SEMANA 11 - CINEMATICA DE CUERPO RIGIDO - Momentos y Producto de inercias

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DINÁMICA
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CINEMÁTICA DE CUERPOS RÍGIDOS 
Logro
Al finalizar la sesión el estudiante comprende los Momentos y
Productos de Inercia de masas mediante la resolución de ejercicios
aplicando las ecuaciones correspondientes en forma correcta.
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En este capítulo se considera la cinemática de cuerpos rígidos, este
estudio es muy importante en el diseño se engranajes, levas y
mecanismos utilizados en operaciones mecánicas.
Se investigan las relaciones existentes entre el ecuación de movimiento,
momentos y productos de inercias de masas de las diferentes partículas
que forman un cuerporígido.
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INTRODUCCIÓN
CINEMÁTICA DE CUERPOS RÍGIDOS 
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ECUACIONES DEL MOVIMIENTO DE UN CUERPO RÍGIDO 
Considerando un cuerpo rígido sobre el que actúan varias fuerzas externas F1, F2, F3, . . . (fig 01) Se puede
suponer que el cuerpo está integrado de un gran número n de partículas de masa
CINEMÁTICA DE CUERPOS RÍGIDOS 
fig 01:
donde m es la masa del cuerpo y 𝑎 es la aceleración del centro de masa G. Volviendo ahora al movimiento del cuerpo
relativo al sistema de referencia centroidal Gx´y´z´ fig.02
fig 02:
donde m es la masa del cuerpo y 𝑎 es la aceleración del centro de masa G. Volviendo
ahora al movimiento del cuerpo relativo al sistema de referencia centroidal Gx´y´z´
fig.02
Ecuación 01 Ecuación 02
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ECUACIONES DEL MOVIMIENTO DE UN CUERPO RÍGIDO 
CINEMÁTICA DE CUERPOS RÍGIDOS 
donde 𝐻̇ representa la razón de cambio de 𝐻 , la cantidad de movimiento angular alrededor de G del sistema de
partículas que forma el cuerpo rígido. En lo subsecuente, 𝐻 hará referencia simplemente a la cantidad de movimiento
angular del cuerpo rígido en torno a su centro de masa G. Junto con las ecuaciones (1) y (2) expresa que el sistema de
fuerzas externas es equipolente al sistema consistente en el vector 𝑚𝑎 fijo en G y al par de momento �̇� (fig 03).
fig 03:
Junto con las ecuaciones (1) y (2) expresa
que el sistema de fuerzas externas es
equipolente al sistema consistente en el
vector 𝑚𝑎 fijo en G y al par de momento �̇�
(fig 03).
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MOMENTO DE INERCIA DE MASA
CINEMÁTICA DE CUERPOS RÍGIDOS 
Como un cuerpo tiene tamaño y forma definidos, un sistema de fuerza no concurrente puede hacer que el cuerpo se
traslade o rote. Los aspectos de traslación del movimiento están regidos por la ecuación 𝑭 = 𝑚𝒂. Y a continuación se
demostrara que los aspectos de rotación provocados por un momento M, están regidos por una ecuación de la forma
𝑴 = 𝐼𝛼. El símbolo I en esta ecuación se denomina momento de inercia de masa.
El momento de inercia mide la resistencia de un cuerpo a la aceleración angular (𝑴 = 𝐼𝛼) del mismo modo que la
masa mide la resistencia de un cuerpo a la aceleración (𝑭 = 𝑚𝒂)
fig 01:
Definimos el momento de inercia como la integral del “segundo momento” alrededor del eje de
todos los elementos de masa dm los cuales componen el cuerpo. Por ejemplo el momento de
inercia del cuerpo alrededor del eje z en la fig 01
𝐼 = 𝑟 𝑑𝑚 … … … (𝑎)
Para este caso el “brazo de momento” r es la distancia perpendicular del eje z al elemento arbitrario dm. Como
la formula implica r, el valor de I es diferente con cada eje con respecto a la cual se calcula. En el estudio de
cinemática plana, por lo general el eje seleccionado para el análisis pasa por el centro de masa G del cuerpo y
siempre es perpendicular al plano de movimiento. Y el momento de inercia se denota como 𝑰𝑮 como r esta al
cuadrado, el momento inercia de masa siempre será una cantidad positiva.
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MOMENTO DE INERCIA DE MASA
CINEMÁTICA DE CUERPOS RÍGIDOS 
Si el cuerpo se compone de material de densidad variable, ρ = 𝜌(𝑥, 𝒚, 𝒛), la masa elemental 𝒅𝒎 =
𝜌𝑑𝑉. Si se sustituye dm en la ecuación (a), entonces se calcula el momento de inercia del cuerpo
con elementos de volúmenes en la integración:
fig 01:
En el caso especial en que ρ sea una constante, este termino se saca de la integral y la integración
es entonces puramente una función de geometría.
𝐼 = 𝜌𝑑𝑉 … … … (𝑏)
𝐼 = 𝜌 𝑟 𝑑𝑉 … … … (𝑐)
fig 02:
Cuando el elemento de volumen seleccionado para la integración tiene dimensiones
infinitesimales en las tres direcciones fig 02, el momento de inercia del cuerpo se determina por
medio de una “integración tripe”, sin embargo, el proceso de integración se puede simplificar a
una integral simple siempre que el elemento de volumen seleccionado tenga un tamaño o
espesor diferencial en solo una dirección. Por lo cual a menudo se utilizan elementos en forma
de casquillo o de disco.
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MÉTODO DE SOLUCIÓN / PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS
CINEMÁTICA DE CUERPOS RÍGIDOS 
Para obtener el MI por integración, se puede considerar solo cuerpos de volúmenes generados al hacer girar una curva
alrededor de un eje. De la figura 01 se pueden elegir dos tipos de elementos diferenciales:
fig 01:
ELEMENTO EN FORMA DE CASQUILLO.
fig 02:
Si para la integración se selecciona un elemento en forma de casquillo de altura z, radio
r=y, espesor dy, fig 02, entonces el volumen es 𝑑𝑉 = 2𝜋𝑦 𝑧 𝑑𝑦.
Este elemento puede utilizarse en la ecuación (b) y (c) para determinar el momento de inercia
𝐼 del cuerpo con respecto al eje z, puesto que todo el elemento debido a su “espesor” queda
a la misma distancia perpendicular r=y del eje z .
Análisis Método I.
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MÉTODO DE SOLUCIÓN / PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS
CINEMÁTICA DE CUERPOS RÍGIDOS 
fig 01:
EJEMPLO.
fig 02:
SOLUCIÓN
Elemento en forma de casquillo: Resolviendo el ejercicio como un elemento en forma de
casquillo, que se muestra en la diapositiva anterior fig 02 y usando integración simple. El
volumen del elemento es 𝒅𝑽 = 𝟐𝝅𝒓 𝒉 𝒅𝒓 y su masa es 𝑑𝑚 = 𝝆𝒅𝑽 = 𝝆 2𝜋𝑟 ℎ 𝑑𝑟, como
todo elemento queda a la misma distancia r del eje z, el momento de inercia del elemento es.
Análisis Método I.
Determine el momento de inercia del cilindro que se muestra en la figura 01, con respecto al eje
z. La densidad del material, 𝝆 es constante
𝑑𝐼 = 𝑟 𝑑𝑚 = 𝜌2𝜋ℎ𝑟 𝑑𝑟
Al integrar a lo largo de toda la región del cilindro
𝐼 = 𝑟 𝑑𝑚
.
= 𝜌2𝜋ℎ 𝑟 𝑑𝑟 =
𝜌𝜋
2
𝑅 ℎ
La masa del cilindro es
𝑚 = 𝑑𝑚
.
= 𝜌2𝜋ℎ 𝑟𝑑𝑟 = 𝜌𝜋𝑅 ℎ Resp. 𝒁
𝟐
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MÉTODO DE SOLUCIÓN / PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS
CINEMÁTICA DE CUERPOS RÍGIDOS 
Para obtener el MI por integración, se puede considerar solo cuerpos de volúmenes generados al hacer girar una curva
alrededor de un eje. De la figura 01 se pueden elegir dos tipos de elementos diferenciales:
fig 01:
ELEMENTO EN FORMA DE DISCO.
fig 02:
Si para la integración se selecciona un elemento en forma de disco de radio y, y espesor
dZ, fig 02, entonces el volumen es 𝑑𝑉 = 𝜋𝑦 𝑑𝑧.
Este elemento es finito en la dirección radial y por consiguiente no todas sus partes quedan a
la misma distancia radial r del eje Z. Por consiguiente no se puede utilizar la ecuación (b) o (c)
para determinar 𝐼 Directamente.
Para realizar la integración primero es necesario determinar el momento de inercia del
elemento con respecto al eje z y luego integrar dicho resultado.
Análisis Método II.
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MÉTODO DE SOLUCIÓN / PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS
CINEMÁTICA DE CUERPOS RÍGIDOS 
fig 01:
EJEMPLO.
fig 02:
SOLUCIÓN
Elemento en forma de Disco: El momento de inercia se determinara con el elemento en forma
de disco, como se muestra en la fig 02. Arbitrariamente el elemento corta la curva en (x,y) y su
masa es.
Análisis Método II.
Si la densidad del material es de 5 slug/ft^3, determine el momento de inercia del solido que se
muestra en la fig 01, con respecto al eje y.
𝑑𝑚 = 𝜌𝑑𝑉 = 𝜌𝜋𝑥 𝑑𝑦
Al del elemento del disco tenemos
Si sustituimos 𝑥 = 𝑦 , 𝜌 = 5𝑠𝑙𝑢𝑔/𝑓𝑡 , e integramos con respecto a y, desde 𝑦 = 0 hasta 𝑦 = 1,
ft. Obtenemos el momento de inercia de todo el solido.
𝑑𝐼 =
1
2
𝑑𝑚 𝑥 =
1
2
𝜌 𝜋𝑥 𝑑𝑦 𝑥
𝐼 =
𝜋
2
5𝑠𝑙𝑢𝑔/𝑓𝑡 𝑥 𝑑𝑦 =
1
2
5𝜋 𝑦 𝑑𝑦 = 𝟎. 𝟖𝟕𝟑 𝒔𝒍𝒖𝒈. 𝒇𝒕𝟐
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TEOREMA DE EJES PARALELOS
CINEMÁTICA DE CUERPOS RÍGIDOS 
Si se conoce el momento de inercia del cuerpo que pasa por su centro de masa, entoncespuede determinarse el
momento de inercia respecto a cualquier otro eje paralelo por medio del teorema de los ejes paralelos. Este teorema se
deriva de la consideración del cuerpo que se muestra en la fig 01.
fig 01:
Aquí el eje 𝑧 ´ pasa por el centro de masa G, mientras que el eje 𝑧 paralelo
correspondiente queda a una distancia d. al seleccionar el elemento de masa diferencial
dm, localizado en el punto (x´,𝑦´) y utilizar el teorema de Pitágoras 𝑟 = (𝑑 + 𝑧´) +𝑦´ ,
podemos expresar el momento de inercia del cuerpo respecto al eje Z como:
Dado que 𝑟´ = x´ + 𝑦´ , la primera integral representa 𝐼 .
La segunda es igual a cero, puesto que el eje 𝑧´ pasa por el
centro de masa del cuerpo, es decir ∫ 𝑥´𝑑𝑚 = 𝑥´𝑚 = 0 
puesto que 𝑥´𝑚 = 0. por ultimo la tercera integral
representa la masa total m del cuerpo. Por tanto el momento
de inercia con respecto al eje z se puede escribirse como:
CINÉTICA DE PARTÍCULAS
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1. Determine el Momento de inercia de la barra esbelta. Su densidad y área de sección transversal A
son constantes. Exprese el resultado en función de su masa total .
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Se pide:
 Exprese el resultado en función de su masa total
m
CINÉTICA DE PARTÍCULAS
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SOLUCIÓN PARTE ()
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
CINÉTICA DE PARTÍCULAS
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2. El cono truncado se forma al hacer girar el área sombreada alrededor del eje x. determine el
momento de inercia y exprese el resultado en función de su masa total m. la densidad del cono
truncado es constante.
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Se pide:
 exprese el resultado en función de su masa
total m
CINÉTICA DE PARTÍCULAS
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SOLUCIÓN PARTE ()
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
CINÉTICA DE PARTÍCULAS
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3. Determine el momento de inercia de la pirámide homogénea de masa con respecto al eje . la
densidad del material es sugerencia: use un elemento de placa rectangular con volumen de
.
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Se pide:
 Determine el momento de inercia de la pirámide
homogénea de masa m con respecto al eje z
CINÉTICA DE PARTÍCULAS
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SOLUCIÓN PARTE ()
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
CINÉTICA DE PARTÍCULAS
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4. Determine el momento de inercia del ensamble de acero solido con respecto al eje El peso
especifico del acero es
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Se pide:
 Determine el momento de inercia del
ensamble de acero solido con respecto al eje
𝑥
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MOMENTO Y PRODUCTO DE INERCIA
Considere el cuerpo rígido que se encuentra en la figura 01. El momento de inercia de un elemento diferencial dm del
cuerpo con respecto a cualquiera de los 3 ejes de coordenadas se define como el producto de la masa del elemento por
el cuadrado de la distancia mas corta del eje al elemento, por ejemplo, como se indica en la figura, 𝒓𝒙 = 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐, por
lo que el momento de inercia de ,asa del elemento respeto al eje x es
CINEMÁTICA DE CUERPOS RÍGIDOS 
fig 01:
MOMENTO DE INERCIA DE MASA R^3
𝑑𝐼 = 𝑟 𝑑𝑚 = 𝑦 + 𝑧 𝑑𝑚
El momento de inercia 𝐼 para el cuerpo puede determinarse al integrar esta expresión a
lo largo de toda su masa. Por consiguiente, para cada uno de los ejes. Podemos escribir.
𝐼 = 𝑟 𝑑𝑚 = 𝑦 + 𝑧 𝑑𝑚
𝐼 = 𝑟 𝑑𝑚 = 𝑥 + 𝑧 𝑑𝑚
𝐼 = 𝑟 𝑑𝑚 = 𝑥 + 𝑦 𝑑𝑚
Donde se observa que el Momento de inercia
siempre es una cantidad positiva, puesto que es
la suma del producto de la masa dm, la cual
siempre es positiva y las distancias al cuadrado.
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MOMENTO Y PRODUCTO DE INERCIA
El producto de inercia de un elemento diferencial dm con respecto a un sistema de dos planos ortogonales se define
como el producto de la masa del elemento por las distintas perpendicularidades (o mas cortas) de los planos al
elemento. Por ejemplo. Esta distancia es x al plano y-z, y al plano x-z. fig 01. por consiguiente el producto de inercias 𝑑𝐼
para el elemento es.
CINEMÁTICA DE CUERPOS RÍGIDOS 
fig 01:
PRODUCTO DE INERCIA
𝑑𝐼 = 𝑥𝑦𝑑𝑚
Observe que también 𝑑𝐼 = 𝑑𝐼 al integrarlos a lo largo de toda la masa. Los productos
de inercia del cuerpo con respecto a cada combinación de planos pueden expresarse
como.
𝐼 = 𝐼 = 𝑥𝑦𝑑𝑚 Donde se observa que el Momento de inercia
siempre es una cantidad positiva, puesto que es
la suma del producto de la masa dm, la cual
siempre es positiva y las distancias al cuadrado.
𝐼 = 𝐼 = 𝑦𝑧𝑑𝑚
𝐼 = 𝐼 = 𝑥𝑧𝑑𝑚
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MOMENTO Y PRODUCTO DE INERCIA
A diferencia que el momento de inercia siempre es positivo, el producto de inercia puede ser positivo, negativo o cero.
Por consiguiente el resultado depende de los signos algebraico de las 2 coordenadas definitorias. Los cuales se ven
independientes una de otra.
CINEMÁTICA DE CUERPOS RÍGIDOS 
fig 01:
PRODUCTO DE INERCIA
En particular, si alguno o ambos planos ortogonales son planos de simetría
para la masa, el producto de inercia con respecto a estos planos será cero.
En esos casos los elementos de masa ocurrirán en pares localizados a cada
lado del plano de simetría. En un lado del plano el producto de inercia será
positivo, y el otro negativo. Y su suma será cero.
En la fig 01 (a) el plano y-z es un plano de simetría y por consiguiente 𝐼 =
𝐼 = 0. el calculo de 𝐼 será positivo. Ya que todos los elementos de masa
se localizan al utilizar coordenadas Y y Z positivas.
En la fig 01 (b) que es el cilindro, los ejes localizados en los planos x-z, y y-z
son planos de simetría. Por lo tanto 𝐼 = 𝐼 = 𝐼 =0
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MOMENTO Y PRODUCTO DE INERCIA
Para los acasos antes mencionado se utilizan con frecuencia el teorema de ejes Paralelos el los caculos. Este teorema
desarrollado en la ecuación (a) nos permite transferir el momento de inercia de un cuerpo de un eje que pasa por su
centro de masa G a eje paralelo que pasa por algún otro punto. Si las coordenadas son 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 definidas con respecto
a los ejes 𝑥, 𝑦, 𝑧 en la fig 01 entonces las ecuaciones de los ejes paralelos utilizados para calcular momentos de inerica
con respecto a los ejes 𝑥, 𝑦, 𝑧 son fig 02:
CINEMÁTICA DE CUERPOS RÍGIDOS 
fig 01:
EJES PARALELOS Y TEOREMAS DE PLANOS PARALELOS
Los productos de inercia de un cuerpo compuesto se
calculan de la misma manera que los MI de un
cuerpo. El teorema del plano paralelo es importante.
Se utiliza para transferir los productos de inercia del
cuerpo a un sistema de 3 planos ortogonales que
pasan por el centro de masa del cuerpo a un sistema
correspondiente de tres planos paralelos que pasan
por algún punto O. al definir las distancias
perpendiculares entre los planos como 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 fig
01. las ecuaciones del plano se escriben como fig 03:
fig 02:
fig 03:
CINÉTICA DE PARTÍCULAS
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1. Determine el momento de inercia de la barra acodada que se ilustra en la imagen con respecto al eje
Aa. La masa de cada uno de los tres segmentos se proporcionan en la figura.
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Se pide:
 Determine el momento de inercia de la barra
acodada que se ilustra en la imagen con respecto
al eje Aa
CINÉTICA DE PARTÍCULAS
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SOLUCIÓN PARTE ()
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
CINÉTICA DE PARTÍCULAS
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2. Demuestre que la suma de los momentos de inercia de un cuerpo es independiente
de la orientación de los ejes y que por tanto depende de la ubicación de origen.
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Se pide:
 Demuestre que la suma de los momentos de
inercia de un cuerpo 𝐼 = 𝐼 = 𝐼 es
independiente de la orientación de los ejes
𝑥, 𝑦, 𝑧
Sin embargo donde r es la distancia desde el origen O hasta dm. Dado que es
constante, no depende de la orientación de los ejes . En consecuencia también es
independiente de la de los ejes
CINÉTICA DE PARTÍCULAS
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3. Determine los momentos de inercia de un cuerpo del paraboloide de revolución. La masa del
paraboloide es .
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Se pide:
 Determine los momentos de inercia de un
cuerpo 𝐼 𝑒 𝐼 del paraboloide de revolución
CINÉTICA DE PARTÍCULAS
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SOLUCIÓN PARTE ()
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
CINÉTICA DE PARTÍCULAS
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4. Determine los momentos de inercia del cilindro homogéneo de masa m con respecto a los ejes
´ ´ ´
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Se pide:
Determine los momentos de inercia del
cilindro homogéneo de masa m con respecto
a los ejes 𝑥´ , 𝑦´, 𝑧´.
CINÉTICA DE PARTÍCULAS
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SOLUCIÓN PARTE ()
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
CINÉTICA DE PARTÍCULAS
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4. Determine el producto de inercia de un cuerpo del bloque triangular homogéneo. La densidad del
material es Exprese el resultado en función de la masa totalm del bloque
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Se pide:
 Determine el producto de inercia de un
cuerpo 𝐼 del bloque triangular homogéneo
CINÉTICA DE PARTÍCULAS
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SOLUCIÓN PARTE ()
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
CONCLUSIONES
1
• Se desarrollo en la sesión los conceptos Dinámica de
Cuerpo Rígido, de esa manera incorporando en el alumno
los conocimientos para su aplicación y desarrollo.
2
• Se planteo y desarrollo ejemplos respecto a momento de
inercia y Producto de masas aplicando los conceptos
mencionados en clase.
3
• Es importante que el alumno reconozca los conceptos 
desarrollados en esta sección ya que le darán un enfoque 
a su carrera.
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GRACIAS 
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