GEOMETRIA (CURSOS SELECTOS)

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—— ADUNI] ed CÉSAR 
VALLEJO 
 
LU AN 
Lumbreras 
Editores 
 
 
CURSOS 
SELECTOS
CURSOS 
 
SELECTOS 
pe E ”rrrry A lla LEG 
(2 GUCH Bo Brest 
CURSOS 
SELECTOS 
Geometría 
Tema: Triángulos | 
ACADEMIA
CURSOS 
OBJETIVOS 
1. Definir y conocer adecuadamente los elementos del 
triángulo. 
2. Conocer los teoremas fundamentales relacionados 
al triángulos y sus teoremas adicionales. 
 
te tale] RN iaero 
3. Resolución de problemas tipo examen de admisión. 
CURSOS 
Aia 
Introducción 
La forma triangular en el desarrollo del ser 
humano ha sido de vital importancia, si nos 
remontamos a la edad primitiva, en esa era con 
todas las limitaciones de su tiempo, el hombre 
primitivo supo sacar provecho de la forma 
triangular para confeccionar sus herramientas de 
caza. 
3 
 
Conforme el ser humano se va desarrollando, 
con él, también se va desarrollando el conocimiento, 
así como, la manera de abstraer su entorno. En ese 
sentido la forma triangular también es parte de la 
vida del hombre como forma de expresión artística, 
matemática, hasta puede ser útil para salvar vidas. 
 
CURSOS 
DEFINICIÓN: Es una figura geométrica formada al 
unir tres puntos no colineales por segmentos de 
recta. 
B 
Elementos 
 
 
 
Región AC 
interior 
A C 
Tener en cuenta: 
+ La región que limita el triángulo se le 
conoce como región interior. 
+ La parte externa al triángulo será la 
región exterior. 
CURSOS 
Aia 
EJEMPLO 1: 
+ Vértices: A,B,C 
» Lados: AB,BC y 
Notación: AABC 
TRIÁNGULO 
 
Prolongación de 
CA 
REGIONES DETERMINADAS: 
El objetivo de conocer las regiones interior y exterior 
asociado al triángulo, es para poder ubicarnos de manera 
adecuada en los problemas, por ello también es necesario 
considerar lo siguiente. 
Región triangular: 
Es la unión del triángulo 
con su región interior. 
Perímetro de la región 
triangular: 
 
 
2Prage =a+b+<c 
 
 
, Región exterior >, Prolongación 
/ relativo a AC de AC 
'60 
Si el semiperímetro de la región triangular POR es 12, calcule el valor de y 
 
Sabemos: 
+ Semiperímetro de la región triangular: 
 
Paasc = 
QP +PR + QR 
2 
 
Resolución: 
y+2a+2y-a+y-a 
APQR A 27 
ads 26 26 
TT 2 
(o 
24 = 4y 
y=6 
 
CURSOS 
Ángulos asociados al triángulo. 
/ + Medida de los ángulos 
B: interiores: 
+ Medida de los ángulos 
exteriores: 
 
TEOREMAS FUNDAMENTALES: *-. 
» Suma de medidas de + 
los ángulos internos 
Pp 
8 
AN 
0+a+f$ = 180" 
Cálculo de la medida 
del ángulo exterior 
 
 
 
CURSOS 
TEOREMAS ADICIONALES 
 
 
 
 
 
 
TRIÁNGULO 
 
 
 
EJEMPLO 2: 
TRIÁNGULO 
EJEMPLO 4: 
En el gráfico mostrado, calcule el valor de x 
+ Cálculo de la suma de medidas de los ángulos 
externos (Uno por cada vértice). 
 
 
0+a+f$ = 360% 
 
 
 
Cuando identifiquemos 
este gráfico podemos 
concluir que: 
OBS: 
 
Del gráfico, calcule el valor de x 
Al observar la medida de dos ángulos 
internos en el triángulo, podemos aprovechar 
el cálculo de la medida del ángulo exterior. 
x+p=50%+Y 
“x= 50? 
06 
 
 
RESOLUCIÓN 
* Enel problema de la observación, 
tenemos que x se traslada. 
. DePQ: x+Y =Y + 509 
 
 
“x=50" 
NOTA 
Del problema 
resuelto podemos 
concluir que 
 
 
 
 
5
 
CURSOS 
_ UNAC 20101 En la figura, a es igual a: 
 
 
4B + 300 
Por ángulo exterior 
Piden «. 
+ AABC: B+3fB=a 
4f =a 
a 
hb =n 
AADE: B+a=4f8 +30% 
 
48 +30 
| a =3f + 30 
c E a=3% +30 4 
== 307 
 
A 
4 
caa=120% 
 
 
 
CURSOS 
Alp E 
ES] En la figura, halle a + B + y +0. 
 
Piden a+ fB+y+0 
IA a+B+r/= 180 ] 
<X _ r+o=108%+A de 
a+p+y+0=2880/ 
CURSOS 
SELECTOS 
 
GRACIAS 
| on (A UOH Bas Bus 
 
ESO SA SOS So SAO SA SAS eo SOS SA So SSA Sa SO E So Sa So SS Sa eo So Eee 
VALLEJO Geom etría 
 
Saa a oa coacalco feo Sofa aca ea cocoa 
y 
3. 
Triángulos | 
CURSOS SELECTOS - 2021 
 
 
Del gráfico mostrado, calcule x. 4. Del gráfico, calcule y. 
A) 230 
B) 240 % 
02 
D) 21" 
EJ 299 
T3e 
w 2X, 
A) 302 B) 320 Eya0S 
Del gráfico, calcule 6. D) 349 E) 280 
5. Se tiene un triángulo ABC, tal que AB=5 y 
BC=8. Calcule la suma del máximo y mínimo 
valor entero del lado AC. 
A) 13 B) 14 0) 15 
D) 16 E) 17 
 
6. A ppartir del gráfico, calcule x. 
 
A) 189 B) 15 EJ202 
D) 249 EJ 129 
Del gráfico, calcule cz. 
 
 
A) 702 B) 409 O) 602 
D) 502 E) 809 
7. Halle el mayor valor entero que f 
uno de los lados de un triángule 
 
 tro es igual 18. : a 
A) 190 B) 182 C) 172 A) 17 B) 9 08 
D) 169 E) 202 D) 16 E) 14 
CLAVES 01-D 02-c 03-E 04-8 05-D 06-€ 07-c CLAVES 1
MASA Saa ASAS So Sa ca SEE 
LIL Práctica domiciliaria 
VALLEJO Geom etría 
SOS e SO SOSA So SEO eee ¡SAS SOS o Sa SOSA 
 
Triángulos | 
CURSOS SELECTOS - 2021 
1. Del gráfico mostrado, halle 0. 4. Se tiene un triángulo donde dos de sus lados 
miden 7 y 13. Calcule el máximo valor entero 
del tercer lado. 
 
40+0 
A) 19 B) 18 C) 20 
D) 17 E) 16 
20- 
30 - 5. En un triángulo ABC, m«BAC=8+40%, 
m=x BCA=0 y AB=11. Calcule el mínimo valor 
A) 109 B) 152 C) 182 entero del lado BC. 
D) 202 E) 252 
A) 11 B) 12 0) 13 
2. Apartir del gráfico, calcule x. D) 10 E) 9 
6. Del gráfico, calcule x. 
 
A) 2d B) 90% C) ed A) 1109 B) 1202 C) 1300 
D) 110 E) 95 D) 1400 E) 1002 
3. Del gráfico mostrado, halle x. > A partir del gráfico, calcule a. 
 
 
A) 250 B) 28? C) 309 A) 40 B) 5 | O ge
 
D) 240 E) 260 
D) 79 E) go
Academia ADUNI - CÉSAR VALLEJO Semana 01 
8. A partir del gráfico, calcule x. 10. Del gráfico, calcule x. 
 
 
3p 
3w 210 
26 
1009 “A 
X 
ps O DE ue sE 
D) 300 E) 240 
9. A ppartir del gráfico, calcule x+y. 11. En un triángulo ABC, m«BAC=0+20% 
m«BCA=a y AB=8. Calcule el mínimo valor 
entero del lado BC. 
A) 8 B) 10 07 
D) 11 E) 9 
12. Dos lados de un triángulo miden 6 y 4, halle 
el mayor valor entero del perímetro de dicho 
triangulo. 
 
 
A) 1009 B) 1202 C) 1309 A) 10 B) 11 EH 
D) 1409 ENAISO9 D) 20 E) 21 
2 01-D 02-A 03-E 04A 05-B— 06-E 07:A 08-B 09%A 10-E 11-A 12-C
ESO SA SOS So SAO SA SAS eo SOS SA So SSA Sa SO E So Sa So SS Sa eo So Eee 
EZ VANITY 
¡SAS Seco SOSA 
 
SOS e SO SOSA So SA SO eo 
PRIMERA PRÁCTICA CALIFICADA DE GEOMETRÍA 
CURSOS SELECTOS - 2021 
1. Del gráfico mostrado, halle 0. A) 20? B) 24? E) 30* 
D) 32" E) 36" 
60+0 4. Halle a+b+c+d+e+f 
 
 
 
50 49-a 
a 
A) 10? B) 12” Chal 57 be 
D) 18? E) 20? b F 
2. Del gráfico mostrado, halle x + y. 
A) 135 B) 150 C) 270? 
65* D) 360 E) 720 
5. Halle x+y 
xx 
70? 
an” y 
A) 115” B) 125” C) 130” 
D) 140” E) 145” 
3. Del gráfico mostrado, halle x 
 
E 
A) 260 
B) 220? 
C) 2502 
D) 230? 
E) 3202 
 
Academia ADUNI - CÉSAR VALLEJO 
6. En un triángulo dos de sus lados miden 5 y 7, 8. Del gráfico mostrado, halle x 
halle la suma del mínimo y máximo valores 
enteros del tercer lado. 
 
A) 13 
B) 16 
C) 17 
D) 14 
E) 15 
A) 15* B) 16* 0)19 
D) 20* E) 22 
Del gráfico mostrado, halle x 
9. Enun triángulo cuyo perímetro es igual a 15, 
halle el máximo valor entero que podría tomar 
cualquiera de los lados. 
A) 11 B) 14 06 
D) 7 E) 8 
10. EnuntriánguloABC,AB=6,AC=7,m=xBAC=0.+f, 
m=xACB=f, halle la cantidad de valores ente- 
ros que puede tomar BC. 
 
A) 10? B) 16" (5207 A) 4 B) 5 06 
D) 13? EJMIS; D) 11 E) 10
tr tu ACADEMIA mama 
INSTITUTO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES 
CLAVES DEL PRIMER EXAMEN DE GEOMETRÍA 
CURSOS SELECTOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
N* PREGUNTA 
1 B 
2 Cc 
3 (E 
4 D 
5 D 
6 D 
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8 E 
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10 C ' 
CURSOS 
 
SELECTOS 
pe E ”rrrry A lla LEG 
(2 GUCH Bo Brest 
CURSOS 
SELECTOS 
Curso: Geometría 
Tema: Triángulos ll 
Docente: 
ACADEMIA
CURSOS 
OBJETIVOS 
> Clasificar al triangulo y reconocer sus diversas 
características que tienen. 
> Reconocer las línea notable asociado al triángulo y conocer 
los teoremas asociadosa ángulos entre bisectrices. 
 
> Aplicar lo aprendido en la resolución de los problemas. 
| 
INTRODUCCIÓN 
En el desarrollo de nuestras vidas, seguramente 
en más de una ocasión, hemos tenido que utilizar 
alguna línea para poder realizar alguna labor 
cotidiana, o hemos podido ver que otra persona 
haya podido dar utilidad a alguna u otra línea de 
referencia. 
PLAN DE DESVÍO 
AVENIDA BRASIL + 
 
Fuente; http://www.munlima.gob,pe'noticias/tem/33257-plan-de-desvio-por-evento-en-la-avenida- 
Un ejemplo de ello, puede ser el hecho de pr 
utilizar líneas guía sobre ciertos mapas de calles 
cuando hay planes de desvío. Otra situación es 
utilizar líneas de referencia en las construcciones, 
esto puede darse de manera un tanto rudimentaria 
o quizás algo más sofisticado como el hecho de 
apoyarnos en la tecnología para lograr nuestro 
cometido, por ejemplo usar plomadas o una 
estación total. 
 
 
CLASIFICACIÓN DEL TRIÁNGULO 
SEGÚN LA MEDIDA DE SUS ÁNGULOS INTERNOS. 
 
Triángulo rectángulo Triángulo obtusángulo 
 
Tiene un ángulo obtuso Tiene un ángulo recto 
mxABC = 90? 
Además: 0 +a=3909 
 
Teorema de Pitágoras: 
 
 
 
 
 
 
 
Paz Ejemplo Ejemplo 
Calcule x Calcule y 
b, 29 
Triángulo acutángulo y 
PS Tiene sus ángulos agudos 
Q Y] PS zu 
E pe Resolución Resolución , 
[CS B < 90> x + 41? = 90% y? +21? =29 
2 a 
x=90*-41* y TOTO 
y* = 400 (- 
x= 49% : 
ve y = 20 
| CLASIFICACIÓN DEL TRIÁNGULO 
SEGÚN LA LONGITUD DE SUS LADOS. 
Triángulo escaleno Triángulo equilátero 
Además: Además: 
0xaxrf m<BAC = máBCA = mxABC = 60* 
 
 
= O) OBSERVACIÓN 
 
Además: 
maBAC = maBCA = 0 
 
 
 
 
 
AC: BASE 
Lado de diferente longitud 
 
CURSOS 
SELECTOS 
- EJERCICIO Resolución: 
Nos piden x 
 
 
AABC: Isósceles EnADBC: 
> maáBCA=24* x +x+24* = 180" 
RECORDAR 
¡ 2x = 180" — 24? 
A CD AABC: Isósceles 1562 
A >3 maBDC=X x= 2 
“x= "782 e 
CURSOS 
Es 
EJERCICIO 
 
RESOLUCION: Piden x. 
SeamaMQP =0 
Enel AMPQ, ANTQ y ANPT por 
ángulo externo y triangulo isósceles: 
maPNQ = 0 + 20? 
AMPN: Por ángulo exterior 
0+x=0+20" 
-x=20* 
CURSOS 
EJERCICIO 
Calcule x 
Resolución: 
 D > 
Nos piden x 
 
 
» Se cumple: 
RECORDAR AADB: esquilátero 
- ABDC:isósceles 
> x+x+50* = 180 
2x = 1309 
Se formará . | 
un equilátero “x=65* Oe 
 
 
LÍNEAS NOTABLES 
 
 
 
CEVIANA MEDIANA MEDIATRIZ 
B D: punto cualquiera Ceviana que biseca a su lado Recta perpendicular a un 
de AC relativo. lado en su punto medio. 
a a 
Á D e a a 
ALTURA BISECTRIZ aa 
Ceviana perpendicular al lado relativo. Ceviana que biseca al ángulo. y mediana no siempre 
y coinciden en una sola 
: : a bisectriz línea. 
bisectriz 0 
. . exterior 
interior 
 
 
CURSOS 
pos 
DE 
 
Si BHes altura del AABC y BP es S 2 
bisectriz del AHBC. Calcule PC. 
 
A HP C 
RESOLUCIÓN: 
a * Enel AAEC por Pitágoras: 
5? + 12? = AC? AC=13 
» Enelvértice B: 
m<ABP=902 - O 
* Enel ABHP: 
m<APB=902 - 0 
* Entonces el ABAP es isósceles: 
AP=5 
+ Porlo tanto en el AC: 
x+5=13 
 
 
 
x=8 
 
hh
 
Ub
 
 
ÁNGULOS ENTRE BISECTRICES 
 
 
EJERCICIO Calcule x. 
0Ap 
b 
 
 
 
x=> Resolución: 
Ba A D 
AABC: por teorema de 
bisectrices 
> mxADC = 2x 
 
EnD: 2x+8x= 180* 
 
 
se cumple 
x =90> hb se cumple 
“x= 18" 
 
 
CURSOS 
SELECTOS 
EJERCICIO - Calcule x. RESOLUCIÓN: 
 
 
+ AABC: por teorema de las bisectrices: 
> maBDC = 509 
+ Enel A sombreado: 
50% + x = 80? 
“x= 302 5 
CURSOS 
SELECTOS 
 
GRACIAS 
oeocilia TA ls COLEGIO (62 GGUCH Bos Br: 
 
MASAS SSA So So SA So Seo SS Sa So So eo ea Sao AE ASAS ASS SAS SA SAS Oe ae 1 
VALLEJO 
SOS e SO SOSA So SEO eee ¡SAS SOS o Sa SOSA 
 
Triángulos || 
CURSOS SELECTOS - 2021 
1. Enun triángulo ABC, BD es una bisectriz inte- 5. A partir del gráfico, halle x. 
rior, tal que AB=BD=CD. Calcule mxBDA. 
A) 542 EY 72” 0) 649 A d) 
D) 829 E) 682 PS 
2. Enun triángulo ABC, se traza la mediana BD, tal 
7 0Y ME A 0 
que AD=BC y m x<ACB=40". Calcule m=xADB. 
 
¡O 
A) 1052 B) 1120 C) 1249 7 
D) 1109 EJLa5S 
A) 502 B) 602 C) 409 
3. Enun triángulo ABC, se traza la bisectriz exte- D) 802 E) 909 
rior BD, tal que BC=BD y mxBDC=55*. Calcu- 
le mxABC. 6. Dado un triángulo ABC, tal que la 
m=BAC=2(m=bBCA), se traza la bisectriz ex- 
o ¡o pesan 
5 5 BJzO S ea terior BE, con E en la prolongación de CA. Si 
AB=4 y AE=10, calcule BC. 
4. Según el gráfico, halle x. 
A) 4 B)5 O 6 
D) 3 E) 7 
7. Enla región interior de un triángulo ABC se ubi- 
ca el punto P, la que 
 
m«APC _ mxAPB 
y 6 
calcule la medida del ángulo PBC. 
mxPAC = =20" yBP=AC 
 
A) 409 B) 302 Ir A) 52 B) 109 
D) 609 E) 809 D) 162 
 
CLAVES 01-8 02-D 03-C 04-C 05-D 06-C 07-8 CLAVES 1
Sa ao oo ao oa eo oo oa oo Soo 
— ACADEMIA mu 
EXIT 
"Z 11177] 
¡POSTS So ea So Seo 
APRA Práctica domiciliaria de «ba» 
¡SEAS SA OS oo Se 
 
Triángulos Il 
CURSOS SELECTOS - 2021 
1. Enun triángulo ABC, se traza la mediana BD, tal 7. 
que AD=BC y mxACB=50". Calcule m <BDA. 
En un triángulo ABC, se traza la bisectriz exte- 
rior AD, tal que CD=DA y m x<BAC=40%, Calcu- 
le mxABC. 
A) 1259 B) 1059 C) 1450 
D) 135% E) 1159 A) 402 B) 309 €E):209 
0)259 E) 280 
2. Enel gráfico, AB=BD=DE=EC. Calcule «a. 
B 8. Enel gráfico, AB=BC y DG=PF. Calcule x. 
 
A) 242 
B) 250 12% 
C) 262 E 
DIEZ? 
E) 280 > 
A D á 
 
3. En uun triángulo ABC, se traza la altura BH y la 
bisectriz interior AR. Si AC=BC y m=xBCA=20%, 
calcule la medida del menor ángulo formado 
 
at la bleed A) 1409 B) 1602 ) 1509 
por la altura y la bisectriz. D) 1209 E) 1309 
A) 60% B) 45? C) 652 
D) 509 E) 309 9. Enel gráfico, AD=EC, BE es mediana del trián- 
gulo DBC. Calcule m x< EAC. 
4. Enun triángulo ABC, se traza la mediana BD y 
se construye el triángulo equilátero DEC. Cal- 
cule m=xEAD. 
A) 309 
D) 150 
B) 202 O 
Ej 259 
5. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz 
exterior BD relativa a AC, tal que BC=BD y 
m=xABC=32". Calcule mxBDC. 
 
A) 409 
D) 302 
B) 209 EJ32" 
A) 522 E)-362 
D) 549 
B) 519 57 
E) 559 
10. En un triángulo ABC, se traza: la bisectriz. in- 
terior AD. En el triángulo 6. Desde un punto fijo Q se trazan QA, OB y 
QC, los cuales tienen la misma longitud. Si 
m =<xAQB=46%, calcule m x< ACB. 
A) 220 B) 242 EIA 
D) 26 E) 23 
01-E 02-E 03-D 04-A 05-C 
ADC: se traza la ce- 
viana interior DE, tal que AD=AE, 'DE=EC y 
m=x DCA=2(m=«xBAD). Calcule maDCA. 
A) 209 B) 60% C) 809 
D) 509 E) 409 
07-8 08:c 09D 10 FS 1
ASA SS ao So oe ao SE SS SS SS 
MW VALLEJO! 
SOS e SO SOSA So SA SO eo ¡SAS Seco SOSA 
 
SEGUNDA PRÁCTICA CALIFICADA DE GEOMETRÍA 
 
 
 
CURSOS SELECTOS - 2021 
1. En un triángulo isósceles ABC de base AC, la A) 100? 
m=xABC=40", calcule la mxBAC. B) 120? 
C) 1309 
A) 50? B) 40? C) 60? D) 140? 
D) 70? E) 45” E) 160? 
2. Enel gráfico a=30* y DB=BC, calcule x. 5. Del gráfico calcule x. 
D 
la 
A B a 
A) 159 B) 300 C) 450 
D) 509 E) 602 
A) 50? B) 40? C) 43? 
3. Del gráfico calcule 6 si AB=BD=DC D) 44? E) 45" 
B 6. Del gráfico calcule ABC es equilátero, y las rec- 
ANS tas FG y DE son paralelas, calcule x. 
36 
A D tE 
A) 24? B) 28? 137" 
D) 36? E) 38? 
4. Del gráfico calcule x. 
A) 40? 
B) 15” 
C) 20” 
D) 25” 
E) 30? 
 
Academia ADUNI - CÉSAR VALLEJO 
7. Del gráfico calcule x. 9. Del gráfico ACB es un triángulo equilátero. Si 
EC=CD, calcule —. 
 
 
 
 
A) 50" 
B) 55” 
C) 60* A) 1 B) 0,5 c)15 
D) 65” D) 2 E) 3 
E) 70? 
10. De la figura AB=AR y PO=PC, calcule 
8. Según el gráfico AB=AC=BD, calcule la 20. +3B 
R3 ; 
mxCBD. 20. —3P 
Q 
B 
p 
Ú 
A P JN 
A) 457 B) 65? C) 70? A) 4 B) 6 08 
D) 75? E) 80? D)7 E) 5
cs: ACADEMIA cea 
ACADEMIA es 
INSTITUTO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES 
CLAVES DEL SEGUNDO EXAMEN DE 
GEOMETRÍA 
CURSOS SELECTOSN* PREGUNTA 
1 D 
2 B 
3 D 
4 C 
5 D 
6 A 
7 D 
8 E 
10 D ' 
CURSOS 
 
SELECTOS 
pe E ”rrrry A lla LEG (2 GGUCH Beat Brehi 
CURSOS 
SELECTOS 
Geometría 
Tema: Congruencia de 
triángulos y aplicaciones 
ACADEMIA
CONGRUENCIA 
OBJETIVOS 
1. Conocer la definición y los casos de 
congruencia de triángulos. 
2. Conocer las aplicaciones de la congruencia 
(teoremas de bisectriz, mediatriz, base media y de la 
mediana relativa a la hipotenusa) 
3. Aplicar lo aprendido en problemas tipo examen 
de admisión de la Universidad Nacional Mayor de 
 
San Marcos. 
HERMANOS GEMELOS 
ca] a CONGRUENCIA DE TRIANGULOS 
DEFINICIÓN: 
Dos triángulos son congruentes si tienen la misma forma (iguales medidas angulares) y el mismo tamaño (iguales 
dimensiones) de manera correspondiente. 
EJEMPLOS: 
* Silos triángulos mostrados son 
congruentes cuanto es X : 
Si a a se le opone 8 en el 
B Q otro triángulo debe 
0 Pe 0 ocurrir lo mismo. 
Fs Por lo tanto x = 8 
A X Cc Pp 8 R 
. * Silos triángulos mostrados son . E 
m<BAC = m<QPR = 0 502 en el otro triángulo 
m<ABC = m<PQR = a B Q debe ocurrir lo mismo. 
m<BCA = m<QRP = f 50 dl Por lo-tanto a= 502 - 
AABC E APQR 50” 
NOTACIÓN: 
A a cop a El AAEC es congruente con el APQR R ( Y 
 
 
IEA CONGRUENCIA DE TRIANGULOS 
CASOS DE CONGRUENCIA CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 
» LADO- ÁNGULO — LADO (L— A —L) 
7 A 5 == 
> ES 3 ji a 
b 
 
a IR
 
a
 
=
 IR IR
 
 » ÁNGULO -— LADO— ÁNGULO (A — L— A) 
z E Triángulos rectángulos 
congruentes 
MN AN A EN A 
C c 
 
 
* LADO-—LADO-LADO (L— L— L) Triángulos rectángulos 
congruentes 
 
 
 
 
 
CURSOS 
Resolución: 
Aplicación 01 Nos piden x. 
En un triángulo ABC, se traza la 
bisectriz interior AD, tal que AB = AC + 
CD, además el ángulo exterior del 
vértice C mide 80”. Calcule la medida 
del ángulo ABC 
 
 
* Trazanos DE de tal manera que 4E=ACSD, la consecuencia sería EBsa. 
* Los AAED = A4ADC (L-4-L), por lo tanto, DE=a y MXABED=80% 
* Enel AEBD esisósceles: 2x4 80%= 180% 
06 . x=500
CURSOS 
TEOREMA DE LA BISECTRIZ 
 
Se cumple: 
Además: 
Se forma un 
triángulo isósceles. 
CURSOS 
iS E 
TEOREMA DE LA BASE 
MEDIA 
A 
B R BR 11 4C 
Base media 
Se cumple: 
 
 
x=bh 
2b C 
TEOREMIA DE LA MEDIANA 
RELATIVA A LA HIPOTENUSA 
En todo triángulo 
rectángulo. 
b Se cumple: 
x=b 
APLICACIONES DE CONGRUENCIA 
UNMSM 
2012-2 
En la figura, MN es perpendiculara las rectas 
paralelasL, yL, ; BP y AP son bisectrices de los 
ángulos ABT y BÁS respectivamente. Si MN=36cm 
y PResperpendiculara AB, halle PR. 
 
Piden x 
+ Como AP es bisectriz 
>PF=x 
» ComoBP es bisectriz 
>PH=x 
36 » Luego, observamos: 
x+x=36 
 
 
APLICACIONES DE CONGRUENCIA 
UNMSM . 
2011-1 
En la figura, la mediatriz del lado AC A 
interseca BC en D. sima(C = 15", 
m«aB = 30% y DM =1cm, halle AB. 
Piden x. 
 
 
 
 
» ARAC: por base media 
>RA=2 
+» ABRA: trazamos la 
altura RS. 
 
» Luego de aprovechar los notables: xx =vV6 +v2 6
CURSOS 
SELECTOS 
Resolución: — Nos piden x. 
 
B 
De la figura mostrada calcule x 
 
A 
 
 
 
+ Se prolonga BO hasta N. 
+ EnelABAN, AB =AN=10, BQ=0N =b 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
+ Enel ANBC, PQ es base media, entonces : 
66 
x=d4d 
URSOS sa e TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES 
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS EXACTOS TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS ADICIONALES 
av2 602 
452 302 
a av3 S 
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 70H 7a* 30 
APROXIMADO 1 16* 
24a 
532 5a 
3a a 
> il ds 
3/8 4a 
4a Qe 
 
CURSOS 
SELECTOS 
 
GRACIAS 
| on (A UOH Bas Bus 
 
ASA SS ao So oe ao SE SS SS SS 
VALLEJO a 
SOS e SO SOSA So SEO eee ¡SAS SOS o Sa SOSA 
 
Congruencia de triángulos y aplicaciones 
 
 
CURSOS SELECTOS - 2021 
1. En el gráfico, el triángulo ABC es equilátero, 4. Enel gráfico, DC=7 y EC=2. Calcule AB. 
AD=BE y BD=EC. Calcule x. B D 
E 
ol al 
A E 
A) 5 B) 6 7 
D 8 E) 9 
A) 159 B) 100 O 160 5. En el gráfico, DE=BC y 2 es la mediatriz de 
D) 180 E) 120 AC. Calcule x. 
2. Según el gráfico, AB=CD y EC//AD. Calcule x. 
 
 
 
 
 
 
 
B 
E E 
P 30* B 
A 
S A) 159 EN 37/2 C) 249 
A D D) 182 E) 452 
ADJ 75? B) 65% C) 459 6. A partir del gráfico, calcule «z. 
D) 559 E) 85" 
3. Según el gráfico, AB=BC=DE y AD=DC. Calcu- 
le cz. 
20 Q 
— 1l—+ 10 + 
A) 53%/2 B)45%/2 C) 15% 
D) 309 E) 379/2. 
7. Enun triángulo A£C, se traza le 
BD, tal que AB=CD, m=<BAD=20 DD 
C=80%, Calcule m«ABD. dl 
A) 402 B) 502 C) 609 A) 502 B) 402 C) 602 
D) 709 E) 359 D) 399 E) 452 
CLAVES 01-E 02-A 03-C 04-E 05-8 06-A 07-c CLAVES 1
ASA SS ao So oe ao SE SS SS SS 
VALLEJO Geom etría 
SOS e SO SOSA So SEO eee 
 
¡SAS SOS o Sa SOSA 
Congruencia de triángulos y aplicaciones 
CURSOS SELECTOS - 2021 
1. Si las regiones sombreadas son congruentes, 
calcule ab. 
H—b-—— 
 
 
A yA A) 18 B) 16 C) 20 
Y a Y ) D) 12 E) 15 
kh am —————— 
4. Enel gráfico, AB=AE y CD+DE=13. Calcule BC. 
 
 
B 
A) 102 B) 112 C) 110 
D) 108 E) 104 
D 
2. Según el gráfico, las regiones sombreadas son 
congruentes, BC=3, AB=10 y DE=6. 
Calcule EF. 
A E 
B E 
A) 26 B) 39 0) 13 
D) 18 E) 24 
w 
D 5. Sillas regiones sombreadas son congruentes y 
a+0=180%, Calcule mxACB. 
09F A 
' 
A E 
A) v7 B) 2/2 06 
D) 5 E) 2/3 
3. Enel gráfico, AB=5. Calcule el perímetro de la A) 350 B) 309 C) 0 
región sombreada. D) 409 E) 259
Academia ADUNI - CÉSAR VALLEJO Semana 03 
Ca Ca Ca Ca Co Ca Ca Ca Ca Ca Ca Ca Ca Ca Ca Ca Ca Ha Ca Ca Ca Ca Ca Ela 
6. Enun triángulo ABC recto en B, se traza la me- A) 3 B) 2 C125 
diatriz de AC, la cual interseca a BC en D. Si D) 2,8 E) 1,5 
BD=2 y CD=3, calcule AB. 
A) F B) 6 0) 5 10. En un triángulo ABC, sobre BC y AC se ubican 
los puntos D y E, respectivamente, tal que 
D) 2/2 E) Y3 AE=EC, mxABD=100% y CD=AB+BD. Calcule 
7. Enun triángulo ABC, se traza la ceviana inte- EE 
rior BD, tal que mxCBD=90%, mxBAC=40" y 
CD=2(AB). Calcule mxABD. A) 400 B) 509 C) 700 
D) 359 E) 259 
A) 209 BI259 Ciao" 
D) 302 E) 400 11. Enel gráfico, BG y CD son bisectrices interiores 
del triángulo ABC. Si EC=5, calcule FC. 
8. Enel gráfico, AE=BC y BD=DE. Calcule x. 
 
 
 
o ñ 
D 
E 
o A 74 G La E 
F 
A) 380 B) 419 C) 420 3 B) /2 04 
D) 432 E) 399 D) /3 E) V5 
9. e el gráfico, AB=BC y EC=CD. Calcule 42. Enun triángulo ABC, AB=BC, se traza la media- 
BF" na BE y se ubica el punto D en la región exte- 
E rior relativa a BE tal que BE=ED, mxBCE=80% 
y mxCBD=55". Calcule mxBED. 
C AJ50* 
B) 40 
B 0) 302 
D) 209 
2 Ol-E 02-D 03-C 04-C 05D 06-C 07D 08-B 09-A 10-B 11-C 12-A
ASA SS ao So oe ao SE SS SS SS 
MW VALLEJO! 
SOS e SO SOSA So SA SO eo ¡SAS Seco SOSA 
 
TERCERA PRÁCTICA CALIFICADA DE GEOMETRÍA 
CURSOS SELECTOS - 2021 
1. Si BP=3 y CP=5, halle x. N7 B) 14 0) 443 
D) 5 E) 10 
4. Si AM=MB, AC=16, halle MN. 
 
 
 
A) 30 B) 37" (0)53 
qq 337 D EN 
) 2 Si 2 
 
2. Si las regiones sombreadas son congruentes, 
AB=7,DE=4 y BC=2. Calcule EF. A) 8 
dl 6 B) 4 
C) 22 
e D) 4/2 
' E) 8/2 
5. Si el triángulo ABC es equilátero, AD=BE y 
OPF BD=EC, calcule x. 
 p 
A E 
A) YM B) V7 C) 413 
D) 46 E) Y10 
3. SiBD=3,DM=4 y AM=MC, halle AC. 
A 
CA ] 
B E ae 5] D) 5”
Academia ADUNI - CÉSAR VALLEJO 
6. Si las regiones sombreadas son congruentes, 8. Según el gráfico, AB=10 y CD=4. Calcule x. 
AC=CD y BC=CE. Calcule a. 
 
 
 
B 
E 
2) 
E 20 Xx 
A D 
A 60709 
A) 530 B) 37 C) 609 
50 D) 309 E) 450 
É D 
9. Según el gráfico, AB=BC y EC=CD. Calcule 
o E a BE A) 9 B) 10 ae eel 
D) 12? E) 13? E 
7. Enel gráfico, AB=CD y AC=9. Calcule AD. 
E 
B 
A F D 
A) 3 B) 2 C)25 
D) 2,8 E) 1,5 
10. En un triángulo ABC, obtuso en C, se traza la 
altura CD, tal que mxACD=50%, mx«ABC=25* y 
BD=6. Calcule la distancia del punto B hacia AC. 
 
 
A) 18 B) 27 C) 21 A) 3v2 B) 247 03 
D) 24 E) 15 D) 6 E) 2/2
tr tu ACADEMIA mama 
INSTITUTO DE CIENCIAS Y HUMANIDADESCLAVES DEL TERCER EXAMEN DE GEOMETRÍA 
CURSOS SELECTOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
N* PREGUNTA 
1 B 
2 Cc 
3 E 
4 A 
5 D 
6 B 
í A 
8 B 
A) 
10 D ' 
CURSOS 
 
SELECTOS 
pe E ”rrrry A lla LEG 
(2 GUCH Bo Brest 
CURSOS 
SELECTOS 
Curso: Geometría 
Tema: Cuadriláteros 
 ACADÍIIA = 
A CESAR ; CUT O
URSOS 
OBJETIVOS 
1. Conocer la definición y clasificación de los cuadriláteros. ventana de forma trapecial: parte 
de la estructura de la ciudadela de 
a . Machu Picchu. 
2. Conocer los teoremas de los diferentes tipos de 
cuadriláteros. 
3. Aplicar lo aprendido en problemas de diferentes 
concursos de examen de admisión. 
 Manto e Paracas: diseños 
policromos, expresan una 
diferenciación social. E Años 
CUADRILÁTERO 
DEFINICIÓN Figura geométrica de cuatro lados. 
ZA ABCD: cuadril. convexo 
Se cumple: 
 
0+a+B+w= 360 
 
 
 x+y+2z2+w= 360% 
 
 
¿L ABCD: cuadril. no convexo 
Se cumple: 
Y 
O+a+p=x 
 
 
 
 
CLASIFICACIÓN SEGÚN EL PARALELISMO DE SUS LADOS 
A) TRAPEZOIDE No tiene lados opuestos paralelos. 
SIMÉTRICO 
E No 
aX+n 
 
 
 
ASIMÉTRICO 7 Wa 
No presenta simetría respecto a sus 
diagonales. 
En los problemas; cuando no 
especifican el tipo de trapezoide,. 
se dibuja al asimétrico. 
02
LE CUADRILATERO 
 
En un trapezoide ABCD, los ángulos opuestos DÁB y BCD miden 76* y 154? 
respectivamente. Halle la medida del menor ángulo formado por las bisectrices 
de los ángulos ABC y CDA. 
 
Piden x 
/ARBCD: rs loa do ! 
LC ABRO: 15h —x =9 +04 76 
E 
154 —2x= 76* 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
78% = 2x 
06 
CUADRILÁTERO 
B) TRAPECIO TEOREMAS EN LOS TRAPECIOS 
Un par de lados opuestos paralelos. + BASE MEDIA O MEDIANA DEL ODO RAPE SONS FELES 
< TRAPECIO 
ISOSCELES b 
a 
a _b+a 
a == > 
NO 7] 0 
A h | 
n n dx y 
=>. 3 
. + DISTANCIA ENTRE LOS PUNTOS a 
ESCALENO RECTÁNGULAR MEDIOS DE LA DIAGONALES Se cumple: 
Se cumple: a+b mn 
a > E NA 
b _b-a 
yI=7>2 
ÓN 
 
 
 
iO CUADRILÁTERO 
ad adoz 100 
el 2 En un triángulo ABC, D es punto medio de AB y E es un punto sobre BC, tal que DE || AC. 
Si P y Q son los puntos medios de AE y DC, respectivamente, y PQ=6cm, halle AC. 
 
Piden x 
» AABC: por base media del triángulo 
>DE=x/2 
» ADEC: por base media en el trapecio 
yt 
2 
 
CURSOS 
EJERCICIO 3 Resolución: 
 
Nos piden PQ = x 
 
Del gráfico, si AM=MB=3 y 
CN = NB = 4.[Calcule PQ 
 
 
 
 
 
 
 
A 3 3 É 4 C 
R | 2 10 | 
E LA 
5 "EL 4ABC es notable de 37" y 53*: AD=3, (ER A /DDE= 3 
ñ = Por base media en 4ABC: " MDEN es ol base media: 
A >MN=5 A x= 
R = Del recordar, prolongamos MP y NQ 2 
Ñ y = Enlos triángulos MAD y NCE isósceles: ] “ae
CURSOS 
C) PARALELOGRAMOS ROMBOIDE RECTÁNGULO 
c C 
Par de lados opuestos paralelos. 
a a 
Lados opuestos de a 
igual longitud 
ROMBO CUADRADO 
CUADRILÁTERO 
 
 
 
 
 
 
 
 0: Centro 
O: biseca a las 
diagonales 
 
 
 
 
Ú 
LE 
0:centro 450 
q a 
m=mn 
0=> oe 
m 
CUADRILÁTERO 
 
 
 
 
CURSOS 
iia 
EJE 
 
En la figura, QP | RS ; RS=6cm y QR=9cm. Calcule QP. 
 
Piden x 
+ Setraza SL || RQ formando el 
paralelogramo QRSL. 
>0QL=6, SL=39 
y maQLS = 2a 
» ASLP: isósceles 
>LP=9 
* Finalmente: 
“xa=15 
60 
 
CURSOS 
EJERCICIO 5 E 
 
[Según el gráfico ABCD es un cuadrado| 
dondelE es punto medio de AD] calcule a 
B C 
 
 
A E D 
RECUERDA 
 
 
 
E 
U 
A 
D 
R 
A 
D 
a | Blas". le 
6 E 
CURSOS 
EJERCICIO 6 
PS dd 
 
[Si ABCD es un rombo, donde BD = 14ly 
|BF =4 [BF = 4 [calcule ED. 
 
 
y 
 
Resolución 
Nos piden « 
 
 
 
Resolución 
Nos piden x 
 
 
Dato: AE = ED 
Como ABCD es un cuadrado, 
entonces: 
mxABD = 45? 
Se observa en B 
>a +y =40 0... (0) 
ABAE: Es notable de= 
53" 
>y= 2 
Reemplazamos en (i) 
o 
= o 2 45 a+ 
37" 
2 
 62 
" EnaFEC: 
maBFC = 90-08 
= Trazamos la diagonal AC 
maBCA = mapDCA = 28 
>5mxEC0 =0 
" EnAECO: 
mx0EC = 90 — 9 
= Se observa que AFBE 
es isósceles: 
E DN 14-— An 
3 CI 
0
| CUADRILÁTERO 
PROPIEDADES ADICIONALES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para todo rombo Para todo cuadrado Para todo cuadrado 
P 
Ñ q a a 
h 
w 
añ b 
b 
0 
ab 
n= m 0=f IED 
0 == B A = Y 
06 
CURSOS 
EJERCICIO 7 iz , 
p = Resolución Nos piden 9 
Del gráfico] ABCD es un cuadrado] Si Dato: 
[4Q = QPCalcule 0, AQ =0Q0P=a 
B C B t C 
. = Como BD es diagonal o eje de simetría 
9 0 del cuadrado ABCD. 
= Trazamos AP tal que por la simetría: 
AP=PC=b 
b mxPAQ =0 
= El AAQP esisósceles: 
f mxAPQ =0 
maPQD = 20 (por ángulo externo) 
e Q E HL = EnelAQDC: 
| p :.0=30% M 
La diagonal 6 20 
también es un A id Q D 
eje de simetría 
 
CURSOS 
SELECTOS 
 
GRACIAS 
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ESO SA SOS So SAO SA SAS eo SOS SA So SSA Sa SO E So Sa So SS Sa eo So Eee 
Cta 
¡SAS SOS o Sa SOSA 
VALLEJO 
Soano SO So eo SO SSA el 
 
Cuadriláteros 
CURSOS SELECTOS - 2021 
 
 
 
 
 
 
 
 
En un trapezoide ABCD, AB=30, BC=8, mxAB- 5. SiABCD es un rectángulo de centro O, calcule 
C=90% y m«BAD=45". Desde el punto medio la mxBPA. 
Q de CD, se traza QM perpendicular con AB, tal 370 
que BM=9. Calcule MQ. A) a B P É 
o E 
A) 10 B) 11 0)9 B) 30 
D) 12 E) 13 ae O 
2 
En el gráfico, ABCD es un trapecio isósceles, tal D37?> 4 D 
que BC//AD y BC=3. Calcule el perímetro de la E) 14? 
región cuadrada sombreada. 
A) 16 6. Enel gráfico, O es centro del cuadrado ABCD. 
B) 20 Calcule q. 
C) 843 a 
D) 12 302 
E)16/3 A D 
1209 
Si ABCD y EFGH son rombos, calcule la medi- 
da del ángulo que determinan AC y FH. O ls 
B 
A) 409 c 
B) 609 A D 
C) 509 F G 
D) 20% A) 152 B) 182 C) 102 
EJ Ue 0 D) 202 E) 12 
A D E H 
7. Según el gráfico, ABCD es un romboide, AD=8 
En el gráfico, ABCD es un cuadrado y BE=EF. 
Calcule x 
 
 
y AB=5. Calcule DN, 
 
 
B E 
E 
x o E 25 
A D 
A) 659 B) 752 0) 450 A) 3 B) 2 OTS 
D) 859 E) 550 D) 2,5 E) 1 
C L AV E 5 01-A 02-D 03-C D4-E 05-C 06-A 07-8 C L AV E s 1
VALLEJO) 
Scan aa Sa SS eo So So SS o SA So So SSA Sa So a SO So SSA SO So SE SO So So Seo ea 
| yy omic: 
 
SO SAS SS SO SSA e 
Cuadriláteros 
CURSOS SELECTOS - 2021 
1. Si las bases de un trapecio tienen longitudes 
6+m y 8-m, calcule la base media de dicho 
trapecio. 
m5 B) 6 O 7 
D) 8 E) 9 
2. Si en un cuadrado la diagonal es 542, calcule 
la suma de longitudes de sus 4 lados. 
A) 10 
D) 20 
0) 1542 
E) 20/42 
B) 15 
3. SeaABCD un paralelogramo y BE=EC, calcule x. 
 
 
 
A) 10 
D) 13 
B) 11 C) 12 
E) 8 
4. En el gráfico se muestra un trapecio de bases 
BC y AD, M y N son puntos medios de AB y CD 
respectivamente. Si BC=1 y AD=4. Calcule PQ. 
A D 
A) 3/5 B) 3/2 C) 5/3 
D) 4/3 E) 7/5 
5. Según el gráfico, ABCD y MBQOR son cuadra- 
dos. Calcule x. 
 
 
B E 
0 
M 
09 x 
A D 
A) 852 B) 759 C) 559 
D) 65" E) 709 
6. Según el gráfico, ABCD es un rombo. Calcule x. 
 
B 
1302 
A S C 
D 
A) 1250 B) 1059 O) 1359 
D) 1159 E) 1459 
ga Si ABCD es un paralelogramo, además, Z y 
PF) son mediatrices de AD y CD, calcule x. 
 
 
B 
Xx 
A 
A) 362 B) 452 C) 350 
D) 509 E) 409
Academia ADUNI - CÉSAR VALLEJO Semana 04 
a Ea Pa Ea Ea Co Pa Ca Po Ca Co Ca Co Pa Pa 20 Co Po Ca Co Pa Co CO Ela 
8. Si ABCD es un cuadrado y AE=7(EC) (E€AC ), A) 459 B) 370 C) 539 
halle la mxBEA. D) 609 E) 309 
A) 530 B) 372 C) 609 10. Del gráfico ABCD y AEFB son un cuadrado y un 
D) 742 E) 46% rombo respectivamente, si AD=5, calcule el 
perímetro de la región sombreada. 
9. Según el gráfico, ABCD es un trapecio isósce- 
 
 
les de bases BC y AD. Si AM=2(BD), calcule x. D € 
Z F 
DS 
A B 
A) 20 B) 21 C) 22 
D) 23 E) 24 
 2 01-C 02D 03C 04-B 05-A 06-D 07-E 08-A 09-E 10-E
ESO SA SOS So SAO SA SAS eo SOS SA So SSA Sa SO E SoSa So SS Sa eo So Eee 
ILL VALLEJO |! 
SOS e SO SOSA So SA SO eo ¡PASEA 
 
CUARTA PRÁCTICA CALIFICADA DE GEOMETRÍA 
CURSOS SELECTOS - 2021 
1. Si en un trapecio las bases son a+2, a—1 y la A) 19 B) 32 C) 28 
base media es 7, calcule el valor de a es D) 33 E) 35 
A 1 B) 2 ja 
D) 4 E) 5 5. Sea ABDE un paralelogramo, calcule la base 
media del trapecio ABFE. 
2. Sea una región rombal de diagonales 6 y 8, cal- 
cule el perímetro de dicha región. B F D 
A) 5 B) 10 C) 15 10 
D) 20 E) 25 ye 
Á 20 E 
3. Enun trapecio ABCD, BD=AD. Si el ángulo DCB 
mide 110" y el ángulo CBD mide 30", calcule la 
mxADB. A) 18 B) 15 0155 
D) 14 E) 16 
 
6. Sea ABCD un cuadrado y CF=FB, calcule x. 
 
 
 
A B DY 3 E1C 
A) 90” 
B) 100* F 
C) 80? 
D) 110* x 
E) 120? A B 
4. Calcule el perímetro de la región trapecial. 
A) 43/72 
10 , B) 41/2 
ESA 
D) 532 
E) 452 
 
Academia ADUNI - CÉSAR VALLEJO 
7. Si en un rombo las diagonales son 10 y 24, cal- 
cule el perímetro de dicha región rombal. 
A) 26 B) 13 C) 39 
D) 52 E) 60 
Sean ABCD y CFED paralelogramos de centros 
G y H respectivamente. Si AE=6 calcule GH. 
B E 
F 
E 
E 
A) 1 B) 2 Ca 
D) 4 E) 6 
En el gráfico se muestran dos cuadrados, cal- 
cule DF. 
 
 
 
D C 
a 5 E 
1 
A B E 
A) 3 B) 6 O5 
D) Y5 E) 410 
10. Del gráfico ABCD es un cuadrado, calcule oz 
 
 
D E 
10a 
5a 
A B 
A) 12? B) 15? CO) 16? 
D) 24? E) 18?
cs: ACADEMIA cea 
ACADEMIA es 
INSTITUTO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES 
CLAVES DEL CUARTO EXAMEN DE 
GEOMETRÍA 
CURSOS SELECTOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
N* PREGUNTA 
1 E 
A D 
3 B 
4 B 
5 B 
6 D 
iZ D 
8 E 
10 A ' 
 
CURSOS 
SELECTOS
CURSOS 
 
SELECTOS 
pe E ”rrrry A lla LEG 
(2 GUCH Bo Brest 
CURSOS 
SELECTOS 
Geometría 
Tema : Circunferencia | 
 ACADÍIIA =- 
E CESAR ; ETT 06
CIRCUNFERENCIA 
fjistoria.es/hantigua/articulo/la-rueda-un-invento-redondo 
 
 
 
Se dice que la rueda fue uno de los inventos que produjo un 
avance significativo en el trabajo del hombre y desarrollo de 
la humanidad. Desde tiempos antiguos hasta la actualidad 
claramente hay un gran avance en cuanto a su 
perfeccionamiento. 
La rueda dependiendo de su aplicación, finalidad y superficie 
de trabajo, esta hecha de diversos materiales. Pero casi todas 
presentan la misma funcionalidad, la cual es, producir 
movimiento. 
CIRCUNFERENCIA 
OBJETIVOS 
1. CONOCER LA DEFINICIÓN Y LOS ÁNGULOS 
ASOCIADOS A LA CIRCUNFERENCIA. 
2. CONOCER LOS TEOREMAS EN LA 
CIRCUNFERENCIA A PARTIR DE SUS ELEMENTOS. 
3. APLICAR LO APRENDIDO EN PROBLEMAS TIPO 
EXAMEN DE ADMISIÓN UNMSM . 
 
cursos 
DEFINICIÓN 
Figura geométrica plana formada por un conjunto 
de puntos que equidistan de un punto fijo del 
mismo plano. 
O: centro 
CIRCUNFERENCIA 
R:radio 
ELEMENTOS ASOCIADOS 
 
 
punto de 
tangencia diámetro 
 
 
+ Medida angular de la circunferencia: m O= 360* 
» Longitud de la circunferencia: LO= 21TR 
 
 
CURSOS 
ii E 
ÁNGULO CENTRAL 
2x 
b e 
ÁNGULO INSCRITO 
ÁNGULO SEMI-INSCRITO ÁNGULO INTERIOR 
T: punto de 
tangencia 
 
_O+a 
 
 
 
tangente 
secante 
mÁB: medida del arco AB mÁB =0 
Or 
ÁNGULOS ASOCIADOS A LA 
CIRCUNFERENCIA 
ze C 
 
EJEMPLO NN 
En la figura, AB es diámetro de la A NOS E 
circunferencia, y mBÁC =55". 
Encuentre el valor de mAÉC. 
E 
cnn LBO? vo 
f na Piden x. Pl C 
* Por< inscrito: 
—— 
>mAC = 2x 
+ Porx inscrito: 
>mCB = 110" 
 
En la semicircunferencia: 
2x + 110? = 180" 
X= 352
na ÁNGULOS ASOCIADOS A LA 
 
SELECTOS 
CIRCUNFERENCIA 
— EEMPLO : ÁNGULO EXTERIOR 
Según el gráfico PA y PB son 
(> Se cumple tangentes calcule el valor de x si la 
medida del ángulo ARB =120". E 
 
 2 B 
NH Piden x. 
+ Porx inscrito: 
 
Se cumple > máB = 240" 
» Luego: 
B UU 9 __— 
x= 5 mARB = 120? + Teorema: T:punto de tangencia 
Y Se cumple 
 
P x + 120? = 1809 
2 =600 
T y P:puntos de tangencia 
 
0 TEOREMAS EN LA CIRCUNFERENCIA 
TEOREMAS 
0 — EJEMPLO 
8 
Del gráfico, si O es centro. Calcule x. 
Sia=b 
 
mM
».
 
o
s
a
 
y [3
 1 2 
 
 
Piden x. 
Si AD 1 BC * Prolongamos AC 
E >AC=CD=3 
a . SS 
R >máD = 100 
D Se cumple: » EnlaCircunferencia: 
A A 100% + 100% + 2x = 3600 
a — 2x1 =809 
CURSOS 
SOBRE RECTAS TANGENTES 
(NT Se cumple 
T: punto de tangencia 
OBSERVACIÓN: 
Á T y P:puntos de tangencia 
 
 
 
Al trazar los radios a 
los puntos de 
tangencia, se formará 
un cuadrado. 
 
CURSOS 
Aia 
Se cumple 
 
 T y P:puntos de tangencia 
TEOREMAS EN LA CIRCUNFERENCIA 
 
En la figura, calcular x si L es 
tangente a la circunferencia. 
 
Piden x. 
Se traza OT, por teorema: 
O L. 
L AAOT: isósceles 
> mAiATO = x 
. Luego: 
x +90? = 110? 
“x= 200 
TEOREMAS EN LA CIRCUNFERENCIA 
 
Del gráfico, T y p son puntos de 
tangencia. Calcule x. (O: centro) 
10 
13 
kl A 
a o 
Piden x. 
 
 
 
 
 
Por teorema: 
AP =10 
y AO: bisectriz 
En A APO: Notable de 53*/2 
>0P=5 
En A OPB: por Pitágoras 
>PB=12 
=D 
 
12 10
| 
PROPIEDADES ADICIONALES 
UNFV 2019 
 
P SEMICIRCUNFERENCIA En la figura, AB es diámetro. Si 
 
B 
P: punto cualquiera mCAE 
= 6x. Halle el valor de "x". 
Se cumple: 
, 
| a= 90" | 
| ? 
Piden x. 
“Ue E / . Como AB es diámetro: 
e O > mxACB = 90 
CUADRANTE 
» Porx inscrito: 
> mAEBC = 3x 
P: punto cualquiera + EnaADCB: Se cumple: 2x + 3x = 90% 
“x= 
062 
CURSOS 
SELECTOS 
 
GRACIAS 
— 
MAA IZ COLEGIO OZ GGUCH Boots Breti
ASA SS ao So oe ao SE SS SS SS 
VALLEJO 
SOS e SO SOSA So SEO eee ¡SAS SOS o Sa SOSA 
 
Circunferencia | 
 
CURSOS SELECTOS - 2021 
1. Apartir del gráfico, calcule a—«. A) 30? B) 10? C) 20? 
D) 15? EJ 12" 
A) 80” DE 
B) 70? 5. Apartir del gráfico, calcule —. 
C) 607 
BC 
D) 50* 
E) 75* 
 
2. Se traza una recta tangente a una circunferen- 
cia y desde los extremos de un diámetro se tra- 
zan perpendiculares hacia la tangente. Si estas 
perpendiculares miden 7 y 33, calcule el radio. 
 
A) 1 B) 2 C)L5 
A) 40 B) 30 C) 20 D) 0,5 E) 3 
D) 36 E) 38 _ _ 
6. Enel gráfico, mAB=50". Calcule mCD. 
3. Enel gráfico, T es punto de tangencia y ABCD 
es un cuadrado. Calcule «. 
 
 
 
B E 
T, 
A D 
A) 40 B) 80? "NS 
A) 15" B) 45 0) 37 D) 60 E) 50 
D) 532 E) 30" 
7. Enel gráfico, AB=CD. Calcule «. 
4. Enel gráfico, B y D son puntos de tangencia, tal 
que ABCD es un romboide. Calcule ax. 
 
A) 14? B) 15 C) 16” 
D) 18* El 12" 
CLAVES 01-A 02-c 03-E 04-A 05-8 06-E 07-D CLAVES 1 
 
ESO SA SOS So SAO SA SAS eo SOS SA So SSA Sa SO E So Sa So SS Sa eo So Eee 
LLL Práctica domiciliaria 
CÉSAR > 
VALLEJO Geometría 
Saa a oa coacalco feo Sofa aca ea cocoa 
 
Circunferencia | 
CURSOS SELECTOS - 2021 
1. Del gráfico mostrado, halle mAB . 4. A partir del gráfico, calcule «. 
A 
X MN B O 55" 
AS 
A) 150* B) 100? C) 110? 
D) 130* E) 140? A) 130? 
B) 120? 
2. Del gráfico mostrado, T es punto de tangencia, C) 1509 
halle x D) 140? 
7 E) 160 
5. Se tiene una circunferencia cuyo radio mide 
5. Calcule la longitud de la cuerda correspon- 
— diente a un arco que mide 106". 
A) 10 B) 12 0) 15 
D)8 E) 16 
o pl B) 50 a des 6. En a gráfico, A es punto de tangencia. Calcule 
m£C. 
3. Apartir del gráfico, calcule cz. 
> 
ted Ear 0) 20" A) 100? 
B) 70* C) 607 
D) 30* 
E) 602 
D) 90? 
E) 80* 
 
Academia ADUNI - CÉSAR VALLEJO Semana 01 
Ca Ca Ca Ca Co Ca Ca Ca Ca Ca Ca Ca Ca Ca Ca Ca Ca Ca Ca Ca Ca Ca Ca Ea 
7. Según el gráfico, AB = 3/2. Calcule m£C. 
 
A) 132 
D)15 
B) 14? C) 16? 
EJ 12 
8. Según el gráfico, CD=3 y DE=1. Calcule AB. 
 
 
A) Y11 B) 245 C) 413 
D) 26 E) V15 
9. En el gráfico, F es punto de tangencia, EO=15 
y ABCD es un cuadrado. Calcule R. 
B Cc 
 
 
 
A D 
A) 8,5 B) 12 C) 10 
D) 9 E) 7,5 
2 01-C— 02-D 03-E 04-A 05-D 06-E 
10. Desde un punto P exterior a y una circunfe- 
rencia,se trazan las tangentes PA y PC, tal que 
m«xAPC=60" y AB es diámetro. Si Q es punto 
medio del arco menor AC , calcule mx POB. 
A) 140? 
B) 150* 
C) 130* 
D) 120? 
E) 110? 
11. Enel gráfico, Tes punto de tangencia. Calcule a. 
 
A) 52? 
D) 42? 
B) 72* C) 82" 
E) 62* 
12. En el gráfico, T es punto de tangencia y ABCD 
es un cuadrado. Calcule el perímetro de la re- 
gión sombreada. 
 
 
 
B E 
LJ 
L 
T E 257 
A ” D 
A) 8 B) 10 0112 
D) 14 E) 16 
07-C€ 08-B 09B 10'B_— 11-E 12-A
Scan aa Sa SS eo So So SS o SA So So SSA Sa So a SO So SSA SO So SE SO So So Seo ea 
VALLEJO! 
 
PRIMERA PRÁCTICA CALIFICADA DE GEOMETRÍA 
CURSOS SELECTOS - 2021 
1. Apartir del gráfico, calcule x. 4. Enel gráfico, T es punto de tangencia, DF=R y 
ABCD es un rectángulo. Calcule q. 
 
 
 
 
Y Cc ¿R 
a OS 
; 
3 ol 
A F D 
A) 607 B) 13572 cía 
A) a+c-b B) a+b-c O b+c-a D) 143>/2 E) 127:/2 
D) a+2b-=c E) 2a+c-b 
o 5. Según el gráfico, T to de t ia. Cal- 
2. Sean 4, y 4, rectas tangentes de una circun- e de A O e TAS 
ferencia en A y B, respectivamente, tal que 
mAB=240* y el radio mide 9. Calcule la distan- 
cia del centro de la circunferencia al punto de 
intersección de las rectas. 
A) 16 B) 15 GIL 
D) 21 E) 18 
3. Enel gráfico, AB=CD. Calcule «. 
A) 15? B) 20? EJUS 
D) 122 E) 18? 
6. Desde un punto Q se trazan la tangente QA y 
la secante QBC hacia la misma 1 circunferencia, 
tal que AC es diámetro. Si CQ=1 AE 
distancia del centro hacia elt pu 
AQ. 
SIMIOPIAN 
A) 722 B) 74? C) 64* A 4 B) 3 O5 
D) 68" E) 62? D) 7 E) 6
Academia ADUNI - CÉSAR VALLEJO 
 
 
7. Enel gráfico, AB=BC. Calcule mDE. A) 11 B) 413 C) 410 
D) Y12 E) /14 
9. En el gráfico, A y B son puntos de tangencia. 
B Calcule mxADB. 
A 
A) 60? B) 50? ENT" 
D) 45? E) 80? 
 
8. Según el gráfico, OP=PQ y AB=BP. Calcule 
CD. 
A) 100% B) 105? C) 95? 
c 3 D) 1152 E) 120* 
E 10. Desde un punto P exterior a una circunferen- 
cia, se trazan las tangentes PA y PC, tal que 
mxAPC=80* y AB es diámetro. Si Q es punto 
medio del arco menor AC , calcule mxPQB. 
B 
A) 145” B) 135? C) 115* 
Q D) 1552 E) 125* 
 
 
 
cs: ACADEMIA cea 
ACADEMIA es 
INSTITUTO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES 
CLAVES DEL PRIMER EXAMEN DE GEOMETRÍA 
CURSOS SELECTOS MÓDULO Il 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
N* PREGUNTA 
1 A 
2 E 
3 A 
4 C 
5 B 
6 E 
Y D 
8 B 
9 E | 
10 D ' 
CURSOS 
 
SELECTOS 
pe E ”rrrry A lla LEG 
(2 GUCH Bo Brest 
CURSOS 
SELECTOS 
Curso: Geometría 
Tema: Circunferencia ll 
Docente: 
ACADEMIA
CURSOS 
SELECTOS 
OBJETIVOS 
> Conocer las posiciones que adoptan dos 
circunferencias en el plano. 
>» Igentificar 
de dos circunferencias. 
> Aplicar correctamente los teoremas en la 
resolución de problemas. 
CURSOS 
Aia 
Son aquellas circunferencias que no se 
intersecan y una de ellas se encuentra en 
la región exterior de la otra 
 
los diferentes teoremas 
relacionados con las posiciones relativas 
CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES 
 
 
 
 
 
d: distancia entre los 
centros, 
Si A, B,C,D son puntos de tangencia. 
>| AB =CD 
mAD =mBC 
 
AD 1 BC 
 
DEMOSTRACIÓN: 
 
Por teorema 1: + Porteorema 2: 
EnC,¡AP=PD=m EnC¡f +06 = 180" 
EnC¿BP=CP=nm EnC, B + a = 180" 
> [0=a] 
a=m-=n 
b=m-=n 
> [a =»] 
 
Por < semi inscrito: 
En C, mxADP = af2 
En Ca maBCP = aj2 
 
 
AD 1 BC 
 
Teorema 1 
 
 
 
SIA y B sor 
puntos de 
tangencia: 
 
 
 
 
 
 
SiT y QA son 
puntos de 
tangencia: 
 
 
 
 
CURSOS 
APLICACIÓN 
En el gráfico, A,B,C y D son puntos 
de tangencia. ¡Calcule mED + mEC. 
 
 
 
TEOREMA 
 
S Sl 
CURSOS 
APLICACIÓN 
 
 
Del gráfico A, B, C y D son puntos de 
 tangencial Si AM= 3 y MD=BN=4.] 
Calcular NC. 
B 
A 
IN 
D 
 
Lx EY 
En un trapecio isósceles se cumple 
Y = 
RESOLUCIÓN: 
Piden: mED+mFC=a+08 
 
» Porel teorema: AD || BC 
» Luego por teorema con paralelas “serrucho”: 
RESOLUCIÓN: — Nos piden NC = x 
Dato: 
AM =3 
 
 
 
“a+0= 2002 
ea 
Como A, B, C y D son puntos de 
tangencia: 
Por teorema 
AB=(CD=a 
AD 1 BC 
Por lo tanto ABCD es un 
trapecio isósceles. 
Altrazar APyDQ 
perpendiculares a BC se forma 
APNM y MNQD rectángulos: 
NP=3 NQ=4 
Por observación: 
BP=COASTL 
x=4+1 
E=n62
CURSOS | CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES 
+ Si T es punto de tangencia: 
=> | 0,,T y 0, son colineales RESOLUCIÓN: 
Piden: x 
 
 
 
002 =d=R+r 
 
APLICACIÓN Calcule x. (P y T puntos de 
tangencia) + Porteorema O,T y O”: colineales: > 00'=5 
+ Luego trazar radio al punto de tangencia PO'=3 
- 40PO": notable de 53" 
+ Por <central, diremos que: 
 
CURSOS 
 
 
APLICACIÓN 
) RESOLUCION: 
En el gráfico, M, N, P y Q son puntos de tan- Piden : x + y 
gencia yimPO = 509 Calcule m MNQ +mLNP. 
O ED 
A) 150* B) 200* 
oa 
TEOREMA 
» Porteorema : 0, ,Q y 0): Colineales 
+ 0,,Py03:Colineales 
» Luego trazar radio al punto de tangencia 
» Porángul tral 
0,,T y 0, son colineales A 
M 
 
cursos 
APLICACIÓN 
Resolución 
Piden: R 
En la figura mostrada, si AB = 42m, halle 
 
R (en metros). 
 
 
A) 2 B)2,5 6) 3 
 
D) 35 
| TEOREMA | 
» 0%T,0,son Colineales 
+ h 0'CO por el teorema de 
 
 
Pitágoras 
3R R QA RS 
0,,T y 0, son colineales 
cunsos CIRCUNFERENCIA 111 
| TEOREMA | ! 
DEMOSTRACION 
+ Porel punto T, trazar una recta tangente: 
» Si Tes punto de tangencia: » Por ángulo semi-inscrito en £, >mAMTB = 
> » Porángulos opuestos por el vértice >maATN = 
* Por ángulo semi-inscrito en €, >a=2f0) 
2 
N
I
 
n
i
o
 
 
 
 
CURSOS CIRCUNFERENCIAS SECANTES 
 
Son aquellas circunferencias que se 
: APLICACIÓN 
intersecan en dos puntos. 
En la figura adjunta, O: centro de la 
circunferencia. Si mAB =80*, halle el 
valor de mOC. 
 
80 Piden x. 
 
Trazamos la cuerda común 
 + En ¿por x inscrito: 
 
> mxAACB = 40? 
+ Si PQ es cuerda común: 
» ABOC: isósceles 
> | PM= MQ 
> mx0BC = 400 
 
0,0, 1 PQ + En ¿por x inscrito: 
62 
 
CURSOS Pen CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES 
Son aquellas circunferencias que tienen un 
punto en común y los demás puntos de APLICACIÓN 
una de ellas están en la región interior de de . » 
ora Del gráfico, si T y D son A 
puntos de tangencia. DA O 
Calcule r. 
Piden r. 
» Se cumple la colinealidad. 
» Se observa que: 
0'0=8-r 
* Setraza0'D 
 
+ En40'DO: por Pitágoras 
 
r? 44? = (8-ry? 
y + 4? = 87 - 2(8)r + 
a y — SN E ( Y 
» Si T es punto de tangencia: 
=3|7T, 0 y 0, son colineales 
[0,0,=d=R=r] [0=a]| 
 
 
 
 
 
CURSOS CIRCUNFERENCIAS CONCÉNTRICAS 
 SELECTOS 
Son aquellas circunferencias coplanares, 
que tienen el mismo centro. 
 
D 
» SiT es punto de tangencia: 
» SiP es punto de tangencia: 
=> 
>| AB = CD 
CURSOS 
Definición: Es aquel 
cuadrilátero cuyos 
vértices se encuentran 
en una misma 
circunferencia. 
TEOREMAS 
y —_=—= 
A, 
 
 
APLICACIÓN 
Calcule el Perímetro del triángulo ABC, si 
T es punto de tangencia y PT = 6. 
B 
 
 
+ Porteorema de circunferencias 
concéntricas, PT = AQ =QC =6 
* AB=BC=AC = 12 
+. Perímetro es 36 
CUADRILÁTERO INSCRITO 
APLICACION: 
Calcule x. 
 
MABco : inscrito 23maDCN = x 
 
9 + «a = 180" 
 
pebote 
A, 
( 
Q AA 
r=B D<1 DCNM: Por Rebote “ox =80* 
CURSOS 
Teorema de Poncelet 
En todo triángulo rectángulo que presenta una 
circunferencia inscrita se cumple que la suma de 
longitudes de los catetos es igual a la suma de la 
longitud de la hipotenusa y dos veces su inradio. 
 
a+b=c+2r 
Prueba 
 
 
 
Además 
Y A la circunferencia se 
Y” Al radio r de dicha circunferencia se le 
denomina inradio del aABC. 
CURSOS 
Teorema de Pitot 
En todo cuadrilátero que presenta 
una circunferencia inscrita, se 
cumple que la suma de longitudes 
de lados opuestos es constante. 
2 
B 
b 
a 
A _———— 
y 
Además:Y” Al cuadrilátero se le denomina 
cuadrilátero circunscrito a la 
circunferencia. 
le denomina 
Circunferencia Inscrita en el AABC. 
Prueba 
 
 
b 
a 
NO z 
a b—m 
A _ BD 
y 
En el gráfico haremos uso de los 
segmentos tangentes que presentan 
igual longitud. 
y = ak A Dm 
y =a+b-(l+m) 
y =a+b=x 
¿x+y=a0+b 
Al trazar los radios se forma un cuadrado de lado r 
Notaremos que en la hipotenusa AC se cumple 
as tb r=c 
Sar+b=c+r+r 
'60 
“a+b=c+2r 
Ejemplos 
De los siguientes gráficos, calcule el 
valor de x. 
a) 4 
4+x=3+6 
6 
3 4+x=9 
-x=5 
Xx 
c) 25 
5x 
3x 
55 
3x + 5x = 25 + 55 
66 8x = 80 “x=10
| ÁNGULO ENTRE CIRCUNFERENCIAS Í 
TAREA: En el gráfico se muestran dos 
-circunferencias ortogonales, las rectas £L, y L£, 
son tangentes a las circunferencias (T y P son 
puntos de tangencia). calcule x 
Es aquel ángulo determinado por las rectas 
tangentes, sobre uno de los puntos de 
intersección, de las circunferencias secantes, 
 
Si 
L;: Tangente a la C, 
L,: Tangente a la C, 
 
 
A) 45" B) 530 C) 75% 
0: Medida del ángulos entre dos a > 
circunferencias secantes D)90* E) 120 (- | 
| 
 
 
CURSOS 
SELECTOS 
 
GRACIAS 
oeocilia TA ls COLEGIO (62 GGUCH Bos Br: 
 
ESO SA SOS So SAO SA SAS eo SOS SA So SSA Sa SO E So Sa So SS Sa eo So Eee 
VALLEJO Geom etría 
SOS e SO SOSA So SEO eee 
 
¡SAS SOS o Sa SOSA 
Circunferencia ll 
CURSOS SELECTOS - 2021 
1. Apartir del gráfico, calcule mAB. 
 
 
A) 800 B) 909 EJTOS 
D) 1009 E) 1202 
 
4. Del gráfico C es punto de tangencia. Calcule la 
medida del arco AM. 
A) 209 B) 409 C) 509 
D) 309 EJ 359 
2. Enel gráfico, A y C son puntos de tangencia, tal 
que AO=AB=4. Calcule q. 
 
A) 200 B) 259 C) 350 
D) 409 E) 709 
5. A ppartir del gráfico, calcule x. 
 
A) 699/2 
B) 6192 
C) 53%/2 
D) 599/2 
E) 679/2 3. Según el gráfico, B y D son puntos de tangen- A) 109 cia. Halle x. D) 182
Academia ADUNI - CÉSAR VALLEJO Semana 02 
6. La circunferencia está inscrita en el triángulo 7. Si ABCD es un rectángulo y T es punto de tan- 
rectángulo. Calcule AB. gencia, calcule 0. 
B 
 
 
 
 A D 
A) Y11 B) /10 C) 413 A) 379/2 B) 5392 C) 459/2 
D) 414 E) 412 D) 159 E) 189 
2 01-A 02-C 03-5 04-E 05-C 06-C 07-A
ESO SA SOS So SAO SA SAS eo SOS SA So SSA Sa SO E So Sa So SS Sa eo So Eee 
LU Práctica domiciliaria 
TT] > 
VALLEJO Geometría 
Saa a oa coacalco feo Sofa aca ea cocoa 
 
Circunferencia ll 
CURSOS SELECTOS - 2021 
1. Enel gráfico, T es punto de tangencia. Calcule A) 4 B) 3 C)S 
BC. D) /7 E) v6 
4. En el gráfico, A, B, C, D y E son puntos de 
tangencia. Calcule el perímetro de la región 
sombreada. 
 
A)6 B) 7 05 
D) 4 E) 3 
2. SiA y B son puntos de tangencia, calcule x. 
 
A) 24 B) 26 C) 28 
D) 27 E) 25 
 
5. Enel gráfico, A, B y € son puntos de tangencia. 
Calcule «. 
A) 9 B) 12 C) 15 
D) 18 E) 6 
3. Según el gráfico, A, B, C y D son puntos de tan- 
gencia. Calcule R. 
 
 
A B) 60% Cr1S 
D) 379/2 
E) 53%2 
 
Academia ADUNI - CÉSAR VALLEJO Semana D2 
Ca Ca Ca Ca Co Ca Ca Ca Ca Ca Co Ca Ca Ca Ca Ca Ca Ha Ca Ca Ca Ca Ca Ela 
 
6. A partir del gráfico, calcule oz. o: 
A) 179 B) 182 E) 159 
D) 190 E) 169 
7. A partir del gráfico, calcule x. 10. 
1 
A) 402 B) 202 (2509 
DJ 152 EJN259 
8. Sean dos circunferencias inscritas en los cua- 
driláteros. Si DE+LH=24 y EH+DL=40, calcule 
GF. 
E 
12: 
D 
G F 
H 
£ 
A) 7 B) 6 O 12 
D) 16 E) 8 
2 01-B— 02D 034 04-44 05-A 06-D 07-A 
En el gráfico, A, B y C son puntos de tangencia 
y mCD=580. Calcule a. 
 
 
A) 529 
D) 662 
B) 48% C) 460 
E) 580 
Se tiene un triángulo rectángulo cuyos cate- 
tos miden a y b. Halle la suma de longitudes 
de los radios de la circunferencia inscrita y 
circunscrita. 
 
 
A) a+b B) 2a+b 0) 2 
D) 2a+b E) a+b 
2 4 
Del gráfico calcule x. 
 
 
A D E 
A) 30? B) 35" C) 40” 
D) 45" E) 50? 
Según el gráfico, € es punto de tangencia. 
Halle la mAB. 
 
 
A) 809 B) 1009 C) 1209 
D) 902 E) 1109 
08-E 09-E 10: 11-C 128
Scan aa Sa SS eo So So SS o SA So So SSA Sa So a SO So SSA SO So SE SO So So Seo ea 
 
SEGUNDA PRÁCTICA CALIFICADA DE GEOMETRÍA 
CURSOS SELECTOS - 2021 
1. Del gráfico B es punto de tangencia, calcule x. A 7 B) 4 5 
D) 3 E) 6 
4. En el gráfico se muestra una circunferencia 
inscrita en el cuadrilátero DFCI. Si DI=6, DF=5 
y FC=7, calcule CI, 
 
 
F 
D 
A) 10? B) 11* La 
D) 13? E) 14? 
2. Del gráfico F' es punto de tangencia. Si la medi- I E: 
da del arco EF es 130", calcule x. 
A 5 B) 6 EJ? 
F, D) 8 E) 9 
5. Si hay tres circunferencias congruentes, de ra- 
dio 5, y tangentes dos a dos, calcule el períme- 
tro de la región triangular que resulta de unir 
los centros de las circunferencias. 
y A) 15 B) 20 C) 30 
A) 20” B) 25” C) 30? D) 40 E) 10 
D) 26? E) 18? 
6. Enel gráfico la medida del arco GF es 50", cal- 
3. Enel gráfico AB=15 y BC=36, calcule la medi- cule x. 
da del radio de la circunferencia inscrita en el 
triangulo ABC. 
E 
 
A) 15? B) 32* 125 
A B D) 30? E) 50?
Academia ADUNI - CÉSAR VALLEJO 
7. Calcule el radio de la circunferencia inscrita 
en un triángulo rectángulo cuyos catetos son 
3 y 4. 
A) 1 
D) 4 
B) 2 013 
E) 5 
Del gráfico las circunferencias son tangentes a 
las rectas AF y AE, calcule x. 
 
 
A) 372 
D) 53* 
B) 45" O) 74? 
E) 60? 
Del gráfico ABCD es un cuadrado y E es punto 
de tangencia, calcule r. 
 
 
 
A) 1 D 
B) v2 
0) 0,5 l 
1/21 
12 
EA A B 
10. Del gráfico ABCD es un cuadrado, calcule x. 
 
 
 
D E 
23 
45) 
G 
E 
de 
A F B 
A) 222 B) 23" C) 24* 
D) 25” E) 26”
cs: ACADEMIA cea 
ACADEMIA es 
INSTITUTO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES 
CLAVES DEL SEGUNDO EXAMEN DE 
GEOMETRÍA 
CURSOS SELECTOS MÓDULO Il 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
N* PREGUNTA 
1 a 
2 D 
3 E 
4 D 
5 C 
6 C 
Y A 
8 B 
10 A ' 
CURSOS 
 
SELECTOS 
— 0 — a A lla LEG (2 GGUCH Beat Brehi 
CURSOS 
SELECTOS 
Geometría 
Tema: Puntos notables asociados a 
un triángulo 
ACADEMIA
OBJETIVOS 
- 1. Conocer los diferentes Puntos Notables asociados al 
triángulo. 
- 2. Conocer los teoremas que se relacionan con los Puntos 
Notables. 
- 3. Aplicar adecuadamente las diferentes relaciones en 
problemas tipo examen de admisión. 
CURSOS 
Aia 
AUSENTES + Son aquellos puntos que resultan de la 
ASOCIADOS A UN concurrencia de las líneas notables de un 
TRIANGULO mismo tipo. 
Líneas notables en un triangulo Concurrencia 
+ Líneas que tienen un característica particular. + Treso mas líneas pasan por un punto 
común. 
a a E a | a E 
9 aa , á 
aja 0 Las rectas FF, LB, ,LA Y, n— 
son concurrentes en el punto P. 60 
 
CURSOS Aplicación 01 A 
BARICENTRO (6) Si G es el baricentro del triangulo ABC, BG =6 y 
+ Esel punto de concurrencia de las CG = 4, halle AC. 
medianas. 
AJ8 B)10 C)12 D)J14 EJ16 
 
 
 
* G:Baricentro del 
A ABC. B C 
* Prolongamos BG. 
 
 
 
+ Por propiedad, como BG = 6, entonces, GM = 3. 
 
+» Enel ACGM: Notable de 37*y53*, CM=5 
+ El baricentro divide a la cada mediana en 
la razón de 2 a 1. 
A + Como BM es mediana, CM = AM =5. 
+ Gesbaricentro “x=10 
del triangulo 
ABC. 
E 
CURSOS 5 .s 
| Aplicación 02 
A 
Si l es el incentro del triangulo ABC, 
INCENTRO (1) BD=ID, halle mx4C1 
+ Esel punto de concurrencia de las 
bisectrices interiores. A) 18” B)10” C)20* D)30” EJ35* ls > 
B D da 
Nos piden máACI = x 
* SeaBD=ID=a 
* Trazamos Bl, además, Bl y Cl son bisectrices, 
entonces : 
máBlC = 90047 , MáBIC= 90" 4 352 
maáBID = 35", 
+ EnelA BID: isósceles, m4/DC= 702 
 
 
 
» El incentro es el centro de la 
circunferencia inscrita. 
An, - Circunferencia inscrita * Enel A DIC: malCD <= 205 
 
+ ComoCIes bisectriz : 
“x=20% 
66 E 
CURSOS 
SELECTOS 
EXCENTRO (E) 
Es el punto de concurrencia de dos 
bisectrices exteriores y una bisectriz interior 
£ 
-" E:excentro relativo a ACAplicación 03 
En un triangulo ABC, cuyo incentro es | y excentro relativo 
a AC es E, se cumple, máCIE = 2(MAlEC). Halle málEC 
EJ60* A) 80" B)20" C)30" D)45" 
Nos piden mx/EC = x. 
A 
 B 
* Como máIEC= x,máClIE = 2x. 
Sabemos que , Cl es bisectriz interior, y CE es bisectriz exterior. 
(2 
 
* Enel A ICE:x42x = 90% 
 
El excentro es el a 
centro de la Circunferencia 
circunferencia exinscrita 
exinscrita. 
Tp: exradio 
relativo 
aAc. 
B E 
CURSOS 
ORTOCENTRO (H) 
+ Esel punto de concurrencia de las 
alturas o de sus prolongaciones. 
A A 
L 
N 
B $ E B El 
B: ortocentro del 
AABC 
A) 38* 
H: ortocentro del 
A ABC H: ortocentro del WMABC 
+ La ubicación del ortocentro depende de la 
naturaleza del triangulo ([ acutángulo, 
rectángulo, obtusángulo) 
“nx=300 
art 07, A 
Del grafico mostrado, H es el ortocentro 
del triangulo ABC, halle Ú 
B) 30" C)40" D)35* EJ36* 
A A 
A 
 
 
 
* Prolongamos BH y CH. 
+ Se observa que BN y CM son alturas 
* Sabemos, má4BHC = máMEHN = 40 
» Finalmente, en AMHN, sumamos su 
ángulos interiores : 
90” +8 + 90” + 48 = 360” 
7: 62. 
a
A 
Aplicación 05 
CIRCUNCENTRO (0) Del grafico mostrado, O es el circuncentro 
del triangulo ABC, y AC=16, halle el 
» Esel punto de concurrencia de las circunradio del triangulo ABC 
mediatrices. 
A O: circuncentro del A ABC. 
A)18 B)J15 C)10 D)J16 E)5 
B € 
 
* El circuncentro es el centro de la 
circunferencia circunscrita. 
Circunferencia 
circunscrita 
R : circunradio del 
* Trazamos OC y OB 
+ EnelA BOC: isósceles, trazamos 
la altura OH. 
* Se observa que, AQHC es 
notable de 37%y 53": 
“R= 10 
 AABC 
 
CURSOS 
Teoremas con el Ortocentro (H) y 
Circuncentro (O) 
» Teorema de Euler » Líneas isogonales 
En Ea 
— 
Recta de Euler (4) : 
A 
 
Es aquella recta que contiene al 
ortocentro(H), baricentro(G) y 
circuncentro(O) 
“2 : recta de Euler del A ABC 
Esto nos indica que en 
todo triangulo no 
equilátero, H,GyO, 
son puntos colineales. 
E, 
B C 
(2 
Aplicación 06 
En el triangulo mostrado, H es 
ortocentro y O es circuncentro, 
 
 
 
halle m4HBO 
A C 
Nos piden maáHBO = x. 
B 
 
 
 
 
* Prolongamos BH 
* Enel AABM: máABM <= 205. 
* Enel ABMC: máMBC= 30% 
* Por propiedad de las líneas 
isógonales: 
mapa máCBO = 200 
Po 109 
E Q |
CURSOS 
SELECTOS 
 
GRACIAS 
| on (A UOH Bas Bus 
 
ASA SS ao So oe ao SE SS SS SS 
VALLEJO 
SOS e SO SOSA So SEO eee ¡SAS SOS o Sa SOSA 
 
Puntos notables 
CURSOS SELECTOS - 2021 
En un triángulo ABC cuyo baricentro es G, 5. Enun triángulo ABC se ubica el incentro /, tal 
mx AGB=90%, mxGAC=45% y AG=2. Calcule que mxBIC=110*. Si H es ortocentro del mis- 
AB. mo triángulo, calcule mxABH. 
A) /13 B) 342 0) /10 A) 500 B) 400 0) 309 
o o 
D) /6 E) 2/5 PAS EE 
6. En un triángulo ABC, la ceviana interior AD 
En un triángulo ABC recto en B, mxaBCA=10" y 
contiene al circuncentro de dicho triángulo, tal 
AC=36. Calcule la distancia del ortocentro a la que CD=0B y m«OBC=400. Calcule m<DAC. 
hipotenusa. 
A) 25% B) 209 C) 409 
A) 12 B) 10 C)9 D) 359 E) 509 
D) 11 E) 8 
7. Enel gráfico, G es baricentro del triángulo ABC 
3. En uun triángulo ABC recto en B, se ubica el y BC=18. Calcule el perímetro de la región 
incentro /, tal que /A=3V/2 y Cl=1. Calcule cuadrada sombreada. 
 
 
 
m=«BCA. 
A 
A) 742 B) 532 E 0 
D) 602 E) 450 
C 
4. Enun triángulo ABC, se ubica el excentro E re- G 9 
lativo a BC, tal que AC=EC y AE interseca a BC 
en D. Calcule On B 
<BAC 
A) 1,5 B) 3 0) 1 A) 20 B) 28 0) 36 
D) 2 E) 0,75 D) 24 32 
 
CLAVES 01-E 02-c 03-A 04-A 05-A 06-D 07-D CLAVES 1
ao o o a o ao ao ao ao ooo ao oa ooo 
LU / Práctica domiciliaria de 
mm ACADEMIA. mu 
EZ 
"Z 11177] 
SO SAS SS SO SSA e ¡SEAS SA OS oo Se 
 
Puntos notables 
CURSOS SELECTOS - 2021 
1. En un triángulo ABC cuyo baricentro es G, 7. Enuun triángulo ABC, se ubica el excentro E 
m=xAGB = 909, maGAC=37" y AG=4. Calcule AB. relativo a BC, tal que AB=BC, AC=6 y mxbBA- 
C=530, Calcule BE. 
A) 437 B) 347 0) 2413 
D) 451 E) /39 A) 8 B) 6 O 
D)5 E) 9 
2. Enun triangulo ABC, cuyo ortocentro es H, tal- 
que, mxABC=500, halle mxAHC. 8. En el gráfico, H es ortocentro y £ es excentro 
del triángulo ABC. Calcule ox. 
A) 509 B) 252 9) 1508 
D) 1309 E) 1009 
3. En un triángulo acutángulo ABC, cuyo cir- 
cuncentro es O, tal que, mxAOC=80%, halle 
m=xABC. 
A) 20% B) 809 C) 409 
D) 509 E) 1009 
4. —Enun triángulo ABC recto en A, cuyo baricen- 
tro es G, BC=6. Calcule el perímetro de la re- 
gión cuadrada AGMN. 
A) 16 B) 12 08 A) 152 B) 202 EN2a* 
D) 20 E) 18 D) 182 EA A2 
 
5. En un triangulo ABC, / es su incentro y 9. Enel gráfico, T es punto de tangencia y ABCD 
E es su excentro relativo a BC, tal que, es un cuadrado. Calcule la distancia del bari- 
m=xBIC=2(m=xBEC), halle mxABC. centro del triángulo FBC hacia BC. 
A) 909 B) 1509 C) 602 B C 
D) 1209 E) 1359 
 
6. Enun cuadrante MON se inscribe una circunfe- 
rencia de centro C cuyo radio mide 2, además a 
esta circunferencia es tangente a los radios del F 
cuadrante en A y B. Calcule la distancia de B 
hacia el circuncentro del triángulo NBC. A 
 
 
A) V5 B) /6 0) 3 A) 6 B) 7 08 
D) 47 E) Y2 D) 9 E) 10
Academia ADUNI - CÉSAR VALLEJO Semana 03 
10. En un triángulo ABC, por el incentro / se tra- 12. Según el gráfico, AB=BC. Calcule el perímetro 
za una perpendicular a CA que interseca a BC de la región sombreada. 
en D, tal que CD=15 y mxACB=37". Calcule la 
distancia del incentro hacia AB. 
A) 3 B) 4 05 
D) 2 EN-1 
11. Enun cuadrante MON se inscribe una circunfe- 
rencia de centro C cuyo radio mide 6, además 
esta circunferencia es tangente a los radios del 
 
cuadrante en A y B. Calcule la distancia de B A) V35 +15 
hacia el circuncentro del triángulo NBC. B) V42 +14 
C) V43 +13 
A) 342 B) 2/16 C) v15 D) 473 +13 
D) 243 E) 343 E) 446 +13 
2 01-C 02-D 03-C 04-C 05-C 06-C 07D 08-B 09-A 10-B — 11-E 12-D
ESO SA SOS So SAO SA SAS eo SOS SA So SSA Sa SO E So Sa So SS Sa eo So Eee 
MN vaLLEJO A 
 
TERCERA PRÁCTICA CALIFICADA DE GEOMETRÍA 
CURSOS SELECTOS - 2021 
1. Sea G baricentro del triángulo ABC, calcule 4. Del gráfico, E es excentro del triángulo ABC, 
GD/GB. calcule x. 
ñ B E 
A) 0,5 
B) 2 
O 1 
D) 0,25 
E) 4 
A D 6 Á C 
2. Según el gráfico / es incentro del triángulo A) 902 B) 602 C) 809 
ABC. Calcule x+y. D) 459 E) 75 
5. Según el gráfico G es baricentro del triángulo 
ABC y GC=10, calcule DE. 
 
 
 
 
 
 
 
B 
D 
E 
A) 159 
RJ) 25 A E 
C) 459 
D) 552 A) 4 B) 10 05 
E) 359 D) 8 E) 2,5 
3. Del gráfico / es incentro del triángulo ABC. 6. Según el gráfico G es baricentro de ABC. Si 
CE=10, calcule AB. 
B 
LD C 
80” 
I 
A E 
A) 1509 B) 1009 C) 140% A) 15 B) 45 C) 60 
D) 1309 E) 1609 D) 30 E) 50
Academia ADUNI - CÉSAR VALLEJO 
7. Sea H ortocentro del triángulo ABC, calcule 9. SiO es circuncentro del triángulo ABC, calcule 
 
x. AO+CO 
OB ' 
S B 
Xx 
A C A C 
A) 1089 B) 930 C) 1022 A) 0,5 B)3 0)2 
D) 892 E) 712 D) 1,5 E) 4 
10. Del gráfico H es ortocentro del triángulo ABC, 
8. SiO es circucentro del triángulo ABC, calcule 
 
mxABH 
5 calcule >= 
mxHCA 
B 
A E 
A) 1009 B) 809 C) 1209 A) 1 B) 2 c)3 
D) 709 E) 1409 D) 0,5 E) 1,5
tr tu ACADEMIA mama 
INSTITUTO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES 
CLAVES DEL TERCER EXAMEN DE GEOMETRÍA 
CURSOS SELECTOS MÓDULO Il 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
N* PREGUNTA 
1 A 
2 E 
3 D 
4 B 
5 E 
6 C 
Y A 
8 B 
9 E b 
10 A ' 
CURSOS 
 
SELECTOS 
pe E ”rrrry A lla LEG 
(2 GUCH Bo Brest 
CURSOS 
SELECTOS 
Curso: Geometría 
Tema: Proporcionalidad 
ACADEMIA
CURSOS 
SELECTOS 
OBJETIVOS 
1. Aplicar correctamente el teorema de Thales y sus corolarios en la 
resolución de problemas. 
2. Comprender el teorema de la bisectriz a partir del teorema de 
Thales. 
3. Resolver problemas tipo examen de admisión ya que es un tema 
frecuente.CURSOS 
| 
TEOREMA DE THALES 
Dada tres rectas paralelas L;,, L, y La. 
 
 
 
Ejemplo 
Del grafico calcule x. 
 
Resolución 
Con las medidas de 90%, 
garantizamos la existencia 
de rectas paralelas 
x 
3 
S
S
 
e => 
Aplicación 
Las calles del 1 al 3 son 
paralelas y son 
perpendiculares a la 
avenida 2. Calcule la 
distancia de la calle 1 al 
3, siguiendo la ruta de 
la avenida 1. 
calle 1 
calle 2 
180 
calle 3 
avenida 1 
 
avenida 2 
 
 
(2 
Resolución 
K— calle 1 
100 a 
calle 2. 
 
150 Y 
 - calle 3 
avenida 1 avenida 2 
Piden x
CURSOS 
COROLARIOS DE THALES 
Primer corolario 
Sean las rectas 
paralelas L, y L, 
 
 
 
CURSOS 
Aplicación 
En la figura que se muestra 
BF=3m y DC =60m. Halle 
FD. 
B 
 
Segundo corolario 
Sean las rectas 
paralelas L, y La 
 
 
 
Resolución 
Piden x. 
Ejemplo 
Del grafico calcule x. 
E 
Resolución 
Utilizamos el primer 
corolario de Thales 
w
i
r
 
ll 
n
i
o
 
>= Il wo
 
Tener en cuenta 
En el siguiente gráfico como método práctico la 
proporción que existe en la ¡izquierda es igual a la 
proporción en la derecha 
B 
5 5k 
 
Thales 
 
 
En el triángulo ABD, aplicamos el primer 
corolario de Thales 
 
Luego en el AABC, aplicamos 
nuevamente el primer corolario de 
 
CURSOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema Resolución 
Del gráfico ABCD es un paralelogramo, si Nos piden QP=X 
AE=4 y EQ=1. Calcule QP. r.P 
P : ; 
Dato: uu dl Del paralelogramo ABCD: 
7 A BQ// AC £QuÍ , Q// 
Por Corolario de Thales: 
BE _1 
ED 4 
B. Q Además AB//DP, por Corolario 
C de Thales: 
7 
1+X 4m 
16 = 1+X 
A D D a X = 15 
Or 
CURSOS 
Resolución 
UNI 2018-11 Piden: PO= x P + ACPN: Por corolario 
En la figura, determine PO (en cm), tal que PC es la A ¡ mM =E 
bisectriz interior en el triángulo BPN; mxBNO = m<ROP; YA 4 S L E 3 a 
E * Trazamos RH PO 
A) 2cm B) 4cm C) 6cm Por teorema de la bisectriz 
E) 10 de un ángulo: 
D) 8cm 1 ad PA =PH=4 
- ACPO: Por corolario 
m o 1 
rr —==— 
ron x-41 
Lan =-=-=== I 
A 
B N 
O 
de A uego : a 
B C NÑN x =6cm (6 
CURSOS 
Problema 
En el gráfico, calcule e si MNPO es un 
cuadrado, 
 
 
RESOLUCIÓN 
 
 
N p 
£ 
ACM 
05 2 C) Y2-1 
D)2- 42 7 
OBSERVACION 
 
A E 
+ Seobserva: 
AM 
 
 
 
 
CURSOS 
iS E 
TEOREMA DE LA BISECTRIZ 
INTERIOR 
 
 
Ejemplo 
Del gráfico calcule x 
PO 
2 x 
 
 
Resolución 
a
u
 
1 
$ 
=l
|t
b 
E ! 
Ejemplo 
Del gráfico calcule x 
¡alv2 -M av? 
 
4 AS _x 
Nos piden = 55 
CS 
 
 
* Trazamos 0C: 
a 
= a(v2 — 1) 
MS //0C 
Aplicación 
medida de FC es: 
= EnelAACO, Corolario de Thales : 
x_ aqy2-1) 
y a r 
Eo YZ—1 06 
Y 
B 
DO 
En la figura , AB=10, BC=15 y DF=6. la IRASS 
A h 
Resolución 
Piden x. 
 
 
ADAC: aplicamos el corolario 
AABC: por teorema de la 
bisectriz 
10 _ 6 
A 
ATA A , 
EOS 
(a
CURSOS 
SELECTOS 
TEOREMA DE LA BISECTRIZ EXTERIOR 
 
AB, BC: Lados adyacentes 
AQ, CQ: Segmentos determinados por la 
bisectriz exterior 
 
s
|
a
 
R
I
 
 
CURSOS 
Problema 
Si los triángulos ABC y CDE son equiláteros, 
calcule ND si AM=5 y MN=3. 
 
 
D 
B 
Á C É 
A) 6 B) 9 Cc) 10 
D) 12 E) 14 
OBSERVACION 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 
.g: x 
Del gráfico calcule , 
 
 
Resolución 
12 x+y 
5 y 
> 12y = 5x + 5y 
RESOLUCIÓN Nos piden ND = x 
Como los triángulos ABC y CDE son equilateros : 
máACM = máBCM = 30” 
máBCD =máDCE = 60* 
OZ e HR 7 
Ty =5x 
e 7 
a 
 
 
 
 
 
+ Enel A ANC ,CM es bisectriz interior y TD es bisectriz exterior, entonces : 
A,M,N y D determinan una cuaterna armonica, por lo tanto: 
(5) 
“Xx = 12 
(3)(8 + x)
CURSOS 
Diz 
TEOREMA DE MENELAO 
 
 
 
Si se traza una recta 
DEMOSTRACIÓN 
 
 
 
 
secantes a los lados. A 
o Demostrar que: 
 (a)(b)(c)=(m)tn)(r) 
 
 
Para demostrar el teorema de Menelao 
trazaremos un BE paralela PR, 
 SE CUMPLE: 
 
 (a)(b)(c)=(m)tn)tr) 
CURSOS 
EA 
TEOREMA DE MENELAO. 
 
 
se cumple: 
 
 
a.b.c=m.n.r 
 
 
 
TEOREMA DE CEVA. 
Si se trazan cevianas 
concurrentes. 
se cumple: 
 
 
a.b.c=x.y.z 
 
 
a 
En el AABE, como PR // BE, por corolario 
de Thales: 
ains (1) 
MR a 
En el ABCE, como QR // BE, por corolario 
de Thales: 
TEOREMA DE VAN AUBEL. 
 
 
 
a e 
8 d E 
» Si multiplicamos (1) y (2): 
ab _ dl 
mn dc 
“ (a(b)(c)=(m)(n)(r) PS 
Demostración 
+» Por teorema de Menelao 
AABR: b.x.(RC)= a. y.(AC) 
ACBR: ?-X.(AR) =m. y.(AC) 
x(RC)_a OE succall) 
x.(AR) _m 
> ao MW 
- De (1) + (11) 
RECORDAR: 
si PQ //'AC 
se cumple: 
 
CURSOS 
Piden má4ABC= a Problema RESOLUCIÓN + AB=BC 
En un triángulo ABC se trazan las cevia- B >máBAA' =máACC'= f 
nas AA”, BB' y CC” de modo que AC'=BA' y ; 
! _ , * AABP:por ¿exterior 
C'B=A'C=B'A. Si, además, se cumple que: > 8 
m«ABB'=m«aBCC=maCAA', calcule mx ABC. ! al * B'PA'C:inscriptible 
CEVIANAS CONCURRENTES EN P n¿ 2. ss 
j m + A'B"IBA De la observación 
A) 60% B) 37" 0) 53* / . ¿ 
; / (m=n) D) 15* E) 90? 
+ AABC:teorema de ceva 
yiGÍOK=iGÓn 
k=n 
 
 
Si: RL || 4C 
, >[4M= mc) 
 
 
 
m=k=n 
 > AABC: equilátero 
“ a=60 
 
 
 
 
CURSOS 
SELECTOS 
GRACIAS 
LA 
GLUCH Bo Bree 
 
ASA SS ao So oe ao SE SS SS SS 
VALLEJO a 
SOS e SO SOSA So SEO eee ¡SAS SOS o Sa SOSA 
 
Proporcionalidad 
CURSOS SELECTOS - 2021 
A Si, ZANL NL IL, AB=, CD=5 y 4. Si HOQ//AC, PQ=2 y QC=6, halle BP. 
2(EG) =3(FH), halle BC. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
eN la 
el le L 
c| E | 
A E 
D / la La 
| l A)3 B) 6 0) 4,2 
D)5 E) 4 
A) 3 B) 2 0) 4 
D) 1 E) 345 5. Enel gráfico, PO=2(AP) y BP=6. Calcule AB. 
B 
2. Según el gráfico, AM=2 y MN=3. Calcule QC. A) 4 PO 
B) 12 PIÑAS 
A Q 
0) 9 
D) 10 
E) 5 a 
x£ U N 0 e 6. Según el gráfico, ABCD es un cuadrado, BM=5 
y MN=3. Halle NC. 
A) 4 B) 12/5 C) 10/3 A) 12 B E 
D) 9/2 E) 7/3 B) 8 de ES 
0) 7 
3. Según el gráfico, ABC y CDE son triángulos D 6 
equiláteros. Si QD=2(BD) y AC=12, calcule EQ. E) 9 
B A D 
D 7. Enun triángulo ABC, M y N son puntos de AC. Si 
los segmentos BM y BN dividen al igulo B en 
tres ángulos iguales y al lado AC en: mt 
proporcionales a 2, 1 y 3, ca 
A C E Q ángulo B/2. 
A) 18 B) 14 C) 16 A) 22,59 B) 67,52 C) 72,50 
D) 21 E) 15 D) 53,50 E) 602 
CLAVES 01-A 02-D 03-C 04-E 05-€ 06-A 07-8 CLAVES 1
ASA SS ao So oe ao SE SS SS SS 
VALLEJO Geom etría 
SOS e SO SOSA So SEO eee ¡SAS SOS o Sa SOSA 
 
Proporcionalidad 
CURSOS SELECTOS - 2021 
1. SiDE//AC, calcule x. 4. Enun triángulo ABC, se traza la bisectriz inte- 
rior BQ, si 4(40)=3(0C), calcule la medida del 
ángulo AQB. 
A) 82” B) 37? Cad 
D) 76* E) 53" 
5. SiAP=5 y PO=4, halle QC. 
 
 
 
 
 
 
A 
A) 2 B) 3 C) 4 P 
D)5 E) 6 0 
2. Según el gráfico calcule x. 
C 
A) 12 B) 13 C) 14 
D) 15 E) 16 
balpSi, ZUNLNL, AB=2(BC) y T es punto de tan- 
gencia, calcule la máN. 
Y y A 
A 3 B) 4 0) 4/2 A, 
D) 5 E) 343 2, EN 
B 
3. Según el gráfico AB//EG. Si AB=5 y AC=6, cal- L Ú ) Á Ñ 
cule AG/GC Mx _4N E 
e A) 1200 B) 900 C) 1509 
D) 1062 E) 139 | 
7. Enlos lados BC y AC de un triángulo A£ 
eS ubican los puntos P y Q, tal que. : 0, 
E E ». se ubica el punto M, tal que AP//QM. y 
y PM=2, calcule BP. NT 
A) 6/5 B) 5/6 C) 3/4 A) 10/3 B) 5/3 0) 1 
D) 4/3 EJ 1 D)5 E) 4
Academia ADUNI - CÉSAR VALLEJO Semana 04 
8. 
10. 
En un triángulo ABC se trazan las bisectrices 11. Según el gráfico, MC=3(LC) y MA=BL. Calcule 
interiores AQ y BM las cuales se intersecan en BN/NA. 
P. si AB=10, BC=15 y AC=20 calcule AP/PQ. 
 
 
 
 
B 
A) 1 B) 2 CIA 
D) 4 E) 5 
Según el gráfico se muestra una circunferencia ñ 
inscrita en un triángulo, calcule x. N 
G M A E 
> A) 2 B) 1/2 03 
h D) 2/3 E) 1/3 
E 3 A 1EÉ TD 
12. Del gráfico calcule mxAHC 
A) 1 B) 2 La 
D) 4 E) 5 
1 
Si 2(4B)=3(BC), MD=3 y ED=DC,calcule AM. 
S Y 
A C 
D 
M 
A)100* 
Á B C B)105* 
C)110* 
A)J6 B) 9 C) 12 D)115* 
D) 8 E) 642 E)120* 
01-C 02-A 03-B— 04-A 05-E 06-A 07'A 08-B 09-B— 10-B 11-C 12-B
ASA SS ao So oe ao SE SS SS SS 
MW VALLEJO! 
¡SAS Seco SOSA 
 
SOS e SO SOSA So SA SO eo 
CUARTA PRÁCTICA CALIFICADA DE GEOMETRÍA 
 
CURSOS SELECTOS - 2021 
1. Enel gráfico 2,, Za, y La son paralelos, cal % Delgráfico AB//CD, calcule x. 
cule x. 
A B 
L A) MD : 2k 
WD 
cn
 
A
 
mu S|
 
Ta
 
>
 
>= 
 
x+2 12 
c sE é D 
N A) 1 B) 2 03 
A)5 B) 6 0)8 D) 4 E) 8 
D) 9 E) 10 
7 Del gráfico BC=40, calcule BE. 
2. Del gráfico DE //AC, calcule xy. 
 
 
A 
11% 
D 
9R 
B E C 
A) 12 B) 15 C) 10 A) 18 B) 11 0) 34 
D) 9 E) 20 D) 22 E) 20 
3. Del gráfico calcule x. 6. Delgráfico AC=21, calcule CD-AD 
 
Academia ADUNI - CÉSAR VALLEJO 
7. Del gráfico AC//EF, calcule x. 
 
A) 15 B) 12 Cd 10 
D) 16 E) 20 
Si las regiones sombreadas son equiláteras, 
calcule x. 
 
A 9 B YY DM 
A) 4 B) 6 c)9 
D) 12 E) 5 
En los lados AB, BC y AC de un triángulo se ubi- 
can los puntos P, Q y R tal que APQR es un pa- 
ralelogramo. Si AP=3(PB) y AR=2, calcule RC. 
A) 2/3 B) 3/2 O 4 
D) 6 E) 9 
10. Del gráfico ABCD es un paralelogramo, calcule 
Xx. 
 
A) 5 B) 8 073 
D) 12 E) 9
cs: ACADEMIA cea 
ACADEMIA es 
INSTITUTO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES 
CLAVES DEL CUARTO EXAMEN DE 
GEOMETRÍA 
CURSOS SELECTOS MÓDULO Il 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
N* PREGUNTA 
1 E 
2 B 
3 B 
4 D 
5 D 
6 E 
7 A 
8 B 
9 D | 
10 B '