Tc20100707Pistas

Vista previa del material en texto

Nota de este examen: 
 
Nota de Cursada: Nota en la libreta: 
 
Coloquio de Modelos y Optimización I (71.14) 7 de julio de 2010 
Apellido y nombre:........................................................................... Nro.de Padrón:........................... 
Cursó en el cuatrimestre del año 
Turno de T.P.: (día y horario) ................................................... Ayudante/s:....................................... 
Oportunidad en la cual rinde (1ra, 2da, 3ra) Rinde como: Regular: Libre: 
 
 
A Después de trabajar varios años en sistemas, un amigo tuyo decide retirarse y abrir un restaurant. Entre los 
miles de detalles que hay que tener en cuenta para abrirlo, se necesita contratar empleados, en particular 
mozos. Analizando los requerimientos de los restaurantes vecinos y las características del propio negocio, tu 
amigo estimó cuántos empleados necesita para cada día de la semana 
Día de la semana Empleados necesarios 
Lunes 4 
Martes 5 
Miércoles 5 
Jueves 10 
Viernes 12 
Sábado 12 
Domingo 2 
Como es una persona muy respetuosa de los empleados, tu 
amigo quiere que los mozos trabajen 4 días y luego tengan 3 
días de descanso (es decir, cada mozo tendrá asignados 
cuatro días de la semana en los cuales tiene que presentarse 
a trabajar y esos cuatro días pueden ser en cualquier 
momento de la semana mientras sean cuatro días 
consecutivos – por ejemplo martes, miércoles, jueves y 
viernes-). Cada día que el mozo tiene que presentarse a 
trabajar (aunque no se lo necesite) hay que pagarle $X. 
Tu amigo te pide ayuda para resolver este problema, porque sabe que estás a punto de aprobar Modelos I. 
¿Qué es lo mejor que se puede hacer con la información disponible? 
Se pide: 
A1 Análisis del problema, Objetivo completo y claro. Hipótesis necesarias para su resolución, definición de 
variables. Modelo matemático para su resolución por Programación Lineal. 
A2 Martiniano Molina (que conoce a tu amigo) plantea una heurística para resolver el problema. 
Contratar 5 personas que trabajen de lunes a jueves y luego el próximo día que se necesite más gente contratar 
los que hagan falta y hacerlos trabajar cuatro días. 
Indique qué inconvenientes tiene la heurística propuesta, si es que los tiene. 
A3 Plantee una heurística de construcción para resolver el problema. Recuerde que su heurística debe tender al 
mejor resultado y que no debe tener los problemas que Ud. criticó en el punto A2. 
 
 
 Ck Xk Bk A1 A2 A3 A4 A5 
 30 X1 30 1 0 1/2 0 1 
 0 X4 0 0 0 -1/2 1 1 
 20 X2 10 0 1 0 0 -1 
 Z = 1100 0 0 15 0 10 
 80 50 -10 
 Bk Yk Ck A1 A2 A3 A4 A5 
 80 Y1 15 1 1/2 0 -1/2 0 
 -10 Y3 10 0 -1 1 -1 1 
B) Nuestra empresa fabrica los productos X1 y X2 a 
partir de los recursos R1 y R2. Además tenemos 
una serie de pedidos comprometidos de X2 que 
suman 10 unidades por mes. Aquí vemos el planteo 
del problema: 
2 X1 + 2 X2 <= 80 (kilos de R1/mes) 
X1 + 2 X2 <= 50 (kilos de R2/mes) 
X2 >= 10 (unidades/mes) 
Z = 30 X1 + 20 X2 (MAXIMO) 
(30 es el precio de venta de X1 y 20 es el precio de 
venta de X2) Z = 1100 0 0* 0 -30 -10 
B1) Una famosa empresa amiga nos ofrece la siguiente alternativa: 
Nos vende unidades de X2 ya elaborado a $ 22 cada una. Esas unidades de X2 tienen las mismas 
características que las unidades elaboradas por nuestra empresa (es decir, podemos entregarlas a los clientes 
en lugar de las que fabricamos nosotros) ¿Es conveniente comprar?. Si no es conveniente ¿por qué?. Si es 
conveniente, ¿cuántas unidades conviene comprar?. Justificá las respuestas. 
 
B2) Otra opción que tenemos es la de conseguir kilos de R1 entregando kilos de R2 (por cada kilo de R1 
conseguido hay que entregar 2 kilos de R2). ¿Es conveniente este negocio? ¿Cuántas unidades es conveniente 
conseguir de R1? 
 
NOTA: Detalle los cálculos efectuados en la parte B. B1 y B2 son independientes entre sí. 
 
Para aprobar debe tener Bien dos puntos de A y uno de B. Además, A1 no puede estar Mal. 
 
 
 
 
USO 
INTERNO 
 
Algunas pistas para la resolución. 
 
Atención: este documento no contiene el resuelto del examen, sino algunas pistas para ayudar a su resolución. 
 
Parte A: 
 
A1) En este problema de cobertura de conjuntos tenemos que saber la cantidad de mozos que comenzarán a 
trabajar cada día de la semana, sabiendo que seguirán asignados los tres días siguientes al día en que 
comienzan a trabajar. (Xi: cantidad de mozos que comienzan a trabajar el día i) 
 
Luego hay que plantear la cobertura de la cantidad estimada para cada día (contando con los mozos que 
trabajan ese día como primer día, los que están en su segundo día, en su tercero y en su cuarto día). 
Se considera que estamos en régimen (no que estamos en la primera semana en la cual se aplica) sino la 
optimización no tendría sentido. 
 
Lunes) XV + XS + XD + XL >= 4 
Martes) XS + XD + XL + XM >= 5 
Miércoles) XD + XL + XM + XMi >= 5 
Jueves) XL + XM + XMi + XJ >= 10 
Viernes) XM + XMi + XJ + XV >= 12 
Sábado) XMi + XJ + XV + XS >= 12 
Domingo) XJ + XV+ XS + XD >= 2 
 
En el funcional se minimiza la suma de todas las Xi multiplicada por $X (en realidad bastaría con minimizar la 
suma de las Xi). 
 
A2) Esta heurística no asegura que todos los días esté la cantidad de mozos necesaria (al final de la semana 
falta gente). Además, al empezar desde el lunes, no empieza por los días en los cuales necesita más gente. 
 
A3) Tomando parte de la idea de la heurística dada en A2, se podrían armar “paquetes” de días. Por ejemplo, 
incorporando gente el jueves y el viernes tenemos la posibilidad de cubrir la demanda del fin de semana (por 
ejemplo, 5 personas el jueves y 7 el viernes nos dejarán con 12 personas viernes y sábados, y la gente que falta 
el jueves la podemos cubrir con 5 que empiecen el lunes). Lo importante es concentrarse en los días que 
requieren más gente y ver cuántos necesitamos cubrir con personal de esos días y cuántos con gente de antes 
(por eso se podría contratar 10 el jueves, 2 más el viernes y 5 el lunes para cubrir el comienzo de la semana). 
 
 
Parte B) 
 
a) Como X2 tiene demanda mínima y el VM de la restricción de demanda mínima es 10, ganamos $10 si nos 
permiten hacer una unidad menos (si compramos una ya hecha no tenemos la obligación de hacerla 
nosotros). Es decir que al comprarla a $22 y venderla a $20 parece que perdemos plata, pero como 
ganamos $10 por el VM de la restricción de demanda mínima, terminamos ganando $8. Para saber cuántas 
unidades nos conviene comprar hay que sacar el rango de variación del coeficiente de demanda (-10) que 
da –10 <= b3 <= 0, es decir que podemos comprar 10 unidades a ese precio. 
NOTA: Es un error lamentablemente común no calcular el rango de variación y “arrojar” que el VM será de 10 
para todas las unidades. Ese error es grave (se pone como MAL el punto). Cada vez que se toma el VM para 
algún cálculo hay que verificar sí o sí con los rangos para cuántas unidades es válido. 
 
b) Es una variación simultánea. Cuando la planteamos en la tabla del enunciado se ve que el z2-c2 queda 
igual a 3/2 ALFA (es decir, si ALFA es mayor que cero cambia la tabla). Pero cuando cambia la tabla, sale 
Y1 de la base, así que no conviene hacer el negocio.