Ejercicio31_a_b_TP2

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Matemática
Prá
SO
a.
b.
31. En cada caso, determiná la función cuadrática que verifica:
a. Corta al eje x en 1 y en 3 y su conjunto de imágenes es el intervalo [-2; +)
b. f(-2) = f(3) = 0 y f(0) = 4.
c. Im f = [-5; +); C+ = (-; -2) U (8; +)
d. Toma su valor máximo en x = -1 y es f(-1) = 3. Además C+= (-3; 1)
ctico 2. Funciones – Ejercicio 31_a_b 1
LUCION Y COMENTARIOS
Corta al eje x en 1 y en 3 y su conjunto de imágenes es el intervalo [-2; +).
Recordemos que cualquier función cuadrática se puede expresar en la forma:
f(x) = a (x – p)2 + k, con Ca ; a0, p y k,
y en la cual el eje de simetría es la recta vertical x = p y el vértice es el punto (p ; k).
Si el conjunto de imágenes de dicha función es el intervalo [-2;+), entonces la segunda
coordenada del vértice es – 2. O sea, k = – 2.
Luego: f(x) = a (x – p)2 – 2
Si la gráfica de la función cuadrática corta al eje x en 1 y en 3, entonces f(1) = 0 y f(3) = 0.
Luego: f(1) = a (1 – p)2 – 2 f(3) = a (3 – p)2 – 2
0 = a (1 – p)2 – 2 0 = a (3 – p)2 – 2
2 = a (1 – p)2 2 = a (3 – p)2
2
a
= (1 – p)2 2
a
= (3 – p)2 pues a 0
Igualando los segundos miembros de las dos ecuaciones anteriores resulta:
(1 – p)2 = (3 – p)2
1 – 2p + p2 = 9 – 6p + p2
– 2p + 6p = 9 – 1
4p = 8
p =
8
4
p = 2
Entonces: 2
a
= (1 – 2)2  2
a
= 1 2 = a
Por lo tanto, reemplazando en f(x) el valor de a y el de p obtenemos:
f(x) = 2 (x – 2)2 – 2
f(-2) = f(3) = 0 y f(0) = 4.
Cualquier función cuadrática que tenga uno o dos ceros se puede expresar en la forma:
f(x) = a (x – x1) (x – x2), con a ; a0, x1y x2,
y en la cual x1 y x2 son los ceros.
Si f(– 2) = 0 y f(3) = 0, entonces – 2 y 3 son los ceros de la función.
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Práctico 2. Funciones – Ejercicio 31_a_b 2
Luego: f(x) = a (x – (– 2)) (x – 3)
f(x) = a (x + 2) (x – 3)
Si f(0) = 4, entonces el punto (0; 4) pertenece a la función; con lo cual:
f(0) = a(0 + 2) (0 – 3)
4 = a2 (– 3)
4 = – 6a
4
6
 = a
2
3
 = a
Por lo tanto, reemplazando en f(x) el valor de a resulta:
f(x) =
2
3
 (x + 2)(x – 3)