Gráfica de funciones I

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Grafica de funciones I
Teoría
ÁLGEBRA
Docente: Lic. Juan Gamarra Carhuas
Semana 33
- ÁLGEBRA
Objetivos:
 Reconocer la gráfica de una función en el
plano cartesiano.
 Utilizar la gráfica de funciones para
modelar situaciones y resolver
problemas.
 Conocer las gráficas notables y las
propiedades que se cumplen en ellas.
- ÁLGEBRA
ÍNDICE
1. Introducción
4. Gráfica de función constante
5. Gráfica de función Lineal.
2. Gráfica de funciones
6. Gráfica de función Valor Absoluto.
3. Propiedad de gráfica.
- ÁLGEBRA
Gráfica de funciones
• Sabemos que las funciones matemáticas tiene
aplicaciones para resolver problemas de la vida
diaria, problemas de finanzas, economía,
medicina, geología, etc.
• Una gráfica pude comunicar mucha información
de una manera concisa. Para poder interpretar
una grafica no basta con leerla o simple meta
verla, es necesario saber, comprender y describir
cada una de las características de la misma
gráfica.
- ÁLGEBRA
Es la representación geométrica en el plano
cartesiano de todos los pares ordenados que
pertenecen a dicha función.
𝑓 = 3; 2 ; −1; 3 ; 4; 0 ; 0; 1 ; −2;−1
Ejemplos
Grafique la función
1 2−2 −1 3 4−3 0
−1
𝐗
𝐘
1
2
3
Grafique la función
g 𝑥 = 𝑥 + 𝑥 + 1
Como el Domg = ℝ, la función g tiene
INFINITOS pares ordenados, por ello
conseguiremos su gráfica conociendo algunos
puntos de paso de la función.
Resolución 
Resolución 
𝒙 𝒚 = 𝐠 𝒙
−2 1
−1 1
0 1
1 3
2 5
𝐠
5
1 2−2 −1 3−3 0
4
𝐗
𝐘
2
3
1
GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN
- ÁLGEBRA
Propiedades
Una gráfica corresponde a una función, si al
trazarle rectas verticales, estas la intersecan a lo
más en un solo punto.
𝐗
𝐘
𝒇
La gráfica de 𝒇 , SI
corresponde a una función.
𝐗
𝐘
𝐠
La gráfica de 𝐠, NO
corresponde a una función.
I.
Sea la gráfica de una funciónII.
𝐗
𝐘 𝒇
𝒂; 𝒃
Del grafico tenemos que:
𝒇 𝒂 = 𝒃
Sean las gráficas de las funcionesIII.
𝐗
𝐘
𝐠
𝒇
𝒙𝟏; 𝒚𝟏
( 𝒙𝟐; 𝒚𝟐 )
Para encontrar los
puntos de intersección
de dos gráficas, se
deben igualar las reglas
de correspondencias.
𝒇 𝒙 = 𝐠 𝒙
Halle el punto de intersección entre las gráficas 
de 𝑓 y g donde 𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 1 y g 𝑥 = 5 − 𝑥
Ejercicio
Resolución 
Por la prop. III
𝑓 𝑥 = g 𝑥
2𝑥 − 1 = 5 − 𝑥
3𝑥 = 6
𝑥 = 2
Para hallar la otra
componente del punto,
reemplazamos en 𝑓 𝑜 𝑔
𝑦 = 𝑓 2 = g 2
𝑦 = 3
el punto de intersección entre
𝑓 y g es
𝟐 ; 𝟑
- ÁLGEBRA
1. Función constante
Regla de correspondencia
𝒇 𝒙 = 𝒄 ; 𝒄 ∈ ℝ
Ejemplos
• 𝑓 𝑥 = 4 • g 𝑥 = −3
Representación gráfica
Su gráfica es una recta paralela al eje X que corta
al eje Y en “c”.
Ejemplos:
• 𝑓 𝑥 = 4
Grafique las siguientes funciones
𝐗
𝐘
𝟒
• g 𝑥 = −3
𝐗
𝐘
−𝟑
Dom𝑓 = ℝ ∧ Ran𝑓 = 𝑐
Domg = ℝ
Ran𝑓 = 4
Dom𝑓 = ℝ Rang = −3
Ejercicio
Grafique ℎ 𝑥 = 
5 ; 𝑥 ≥ 1
−2 ; 𝑥 < 1
Resolución 
ℎ 𝑥 = 5 ; 𝑥 ≥ 1
𝐗
𝐘
𝟓
𝟏
ℎ 𝑥 = −2 ; 𝑥 < 1
𝐗
𝐘
−𝟐
𝟏
Graficaremos por partes
Uniendo las graficas tenemos:
𝐗
𝐘
𝟓
−𝟐
𝟏
𝒇
𝐠 𝒉
GRÁFICAS NOTABLES
- ÁLGEBRA
2. Función lineal
Regla de correspondencia
𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙 + 𝒃 ;𝒂 ≠ 𝟎
Ejemplos
Dom𝑓 = ℝ ∧ Ran𝑓 = ℝ
• 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 6 • g 𝑥 = −𝑥 + 5
Representación gráfica
Su gráfica es una recta que corta a los ejes X e Y.
Para hallar dichos puntos de corte tabulamos
cuando 𝑥=0 ∧ 𝑦=0
Ejemplos Grafique las siguientes funciones
• 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 6
Tabulando
6
−3
𝒙 𝒚
𝟎
𝟎
𝐗
𝐘
𝟎
𝟔
𝒇
−𝟑
• g 𝑥 = −𝑥 + 5
Tabulando
5
5
𝒙 𝒚
𝟎
𝟎 𝐗
𝐘
𝟎
𝟓
𝟓
𝐠
• ℎ 𝑥 = 𝑥
Tabulando
𝟎
3
𝒙 𝒚
𝟎
3
Función identidad
𝐗
𝐘
3
3
𝒉
𝟎
𝟒𝟓°
- ÁLGEBRA
Observaciones
Sea 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏 ; 𝑎 ≠ 0
“b” es el punto de corte con el eje Y.
Ejemplos
• 𝑓 𝑥 = 3𝑥 + 4
𝐗
𝐘
𝟒
−
𝟒
𝟑
𝒇
T.I.
“𝑎” es la pendiente de la recta.
Raíz
𝐗
𝐘
θ
𝐗
𝐘
θ
Donde 𝒂 = tanθ
𝐒𝐢 𝟎° < 𝛉 < 𝟗𝟎° 𝐒𝐢 𝟗𝟎° < 𝛉 < 𝟏𝟖𝟎°
𝒂 > 0 𝒂 < 0
Ejercicio
Calcule 𝑎 + 𝑏 si la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏
es:
𝐗
𝐘
𝟓𝟑°
𝟗
Resolución 
De la gráfica tenemos:
𝑏 = 9
𝑎 = tan53° =
4
3
𝑎 + 𝑏 =
4
3
+ 9 =
𝟑𝟏
𝟑
• g 𝑥 = −2𝑥 − 6
𝐗
𝐘
−𝟔
−𝟑
𝐠
T.I.
Raíz
“Su raíz” es el punto de corte con el eje X.
- ÁLGEBRA
𝟒𝟓°
3. Función valor absoluto
Regla de correspondencia
𝒇 𝒙 = |𝒙| Dom𝑓 = ℝ ∧ Ran𝑓 = ℝ0
+
Representación gráfica
Tabulando
𝒙 𝒚
−2 2
−1 1
0 0
1 1
2 2
1 2−2 −1 3−3 0 𝐗
𝐘
2
3
1
Vértice 
Observaciones
Vértice: Punto más alto o más bajo de la gráfica. 
La gráfica de 𝑓 𝑥 = − 𝑥 es:
1 2−2 −1 3−3
𝐗
𝐘
−3
−2
−1
Vértice 
𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 − ℎ + 𝑘 ; 𝑎 ≠ 0, tiene vértice ℎ; 𝑘 .
𝐒𝐢 𝒂 > 𝟎
𝒉;𝒌
𝐒𝐢 𝒂 < 𝟎
𝒉;𝒌
𝟒𝟓°
𝟒𝟓°𝟒𝟓°
- ÁLGEBRA
Grafique 𝑓 𝑥 = −2 𝑥 − 4 + 6
Resolución 
• Coordenadas del vértice: 𝟒; 𝟔
• Como 𝒂 = −𝟐, la gráfica se abre hacia abajo.
𝐗
𝐘
𝟔
𝟒
• Intersección con el eje Y: cuando 𝒙 = 𝟎
𝑓 𝟎 = −2 𝟎 − 4 + 6= −2
−𝟐
• Intersección con el eje X: cuando 𝒇 𝒙 = 𝟎
𝑓 𝑥 = −2 𝑥 − 4 + 6
𝟎 = −2 𝑥 − 4 + 6
2 𝑥 − 4 = 6
𝑥 − 4 = 3
𝑥 − 4 = 3 ∨ 𝑥 − 4 = −3
𝑥 = 7 ∨ 𝑥 = 1
𝟏 𝟕
www.adun i . e d u . p e