SEMANA 12 - CINETICA DE CUERPO RIGIDO - Ecuaciones de movimiento - Plano general

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DINÁMICA
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CINÉTICA DE CUERPO RÍGIDO 
Logro
Al finalizar la sesión el estudiante resuelve ejercicios de ecuaciones
de movimiento de cuerpo rígido, traslación, rotación alrededor del
eje fijo, movimiento plano, movimiento alrededor de un punto fijo y
movimiento general del plano, aplicando las ecuaciones
correspondientes en forma correcta.
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En este capítulo se considera la cinemática de cuerpos rígidos, este
estudio es muy importante en el diseño se engranajes, levas y
mecanismos utilizados en operaciones mecánicas.
Se investigan las relaciones existentes entre el ecuación de
movimiento, momentos y productos de inercias de masas de las
diferentes partículas que forman un cuerporígido.
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INTRODUCCIÓN
CINÉTICA DE CUERPO RÍGIDO 
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ECUACIONES DEL MOVIMIENTO DE UN CUERPO RÍGIDO 
Limitaremos nuestro estudio de cinemática plana a cuerpo rígido, junto con sus cargas, se consideran simétricos con
referencia a un plano de referencia fijo. Como el movimiento del cuerpo se puede ver dentro del plano de referencia,
todas las fuerzas y momentos par que actúan en el cuerpo, pueden proyectarse entonces en el plano. Fig 01
CINÉTICA DE CUERPO RÍGIDO 
fig 01:
El ejemplo de cuerpo arbitrario podemos verlo en la fig 01. donde el origen de marco
referencial inicial x, y, z coincide con el punto arbitrario P en el cuerpo. Por definición, los
ejes no giran y están fijos o se trasladan a velocidad constante.
ECUACION DE MOVIMIENTO DE TRASLACION
Las fuerzas externas que actúan en el cuerpo representan las fuerzas gravitacionales, eléctricas,
magnéticas o de contacto entre cuerpos adyacentes se utilizara la siguiente ecuación:
Esta ecuación se conoce como la ecuación de movimiento de traslación del centro de masa
de un cuerpo rígido. Plantea que la suma de todas las fuerzas externas que actúan en el
cuerpo es igual a su masa por la aceleración de su centro de masa G:
Para movimiento del cuerpo en el plano x-y, la ecuación de movimiento de traslación
puede escribirse en la forma de dos ecuaciones escalares independientes:
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ECUACIONES DEL MOVIMIENTO DE UN CUERPO RÍGIDO 
CINÉTICA DE CUERPO RÍGIDO 
Examinemos los efectos provocados por los momentos del sistema de fuerzas externas
Calculados con respecto al eje perpendicular Al plano de movimiento (el eje Z ) y que pasa por
el punto P. como se muestra en el diagrama de cuerpo libre De la iésima partícula.
ECUACION DE MOVIMIENTO DE TRASLACION
fig 01:DCL de una partícula
fig 02
𝟏 𝒊 𝒊 𝒊 𝑷 𝒊 𝒊
𝑭𝒊 Representa la fuerza externa resultante que actúa en la partícula fig.01, y 𝒇𝒊 Es la resultante
de las fuerzas internas provocadas por interacciones con las partículas adyacentes. si la masa
de la partícula es (𝒎𝒊 ) y su aceleración (𝒂𝒊 ) entonces su diagrama cinético se muestra en la
figura 02. si sumamos los momentos con respecto al punto P, requerimos
Los momentos con respecto a P también pueden expresarse en función de la
aceleración del punto P, fig 03, su aceleración angular del cuerpo es 𝞪 y su
velocidad angular 𝟂, entonces al utilizar la ecuación
fig 03
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ECUACIONES DEL MOVIMIENTO DE UN CUERPO RÍGIDO 
CINÉTICA DE CUERPO RÍGIDO 
El Último término es cero, puesto que rxr=0. Al
expresar Los vectores con componentes
cartesianos y realizar las operaciones del
producto vectorial el resultado es:
ECUACION DE MOVIMIENTO DE TRASLACION
fig 01:
Aquí ∑ 𝑀 presenta solo el momento de las fuerzas externas que actúan con el cuerpo P. El Momento de fuerzas internas resultantes =0.
Las integrales pues se cancelan entre si. Además las integrales del primer y segundo termino se utilizan para localizar el centro de masa G
del cuerpo con respecto a P. Puesto que 𝒚𝒎 = ∫ 𝒚𝒅𝒎 y 𝒙𝒎 = ∫ 𝒙𝒅𝒎 de la figura 01. así mismo, la ultima integral representa el
momento de inercia del cuerpo respecto al eje z, es decir 𝑰𝑷 = ∫ 𝒓𝟐𝒅𝒎 por tanto:
Si establecemos que 𝑚 → 𝑑𝑚 y la Integramos con
respecto a toda la masa m del cuerpo, obtenemos
la ecuación de momento resultante.
Es posible reducir esta ecuación a una forma mas simple si
el punto P coincide con el centro de masa G del cuerpo. Si
este es el caso, entonces �̅� = 𝑦 = 0 por consiguiente:
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ECUACIONES DEL MOVIMIENTO DE UN CUERPO RÍGIDO 
CINÉTICA DE CUERPO RÍGIDO 
La ecuación (A) también se reescribe en función de las componentes x y y de 𝑎 y el momento de inercia 𝐼 del
cuerpo. Si el punto G esta en (�̅�, 𝑦) fig 01. y de acuerdo con el teorema de ejes paralelos, 𝐼 = 𝐼 + 𝑚(�̅� +
𝑦 ). Sustituimos en (A)
ECUACION DE MOVIMIENTO DE TRASLACION
De acuerdo con el Diagrama cinemático de la fig 01. 𝐴 como:
….….A
fig 02:DCL de una partícula
Si se realiza el producto vectorial y se igualan las componentes i y j
respectivas se obtienen las dos ecuaciones escalares
fig 03:
fig 01:
Por otro lado podemos escribir la
ecuación de una forma mas general.
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APLICACIÓN GENERAL DE LAS ECUACIONES DE MOVIMIENTO
CINÉTICA DE CUERPO RÍGIDO 
Resumiendo este análisis se puede escribir tres ecuaciones escalares independientes que describan el movimiento plano
general de un cuerpo rígido simétrico
Cuando Se aplican estas ecuaciones, queremos trazar siempre un diagrama de cuerpo libre,
fig 01, que incluya todos los términos que intervienen en (∑ 𝐹 , ∑ 𝐹 , ∑ 𝑀 𝑜 ∑ 𝑀 ). en
algunos problemas también puede ser útil trazar el diagrama cinético del cuerpo.fig 01:
fig 02:
Fig 02. este diagrama explica gráficamente los términos ((𝑚 𝑎 𝑥, ((𝑚 𝑎 𝑦 𝑒 𝐼 𝞪). es muy
útil en especial cuando se utiliza para determinar las componentes de (𝑚𝑎 ) y el momento de
dichas componentes en (∑(𝑀 )P.
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ECUACIONES DEL MOVIMIENTO DE UN CUERPO RÍGIDO 
CINÉTICA DE CUERPO RÍGIDO 
Cuando el cuerpo rígido que se muestra en la figura 1, experimentan una traslación, todas las
partículas tienen la misma aceleración. Además (𝞪=0), en cuyo caso la ecuación de movimiento
de rotación aplicada en el punto G se reduce a una forma simplificada. o sea (∑ 𝑀 =0). a
continuación se analizará la aplicación de este y todas las ecuaciones de movimiento producido
por fuerzas para cada 1 de los dos tipos de traslación
ECUACION DE MOVIMIENTO: TRASLACION
fig 01:
fig 02
Cuando el cuerpo se somete a Traslación rectilínea, todas sus partículas viajan a lo largo de
trayectorias De línea recta paralelas. el llegar a más de cuerpo libre y los diagramas
cinéticos se muestran en la figura (). Cómo 𝐼 𝞪 =0. solo (𝑚 𝑎 ) se muestra en el diagrama
cinético. por tanto, las ecuaciones de movimiento pertinentes en este caso son:
TRASLACION RECTILINEA
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ECUACIONES DEL MOVIMIENTO DE UN CUERPO RÍGIDO 
CINÉTICA DE CUERPO RÍGIDO 
Cuando el cuerpo rígido se somete a traslación curvilínea, todas las partículas viajan a lo largo de
trayectorias curvas paralelas. En un análisis, con frecuencia es conveniente utilizar un sistema de
coordenadas inercial con su origen que coincida con el centro de masa del cuerpo, en el instante
considerado y sus ejes orientados en las direcciones normal y tangencial a la trayectoria del
movimiento figura 1. de este modo, las 3 ecuaciones escalares de movimiento son:
TRASLACION CURVILINEA
fig 01:
Si Se suman los momentos con respecto al punto arbitrario B, entonces es necesario tener en
cuenta los momentos (∑ 𝑴𝒌)𝑩 de las dos componentes 𝒎(𝒂𝑮)𝒏 y 𝒎(𝒂𝑮)𝒕 con respecto a este
punto. de acuerdo con el diagrama cinético h y e representan las distancias perpendiculares
(oh “brazos de momento”) de B a las líneas de acción de los componentes. por consiguiente, la
ecuación de momentos requerida es:
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PROCEDIMIENTO PARA EL ANÁLISIS
CINÉTICA DE CUERPO RÍGIDO 
CINÉTICA DE CUERPO RÍGIDO 
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1. El automóvil de la figura tiene una masa de 2 Mg y un centro de masa G. determine la aceleración si las
ruedas traseras propulsoras siempre patinan, en tanto que las delanteras rueden libremente. Ignore la masa
de las ruedas. El coeficiente de fricción cinética entre las ruedas y las carreteras es (415HB)
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Se pide:
 determine la aceleración
CINÉTICA DE CUERPO RÍGIDO13
SOLUCIÓN PARTE (I)
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
DCL
𝑭𝑩 = 𝟎. 𝟐𝟓𝑵𝑩 
ECUACIONES DE MOVIMIENTO
SOLUCIÓN PARTE (II)
Se reemplaza para hallar Ag de las ecuaciones
anteriores
ECUACION DE MOVIMIENTO
CINÉTICA DE CUERPO RÍGIDO 
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2. La motocicleta de la figura, tiene una masa de 125 kg y un centro de masa mientras que el
motociclista tiene una masa de 75 kg y un centro de masa en . Determine el coeficiente mínimo de
fricción estática entre las ruedas y el pavimento para que el motociclista realice un caballito.
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Se pide:
 Que aceleración se requiere para hacer
esto?, ignore la masa de la ruedas y suponga
que la rueda delantera gira libremente.
CINÉTICA DE CUERPO RÍGIDO 
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SOLUCIÓN PARTE ()
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
DCL
ECUACIONES DE MOVIMIENTO
Considerando la motocicleta y al
motociclista como sistemas
aislados. Es posible localizar
primero el centro diagrama de
cuerpo libre y cinético. Y se
mueven con la misma
aceleración. Y la reacción
normal 𝑁 ≈ 0. Las 3 incógnitas
en el problema son 𝑁 , 𝐹 , 𝑎
CINÉTICA DE CUERPO RÍGIDO 
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3. Un embalaje uniforme de 50 kg descansa sobre una superficie horizontal cuyo coeficiente de fricción
cinética . Determine la aceleración si se aplica una fuerza al embalaje como se
muestra en la figura .
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Se pide:
 Determine la aceleración
CINÉTICA DE CUERPO RÍGIDO 
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SOLUCIÓN PARTE ()
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
DCL
La fuerza P puede hacer que el embalaje de deslice o que se
vuelque. Como se muestra en la fig 01. se supone que el
embalaje se desliza, de modo que 𝐹 = 𝜇 𝑁 = 0.2 𝑁 .
Además, la fuerza normal resultante 𝑁 actúa en O, a una
distancia x (donde 0 < 𝑥 ≤ 0.5𝑚) de la línea de centros del
embalaje. Las tres incógnitas son 𝑵𝑪, 𝒙 𝑦 𝒂𝑮
CINÉTICA DE CUERPO RÍGIDO 
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4. La viga BD de 100 kg que se muestra en la figura, esta sostenida por 2 barras cuya masa no se toma en
cuenta. Determine la fuerza desarrollada en cada barra si cuando es
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Se pide:
 Determine la fuerza desarrollada en cada
barra.
CINÉTICA DE CUERPO RÍGIDO 
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SOLUCIÓN PARTE ()
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
La viga se mueve con traslación
curvilínea puesto que todos sus
puntos se mueven a lo largo de
trayectorias circulares que tienen el
mismo radio 0.5 m.
CINÉTICA DE CUERPO RÍGIDO 
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5. El automóvil cuya masa es de 1.40 Mg y centro de masa 𝐺 . determine las reacciones normales tanto en las ruedas
delanteras como traseras del automóvil y las ruedas del remolque. si el conductor aplica los frenos traseros C del
automóvil y hace que el carro patine. Considere 𝜇 = 0.4 y suponga que el enganche en A es un perno o una
articulación esférica o de rotula. Las ruedas B y D giran libremente. Ignore en masa de la masa del conductor.
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Se pide:
 Determine las reacciones normales tanto
en las ruedas delanteras como traseras
del automóvil y las ruedas del remolque.
CINÉTICA DE CUERPO RÍGIDO 
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SOLUCIÓN PARTE ()
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
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ECUACIONES DE MOVIMIENTO
Considere el cuerpo rígido que se encuentra en la figura 01. El momento de inercia de un elemento diferencial dm del
cuerpo con respecto a cualquiera de los 3 ejes de coordenadas se define como el producto de la masa del elemento por
el cuadrado de la distancia mas corta del eje al elemento, por ejemplo, como se indica en la figura, 𝒓𝒙 = 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐, por
lo que el momento de inercia de ,asa del elemento respeto al eje x es
CINÉTICA DE CUERPO RÍGIDO 
fig 01:
ROTACIÓN ALREDEDOR DE UN EJE FIJO
𝑑𝐼 = 𝑟 𝑑𝑚 = 𝑦 + 𝑧 𝑑𝑚
El momento de inercia 𝐼 para el cuerpo puede determinarse al integrar esta expresión a
lo largo de toda su masa. Por consiguiente, para cada uno de los ejes. Podemos escribir.
𝐼 = 𝑟 𝑑𝑚 = 𝑦 + 𝑧 𝑑𝑚
𝐼 = 𝑟 𝑑𝑚 = 𝑥 + 𝑧 𝑑𝑚
𝐼 = 𝑟 𝑑𝑚 = 𝑥 + 𝑦 𝑑𝑚
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ECUACIONES DE MOVIMIENTO
CINÉTICA DE CUERPO RÍGIDO 
fig 01:
ROTACIÓN ALREDEDOR DE UN EJE FIJO
fig 02:
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PROCEDIMIENTO PARA EL ANÁLISIS
CINÉTICA DE CUERPO RÍGIDO 
CINÉTICA DE CUERPO RÍGIDO 
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1. El volante Desbalanceado 50 lb que se muestra en la figura tiene un radio de giro de ( ) ft. con
respecto a un eje que pasa por su centro de masa G. si se pone en movimiento desde el punto de
reposo, determine las componentes horizontal y vertical de la reacción en el pasador O.
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Se pide:
 determine las componentes horizontal y vertical
de la reacción en el pasador O.
CINÉTICA DE CUERPO RÍGIDO 
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SOLUCIÓN PARTE ()
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
CINÉTICA DE CUERPO RÍGIDO 
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2. Las cuatro aspas del ventilador tiene una masa total de 2 kg y un momento de inercia de ser punto de 18
kg.m2 con respecto a un eje que pasa por el centro O del ventilador. si éste se somete a un momento (𝑀 =
3(1 − 𝑒 . )N.m, dónde t está en segundos,
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Se pide:
 determine su velocidad angular cuando
t= 4s, a partir del punto de reposo.
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ECUACIONES DE MOVIMIENTO
CINÉTICA DE CUERPO RÍGIDO 
fig 01:
MOVIMIENTO PLANO GENERAL
fig 02:
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PROCEDIMIENTO PARA EL ANÁLISIS
CINÉTICA DE CUERPO RÍGIDO 
CINÉTICA DE CUERPO RÍGIDO 
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3. Determine la aceleración angular del carrete que se ilustra en la figura. Su masa es de 8kg y
su radio de giro de Las cuerdas cuya masa se ignora se enrollan alrededor de su
maza interna y borde externo
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Se pide:
 Determine la aceleración angular del
carrete.
CINÉTICA DE CUERPO RÍGIDO 
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SOLUCIÓN PARTE ()
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
fig c:
fig b:
CINÉTICA DE CUERPO RÍGIDO 
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EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Se pide:
 Determine la aceleración angular del cohete
CINÉTICA DE CUERPO RÍGIDO 
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EJERCICIOS DE APLICACIÓN
SOLUCIÓN PARTE
CONCLUSIONES
1
• Se desarrollo en la sesión los conceptos Dinámica de
Cuerpo Rígido, de esa manera incorporando en el alumno
los conocimientos para su aplicación y desarrollo.
2
• Se planteo y desarrollo ejemplos respecto a momento de
ecuaciones de movimiento de cuerpo rígido, aplicando los
conceptos mencionados en clase.
3
• Es importante que el alumno reconozca los conceptos 
desarrollados en esta sección ya que le darán un enfoque 
a su carrera.
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GRACIAS 
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