Ensenanza de la Trigonometria en la Escuela Secundaria - un analisis praxeologico del curriculum y un estudio de caso

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 LICENCIATURA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
 
Enseñanza de la Trigonometría en la Escuela 
Secundaria 
Un análisis praxeológico del currículum y un estudio de caso 
 
 
 
 
 
 
 
 
Núcleo de Investigación en Educación en Ciencia y Tecnología 
NIECyT 
 
Departamento de Formación Docente 
 
Facultad de Ciencias Exactas 
 
Universidad Nacional de Centro de la Provincia de Buenos Aires 
UNCPBA 
 
 
Prof. Florencia Romina Sapag 
2021 
 
 
 
 
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Enseñanza de la Trigonometría en la Escuela 
Secundaria 
Un análisis praxeológico del currículum y un estudio de caso 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tesina realizada por la Prof. 
Florencia Romina Sapag 
bajo la dirección de la Dra. 
María Paz Gazzola, 
presentada como requisito 
para la obtención del título 
de Licenciado en Educación 
Matemática. 
 
Tandil, agosto 2021. 
 
3 
 
 
 
A Benjamín 
 
 
4 
 
AGRADECIMIENTOS 
 
 
 
Quiero agradecer: 
 
A la Universidad Nacional del Centro de la provincia de Buenos Aires y a la 
Facultad de Ciencias Exactas por el apoyo en mi formación académica y profesional. 
 
A mi directora de tesis Dra. María Paz Gazzola por su dirección, comprensión, 
paciencia y apoyo en cada momento de redacción de esta tesis. 
 
Al Equipo Directivo de la Escuela de Educación Secundaria N°2, por facilitarme el 
acceso al material bibliográfico de la institución, para la confección de este trabajo. Por 
darme siempre palabras de aliento desde el comienzo, y en el transcurso de este año. 
 
A mis padres Alejandra y Martín, por animarme a continuar en todo momento desde 
que comencé esta carrera, por llevarme a Tandil en varias oportunidades. 
 
A mis abuelos Julia y Rufino, que siempre están presentes con alguna palabra de 
aliento y siempre diciéndome los orgullosos que están. 
 
 A mi hijo Benjamín, que en todo momento me apoyó y acompañó. Hoy 
entendiendo que siempre hay que seguir estudiando. 
 
A mi amiga y compañera de estudio Natalia, quien fue la persona que me incentivó 
a continuar este camino de estudio en la LEM. 
 
 A mis compañeros de la LEM por el apoyo, en aquellos momentos que el trayecto 
se hacía más difícil. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
INDICE 
 
Resumen…….………………………………………………………………………... 8 
Organización de la presentación……………………………………………………….. 9 
 
CAPÍTULO I: Demarcación y Justificación de la Investigación 
Introducción y formulación del problema.…………………………………….............. 
Objetivos………………………………………………………………………………. 
Preguntas a abordar.....…..…………………………………………………………….. 
 
 
 
 
10 
12 
12 
 
 
CAPÍTULO II: Evolución de la Trigonometría y su Enseñanza 
 
Historia de la Trigonometría………………………………………………………....... 13 
Los primeros ángulos………………………………………………………………….. 16 
Cuerdas……………………………………………………………………………....... 16 
Funciones Trigonométricas……………………………………………………………. 20 
La Trigonometría Analítica……………………………………………………………. 22 
La trigonometría en resolución de triángulos y mecánica……………………………… 23 
Importancia de la enseñanza de la Trigonometría en la Escuela Secundaria…………… 24 
 
CAPÍTULO III: Marco teórico y Metodología empleada 
 
Marco teórico………………………………………………………………………….. 
La Teoría Antropológica de lo didáctico: conceptos elementales…………………….... 
Metodología desarrollada……………………………………………………………… 
 
27 
27 
32 
 
CAPÍTULO IV: ESTUDIO 1. Estado del Arte 
 
 
Clasificación de las investigaciones…….…...………………………………………… 36 
IT-1: Investigaciones realizadas desde un enfoque didáctico………………………….. 36 
IT-2: Investigaciones realizadas desde un enfoque cognitivo………………………….. 39 
IT-3: Investigaciones realizadas desde un enfoque epistemológico…………………… 40 
Algunos aportes al problema de investigación…………………………...…………... 41 
 
CAPÍTULO V: ESTUDIO 2. Análisis praxeológico de los DCM de Secundaria de 
la provincia de Buenos Aires 42 
 
Diseño Curricular (DC) de Ciclo Básico………………………………………………. 43 
Diseños Curriculares (DC) de Ciclo Superior…………………………………………. 47 
Algunas consideraciones parciales…………………………………………………….. 53 
 
6 
 
 
CAPÍTULO VI: ESTUDIO 3. La Enseñanza de la Trigonometría en los textos 
escolares y programas en la Escuela Secundaria. El caso de una escuela de Mar 
del Plata 
 
Parte 1: programas……………………………………………………………………... 55 
Parte 2: libros escolares………………………………………………………………... 57 
Tipos de tareas propuestos en los libros escolares……...……………………………… 57 
 
CAPÍTULO VII: Conclusiones 
 
Conclusiones finales…………………………………………………………………... 68 
CAPÍTULO VIII: Bibliografía 
 
Referencias ………………………………………………………………………….. 
 
 
 
 
71 
 
 
ANEXOS 
Anexo I… ………………….………………………………………………………...... 78 
Anexo II.a…….……………………………………………………………………...... 94 
Anexo II.b….…………………………………………………………………….......... 98 
 
 
TABLAS/GRÁFICOS 
 
Tabla 1. Investigaciones recopiladas que abordan trigonometría……………………… 33 
Tabla 2. Análisis praxeológicos de los textos escolares en Secundaria………………… 34 
Tabla 3. Tipos de tareas, según la regularidad de los verbos asociados………………… 60 
Gráfico 1. Tipos de tareas de los textos escolares…………………………….………. 
67 
 
FIGURAS 
 
Figura 1. Génesis y evolución de la trigonometría……………………………………... 13 
Figura 2. Plimpton 322………………………………………………………………… 14 
Figura 3. División de 360 grados de la eclíptica en 36 secciones de 10 grados cada una. 15 
Figura 4. Hexágono regular inscripto en una circunferencia…………………………... 15 
Figura 5. Un radián………..…………………………………………………………… 16 
Figura 6. Gnomon…………..…………………………………………………………. 17 
Figura 7. Mapa mundial de Ptolomeo……..…………………………………………… 18 
Figura 8. d=cuerda………..…………………………………………………………… 18 
Figura 9. Una sección de la tabla de cuerdas de Ptolomeo………..……………………. 19 
Figura 10. Sección de la Tabla de Cuerdas en sistema sexagesimal…………………… 19 
 
7 
 
Figura 11. 22
^^
 CABCOB ……………………………………………………… 20 
Figura 12. 𝐴𝐵 = 2𝑟𝑠𝑒𝑛𝛼 𝐶𝐷 = 2𝑟 𝑡𝑎𝑛 𝛼…………………………………………………………... 21 
Figura 13. Definición de praxeologías según sus componentes………………………. 27 
Figura 14. Teorema del coseno………………………………………………………… 28 
Figura 15. Tipos de praxeologías…………………………………………………….. 29 
Figura 16. Niveles de co-determianción……………………………………………… 30 
Figura 17. Esquema sobre objetivos y preguntas de investigación…………………… 35 
Figura 18. Grupos y subgrupos de clasificación……………………………………….. 41 
Figura 19. Esquema de organización de contenidos de matemática del DC 3°………… 44 
Figura 20. Desarrollo de contenidos y consideraciones didácticas de trigonometría…... 45 
Figura 21. Esquema de organización de contenidos de matemática del DC de 4°……… 48 
Figura 22. Ejemplo propuesto en el DC de 4°………………………………………….. 49 
Figura 23. Esquema de organización de contenidos de matemática en el DC de 6°……. 50 
Figura 24. Consideraciones didácticas para 6° año de la ESS………………………….. 51 
Figura 25. Ejemplo 1 para 6°año de la ESS…………………………………………….. 52 
Figura 26. Ejemplo 2 para 6° año de la ESS……………………………………………. 52 
Figura 27. Recorte de trigonometría del programa actual para 3° año de la EES N°2... 56 
Figura 28. Recorte de trigonometría del programa actual para 4° año de la EES N°2... 56 
Figura 29. Recorte de trigonometría del programa actual para 6° año de la EES N°2... 57 
Figura 30. Tarea 𝑇5.6
𝐶𝑆
………………………………………………………………….. 62 
Figura 31. Técnica asociada a 𝑇5.6
𝐶𝑆 con uso de calculadora………………………….. 63 
Figura 32. Ejemplo del tipo de tarea 𝑇1.5
𝐶𝑆 ……………………………………………... 63 
Figura 33. Técnica asociada a 𝑇1.5
𝐶𝑆 ……………………………………………………. 64 
Figura 34. Tarea 𝑇1..5
𝐶𝐵 ………………………………………………………………… 65 
Figura 35. Tarea y técnica asociada………………………..…………………………. 66 
Figura 36. Tarea 𝑇3.10
𝐶𝑆 ………………………………………………………………… 66 
Figura 37. Tarea 𝑇3.13
𝐶𝑆 …………………………………………………………………. 67 
Figura 38. Tarea 𝑇1.4
𝐶𝑆…………………………………………………………………... 68 
 
8RESUMEN 
 
En este trabajo se describe y analiza la enseñanza actual de la trigonometría en la 
Escuela Secundaria. Realizamos un recorrido por la génesis de este campo de 
conocimiento, que pretende evidenciar sus principales contribuciones en la historia y en 
la sociedad, y al mismo tiempo mostrar la relevancia de su enseñanza en las instituciones 
educativas. Se utiliza como referente teórico la Teoría Antropológica de lo Didáctico 
(TAD) (Chevallard, 1990, 2007) y particularmente el constructo praxeología, que es 
utilizado para caracterizar los saberes propuestos para enseñar relativos a la trigonometría 
El trabajo se estructura en tres estudios. En el estudio 1 se realiza un estado del arte 
a partir de la recopilación de N=49 investigaciones, para conocer qué tipos de 
investigaciones se han realizado al momento sobre la enseñanza y el aprendizaje de la 
Trigonometría. En el estudio 2, se realiza una descripción y análisis de los Diseños 
Curriculares de Matemática en la provincia de Buenos Aires y se caracterizan las 
principales praxeologías alrededor de la trigonometría, a partir de la identificación de sus 
componentes: tipos de tareas, técnicas asociadas y tecnologías. En el estudio 3, se realiza 
una descripción y análisis de los programas de matemática y libros de texto que utilizan 
los profesores de matemática en la EES N°2 de la ciudad de Mar del Plata, también 
identificando los componentes de las praxeologías de trigonometría propuestas para 
enseñar. 
Los resultados nos permiten identificar una enseñanza de la trigonometría que se 
basa en la realización tipos de tareas aisladas, que requieren de técnicas comunes y 
muchas veces mecánicas, y un escaso o incluso ausente entorno tecnológico-teórico. 
 
 
Palabras Clave: Enseñanza de la Trigonometría, Escuela Secundaria, Praxeología. 
 
9 
 
Organización de la presentación 
Este trabajo consta de ocho capítulos y dos anexos organizados de la siguiente 
manera: 
 En el Capítulo I, se desarrolla la introducción y formulación del problema 
abordado, se explicita cómo se originó este trabajo, su razón de ser, y cuáles fueron las 
preguntas que impulsaron la realización del mismo. 
 En el Capítulo II se realiza un recorrido por los momentos histórico-
epistemológicos de la trigonometría y la evolución de su enseñanza a lo largo del tiempo. 
En el Capítulo III, se describe el Marco Teórico adoptado para el trabajo, 
detallando los constructos de la Teoría Antropológica de lo Didáctico que utilizamos. 
También, se describe la metodología empleada; se detallan los objetivos generales y los 
particulares. 
 El Capítulo IV corresponde al Estudio 1: Estado de Arte. Se presenta una síntesis 
de los principales desarrollos y resultados obtenidos en diferentes investigaciones sobre 
la enseñanza-aprendizaje de la trigonometría 
El Capítulo V corresponde al Estudio 2: Análisis praxeológico de los Diseños 
Curriculares de Matemática de la educación Secundaria de la provincia de Buenos Aires. 
El Capítulo VI corresponde al Estudio 3: enseñanza de la trigonometría en la 
Escuela de Educación Secundaria N°2 de la ciudad de Mar del Plata. Por un lado, se 
describe de la trigonometría propuesta para enseñar en los programas de estudio de los 
profesores de esta institución y, por otro, un análisis praxeológico de la trigonometría que 
aparece en los textos escolares que ellos utilizan. 
En el Capítulo VII se presentan las conclusiones del trabajo y se abordan las 
respuestas a las preguntas de investigación planteadas. 
El Capítulo VIII corresponde a la bibliografía. 
En el Anexo I se presenta la tabla que sintetiza las N=49 investigaciones analizadas 
en este trabajo. 
En el Anexo II se presentan los documentos analizados en el estudio 3. Al Anexo 
II.a contiene los programas elaborados por los profesores de la EES N°2. En el Anexo 
II.b se presenta una tabla que describe las praxeologías relativas a la trigonometría 
propuestas en los textos escolares que utilizan los profesores de este establecimiento y de 
identifican sus componentes. 
 
 
 
 
Capítulo I 
____________________________________ 
10 
 
CAPÍTULO 1 
DEMARCACIÓN Y JUSTIFICACIÓN DE LA INVESTIGACIÓN 
 
1. Introducción y formulación del problema 
Este trabajo se circunscribe en la Enseñanza de la Trigonometría en la Escuela 
Secundaria. La Trigonometría es de gran utilidad en la vida cotidiana y en el desarrollo 
profesional, ya que se utiliza en el mundo de la industria, la ingeniería civil, la 
arquitectura, la cartografía, la astronomía y la navegación, entre otras disciplinas de 
relevancia para la sociedad y el mundo del trabajo. Si bien se trata de un contenido 
curricular y que está presente en los programas de los profesores, su enseñanza está 
reducida a resolver tareas o ejercicios que incluyen cálculos con diferentes medidas de 
triángulos. En diversas investigaciones se observa que los estudiantes presentan 
dificultades al abordar este saber y ciertas carencias para poder relacionar los conceptos 
involucrados, por ejemplo, desde un tratamiento geométrico: 
La trigonometría es una parte de las matemáticas que resulta difícil de entender 
por los estudiantes. Hay muchos factores que podrían estar involucrados 
(Brown, 2005). Algunos de ellos podrían ser su complejidad, su conexión con 
numerosos tipos de fenómenos y sus interconexiones con otras disciplinas. En 
esta dificultad de los alumnos por comprender este tópico podrían influir las 
diversas vías de entender y representar sus nociones básicas, los modos de 
aproximación a la misma, nociones como la circunferencia goniométrica, los 
triángulos rectángulos, o las funciones trigonométricas. (Fernández, 2013:2) 
 
 Además, en mi experiencia personal y en espacios de formación junto a otros 
colegas han salido a la luz desaciertos de su enseñanza en el aula, por ejemplo, proponer 
fórmulas aisladas y descontextualizadas, actividades donde sólo se requiere aplicar 
fórmulas, ausencia de su utilidad. Esto me ha llevado a cuestionar la forma en que se 
enseña la trigonometría y que, a luz de la Teoría Antropológica de lo Didáctico, sería 
consecuencia directa del Paradigma Monumental (Chevallard, 2004) en que la enseñanza 
actual está inmersa. Este paradigma se caracteriza por considerar al saber transparente, 
evidente e incuestionable, entonces se estudia como un fin en sí mismo, carente de sentido 
y de utilidad. Estas cuestiones han desencadenado en los fenómenos didácticos 
denominados pérdida de sentido y monumentalización del saber (Chevallard, 2004, 2007, 
2013). 
En una clase tradicional de matemática se recurre generalmente a la explicación, la 
ejercitación y finalmente a la corrección de las actividades. Se evidencia una copia de lo 
que el profesor “explica” y se crea un ambiente monótono en donde las actividades se 
realizan sistemáticamente. El estudio de la trigonometría en las instituciones educativas 
está inmerso en este paradigma, su estudio consiste en un proceso memorístistico, 
rutinario y mecánico sin ningún sentido ni utilidad. No se explicita ni se cuestiona por 
qué o para qué esos saberes están allí y merecen ser estudiados. 
Tomando como referencial teórico la Teoría Antropológica de lo Didáctico (TAD) 
(Chevallard, 1999, 2007, 2007), el objetivo de este trabajo es caracterizar la enseñanza 
Capítulo I 
____________________________________ 
11 
 
actual de la Trigonometría en la escuela secundaria a partir de un análisis praxeológico 
de los saberes propuestos para ser estudiados, y con ello tratar de identificar las 
principales carencias y/o debilidades y potenciales cambios que podrían hacerse para 
promover una enseñanza funcional de la trigonometría en la Escuela Secundaria 
Numerosas investigaciones se han enfocado en analizar y describir desde diferentes 
perspectivas y referenciales teóricos la enseñanza y el aprendizaje de la trigonometría en 
los distintosniveles educativos, y han identificado diferentes problemas vinculados a 
dimensiones didácticas, cognitivas y epistemológicas. Por ejemplo, De Moura (2000) 
reporta en su análisis didáctico, errores en el uso de la notación y en la aplicación de leyes 
que no son válidas para las razones y funciones trigonométricas; De Kee, 
Mura y Dionne (1996) mencionan que el estado de comprensión de las nociones seno y 
coseno no están bien adquiridas en los estudiantes, reportando que generalizan las 
propiedades de los triángulos rectángulos a cualquier tipo de triángulo. Por su parte, el 
análisis didáctico de Maldonado (2005) muestra que los alumnos no logran profundizar 
el concepto de función trigonométrica, al tratar por igual a los grados y a los números 
reales. 
Algunas investigaciones se centraron en proponer una enseñanza de la 
trigonometría que evite operaciones mecanizadas sin significado. En el trabajo didáctico-
cognitivo de Kendal y Stacey (1996) se sugiere que para el estudio introductorio de este 
saber se privilegie la enseñanza del concepto de razón (trigonométrica) sobre la enseñanza 
del método de círculo unitario. De Moura (2000) propone que los estudiantes construyan 
los conceptos básicos de trigonometría a partir de secuencias didácticas de enseñanza 
simple y contextualizada; y Zeman (2005) realiza una ingeniería didáctica para construir 
una tabla trigonométrica tomando como referencia los escritos matemáticos de Grecia 
clásica. 
Bajo un enfoque socioepistemológico, se observa que De Kee, Mura y Dionnes 
(1996) y Maldonado (2005) han dado evidencia de las dificultades y concepciones más 
clásicas del estudiante en este tema, mientras que Montiel (2005) ha considerado la 
naturaleza de la noción matemática como parte fundamental del fenómeno didáctico. 
Por otro lado, una revisión de los contenidos, estrategias y consideraciones 
didácticas de los Núcleos de Aprendizaje Prioritarios (Consejo Federal de Educación, 
2013) y de los Diseños Curriculares de Secundaria de la provincia de Buenos Aires, nos 
permite observar que la Trigonometría no se encuentra propuesta para enseñarse en todos 
los años de la Escuela Secundaria, y cuando aparece, es de manera fragmentada y sin 
relacionar los conocimientos de un año con los siguientes o anteriores. Es decir, que, si 
bien se menciona en estos documentos la importancia de realizar una correlación entre 
los conceptos que se estudian, por ejemplo, en Ciclo Básico y en Ciclo Superior, los 
contenidos no se retoman ni se relacionan, sino que se proponen de manera independiente 
y aislada. Así, identificamos que la Trigonometría propuesta para enseñar en estos 
documentos se propone “segmentada” y sin evidenciar una razón de ser (Chevallard, 
2001). Se profundizará sobre esto más adelante. 
Capítulo I 
____________________________________ 
12 
 
En consecuencia, la razón de ser de este proyecto es profundizar y reflexionar sobre 
el estado actual de la enseñanza de la Trigonometría en la Escuela Secundaria, desde dos 
puntos de vista que tienen diferente alcance: por un lado, lo que se propone en los diseños 
curriculares de la provincia de Buenos Aires y por el otro haciendo un estudio de caso, 
considerando una escuela de Mar del Plata, en la cual soy profesora de matemáticas, a 
partir de una revisión de los programas de estudio de los profesores del área y de los libros 
de texto que utilizan para enseñar. 
 
2. Objetivos 
 
Objetivos generales 
1. Analizar y describir la enseñanza actual de la trigonometría en la Escuela 
Secundaria. 
2. Realizar un aporte para la investigación relativa a la enseñanza de la trigonometría 
en la Escuela Secundaria. 
 
Objetivos Específicos 
1. Elaborar un estado del arte relativo a la enseñanza y aprendizaje de la 
Trigonometría. 
2. Analizar y describir las praxeologías relativas a la Trigonometría que se proponen 
en los Diseños Curriculares de Matemática de Secundaria de la provincia de Buenos 
Aires. 
3. Analizar y describir, en término de praxeologías, los programas de estudio de los 
profesores de matemática de la Escuela de Educación Secundaria N°2 “Teniente 
Félix Origone” de la ciudad de Mar del Plata, provincia de Buenos Aires y los textos 
escolares que estos profesores utilizan para enseñar. 
 
3. Preguntas a abordar 
Nuestro trabajo está motivado por las siguientes preguntas, a las que intentaremos 
dar respuesta: 
1. ¿Qué aportes se han realizado hasta el momento sobre la Enseñanza y el aprendizaje 
de la Trigonometría en los distintos niveles educativos? 
2. ¿Qué tipo de praxeologías de Trigonometría se proponen estudiar en los Diseños 
Curriculares de secundaria de la provincia de Buenos Aires? ¿Cuáles son los 
principales tipos de tareas que se relacionan con estas praxeologías? 
3. ¿Qué tipos de praxeologías de Trigonometría se proponen para enseñar en la 
Escuela de Educación Secundaria N° 2 de la ciudad de Mar del Plata? 
4. ¿Qué tipo de tareas sobre trigonometría serían deseables promover para generar una 
enseñanza funcional de la trigonometría en la Escuela Secundaria.
Capítulo II 
____________________________________ 
13 
 
 
CAPÍTULO 2 
GÉNESIS Y EVOLUCIÓN DE LA TRIGONOMETRÍA Y SU ENSEÑANZA 
 
En este capítulo, se pretende mostrar la relevancia de la trigonometría en la historia 
y en la sociedad. Realizamos un recorrido por su evolución y por la manera en que se ha 
desarrollado su enseñanza. El foco está colocado en los principales hechos que motivaron 
su enseñanza y cómo fueron evolucionando, identificando qué aspectos continúan 
vigentes, cuáles se fueron modificando y cuáles se dejaron de lado. En la Figura 1 
sintetizamos en una línea del tiempo los aspectos más relevantes sobre los que 
profundizaremos a continuación. 
 
 
Figura 1: génesis y evolución en el tiempo de la trigonometría 
 
1. Historia de la trigonometría 
La historia de la trigonometría y de las funciones trigonométricas podría extenderse 
por más de 4000 años. Tablas grabadas sobre arcilla dan testimonio de que los babilonios 
determinaron aproximaciones de medidas de ángulos y de longitudes de los lados de los 
triángulos rectángulos. Por ejemplo, una tablilla babilonia escrita en cuneiforme que 
muestra quince ternas pitagóricas, denominada Plimpton 322 (Figura 2) y que se estima 
es de alrededor de 1900 a. C. El grado, se cree que se originó con los babilonios. Se 
presume que la división de un círculo en 360 partes se basaba en la cercanía de este 
número a la duración del año, los 365 días (Montalvo Antolín, 2012). 
Capítulo II 
____________________________________ 
14 
 
 
Figura 2: Plimpton 322. 
Fuente: https://francis.naukas.com 
 
La trigonometría1 tendría sus inicios con los trabajos de Hiparco2. En su época no 
existían las “razones trigonométricas”. Los griegos, los hindúes y los árabes utilizaron 
"líneas" trigonométricas. Al principio, éstas tomaron la forma de cuerdas en un círculo y 
se hizo obligatorio hasta que Claudio Ptolomeo3 asociara valores numéricos (o 
aproximaciones) con las cuerdas. Es probable que la medida de 360 grados procediera de 
la astronomía, donde el zodíaco había sido dividido en doce "signos" o 36 "decanos" 
(Montalvo Antolín, 2012). Es entonces que nuestro sistema de medición de ángulos puede 
provenir de esta correspondencia. 
 
Los egipcios en el 2300 a. C dividieron a los 360 grados de la eclíptica en 36 
secciones de 10 grados cada uno (Figura 3). Cada sección de diez grados (llamado 
decano) contenía una constelación de estrellas alineadas a lo largo de la eclíptica. El 
sistema de decanos se utilizó para determinar las horas de la noche y las estaciones. En 
la Figura 3 se observan las divisiones en la parte superior de la tabla que representan 
decanatos. La tabla se lee de derecha a izquierda y las imágenes representan Marte (el 
barco y el toro), Orión con las tres estrellas como el Sol y la Luna, Sirius, Júpiter,Saturno, 
Mercurio y Venus. La sección inferior contiene imágenes de dioses de las estrellas o los 
demonios. Ellos representan a algunos de los días más importantes del año. El cuadro es 
en gran parte simbólico y funcional, pero no contiene imágenes de algunos grupos 
importantes de las estrellas. Es notable mencionar cómo las primeras civilizaciones han 
tratado de explicar fenómenos celestes empleando trigonometría. 
 
 
1 La palabra "trigonometría" proviene del griego trigono= triángulo y metron= media. 
2 Hiparco de Nicea (190 a.C-120 a. C). Matemático y astrónomo griego que midió con precisión la 
distancia entre la Tierra y la Luna. 
3 Claudio Ptolomeo (100 d.C-170 d.C). Astrónomo, matemático y geógrafo greco-egipcio. Utilizó un 
sistema de latitud y longitud. 
https://francis.naukas.com/2017/09/07/el-significado-matematico-de-la-tablilla-babilonica-plimpton-322/
Capítulo II 
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Figura 3: División de 360 grados de la eclíptica en 36 secciones de 10 grados cada uno. 
Fuente: https://www.createwebquest.com/conversion-de-angulos-radianes 
 
Otra razón puede haber sido el hecho de que un círculo se divide naturalmente en 
seis partes iguales, cada uno que subtiende una cuerda igual al radio (Figura 4). Como 
sistema de numeración, el sistema sexagesimal es obsoleto, pero la división del círculo 
en 360 partes ha sobrevivido no sólo en la medida angular, sino también en la división de 
una hora en 60 minutos y un minuto en 60 segundos. 
 
 
Figura 4: Hexágono regular inscripto en una circunferencia. 
 
En tiempos más recientes la medida en radianes se ha adoptado universalmente 
como la unidad natural de medida angular. Un radián es el ángulo que abarca una longitud 
de arco igual a un radio de la circunferencia (Figura 5), es decir, un radián equivale a 
57°17´45´´. La razón para usar el sistema circular sobre el sexagesimal radica en que 
simplifica muchas fórmulas matemáticas. 
 
Capítulo II 
____________________________________ 
16 
 
 
Figura 5: Un radián 
 
La palabra radián fue utilizada en 1871 por James Thomson4 y apareció por primera 
vez en la impresión del examen en cuestiones planteadas por él en Queen College de 
Belfast en 1873. Las sugerencias anteriores fueron “rad” y “radial”. Sin embargo, en la 
trigonometría elemental se siguen usando grados. 
 
Los primeros ángulos 
En la época de la construcción de las pirámides, alrededor de 2570 a. C, los 
sacerdotes de Egipto y de Sumeria ya estaban bien enterados de dos hechos que se 
observan en la bóveda celeste: 
 Uno de estos fenómenos consiste en que siempre transcurre el mismo tiempo entre 
los momentos en que dos estrellas dadas pasan por el meridiano de un mismo lugar, 
o sea entre los instantes en que cada una de estas estrellas alcanza su más alta 
posición. 
 El otro hecho consiste en que, para cada lugar determinado del globo terrestre en el 
momento de pasar una estrella por el meridiano, el ángulo formado por la visual 
dirigido a ella y la línea horizontal (ángulo de altura) es siempre el mismo, como lo 
es el ángulo que dicha visual forma con el cenit (distancia cenital). 
En ese momento, Eratóstenes5 llevó a cabo sus primeras mediciones del tamaño de 
la Tierra. A éstas siguió la invención de los mapas. La construcción de mapas celestes 
proporcionó la base técnica necesaria para las grandes navegaciones. 
 
Cuerdas 
La llamada Trigonometría plana elemental conocida en el siglo XVI, se refiere a las 
relaciones cuantitativas entre los ángulos y segmentos de línea, particularmente en un 
triángulo. Los egipcios usaban una especie de trigonometría primitiva ya en el segundo 
milenio a. C. en la construcción de las pirámides. En Mesopotamia, los astrónomos de 
Babilonia mantuvieron meticulosos registros de la salida y puesta de las estrellas, del 
 
4 James Thomson (1822 –1892). Ingeniero británico conocido por su trabajo en la mejora de las ruedas de 
agua. 
5 Eratóstenes (276 a. C. -194 a. C.). Geógrafo, matemático y filósofo griego. Estableció la longitud de la 
circunferencia de la Tierra, con un error de 90 km. También, calculó la oblicuidad de la eclíptica. 
https://es.wikipedia.org/wiki/276_a._C.
https://es.wikipedia.org/wiki/194_a._C.
Capítulo II 
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17 
 
movimiento de los planetas y de los eclipses solares y lunares, todo lo cual requiere 
familiaridad con la distancia angular medida en la esfera celeste. 
 
El gnomon, un dispositivo simple para decir la hora a partir de la sombra proyectada 
por una vara vertical, era conocido a los antiguos griegos, que, según Heródoto6, lo 
obtuvieron de los babilonios. El gnomon es esencialmente un dispositivo análogo para el 
cálculo de la función cotangente: Donde h denota la altura de la vara y s la longitud de su 
sombra cuando el Sol está una altitud de α grados por encima del horizonte (Figura 6). 
Thales de Mileto7 ha medido la altura de una pirámide mediante la comparación de la 
sombra que proyecta con la de un gnomon. 
 
 
Figura 6: Gnomon 
 
La trigonometría moderna empezó con Hiparco de Nicea. El uso de instrumentos 
de su propia invención, lo llevó a determinar la posición de aproximadamente 1000 
estrellas en términos de su longitud celestial y su latitud y las grabó en un mapa: el primer 
atlas exacto de las estrellas. A Hiparco también se le atribuye el descubrimiento de la 
precesión de los equinoccios8, y de un lento movimiento circular de los polos celestes, 
una vez cada 26700 años. 
Para poder hacer sus cálculos Hiparco desarrolló una tabla de las razones 
trigonométricas, y obtuvo fórmulas de la trigonometría plana de gran importancia, entre 
ellas las identidades (en notación moderna): 
 
  


sensensen
sen
sen
coscos
2
cos1
2
1cos
2
22




 
 
Estas fórmulas se derivaron de teoremas puramente geométricos, que expresan la 
relación entre ángulos y cuerdas de un círculo. 
 
6 Heródoto (484 a.C-425 a. C). Es el primer historiador griego del mundo occidental. 
7 Thales de Mileto (625 a. C-546 a. C). Filósofo y matemático griego. Considerado el primer filósofo por 
su aspiración a establecer una explicación racional de los fenómenos de la naturaleza. 
8 En astronomía, la precesión de los equinoccios es el cambio lento y gradual en la orientación del eje de 
rotación de la Tierra, que hace que la posición que indica el eje de la Tierra en la esfera celeste se desplace 
alrededor del polo de la eclíptica, trazando un cono y recorriendo una circunferencia completa cada 26700 
años, período conocido como año platónico. 
Capítulo II 
____________________________________ 
18 
 
La primera obra completa (de 13 “libros”) de trigonometría es el Almagesto de 
Claudio Ptolomeo9, el primer matemático aplicado. En su trabajo “Geografía” Ptolomeo 
utiliza sistemáticamente la técnica de proyección (un sistema de cartografía de la Tierra 
esférica en una hoja de papel) que Hiparco ya había introducido en su mapa del mundo, 
como una rejilla de longitud y latitud, y elaboró el mapa del mundo hasta la Edad Media 
(Figura 7). 
 
Figura 7: Mapa mundial de Ptolomeo. 
Fuente: https://sites.google.com/site/lapaginadeenriqueselvap/alejandria-crisol-de-culturas-20-10-
2014/capitulo-1-otros-estudios 
 
La tabla de cuerdas de Ptolomeo es de gran interés ya que da la longitud de una 
cuerda en un círculo en función del ángulo central que subtiende (Figura 8), para ángulo 
de 0° a 180° intervalos de medio grado. Fundamentalmente se trata de una tabla de senos: 
si r denota el radio, α el ángulo central, y la longitud de la cuerda la denotamos por d, 
tenemos d=2rsen α/2 
 
Figura 8: d=cuerda 
 
Para el cálculo de la tabla de Ptolomeo, se usó el sistema de numeración 
sexagesimal babilónicoo base 60, que lo utiliza en conjunción con el sistema griego en 
el que cada letra del alfabeto se le asigna un valor numérico: α=1; β= 2 y así 
sucesivamente. Esto hace que la lectura de su tabla sea compleja (Figura 9). 
 
9 Escribió sobre astronomía, geografía, música, y sobre óptica. Ptolomeo compiló un catálogo de estrellas 
basado en el trabajo de Hiparco, en el que hizo una lista y nombró cuarenta y ocho constelaciones que están 
en uso hoy en día. En el Almagesto, la Tierra era inmóvil en el centro del universo y los cuerpos celestes 
en movimiento a su alrededor en órbitas prescritas (el sistema geocéntrico). 
https://sites.google.com/site/lapaginadeenriqueselvap/alejandria-crisol-de-culturas-20-10-2014/capitulo-1-otros-estudios
https://sites.google.com/site/lapaginadeenriqueselvap/alejandria-crisol-de-culturas-20-10-2014/capitulo-1-otros-estudios
Capítulo II 
____________________________________ 
19 
 
 
Figura 9: Una sección de la tabla de cuerdas de Ptolomeo. 
Fuente: https://www.google.com/ 
 
La tabla de Ptolomeo da la longitud de la cuerda con una precisión de dos lugares 
sexagesimales, lo cual es suficiente para la mayoría de las aplicaciones incluso hoy en 
día. En la figura 10 se presenta una tabla de cuerdas, escrita en sistema sexagesimal. 
 
 
Figura 10: Sección de la Tabla de Cuerdas en sistema sexagesimal 
 
Hiparco considera el triángulo que se inscribe en un círculo. Veamos el triángulo 
ABC con ángulo recto en C (Figura 1). De la geometría elemental sabemos que la 
hipotenusa c=AB es el diámetro de la circunferencia que pasa por A, B y C. Denotando 
por O el centro de este círculo (es decir, el punto medio de AB), un conocido teorema 
dice que 22
^^
 CABCOB 
https://www.google.com/imgres?imgurl=http://inews.gtimg.com/newsapp_bt/0/8436104631/0&imgrefurl=https://kuaibao.qq.com/s/20190405A06ISZ00?refer%3Dspider&h=677&w=536&tbnid=ZJFpWJBS7EVw3M&q=horizontal&tbnh=252&tbnw=200&usg=AI4_-kR8QXnpEp6Gp2BREb3SgDZNahZNtg&vet=1&docid=CtBmvNLmUpXtHM&hl=es
Capítulo II 
____________________________________ 
20 
 
 
Figura 11: 22
^^
 CABCOB 
 
Funciones trigonométricas 
 
Las funciones trigonométricas surgieron de la necesidad de realizar mediciones en 
construcción. Uno de los primeros trabajos sobre astronomía hindú, el Surya Siddhanta 
(400 d.C.), da una tabla de medias cuerdas basado en las tablas de Ptolomeo. El primer 
trabajo que se refiere explícitamente al seno como una función de un ángulo es el 
Aryabhatiya de Aryabhata10 (510 a.C). 
Encontramos la palabra seno en los escritos de Gherardo de Cremona11, quien 
tradujo muchos de las obras antiguas griegas, incluyendo el Almagesto, del árabe al latín. 
(Fue a través del trabajo hindú al-Battani de la función de semi-cuerdas que "nuestro 
moderno seno" fue conocido en Europa.) La notación abreviada sin se utilizó por primera 
vez por Edmund Gunter12. 
 
En 1624 Edmund Gunter inventó un dispositivo mecánico, la "escala de Gunter," 
para calcular con logaritmos antes de la aparición de las calculadoras. La notación de sin 
(como tan) apareció por primera vez en un dibujo que describe su invención. Las otras 
cinco funciones trigonométricas tienen una historia más reciente. La función del coseno, 
surgió de la necesidad de calcular el seno del ángulo complementario. Aryabhata la 
llamaba kotijya y es usada de la misma manera que las tablas trigonométricas de la época 
moderna (hasta que la calculadora de mano lo hizo obsoleto), en forma tabular, en la 
misma columna del seno de los ángulos de a y los cosenos de los ángulos 
complementarios. John Newton13 en el año 1658, utilizó el término coseno y la notación 
abreviada cos fue utilizada por primera vez en 1674 por Sr. Jonas Moore14. 
 
10 Aryabhata (475 o 476 a. C -550 a. C). Matemático y astrónomo indio. Efectuó un cálculo aproximado 
del valor de π, halló soluciones para ecuaciones indeterminadas de primer grado y elaboró unas tablas 
trigonométricas. 
11 Gherardo de Cremona. (1114 a. C- a 1187 a. C). habría sentido gran curiosidad por el Almagesto. Además 
del Almagesto (que acabó de traducir en 1175), en Toledo encontró numerosas versiones árabes de clásicos 
grecolatinos y tratados compuestos originalmente en esta lengua. El interés que estos libros despertaron en 
él le animó a permanecer en la ciudad y a aprender árabe para poder traducirlos. 
12 Edmund Gunter (1581-1626), un ministro inglés que más tarde se convirtió en profesor de astronomía en 
el Gresham College de Londres. 
13John Newton (1622-1678), un profesor y autor de libros de texto de matemáticas (que no está relacionada 
con Isaac Newton). 
14 Jonas Moore (1617- 1679), un inglés matemático y topógrafo. 
Capítulo II 
____________________________________ 
21 
 
Posteriormente, en las obras del erudito árabe Abul-WEFA15, surgieron las funciones 
secante y cosecante. La primera tabla impresa de secantes apareció en el trabajo Canon 
doctrinae triangulorum (Leipzig, 1551) por Georg Joachim Rheticus16, donde aparecen 
por primera vez las seis funciones trigonométricas juntas. Las relaciones de la tangente y 
la cotangente se originaron con el gnomon y el reconocimiento de sombras. Sin embargo, 
el tratamiento de estas razones como función de un ángulo se inició con los árabes. La 
primera tabla de tangentes y cotangentes se construyó alrededor de 860 por Ahmed ibn 
Abdallah al-Mervazi ("el calculador"), que escribió sobre astronomía e instrumentos 
astronómicos. El astrónomo Albatenio17 dio una regla para encontrar la altura (elevación) 
del Sol sobre el horizonte en términos de la longitud de la sombra proyectada por un 
gnomon vertical de altura h, su regla (920 a. C.), 


sen
senh
s
)90( 
 
es equivalente a la fórmula coths  . La expresión que se utiliza sólo es la función 
seno, las otras funciones trigonométricas aún no se conocían por su nombre. Sobre la base 
de esta regla, se construyó una “tabla de las sombras”, esencialmente una tabla de 
cotangentes por cada grado de  901 a . 
 
En 1583 se utilizó el término tangente por Thomas Fincke18. La palabra “tangente” 
viene del latín tangere, tocar; su asociación con la función tangente se atribuye a la 
siguiente observación: en un círculo con centro en O y radio r, sea AB la cuerda del 
ángulo central 2α, y OQ la bisectriz de ese ángulo, dibuje una línea paralela a AB y 
tangente a la circunferencia en Q, y se extiende hasta OA y OB y cumplen con esta línea 
en C y D, respectivamente (Figura 12). 
 tan22 rCDrsenAB  
Existen muestras que la función tangente tiene que ver con la recta tangente de la 
misma forma como la función seno es la cuerda. De hecho, está la construcción de la base 
de la definición moderna de las seis las funciones trigonométricas en el círculo unitario. 
 
 
15 Abul-WEFA (940-998), quien fue también uno de los primeros en construir una tabla de tangentes, pero 
fueron de poco uso hasta que las tablas de navegación fueron calculadas en el siglo XV 
16 Georg Joachim Rheticus (1514-1576) o simplemente se le encuentra citado como Rheticus, quien estudió 
con Copérnico y se convirtió en su primer discípulo. 
17Albatenio (858 a.C- 929 a.C). Conocido en Europa como Albategnius, nacido en Battan, Mesopotamia. 
18 Thomas Fincke (1561-1646), un matemático danés, la usó en su Geometría Rotundi, hasta entonces, la 
mayoría de los europeos escritores todavía utilizan términos de reconocimientos de sombra: umbra recta 
("sombra recta") de la sombra horizontal por un gnomon vertical, y viceversa umbra ("se volvió la sombra") 
para una sombra vertical, emitidos por un gnomon fijado a la pared. La palabra "Cotangens" fue utilizada 
por primera vez por Edmund Gunter en 1620. 
 
Capítulo II 
____________________________________ 
22 
 
Figura 12: 𝐴𝐵 = 2𝑟𝑠𝑒𝑛𝛼𝐶𝐷 = 2𝑟 𝑡𝑎𝑛 𝛼 
A través de las traducciones al árabe de los textos griegos e hindúes, conocimientos 
de álgebra y trigonometría se extendieron gradualmente a Europa. Fue a través de la 
exposición de Leonardo Fibonacci de los números hindú-arábigos en su Liber Abaci 
(1202) que el sistema decimal, finalmente se desarrolló en Europa. Las primeras tablas 
trigonométricas con el nuevo sistema se calcularon alrededor de 1460 por Georg von 
Peuerbach19. Pero fue su discípulo Johann Müller20, quien escribió la primera evaluación 
que trata de trigonometría hasta la fecha: De trianguliso omnímo dislibri quinqué ("de los 
triángulos de todo tipo en cinco libros, 1464 a.C). En ella desarrolló el tema a partir de 
conceptos geométricos básicos lo que conduce a la definición de la función seno, que 
mostró entonces la forma de resolver cualquier triángulo plano o superficial, utilizando 
el seno de un ángulo o el seno de su complemento (el coseno). La Ley de los senos se 
dice aquí en forma verbal, por lo que es la regla para encontrar el área de un triángulo, 
2/)( senabA  . Cabe aclarar que la función tangente está ausente, posiblemente porque 
el principal objetivo del trabajo era la esfera trigonométrica, donde la función seno es 
dominante. 
 De Triangulis fue la obra más influyente en la trigonometría en su tiempo, una 
copia de la misma llegó a Copérnico, que lo estudió a fondo. Sin embargo, pasaría un 
siglo más para que la palabra "trigonometría" apareciera en un título de un libro: 
Trigonometriaesive de dimensione triangulorum libri quinqué (la trigonometría, o en 
relación con las propiedades de los triángulos, en cinco libros) de Bartholom 
Pitiscusaus21, apareció en Frankfurt en 1595. Esto nos lleva al principio del siglo XVII, 
cuando comenzó la trigonometría a tener el carácter analítico. 
 
La trigonometría analítica 
 
Una de la de las razones para el surgimiento de la trigonometría analítica en la 
primera mitad del siglo XVII, tiene su fundamento en la necesidad de utilizar las 
matemáticas en la descripción del mundo físico. Los inventores de la trigonometría 
clásica estaban principalmente interesados en aplicarla a los cielos (de ahí el predominio 
inicial de la trigonometría esférica). En Inglaterra, en la primera mitad el siglo XVII, John 
Napier, William Oughtred y John Wallis, hicieron contribuciones sustanciales a la 
trigonometría. John Napier22 ayudó con los cálculos numéricos, William Oughtred23 fue 
el primero en intentar un uso sistemático de símbolos trigonométricos y en su obra 
 
19Georg von Peuerbach (1423 a 1461). Fue un astrónomo, austriaco. Fue uno de los primeros precursores 
en Europa del heliocentrismo. 
20 Johann Müller (1436-1476), conocido como Regiomontano, porque nació en Königsberg, que en alemán 
significa "la montaña real". 
21 Bartholom Pitiscusaus (1561-1613), un alemán clérigo, cuyo principal interés era la matemática. 
22 John Napier (1550-1617) con su invención de los logaritmos en 1614. 
23 William Oughtred (1574-1660). Ministro anglicano nacido en Inglaterra que se dedicó en vida a 
la Matemática, la Astronomía, la Gnomónica. Fue el primero que empleó la letra griega π (pi) 
como símbolo del cociente entre las longitudes de una circunferencia y su diámetro. 
Utilizó las abreviaturas s, t, se, s co, t co, y compara seno, tangente, secante, coseno ("seno complemento"), 
cotangente, y cosecante, respectivamente. 
https://es.wikipedia.org/wiki/Astronom%C3%ADa
https://es.wikipedia.org/wiki/Austria
https://es.wikipedia.org/wiki/Europa
https://es.wikipedia.org/wiki/Heliocentrismo
https://www.ecured.cu/Inglaterra
https://www.ecured.cu/Vida
https://www.ecured.cu/Matem%C3%A1tica
https://www.ecured.cu/Astronom%C3%ADa
https://www.ecured.cu/Gnom%C3%B3nica
https://www.ecured.cu/Letra
https://www.ecured.cu/S%C3%ADmbolo
https://www.ecured.cu/Longitud
https://www.ecured.cu/Circunferencia
https://www.ecured.cu/Di%C3%A1metro
Capítulo II 
____________________________________ 
23 
 
Trigonometrie, o Themanner of Calculating the Sides and Angles of Triangles, byte 
Mathematical Canon demostred (1657) (la manera de calcular los lados y ángulos de los 
triángulos, por el Canon Matemáticas). Por su parte John Wallis24, fue el primero en dar 
un tratamiento de las secciones cónicas como ecuaciones de segundo grado en lugar de 
objetos geométricos, como los griegos lo habían hecho. 
 
 
La trigonometría en resolución de triángulos y mecánica 
 
Galileo (1564-1642) descubrió que cada movimiento se puede descomponer en dos 
componentes a lo largo de dos líneas perpendiculares y que estas componentes pueden 
ser tratadas de forma independiente una de otra, e hizo la trigonometría indispensable en 
el estudio del movimiento. La ciencia de la artillería en el siglo XVII era considerada una 
ciencia que se refiere principalmente a la búsqueda del alcance de un proyectil disparado 
desde un cañón. 
Otra rama de la mecánica estudiada en los siglos XVII y XVIII fueron las 
oscilaciones. La navegación de la época exigía cada vez técnicas más precisas para viajar. 
Christian Huygens25 descubrió el péndulo cicloidal, cuyo periodo de oscilación es 
independiente de la amplitud, mientras que el trabajo de Robert Hooke26 en el resorte 
enroscado sentó las bases para el moderno reloj accionado por cuerda. En otro nivel, el 
incremento de la habilidad y sofisticación en la fabricación de instrumentos musicales de 
viento, de bronce para instrumentos como el teclado y órganos motivaron a los científicos 
a estudiar las vibraciones del sonido que producen los cuerpos tales como los platillos, 
las membranas, campanas y tubos de aire. 
Todo lo mencionado subraya el papel de la trigonometría en la descripción de 
fenómenos periódicos y dio lugar a un cambio en el énfasis del cálculo de la trigonometría 
(la compilación de tablas) para las relaciones entre las funciones trigonométricas, la 
esencia de la trigonometría analítica. 
Estos desarrollos movieron a la trigonometría aún más lejos de su conexión original 
con un triángulo. El primero en definir las funciones trigonométricas como números 
puros, en lugar de relaciones de un triángulo, fue Abraham Gotthelf Kâstner27 que en 
1759 escribió, en Mathematische Anfangsgründe (volumen 3): “Si x denota el ángulo 
expresado en grados, entonces las expresiones sen x, cos x, tang x, etc. son números, que 
corresponden a cada ángulo”. 
 
24 John Wallis (1616-1703) trabajó en la serie infinita que es el antecedente a los descubrimientos de 
Newton en el mismo terreno. 
25Christian Huygens (1629-1695). Físico y astrónomo holandés. Fue el físico más influyente de la segunda 
mitad del siglo XVII, aparte de Newton. 
26 Robert Hooke (1635-1703). Fue un científico inglés. Es considerado uno de los científicos experimentales 
más importantes de la historia de la ciencia. 
27 Abraham Gotthelf Kâstner (1719-1800) de Alemania. Estudió leyes, filosofía, física, matemáticas y 
metafísica. 
Capítulo II 
____________________________________ 
24 
 
En su trabajo Théorie analytique de la chaleur (Teoría analítica de calor) Jean 
Baptiste Joseph Fourier28 demostró que cualquier función, cuando se le considera como 
una función periódica en un intervalo dado, puede ser representado por una serie 
trigonométrica de la forma
...32...3cos2coscos)( 3213211  xsenbxsenbsenxbxaxaxaaxf donde
ii bya los coeficientes y se puede encontrar a partir de 𝑓(𝑥) por el cálculo de ciertas 
integrales. Esta serie de Fourier es, en algunos aspectos, más general que el familiar 
polinomio de Taylor (desarrollo de Taylor) de una función en una serie de potencias. Por 
ejemplo, mientras la serie de Taylor se puede aplicar únicamente a las funciones que son 
continuas y tienen derivadas continuas, la serie de Fourier puede existir incluso si es 
discontinua. El teorema deFourier marca uno de los grandes logros del siglo XIX en 
análisis. Esto demuestra que las funciones seno y el coseno son esenciales para el estudio 
de todos los fenómenos periódicos. El teorema de Fourier más tarde fue generalizado a 
funciones no periódicas. 
 
2. Importancia de la enseñanza de la Trigonometría en la Escuela Secundaria 
 
La trigonometría se ha desarrollado y ha evolucionado para dar respuesta a diversas 
situaciones del mundo que nos rodea. Así se fue convirtiendo en una herramienta 
fuertemente utilizada para la construcción de modelos en distintas disciplinas. Hemos 
sintetizado los cambios que sufrieron los distintos conceptos que forman parte del campo 
de la trigonometría. Las civilizaciones de Mesopotamia han utilizado la trigonometría, 
asociada a la geometría, para satisfacer necesidades relacionadas a los cambios de 
estación, para el cálculo de áreas de figuras, para estudiar constelaciones, entre otras. 
 “La división del círculo en 360 grados se relaciona con los primeros calendarios, 
si bien pronto notaron que el año debía tener poco más de 365 días” (Pinasco, 2009:13). 
Los conocimientos relativos a la trigonometría, han llegado desde diversas culturas. 
Desde los Babilónicos, los saberes se transmitían desde la oralidad, de generación en 
generación. En las tablillas de arcillas halladas, como Plimpton 322, encontramos las 
primeras documentaciones sobre la trigonometría. Es decir, que la utilización de la 
escritura cuneiforme permitió que se empezaran a llevar registros.29 
Luego, los papiros permitieron que las explicaciones puedan ser más extensas y 
detalladas, un ejemplo de esto es el papiro de Rhind30, que data del año 1650 a.C., pero 
los conocimientos que aparecen en él, podrían remontarse al año 3000 a.C. Los pueblos 
mesopotámicos han sido constantemente invadidos por las riquezas de sus territorios, que 
 
28Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830). Matemático y científico francés. Elaboró un método 
matemático para determinar la conducción del calor mediante la descomposición de funciones periódicas 
en series trigonométricas convergentes. 
29 Excavada de forma ilegal hacia el año 1920 en las Ruinas de la ciudad de Larsa. Terminó en manos de 
un editor neoyorquino, George Arthur Plimpton y donada a la Universidad de Columbia en 1936, a su 
muerte. Corresponde el número 322 a su número de catálogo. 
30 Actualmente se encuentra en el Museo británico de Londres. Debe su nombre al escocés Henry Rhind. 
Capítulo II 
____________________________________ 
25 
 
se encontraba “entre ríos”. De esta manera, sus producciones científicas han sido 
apropiadas y retomadas por otras civilizaciones. Luego de un milenio, podemos situarnos 
en la civilización griega, donde no existen datos que verifiquen los saberes: “suele aún 
hablarse de ´milagro griego´, expresión que encierra la idea de un surgimiento de la 
ciencia, del arte y de la filosofía como de la nada, por generación espontánea” (Rey 
Pastor y Babini, 1985:39). 
En el siglo IV a.C., podemos identificar las dos escuelas filosóficas más 
importantes, donde impartían conocimientos a los diferentes discípulos: la Academia, 
cuyo fundador es platón en 387 a.C. y el Liceo, fundado por Aristóteles en el año 335 
a.C. Entrando en el siglo VII d.C., la región mesopotámica, fue conquistada por 
musulmanes y quedó integrada dentro de la civilización árabe. 
En los s. VI y X de nuestra era, los astrónomos indios empezaron a usa no 
ya la cuerda del arco, sino la mitad de la cuerda del arco doble, que es la 
función que nosotros llamamos seno. 
Los árabes adoptaron esto, que simplificó mucho las fórmulas 
trigonométricas; las perfeccionaron y luego las transmitieron a Europa 
juntamente con el álgebra a partir del siglo XII. Tuvo como centro de 
apogeo a España (Córdoba, Toledo y Barcelona) (El mundo de la 
matemática, 1975:245) 
 
Posteriormente, y bajo los movimientos intelectuales del Renacimiento, se abrieron 
los centros de estudios en ciudades de Europa medieval, especialmente en Italia. En el 
siglo XVII se comenzó a formalizar el traspaso de conocimientos, entendiendo a la 
educación con un objeto de estudio. Jon Amós Comenius (1592-1670) sentó las bases 
para la conformación de los sistemas educativos. Comenio escribió su Didáctica Magna 
en 1627, y es considerada una obra que echó los cimientos de toda pedagogía sistemática. 
Este recorrido sobre la enseñanza de la matemática, nos permitió mostrar cómo se 
llegó a lo que actualmente es. Sin embargo, nos proponemos contar qué ocurrió en nuestro 
país. Un tiempo después de la llegada de los españoles en el año 1492, comenzaron los 
estudios en matemática, los cuales sólo eran propios para los claustros jesuíticos. 
Se conocen los nombres de los sacerdotes Buenaventura Suárez (1679-
1750) que estableció un observatorio astronómico, y además de astrónomo 
fue geógrafo y matemático. Hizo cálculos que les permitieron elaborar 
tablas con las posiciones exactas de las treinta misiones jesuíticas del 
Paraguay y trazar mapas de la zona. Fabricó globos terráqueos y celestes, 
construyó un reloj sola y varios instrumentos de medición. Elaboró también 
un calendario. (Fernández Stacco, 2011:2) 
En el año 1613, en Córdoba se creó un colegio, que luego fue Universidad, en donde 
la enseñanza de la matemática comenzó en 1809 de la mano de Carlos O’Donell. Luego 
de la Revolución de Mayo (1810), Manuel Belgrano (1770-1820) hizo crear una escuela 
de matemáticas, cuyo objetivo era formar a oficiales. En 1813 se crea una academia, 
donde además de matemática, debían enseñar arquitectura civil y naval. Utilizaban textos 
Capítulo II 
____________________________________ 
26 
 
de Lagrange para trigonometría, por lo cual podemos inferir que la matemática argentina 
tuvo gran influencia de la escuela francesa. En 1820 la universidad de Córdoba pasa a ser 
de la provincia, y se comenzó en 1822 a enseñar trigonometría esférica. En 1836, Juan 
Manuel de Rosas (1793-1877) autorizó una cátedra de matemática en un colegio Jesuita. 
En 1863 se creó el Colegio Nacional de Buenos Aires, donde sus programas estaban 
compuestos por trigonometría rectilínea y esférica, entre otros contenidos. En 1869 y 
1873, son creados el colegio militar y la escuela Naval militar, respectivamente, donde se 
enseñaban matemática a nivel de las escuelas Secundarias. Hasta el momento, la 
educación estaba dada para las futuras elites dirigentes31. 
La sanción de la ley 1420 en el año 1884 fue la que marcó un hito en la educación 
argentina, pues la educación debía ser gratuita, obligatoria y laica. La escuela pasó a ser 
el lugar donde los hijos de todos los inmigrantes podrían recibir los conceptos patrióticos, 
incluyéndolos como integrantes de la nueva nación, generando lazos de hermandad entre 
los descendientes de españoles, italianos, alemanes, suizos y demás. Durante los 
gobiernos comprendidos entre 1946 y 1955 se amplió la matrícula en los colegios, de 
manera que se garantizaba el acceso a toda la clase media a la enseñanza secundaria y 
superior. Desde mediados del siglo XX se desarrolló la enseñanza técnica, basada en un 
nuevo modelo de educación para lo que respecta el trabajo, de manera que se introdujo a 
partir del año 1960, nuevas ideas pedagógicas de educar para que todas aquellas clases 
oprimidas. Posteriormente, se producen cambios en los programas, acompañados por las 
reformas educativas desde la Ley Federal de Educación N°24.195 sancionada en 1993, 
hasta lo que actualmente nos proponen los Núcleos de Aprendizaje Prioritarios y los 
Diseños Curriculares, enmarcados en la Ley de Educación Nacional N°26.206 y la Ley 
de Educación provincial N°13.688. Aquí la trigonometría forma parte de la escolaridad 
secundaria como conocimiento prioritario.31 Se entiende por elite dirigente, aquellos hijos de familias prestigiosas del país que continuarían con el 
legado de sus familias. 
Capítulo III 
____________________________________ 
27 
 
CAPÍTULO 3 
MARCO TEÓRICO Y METODOLOGÍA DESARROLLADA 
 
1. Marco teórico 
En este trabajo se utiliza como referencial teórico la Teoría Antropológico de lo 
Didáctico, en adelante TAD (Chevallard, 1997, 1999, 2000, 2002a, 2002b, 2007). La 
TAD ha construido instrumentos teóricos para analizar la enseñanza de la matemática. En 
este capítulo nos centraremos en describir los aspectos fundamentales de esta teoría que 
han resultado base para el desarrollo de este trabajo, vinculando y ejemplificándolos con 
aspectos básicos de la trigonometría, situándonos en el ámbito de la Escuela Secundaria 
en la actualidad. 
 
La Teoría Antropológica de lo didáctico: conceptos elementales 
 
La TAD sitúa la actividad matemática, y en consecuencia la actividad del estudio 
en matemática dentro del conjunto de actividades humanas y de instituciones sociales 
(Chevallard, 1999). Esta teoría parte del principio que el saber matemático se construye 
como respuesta al estudio de cuestiones problemáticas, apareciendo, así como el resultado 
(o producto) de un proceso de estudio. Este proceso, en cuanto actividad que conduce a 
la (re) construcción de conocimiento matemático, forma parte de la actividad matemática. 
La TAD admite que toda actividad humana regularmente realizada puede 
describirse con un modelo único, que se resume con la palabra de praxeología. De esta 
manera, el saber aparece organizado en dos niveles: 
 la praxis, referente al saber-hacer, constituida por tipos de tareas ( ) y las 
técnicas ( ) que se construyen y utilizan para abordarlos; 
 el logos, referente al saber, que consta de una tecnología ( ) cuya función 
es describir, explicar y justificar la praxis, y una teoría ( ) para 
fundamentar la tecnología. 
 
Esto da origen a la noción de praxeología (Figura 13): 
 
 
Figura 13: definición de praxeología según sus componentes. 
iT
i


Capítulo III 
____________________________________ 
28 
 
 A continuación, describimos cada uno de los componentes de una praxeología y 
proponemos algunos ejemplos relativos a la Trigonometría: 
 
Tareas/Tipos de tarea: una tarea (y el tipo de tarea asociado) se expresa 
generalmente por un verbo y supone un objeto preciso. Así tarea puede ser un ejercicio, 
un problema, una pregunta, etc. y los tipos de tareas son un grupo de tareas que comparten 
una manera de hacer. Ejemplos de tipos de tareas serían: 
 
T1: calcular los puntos de intersección entre las funciones 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑠𝑒𝑛 (𝑏𝑥 + 𝑐) y 
𝑔(𝑥) = 𝑑𝑐𝑜𝑠 (𝑒𝑥 + 𝑓) definidas en ℝ, en un intervalo cerrado [r1,r2]. 
 (Aquí un ejemplo de una tarea específica, sería: 
t: calcular los puntos de intersección entre las funciones 𝑓(𝑥) =
2𝑠𝑒𝑛 (3𝑥 +
𝜋
2
) y 𝑔(𝑥) = 3𝑐𝑜𝑠 (2𝑥 +
𝜋
2
) definidas en ℝ, en un intervalo 
cerrado [0, 2π) 
 
T2: calcular el lado faltante de un triángulo no rectángulo, conociendo dos lados y 
sus respectivos ángulos agudos. 
 
Técnicas: maneras de realizar un tipo de tarea. Siguiendo con los ejemplos 
anteriores, una técnica 𝜏𝑖 asociada a la tarea Ti podría ser: 
𝝉𝟏: igualar las ecuaciones en el intervalo cerrado [r1,r2] f(x)= 𝑎𝑠𝑒𝑛 (𝑏𝑥 + 𝑐) y 
g(x)= 𝑑𝑐𝑜𝑠 (𝑒𝑥 + 𝑓), y resolver. 
𝝉𝟐: representar gráficamente mediante un triángulo la situación planteada y 
resolver el triángulo formado usando el teorema del coseno. 
 
Tecnología: es un discurso que intenta justificar de manera racional la técnica 𝜏, 
para asegurarse que ésta permita realizar los tipos de tareas. Por ejemplo: 
𝜽𝟐: Teorema del coseno: Dado un triángulo ABC, siendo α, β, γ, los ángulos, y a, 
b, c, los lados respectivamente opuestos a estos ángulos entonces. 
 
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2. 𝑎. 𝑏. cos 𝛾 
𝑎2 = 𝑐2 + 𝑏2 − 2. 𝑐. 𝑏. cos 𝛼 
𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 2. 𝑎. 𝑐. cos 𝛽 
 
Figura 14: Teorema del coseno. 
 
Capítulo III 
____________________________________ 
29 
 
Teorías: La teoría  juega el mismo papel frente a la tecnología , que el que la 
tecnología  juega frente a la técnica τ. 
Siguiendo con nuestro ejemplo, podemos considerar 2: Teoría de funciones. Sin 
embargo, es importante mencionar en este punto, que la justificación de la tecnología no 
forma parte de la institución escuela secundaria. En investigaciones desarrolladas en la 
comunidad de la TAD (Gascón, 2003 y Otero, et al., 2013) se ha concluido que en el nivel 
de la escolaridad secundaria las praxeologías que se estudian pueden contener diversas 
técnicas para llevar a cabo un tipo de tarea, pero se encapsulan en un único tipo de 
tecnología que no es justificada. 
Se observa que, alrededor de un tipo de tareas, se encuentra una terna formada por 
técnicas, tecnologías y teorías. Chevallard (1999) introdujo la distinción de diferentes 
tipos de praxeologías, según el grado de complejidad de sus componentes (Figura 15): 
 Praxeologías puntuales:
 
si son generadas en la institución como único tipo de tareas 
que tienen un único tipo de técnica asociada. Esta noción está definida a partir del 
bloque [T/τ]. 
 Praxeologías locales: surgen de la integración de distintas praxeologías puntuales. 
Cada una está caracterizada por una tecnología θ común. 
 Praxeologías regionales: se obtiene mediante la coordinación, articulación e 
integración, alrededor de una teoría Θ, de diversas praxeologías locales. 
 Praxeologías globales: surge agregando varias praxeologías regionales a partir de la 
integración de diferentes teorías. 
 
 
Figura 15: tipos de praxeologías. 
 
Capítulo III 
____________________________________ 
30 
 
Es importante destacar que esta distinción tiene relatividad institucional, es decir, 
lo que en una institución puede clasificarse como praxeología local, puede ser 
considerarse como puntual en otra institución. 
 
La condición antropológica de esta teoría se basa en que el ámbito de la didáctica 
no se restringe a la institución escolar, sino que se amplía a todas las instituciones sociales 
que involucran procesos de difusión de praxeologías que pueden ser matemáticas o no 
(Otero, et.al, 2013). Estas están definidas en la escala de niveles de codeterminación 
didáctica. 
 
Humanidad → Civilización→ Sociedad → Escuela → Pedagogía →Disciplina → 
Dominio → Sector → Tema → Cuestión 
 
Así, para explicar las razones de la difusión o no difusión institucional de ciertas 
praxeologías es necesario analizar los orígenes del conocimiento matemático (niveles 
inferiores de la escala) y también niveles superiores como por ejemplo a nivel de la 
institución o la sociedad (Íbid, 2013). 
 
En los niveles superiores de la escala, se encuentra la noósfera (Chevallard, 1991), 
que es el sector de la sociedad donde se piensa el funcionamiento didáctico y se producen 
por ejemplo los Diseños Curriculares y los libros de texto escolares, que son parte del 
análisis que realizamos en este trabajo. En el nivel escuela, considerando el contexto de 
este trabajo, se encuentra la EES N°2, institución en la que basamos el estudio 3. 
Posteriormente, identificamos en el nivel disciplina a la matemática, mientras que el 
dominio corresponde a la trigonometría. De esta escala, se distingue también que en la 
enseñanza actual las cuestiones (preguntas) están ausentes y son sustituidas por respuestas 
(Chevallard, 2012) (figura 16). 
 
 
 
Figura 16: niveles de co-determinación. 
 
La desaparición de las preguntas es una de las causas principales de los fenómenos 
didácticos que Chevallard (2004, 2007, 2013a) ha definido como pérdida de sentido y 
monumentalización del saber. Estos fenómenos son propios de una de una enseñanza 
Capítulo III 
____________________________________ 
31 
 
caracterizada por el hecho de que el saber se estudia como un fin en sí mismo,carente de 
sentido y de utilidad. 
 
El paradigma monumentalista está caracterizado por mostrar el saber, como si fuera 
una obra en un museo: estática, terminada, “muerta” (Chevallard, 2004). Esto produce en 
el profesor una obligación inevitable: el profesor debe explicar, describir, “mostrar” con 
claridad, etc. Se sobredimensiona su figura por sobre los alumnos, al mismo tiempo, que 
se reduce el lugar de los estudiantes al de reproductores, espectadores y “visitantes de la 
obra”. Los conocimientos expuestos “como monumentos” son respuestas a preguntas 
ocultas, sin que se reconozca la necesidad de remitir a su origen, a su utilidad, a su razón 
de ser, a su por qué o para qué. 
 
La TAD ha iniciado hace más de quince años un camino en pos de introducir 
cambios en la forma de hacer matemática en la escuela. Este cambio, requiere de una 
modificación de gran porte, y consistiría en un cambio de paradigma: reemplazar el 
monumentalismo por otro paradigma, el de la investigación y de cuestionamiento del 
mundo (Chevallard 2004, 2007, 2013). En este “nuevo” paradigma (que aún es 
emergente) existe un gran peso en el planteamiento de preguntas. Así, el saber es 
entendido como la respuesta a una pregunta matemática que tiene sentido para la 
comunidad de estudio, una pregunta “fuerte”, que para ser respondida requerirá de la 
elaboración de respuestas a otras preguntas derivadas que conllevan al estudio de diversos 
saberes matemáticos e incluso de otras disciplinas, promoviendo así un estudio funcional 
de los conocimientos en juego. La nueva pedagogía, podría incorporarse en las aulas a 
partir de nuevos constructos didácticos llamados Actividades de Estudio e Investigación 
(AEI) y Recorridos de Estudio y de Investigación (REI) (Chevallard, 2004, 2007, 2013) 
que fueron desarrollados para enfrentar los fenómenos didácticos propios del 
monumentalismo, pero el estudio y desarrollo de estos dispositivos no forman parte de 
este trabajo, aunque podrían formar parte de estudios posteriores. 
 
La enseñanza de la trigonometría en la Escuela Secundaria no es ajena a todo lo 
anterior y presenta diversos obstáculos y problemas. Suele ocurrir que la explicación de 
saberes aislados, descontextualizados, que no responden a nada y no tienen una utilidad 
aparente, dan lugar al desinterés de los alumnos. Esto podría identificarse en las prácticas 
cotidianas de la institución educativa del Nivel Secundario. En los capítulos siguientes 
profundizaremos este análisis. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo III 
____________________________________ 
32 
 
2. Metodología Desarrollada 
La investigación es de tipo cualitativa descriptiva. Se busca analizar y describir 
cómo es la enseñanza de la trigonometría en la Escuela Secundaria en la actualidad. Para 
ello realizamos tres estudios: 
- Estudio 1: Estado del arte. Se recopilaron y analizaron N=49 investigaciones 
referidas al tema considerado. Esto permitió conocer qué tipos de estudios se han 
realizado sobre el aprendizaje y la enseñanza de conceptos trigonométricos en 
diferentes niveles educativos. 
- Estudio 2: Análisis y descripción de los Diseños Curriculares de Matemática para 
la Educación Secundaria en la provincia de Buenos Aires (DCCyE, 2006, 2007, 
2008, 2009, 2010, 2011). Nos permitió identificar las principales praxeologías de 
trigonometría que se proponen para ser estudiadas en nuestra provincia. 
- Estudio 3: Enseñanza de la trigonometría en la Escuela de Educación Secundaria 
N°2 de la ciudad de Mar del Plata. Consta de dos partes: 
- Parte 1: Análisis y descripción de los programas de estudio que diseñan y 
utilizan los profesores en la EES N°2. Nos permite conocer qué conceptos 
vinculados a la trigonometría son considerados relevantes para estudiar en 
este establecimiento educativo y cómo se proponen para ser enseñados. 
- Parte 2: Análisis y descripción de los textos escolares de la EES N°2 de Mar 
del Plata. Este análisis nos permite conocer las praxeologías que se proponen 
para estudiar en este establecimiento e identificar sus componentes. 
Capítulo III 
____________________________________ 
33 
 
Con el estudio 1 se pretende abordar el primer objetivo: Analizar y describir la 
enseñanza actual de la trigonometría en la Escuela Secundaria. Se recopilaron un total 
de N=49 investigaciones que reportan trabajos que abordan la trigonometría desde 
diferentes perspectivas, tomando en cuenta su enseñanza y su aprendizaje, desde 
diferentes teorías didácticas y cognitivas y proponiendo su enseñanza desde diversos 
abordajes matemáticos. Las investigaciones encontradas y seleccionadas fueron 
desarrolladas mayoritariamente en Latinoamérica, de las cuales cinco en Argentina. 
La búsqueda se centró en textos en español y la recopilación se basó en fuentes de 
información confiables como trabajos de tesis, trabajos de grado y posgrado en las 
bibliotecas de las Universidades, artículos de carácter científico, en diversas revistas a 
través de una búsqueda especializada en bases de datos, como Google Académico y 
bibliotecas virtuales, como así también libros y publicaciones científicas en Editoriales 
reconocidas para garantizar la validez del material. 
Para analizar y describir los diferentes textos recopilados se elaboró la Tabla 1. En 
ella se sintetiza el título y tipo de cada investigación, el autor, su año y lugar de 
publicación, como también un breve resumen de las mismas y un enlace que nos permite 
leerlas en su totalidad (VER ANEXO I) y que permitió posteriormente clasificarlas de 
acuerdo a los objetivos propuestos de cada una. 
Tabla 1: Investigaciones recopiladas que abordan la Trigonometría. 
Título 
 
Autor Año Lugar Resumen 
 
Tipo de 
Publicación 
Disponible en 
 
 
Por otro lado, nuestro trabajo pretende analizar los tipos de praxeologías propuestas 
alrededor de la Trigonometría en la Escuela Secundaria, que en nuestro sistema educativo 
se rigen a partir del Diseño Curricular (en adelante DC). Con foco en el segundo objetivo: 
Analizar y describir las praxeologías relativas a la Trigonometría que se proponen en 
los Diseños Curriculares de Matemática de Secundaria de la provincia de Buenos Aires, 
se realizó el estudio 2. Aquí describimos las praxeologías que se proponen en el DC, 
identificando y analizando los tipos de tareas, técnicas y tecnologías asociadas. Además, 
se precisó que conceptos trigonométricos están presentes en los DC de Secundaria, se 
identificó en qué ejes temáticos se encontraba la trigonometría (por ejemplo, Geometría 
y Magnitudes, Geometría y Álgebra y Álgebra y Funciones) y se tuvieron en cuenta los 
objetivos planteados en relación a las tareas que allí se proponen. De esa manera se 
identificaron tipos de tareas prototípicas, técnicas y tecnologías asociadas, que se 
identificaron con la nomenclatura expuesta a continuación: 
𝑇𝑛
𝑘: Los tipos de tareas, enumeradas por su aparición (n), correspondiente al Diseño 
Curricular de k año. 
𝜏𝑛
𝑘: Las técnicas asociadas para cada tipo de tareas 𝑇𝑛
𝑘, manteniendo relación con 
el subíndice n. 
𝜃𝑛
𝑘: Las tecnologías que justifican el funcionamiento de las técnicas 𝜏𝑛
𝑘. 
Θ𝑛
𝑘 : Las teorías que justifican las tecnologías 𝜃𝑛
𝑘. 
Capítulo III 
____________________________________ 
34 
 
 
Finalmente, con el estudio 3, nos ocupamos de nuestro tercer objetivo: Analizar y 
describir, en término de praxeologías, los programas de estudio de los profesores de 
matemática de la Escuela de Educación Secundaria N°2 “Teniente Félix Origone” de la 
ciudad de Mar del Plata, provincia de Buenos Aires y los textos escolares que estos 
profesores utilizan para enseñar. Se analizaron los programas elaborados por los 
docentes de la EES N°2 (ANEXO II.a). Además, se analizaron N=13 libros de matemática 
(ANEXO III.b), que son indicados por los profesores en las referencias bibliográfica de 
los programas, como aquellosque utilizan para enseñar. Estos libros, se encuentran 
disponibles en la biblioteca escolar. El motivo de analizar los libros se debe a que los 
profesores de la institución trabajan en sus clases con actividades extraídas de ellos e 
incluso son utilizados en el aula. Se elaboró una tabla que sintetiza las principales 
praxeologías que es encuentran en cada libro analizado (Tabla 2). En la primera columna 
se coloca un número de referencia del libro. En la segunda, los géneros de tarea 
identificados en las actividades propuestas, luego los tipos de tareas, seguidos por las 
técnicas propuestas para resolver a cada tipo de tarea, y la tecnología asociada. 
Finalmente, en la última columna, se presenta un ejemplo de tarea específica extraída del 
libro. (VER ANEXO II.b). 
Tabla 2: Análisis praxeológico de los textos escolares. 
N° de 
libro 
Género de 
tareas 
Tipo de 
Tareas (T) 
Técnicas 
(𝝉) 
 
Tecnología 
(𝜽) 
Ejemplos 
de Tareas 
 
 
El análisis conjunto de los resultados obtenidos en los estudios 1, 2 y 3, nos 
permitieron reflexionar sobre algunos lineamientos para promover una enseñanza 
funcional de la trigonometría en la EES N°2 “Teniente Félix Origone” escuela secundaria 
de Mar del Plata, los cuales consideramos podrían extenderse a cualquier otra institución 
secundaria. 
En la Figura 17, se presenta un esquema de síntesis del trabajo desarrollado, que 
articula las preguntas, los objetivos y el problema abordado. 
 
 
 
Capítulo III 
____________________________________ 
35 
 
 
 
Figura 17: esquema sobre objetivos y preguntas de investigación. 
Capítulo IV 
____________________________________ 
 
36 
 
 CAPÍTULO 4 
ESTUDIO 1: ESTADO DE ARTE 
 
En este capítulo se pretende abordar el objetivo 1: elaborar un estado del arte relativo 
a la enseñanza y aprendizaje de la Trigonometría. Se realizó un análisis documental de 
diferentes trabajos de investigación relacionados a la Trigonometría. Se recopilaron 49 
(cuarenta y nueve) investigaciones desarrolladas en distintos niveles educativos. Estas 
investigaciones están detalladas en la Tabla 1 que se encuentra en el ANEXO I de este 
trabajo. Presentamos en este apartado una clasificación de todas ellas que nos permite 
sintetizar los principales resultados y aportes realizados hasta el momento. 
1. Clasificación de las investigaciones analizadas 
Se identificaron tres grandes grupos, de acuerdo al enfoque adoptado por las 
investigaciones: 
 IT-1: Investigaciones realizadas desde un enfoque didáctico. En este grupo se 
encuentran las investigaciones que se ocupan de analizar qué ocurre con la 
enseñanza de la trigonometría, proponer dispositivos didácticos y/o realizar 
implementaciones de diferentes propuestas en clases de matemática en distintos 
niveles educativos. 
 IT-2: Investigaciones realizadas desde un enfoque cognitivo. Aquí se agrupan las 
investigaciones que se enfocan en el aprendizaje de la trigonometría. Analizan 
cómo los estudiantes adquieren los conocimientos relativos a este campo de 
conocimiento y cuáles son las principales dificultades. 
 IT-3: Investigaciones realizadas desde un enfoque epistemológico. En esta 
clasificación se encuentran las investigaciones que se encargan de analizar la 
trigonometría desde una concepción enfocada en el conocimiento mismo. 
 
IT-1: Investigaciones realizadas desde un enfoque didáctico. 
 En este grupo identificamos N= 35 investigaciones. Entre éstas, predominan 
trabajos que se basan en desarrollar, analizar y evaluar propuestas didácticas que tienen 
como objetivo mejorar la enseñanza. 
Un total de 27 de estas investigaciones son trabajos de campo que implementan y 
analizan dispositivos llevados a cabo en el aula, mientras que 8 de los trabajos se basan 
en propuestas de enseñanza -sin testeo en aulas-. Dentro de las investigaciones que 
realizaron la implementación de algún dispositivo de enseñanza, identificamos 22 que lo 
hicieron en el Nivel Secundario o Bachillerato y 5 en el Nivel Superior, sea de carácter 
terciario o universitario. En lo que respecta al Nivel Secundario, encontramos 7 
investigaciones realizadas en el ciclo Básico (estudiantes de entre 12 y 14 años) y 15 en 
el ciclo Superior (estudiantes de entre 15 y 18 años). 
Capítulo IV 
____________________________________ 
 
37 
 
Rueda Upegui (2012) identifica las problemáticas de la enseñanza de la 
trigonometría en un estudio de casos con estudiantes de Enseñanza Media, en el nivel 
superior. El propone una serie de estrategias para la elaboración de actividades 
relacionadas a las razones trigonométricas, basadas en el uso de manipulativos, como 
elementos de geometría, calculadoras; que les permitirá a los alumnos contextualizar 
abstracciones de conceptos matemáticos y entenderlos de una manera distinta. En sus 
resultados muestra que el trabajo con manipulativos es pertinente cuando se requiere 
romper la tendencia común de enseñanza de la trigonometría y se enfoca en la exploración 
o experimentación, donde se pone de manifiesto unas condiciones que involucran la 
participación activa de todos los estudiantes en búsqueda de una aproximación a las 
razones trigonométricas. 
 Las Tecnologías de la Información y la Comunicación (TIC) también son 
incorporadas en diversas propuestas de enseñanza de la trigonometría. En algunos casos 
se propone el uso de calculadoras (Tiria Rodríguez, Hernández Ortiz y Monroy Becerra, 
2013; San Martín Sicre, 2003) y en otros, de software educativos (Fiallo Leal (2010) y 
Díaz Lozano, Haye y Macías (2011)). Tiria Rodríguez, Hernández Ortiz y Monroy 
Becerra (2013) realizaron en sus pasantías en Colombia, un desarrollo histórico de la 
trigonometría desde la época griega hasta la actualidad tomando como eje central la 
proporcionalidad, basados en la metodología de resolución de problemas utilizando 
calculadoras. Entre sus resultados los autores destacan que la metodología utilizada en el 
aula, rompe con el esquema de la enseñanza tradicional al cual se ha acostumbrado la 
mayoría de las instituciones colombianas, ya que encamina al estudiante a ser una persona 
autónoma y responsable de la construcción de su propio conocimiento. 
En esta línea, San Martín Sicre (2003) toma como referencial la Teoría de la 
Transposición Didáctica (Chevallard, 1989) en su trabajo realizado en tercer año de la 
Escuela Secundaria, donde propone el uso de las calculadoras científicas para aplicar a 
las definiciones de seno, coseno y tangente de un ángulo agudo. El propósito de su 
implementación en el aula radica en convertir al alumno en un actor, consiste en 
involucrarlo en la construcción (por construcción debe entenderse “estimación 
aproximada”) de una tabla de senos. 
Ambas investigaciones muestran que el trabajo con calculadoras da paso al 
estudiante a la formulación de una serie de preguntas que aportan al proceso crítico- 
reflexivo de su formación; haciéndolo autónomo en el trabajo matemático, alejándose de 
la enseñanza tradicional donde el profesor es el único responsable del conocimiento. 
Fiallo Leal (2010) afirma que los libros de textos adoptan tendencias tradicionales, 
basadas en explicar conceptos, propiedades importantes y aplicaciones. Es por esto que 
presenta una propuesta sobre razones trigonométricas, basada en las posibilidades que 
ofrecen las nuevas tecnologías, mediante un Software de Geometría Dinámica (SGD). Un 
aspecto importante de esta propuesta es que los propios estudiantes, sin demasiada 
intervención del profesor son los que “descubren” dichos conceptos y propiedades. Esto 
Capítulo IV 
____________________________________ 
 
38 
 
los motiva a querer saber por qué son verdaderos y el SGD les proporciona los elementos 
necesarios para que encuentren dichas respuestas y para explorar y experimentar con 
objetos y relaciones geométricas y numéricas (Fiallo Leal, 2010). 
Es evidente el