
 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5 
 
4. Sabiendo que un conjunto tiene 40 elementos 
y otro conjunto 60 y además la intersección 
de ellos tiene 30 elementos. Hallar el número 
de elementos que tiene la intersección de los 
complementos de estos dos conjuntos, 
sabiendo que el cardinal de U es 120. 
 
a) 60 b) 50 c) 40 
d) 35 e) 70 
 
5. En una encuesta realizada a 120 alumnos 
sobre cierta preferencia se obtuvo las 
respuestas “si” de parte de 80 alumnos y “por 
supuesto” respondieron 50 alumnos. 
¿Cuántos alumnos no respondieron las 
frases anteriores si el número de alumnos 
que respondieron “si” “por supuesto” es la 
cuarta parte de los que dijeron “si” 
solamente? 
 
a) 5 b) 6 c) 8 
d) 10 e) 12 
 
6. En una colonia china, 3 480 comen arroz sin 
sal y 5 700 comen arroz con sal; si los que no 
comen arroz son el doble de los que comen 
arroz con sal y sin sal. ¿Cuántos no comen 
arroz, si en total hay 10 000 chinos? 
 
a) 400 b) 700 c) 280 
d) 820 e) 1 640 
 
7. En una competencia atlética conformada por 
15 pruebas participaron 50 atletas. 
Observándose que al final: 4 conquistaron 
medallas de oro, plata y bronce, 7 
conquistaron medallas de oro y plata, 6 plata 
y bronce, 8 de oro y bronce. ¿Cuántos atletas 
no conquistaron medallas? 
 
a) 28 b) 26 c) 24 
d) 22 e) 20 
 
8. En el conservatorio de música hay 250 
alumnos; de los cuales 100 estudian guitarra, 
120 violín y 100 trompeta, además 54 
estudian guitarra y violín; 40 violín y 
trompeta, 46 guitarra y trompeta; además 10 
personas estudian todos los instrumentos. 
¿Cuántas personas no estudian ninguno de 
estos instrumentos? 
a) 200 b) 150 c) 55 
d) 72 e) 50 
 
9. De un grupo de turistas: 
 
✓ 9 conocen Cuzco o Piura, pero no 
Arequipa, de los cuales 8 conocen Cuzco y 
4 conocen Piura. 
✓ 25 han visitado Arequipa o Piura de los 
cuales 9 conocen Cuzco. 
✓ 4 conocen las tres ciudades. 
 
¿Cuántos turistas conocen Arequipa, pero no 
Cuzco? 
a) 21 b) 20 c) 13 
d) 15 e) 17 
 
10. De un grupo de 39 personas, 5 hablan 
francés, pero no inglés; 10 hablan inglés, 
pero no francés y además se sabe que el 
número de personas que hablan sólo 
español es el doble de los que hablan 
inglés y francés. ¿Cuántas personas hablan 
inglés si todos hablan por lo menos uno de 
estos idiomas? 
a) 13 b) 18 c) 21 
d) 24 e) 27 
11. De un grupo de 60 personas, 26 hablan 
francés y 12 solamente francés; 30 hablan 
inglés y 8 solamente inglés; 28 hablan 
alemán y 10 solamente alemán. También se 
sabe que 1 habla los 3 idiomas mencionados. 
¿Cuántos hablan inglés y alemán, pero no 
francés? 
a) 3 b) 7 c) 8 
d) 11 e) 15 
 
12. En una fiesta donde había 70 personas 10 
eran hombres que no les gustaba música 
HEAVY, 20 eran mujeres que gustaban de 
esta música. Si el número de hombres que 
gusta de la música HEAVY es la tercera parte 
de las mujeres que no gustan de esta 
 
 
12 
ARITMETICA 
 
música. ¿A cuántos les gusta la música 
HEAVY? 
 
a) 10 b) 20 c) 30 
d) 40 e) 50 
 
13. En una estación de transporte, había 100 
personas de las cuales 40 hombres eran 
provincianos, 30 mujeres eran limeñas y el 
número de mujeres provincianas excede en 
10 al número de hombres limeños. ¿Cuántos 
hombres hay en el aula? 
a) 40 b) 45 c) 50 
d) 55 e) 60 
 
14. En un baile social se supo que el 45% 
solicitan salsa, el 35% solicitan toada y el 
30% huayco, además el 15% pedían salsa y 
toada, el 16% toada y huayco; 20% salsa y 
huayco y el 8% los tres ritmos mencionados. 
¿Qué porcentaje de los asistentes no pedía 
ninguno de los tres ritmos mencionados? 
a) 30% b) 40% c) 35% 
d) 38% e) 33% 
 
15. En una encuesta realizada sobre la 
preferencia del público, acerca de la 
planificación familiar se obtuvo lo siguiente: 
60 prefieren usar preservativos (P); 59 prefieren 
usar el método del ritmo (R); 50 prefieren las 
pastillas anticonceptivas (A); 38 prefieren P, R; 
25 prefieren R y A; 22 prefieren P y A; 10 
prefieren P, R y A. Determinar: ¿cuántas 
personas prefieren P y R, pero no A? 
a) 17 b) 19 c) 21 
d) 13 e) N.A 
 
 
PRÁCTICA DOMICILIARIA 
 
 
1. De 60 personas, a 28 les gusta la naranja, 
a 30 la mandarina y a 12 ambas frutas ¿A 
cuántos no le gustan estas frutas? 
A) 10 B) 12 C) 14 
D) 16 E) 18 
 
2. En una pensión de 98 personas, los que 
gustan del cabrito y pato son 1/4 de los que 
gustan del cabrito y 1/6 de los que gustan 
del pato, si 8 no gustan de estos platos, 
entonces los que gustan solo del cabrito 
son: 
a) 30 b) 32 c) 40 
d) 50 e) 60 
3. En una granja se separó 75 gallinas, de 
ellas 29 son blancas y 52 son ponedoras. Si 
las blancas no ponedoras son 15, entonces 
el número de gallinas no ponedoras entre 
las que no son blancas, es: 
a) 2 b) 4 c) 6 
d) 8 e) 10 
 
 
4. De un grupo de 70 estudiantes, se observa 
que 15 estudian sólo inglés; 30 estudian 
francés y 10 sólo francés; 26 estudian 
alemán y 8 solo alemán. Además 7 
estudian los tres idiomas y 11 estudian otros 
idiomas. ¿Cuántos estudian inglés? 
a) 26 b) 28 c) 30 
d) 36 e) 41 
 
5. Para ingresar al colegio “X”, un grupo de 80 
niños dieron 3 exámenes para ser 
admitidos, al final, se supo que: 
- 28 aprobaron el primer examen 
- 32 aprobaron el segundo examen 
- 30 aprobaron el tercer examen 
- 8 aprobaron sólo el primer y segundo 
examen 
- 10 aprobaron el segundo y tercer 
examen 
- 4 aprobaron los 3 exámenes 
- 18 no aprobaron examen alguno 
¿Cuántos alumnos fueron admitidos si sólo 
se necesita aprobar dos exámenes? 
A) 20 B) 24 C) 32 
D) 36 E) 18 
 
 
 
6. En la maternidad se observó que de las 47 
personas presentes 29 eran hombres de 
los cuales 19 no eran mayores de edad. Si 
11 personas nacieron hoy y las mujeres 
mayores de edad son tantas como los 
menores de edad, se estas las que no 
nacieron hoy representan el 20% del 
número de hombres mayores de edad. 
¿cuántos hombres menores de edad no 
nacieron hoy? 
A) 6 B) 15 C) 12 
D) 13 E) 10 
CLAVES 
1 2 3 4 5 6 78 9 10 
C A D D B A B C E C 
 
 
13 
ARITMETICANUMERACIÓN 
 
Es la parte de la aritmética que estudia el 
número en su formación, representación, 
propiedades y aplicaciones que con ellas 
se puede efectuar. 
 
 SISTEMA DE NUMERACIÓN 
 
Es el conjunto de reglas y principios que 
rigen la formación, escritura y lectura de 
los números mediante la adecuada 
combinación de un grupo de símbolos y 
palabras. 
 
 SISTEMA DECIMAL DE NUMERACIÓN 
 
Es empleado actualmente, este sistema 
fue inventado por los hindúes y difundido 
después por los árabes, razón por la cual 
se llama sistema indo-arabico. Se utiliza 
los dígitos: 
 
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 
 
La mayor diferencia entre nuestro sistema 
y el de los romanos radica en que estos 
no incluían al cero como dígito, lo cual les 
obligaba a tener un símbolo diferente para 
cada número que quisieran expresar. 
 
 BASE DE UN SISTEMA DE 
NUMERACIÓN 
 
Es aquel número que nos indica la 
cantidad de unidades de un orden 
cualquiera para formar una unidad de 
orden superior. 
 
 CARACTERÍSTICAS DE UN SISTEMA 
DE NUMERACIÓN 
 
 En cualquier sistema de numeración 
existen tantas cifras como el valor de 
la base y con las combinaciones de 
ellas se pueden formar todos los 
números posibles de dicho sistema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 El mínimo valor que puede tomar 
una cifra en cualquier sistema de 
numeración es el cero (0) y el 
máximo valor es la unidad menos 
que el valor de la base. 
 
 La base de un sistema de 
numeración siempre es un entero 
positivo mayor que 1. 
 
 Si la primera cifra de un numeral es 
una letra, necesariamente esta debe 
ser  de 0. 
 
 Todo lo que se encuentra en 
paréntesis en un numeral representa 
una sola cifra. 
Sea: )3c()4b(b)a5(a −+ 
a  0, el número tiene 5 cifras. 
 
 Se denomina numerales capicúas a 
aquellos que leídos de izquierda a 
derecha o de derecha a izquierda se 
leen iguales. 
88; 959; 5335, aba , cbbc 
 
 Toda cifra en el numeral tiene un 
orden por convención, se enumera 
de derecha a izquierda. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBSERVACIÓN 
 
Cifra de 1er. orden = 3 
Primera cifra = 2 
 
 
NUMERACIÓN 
 
 
14 
ARITMETICA 
 
 Valor relativo de una cifra es aquel 
que representa la cifra por la 
posición que ocupa dentro del 
número. 
 
 Valor absoluto es lo que representa 
por la forma que tiene. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tener en cuenta 
 
Ba
se 
Nombre 
del 
sistema 
Cifras utilizadas 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
11 
12 
. 
. 
. 
n 
Binario 
Terciari
o 
Cuatern
ario 
Quinario 
Senario 
Heptario 
Octavari
o 
Nonal 
Decimal 
Undeci
mal 
Duodeci
mal 
. 
. 
. 
enesima
l 
0, 1 
0, 1, 2 
0, 1, 2, 3 
0, 1, 2, 3, 4 
0, 1, 2, 3, 4, 5 
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 
…………………………………
…………… 
…………………………………
…………… 
. 
. 
. 
…………………………………
…………… 
 
 
NOTA 
 
Para base mayor que 10, se usan 
símbolos , ,  … etc. que representan 
las cifras 10, 11, 12, … 
 
DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA 
 
Consiste en expresar al numeral como la 
adición de los números que resultan a 
multiplicar cada una de las cifras por la 
base elevada a la cantidad de cifras que 
tiene a la derecha la cifra en estudio. 
 
* 4295 = 4 x 103 + 9 x 102 + 2 x 101 + 5ç 
* 2357 = 2 x 7
2 + 3 x 71 + 5 
* nabcde = a . n4 + b . n3 + c . n2 + d . n 
+ e 
 
 
 DESCOMPOSICIÓN EN BLOQUE 
 
Es un caso particular de la 
descomposición polinómica en que se 
toman grupos de cifras (bloques como si 
fueran una sola cifra). 
 
* 4242 = 42 x 102 + 42 
* 35357 = 357 x 7
2
 + 357 
* 6016018 = 6018 x 8
3 + 6018 
* nababab = nab . n4 + nab . n2 + 
nab 
 
 TRANSFORMACIÓN DE SISTEMAS DE 
NUMERACIÓN 
 
Consiste en transformar un número de 
cierta forma en un sistema a otro sistema. 
Existen tres casos: 
 
I. DE BASE n A BASE 10 
 
Se utiliza el procedimiento de 
descomposición polinómica, 
efectuando las operaciones 
indicadas. 
 
Ejm: 
nabc = a . n2 + b . n + c 
4567 = 4 x 7
2 + 5 x 7 + 6 
 
 
 
 
 
15 
ARITMETICA 
 
II. DE BASE 10 A BASE n 
 
Se utiliza el método de divisiones 
sucesivas, que consiste en dividir el 
número dado entre la base “m” a la 
cual se desea convertir, si el 
cociente es mayor que “m” se 
dividirá nuevamente y así en forma 
sucesiva hasta que se llegue a una 
división donde el cociente sea 
menor que ‘m’ 
Luego, se toma el último cociente y 
los residuos de todas las divisiones, 
desde el último residuo hacia el 
primero y ese será el número escrito 
en base “n”. 
 
Ejm: 
 
Convertir 578 a base 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
III. DE BASE “m” A BASE “n” 
 
Se utilizan en este caso, los dos 
métodos vistos anteriormente, es 
decir: 
 
1º Llevamos el número del 
sistema diferente de 10 a base 
10 por descomposición 
polinómica. 
 
2º Luego llevamos el número 
hallado en el sistema decimal 
a la base que nos piden por 
divisiones sucesivas. 
 
Ejm: 
 
Convertir: 5436 ➔ a base 4 
 
5436 = 5 x 62 + 4 x 6 + 3 = 207 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Luego: 
 
 5436 = 207 = 30334 
PROPIEDAD 
 
Si un numeral que representa la 
misma cantidad de unidades 
simples en dos sistemas de 
numeración diferentes, deberá 
cumplirse que donde tenga mayor 
representación aparente le 
corresponde una menor base y 
viceversa. 
 
+−
= mn xyzwabcd 
 
entonces n > m 
 
PRÁCTICA DE CLASE 
 
1. Si los numerales: 
 
)n(p22 ; )6(m31n ; 1002(p) ; )m(1n2 
 
Están correctamente escritos, hallar el valor 
de: m + n + p 
 
a) 7 b) 8 c) 9 
d) 10 e) N.A 
 
 
2. Hallar “x”: 
 
)6(2112))(1)(1)(1( =−−− xxxx 
a) 3 b) 4 c) 6 
d) 7 e) 8 
 
3. Hallar “n”: )7()6( 333)2( nnn = 
 
a) 2 b) 1 c) 0 
d) 4 e) N.A 
 
 
16 
ARITMETICA 
 
4. Si un entero de dos cifras es “n” veces la 
suma de sus cifras, el número que se obtiene 
al intercambiar el orden de sus cifras es la 
suma de sus cifras, multiplicada por: 
 
a) 10 – n b) 11 – n c) 9 + n 
d) n + 1 e) 13 – n 
 
5. Si: )()( yx mnabc = y los números: 36(x) 
y 
)9(y1 están bien escritos, hallar: “ xy ” 
 
a) 28 b) 56 e) 78 
d) 42 e) 63 
 
6. Si a, b y c son cifras diferentes entre sí, 
hallar “m + p”, si se cumple: 
 
mpcbcabc =++ )2()3()4( 
 
a) 10 b) 11 c) 12 
d) 14 e) 15 
 
7. Lo que le falta a )1)(1( ++= abbN 
para llegar a 1 000 es abb . Hallar: a + b 
 
a) 6 b) 7 c) 
10 
d) 8 e) 9 
 
8. Se tiene un número de dos cifras al que se 
le invierte el orden de sus cifras. La diferencia 
de los cuadrados de dicho número es 891. 
Hallar el número y dar su suma de cifras. 
 
a) 7 b) 6 c) 4 
d) 9 e) 5 
 
9. El menor número de base 9 formado por 
todas las cifras impares. ¿Cuántos ceros 
tiene al escribirlo en base 2? 
 
a) 2 b) 4 c) 8 
d) 10 e) 11 
 
10. Hallar: a + b. Si: )1(99 babaab += 
 
a) 8 b) 10 c) 11 
d) 12 e) 9 
 
11. Determinar el valor de “a” si: 
 
8
)2/)(1()1(13 aaa
a
+=− 
 
a) 1 b) 2 c) 6 
d) 3 e) N.A 
 
12. Si: )6(n cd)1a(3ab −= . Calcular “n” si es 
impar y cuánto vale. 
 
a) 1 b) 3 c) 5 
d) 7 e) N.A 
 
13. Una persona nació en el año aa19 y en el 
año bb19 cumplió (4a + 5b) años . ¿Cuál 
fue el año en que tuvo (a + b)2 años de edad? 
 
a) 1 981 b) 1 976 c) 1 967 
d) 1 955 e) 1 971 
 
14. Hallar “n” en: 
 
20
)n(
1313
1313
=
 
 
a) 20 b) 9 c) 7 
d) 6 e) 8 
 
15. Si se cumple 
8)ab(
a0aa4 = . Además: 
 
7
2 cde)4n)(n)(2n( =+− 
 
Hallar: a + b + c + d + e + n 
 
a) 15 b) 16 c) 17 
d) 18 e) N.A 
 
16. Se cumple que: 
 
8
3 abc)3n)(n)(1n( =+− 
 
Calcular: 
bca
ca
caE = 
 
a) 12 b) 13 c) 11 
d) 10 e) N.A 
 
 
 
 
17 
ARITMETICA 
 
PRÁCTICA DOMICILIARIA 
 
1. El mayor número de tres cifras diferentes en 
cierto sistema de numeración, convertido a 
base seis es 313, entonces la base de dicho 
sistema es: 
A) 4 B) 6 C) 3 
D) 2 E) 5 
2. Luego de expresar en base 4, el numeral de 
tres cifras impares consecutivas creciente 
de la base 6, la suma de sus cifras es: 
A) 8 B) 5 C) 7 
D) 6 E) 4 
3. Si un número se convierte a dos sistemas 
de numeración de bases consecutivas, se 
expresa por 155 y 203. Luego, dicho 
número en base diezse expresa como: 
A) 231 B) 131 C) 125 
D) 154 E) 214 
 
4. Respecto a las siguientes expresiones: 
(a ) (b)458 284= y (a ) (b)460 288= 
El valor de (b-a) es: 
A) 4 B) 7 C) 2 
 D) 3 E) 5 
 
5. Un número esta compuesto de 3 cifras las 
cifras de las centenas es 4 veces la cifras de 
las unidades y las cifras de las decenas es 
igual a la mitad de la suma de las otras 
cifras el producto de dichas cifras es: 
a) 40 b) 50 c) 60 
d) 70 e) 80 
 
6. Si en un sistema de numeración se cumple 
que, su mayor número de 3 cifras es igual a 
31 veces la mayor cifra que existe en este 
sistema, entonces la base del sistema de 
numeración es: 
a) 3 b) 4 c) 5 
d) 7 e) 9 
 
7. Al multiplicar ab por ab se obtiene el 
número cbad formado por cuatro cifras 
consecutivas no necesariamente ordenadas. 
Si c y d están comprendidas entre a y b, el 
valor de a+b es: 
a) 25 b) 21 c) 19 
d) 15 e) 11 
 
8. En un avión se observa abc que hay 
personas de las cuales, entre pasajeros, hay 
0a c varones y ab mujeres; además, c 
aeromozas y a pilotos. Si, el número de 
personas está comprendido entre 150 y 300, 
entonces el número de varones más que el 
de mujeres es: 
a) 175 b) 176 c) 177 
d) 178 e) 179 
 
9. Si lo que falta a ( 1)( 1)N b b a= + + 
para ser igual a 1000 es abb , el valor de 
“a+b” es: 
a) 6 b) 7 c) 8 
d) 9 e) 10 
 
 
10. Un número se representa por 281 y 353 en 
dos sistemas de numeración, cuyas bases 
son números enteros consecutivos. El 
número, en base diez es: 
a) 235 b) 255 c) 303 
d) 305 e) 405 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CLAVES 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
E C B E E C E E D A 
 
 
18 
ARITMETICAA. De base “n” a base kn 
Se le separa en grupos de “k” cifras de 
derecha a izquierda y cada grupo se 
descompone polinómicamente. 
 Ejemplo: 
 Expresar: (2)111101101 a base 8 
 K 3= 23 = 8 → se separa en grupos de 3 
cifras 
 111101101 
 (2)111 7= ; (2)101 5= 
 En base 8 = (8)755 
 
B. De base kn a base “n” 
Dado el número de cada cifra se obtiene “k” 
cifras al convertirse a base “n”. 
 Ejemplo: Convertir (8)745 a base 2 
 Base 
38 2= 
 Cada cifra debe generar 3 cifras en base 2. 
 Base 8 : 7 4 5 
 Base 2 : 111 100 101 
(2)745 111100101= 
 
PROPIEDADES 
 
I. Numeral de cifras máximas 
 
k
k cifras
(n 1)(n 1)(n 1).....(n 1) n 1− − − − = − 
 Ejemplo: 
 
49999 10 1= − 
 
3
(9)888 9 1= − 
 
II. Para bases sucesivas (bases de bases) 
 
 1a = n + (a+b+c+ . . . + x) 
 1b 
 1c 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (n)1x 
 
PRÁCTICA DE CLASE 
01. Hallar: a + b + x + y 
 
 Si se cumple: 
 
aba18
)xy(
18.
..
.18
18 =
40 veces 
 Además: 20 xy 30  
 
 a) 12 b) 11 
 c) 10 
 d) 13 e) 14 
 
02. Si 
( )
( )
( )
− =
−
n
1 n 1 aaa
1 n 2
 
12
11
 
 Entonces n/a es: 
a) 1/2 b) 1/6 c) 3/2 
d) 2 e) 6 
 
 
03. Hallar el valor de “n” si: 
 (n) (3n)(n 1)(n 1)(n 1) (3n 1)(3n 1)− − − = − − 
 
 a) 10 b) 11 c) 13 
 d) 12 e) 9 
 
 
04. Convertir a base 8 el siguiente número que 
está en el sistema binario 
 
300 cifras
N 1111.......................111= 
 Dar como respuesta la suma de cifras del 
resultado 
 
 a) 600 b) 650 c) 700 
CASOS ESPECIALES DE CAMBIO DE 
BASE 
 
 
19 
ARITMETICA 
 
 d) 720 e) N.A. 
 
05. Convertir a base 3 el siguiente número: 
 
60 cifras
N 77777.......................77= (9) 
 Dar como respuesta la suma de cifras del 
resultado. 
 
 a) 120 b) 200 c) 150 
 d) 180 e) N.A. 
 
06. Convertir a base 2 el siguiente número: 
 N = 840 – 1 
 Dar como respuesta la cantidad de cifras del 
resultado. 
 
 a) 120 b) 190 c) 100 
 d) 150 e) N.A. 
 
 
07. Convertir a base 27 el siguiente número: 
 N = 990 – 1 
 Dar como respuesta la cantidad de cifras que 
tiene el número resultante 
 a) 80 b) 60 c) 40 
 d) 20 e) N.A. 
 
08. Si el numeral: 31213402314(n); se convierte a 
base n2. la suma de las cifras del resultado 
sale 96. Hallar el valor de “n”. 
 a) 9 b) 7 c) 8 
 d) 5 e) 6 
 
09. El número 454545… tiene 71 cifras y está 
escrito en base 9. Convertido a base 3 e 
indicar cuántos unos se emplea en dicho 
sistema. 
 a) 121 b) 142 c) 106 
 d) 107 e) 108 
 
10. Si 25n, 40n, 53n están en progresión 
aritmética; convertir el mayor número de 3 
cifras de base n al sistema quinario. 
 
a) 1024 b) 4021 c) 221 
d) 4012 e) 3021 
 
 
11. Convertir el menor numeral de la base 9; 
cuya suma de cifras es 336 al sistema de 
base 27. Dar como respuesta la suma de 
cifras. 
a) 728 b) 630 c) 640 
d) 540 e) 920 
 
 
12. Sea P =
"30 factores"
81x81x81x.............x81 
 Si “P” se expresa en el sistema de base 27. 
¿Cuántas cifras tendrá dicha expresión? 
 
 a) 39 b) 40 c) 41 
 d) 42 e) 43 
 
13. Sea 
"60 factores"
P 16x16x16x.............x16= 
 Si “P” se expresa en el sistema de base 8. 
¿Cuántas cifras tendrá dicha expresión? 
 
 a) 89 b) 80 c) 81 
 d) 120 e) N.A. 
 
14. Halle: b - a + n, si: 
 = (9)ab
ab (n)
abb 7b 
 
 a) 10 b) 8 c) 7 
 d) 4 e) 9 
 
15. Si se sabe que: 
 (11)mn
mn(p)
mnn 9n= 
 Halle “N” en el sistema decimal si: 
 
 
 
 
 
 
 
a) 281 b) 251 c) 247 
d) 275 e) 242 
 
 
PRÁCTICA DOMICILIARIA 
1. Al transformar el numeral 
3 4 52(16) 12(4) 2 9M = + + + al 
sistema cuaternario, se obtiene un numeral 
cuya suma de sus cifras, es: 
a) 14 b) 13 c) 11 d) 10
 e) 9 
2. Hallar “a” 
( )a
20(a 1)(a 1)(a 1)...(a 1) 64 1− − − − = − 
 
A) 4 B) 5 C) 6 
D) 7 E) 8 
 
 
1n
1n
1n
pp
(3n)
N 1n
 
  
=
 
mn0 veces 
40 veces 
 
 
20 
ARITMETICA 
 
3. Al convertir (3)220001021 al sistema 
nonario se obtiene un numeral cuya suma 
de sus cifras, es: 
a) 16 b) 17 c) 18 
d) 19 e) 20 
 
4. Un numeral capicúa de cinco cifras de base 
3 se expresa en base 9 y se obtiene un 
numeral cuya suma de cifras es once. La 
suma de las cifras del numeral inicial es: 
 
a) 5 b) 8 c) 7 
d) 6 e) 3 
 
5. Al expresar ( )212113 n en base 
2n y 
3n , la suma de las cifras de uno de los 
numerales obtenidos es el triple que la suma 
de cifras del otro numeral. Luego el valor de 
“n” es: 
a) 5 b) 2 c) 4 
d) 8 e) 3 
 
 
6. Si el numeral ( )31213402314 n se 
convierte a base 
2n . La suma de las cifras 
se cuadriplica. Por tanto el valor de “n” es: 
a) 9 b) 7 c) 8 
d) 5 e) 6 
 
7. Si el numeral ( )12102122101122 k se 
convierte a base
3k la nueva suma de sus 
cifras es los 10/3 de la anterior. Entonces el 
valor de “k” es: 
a) 2 b) 3 c) 5 
d) 4 e) 7 
 
 
8. Se escribe “S” en base 8. ¿Cuántos ceros se 
utiliza en su escritura? 
 S = 464 + 232 + 89 + 3 
a) 36 b) 37 c) 38 
d) 39 e) 40 
 
9. Se cumple que 
2011N 8 1= − 
Convertir “N” al sistema cuaternario y dar 
como respuesta la suma de sus cifras. 
 
 a) 9381 b) 9048 c) 9049 
 d) 9085 e) 10045 
 
10. Calcular la suma de cifras al expresar: 
N = 25x85x215x15 256 +++ 
 a base 5. 
 
a) 13 b) 12 c) 9 
d) 10 e) 14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CLAVES 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
A E C C A A B D C E 
 
 
21 
ARITMETICANÚMEROS AVALES: Son aquellos que tienen 
parte no entera y están representados en una 
base diferente al sistema decimal 
 
CONTEO DE NÚMEROS: 
Para contar una secuencia de números , 
necesitamos tomar en cuenta lo siguiente: 
1. Representación de un Numeral: 
a : numeral de 1 cifra 
ab : numeral de 2 cifras 
abc : numeral de 3 cifras 
abcd : numeral de 4cifras 
 
2. Cifras en el Sistema de Base 10 (Sistema 
Decimal): {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 
 
3. Descomposición de un Número: 
 
▪ 5 647 = 5(10)3 + 6(10)2 + 4(10) + 7 
▪ 5647 = 5 600 + 47 
▪ 5647 = 5 000 + 647 
▪ 5647 = 5 000 + 600 + 47 
▪ 5647 = 5 640 + 7 
 
PRÁCTICA DE CLASE 
1. Si: 0, (6) (9)1bc 0,cb= Halle: b + c 
 
 a) 4 b) 5 c) 6 
 d) 7 e) 8 
 
2. Halle “F” en base 8 si : 
 (5) (7)F 0,ab 0,(2a)b= = 
 
 a) (8)0,3 b) 0,3(8) c) (8)0,4 
 d) 0,4(8) e) (8)0,13 
 
3. Al convertir 0,3125 a base ocho se obtiene: 
a) (8)0, 22 
b) 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) (8)0, 23 
c) (8)0, 24 
d) (8)0, 25 
e) (8)0, 26 
4. Al convertir (8)0, 46 a base cuatro, se 
obtiene: 
a) (4)0, 202 
b) (4)0, 213 
c) (4)0,211 
d) (4)0, 212 
e) (4)0,112 
 
5. Convertir 10,16 a base 5 
 
a) 20,045 b) 20,085 c) 20,165 
d) 20,205 e) 20,245 
 
6. Convertir 123,456 a base 12 y dar como 
respuesta la suma de sus cifras. 
 
a) 15 b) 17 c) 18 
d) 20 e) 24 
 
7. El valor de “x” si se cumple: 
( )0,1664 0,0404 x= 
a) 6 b) 7 c) 5 
d) 8 e) 9 
 
8. Si (6) (9)0,1 0,bc cb= ; entonces el valor 
de “b+c” es: 
a) 4 b) 5 c) 3 
d) 9 e) 8 
 
RESUMEN TEÓRICO 
 
 
22 
ARITMETICA 
 
9. Al transformar el numeral 
7 28 1
20
5 25 125
N = + + + al sistema 
quinario, se obtiene un numeral cuya suma 
de sus cifras, es: 
a) 10 b) 12 c) 13 
d) 14 e) 15 
 
10. Al convertir 31,237 a base cinco, se obtiene 
u numeral periódico, cuya suma de las cifras 
de su periodo es: 
a) 2 b) 3 c) 4 
d) 5 e) 6 
 
11. El valor de 
2 4 6 8
1 1 1 1
......
3 3 3 3
M = + + + + en 
base 27 es: 
a) 0, 3(10)27 
b) b) 
270,2(11) 
c) c) 
270,34 
d) 
270,(26) 
e)
270,3(12) 
 
12. Se escriben los números mayores a 1000 y 
menores a 5000. ¿Cuántos poseen en su 
escritura alguna cifra 7? 
 a) 1458 b) 2168 
 c) 2542 
 d) 1084 e) 2916 
 
 
 
13. Sea b y c números positivos y , 
 8,10,12,.....44d , la cantidad de 
números enteros de la forma 
( )( )3( 6) 11 31
4 7
c d
b b c
  
− − −  
  
; es: 
a) 12 b) 23 c) 19 d) 21
 e) 15 
 
14. Si a, b, c, d y e ; son números enteros no 
negativos, entonces la cantidad de número 
de la forma 
(4 ) ( 7)(3 )( 4)
b
a c d c
a
 
+ + − 
 
 que 
existen, es : 
a) 7200 b) 5840 c) 4260 
d) 2400 e) 1440 
 
15. Al expresar el siguiente numeral capicúa 
(9)
(3 1)(2 )(3 ) 4
3
b
a b c
 
− + 
 
en el 
sistema ternario. La suma de sus cifras es: 
a) 7 b) 8 c) 9 d) 10
 e) 11 
 
 
PRÁCTICA DOMICILIARIA 
 
1. Convertir: 0,528 a base 5. 
 
 a) 0,232 b) 0,234 c) 0,321 
d) 0,324 e) 0,231 
 
2. Convertir )8(45,0 a base 10. 
 
a) 0,578125 b) 0,588135 c) 0,561853 
 d) 0,478215 e) 0,485125 
 
3. Convertir: 0,16 a base 8. 
 
a) 0,12525 b) 0,12515 c) )8(125,0 
 d) )8(135,0 e) N.A. 
 
4. Convertir: )4(12,0 a base 10. 
 
a) 0,3 b) 0,4 c) 4 
 d) 0,5 e) N.A. 
 
5. Si: 0,ab 0,101(8) (2)= Hallar: a + b. 
 a) 0,5 b) 5 c) 8 
 d) 4 e) N.A. 
 
 
6. ¿Cuántos números capicúas de 5 cifras 
existen en base 9? 
 
a) 648 b) 729 c) 512 
d) 576 e) N.a. 
 
 
 
 
23 
ARITMETICA 
 
7. ¿Cuántos números pares de 4 cifras 
diferentes entre si, se pueden escribir con las 
cifras 0 ; 1; 4 ; 5 ; 7 y 8 ? 
 
a) 150 b) 180 c) 144 
d) 172 e) N.A. 
 
 
8. ¿Cuántos números de 3 cifras tienen sola y 
únicamente 2 cifras CINCO en su escritura? 
 
 a) 27 b) 26 c) 25 
 d) 28 e) 29 
 
9. ¿Cuántos números existen en el sistema 
octal si debe tener solamente cifras impares 
y debe ser de 4 cifras?. 
 
 a) 264 b) 246 c) 258 
 d) 256 e) 248 
 
10. ¿En qué sistema de numeración existen 648 
números de la forma: 
 
 )1c)(1c(c)2b(b)2a(a +−−+ ? 
 
a) Duodecimal 
b) Hexadecimal 
c) Decimal 
d) Undecimal 
e) Nonario 
 
 
CLAVES 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
E A C B A A B B D E 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 
ARITMETICA