Ondas mecánicas-Clase 30-07-20

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Física I
𝑢
𝑃 =
𝑊
𝑡
= Ԧ𝐹 ∙ 𝑢 = Ԧ𝐹 𝑢 cos
𝜋
2
− 𝜃
𝑃 = 𝐹
𝜕𝜓
𝜕𝑡
𝜕𝜓
𝜕𝑥
𝑢 =
𝜕𝜓
𝜕𝑡
cos
𝜋
2
− 𝜃 = 𝑠𝑒𝑛 𝜃 ≅ 𝑡𝑔 𝜃 =
𝜕𝜓
𝜕𝑥
𝜓 𝑥, 𝑡 = 𝐴 𝑠𝑒𝑛 (𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝜑)
P = 𝐴2𝐹 𝑘 𝜔 𝑐𝑜𝑠2 (𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝜑)
Una posible solución de la ecuación 
diferencial de las ondas es:
𝐹𝑦 ∥ 𝑢
𝑢 Ԧ𝐹
𝜃𝑠𝑜𝑔𝑎
< 𝑃 > =
𝐴2
2
𝜇 𝑣 𝜔2
Potencia media
Intensidad
𝐼 =
< 𝑃 >
𝐴𝑟𝑒𝑎
=
𝐴2
2
𝑣 𝜔2
𝑾𝒂𝒕𝒕
𝒎𝟐
< 𝑃 > =
1
𝜏
න
𝑡
𝑡+𝜏
𝑃 𝑑𝑡
< 𝐸 >=< 𝑃.𝑡 >=
𝐴2
2
𝜔2𝑆(𝑣𝑡)
Energía media
𝜇 =
𝑀
𝐿
= 𝑆
La potencia media en un ciclo se define como:
Densidad de Energía
<
𝐸
𝑉𝑜𝑙
>=
𝐴2
2
𝜔2
< 𝑃 > =
𝐴2
2
𝑆 𝑣 𝜔2
Comparación entre la energía cinética y potencial en una cuerda y para una 
partícula que oscila con un M.A.S (1).
𝜓 Las densidades de energía cinética y
potencial son funciones periódicas que
están en fase. Por lo tanto, un máximo de
energía cinética corresponde a un máximo,
y no a un mínimo, de energía potencial.
(1) Ref. Un tema conflictivo en la enseñanza de la Física para 
Ciencias e Ingeniería: la energía de las ondas. Aveleyra-Cornejo
Superficie de una esfera
2
2
2
 
4..
r
A
I
cterISIP

=== 
Fuente
r
2r
3r
La intensidad disminuye como el 
cuadrado de la distancia
Intensidad en ondas tridimensionales
𝜓(𝑥, 𝑡) =
𝐴
𝑟
𝑠𝑒𝑛(𝑘 ⋅ Ԧ𝑟 − 𝜔𝑡)
𝑆𝑖 𝐴 es la amplitud con la que se produce la onda
➢ El sonido consiste en la propagación de una onda en
un fluido compresible
➢ Ondas longitudinales
➢ Ondas de desplazamiento y de presión
dirección de 
propagación
𝑃(𝑥, 𝑡) = 𝑝 − 𝑝𝑜 = 𝑃𝑜 cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝜑)

B
v =VELOCIDAD
P0 = A v ρ ω
I =
1
2
A2ω2ρ v =
1
2
P0
2
(𝑣 𝜌)
𝜓 𝑥, 𝑡 = 𝐴 𝑠𝑒𝑛 (𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝜑)
 = 10log(I/ I0)
[]: dB (decibel)
El rango es entre 0 y 120 dB
 
Concierto Rock 
25 
50 
75 
100 
125 
0 
150 
175 
200 
225 
10Pa
 
 
25 
50 
75 
100 
125 
0 
150 
175 
200 
225 
10Pa 
105Pa 
Pascal dB 
Umbral Audible 
Salón de Clase 
Cerca de un Avión 
Motores Transbordador 
Dolor y daños permanentes 
Riesgos de Daños 
permanentes 
Conversación 
Tráfico 
densod
ensoper
manent
es 
105Pa 
Pascal dB 
Umbral Audible 
Salón de Clase 
Cerca de un Avión 
Motores Transbordador 
Dolor y daños permanentes 
Riesgos de Daños 
permanentes 
Conversación 
Tráfico 
densod
ensoper
manent
es 
20μPa
 
 
25 
50 
75 
100 
125 
0 
150 
175 
200 
225 
10Pa 
105Pa 
Pascal dB 
Umbral Audible 
Salón de Clase 
Cerca de un Avión 
Motores Transbordador 
Dolor y daños permanentes 
Riesgos de Daños 
permanentes 
Conversación 
Tráfico 
densod
ensoper
manent
es 
I0 = 10
–12 w/m2
Intensidad mínima audible
Se denomina sonido al rango entre 20Hz y 20.000Hz
f : es la frecuencia de las ondas producidas por la fuente en reposo
'f : es la frecuencia percibida por el observador
v : es la velocidad de propagación de las ondas
ov : es la velocidad del observador
Fv : es la velocidad de la fuente
S S’ O O’
Convención:
Se considera sentido positivo siempre en el sentido de FO, sin importar si
O (observador) está a la derecha o a la izquierda de F (fuente).
F F’
Marco de referencia: en reposo en el medio por donde se propaga el
sonido.
Veamos cuánto valen la frecuencia (cantidad de ondas
percibidas en un intervalo de tiempo t) y la longitud de
onda para un observador en movimiento.
𝑓1′ =
𝑣 − (−𝑣𝑜)
​𝜆
=
𝑣 + 𝑣0
𝑣/𝑓
⇒ 𝑓1′ = 𝑓
𝑣 + 𝑣𝑜
𝑣
𝜆1′ =
𝑣 + 𝑣0
𝑓
𝑣 + 𝑣𝑜
𝑣
⇒ 𝜆1′ = 𝜆
𝒗𝑹𝑬𝑳 = 𝒗 − 𝒗𝒐
𝑓2′ =
𝑣 − 𝑣𝑜
​𝜆
=
𝑣 − 𝑣0
𝑣/𝑓
⇒ 𝑓2′ = 𝑓
𝑣 − 𝑣𝑜
𝑣
𝜆2′ =
𝑣 − 𝑣0
𝑓
𝑣 − 𝑣𝑜
𝑣
⇒ 𝜆2′ = 𝜆
1
12 obsobs   12 obsobs ff 
1obs 2obs
siendo:
vF= velocidad del emisor
v= velocidad del sonido
Fuente fija con respecto al 
observador
Fuente en movimiento
( )FF
obs
F
obs
vv
v
f
f
v
f
v
v
f
f
v
f
v
+
=






+
=





+= 11
( )FF
obs
F
obs
vv
v
f
f
v
f
v
v
f
f
v
f
v
−
=






−
=





−= 22
1obs 2obs
F O
NO importa si el observador 
está a la derecha o izquierda 
de la fuente
( )
( )F
o
vv
vv
ff
−
−
=' VF= velocidad de la fuenteVO= velocidad del observador
V= velocidad del sonido
smv
v
smv
Hzf
E
o
/30
0
/340
103
−=
=
=
=
( )
( )o
E
vvf
vvv
−
−
='
( )
( )
( ) ( )
f
vv
fv
vvv
vvf
vvv EE
o
E −=
−
=
−
−
='
a) Observador en reposo que ve al emisor (o fuente) alejándose
E O
vE
El observador percibe una longitud de onda efectiva de 3,6 m y una frecuencia 
efectiva de 94,6 Hz.
( )( )
mm
Hz
smsm
6,359,3
103
/30/340
' =
−−
=
( )
( )( )
HzHzHz
smsm
sm
Hzf 6,9465.949189,0103
/30/340
0/340
103' ==
−−
−
=
smv
v
smv
Hzf
E
o
/30
0
/340
103
=
=
=
=
( )
( )
( ) ( )
f
vv
fv
vvv
vvf
vvv EE
o
E −=
−
=
−
−
=''
b) Observador en reposo que ve al emisor (o fuente) acercándose
E O
vE
El observador percibe una longitud de onda efectiva de 3,0 m y una frecuencia
efectiva de113,0 Hz.
( )
mm
Hz
smsm
0,301,3
103
/30/340
'' =
−
=
( )
( )
HzHzHz
smsm
sm
Hzf 0,11396,112096,1103
/30/340
0/340
103'' ==
−
−
=
0
/30
/340
103
=
=
=
=
E
o
v
smv
smv
Hzf
f
v
==  '
c) El emisor (o fuente) está en reposo y el observador ve al emisor
alejándose de él.
E O
vo
El observador percibe una longitud de onda igual que la emitida y una frecuencia
efectiva de 93,9 Hz.
( )
( )
HzHzHz
sm
smsm
Hzf 9,9391,939117,0103
0/340
/30/340
103' ==
−
−
=
0
/30
/340
103
=
−=
=
=
E
o
v
smv
smv
Hzf
d) El emisor (o fuente) está en reposo y el observador ve al emisor
acercándose a él.
E O
vo
El observador percibe una longitud de onda igual que la emitida y una frecuencia
efectiva de 112,08 Hz.
( )
( )
HzHz
sm
smsm
Hzf 08,11208,1103
0/340
/30/340
103' ==
−
+
=
f
v
==  '
Definición
Desde el punto de vista matemático el hecho que la ecuación
diferencial de la onda sea lineal nos garantiza que la ecuación
horaria de la perturbación resultante es simplemente la suma
algebraica de las ecuaciones horarias de las perturbaciones que
actúan simultáneamente.
f (x,t)=f1(x,t)+f2(x,t)+....+fn(x,t)=Si fi(x,t)
EJEMPLOS
Suma de dos ondas de
la misma longitud de
onda y frecuencia que
viajan en el mismo
sentido, pero a
velocidades ligeramente
diferentes.
Dos pulsos en una
cuerda que viajan en
sentidos contrarios.
Viajan Independientes
hasta que se cruzan,
momento en el que se
produce la interferencia
Dos ondas de igual
longitud de onda,
frecuencia y con la
misma celeridad y que
viajan en sentido
contrario
)(),( 111  +−= wtkxsenAtx
),(),(),( 21 txtxtx  +=
2222
1111
2211
)cos(cos)(
)cos(cos)(
)()(),(



senwtkxAwtkxsenA
senwtkxAwtkxsenA
wtkxsenAwtkxsenAtx
−+−
+−+−
=+−++−=
)(),( 222  +−= wtkxsenAtx
ONDAS ARMÓNICAS DE LA MISMA FRECUENCIA
ONDAS ARMÓNICAS DE LA MISMA FRECUENCIA
))(cos(
)coscos)((),(
2211
22211


senAsenAwtkx
AAAwtkxsentx
+−
++−=
)(
)coscos(cos
2211
2211


senAsenAAsen
AAA
+=
+=
Si llamamos:
Por teorema del ángulo doble:
)(),(  +−= wtkxAsentx
)coscos(2 212121
2
2
2
1
2  +++= sensenAAAAA
Obtenemos:
Sumamos las ecuaciones anteriores:
2
2211
2
2211
2
2
2211
22
2
2211
22
)()coscos(
)(
)coscos(cos



senAsenAAAA
senAsenAsenA
AAA
+++=
+=
+=
ANGULO
AMPLITUD
)cos(2 2121
2
2
2
1
2  −++= AAAAA
2211
2211
coscos
tan
cos 




AA
senAsenA
A
Asen
+
+
==
Si las ondas que emiten las dos fuentes fueran de distinta
frecuencia y fase, variando al azar, nunca se presentaría un
comportamiento coherente de superposición, puesto que las
superposición cambiarían tan rápidamente de ubicación que
no podrían ser reconocidas.
Las superposiciones (constructivas y destructivas) se
producirán siempre que tratemos con ondas cuyas fuentes
tengan una diferencia definida y estable entre sus frecuencias
y fases.Fuentes coherentes
: con diferente FASE y AMPLITUD
CASOS: interferencia constructiva
21
2
21
2
21
2
2
2
1
2
2121
)(2
.....2,1,0,21)cos(
AAAAAAAAAAA
nn
+=+=++=
==−=− 
La amplitud de la onda resultante es igual a la
suma de las amplitudes de las dos ondas
componentes, las dos ondas componentes
están en fase y que su superposición da lugar a
una interferencia constructiva.
CASOS: interferencia destructiva
La amplitud de la onda resultante es igual a la
diferencia entre las amplitudes de las dos
ondas componentes, es decir están en
oposición de fase y su superposición da lugar a
una interferencia destructiva.
21
2
21
2
21
2
2
2
1
2
2121
)(2
.....2,1,0),12(1)cos(
AAAAAAAAAAA
nn
−=−=−+=
=+=−−=− 
METODO FASORIAL O DE FRESNEL
)(),( 111  +−= wtkxsenAtx
)()0,0( 111  senA=
)()0,0( 222  senA=)(),( 222  +−= wtkxsenAtx
y representemos estos desplazamientos, en coordenadas polares, como dos vectores.
A1
θ1θ1
A1
)cos(2 2121
2
2
2
1
2  −++= AAAAA
2211
2211
coscos
tan
cos 




AA
senAsenA
A
Asen
+
+
==
APLICANDO 
TEOREMA 
DEL COSENO
Definición
Superposición de dos ondas de la misma amplitud y dirección pero
frecuencias próximas.
La amplitud resultante se encuentra modulada. La frecuencia del
batido es ν= |ν1- ν2| siendo ν1 y ν2 las frecuencias de las fuentes
emisoras.
)(),( 1111 twxksenAtx −= )(),( 2222 twxksenAtx −=
Dos ondas armónicas progresiva de igual amplitud a , pero de frecuencias n1, n2
ligeramente diferentes, que se propagan en el mismo medio; como en el caso 
anterior, queremos determinar la perturbación resultante de la superposición de las 
dos perturbaciones que actúan simultáneamente sobre las partículas del medio de 
propagación. El principio de superposición nos garantiza que si:
)
22
()
22
cos(2),( 212121211 t
ww
x
kk
sent
ww
x
kk
Atx
+
−
+−
−
−
=
Varian Lentamente en el espacio y el tiempo
Δk y Δw pequeño
Se asocia con una amplitud
Ejemplo BATIDOS
Una de las teclas del piano esta ajustada para producir una
frecuencia de 100 hz, si hago sonar la tecla de al lado se oye
una batido de 1/s. Canto tiene que variar la T de la cuerda
desafinada para recuperar el tono normal.
( )
( )
98.0
2*100
2*99
2
2
=
correcta
incorrecta
T
T
L
L


Debo ajustar 2%
Si la 
diferencia es 
-1
121 =−= fff
Frecuencia batido
1
-1
101 Hz
99 Hz

T
L
f
2
1
= correcta ( ) TL =
2
2*100
Definición
Ondas que se establecen en medios finitos de acuerdo a ciertas condiciones
de contorno.
Modelo
Podemos interpretar la función de la onda estacionaria, con el modelo
de la superposición de ondas, como dos ondas que avanzan con la
misma frecuencia, velocidad y amplitud, pero en sentidos opuestos. La
velocidad correspondería a la que tendría cualquiera de las ondas que
intervienen en la superposición.
( ) mkxkx == ,0sinNula Nodos
Máxima Vientres ( )
2
)12(,1sin

+== mkxkx
CASO 1: CUERDAS SUJETA EN AMBOS EXTREMOS
Observe que el extremo libre de la cuerda es siempre un vientre
(amplitud de vibración máxima).
ONDAS Estacionarias
CASO 2: CUERDAS SUJETA EN UNO DE LOS EXTREMOS
CONDICION DE CONTORNO
Una cuerda de longitud L, sujeta de ambos extremos.
3,2,1
22
==== m
m
l
mlmkl m



La condición de contorno es que en
los extremos haya un nodo.
y como la 
frecuencia es:
l
mv
f
v
f mm
2
==

En el caso de un tubo sonoro abierto
en dos extremos, ocurrirá lo mismo. Se
establecerán ondas estacionarias en la
columna de aire que vibra siempre que
se cumpla dicha condición.
Una cuerda de longitud L, con extremo libre.
2,1,0
)12(
4
2
)12(
2
2
)12( =
+
=+=+= m
m
l
mlmkl m



La condición de contorno es que en uno de los extremos esta libre
y como la frecuencia es:
( )
l
vm
f
v
f mm
4
12 +
==

En el caso de un tubo sonoro abierto
en un extremo, ocurrirá lo mismo. Se
establecerán ondas estacionarias en
la columna de aire que vibra siempre
que se cumpla dicha condición.
Si la amplitud de desplazamiento del pistón es pequeña, puede
suponerse que en ese extremo el desplazamiento longitudinal de L aire
es nulo (aproximadamente un nodo).
Clarinete
CASO 1: TUBOS cerrados en un extremo
Siku
Si el extremo derecho del tubo no está cerrado sino abierto a la
atmósfera, este extremo es, aproximadamente, un vientre de
desplazamiento (también es un nodo de presión ya que la presión está
fija a la presión atmosférica).
CASO 2: TUBOS Abiertos
CASOS: TUBOS
Instrumentos de viento de tubo cerrado Instrumentos de viento de tubo abierto
La flauta es un ejemplo de este tipo de 
instrumentos. 
El clarinete es un ejemplo de este tipo 
de instrumentos


L
n
f
4
12 +
=


L
n
f
2
=
Definición
Un medio vibra por resonancia cuando capta la energía, que le entrega un
sistema que oscila, con una cierta frecuencia igual a una de las frecuencias
propias o naturales de ese medio.
Modelo
Se presenta cuando el medio está sometido a una fuerza externa
oscilatoria. Las oscilaciones que se originan se llaman forzadas y tienen la
frecuencia de la fuerza externa. Conforme la frecuencia impulsora se
acerca a la frecuencia natural del cuerpo la amplitud de oscilación
aumenta y hay un valor máximo amplitud que se obtiene para la condición
de “resonancia” (en la práctica esa amplitud no es infinita porque siempre
hay amortiguamiento).
Definición
¿Cuál es la relación entre el fenómeno de resonancia y las ondas
estacionarias?
Cuando un cuerpo vibra por resonancia las ondas que se establecen en el
mismo son ondas estacionarias.
Ejemplo: el 7 de Noviembre de 1940, una suave brisa
hizo entrar en resonancia al puente colgante de Tacoma
Narrows (Estados Unidos). Debido a ráfagas de viento de
mediana intensidad, pero de frecuencia similar a una de
las frecuencias propias del puente, se establecieron en
él ondas estacionarias, transversales y torsionales;
éstas últimas provocaron el colapso de la estructura.
PROPIEDADES TRIGONOMETRICAS
1
2
3
9
84
5
6
7
Otra forma de trabajar