Capitulo 11 - Ondas Mecanicas 2014-II

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ONDAS MECÁNICAS
M.Sc. Ing. Raúl La Madrid Olivares
• Las ondas surgen siempre que un sistema es perturbado de su posición
de equilibrio y la perturbación puede viajar o propagarse de una región del
sistema a otra.
• Cuando una onda se propaga, se transporta energía y esta energía puede
provenir de las ondas de la luz solar que calienta la superficie terrestre o
de las sísmicas que pueden resquebrajar la corteza terrestre.
2
LAS ONDAS
• Ondas MECÁNICAS que viajan por algún material llamado medio.
TIPOS DE ONDAS MECÁNICAS
Onda Transversal
Medio: Cuerda Tensada
Los desplazamientos del medio son perpendiculares o transversales a la
dirección en que la onda viaja por el medio.
3
4
Onda trasversal en un resorte
Onda Longitudinal
5
Medio: Liquido o gas en un tubo con una pared rígida en el extremo derecho y 
un pistón móvil en el izquierdo.
Los movimientos de las partículas del medio son hacia adelante y hacia atrás 
en la misma línea en que viaja la onda.
6
Onda longitudinal
7Onda longitudinal en un resorte
Onda transversal y Longitudinal 
Medio: liquido en un canal
Los movimientos del agua tienen componentes tanto longitudinal como 
transversal.
8
9
10
11
a) Onda Transversal
b) Onda longitudinal
c) Onda transversal y Longitudinal 
12
Características
1. La perturbación siempre viaja o se propaga por el medio con una rapidez
definida llamada rapidez de propagación o rapidez de la onda, determinada
por las propiedades mecánicas del medio. (La rapidez de la onda no es la
rapidez con que se mueven las partículas cuando son perturbadas por la
onda.
2. El medio mismo no viaja por el espacio; lo que viaja es el patrón general de
la perturbación ondulatoria.
3. Para poner en movimiento estos sistemas, se debe aportar energía
realizando trabajo mecánico sobre el sistema. La onda transporta esta
energía de una región del medio a otra. Las ondas transportan energía, pero
no materia, de una región a otra
“Haciendo la ola” en un
estadio deportivo es un
ejemplo de onda mecánica:
la perturbación propaga en
la multitud, pero no
transporta materia (ninguno
de los espectadores se
mueve de un asiento a otro).
ONDAS PERIÓDICAS
• La onda transversal en una cuerda estirada (ver figura) es un ejemplo de un
pulso de onda.
• Se da una situación más interesante cuando imprimimos un movimiento
repetitivo, o periódico al extremo libre de la cuerda. Entonces, cada
partícula de la cuerda tendrá un movimiento periódico al propagarse la
onda, y tendremos una onda periódica.
13
y
x
14
y
x
15
Ondas transversales periódicas
Las ondas periódicas con movimiento armónico simple son llamadas ondas
senoidales. Estas ondas periódicas pueden representarse como una
combinación de ondas senoidales.
16
Cuando una onda senoidal pasa por
un medio, todas las partículas del
medio sufren movimiento armónico
simple con la misma frecuencia.
17
Cuando una onda senoidal pasa por
un medio, todas las partículas del
medio sufren movimiento armónico
simple con la misma frecuencia.
18
Una serie de gotas que cae en agua produce una onda periódica
que se extiende radialmente hacia afuera. Las crestas y los
valles de la onda son círculos concéntricos. La longitud de onda
l es la distancia radial entre crestas
adyacentes o valles adyacentes.
19
Longitud de onda
y
x
y
x
20
Longitud de onda
cresta
valle
(lambda): longitud de onda.
: rapidez de propagación
T= periodo
Espacio=(velocidad)(tiempo)
T
T
    
f 
ONDAS PERIÓDICAS LONGITUDINALES
Consideraremos un tubo largo lleno con un fluido, con un pistón en 
el extremo izquierdo. 
21
El movimiento hacia adelante del émbolo crea una
compresión (una zona de alta densidad); el movimiento
hacia atrás crea una expansión (una zona de baja
densidad
La longitud de onda  es la distancia entre los puntos 
correspondientes de ciclos sucesivos
22
DESCRIPCIÓN MATEMÁTICA DE UNA ONDA
Una onda puede describirse usando los conceptos de rapidez de onda,
amplitud, periodo, frecuencia y longitud de onda; sin embargo, es común que
necesitemos una descripción más detallada acerca de las posiciones y
movimientos de una partícula.
Para esto necesitamos del concepto de función de onda. Conociendo esto
podemos utilizarla para calcular el desplazamiento de cualquier partícula en
cualquier instante, así mismo podremos calcular la velocidad y aceleración de
cada partícula.
23
Función de onda de una Onda Senoidal
24
Observamos que los movimientos cíclicos de
diversos puntos de la cuerda están desfasados
entre sí en diversas fracciones de un ciclo. Así
podremos decir que la fase del movimiento es
diferente para diferentes puntos. Es decir si un punto
tiene su desplazamiento positivo máximo al mismo
tiempo que otro tiene su desplazamiento negativo
máximo, ambos están desfasados medio ciclo.
Suponemos que el desplazamiento de la partícula se origina en el extremo
izquierdo. (x=0)
25
cos( 0, ) cos 2A ty x t A ft   
Para x=0 y también t=0
( 0, 0)y x t A  
26
Recordando
Espacio=(velocidad)(tiempo)
xx t t

  
Donde  es la velocidad de propagación de la onda.
x
27
Instante
actual
Instante
anterior
 , 0,actual anterior
xy x x t t y x t t

       
 
La perturbación pasa de x=0 a un “x” cualquiera en un tiempo t=x/
Por lo tanto, si para x=0, se tenía:
28
( , ) cos xy x t A t

       
( 0, ) cosy x t A t 
Ahora en base a lo visto, el desplazamiento en el instante anterior es igual al
desplazamiento en el instante actual
 , 0, xy x x t t y x t t

       
 
Entonces reemplazando se tendrá:
Dado que cos(-)=cos(), rescribimos la función de onda de la siguiente
manera:
( , ) s cos 2co x f xy x t A t A t 
 
               
Onda senoidal que 
avanza en la 
dirección +x
29
2 radk
m


    
Ahora si definimos el parámetro “k” llamado número de onda
Y además, por lo visto =f
2
2k k
  

       
   
k 
Expresando dicha ecuación en términos del periodo T=1/f y la longitud de onda
=/f
( , ) cos 2 cos 2 2xy x t A f t A x ftf

 

               
 ( , ) cosy x t A kx t 
Onda senoidal que
avanza en la
dirección +x
NOTA: este “k” es distinto 
a la conductividad térmica, 
la relación de calores 
específicos y la constante 
del resorte
2 fk





30
Grafica de la función onda
Cuanto se grafica para t=0, se
obtiene la forma de la cuerda en
ese instante
Cuanto se grafica para x=0, se
obtiene el desplazamiento “y” de la
partícula en x=0 en función del
tiempo
( , 0) cosy x t A kx   ( 0, ) cosy x t A t  
31
MÁS ACERCA DE LA FUNCIÓN ONDA
Onda que se desplaza en la dirección “x” negativa
Instante
posterior
Instante
actual
 , 0,actual posterior
xy x x t t y x t t

       
 
El desplazamiento del punto “x” en el instante t es el mismo que el del punto
x=0 en un instante posterior.
32
( , ) cos xy x t A t

       
Ahora reemplazando se tendrá:
( , ) cos 2 xy x t A f t

   
 
2( , ) cos 2fy x t A x ft 

   
 
 ( , ) cosy x t A kx t 
Onda senoidal que
avanza en la
dirección -x
( , ) cos 2 xy x t A f t

       
33
EJEMPLO
Su primo está jugando con la cuerda para tender: desata un extremo, tensa
la cuerda y mueve el extremo hacia arriba y hacia abajo senoidalmente, con
una frecuencia de 2 Hz y una amplitud de 0.075 m. La rapidez de onda es
v=12.0 m/s. En t=0, el extremo tiene desplazamiento positivo máximo y está
en reposo instantáneamente. Suponga que ninguna onda rebota del extremo
lejano para complicar el patrón.
a) Calcule la amplitud, la frecuencia angular, el periodo, la longitud
de onda y el número de onda.
34
EJEMPLO (continuación)
b) Obtenga una función de onda que la describa.
35
EJEMPLO (continuación)
c) Escriba las ecuaciones para el desplazamiento, en función del tiempo.
También para un x=3 m
36
VELOCIDADY ACELERACIÓN DE PARTÍCULAS 
EN UNA ONDA SENOIDAL
37
 
 
 
2
2
2
( , ) cos
( , )( , ) sin
( , )( , ) cos
y
y
y x t A kx t
y x tv x t A kx t
t
y x ta x t A kx t
t

 
 
 

  


   

 
 
 
2
2
2
( , ) cos
( , ) sin
( , ) cos
y x t A kx t
y x tPendiente kA kx t
x
y x tCurvatura k A kx t
x



 

   


   

2
2
2
2
( , )
( , )
y x t
t
y x t
x

 


 2 sinA kx t 
  2 sink A kx t
2
2k


2 2
2 2 2
( , ) 1 ( , )y x t y x t
x v t
         
Obteniéndose
k Recordando 
38
ECUACIÓN DE LA ONDA
2 2
2 2 2
( , ) 1 ( , )y x t y x t
x v t
         
Esta expresión aplica en general a varios tipos de ondas viajeras.
 Para ondas en cuerdas, “y” representa la posición vertical de
elementos de la cuerda.
 Para ondas de sonido “y” corresponde a la posición longitudinal de
elementos de aire desde el equilibrio o variaciones ya sea de la presión
o la densidad del gas a través del que se propagan las ondas de
sonido.
 En el caso de ondas electromagnéticas “y” corresponde a
componentes de campo eléctrico o magnético.
39
EJEMPLO
Demostrar explícitamente que las siguiente función satisface la ecuación de
onda: y(x,t) = k(x + νt)3
RAPIDEZ DE UNA ONDA TRANSVERSAL
Para el análisis consideraremos una cuerda perfectamente flexible. En la
posición de equilibrio, la tensión es F y la densidad de masa lineal es μ.
40
Considerando en el instante t=0, aplicamos una fuerza constante hacia arriba
FY en el extremo izquierdo.
41
La imagen muestra que todas las partículas de la porción en movimiento de la
cuerda se mueven hacia arriba con velocidad constante VY, no aceleración
constante.
TF
TF
Desarrollando el análisis respectivo obtendremos
42
 TF


Donde
F: Tensión de la cuerda
μ: Masa por unidad de longitud
rapidez de una onda transversal
43
RAPIDEZ DE LAS ONDAS MECÁNICAS
La ecuación anterior da la rapidez de la onda únicamente para el caso especial
de las ondas mecánicas en un hilo o en una cuerda estirada. Ahora para todos
los tipos de onda mecánica la expresión general sería:
Fuerza de restitución que vuelve al sistema al equilibrio
Inercia que resiste el retorno al equilibrio
v 
44
EJEMPLO
Un extremo de una cuerda de nylon está atado a un soporte estacionario en la 
boca de un tiro de mina vertical de 80.0 m de profundidad (ver figura). La cuerda 
está tensada por una caja de muestras de minerales con masa de 20.0 kg atada 
al extremo inferior. La masa de la cuerda es de 2 kg. El geólogo que está hasta 
abajo envía señales a su colega de arriba tirando lateralmente de la cuerda. 
a) Calcule la rapidez de una onda transversal en 
la cuerda. 
45
b) Si a un punto de la cuerda se imparte un
movimiento armónico simple transversal con
frecuencia de 2.00 Hz, ¿cuántos ciclos de la onda
habrá en la cuerda?
ENERGÍA DEL MOVIMIENTO ONDULATORIO
46
47
siny TF F  
Recordar que para ángulo
pequeños sen(θ)=tan(θ), por
lo tanto:
tany TF F  
Ahora
tan y
x
 

Entonces
y T
yF F
x

 

48
Ahora potencia es igual a:
FW F dP v
tiempo tiempo

   
De manera
     ,, ,yF xP t ttx v x 
     , ,, T
y x y x tt
F
x
P x t
t
 

 
  
  
Recordando
 
 
 
( , ) cos
( , ) sin
( , ) sin
y x t A kx t
y x t kA kx t
x
y x t A kx t
t


 
 

  


 

Reemplazando
   2 2, sinTP x t F k A kx t  
49
Usando las relaciones
2y TFk   
   2 2, sinTP x t A kF x tk  
Reemplazando
     2 2, sinTP x t A kx tF   
 
2
,P x t  
  
2 2 2sinA kx t 
 
  
 
     22 2, sinP x t A kx t  
   2 2 2, sinP x t A kx t  
50
Potencia máxima Potencia media
  2 2,P x t A  
2 2
,
2
AP x t 
La potencia instantánea P(x,t)
de una onda senoidal, se
muestra en función del tiempo
en la coordenada x=0. La
potencia nunca es negativa, lo
que implica que la energía
NUNCA fluye en dirección
opuesta a la de propagación de
la onda.
51
EJEMPLO
En el ejemplo anterior:
a) ¿con qué rapidez máxima se aporta energía a la cuerda? Es decir, ¿cuál
es su potencia instantánea máxima? Suponga que la densidad de masa
lineal de la cuerda es μ=0.250 kg/m y que el primo aplica una tensión
F=36.0 N
b) ¿Cuál es su potencia media?
c) Al cansarse, la amplitud disminuye. Calcule la potencia media cuando la
amplitud ha bajado a 7.50 mm
INTENSIDAD DE LAS ONDAS
52
Intensidad: es la rapidez media con
que la onda transporta energía por
unidad de área, a través de una
superficie perpendicular a la
dirección de propagación:
2
14
PI
r

Ley del inverso del cuadrado de 
la intensidad
2
1 2
2
2 1
I r
I r

53
EJEMPLO
Una sirena del sistema de advertencia de tornados que está colocada en un
poste alto radia ondas sonoras uniformemente en todas direcciones. A una
distancia de 15.0 m, la intensidad del sonido es de 0.250 W/m2. ¿A qué
distancia de la sirena la intensidad es de 0.010 W/m2?
INTERFERENCIA DE ONDAS, CONDICIONES DE 
FRONTERA Y SUPERPOSICIÓN 
Sabemos que cuando una onda choca contra las fronteras de su medio, se
refleja parcial o totalmente. Si sacudimos el extremo de una cuerda cuyo otro
extremo esta atado a un soporte rígido, una pulsación viajará a lo largo de la
cuerda y se reflejará hacia nosotros.
En ambos casos, la onda inicial y la reflejada se traslapan en la misma región
del medio. Este traslape se denomina interferencia.
Veamos un ejemplo sencillo de reflexión de ondas transversales en una cuerda
estirada tanto en un extremo fijo como en un extremo libre el cual puede
moverse sin resistencia en la dirección perpendicular a la longitud de la cuerda.
54
55
Onda que se refleja desde un extremo FIJO
56
Onda que se refleja desde un extremo LIBRE
También se pueden dar los siguientes casos
57
58
Traslape de dos pulsos de onda (uno hacia arriba, el 
otro invertido)
Traslape de dos pulsos de onda (ambos arriba de la 
cuerda) 
PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN
Cuando dos ondas se traslapan, el desplazamiento real de cualquier punto de
la cuerda en cualquier instante se obtiene sumando el desplazamiento que
tendría el punto si solo estuviera presente la primera onda, con el
desplazamiento que tendría si solo estuviera presente la segunda.
59
1 2( , ) ( , ) ( , )y x t y x t y x t 
Este principio es muy importante para todo tipo de ondas. Así mismo se aplica 
a las ondas electromagnéticas (como la luz) y de muchos otros tipos.
Específicamente la onda es lineal cuando es de la forma y(x,t), es decir, a la
primera potencia. NO debe ser de la forma y2(x,t), y3 (x,t), y4 (x,t), etc.
Este principio también se llama principio de superposición lineal.
Si no se cumple la ley de Hooke, la ecuación de onda no es lineal y el principio 
no cumple.
60
ONDAS ESTACIONARIAS EN UNA CUERDA
61
ONDAS ESTACIONARIAS EN UNA CUERDA
62
Veamos ahora lo que sucede cuando una onda senoidal es reflejada por un extremo
fijo de una cuerda. Se enfocará el problema considerando la superposición de dos
ondas que se propagan por la cuerda, una que representa la onda original o
incidente, y otra que representa la onda reflejada en el extremo fijo.
La figura muestra una cuerda fija en su extremo izquierdo. El extremo derecho
se sube y baja en MAS para producir una onda original o incidente que viaja a la
izquierda; la onda reflejada del extremo fijo viaja a la derecha. El movimiento
resultante cuando se combinan las dos ondas ya no parece dos ondas que viajan en
direcciones opuestas
63
Ondas estacionarias en una cuerda
64
Comparando
Las ondas que estudiamos
Antes: la onda que viaja por la cuerda (denominada onda viajera), la amplitud
es constante y el patrón de la onda se mueve con rapidez igual a la rapidez de
la onda.
Ahora: el patrón permanece constante en la misma posición en la cuerda, y su
amplitud fluctúa. Dado que el patrón no parece estarse moviendo a lo largo de
lacuerda, se denomina onda estacionaria.
65
El principio de
superposición explica
como la onda incidente y
reflejada se combinan
para formar una onda
estacionaria.
66
En los lugares marcados con N, el desplazamiento resultante siempre es cero.
Estos son los nodos.
En un nodo los desplazamientos de las dos ondas en rojo y azul siempre son
iguales y opuestos y se cancelan. Esta cancelación se llama interferencia
destructiva.
En los antinodos o puntos de máxima amplitud, los desplazamientos de las
ondas en rojo y azul siempre son idénticos, dando un desplazamiento
resultante grande; este fenómeno se denomina interferencia constructiva.
67
Interferencia 
constructiva
Interferencia 
destructiva
Obtención expresión de la expresión para onda 
estacionaria
68
Características:
• Cuerda fija en su extremo izquierdo.
• El extremo derecho se sube y baja en MAS.
• Onda original o incidente que viaja a la izquierda.
• Onda reflejada del extremo fijo viaja a la derecha.
69
 1( , ) cosy x t A kx t  
 2 ( , ) cosy x t A kx t 
(onda incidente que viaja a la izquierda)
(onda reflejada que viaja a la derecha)
la onda reflejada del extremo fijo de una cuerda se invierte, así que 
se antepone un signo negativo a una de las ondas
Sumando
   1 2( , ) ( , ) cos cosy x t y x t A kx t kx t        
Recordando
       cos (a b)=cos a cos b sen a sen b 
Operando y reemplazando
1 2( , ) ( , ) ( , ) (2 )
 2 
 ( , ) ( )
SW
SW
y x t y x t y x t Asenkx sen t
A A
y x t A senkx sen t


  


70
El comportamiento en el tiempo del desplazamiento vertical de equilibrio de un
elemento individual de la cadena es por cos ( t). Es decir, cada elemento vibra a
una frecuencia angular .
La de amplitud de la oscilación vertical de los elementos de la cadena depende de
la posición horizontal del elemento. Cada elemento vibra dentro de los confines de
la función envolvente 2A sen (kx).
Fotografía Multiflash de una onda estacionaria en una cuerda. 
Referencia: Serway 6ta Ed.
71
Referencia: Tipler 6ta Ed.
(a) Onda cuadrada y los tres primeros armónicos impares (ondas sinusoidales 
simples) utilizados para sintetizarla . (b) La forma aproximada de una onda 
cuadrada se obtiene sumando los tres primeros armónicos impares.
MODOS NORMALES DE UNA CUERDA
72
Forma aproximada de la cuerda pulsada por el centro de la forma indicada en
la figura, utilizando armónicos. La línea roja es la aproximación a la forma
original de la cuerda basada en los tres primeros armónicos impares. La mayor
parte de la energía está asociada con la fundamental, pero los armónicos
tercero, quinto y demás impares poseen también cierta energía.
MODOS NORMALES DE UNA CUERDA
Para poder entender las propiedades
de las ondas estacionarias en una
cuerda fija en ambos extremos,
tendremos que ver primero lo que
sucede cuando establecemos una
onda senoidal en una cuerda así.
73
 1
2
L 
MODOS NORMALES DE UNA CUERDA
Para poder entender las propiedades
de las ondas estacionarias en una
cuerda fija en ambos extremos,
tendremos que ver primero lo que
sucede cuando establecemos una
onda senoidal en una cuerda así.
74
 2
2
L 
MODOS NORMALES DE UNA CUERDA
Para poder entender las propiedades
de las ondas estacionarias en una
cuerda fija en ambos extremos,
tendremos que ver primero lo que
sucede cuando establecemos una
onda senoidal en una cuerda así.
75
 3
2
L 
76
Referencia: Tipler 6ta Ed.
Onda estacionaria en una cuerda fija en ambos extremos
Para poder entender las propiedades
de las ondas estacionarias en una
cuerda fija en ambos extremos,
tendremos que ver primero lo que
sucede cuando establecemos una
onda senoidal en una cuerda así.
 
2armonico
L n 
77
1
1
2
2n armónico
n armónico
vf
L
vf n
L
f n f



Referencia: Tipler 6ta Ed.
Onda estacionaria en una cuerda fija en ambos extremos
Donde
f1: frecuencia fundamental
fn: frecuencia de enésimo armónico
Despejando λ de la ecuación
anterior y recodando λ=ν/f
78
Referencia: Tipler 6ta Ed.
Onda estacionaria en una cuerda fija en ambos extremos
79
Nomenclatura en función de sobretonos.
Para un cuerda con extremos fijos en x=0 y x=L, la funcion de onda y(x,t) será.
   ( , )n sw n ny x t A sen k x sen t
Un modo normal de un sistema oscilante es un movimiento en el que todas las
partículas del sistema se mueven senoidalmente con la misma frecuencia.
80
81
La función de onda de una onda estacionaria es:
   , 4.44 32.5 754rad rady x t mm sen x sen t
m s
                   
1 1(4.44 ) 2.22
2 2sw
A A mm mm  
EJERCICIO 2 - PRÁCTICA 6 – 2012 I
Para las dos ondas viajeras que forman esta onda estacionaria, determine:
A) La amplitud (0. 5 puntos)
82
B) La longitud de onda (0.5 puntos)
2 2 0.193
32.5 /
m
k rad m
    
C) La frecuencia (0.5 puntos)
754 / 120
2 2
ras sf Hz
 
  
D) La rapidez (0.5 puntos)
754 / 23.2 /
32.5 /
rad sv m s
k rad m

  
83
E) Las funciones de onda (1 punto)
F) Con la información dada, ¿puede determinar de qué armónico se trata? 
Explique su respuesta. (1 punto)
La harmónica no puede ser determinada porque la longitud de la cuerda no está 
especificada.
1
2
(2.22 )cos((32.5 / ) (754 / ) )
(2.22 )cos((32.5 / ) (754 / ) )
y mm rad m x rad s t
y mm rad m x rad s t
 
 
Análisis y síntesis armónicos
84
Referencia: 
http://tmo2000c.ipower.com/instru
ments/oboe.html
Oboe (Oboe)
Referencia: 
http://www.todovientos.com.ar/in
dex.php?act=viewProd&productI
d=49
Clarinete (Clarinet)
Referencia: http://cpms-
acusticamusical.blogspot.com/20
09/10/onda-senoidal-el-sonido-
del-diapason.html
Diapasón (Tuning fork)
85
Cuando un oboe y un clarinete tocan la misma nota, por ejemplo la nota “La”,
suenan de forma muy diferente. Ambas notas tienen el mismo tono que es
una sensación fisiológica de la altura de la nota que está fuertemente
correlacionada con su frecuencia. Sin embargo, las notas difieren en lo que se
denomina cualidad del tono o timbre .
La razón principal para la diferencia del timbre es que, aunque tanto el
clarinete como el oboe están produciendo vibraciones con la misma frecuencia
fundamental. cada uno de ellos está también produciendo armónicos cuyas
intensidades relativas dependen del instrumento y de la forma en que se
toque. Si cada instrumento produjese sólo la frecuencia fundamental, el sonido
sería el mismo para los dos.
Las formas de onda pueden analizarse descomponiéndolas en los armónicos
que la constituyen. Dicho análisis recibe el nombre de análisis armónico. (El
análisis armónico también se llama a veces análisis de Fourier . ya que fue
este científico francés quien desarrolló el método matemático para analizar
funciones periódicas.)
86
El problema de analizar patrones de onda no sinusoidales aparece a primera
vista como una tarea formidable. Sin embargo, si el patrón de onda es
periódico, se puede representar tan cercano como se desee mediante la
combinación de un número suficientemente grande de ondas
sinusoidales que formen una serie armónica. De hecho, cualquier función
periódica se representa como una serie de términos seno y coseno con el uso
de una técnica matemática en términos del teorema de Fourier. La
correspondiente suma de términos que representan el patrón de onda
periódica se llama serie de Fourier. Sea y(t) cualquier función periódica en el
tiempo con un periodo T tal que y(t+T)=y(t). El teorema de Fourier afirma que
esta función se puede escribir como
donde la frecuencia más baja es f1= 1/ T. Las frecuencias más altas son
múltiplos enteros de la fundamental, fn= nf1, y los coeficientes An y Bn
representan las amplitudes de las diferentes ondas.
87
Referencia: Tipler 6ta Ed.
(a) Onda cuadrada y los tres primeros armónicos impares (ondas sinusoidales 
simples) utilizados para sintetizarla . (b) La forma aproximada de una onda 
cuadrada se obtiene sumandolos tres primeros armónicos impares.
88
Referencia: Tipler 6ta Ed.
Formas de onda de (a) un diapasón. (b) un clarinete y (c) un oboe, todos con una 
frecuencia fundamental de 440 Hz y la misma intensidad aproximada
89
Referencia: Tipler 6ta Ed.
Intensidades relativas de los armónicos de las formas de onda indicadas en la 
figura anterior para (a) el diapasón, (b) el clarinete y te) el oboe.
ONDAS ESTACIONARIAS EN INSTRUMENTOS DE 
CUERDA
Sabemos que
90
1
1
2
1
2
v Ff y vL
Ff
L


 
    
 
Esta también es la frecuencia fundamental de la onda sonora creada en el
aire circundante por la cuerda al vibrar.
Entonces:
• Si aumento la longitud, entonces la frecuencia disminuye (sonidos graves).
• Por otro lado, si la longitud disminuye la frecuencia aumenta (sonidos
agudos).
• Si aumento la tensión, aumenta la frecuencia obteniéndose sonidos
agudos. Y si se disminuye la tensión ocurre lo contrario.
• Por último si aumento la masa, la frecuencia disminuye.
91
Comparación de la gama de un
piano de cola para concierto,
con las gamas de una viola de
gamba, un violonchelo, una
viola y un violín.
En todos los casos, las
cuerdas más largas producen
notas graves y las más cortas
producen notas agudas.
Instrumentos de cuerda
92
La cuerda de cierto instrumento musical mide 60.0 cm y tiene una masa de 2.00 g.
La cuerda produce una nota A4 (440 Hz) al tocarse.
EJERCICIO 1 - PRÁCTICA 6 – 2012 I
 
 
440 cuando 0.6
como la velocidad de propagación no cambia
entonces: 2 0.6 1.2
de manera que: 440 1.2 528
f Hz L m
mf s

 
 
 
  
Para tocar la nota D5
528
0.9
587
como ambos vibran en modo fundamental
2 0.9 2 0.45
mv s m
f Hz
L m


  
  
A) ¿A qué distancia “x” del extremo debe un músico poner un dedo para
tocar una nota D5 (587 Hz)? (Vea la figura) En ambos casos, la cuerda vibra
en su modo fundamental. (2 puntos).
93
B) Sin refinar (misma velocidad de propagación), ¿es posible tocar una 
nota G4 (392 Hz) en esta cuerda? ¿Por qué? (2 puntos).
528 / 1.35
392
1.35/ 2 0.675
v m s m
f Hz
L m
  
 
Como la cuerda es más corta, no es posible.