Ejercicio20_a_TP4

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Matemática
P
S
R
a
20. Escribí dominio, imagen y asíntotas horizontales y verticales, si existen, de f.
Cuando existan dichas asíntotas, da sus ecuaciones.
2-
e
1
m(x)d.e-4f(x)c.
ef(x).bef(x)a.
x
1
x
3
x
2
x2
1









ráctico 4 – FUNCIONES ESPECIALES- EJERCICIO 20_a 1
OLUCIÓN Y COMENTARIOS
ecordamos que:
 Encontrar el conjunto de imágenes equivale a encontrar el conjunto de números reales que
son imagen de algún elemento del dominio de la función. Luego para hallar el conjunto de
imágenes igualamos la función a y e intentamos despejar x.
 Para calcular las asíntotas verticales, consideramos que si f es una función tal que ,


)x(flímó)x(flím
0
xx
0
xx
y se dan ambas circunstancias simultáneamente entonces la recta de ecuación x = x0 es
una asíntota vertical de f.
 Para calcular las asíntotas horizontales; recordamos que se dice que la recta y = L1 es una
asíntota horizontal por la derecha para f si 1
x
L)x(flím 

Y que la recta y = L2 es una asíntota horizontal por la izquierda para f si 2
x
L)x(flím 

.
Si L1 = L2 decimos que la recta y = L es asíntota horizontal de f.
. x2
1
e)x(f 
 Dominio de f = Domf = – {0} ya que
x2
1
no está definida para x = 0.
 Hacemos f(x) = y, con lo que es:








 x2
1
x2
1
eln)y(lney esto sólo es posible si es y > 0 por definición de la función
logaritmo. (1)
Además por propiedad del logaritmo es:
)e(ln.
x2
1
)y(ln   x
)y(ln2
1
x
1
)y(ln.2 
Como ln (y) nos queda en el divisor debe ser distinto de cero, y esto se verifica para y 1
pues ln 1 = 0. (2)
Luego de (1) y (2) los elementos del conjunto imagen deben cumplir ser mayores que cero y
distintos de 1. Por lo que es
Imf = (0;+∞)– {1}
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Práctico 4 – FUNCIONES ESPECIALES- EJERCICIO 20_a 2
 Asíntota vertical.
Como la función está definida para los reales distintos de cero, vemos que pasa alrededor de
él. Calculamos los límites de la función para x tendiendo a cero por la izquierda y por la
derecha.
0elimperoelim x2
1
0x
x2
1
0x


Luego la función tiene a infinito cuando x se acerca a 0 por la derecha.
Entonces la recta y = 0 es asíntota vertical por la derecha.
 Asíntota horizontal.
Observamos qué pasa con la función cuando x toma valores cada vez más grandes en valor
absoluto.
1elimelim x2
1
x
x2
1
x


ya que
x2
1
se aproxima a cero cuando x se hace muy grande
en valor absoluto.
Por lo tanto la recta y = 1 es asíntota horizontal para la función.
 En el gráfico se pueden observar los resultados.