6 FUNCIONES

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2 
 
 Página 
Símbolos matemáticos 3 
UNIDAD N° 6: Funciones 
TEMA N° 1: Conceptos previos 4 
TEMA N° 2: Funciones 9 
1.- Dominio e imagen de una función 11 
2.- Relación entre ecuaciones y funciones 19 
3.- Características de las funciones 19 
3.1.- Ceros o raíces de las funciones 19 
3.2.- Ordenada al origen de una función 20 
3.3.- Intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función 21 
3.4.- Conjunto de positividad y negatividad 21 
3.5.- Función punto a punto o función biyectiva 23 
4.- Función inversa 24 
5.- Funciones polinómicas 25 
5.1.- Funciones polinómicas de grado cero 25 
5.2.- Funciones polinómicas de primer grado 26 
5.3.- Funciones polinómicas de segundo grado: Función cuadrática 29 
5.4.- Funciones polinómicas de tercer grado: Función cúbica 39 
6.- Funciones racionales 41 
6.1.- Funciones de proporcionalidad inversa 41 
6.2.- Funciones racionales 43 
7.- Funciones exponenciales 45 
8.- Funciones logarítmicas 52 
9.- Funciones trigonométricas 55 
9.1.- Función seno 55 
9.2.- Función coseno 56 
9.3.- Función tangente 57 
Bibliografía 59 
 
3 
 
 
 
 
ℕ: Números naturales (a;b): Intervalo abierto 
ℤ: Números enteros (a;b]: Intervalo semiabierto por la izquierda 
ℚ: Números racionales [a;b): Intervalo semiabierto por la derecha 
𝕀: Números irracionales [a;b]: Intervalo cerrado 
ℝ: Números reales ϕ: Número irracional fi = 
1+√5
2
 
: Existe π: número irracional pi (3,1415…) 
∄: No existe e: Número e o constante de Euler (2,7182…) 
: Para todo 𝑓: 𝐴 → 𝐵: función de A en B 
: Conjunto vacío 𝑓−1: Función inversa 
∪: Unión ≅ : Aproximadamente igual 
: Intersección f o g: Composición de las funciones f y g. 
: Pertenece f(x): función de x 
: No pertenece Dom f: Dominio de la función f 
∞: Infinito Rec f: Recorrido de la función f 
−∞: Menos infinito % : Porcentaje 
a = b: a igual a b : Incluido 
a ≠ b: a distinto de b ⊈: No incluido 
a > b: a mayor a b ∆: Discriminante 
a < b: a menor a b |a|: Valor absoluto de a, para a  ℝ 
a ≥ b: a mayor o igual que b ∆= |
a b
c d
| = ad − bc: determinante 
a ≤ b: a menor o igual que b 
⇒: implicación lógica, 𝑎 ⇒ 𝑏 se lee “si a entonces b”. Se puede decir que a es condición 
suficiente para que b ocurra. 
⇔: doble implicación, 𝑎 ⇔ 𝑏 se lee “a sí y solo sí”. 
 
 
 
 
 
 
 
Nota: Agrega los que vayas utilizando y no aparezcan en la lista. 
 
4 
 
 
TEMA N° 1: CONCEPTOS PREVIOS 
 
El producto cartesiano de dos conjuntos A y B, que simboliza 𝐴𝑥𝐵, es el conjunto de todos los 
pares ordenados que tienen como primer elemento un elemento de 𝐴 y como segundo elemento 
un elemento de 𝐵. 
 
 
Por ejemplo: Dado el conjunto 𝐴 = {𝑎; 𝑏; 𝑐} y 𝐵 = {1; 2; 3}, el producto cartesiano expresado 
como extensión es igual a: 𝐴𝑥𝐵 = {(𝑎; 1); (𝑎; 2); (𝑎; 3); (𝑏; 1)(𝑏; 2); (𝑏; 3); (𝑐; 1)(𝑐; 2); (𝑐; 3)} 
 
Si se grafican en un par de ejes 
cartesianos se obtiene: 
 
 
 
 
 
 
ACTIVIDADES 
1.- Sean los conjuntos A = {1; 2; 3} y B = {1; 2} 
a) Escribir por extensión el producto cartesiano 𝐴𝑥𝐵 
b) Representar en un sistema de coordenadas cartesianas los elementos del conjunto 𝐴𝑥𝐵 
c) Escribir por extensión el producto cartesiano 𝐵𝑥𝐴 
d) Representar en un sistema de coordenadas cartesianas los elementos del conjunto 𝐵𝑥𝐴 
e) Colocar Verdadero (V) o Falso (F): 
 El elemento (2; 1) es igual al elemento (1; 2) ……… 
 El conjunto formado por el producto cartesiano 𝐴𝑥𝐵 es igual al conjunto formado por 
el producto cartesiano 𝐵𝑥𝐴 ……… 
 
 
 
 
 
5 
 
 
2.- Marcar en los ejes de coordenadas cartesianas, los puntos del plano que participan: 
 
a) ℕ𝑥ℕ b) ℤ0
−𝑥ℤ0
+ 
 
c) ℤ𝑥ℝ d) ℝ𝑥ℝ 
 
 
 
Una forma de expresar el producto cartesiano de un conjunto 𝐴 por sí mismo, es escribir: 
𝐴𝑥𝐴 = 𝐴2 
 
Una relación de un conjunto 𝐴 en un conjunto 𝐵 es cualquier conjunto de pares ordenados de 
𝐴𝑥𝐵. Al conjunto 𝐴 se lo denomina “conjunto de partida” y al conjunto 𝐵 se lo llama “conjunto de 
llegada”. 
 
 
Por ejemplo: Dado 𝐴 = {𝑎; 𝑏; 𝑐}, 𝐵 = {1; 2; 3} y el producto cartesiano expresado como 
extensión: 𝐴𝑥𝐵 = {(𝑎; 1); (𝑎; 2); (𝑎; 3); (𝑏; 1)(𝑏; 2); (𝑏; 3); (𝑐; 1)(𝑐; 2); (𝑐; 3)} 
 
 
6 
 
 
Algunas relaciones son: 
𝑅1 = {(𝑎; 1); (𝑎; 2); (𝑎; 3)}; 𝑅1 ⊂ 𝐴𝑥𝐵 
𝑅2 = {(𝑏; 1)}; 𝑅2 ⊂ 𝐴𝑥𝐵 
𝑅3 = {(𝑎; 1); (𝑏; 1); (𝑐; 3)}; 𝑅3 ⊂ 𝐴𝑥𝐵 
 
Estas relaciones graficadas en sistemas de coordenadas cartesianas: 
 
 
Ahora se representan estas mismas relaciones en Diagramas de Venn: 
 
 
 
En general, se puede escribir 𝑅: 𝐴 → 𝐵 para expresar “la relación 
𝑅” que tiene como conjunto de partida a 𝐴 y de llegada a 𝐵. 
 
 
Clasificación de las 
expresiones algebraicas 
https://youtu.be/Ll7xfe3HoZE
https://youtu.be/Ll7xfe3HoZE
 
 
7 
 
 
El dominio de una relación 𝑅 es el conjunto de todos los elementos del conjunto de partida 
que participan en la relación. Se denota 𝐷𝑜𝑚 𝑅 o 𝐷𝑅. 
La imagen de una relación R es el conjunto de todos los elementos del conjunto de llegada 
que participan en la relación. Se denota 𝐼𝑚 𝑅 o 𝐼𝑅. 
En símbolos: Si 𝑅:𝐴 → 𝐵,𝐷𝑜𝑚 𝑅 ⊂ 𝐴 𝑒 𝐼𝑚 𝑅 ⊂ 𝐵 
 
Por ejemplo, en las relaciones anteriores se define: 
𝑅1 = {(𝑎; 1); (𝑎; 2); (𝑎; 3)}; 𝑅1 ⊂ 𝐴𝑥𝐵 
𝐷𝑜𝑚 𝑅1 = {𝑎} 
𝐼𝑚 𝑅1 = {1; 2; 3} 
 
𝑅2 = {(𝑏; 1)}; 𝑅2 ⊂ 𝐴𝑥𝐵 
𝐷𝑜𝑚 𝑅2 = {𝑏} 
𝐼𝑚 𝑅2 = {1} 
 
𝑅3 = {(𝑎; 1); (𝑏; 1); (𝑐; 3)}; 𝑅3 ⊂ 𝐴𝑥𝐵 
𝐷𝑜𝑚 𝑅3 = {𝑎; 𝑏; 𝑐} 
𝐼𝑚 𝑅1 = {1; 3} 
 
 
ACTIVIDADES 
3.- Dados los conjuntos: 
 A que está formado por las cantidades demandadas de dicho bien A = {0; 20; 40; 60; 80; 100} 
 B cuyos elementos son los precios de un bien B = {0; 5; 10; 15; 20; 25} 
La siguiente tabla de valores muestra la relación observada entre la 
Demanda de un bien y su Precio: 
a) Responder: 
a.1) ¿Qué representan los datos que aparecen en la tercera fila de 
la tabla? 
a.2) Expresa la información de la tercera fila mediante un par 
ordenado. 
a.3) ¿Significa lo mismo el par ordenado (15; 40) y el par ordenado 
(40; 15)? ¿Por qué? 
 
CANTIDAD PRECIO
0 25
20 20
40 15
60 10
80 5
100 0
https://youtu.be/A7OrJ8IlIeE
 
 
8 
 
 
b) Graficar los pares ordenado que pertenecen a la relación dada en la tabla, colocando en el 
eje de las abscisas la cantidad demandada y en el eje de ordenadas el precio; luego determinar la 
cantidad demandada a un precio de $12,50 y a un precio de $22,50. 
 
c) Si se quiere identificar la relación que vincula a todos y cada uno de los valores de la variable 
independiente cuando el conjunto de partida es todo el conjunto de los números reales con un único 
valor de la variable dependiente (que se grafica en el eje de ordenadas) ¿Cómo sería la forma de 
esta gráfica? 
 
4.- Observar la gráfica y completar las tablas con los valores correspondientes: 
 
 
 
 
 
 
 
¿Estas gráficas representan funciones? 
 
 
x s(x) x f(x) x g(x)
16 0 0
-4 2 0
-2 12 0
 
 
9 
 
 
TEMA N° 2: FUNCIONES 
 
Una relación entre dos conjuntos es una función si a cada elemento del conjunto de partida le 
corresponde un único elemento del conjunto de llegada. Es decir, para que seafunción, la relación 
debe cumplir las propiedades de existencia (que a todos los elementos del conjunto de partida le 
corresponda algún elemento del conjunto de llegada) y de unicidad (que a un elemento del 
conjunto de partida le corresponda un único elemento del conjunto de llegada). 
 
Si 𝒙 es un elemento del conjunto 𝑨 relacionado con un elemento 𝒚 del conjunto 𝑩 bajo la 
función 𝒇, se puede escribir con la expresión 𝒚 = 𝒇(𝒙). Lo que indica que “y es una función de 
x”; donde 𝒙 es la variable independiente e 𝒚 la variable dependiente. 
Ejemplos: 
 La función real que relaciona cada número con su cuadrado menos tres unidades se 
puede representar por: 𝑓(𝑥) = 𝑥2 – 3. 
 La función real que relaciona cada número con su doble más una unidad se puede 
representar por: 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1. 
 
A continuación, se analizan si las siguientes relaciones entre elementos del conjunto A y B 
son funciones: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como se puede observar las relaciones f, g, j son funciones, ya que asocia a cada elemento 
del conjunto A un único elemento del conjunto B. 
La relación h no es función porque al elemento c del primer conjunto no lo relaciona con ningún 
elemento del segundo conjunto, no cumpliendo la propiedad de existencia; mientras que la relación 
k tampoco es función, ya que el elemento a del conjunto de partida tiene dos imágenes, no 
cumpliendo la propiedad de unicidad. 
 
 
10 
 
 
 
Evaluar una función 𝑦 = 𝑓(𝑥) es obtener el valor que la función le asocia a un valor determinado 
de x. Es decir, que valor de y que se asocia a un determinado valor de x. 
 
 
Por ejemplo: Sea 𝑓 una función real definida por la expresión 𝑓(𝑥) = 5𝑥 + 4 
Si se quiere evaluar la función para 𝑥 = 2, equivale a calcular 𝑓(2) = 5 ∙ 2 + 4 = 14 
 
Si a cada par de valores x e y relacionados bajo una función f se le asocia el par ordenado (x;y) y 
se lo representa en el plano cartesiano, se obtiene la gráfica de la función f. 
En el eje de abscisas (horizontal) se representan los valores de x o variable independiente; 
mientras que en el eje de ordenadas (vertical) los valores de y o de la variable dependiente. 
 
Por ejemplo: Para graficar la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 2, se puede realizar una tabla de valores 
asignando números a la variable dependiente x, los que se reemplazan en la fórmula de la función 
para obtener los de la variable dependiente y. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para determinar a partir de las gráficas si una relación es función o no, se puede aplicar la 
prueba de la recta paralela al eje de ordenadas, según la cual una relación es función, si y sólo sí, 
esta recta vertical paralela al eje y interseca a la gráfica de la relación en un punto (propiedad de 
existencia) y sólo un punto (propiedad de unicidad). 
En el caso que la recta paralela al eje de ordenadas no interseca ningún punto dentro del 
dominio o corta la gráfica en más de un punto, entonces la relación NO es función. 
 
x f(x)
-1 -4
0 -2
1 0
2 2
 
 
11 
 
 
Ejemplos: 
 
No es función 
 
Hay que tener en cuenta que toda función es una relación entre variables, pero NO toda relación 
en función; para que lo sea debe cumplir las propiedades de existencia y unicidad. 
 
1.- DOMINIO E IMAGEN DE UNA FUNCIÓN 
 
El dominio de una función (𝐷𝑜𝑚 𝑓) es el conjunto de todos los elementos de la variable 
independiente x para los cuales la función está definida. Se debe tener en cuenta que si 𝑓: 𝐴 → 𝐵 
es una función, entonces el 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = 𝐴 
 
Se llaman FUNCIONES REALES a aquellas que tienen al dominio incluido en el conjunto de los 
números reales. Cuando no se especifica el dominio de la función, siempre debe suponer que es 
el mayor conjunto de números reales para los que la función está definida como tal. Este se llama 
DOMINIO NATURAL de la función. 
 
Una función puede estar dada a través de una tabla de valores, un gráfico en los ejes 
cartesianos o una fórmula llamada Ley de formación, explicitando el dominio y el conjunto de 
llegada. En general, se puede expresar a una función como: 
 
𝒇:𝑨 → 𝑩 tal que 𝒇(𝒙) = 𝒚, lo que se lee la función f está definida de A en B (tiene dominio A 
y su imagen está incluida en B) tal que a cada valor “x” del conjunto A le asigna un valor 
“y” a partir de la Ley de Formación f(x). 
 
Para que la función esté perfectamente definida se debe especificar el dominio, el conjunto 
de llegada y su ley de formación. 
 
A los fines de identificar rápidamente a las funciones se las llamaran con las letras f, g, h, s, etc. 
 
 
 
12 
 
 
 
En una función real, la imagen de un número equivale al resultado de evaluar el número en la 
función. La pre imagen de un número es el valor que se evaluó en la función para obtenerlo. 
 
Para obtener el conjunto imagen a partir de la gráfica de una función, se puede utilizar la 
prueba de la recta horizontal paralela al eje de las 𝒙 y recorre todo el eje 𝒚. Conforman al conjunto 
imagen todos aquellos valores de y donde la recta horizontal corta a la gráfica de la función (es 
decir, todos los valores 𝒚 que tienen pre-imagen o un valor de 𝒙). 
 
A partir de la Ley de formación, para obtener la imagen, se despeja la variable independiente 
(x) en función de la variable dependiente (y). Luego se evalúa para qué valores reales está definida 
esa expresión. 
 
Por ejemplo: 𝑓(𝑥) = 4𝑥 − 1 evaluada en 𝑥 = 3 resulta 𝑓(3) = 4 ∙ 3 − 1 = 11. 
Por lo tanto, 11 es la imagen de 3; mientras que 3 es la pre imagen de 11. 
 
A partir de la Ley de formación de una función se puede definir su dominio e imagen. 
 
Se analizan con ejemplos algunas relaciones: 
 
 Dada la función 𝒇(𝒙) = 𝒙 + 𝟏 
 
El dominio de la función está definido por el 
conjunto de los números reales, es decir, para 
cualquier valor de x dentro del conjunto de los 
reales está definida la función. 
 
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ 
 
La imagen de la función es también el 
conjunto de los números reales: 𝐼𝑚 𝑓 = ℝ 
 
 
 
 
 
 
13 
 
 
 
 Dada la función 𝒚 = 𝒉(𝒙)= 𝟐𝒙
𝒙−𝟒
 
 
El dominio de la función h está 
definido por el conjunto de los números 
reales menos el 4, porque si x=4 se 
obtiene un cero en el denominador y el 
cociente es indeterminado (no existe la 
división con divisor cero), por ello, se debe 
quitar ese valor del dominio. 
 
 
El dominio natural de esta función es: 
 
 𝑫𝒐𝒎 𝒉 = { 𝒙 ∈ ℝ / 𝒙 ≠ 𝟒} ó 𝑫𝒐𝒎 𝒉 = ℝ− {𝟒} 
 
 
Para buscar la imagen se evalúan qué valores de y participan en la función, o lo que 
es lo mismo qué valores de y de la función tienen un valor de x correspondiente. 
 
Se despeja de la fórmula el valor de x: 
 
𝑦 =
2𝑥
𝑥 − 4
 ⇒ (𝑥 − 4) ∙ 𝑦 = 2𝑥 ⇒ 
𝑥 − 4
2𝑥
=
1
𝑦
 ⇒ 
1
2
−
2
𝑥
=
1
𝑦
⇒ 
1
2
−
1
𝑦
=
2
𝑥
⇒ 
𝑦 − 2
2𝑦
=
2
𝑥
 
 
𝑥 =
4𝑦
(𝑦 − 2)
 
 
Luego, 𝑦 = 2 hace que el denominador se anule y nuevamente el cociente sea 
indeterminado. Es decir, para y igual a 2 no se tendrá un valor de x que le corresponda. Por 
ello, la imagen de la función h estará dada por el conjunto de números reales sin el 2: 
 
 𝑰𝒎 𝒉 = ℝ− {𝟐} 
 
 
 
 
14 
 
 
 Dada la función 𝒚 = 𝒈(𝒙)= √𝒙−𝟑 
 
En este caso, se debe calcular sólo uno de los signos de la raíz de índice par, para 
que la relación sea función. 
En el gráfico de 𝒈(𝒙) = ±√𝒙 − 𝟑 se puede observar que la relación no es función, porque no 
se cumplen las propiedades de existencia y unicidad. 
 
 
Para que cumpla la propiedad de 
existencia se puede definir su dominio como: 
𝑫𝒐𝒎 𝒈 = {𝒙 ∈ ℝ / 𝒙 ≥ 𝟑 
Pero la propiedad de unicidad no se 
puede lograr salvo que se trabaje con solo una 
de las ramas (la que está desde el eje x hacia 
arriba o la rama que está desde el eje x hacia 
abajo). 
 
Por ello, se analizará el dominio y la imagen para la función 𝒈(𝒙) = +√𝒙 − 𝟑 
 
El dominio de la función g está definidopor 
el conjunto de los números reales mayores o 
iguales a 3, ya que en los números reales no está 
definida la raíz cuadrada de un número negativo, 
y si la x toma valores menores a 3 el radicando 
se vuelve negativo. 
 
𝐷𝒐𝒎 𝒈 = { 𝒙 ∈ ℝ / 𝒙 ≥ 𝟑} ó 𝑫𝒐𝒎 𝒈 = [𝟑;∞) 
 
Para encontrar la imagen: 
 
𝒈(𝒙) = +√𝒙 − 𝟑 → 𝒚 ≥ 𝟎 ⇒ 𝐼𝑚 𝑔 = ℝ0
+ 
 
Luego, 
𝑔: [𝟑;∞) → ℝ / 𝒈(𝒙) = +√(𝒙 − 𝟑) 
es una función porque cumple las propiedades de existencia y unicidad. 
 
 
15 
 
 
 
 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝟔𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 
 
Es una función cuyo: 
 
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ 
𝐼𝑚 𝑓 = ℝ 
 
 
 
 
 
 
 
 𝒚 = 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟒 − 𝟒𝒙𝟐 
 
Es una función cuyo: 
 
𝐷𝑜𝑚 𝑔 = ℝ 
𝐼𝑚 𝑔 = [−4;∞) 
 
 
 
 
 𝒚 = 𝒉(𝒙) = 𝒙𝟐 
 
Es una función cuyo: 
 
𝐷𝑜𝑚 ℎ = ℝ 
𝐼𝑚 ℎ = [0;∞) 
 
 
 
 
 
Dominio de una función Hallar el dominio de una 
función - ejemplo 
https://youtu.be/sAUbYkjwnDI
https://youtu.be/UKRrmCrTzY4
https://youtu.be/sAUbYkjwnDI
https://youtu.be/UKRrmCrTzY4
https://youtu.be/sAUbYkjwnDI
https://youtu.be/UKRrmCrTzY4
https://youtu.be/sAUbYkjwnDI
https://youtu.be/UKRrmCrTzY4
https://youtu.be/sAUbYkjwnDI
https://youtu.be/UKRrmCrTzY4
 
 
16 
 
 
 
 
ACTIVIDADES 
 
5.- Dados 𝐴 = {𝑎; 𝑏; 𝑐}, 𝐵 = {1; 2; 3} y el producto cartesiano expresado como extensión: 
 
𝐴𝑥𝐵 = {(𝑎; 1); (𝑎; 2); (𝑎; 3); (𝑏; 1)(𝑏; 2); (𝑏; 3); (𝑐; 1)(𝑐; 2); (𝑐; 3)} 
 
Determinar cuáles de las siguientes relaciones son funciones, en las que no lo sean, justificar 
indicando que propiedad no se cumple: 
 
𝑅1 = {(𝑎; 1); (𝑎; 2); (𝑎; 3)}; 𝑅1 ⊂ 𝐴𝑥𝐵 
𝑅2 = {(𝑏; 1)}; 𝑅2 ⊂ 𝐴𝑥𝐵 
𝑅3 = {(𝑎; 1); (𝑏; 1); (𝑐; 3)}; 𝑅3 ⊂ 𝐴𝑥𝐵 
 
6.- Observar las siguientes gráficas de relaciones con conjuntos de partida en los ℝ, las mismas no 
expresan funciones, analizar en cada una de ellas por qué y determinar en los casos que sea posible 
el dominio natural e imagen para que se transformen en funciones. Se puede utilizar para este 
ejercicio la prueba de la recta vertical y horizontal, ayudándose con una regla: 
 
 
 
 
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = 
 
𝐼𝑚 𝑓 = 
 
 
17 
 
 
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = 
 
𝐼𝑚 𝑓 = 
 
 
 
𝐷𝑜𝑚 ℎ = 
 
𝐼𝑚 ℎ = 
𝐷𝑜𝑚 𝑠 = 
 
𝐼𝑚 𝑠 = 
 
 
18 
 
 
7.- Graficar la siguiente relación, determinar si es función y escribir su dominio e imagen acotándolo 
para que sea función en caso de ser necesario. 𝒈(𝒙) = −√𝒙 − 𝟑 
 
8.- Dadas las siguientes gráficas determinar si son funciones o no, en caso de que no lo sean, 
especificar la propiedad que no verifica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9.- Completar la siguiente tabla con la Ley de formación: 
Función expresada mediante enunciado Ley de formación 
Función que a cada número le asigna su doble 
Función que a cada número le asocia su triple más cinco 
Función que a cada número le asocia su mitad 
Función que a cada número le asocia su opuesto 
Función que a cada precio le asocia un recargo del 5% de interés 
Función que a cada precio le asocia un 3% de descuento 
 
 
10.- Construir tablas de valores y graficar las siguientes funciones. Luego definir su dominio natural 
e imagen. 
a) 𝑓(𝑥) =
1
3
𝑥 
b) 𝑔(𝑥) = −2𝑥2 + 1 
c) ℎ(𝑥) =
3
𝑥
 
d) 𝑠(𝑥) =
𝑥
𝑥−3
 
e) 𝑡(𝑥) = √𝑥 + 2 
f) 𝑚(𝑥) = 𝑥3 
g) 𝑟(𝑥) =
1
√𝑥2−1
 
 
 
 
 
19 
 
 
11.- Una compañía de telefonía móvil cobra a sus clientes una cantidad fija al mes de $200 más 
$0,10 por cada minuto de llamada. Construir una tabla de valores que relacione el tiempo consumido 
y el costo de la factura. ¿Cuál es la variable independiente y cuál es la dependiente? Expresar 
algebraicamente la función correspondiente. 
 
2.- RELACIÓN ENTRE ECUACIONES Y FUNCIONES 
 
Resolver una ecuación es encontrar el o los valores de la variable independiente que 
corresponden a un determinado valor de la variable dependiente de una función. 
Por ejemplo: Dada la función real: 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝟔 y la ecuación: 𝟐𝒙 + 𝟔 = 𝟒 
Resolver esa ecuación es determinar el valor de la x (variable independiente) que se 
corresponde con un determinado valor de la función o de y (variable dependiente). 
𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝟔 = 𝟒 ⇒ 𝒙 =
𝟒 − 𝟔
𝟐
= −𝟏 
Es decir, cuando la función toma el valor de 4, la x es igual a -1; también se puede decir que 
cuando la x es igual a -1 la función toma el valor de 4. 
 
3.- CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES 
 
3.1.- CEROS O RAÍCES DE UNA FUNCIÓN 
 
Los ceros o raíces de una función son aquellos valores del dominio cuya imagen es cero. 
En símbolos: ∀𝑎 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓; 𝑠𝑖 𝑓(𝑎) = 0 ⇒ 𝑎 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑜 𝑟𝑎í𝑧 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑓, lo que se lee: para 
todo a que pertenece al dominio de la función f, si la función en a es igual a cero entonces a es un 
cero o raíz de la función f. 
 
Por ejemplo: Dada la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 2, realizar tabla de valores y graficar: 
 
 
 
 
 
 
 
Como se puede observar para x igual a 1 el 
valor de la función o de y es 0. Es decir, 𝑓(1) = 0, por 
lo tanto, x=1 es un cero o raíz de la función f, y gráficamente se puede expresar por el punto 
compuesto por el para ordenado (1;0). 
x f(x)
-1 -4
0 -2
1 0
2 2
 
 
20 
 
 
Los ceros o raíces de una función son los valores de x donde la gráfica intercepta al eje x. 
 
Para obtener el cero o raíz a partir de la fórmula o ley de formación, se 
calcula 𝑓(𝑥) = 0 
𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 2 = 0 ⇒ 2𝑥 = 2 ⇒ 𝑥 = 1 
 
3.2.- ORDENADA AL ORIGEN DE UNA FUNCIÓN 
 
La ordenada al origen de una función es el valor que toma cuando la variable independiente es 
igual a cero. En símbolos: ∀𝑏 ∈ 𝐼𝑚 𝑓; 𝑠𝑖 𝑓(0) = 𝑏 ⇒ 𝑏 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑎𝑙 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑓, lo 
que se lee: para todo b que pertenece a la imagen de la función f, si la función en x igual a cero es 
igual a b entonces b es la ordenada al origen de la función f. 
La ordenada al origen es el punto de intersección de la función con el eje y o de ordenadas. 
Siguiendo el ejemplo anterior: Dada la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 2 
𝑓(0) = 2 ∙ 0 − 2 = −2 
Luego 𝑦 = −2 es la ordenada al origen de la 
función. 
Se puede observar gráficamente como el 
punto (0; −2) que es donde la recta corta al eje de 
ordenadas o y. 
 
ACTIVIDADES 
12.- Dadas las siguientes funciones: 
 
𝑓: ℝ ⟶ ℝ / 𝑓(𝑥) = 1/2 𝑥 + 4 
𝑔: ℝ ⟶ ℝ / 𝑔(𝑥) = 2𝑥2 − 2 
ℎ: ℝ ⟶ ℝ / ℎ(𝑥) = −(𝑥 − 1)(𝑥 + 3) 
 
a) Realizar las tablas de valores de cada una y encontrar a partir de ellas los ceros o raíces 
de las funciones y de las ordenadas al origen. 
b) Graficar las funciones y marcar los ceros o raíces y las ordenadas al origen. Realizar un 
gráfico por cada función. 
 
https://youtu.be/wIJiDKzo-X8
https://youtu.be/wIJiDKzo-X8
https://youtu.be/wIJiDKzo-X8
 
 
21 
 
 
 
3.3.- INTERVALOS DE CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO 
 
Un intervalo de crecimiento de una función es un subconjunto del dominio para el cual a mayores 
valores de la variable independiente le corresponden mayores valores de la variable dependiente. 
Lo denotaremos como 𝐼𝐶. Simbólicamente: ∀𝑥 ∧ 𝑏 ∈ 𝐼𝐶 ⇔ 𝑥 > 𝑏 ⇒ 𝑓(𝑥) > 𝑓(𝑏). Lo que se lee 
para todo x y b pertenecen al intervalo de crecimiento si y solo sí x es mayor a b entonces la 
función en x es mayor que el valor de la función en b. 
Un intervalo de decrecimiento de una función es un subconjunto del dominio para el cual a 
mayores valores de la variable independiente le corresponden menores valores de la variable 
dependiente. Lo denotaremos como 𝐼𝐷. Simbólicamente: ∀𝑥 ∧ 𝑏 ∈ 𝐼𝐷 ⇔ 𝑥 > 𝑏 ⇒ 𝑓(𝑥) < 𝑓(𝑏). Lo 
que se lee para todo x y b pertenecen al intervalo de decrecimiento si y solo sí x es mayor a b 
entonces la función en x es menor que el valor de la función en b. 
 
Por ejemplo: Dada la función valor absoluto que se puede definir como: 
f: ℝ → ℝ / f(x) = |x| ⇔ f(x) = {
x si x ≥ 0
−x si x < 0
 
 
Al observar la gráfica de la función se puede determinar que: 
 
 La función tiene cero o raízen x=0. 
 La ordenada al origen está en el punto (0;0). 
 En el intervalo de el Dom f (−∞;0) la función 
decrece, entonces, ID = (−∞;0). Mientras que en 
el intervalo del dominio Dom f (0;∞) la función 
crece, luego IC = (0;∞). 
3.4.- CONJUNTO DE POSITIVIDAD Y NEGATIVIDAD 
 
El conjunto de positividad de una función es el subconjunto del dominio cuyas imágenes son 
números positivos. Lo denotaremos como 𝐶+. Simbólicamente: 𝐶+ = {𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓/𝑓(𝑥) > 0}. 
El conjunto de negatividad de una función es el subconjunto del dominio cuyas imágenes son 
números negativos. Lo denotaremos como 𝐶−. Simbólicamente: 𝐶− = {𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓/𝑓(𝑥) < 0}. 
 
 
 
22 
 
 
Ejemplo N° 1: Dada la función valor absoluto que se puede definir como: 
f: ℝ → ℝ / f(x) = |x| ⇔ f(x) = {
x si x ≥ 0
−x si x < 0
 
 
Al observar la gráfica de la función se puede determinar que: 
 
 
 
 C+ = ℝ− {0} 
 C− = ∅ 
 
Ejemplo N° 2: Dada la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 2 
 C+ = {x ∈ ℝ/x > 1} 
 C− = {x ∈ ℝ/x < 1} 
 
 
ACTIVIDADES 
 
13.- Dadas las siguientes funciones: 
 
𝑓: ℝ ⟶ ℝ / 𝑓(𝑥) = 1/2 𝑥 + 4 
𝑔: ℝ ⟶ ℝ / 𝑔(𝑥) = 2𝑥2 − 2 
ℎ: ℝ ⟶ ℝ / ℎ(𝑥) = −(𝑥 − 1)(𝑥 + 3) 
 
Escribir los intervalos de crecimiento, decrecimiento, los conjuntos de positividad y negatividad 
de cada una. 
 
 
https://youtu.be/4WiRP2_vrtg
https://youtu.be/4WiRP2_vrtg
https://youtu.be/4WiRP2_vrtg
https://youtu.be/4WiRP2_vrtg
 
 
23 
 
 
3.5.- FUNCIÓN PUNTO A PUNTO O FUNCIÓN BIYECTIVA 
 
Una función 𝑓: 𝐴 → 𝐵 es una función punto a punto o biyectiva si cumple con las siguientes dos 
condiciones: 
Elementos diferentes del dominio se relacionan con elementos diferentes de la imagen. En 
símbolos: ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ⇒ 𝑓(𝑎) ≠ 𝑓(𝑏) 
Para todo elemento 𝑦 del conjunto de llegada existe un 𝑥 perteneciente al dominio, tal que 𝑦 = 𝑓(𝑥). 
 
Gráficamente se puede analizar si la función es biyectiva, trazando rectas horizontales por 
todos los valores de y, es decir, del conjunto de llegada. Todas deben cortar la gráfica de la función 
en al menos un punto (existe un x para ese valor de y) y en un solo punto (ese valor de y, no 
responde a más de un valor de x). 
 
 
Si es biyectiva No es biyectiva 
 
ACTIVIDADES 
 
14.- Dadas las siguientes funciones: 
 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 
𝑔(𝑥) = 𝑥3 
 
De cada una de ella escribir el dominio, imagen, ceros o raíces, ordenada al origen, conjuntos 
de positividad y negatividad, intervalos de crecimiento y decrecimiento, y determinar si son 
biyectivas o no. 
 
 
 
24 
 
 
4.- FUNCIÓN INVERSA 
 
Se llama función inversa de una función biyectiva 𝑓: 𝐴 → 𝐵 a la función 
𝑓−1: 𝐵 → 𝐴/𝑓−1(𝑦) = 𝑥 ⟺ 𝑓(𝑥) = 𝑦 
 
Por propiedad, toda función biyectiva tiene función inversa. 
 
Para obtener la función inversa a partir de la fórmula de la función, se debe despejar el valor 
de x. Luego se cambia las variables x por y; y la nueva función que queda definida es la función 
inversa, cuyo dominio es la imagen de la primera función y cuya imagen es el dominio de la primera 
función. 
 
Por ejemplo: Dada la función: 
𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1 
1°) Despejar la variable x: 
𝑥 =
1
2
(𝑦 + 1) 
2°) Intercambiamos las variables x por y: 
𝑦 =
1
2
(𝑥 + 1) 
Luego, 𝑓−1(𝑥) =
1
2
(𝑥 + 1) 
 
 
Si se traza en el sistema de coordenadas cartesianas una recta 𝑦 = 𝑥, las funciones y sus 
inversas tienen gráficas simétricas respecto a esta recta. 
 
ACTIVIDADES 
 
15.- Graficar las siguientes funciones definidas con los dominios e imágenes indicados. ¿Son 
funciones biyectivas? En caso afirmativo, encontrar y graficar su función inversa. 
 
a) 𝑓:ℝ → ℝ /𝑓(𝑥) =
1
3
 𝑥 − 1 
b) 𝑓:ℝ → ℝ /𝑓(𝑥) = 𝑥3 
c) 𝑓:ℝ0
+ → ℝ0
+ /𝑓(𝑥) = 𝑥2 
d) 𝑓: [1;∞) → ℝ0
+ /𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)2 
 
 
25 
 
 
5.- FUNCIONES POLINÓMICAS 
 
En general, todo polinomio 𝑃(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥
2 +⋯+ 𝑎𝑛𝑥
𝑛 donde 𝑎0; 𝑎1;… ; 𝑎𝑛 son los 
coeficientes reales y x la variable, define una función polinómica 
𝑓:ℝ → ℝ 𝑑𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑓(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥
2 +⋯+ 𝑎𝑛𝑥
𝑛 
 
Se llama grado de la función polinómica al mayor de los exponentes de la variable cuyo 
coeficiente es distinto de cero, es decir, el grado del polinomio que es ley de formación. 
 
5.1.- FUNCIONES POLINÓMICAS DE GRADO CERO 
 
La función nula, es una función de grado cero y está dada por 𝑓:ℝ → ℝ /𝑓(𝑥) = 0 
 
La función constante, es una función de grado cero y está dada por 𝑓:ℝ → ℝ /𝑓(𝑥) = 𝑏, siendo b 
un número real cualquiera. 
 
ACTIVIDADES 
16.- Determinar si las siguientes funciones son polinómicas o no: 
a) 𝑓(𝑥) =
1
𝑥−2
 
b) 𝑔(𝑘) =
1
4
𝑘 − 𝑘5 
c) ℎ(𝑥) = (ln 4) 𝑥 + 1 
d) 𝑝(𝑥) = √𝑥 + 2 
e) 𝑞(𝑟) = 𝑟−1 + 2𝑟2 
f) 𝑠(𝑡) = 4 ln 𝑡 
 
17.- Graficar la función nula y determinar su Dominio, Imagen, Ceros o Raíces, Ordenada al Origen, 
Intervalos de crecimiento y decrecimiento, Conjuntos de positividad y negatividad, si es biyectiva, 
en caso de serlo, determinar su función inversa. 
 
18.- Dada la función: 𝑓(𝑥) = 3 
a) ¿Cuál es el grado de la función polinómica? 
b) Graficar la función y determinar Dominio, Imagen, Ceros o Raíces, Ordenada al Origen, 
Intervalos de crecimiento y decrecimiento, Conjuntos de positividad y negatividad, si es biyectiva, 
en caso de serlo, determinar su función inversa. 
 
 
 
26 
 
 
19.- ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? 
a) Toda función constante es una función nula. 
b) Toda función nula es una función constante. 
 
5.2.- FUNCIONES POLINÓMICAS DE PRIMER GRADO 
 
La función polinómica de primer grado está dada por 𝑓:ℝ → ℝ /𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏, donde 𝑚 ≠ 0 y 𝑏 
un número real cualquiera, 𝑥 es la variable independiente. 
 
Dentro de las funciones polinómicas de primer grado se encuentran la lineal o de 
proporcionalidad directa, la identidad y la función afín. 
 
La función lineal o de proporcionalidad directa está dada por 𝑓:ℝ → ℝ /𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥, donde 𝑚 ≠ 0 
El valor de 𝑚 se llama pendiente de la recta y se lo encuentra en la función lineal como 𝑚 =
𝑦0
𝑥0
 
siendo (𝑥0; 𝑦0) un punto cualquiera de la recta. 
Su gráfica siempre es una recta que contiene al origen de coordenadas (0;0) 
 
La función identidad está dada por 𝑓:ℝ → ℝ /𝑓(𝑥) = 𝑥 
 
La función afín está dada por 𝑓:ℝ → ℝ /𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏, siendo m y b números reales 
cualesquiera distintos de cero. Al valor m se lo llama pendiente de la recta y se lo define en la 
función lineal como 𝑚 =
∆𝑦
∆𝑥
 y al valor b se lo llama ordenada al origen. 
 
Hay que tener en cuenta que la ordenada al origen en la función afín siempre será igual a b, 
ya que: 𝑓(0) = 𝑚0+ 𝑏 = 𝑏 
 
Las gráficas de una función afín y una 
función lineal de igual pendiente (coeficiente m) 
son rectas paralelas, por lo tanto, se puede 
considerar que una función afín es una traslación 
de la función lineal correspondiente. Por ejemplo: 
En el siguiente gráfico, se muestra la función lineal 
𝑓(𝑥) = 2𝑥 y la función afín 𝑔(𝑥) = 2𝑥 + 2 
 
 
 
27 
 
 
Muchas veces se llama función lineal a toda función cuya gráfica sea una recta, esto es incorrecto, 
hay que saber el nombre de cada función según sus características. 
 
 
 
 
ACTIVIDADES 
 
20.- Graficar la función 𝑓(𝑥) = −2𝑥, determinar qué tipo de función es, su Dominio, Imagen, Ceros 
o Raíces, Ordenada al Origen, Intervalos de crecimiento y decrecimiento, Conjuntos de positividad 
y negatividad, si es biyectiva, en caso de serlo, determinar su función inversa. 
 
21.- Graficar la función 𝑓(𝑥) = 𝑥, determinar qué tipo de función es, su Dominio, Imagen, Ceros o 
Raíces, Ordenada al Origen, Intervalos de crecimiento y decrecimiento, Conjuntos de positividad y 
negatividad, si es biyectiva, en caso de serlo, determinar su función inversa. 
 
22.- Dada la ecuación de la función lineal 𝑦 = 𝑚𝑥, encuentra la ecuación de las siguientes funciones 
lineales que pasan por elpunto dado: 
a) 𝑃 = (1; 7) 
b) 𝑆 = (−1; 3) 
c) 𝐷 = (2; 5) 
 
23.- A partir de la siguiente gráfica: 
 
a) Encontrar la ley de formación de las siguientes funciones. 
𝑓(𝑥) = 𝑝(𝑥) = ℎ(𝑥) = 𝑔(𝑥) = 
Gráfica de una función 
lineal 
Gráfica de una función 
lineal implícita 
https://youtu.be/AoZpzAoC1Qg
https://youtu.be/jVx1jBJDEpY
https://youtu.be/AoZpzAoC1Qg
https://youtu.be/jVx1jBJDEpY
https://youtu.be/AoZpzAoC1Qg
https://youtu.be/jVx1jBJDEpY
 
 
28 
 
 
 
b) Observando la gráfica y la ley de formación de las funciones lineales completar: 
 
Dada la función lineal 𝒚 = 𝒎𝒙: 
 
 Si 𝑚 > 0 la recta tiene pendiente ……………………………….. y el intervalo de crecimiento 
de la función es: 𝐼𝐶 =…………………… 
 Si 𝑚 < 0 la recta tiene pendiente ……………………………….. y el intervalo de decrecimiento 
de la función es: 𝐼𝐷 =…………………… 
 
24.- Según el promedio mundial del año 2017 el litro de nafta súper fue de USD 1,01. En Argentina 
el litro valió aproximadamente USD 1,16. 
a) Obtener las leyes funcionales o leyes de formación que definen el costo de la nafta (y) en 
función de los litros comprados (x) a nivel mundial y nacional. 
b) Graficar ambas situaciones. 
c) ¿Cuál es el dominio de ambas funciones? 
d) ¿Cuánto costó en Argentina comprar 5 litros de nafta super en 2017? 
e) ¿Cuántos litros de nafta se podían comprar en Argentina si en 2017 se tenían USD 10? 
 
25.- Los paquetes de 500 folios cuestan $4000. 
a) Armar una tabla de valores que indique cuánto cuestan 1, 2, …, 10 folios. 
b) Graficar y responder: 
b.1) ¿Qué tipo de función se obtiene? 
b.2) ¿Cuál es la ecuación? 
 
26.- Por fin de temporada un negocio aplica un 20% de descuento a todos sus productos. 
a) ¿Cuál será el precio rebajado de unas zapatillas de deporte que costaban $1200? ¿y de un 
par de medias que salían $80? 
b) Si se llama x al antiguo precio del artículo, y al precio rebajado, ¿qué función se obtiene? 
Graficar. 
 
27.- El IVA es un impuesto al valor agregado que en muchos productos supone un recargo del 21% 
sobre el precio inicial. 
a) El precio de unas zapatillas sin IVA por internet resulta de $2000, ¿a cuánto asciende el 
precio con IVA incluido? 
b) Encuentre la expresión de la función que surge entre el precio sin IVA de cualquier par de 
zapatillas y el precio final con IVA incluido. 
 
 
29 
 
 
28.- Colocar Verdadero (V) o Falso (F) a las siguientes proposiciones: 
 
PROPOSICIONES V o F 
a) Toda función constante es una función polinómica de grado 1. 
b) Toda función polinómica de grado 1 es una función lineal. 
c) Toda función afín es una función lineal. 
d) Existen algunas funciones afines que son función identidad. 
e) Toda función lineal es una función afín. 
f) Existen algunas funciones afines que son funciones lineales. 
 
29.- Graficar las siguientes relaciones: 
𝑅1: 𝑦 = 2 
𝑅2: 𝑥 = 1 
𝑅3: 𝑦 = 𝑥 + 2 
a) Graficar las tres relaciones. 
b) ¿Todas las rectas graficadas responden a una función? Justificar. 
c) ¿Siempre la gráfica de toda función polinómica de grado cero o uno es una recta? 
d) Identificar las coordenadas de los puntos de intersección entre las rectas: 
𝑅1 ∩ 𝑅2 = 
𝑅1 ∩ 𝑅3 = 
𝑅3 ∩ 𝑅2 = 
e) ¿Qué relación tiene 𝑅1 y 𝑅2? 
f) ¿Qué relación tiene 𝑅1 y 𝑅3? 
 
5.3.- FUNCIONES POLINÓMICAS DE SEGUNDO GRADO: FUNCIÓN CUADRÁTICA 
 
Se llama función cuadrática a la función polinómica de segundo grado que está dada por 
 𝑓:ℝ → ℝ / 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, donde 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ≠ 0 
𝑎 recibe el nombre de coeficiente cuadrático, 𝑏 es el coeficiente lineal y 𝑐 es el término 
independiente. La representación gráfica de una función cuadrática se llama PARÁBOLA. Esta se 
puede obtener a partir de tabla de valores o directamente marcando el vértice, eje de simetría, las 
raíces o ceros de la función y el punto de corte con el eje y. 
 
 
 
30 
 
 
Hay que tener en cuenta que el coeficiente cuadrático debe ser distinto de cero, porque de lo 
contrario no sería función cuadrática. 
 
La parábola de una función cuadrática es una curva simétrica con respecto a una recta 
paralela al eje de ordenadas, llamado EJE DE SIMETRÍA, que pasa por el vértice de la gráfica. Está 
compuesta por todos los pares ordenados (𝑥; 𝑦) que satisfacen la función cuadrática: 
 
𝒚 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 
 
Para trazar la parábola de una función cuadrática 
se debe determinar el vértice, el eje de simetría, los 
puntos de corte en el eje x (ceros o raíces) y el punto de 
corte con el eje y (ordenada al origen). 
 
Estos puntos que forman la parábola están 
determinados por los coeficientes numéricos a, b y c de la 
función cuadrática. 
 
 
 
Para determinar el sentido de las ramas de la parábola (hacia arriba o hacia abajo), dependerá 
del coeficiente numérico 𝑎 de 𝑥2. 
Si 𝑎 es mayor que cero, es decir, un número positivo, las ramas de la parábola van hacia 
arriba; y si 𝑎 es menor que cero, es decir, un numero negativo, las ramas de la parábola van hacia 
abajo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
31 
 
 
 
También dependerá del coeficiente numérico 𝒂, la dilatación o contracción de la parábola. Si 
aumenta el valor absoluto de 𝒂, la parábola se contrae y si disminuye el valor absoluto de 𝒂 la 
parábola se dilata. 
 
Por ejemplo: Para 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2, si se reemplaza 
𝑎 por diferentes valores se puede observar 
gráficamente como la parábola se dilata o contrae. 
 
 
 
 
 
 
El punto de corte de la parábola con el eje y está determinado por el valor del término 
independiente c. Si se analiza una función cuadrática 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, con 𝑥 = 0 se obtiene el 
punto de corte con el eje y u ordenada al origen es: 
 
 
 
Entonces, el punto (0; 𝑐) de una función cuadrática 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, corresponde al punto en que la 
parábola corta al eje y. 
 
Para determinar los puntos donde la parábola 
atraviesa el eje x o de abscisas, se analiza la función 
cuadrática 𝒚 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄. Los puntos sobre el eje x tienen que tener coordenada y igual a cero, 
es decir, (𝒙; 𝟎), por lo tanto, la función es igual a cero 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝟎. Estos puntos son las raíces de 
la función cuadrática 
Luego: 
 
 
 
32 
 
 
 
Al estar en presencia de una ecuación cuadrática, se puede aplicar la fórmula general para su 
resolución: 
 
 
De esta forma se obtienen las dos raíces de la ecuación cuadrática, es decir, los dos puntos 
de intersección con el eje x. Las coordenadas de estos puntos serán (𝑥1; 0)𝑦 (𝑥2; 0). 
 
Las funciones cuadráticas pueden expresarse en forma factorizada como: 
𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) 
Siendo 𝑥1 y 𝑥2 las raíces de la función cuadrática 
 
Hay que recordar que las raíces de una ecuación cuadrática dependen del DISCRIMINANTE. 
El discriminante se designa con la letra delta () y es igual a: 
 
 
 
 
Cuando el ∆> 0, la ecuación 
tendrá dos raíces, por lo tanto, 
corta dos veces al eje x. 
Cuando el ∆= 0, la ecuación 
tiene dos raíces iguales, por lo 
tanto, corta una vez al eje x. 
Cuando el ∆< 0, la ecuación no 
tiene raíces reales, por lo tanto, 
no corta ni toca nunca al eje x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
33 
 
 
El vértice es el punto por donde pasa el eje de simetría de la 
parábola y donde cambia su dirección. Para encontrarlo se debe 
obtener las coordenadas de ese punto, al saber que la parábola es 
simétrica, se puede encontrar el componente 𝑥 del vértice que se 
denomina 𝑥𝑣 promediando las raíces: 
 
Según las propiedades de las raíces 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = −
𝒃
𝒂
 
 
Obteniendo este punto se puede trazar el eje de simetría, ya que es una recta paralela al 
eje y que pasa por el vértice. Para encontrar el componente y del vértice, que se denomina 𝒚𝒗, 
se reemplaza 𝑥𝑣 en la fórmula de la función cuadrática: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
34 
 
 
Las coordenadas del vértice de la función 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 son: 
 
Gráficamente: 
 
 
Al analizar estas coordenadas se observa: 
 
 Si 𝒃 = 𝟎, el eje y es el eje de simetría de la parábola. 
 Si 𝒂 > 𝟎 y 𝒃 > 𝟎, el vértice de la parábola se encontrará a la izquierda del eje y, ya que; − 𝒃
𝟐.𝒂
< 𝟎. 
 Si 𝒂 < 𝟎 y 𝒃 < 𝟎, el vértice de la parábola se encontrará a la izquierda del eje y, ya que; − 𝒃
𝟐.𝒂
< 𝟎. 
 Si 𝒂 > 𝟎 y 𝒃 < 𝟎, el vértice de la parábola se encontrará a la derecha del eje y, ya que; − 𝒃
𝟐.𝒂
> 𝟎. 
 Si 𝒂 < 𝟎 y 𝒃 > 𝟎, el vértice de la parábola se encontrará a la derecha del eje y, ya que; − 𝒃
𝟐.𝒂
> 𝟎. 
 
 
 
 
EVALUACIÓN DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA PARA UN VALOR DE X 
 
Para evaluar funciones cuadráticas se debe reemplazar en la variable independiente de la 
función, el valor que se le asigna. 
 
Por ejemplo: Al evaluar x = 2 en la función 𝑓(𝑥) = 3𝑥2– 2𝑥 – 1, resulta 7, ya que: 
𝑓(2) = 3. (2)2– 2 . (2)– 1 = 3 . 4 – 4 – 1 = 12 – 4 – 1 = 7 
 
 
Vértice de una parábola Gráfica de una función 
cuadrática 
https://youtu.be/iZ4guTg3tXg
https://youtu.be/6JQw45YO3Fs
https://youtu.be/iZ4guTg3tXg
https://youtu.be/6JQw45YO3Fs
 
 
35 
 
 
EJEMPLOS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS 
 
Ejemplo N° 1: 𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝟏 
Para graficar la función cuadrática asignamos 
arbitrariamente valores a x para encontrar los que 
corresponden a y. Luego de hacer esta tabla podrás graficar 
en el plano cartesiano. 
En la parábola de esta función se observa que la curva 
no toca el eje x, porque las raíces no son reales. Esto lo 
podemos comprobar con el discriminante 𝑏2– 4𝑎𝑐 =
 02– 4 = − 4 < 0 
La parábola tiene sus ramas hacia arriba ya que 𝒂 > 𝟎. 
El vértice es (0;1) y el eje de simetría coincide con el 
eje de ordenadas. El eje y se corta en el mismo punto del 
vértice, ya que 𝑐 = 1. 
 
Ejemplo N° 2: 𝑦 = −𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟖 
 
La parábola que representa a esta función corta al eje x en dos 
puntos cuyas coordenadas son (-2;0) y (4;0). Estas son las raíces 
o ceros de la función. 
Se puede comprobar que la función tiene dos raíces 
comprobando con el discriminante: 
𝑏2– 4𝑎𝑐 = 4 + 32 = 36 > 0. 
Las ramas de la parábola se extienden hacia abajo porque 
𝑎 < 0. 
El vértice es (1;9). Lo que se verifica con las fórmulas para 
calcular el vértice: (−
𝑏
2𝑎
; 𝑐 –
𝑏2
4𝑎
) 
La función corta al eje y en el punto (0;8), ya que 𝑐 = 8. 
 
 
Dado el coeficiente que acompaña al término cuadrático 𝑎 y las coordenadas del vértice de una 
parábola (𝑥𝑣; 𝑦𝑣) se puede expresar la ley de formación o funcional como expresión canónica: 
𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑥𝑣)
2 + 𝑦𝑣 
 
 
36 
 
 
ACTIVIDADES 
 
30.- Completar las siguientes tablas, graficar y rellenar los espacios de las conclusiones luego de 
analizar los gráficos. 
a) 
 
 
 
 De las funciones f(x) y j(x) se puede observar que si el coeficiente cuadrático es positivo, las 
ramas de la parábola van hacia ………………….; y si el coeficiente cuadrático es negativo, las 
ramas de la parábola van hacia ……………….. 
 De las funciones f(x) y g(x) se puede observar que g(x) es la función f(x) desplazada ……… 
unidades hacia ………………….. 
 De las funciones f(x) y h(x) se puede observar que h(x) es la función f(x) desplazada 
………………………… hacia …………………… 
 
b) 
 
 
 De las funciones f(x) y k(x) se puede observar que k(x) es la función f(x) desplazada 
………………………… hacia …………………… 
 De las funciones f(x) y m(x) se puede observar que m(x) es la función f(x) desplazada 
………………………… hacia …………………… 
 
x
-2
-1
0
1
2
𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 𝒈 𝒙 = 𝒙𝟐 +𝟑 𝒉 𝒙 = 𝒙𝟐 − 𝟏 𝒙 = −𝒙𝟐
x
-2
-1
0
1
2
𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 k 𝒙 = (𝒙+ 𝟏)𝟐 𝒎 𝒙 = (𝒙− 𝟏)𝟐
 
 
37 
 
 
 
31.- Graficar las siguientes funciones y completar. 
 
a) 𝑓(𝑥) = −2𝑥2 − 4𝑥 + 6 
b) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 + 1 
c) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 + 3 
 
 Si 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 tiene dos raíces reales distintas, entonces la parábola corta al eje x en 
………….. veces y la función tiene ……… ceros o raíces. 
 Si 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 tiene raíces reales iguales, entonces la parábola corta al eje x en 
………….. y la función tiene un ………. 
 Si 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 no tiene raíces reales, entonces la parábola corta al eje x en ………….. 
veces y la función ……… tiene ceros o raíces. 
 
32.- Dadas las raíces de la ecuación de segundo grado y el coeficiente del término cuadrático, 
graficar obteniendo el vértice y el eje de simetría. No utilice tablas. En cada inciso marcar en el 
gráfico o especificar: La ecuación del eje de simetría, el vértice, la ordenada al origen, intervalos de 
crecimiento y decrecimiento, conjuntos de positividad y negatividad, son o no biyectivas, y en caso 
de corresponder encontrar la función inversa. 
 
a) 𝑎 = −2; 𝑥1 = −1; 𝑥2 = 3 
b) 𝑎 = −
1
2
; 𝑥1 = 2; 𝑥2 = −1 
 
33.- Teniendo en cuenta la relación que existe entre los coeficientes de la función cuadrática, las 
raíces del polinomio: x1 + x2 = −
b
a
 y x1 ∙ x2 =
c
a
 y la forma factorizada de la función, obtener la 
ecuación explícita de la función cuadrática (f(x) = ax2 + bx + c). 
 
a) 𝑎 = −2; 𝑥1 = −1; 𝑥2 = 3 
b) 𝑎 = −
1
2
; 𝑥1 = 2; 𝑥2 = −1 
 
34.- Dados los coeficientes de las funciones cuadráticas encontrar las raíces: 
 
a) 𝑎 = 2; 𝑏 = 4; 𝑐 = 1 
b) 𝑎 = −√2; 𝑏 = 2√8; 𝑐 = √32 
 
 
 
38 
 
 
35.- Dados los coeficientes del término cuadrático y el vértice de la parábola, encontrar la ecuación 
canónica correspondiente: 
 
𝐚 Vértice Ecuación canónica de la parábola 
2 (2;−3) 
-1 
(−
1
2
; 1) 
 
√3 (−5; 3) 
 
 
36.- A partir de las siguientes gráficas encontrar sin realizar cálculos: raíces, ecuación del eje de 
simetría, vértice, ordenada al origen y construir la ley de formación de la función cuadrática. 
 
 
 
 
 
CEROS O RAÍCES: 
 
EJE DE SIMETRÍA: 
 
VÉRTICE: 
 
ORDENADA AL ORIGEN: 
 
LEY DE FORMACIÓN: 
 
ECUACIÓN CANÓNICA: 
 
 
 
 
 
CEROS O RAÍCES: 
 
EJE DE SIMETRÍA: 
 
VÉRTICE: 
 
ORDENADA AL ORIGEN: 
 
LEY DE FORMACIÓN: 
 
ECUACIÓN CANÓNICA: 
 
 
 
39 
 
 
 
 
 
CEROS O RAÍCES: 
 
EJE DE SIMETRÍA: 
 
VÉRTICE: 
 
ORDENADA AL ORIGEN: 
 
LEY DE FORMACIÓN: 
 
ECUACIÓN CANÓNICA: 
 
 
37.- Los ingresos mensuales de un fabricante de zapatos están dados por la función: 
𝐼(𝑧) = 1000. 𝑧 − 2𝑧2, donde z es la cantidad de pares de zapatos que fabrica en el mes. Realizar el 
gráfico aproximado de la función y responder. 
a) ¿Qué cantidad de pares debe fabricar mensualmente para obtener el mayor ingreso? 
b) ¿Cuáles son los ingresos si se fabrican 125 pares de zapatos? ¿y 375 pares? 
c) ¿A partir de qué cantidad de pares comienza a tener pérdidas? 
 
5.4.- FUNCIONES POLINÓMICAS DE TERCER GRADO: FUNCIÓN CÚBICA 
 
Se llama función cúbica a la función polinómica de tercer grado que está dada por 
 𝑓:ℝ → ℝ/ 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑, donde 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ≠ 0 
𝑎 recibe el nombre de coeficiente cúbico, 𝑏 es el coeficiente cuadrático, 𝑐 es el coeficiente lineal y 
d es el término independiente. 
 
Por ejemplo: Sea la función 𝑓(𝑥) = 𝑥3, si se realiza tabla de valores y se grafica se obtiene: 
 
 
x f(x)
-1 -1
-2 -8
0 0
1 1
2 8
 
 
40 
 
 
ACTIVIDADES 
 
38.- A partir de la función: 𝑓(𝑥) = 𝑥3 
Determinar el dominio natural, la imagen, ceros o raíces, ordenada al origen, intervalos de 
crecimiento y decrecimiento, conjunto de positividad y negatividad, si es biyectiva y la función 
inversa en cado de corresponder. 
 
39.- Dadas las siguientes funciones cúbicas: 
𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 1 
𝑔(𝑥) = 𝑥3 + 𝑥2 
ℎ(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥2 + 2𝑥 
a) Realizar tabla de valores en caso de ser necesario y graficar. 
b) Encontrar los ceros o raíces de las funciones, recuerde factorizar cuando sea necesario. 
c) A partir de las gráficas realizadas, ¿qué conclusión puede sacar? 
d) Dadas las siguientes funciones cúbicas: 
𝑗(𝑥) = −𝑥3 + 1 
𝑘(𝑥) = −𝑥3 + 𝑥2 
𝑙(𝑥) = −𝑥3+ 2𝑥2 + 2𝑥 
 
d.1) Encontrar los ceros o raíces de las funciones, luego graficar. 
d.2) A partir de las gráficas realizadas, observe qué ocurre cuando el coeficiente cúbico 
es negativo ¿qué conclusión puede sacar? 
e) Obtener la función inversa de f(x) y graficarla junto con la función f(x) original. 
 
 
40.- Observar las siguientes gráficas y completar la información solicitada: 
 
 
 
 
Signo del coeficiente a: 
Ceros o raíces: 
Ordenada al Origen: 
IC: 
ID: 
C+: 
C−: 
 
 
41 
 
 
 
 
Signo del coeficiente a: 
Ceros o raíces: 
Ordenada al Origen: 
IC: 
ID: 
C+: 
C−: 
 
 
 
Signo del coeficiente a: 
Ceros o raíces: 
Ordenada al Origen: 
IC: 
ID: 
C+: 
C−: 
 
6.- FUNCIONES RACIONALES 
 
6.1.- FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA 
 
Son aquellas que relacionan dos magnitudes inversamente proporcionales. Su expresión 
algebraica es: 𝑓: 𝐴 → 𝐵 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑓(𝑥) =
𝑘
𝑄(𝑥)
 donde 𝑄(𝑥) ≠ 0 es un polinomio real y 𝑘 ∈ ℝ es una 
constante. Su gráfica es una hipérbola. 
 
Por ejemplo: Dada la función 𝑓(𝑥) =
1
𝑥−1
 al graficarla se obtiene: 
 
Se puede observar que el 𝐷𝑜𝑚 𝑓 son todos los 
reales menos el 1, ya que el valor x=1 hace que el 
denominador de la función se transforme en cero y 
esto genera una indeterminación. 
Por lo tanto, 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ − {1} 
En x=1 la gráfica de la función tiende a 
aproximarse a la recta vertical que pasa por este valor 
de x, pero nunca la intercepta o corta. 
 
 
42 
 
 
 
Es decir, cuando 𝑥 → 1 (se lee cuando x tiende a 1) por izquierda, 𝑓(𝑥) → −∞ (la función 
tiende a menos infinito); mientras que por derecha cuando 𝑥 → 1 ⇒ 𝑓(𝑥) → ∞. 
 
 
 
 
A dicha recta a la 
que la función se acerca 
infinitesimalmente pero 
no la corta se llama 
asíntota vertical. 
 
 
 
 
También se puede identificar que la función se acerca al eje x pero nunca lo corta o intercepta. 
En este caso se observa una asíntota horizontal en y=0. 
 
 
 ASÍNTOTAS VERTICALES: La recta x=a es una 
asíntota vertical de la función si se verifica que cuando el 
valor de x tiende al valor de a, el valor de f(x) tiende cada 
vez a valores más grandes, 𝑓(𝑥) → +∞, ó más 
pequeños, 𝑓(𝑥) → − ∞. 
 ASÍNTOTAS HORIZONTALES: La recta y = b es una 
asíntota horizontal de la función si se verifica que 
cuando: 
𝑥 → +∞ ó 𝑥 → − ∞, 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑓(𝑥) → 𝑏. 
 
 
Por ejemplo: Dada la función 𝒇(𝒙) =
𝟏
𝒙−𝟏
+ 𝟐 
 
 
 
 
43 
 
 
 Si k>0 la función es decreciente y su gráfica aparece en el 1° y 3° cuadrante. 
 Si k<0 la función es creciente y su gráfica está en el 2° y 4° cuadrante. 
 A mayor valor absoluto de la k más se dilata la función. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.2.- FUNCIONES RACIONALES 
 
Se llaman funciones racionales a aquellas funciones que resultan del cociente entre dos funciones 
polinómicas. En símbolos: 𝑓: 𝐴 → 𝐵 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑓(𝑥) =
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
 donde 𝑃(𝑥) ∧ 𝑄(𝑥) son polinomios reales y 
𝑄(𝑥) ≠ 0. 
 
El dominio de estas funciones son todos los reales excepto los que anulan el denominador. 
En esos puntos hay una asíntota vertical. 
 
 
Para calcular el punto de corte con el eje de ordenadas se 
calcula f(0) y para calcular los cortes con el eje x se resuelve la 
ecuación P(x)=0 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://youtu.be/4PWf27vLNQs
https://youtu.be/4PWf27vLNQs
https://youtu.be/4PWf27vLNQs
 
 
44 
 
 
ACTIVIDADES 
 
41.- Dada la siguiente función: 𝑓(𝑥) =
𝑥
(𝑥−1)2
 
a) Encontrar analíticamente el dominio de la función. 
b) Encontrar la ordenada al origen. 
c) Hacer tabla de valores y graficar. 
d) Completar: 
 
Cuando 𝒙 → 𝟏; 𝒇(𝒙) → …….. La ecuación de la asíntota vertical es …………………. Porque si 
𝒙 → ∞;𝒇(𝒙) → ……….. y si 𝒙 → −∞;𝒇(𝒙) →……….. También existe una asíntota horizontal de 
ecuación ……………………………….. 
 
e) Verificar sus resultados con el siguiente gráfico: 
 
 
 
42.- Dadas las siguientes expresiones, definir el dominio natural y la imagen. Hallar los ceros o 
raíces y la ordenada al origen. Escribe la ecuación de las asíntotas verticales y horizontales si 
existen. 
a) 𝑓(𝑥) =
−3
𝑥
 
b) 𝑓(𝑥) =
−3
𝑥
+ 1 
c) 𝑓(𝑥) =
−3
𝑥−1
 
d) 𝑓(𝑥) =
1
√𝑥−2
 
 
 
45 
 
 
7.- FUNCIONES EXPONENCIALES 
 
Se llama función exponencial con base 𝑎 y exponente 𝑥 a 𝑓: ℝ → ℝ 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑓(𝑥) = 𝑘𝑎𝑥, donde 𝑎 >
0; 𝑎 ≠ 1 𝑦 𝑘 ∈ ℝ;𝑘 ≠ 0. Al valor k se lo denomina coeficiente de la función exponencial. El dominio 
natural de esta función es el conjunto de los números reales. 
 
Por ejemplo: Dada la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥 
El dominio de esta función son todos 
los reales y la imagen los reales positivos. Es 
una función continua. 
Si a>1 la función es creciente, mientras 
que si 0<a<1 es decreciente. 
Corta al eje y en el punto (0;1) y el eje 
x es asíntota horizontal. 
Es una función inyectiva, es decir, 
𝑎𝑚 = 𝑎𝑛 ⇒ 𝑚 = 𝑛 
 
Al multiplicar por una constante k a la función exponencial (distinta de cero y de uno), el punto de 
corte con el eje y cambia a (0;k). Al sumar o restar una constante b a la función exponencial, esta 
se desplaza hacia arriba o abajo, b unidades y la asíntota horizontal pasa a ser y = b. 
 
Se debe tener en cuenta que: 
 Si 𝑎 = 0; 𝑓(𝑥) = 0𝑥, esta función NO está definida para 𝑥 ≤ 0. Por ejemplo, el cálculo de 0−1 =
1
0
 no está definida. Por otro lado, 𝑓(0) = 00 es una indeterminación. 
 Si 𝑎 < 0; 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 no está definida para cualquier valor de x. Por ejemplo: (−2)
1
2 = √−2 ∉ ℝ 
 Si 𝑎 = 1; 𝑓(𝑥) = 1𝑥 = 1, para todo valor de x la función toma el valor 1 y por lo tanto, es una 
función constante. 
 Dado que la función 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 está definida para todo el conjunto de números reales, x también 
puede tomar valores irracionales, por ejemplo, 𝑥 = √2 y luego si 𝑎 = 3; 𝑓(√2) = 3√2, dicho 
cálculo se puede realizar con calculadora. 
 
A continuación, se a través de ejercicios se analiza cómo cambian las 
funciones exponenciales al variar 𝒂. Observe que las gráficas de 𝑦 = 𝑎𝑥 y 
𝑦 = (
1
𝑎
)
𝑥
= 𝑎−𝑥 son simétricas respecto del eje y. 
 
https://youtu.be/Atf1UtHR7uw
https://youtu.be/Atf1UtHR7uw
 
 
46 
 
 
ACTIVIDADES 
 
43.- Dadas las funciones de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑘𝑎𝑥; 𝑐𝑜𝑛 𝑎 > 1; 𝑘 > 0 
 
 
 𝒂 > 𝟏 ; 𝒌 = 𝟏. Completar la tabla de 
valores y graficar las funciones en el 
mismo par de ejes cartesianos. 
 
 
 
 
 
 
 
 𝒂 > 𝟏 ; 𝒌 ≠ 𝟏. Completar la tabla de 
valores y graficar las funciones en el 
mismo par de ejes cartesianos. 
 
 
 
 
Luego de graficar se pueden extraer las siguientes conclusiones: 
 
Las funciones de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑘𝑎𝑥; 𝑐𝑜𝑛 𝑎 > 1, 𝑘 > 0 poseen características comunes: 
✓ Las curvas cortan al eje y en el punto ……….. 
✓ Las curvas son crecientes y crecen más rápido cuanto mayor sea …….. 
✓ La variable y toma valores positivos, es decir, 𝐼𝑚 𝑓 = …….. 
✓ Las curvas no cortan al eje x. Cuando los valores negativos de x aumentan en valor absoluto, 
los correspondientes valores de y se acercan a …………, pero no alcanzan nunca es valor, es 
decir que, 𝑎𝑥 →……. cuando 𝑥 →……… Por lo tanto, la recta y=0 es una ………………………. 
 
 
 
x
-2
-1
0
1
2
𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙 𝒈 𝒙 = 𝟑𝒙 𝒉 𝒙 =
𝟑
𝟐
𝒙
x
-2
-1
0
1
2
𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙 𝒈 𝒙 = 𝟐 𝟐𝒙 𝒉 𝒙 =
𝟏
𝟐
 𝟐𝒙
 
 
47 
 
 
 
44.- Dadas las funciones de la forma: 
 
 𝑓(𝑥) = 𝑘𝑎𝑥; 𝑐𝑜𝑛 0 < 𝑎 < 1; 𝑘 = 1. 
Completar la tabla de valores y 
graficar las funciones en el mismo 
par de ejes cartesianos. 
 
 
 
 
 
A partir de las gráficas de las funciones se puede inferir, que las funciones exponenciales de 
la forma 𝑓(𝑥) = 𝑘𝑎𝑥; 𝑐𝑜𝑛 0 < 𝑎 < 1; 𝑘 = 1 presentan las siguientes características: 
 
✓ Las curvas cortan al eje y en el punto ………… 
✓ Las curvas son decrecientes y decrecen tanto más rápido cuanto menor sea el valor de …….. 
✓ La variable y toma valores positivos, es decir,𝐼𝑚 𝑓 = …….. 
✓ Las curvas no cortan el eje de abscisas. En la medida que los valores de x aumentan, los 
correspondientes valores de y se acercan a cero, pero no alcanzan nunca ese valor. Es decir 
que, 𝑎𝑥 →……. cuando 𝑥 →……… Por lo tanto, la recta y=0 es una ………………………. 
 
45.- Dadas las funciones de la forma: 
 
 𝑓(𝑥) = 𝑘𝑎𝑥; 𝑐𝑜𝑛 𝑘 < 0. . 
 
Completar la tabla de valores y graficar las funciones en el mismo par de ejes cartesianos. De 
cada función determina la ordenada al origen, la ecuación de la asíntota horizontal y la imagen de 
la función. 
 
 
 
 
 
 
 
 
x
-2
-1
0
1
2
𝒇 𝒙 =
𝟏
𝟐
𝒙
𝒈 𝒙 =
𝟏
𝟒
𝒙
𝒉 𝒙 =
𝟏
𝟏𝟎
𝒙
x
-2
-1
0
1
2
𝒇 𝒙 = (−𝟏) 𝟐𝒙 𝒈 𝒙 = (−𝟐) 𝟐𝒙 𝒉 𝒙 = (−𝟒) 𝟐
𝒙
 
 
48 
 
 
46.- Completar la tabla de valores y graficar las funciones en el mismo par de ejes cartesianos. 
Luego de cada una de las funciones determinar: dominio, imagen, punto de corte con el eje de 
ordenadas y asíntota. 
 
 
En general, cada punto correspondiente a la gráfica 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑐 está c unidades 
……………. del punto correspondiente sobre la gráfica de 𝑓(𝑥). 
✓ Así, la gráfica de 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑐 se obtiene simplemente al desplazar c unidades hacia 
…………………… la gráfica de 𝑓(𝑥). 
✓ La gráfica de ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑐 al desplazar c unidades hacia ……………. la gráfica de 𝑓(𝑥). 
 
47.- Completar la tabla de valores y graficar las funciones en el mismo par de ejes cartesianos. 
Luego de cada una de las funciones determinar: dominio, imagen, punto de corte con el eje de 
ordenadas y asíntota. 
 
 
✓ La gráfica de 𝑓(𝑥 + 𝑐) se obtiene simplemente al desplazar c unidades hacia la 
……………….. la gráfica de 𝑓(𝑥). 
✓ La gráfica de 𝑓(𝑥 − 𝑐) se obtiene simplemente al desplazar c unidades hacia la 
……………….. la gráfica de 𝑓(𝑥). 
 
x
-2
-1
0
1
2
𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙 𝒈 𝒙 = 𝟐𝒙 − 𝟏 𝒉 𝒙 = 𝟐𝒙+ 𝟏
x
-2
-1
0
1
2
𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙 𝒈 𝒙 = 𝟐𝒙+𝟏 𝒉 𝒙 = 𝟐𝒙−𝟑
 
 
49 
 
 
48.- REFLEXIÓN: Completar la tabla de valores y graficar las funciones en el mismo par de ejes 
cartesianos. Luego de cada una de las funciones determinar: dominio, imagen, punto de corte con 
el eje de ordenadas y asíntota. 
 
 
✓ Luego la gráfica de −𝑓(𝑥) es la reflexión (efecto reflejo) de la gráfica de 𝑓(𝑥) en el eje x. 
 
49.- Completar la tabla de valores y graficar las funciones en el mismo par de ejes cartesianos. 
Luego de cada una de las funciones determinar: dominio, imagen, punto de corte con el eje de 
ordenadas y asíntota. 
 
 
✓ Luego la gráfica de 𝑓(−𝑥) es la reflexión (efecto reflejo) de la gráfica de 𝑓(𝑥) en el eje y. 
50.- Indicar si las siguientes funciones son de crecimiento exponencial o de decrecimiento 
exponencial. 
a) 𝑦 = 3−2𝑥 
b) 𝑦 = (
1
𝑒
)
𝑥
 
c) 𝑦 = 0,75−𝑥 
 
 
x
-2
-1
0
1
2
𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙 𝒈 𝒙 = −𝟐𝒙
x
-2
-1
0
1
2
𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙 𝒈 𝒙 = 𝟐−𝒙
 
 
50 
 
 
51.- Completar la tabla y graficar: 
 
FUNCIÓN 𝑦 = 3𝑥 + 3 𝑦 = 3𝑥−2 𝑦 = 3𝑥−1 + 2 𝑦 = 3
𝑥+1 − 1 
Dominio 
Imagen 
Ceros 
Ordenada al origen 
Punto de la ordenada al 
origen 
 
Asíntotas 
𝐼𝐶 
𝐼𝐷 
𝐶+ 
𝐶− 
 
52.- Encontrar la función de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑘𝑎𝑥 cuya gráfica es: 
 
 
 
APLICACIONES DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL 
 
La función exponencial se presenta en multitud de fenómenos de crecimiento animal, vegetal, 
económico, etc. En todos ellos, la variable es el tiempo. 
En el crecimiento exponencial, cada valor de y se obtiene multiplicando el valor anterior por 
una cantidad constante a. 
 
 
 
51 
 
 
Donde k es el valor inicial (para t=0), t es el tiempo transcurrido y 𝒂 es el factor por que se 
multiplica en cada unidad de tiempo. 
 
Si 𝟎 < 𝒂 < 𝟏 se trata de un decrecimiento exponencial. 
 
La función exponencial sirve para describir cualquier proceso que evolucione de modo que 
el aumento (o disminución) en un pequeño intervalo de tiempo sea proporcional a lo que había al 
comienzo de este. 
A continuación, se ven dos aplicaciones: 
 
INTERÉS COMPUESTO 
 
En el interés compuesto, los intereses producidos por un capital, C0 se van acumulando a 
este, con el paso del tiempo, para producir nuevos intereses. 
Los intervalos de tiempo, al cabo de los cuales los intereses se acumulan al capital, se llaman 
periodos de capitalización o de acumulación. Si son t años, r es interés anual en % (la ganancia). 
El capital final obtenido viene dado por la fórmula: 
𝐶𝐹 = 𝐶𝐼 ∙ (1 +
𝑟
100
)
𝑡
 
 
Donde CF es el capital final, CI es el capital inicial, r es la tasa de interés y t la cantidad de 
períodos de tiempo. Si se consideran n periodos de tiempo, (n=12 meses, n=4 trimestres, n=365 
días, …) la fórmula anterior queda: 
𝐶𝐹 = 𝐶𝐼 ∙ (1 +
𝑟
𝑛 ∙ 100
)
𝑛𝑡
 
Por ejemplo: Si se colocan $5000 al 29% anual. ¿Qué capital se tendrá al cabo de 5 años? 
 Si los intereses se acumulan anualmente: CF = $5000 . 1,295 = $17.861,53. 
 Si se acumulan mensualmente: CF = $5000 . (1+
29
12.100
)12.5 = $20.9551,17 
 Si se acumulan trimestralmente: CF = $5000 . (1+
29
4.100
)4.5 = $20.272,91 
 
CRECIMIENTO DE POBLACIONES 
 
El crecimiento vegetativo de una población viene dado por la diferencia entre nacimientos y 
defunciones. Si inicialmente partimos de una población P0, que tiene un índice de crecimiento i, al 
cabo de t años se habrá convertido en: P=P0 (1+i)t 
Por ejemplo: Un pueblo tiene 600 habitantes y su población crece anualmente un 3%, 
¿cuántos habitantes habrá al cabo de 8 años? P=600.1,038 760 habitantes 
 
 
52 
 
 
ACTIVIDADES 
 
53.- Resolver: 
a) El número V de computadoras infectadas por un virus aumenta de acuerdo con el modelo 
𝑉(𝑡) = 100𝑒4,6052𝑡, donde t es el tiempo en horas. Encontrar el número de computadoras infectadas 
en 1,5 horas. 
b) La población P (en millones) de Italia de 1990 a 2008 se puede aproximar con el modelo 
𝑃 = 56,8𝑒0,0015𝑡, donde t representa el año, con t=0 correspondiente a 1990. 
b.1) De acuerdo con el modelo, ¿la población de Italia es creciente o decreciente? 
Justificar. 
b.2) ¿Cuál fue la población de Italia en 2000 y 2008? 
b.3) Use el modelo para predecir la población de Italia en 2020. 
c) La ganancia anual P de una compañía debido a las ventas de cierto artículo después de x 
años de ser lanzado al mercado es: 
𝑃 = 100.000 − 60.000(
1
2
)
𝑥
 
c.1) ¿Cuál es la ganancia después de 5 años? 
c.2) ¿Cuál es la ganancia después de 10 años? 
c.3) ¿Es una función creciente o decreciente? 
 
8.- FUNCIONES LOGARÍTMICAS 
 
Se llama función logarítmica a la función inversa de la función exponencial. Es una función de la 
forma 𝑓: ℝ+ → ℝ 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑦 = log𝑎 𝑥 ⇔ 𝑎
𝑦 = 𝑥, donde 𝑎 > 0; 𝑥 > 0; 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑦 = 𝑓(𝑥) 
 
La función logaritmo natural 𝑦 = ln 𝑥 es la función inversa de la función exponencial 𝑦 = 𝑒𝑥 
 
Algunas propiedades de las funciones logarítmicas: 
 
✓ Las funciones logarítmicas son simétricas con respecto a las exponenciales. 
✓ El dominio son los reales positivos y la imagen son los reales. 
✓ Es una función continua. 
✓ Si la base del logaritmo es mayor que uno la función es crecimiento, mientras que, si es un 
valor comprendido entre 0 y 1, la función es decreciente. 
✓ Corta al eje x en el punto (1;0) 
 
 
53 
 
 
 
✓ El eje y es asíntota. 
✓ Es una función inyectiva, es decir, si log
𝑎
𝑚 = log
𝑎
𝑛 entonces m=n 
 
En las siguientes gráficas se puede observar como varía la función logarítmica: 
 
 
 
Al multiplicar por una constante 𝒚 = 𝒌 ∙ 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙 cambia la rapidez con que la función crece o 
decrece (k<0). 
Al sumar (o restar) una constante b, la gráfica se desplaza hacia arriba (o hacia abajo) b 
unidades, cambiando el punto de corte con el eje de abscisas. 
 
En las funciones logarítmicas también se verifica la reflexión (reflejo) 
de la función con respecto al eje x, es decir, la gráficade la función −𝑓(𝑥) 
es la reflexión de la gráfica de 𝑓(𝑥) en el eje 𝑥. Mientras que la gráfica de 
𝑓(−𝑥) es la reflexión de la gráfica de 𝑓(𝑥) en el eje 𝑦. 
 
 
 
https://youtu.be/C0vUje9Uduc
 
 
54 
 
 
ACTIVIDADES 
54.- Analizar el argumento de las siguientes funciones y determinar el dominio de la función: 
a) 𝑓(𝑥) = log(𝑥 − 2) 
b) 𝑓(𝑥) = ln 𝑥2 
c) 𝑓(𝑥) = log
3
(2 − 𝑥) 
d) 𝑓(𝑥) = ln(4 − 𝑥2) 
55.- Completar la tabla y graficar: 
FUNCIÓN 𝑦 = log2 𝑥 𝑦 = −log2 𝑥 𝑦 = log2(−𝑥) 𝑦 = (log2 𝑥) + 3 𝑦 = log2(𝑥 − 2) 
Dominio 
Imagen 
Ceros 
Ordenada al origen 
Asíntotas 
𝐼𝐶 
𝐼𝐷 
𝐶+ 
𝐶− 
56.- Resolver: Los estudiantes que participan en un experimento de psicología asistieron a varias 
conferencias sobre un tema y se les dio un examen. Cada mes, durante un año después, los 
estudiantes fueron sometidos al examen nuevamente para ver cuánto recordaban del material. El 
promedio de calificaciones para el grupo está dado por el modelo de memoria humana: 
𝒇(𝒕) = 𝟕 − 𝟔 𝐥𝐧(𝒕 + 𝟏), 𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟏𝟐, donde t es el tiempo en meses. 
a) ¿Cuál fue el promedio de calificaciones en el examen original (t=0)? 
b) ¿Cuál fue el promedio de calificaciones al término de 2 meses? 
 
57.- Sin utilizar calculadora evalúe 𝑔(𝑥) = ln 𝑥 en: 
a) 𝑥 = 𝑒5 
b) 𝑥 = 𝑒−4 
c) 𝑥 = 𝑒−
5
2 
 
58.- Encontrar el valor de x utilizando la propiedad biunívoca. 
a) log5(𝑥 + 1) = log5 6 
b) ln(𝑥2 − 2) = ln 23 
 
 
55 
 
9.- FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 
 
Una función trigonométrica, llamada circular, es aquella que surge por la aplicación de una razón 
trigonométrica a distintos valores de la variable independiente, estando expresada en radianes. 
 
Solo se analizará el comportamiento de las funciones seno, coseno y tangente. 
 
9.1.- FUNCIÓN SENO 
 
La función seno, 𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏 𝒙, es la aplicación de la razón trigonométrica seno a una 
variable independiente x expresada en radianes. La función seno es periódica porque los valores 
que toma la función se repiten cíclicamente cada 𝟐𝝅, de extensión infinita, continua. Su dominio 
está dado por todos los números reales y su imagen está acotada al intervalo [-1;1]. Su gráfica se 
llama sinusoide. 
 
Con la ayuda de la circunferencia trigonométrica y las coordenadas de los puntos P sobre ella, 
es posible trazar las gráficas de las funciones sen t y cos t. 
Se comienza con la función f(t) = sen(t) 
Se puede observar que cuando se va desde t = 0 hasta t =
π
2
 rad (90°) el valor del seno de t 
va aumentando hasta llegar a 1, que es el valor máximo. Desde t =
π
2
 rad hasta t = π rad (180°) el 
seno de la función va disminuyendo hasta cero y lo sigue hasta -1 al llegar al ángulo t =
3
2
π rad 
(270°), en ese punto alcanza un mínimo. Luego, el valor de la función seno comienza a aumentar 
hasta llegar a cero cuando t = 2π rad (360°). 
En la figura se muestra la gráfica del primer ciclo de f(t) = sen t, que corresponde con la 
primera vuelta completa a la circunferencia trigonométrica, dicha función es periódica y su período 
es de 2π. 
 
 
56 
 
 
Dominio: ℝ 
Imagen: [−1, 1] 
Período: 2𝜋 𝑟𝑎𝑑 
Continuidad: Continua ∀𝑥 ∈ ℝ 
Impar, es decir, es simétrica con respecto al origen: 𝑠𝑒𝑛 (−𝑥) = −𝑠𝑒𝑛 𝑥 
 
9.2.- FUNCIÓN COSENO 
 
La función coseno, 𝒇(𝒙) = 𝒄𝒐𝒔 𝒙, es la aplicación de la razón trigonométrica coseno a la 
variable independiente x expresada en radianes. Es periódica porque los valores que toma la 
función se repiten cíclicamente cada 𝟐𝝅, de extensión infinita, continua. Su dominio esta dado 
por todos los números reales y su imagen está acotada a [-1;1]. Su gráfica se llama sinusoide. 
 
Para trazar la función f(x) = cos(x), se observa que para x = 0 el coseno es igual a 1, en la 
medida que x va aumentando el valor de la función coseno va disminuyendo hasta x =
π
2
 rad (90°) 
en donde alcanza el valor cero. Desde x =
π
2
 rad hasta x = π rad (180°) el coseno de la función 
continúa disminuyendo hasta -1. Entre π rad y 2π rad, el valor de la función coseno aumenta hasta 
llegar a 1. 
En la figura se muestra la gráfica del primer ciclo de f(x) = cos x, que corresponde con la 
primera vuelta completa a la circunferencia trigonométrica, dicha función es periódica y su período 
es de 2π. 
Dominio: ℝ 
Imagen: [−1, 1] 
Período: 2𝜋 𝑟𝑎𝑑 
Continuidad: Continua ∀𝑥 ∈ ℝ 
Par, es decir, es simétrica respecto al eje vertical: 𝑐𝑜𝑠 (−𝑥) = −𝑐𝑜𝑠 𝑥 
 
 
 
 
https://youtu.be/zn6za_xWsVI
https://youtu.be/VSCT8dsF14I
https://youtu.be/zn6za_xWsVI
https://youtu.be/VSCT8dsF14I
https://youtu.be/zn6za_xWsVI
 
 
57 
 
 
9.3.- FUNCIÓN TANGENTE 
 
En la función que viene dada por 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔 𝑥, siendo x la variable independiente expresada 
en radianes. 
 
La función tangente tiene un comportamiento distinto. Se define como el cociente de dos 
valores 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔 𝑥 =
𝑦
𝑥
=
𝑠𝑒𝑛 𝑥
cos𝑥
, por lo tanto, presenta la dificultad propia de todo cociente, que el 
denominador no se puede anular. 
 
En consecuencia, aquellos puntos de la circunferencia trigonométrica cuya abscisa sea igual 
a cero, la tangente no está definida (esto ocurre para valores de 
𝜋
2
 𝑟𝑎𝑑,
3
2
𝜋 𝑟𝑎𝑑,
𝑒𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙 
2𝑘+1
2
𝜋 𝑟𝑎𝑑, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑘 ∈ ℤ), por lo tanto, la función tangente tampoco estará definida 
en esos puntos. 
 
En esos puntos la gráfica presenta asíntotas verticales. 
 
 
 
 
 
Dominio: ℝ−
2𝑘+1
2
𝜋 𝑟𝑎𝑑, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑘 ∈ ℤ = ℝ − {… ,−
𝜋
2
,
𝜋
2
,
3
2
𝜋,… } 
Imagen: ℝ 
Per íodo: 𝝅 𝒓𝒂𝒅 
Impar, es decir , simétrica respecto al origen : 𝒕𝒈 (−𝒙) = −𝒕𝒈 𝒙 
 
 
 
 
https://youtu.be/IqrX6E8VHl8
 
 
58 
 
 
Hay que tener en cuenta que también se pueden obtener las funciones inversas del seno x, 
coseno de x y de la tangente de x, que son el arco seno de x (y = sen−1(x)), el arco coseno de x 
(y = cos−1(x)) y el arco tangente de x (y = tg−1(x)) respectivamente. Para poder hallarlas, se debe 
acotar el dominio de la función. 
 
Tampoco se debe confundir la inversa de las funciones trigonométricas con las funciones 
cosecante de x, secante de x y cotangente de x, que son los inversos multiplicativos de las funciones 
seno, coseno y tangente de la variable independiente expresada en radianes. 
 
Para trabajar con funciones trigonométricas recuerde configurar correctamente su 
calculadora en radianes. 
 
 
 
ACTIVIDADES 
 
59.- Representar gráficamente las siguientes funciones trigonométricas y determinar su dominio, 
imagen, período, puntos de corte con el eje x e y, ceros o raíces, ordenada al origen, intervalos de 
crecimiento o decrecimiento, conjuntos de positividad y negatividad, ecuaciones de asíntotas en 
caso de existir. 
a) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 (5𝑥) 
b) 𝑦 = 2 𝑐𝑜𝑠(𝑥) 
c) 𝑦 = 𝑐𝑜𝑡𝑔(2𝑥) 
d) 𝑦 = − 3 + 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠(𝑥) 
e) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛2(𝑥) 
 
 
 
¡FIN DEL MÓDULO DE MATEMÁTICA 2022! 
¡Éxitos en tus exámenes! 
 
 
59 
 
Baeza, Á., Fehrman, P., Rodríguez, C., Molina, R., Norambuena, A., Venegas, S. y Villena, M. (2014). 
Aritmética y Álgebra. Manual esencial. Santillana, Tomo I. 
 
Baldor, Aurelio (1980). Álgebra. Madrid, España, Cultural Centroamericana SA. 
 
Berruti, Pedro (1969). “Manual de ingreso en primer año: Matemáticas y Castellano”, 46° edición, Buenos 
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nivel o ciclo de educación media para personas Jóvenes y Adultas, Ministerio de Educación, Gobierno de 
chile. 
 
Centro para la Innovación y Desarrollo de la Educación a Distancia. Matemáticas. 23/07/2020 
https://www.matematicasonline.es/cidead/2esomatematicas/ 
 
Chorny, F., Krimker, G. y Salpeter, C. (2005). Pitágoras 8 Matemática, Proyecto Mundo para todos, 
Argentina, SM. 
 
Corrías, Celina, Gei, Carina,Herrera, Héctor, Julián, Francisca y Rodríguez, María Cecilia (2019). Módulo 
de Matemática – Guía de estudio Ingreso 2019 – Parte I y II. Facultad de Ciencias Económicas, 
Universidad Nacional de Cuyo, Mendoza, Argentina. 
 
Greco de Laugero, Cecilia, Guevara Molina, Silvia y Zaragoza de Cueto, Liliana (1993). Haciendo… 
Aprendemos. Facultad de Filosofía y Letras, Universidad Nacional de Cuyo, Mendoza, Argentina, Editorial 
Ex Libris Cooperativa de Trabajo Limitada. 
 
Martinez, Miguel y Rodriguez, Margarita (2005). Matemática. Chile, Mc Graw Hill. 
 
Nuñez, Pamela y Ramírez, Manuel (2009). Apuntes de preparación para la prueba de selección 
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Portal Educativo: Vitutor: http://www.vitutor.com/ 
 
Seveso de Larotonda, J., Wykowski, A., Ferrarini, G., Matemática 8 EGB 1er Año, Serie Vértices, Kapelusz. 
 
Videos recuperados de: 
Matemáticas Profe Alex: https://www.youtube.com/channel/UCanMxWvOoiwtjLYm08Bo8QQ 
Educatina: https://www.youtube.com/channel/UCvYgy9xNtl7jeJAdzppgK8g 
Matemóvil: https://www.youtube.com/channel/UCvTyXJuQyAqG2UxzI8jtc2g 
Mathnific: https://www.youtube.com/channel/UCeEtWUQpeDudDvPY12hy3sQ 
Mathutoriales MB: https://www.youtube.com/channel/UCaTZL2cUZijZ0HkomK90K0g 
Unicoos: https://www.youtube.com/channel/UC3RYy7GbMHDvPQGCdAh3H5g 
Última fecha de acceso: 12/11/2022. 
http://www.portaleducativo.net/movil/tercero-medio/10/funcion-cuadratica-parabola
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https://www.youtube.com/channel/UCvYgy9xNtl7jeJAdzppgK8g
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https://www.youtube.com/channel/UCaTZL2cUZijZ0HkomK90K0g
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