CINÉTICA DE CUERPO RÍGIDO- Energia cinetica y conservacion de la energia

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DINÁMICA
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CINÉTICA DE cuerpo rígido 
Logro
Al finalizar la sesión el estudiante resuelve ejercicios de Energía cinética de cuerpo rígido y conservación de energía mecánica, aplicando las ecuaciones correspondientes en forma correcta, resolviendo por el método de trabajo y energía, problemas de movimiento plano que implican fuerza, velocidad y desplazamiento, lo cual le permitirá plantear y solucionar problemas realizando cálculos al respecto los cuales tendrán bases y/o principios similares a los que utilizará en su vida profesional generando el criterio de análisis en el estudiante.
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INTRODUCCIÓN
CINÉTICA DE cuerpo rígido 
En este capítulo se considera la cinemática de cuerpos rígidos, este estudio es muy importante en el diseño se engranajes, levas y mecanismos utilizados en operaciones mecánicas.
Se investigan las relaciones existentes entre la ecuación de movimiento, momentos y productos de inercias de masas de las diferentes partículas que forman un cuerpo rígido.
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Energía cinética DE UN CUERPO rígido 
CINÉTICA DE cuerpo rígido 
Considerando el cuerpo rígido que se muestra en la figura, el cual está representado aquí por una “losa” que se mueve en el plano de referencia (x-y)inercial. una partícula iésima arbitraria del cuerpo de masa dm se encuentra a una distancia r del . Arbitrario P. si en el instante que se muestra la partícula tiene una velocidad (), entonces la energía cinética de la partícula es ()
ENERGIA CINETICA 
La energía cinética de todo el cuerpo se determinan por la escritura de expresiones semejantes para cada una de las partículas del cuerpo y la integración de los resultados :
Esta ecuación también puede expresarse en función de la velocidad del punto P. si la velocidad angular del cuerpo es (w) entonces de acuerdo con la figura 01, tenemos 
fig 01:
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Energía cinética DE UN CUERPO rígido 
CINÉTICA DE cuerpo rígido 
al sustituir está en la ecuación de energía cinética se obtiene 
ENERGIA CINETICA 
La primera integral de la derecha representa toda la masa (m) del cuerpo. Cómo ( y ), la segunda y tercera integrales localiza en el centro de masa G con respecto a P. la última integral representa el momento de inercia del cuerpo () con respecto a P, calculado con respecto al eje (z) que pasa por el punto P, por lo tanto:
Como un caso especial si el punto P coincide con el centro de masa G del cuerpo, entonces (), y por consiguiente:
fig 01:
Ambos términos del lado derecho son siempre positivos, pues que () y () están elevados al cuadrado. el primer término representa la energía cinética de traslación, con respecto al centro de masa, y el segundo la energía cinética de rotación del cuerpo con respecto al centro de masas.
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Energía cinética DE UN CUERPO rígido 
CINÉTICA DE cuerpo rígido 
Cuando un cuerpo rígido de masa (m) se somete a traslación rectilínea o traslación curvilínea, figura 1. la energía cinética producida por la rotación es cero, en vista de que (𝟂=0). la energía cinética del cuerpo es por consiguiente:
TRASLACIÓN 
fig 01:
La energía cinética del cuerpo también puede formularse en este caso si observamos que () de modo que (). según el teorema de los ejes paralelos, los términos entre paréntesis representan el momento de inercia () del cuerpo con respecto a un eje perpendicular al plano de movimiento y pasa por el punto O. por lo tanto: 
ROTACIÓN CON RESPECTO A UN EJE FIJO 
fig 02:
Hola derivación, esta ecuación (2), dará el mismo resultado que la ecuación (1), puesto que toma en cuenta las energías cinéticas tanto de traslación como las de rotación del cuerpo 
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Energía cinética DE UN CUERPO rígido 
CINÉTICA DE cuerpo rígido 
Cuando un cuerpo rígido se somete a movimiento plano general, figura 1. su velocidad angular es (w) y la velocidad de su centro de masa es (). por consiguiente la energía cinética es:
MOVIMIENTO PLANO GENERAL 
fig 01:
Esta ecuación también puede expresarse en función del movimiento del cuerpo con respecto a su centro instantáneo de velocidad cero, es decir:
Dónde () es el momento de inercia del cuerpo con respecto a su centro instantáneo. la comprobación es semejante a la ecuación (2)
SISTEMA DE CUERPOS
como la energía es una cantidad escalar, la energía cinética total de cuerpos rígidos conectados es la suma de las energías cinéticas de todas sus partes móviles. según el tipo de movimiento la energía cinética de cada cuerpo se determina por la ecuación (), o las formas alternativas antes mencionadas.
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Energía cinética DE UN CUERPO rígido 
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Si una fuerza F actúa en el cuerpo, el trabajo realizado por ella cuando el cuerpo se mueve a lo largo de una trayectoria S, figura 1 es :
TRABAJO DE UNA FUERZA
Aquí () es el ángulo entre las “colas” de la fuerza y el desplazamiento diferencial. la integración debe explicar la variación de la dirección y magnitud de la fuerza.
TRABAJO DE UNA FUERZA VARIABLE
fig 01:
fig 02:
TRABAJO DE UNA FUERZA CONSTANTE
Si una fuerza externa () actúa en un cuerpo, figura 02. y mantiene una magnitud constante () y dirección constante (), en tanto que el cuerpo experimenta una traslación (), entonces la ecuación anterior puede integrarse de modo que el trabajo es:
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Energía cinética DE UN CUERPO rígido 
CINÉTICA DE cuerpo rígido 
El peso de un cuerpo realiza trabajo solo cuando su centro de masa G, experimenta un desplazamiento vertical () si esto es plaza miento es hacia arriba, El trabajo es negativo, puesto que el peso se opone al desplazamiento.
Así mismo, si el desplazamiento es hacia abajo () el trabajo se vuelve positivo. en ambos casos el cambio de elevación se considera mínimo de modo que W, producido por la gravitación es constante .
TRABAJO DE UN PESO
fig 01:
fig 02:
TRABAJO DE UNA FUERZA DE RESORTE
Si un resorte elástico lineal se conecta a un cuerpo, la fuerza () que actúa en el cuerpo realiza el trabajo cuando el resorte se alarga o comprime desde () hasta una posición () más lejana. en ambos casos el trabajo será negativo puesto que el desplazamiento del cuerpo se opone a la dirección de la fuerza, figura 02, el trabajo es:
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Energía cinética DE UN CUERPO rígido 
CINÉTICA DE cuerpo rígido 
Estas fuerzas externas que no realizan trabajo actúan en puntos fijos en el cuerpo o tienen una dirección perpendicular a su desplazamiento. como algunos ejemplos podemos ver las reacciones en un soporte de pasador alrededor del cual gira un cuerpo, la reacción normal que actúa en un cuerpo que se mueve a lo largo de una superficie fija, y el peso de un cuerpo cuando su centro de gravedad se mueve en una placa horizontal, figura 1. 
FUERZAS QUE NO REALIZAN TRABAJO
fig 01:
Una fuerza de fricción () que actúa en un cuerpo redondo cuando Rueda sin deslizar sobre una superficie áspera tampoco realiza trabajo. esto es porque durante cualquier instante de tiempo (), () actúa en un punto del cuerpo el cual tiene velocidad cero (centro instantáneo, ) y por tanto el trabajo realizado por la fuerza en el punto es cero. Dicho de otra manera el punto no se desplaza en la dirección de la fuerza durante este instante. Cómo () se pone en contacto con puntos sucesivos durante solo un instante, el trabajo de () será cero.
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El cuerpo de la figura 1 se somete a un momento Par (). si el cuerpo experimenta un desplazamiento diferencial entonces del trabajo realizado por las fuerzas del par se puede determinar si se considera el desplazamiento como la suma de la traslación distinta más rotación. 
TRABAJO DE UN MOMENTO PAR
El trabajo es positivo cuando M y () tienen el mismo sentido de dirección y negativo o si estos vectores están en el sentido opuesto. cuando el cuerpo gira en el plano a través del ángulo finito () medido en radianes, desde hasta el trabajo de un momento par es por consiguiente 
fig 01:
Cuando el cuerpo se traslada, el trabajo de cada fuerza lo realiza solo el componente de desplazamiento a lo largo de la línea de acción de las fuerzas () figura 02. es obvio que el trabajopositivo de una fuerza anula el trabajo negativo de la otra. cuando el cuerpo experimenta una rotación diferencial () alrededor del punto arbitrario O, figura 3. entonces cada fuerza experimenta un desplazamiento () en la dirección de la fuerza. por consiguiente el trabajo total realizado es:
fig 02:
fig 03:
Si el momento de parar M, tiene una magnitud constante entonces 
CINÉTICA DE cuerpo rígido 
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1. La barra que se muestra en la figura tiene una masa de 10 kg y se somete a un momento de par . Y a una fuerza (), la cual siempre se aplica perpendicular al extremo de la barra. además la longitud no alargada del resorte es de 0.5m y permanece en la posición vertical debido a la guía de rodillo en B. determine el trabajo total realizado por todas las fuerzas que actúan en la barra cuando gira hacia abajo desde () hasta () 
Ejercicios de aplicación
Se pide:
determine el trabajo total realizado por todas las fuerzas que actúan en la barra cuando gira hacia abajo desde () hasta ().
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SOLUCIÓN PARTE ()
Ejercicios de aplicación
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PRINCIPIO DE TRABAJO Y ENERGIA
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Esta ecuación establece que la energía cinética inicial de traslación y rotación del cuerpo, más el trabajo realizado por todas las fuerzas externas y momentos par que actúan en el cuerpo, A medida que se mueve desde su posición inicial hasta su posición final. es igual a la energía cinética final de traslación y rotación.
PROCEDIMIENTO PARA EL ANALISIS
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la Rueda mostrada en la figura pesa 40 lb y su radio de giro es () ft. Con respecto a su centro de masa G. si se somete a un momento de par en el sentido de las manecillas del reloj de 15 lb.ft y Rueda el punto de reposo sin deslizarse, determiné su velocidad angular después de que su centro G se mueve 0.5 ft. La rigidez es () e Inicialmente no está alargado cuando se aplica el momento de par.
Ejercicios de aplicación
Se pide:
Determiné su velocidad angular después de que su centro G se mueve 0.5 ft.
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SOLUCIÓN PARTE (I)
Ejercicios de aplicación
b
a
a
b
Resp.
a
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Conservación de la energía mecánica 
Cuando un sistema de fuerzas que actúa en un cuerpo rígido, se compone de solo “fuerzas conservadoras” puede utilizarse el teorema de la conservación de la energía para resolver un problema que de lo contrario se resolvería con el principio de trabajo y energía. este teorema suele ser más fácil de aplicar puesto que el trabajo de una fuerza conservadora es “independiente de la trayectoria” y depende solo de las posiciones inicial y final del cuerpo.
CINÉTICA DE cuerpo rígido 
fig 01:
Como el peso total de un cuerpo puede considerarse como concentrado en su centro de gravedad, su “energía potencial gravitacional” se determina al conocer la altura de su centro de gravedad sobre o bajo un plano de referencia horizontal.
ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL
En este caso la energía potencial es “positiva” cuando () es positiva hacia arriba, puesto que el peso tiene la capacidad de realizar “trabajo positivo” cuando el cuerpo regresa al plano de referencia, figura 1. Asimismo sí G esta “bajo” el plano de referencia (), la energía potencial gravitacional es “negativa” puesto que el peso realiza trabajo negativo cuando el cuerpo vuelve al plano de referencia.
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Conservación de la energía mecánica 
La fuerza desarrollada por un resorte elástico también es una fuerza conservadora. La “energía potencial elástica” que un resorte imparte a un cuerpo conectado cuando el resorte se alarga o comprime desde una posición no deformada (s=0) hasta una posición final (s), figura 1 es:
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ENERGIA POTENCIAL ELÁSTICA
En general, si un cuerpo se somete tanto a fuerzas gravitacionales como elásticas, “la energía potencial” total puede expresarse como una función potencial representada como la suma algebraica:
ENERGIA POTENCIAL ELÁSTICA
fig 01:
En la posición deformada, la fuerza del resorte que actúa en el cuerpo siempre tiene la capacidad de realizar trabajo positivo cuando el resorte regresa a su posición no de forma original.
Aquí la medición de V depende de la ubicación del cuerpo con respecto a un plano de referencia seleccionado. como el trabajo de fuerzas conservadoras puede escribirse como una diferencia de sus energías potenciales, es decir () podemos reescribir el principio de trabajo y energía para un cuerpo rígido como:
En este caso () representa el trabajo de las fuerzas no conservadoras, como la fricción. si este término es cero entonces:
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Procedimiento PARA EL análisis
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CINÉTICA DE cuerpo rígido 
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1. la Rueda mostrada en la figura pesa 30 lb y su radio de giro es () ft. está conectada a un resorte de rigidez ()y longitud no alargada D 1 ft. si el disco se suelta desde el punto de reposo en la posición que se muestra y ruedas sin deslizarse, determina su velocidad angular en el instante en que G se mueve 3 ft a la izquierda.
Ejercicios de aplicación
Se pide:
determina su velocidad angular en el instante en que G se mueve 3 ft a la izquierda.
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SOLUCIÓN PARTE (I)
Ejercicios de aplicación
se muestran 2 diagramas de la Rueda, cuando está en las posiciones inicial y final. en este caso no se requiere un plano de referencia gravitacional puesto que el peso no se desplaza verticalmente. según la geometría del problema, el resorte está alargado en la posición inicial y () en la posición final. por consiguiente 
Energía potencial 
Resp.
b
a
(b)
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2.Una cadena cuya masa se ignora está colocada sobre la Rueda dentada que tiene una masa de 2 kg y un radio de giro (). si el bloque A de 4 kg se suelta del punto de reposo desde la posición (). determina la velocidad angular de la Rueda dentada cuando () . 
Ejercicios de aplicación
Se pide:
determina la velocidad angular de la Rueda dentada cuando ()
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SOLUCIÓN PARTE ()
Ejercicios de aplicación
DCL
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4. el sistema se compone de un disco A de 20 lb, una barra delgada BC de 4 lb y un collarín C de 1 lb. si el disco Rueda sin deslizarse, determine la velocidad del collarín cuando la barra está horizontal, es decir . el sistema se suelta desde el punto de reposo cuando . 
Ejercicios de aplicación
Se pide:
Determine la velocidad del collarín cuando la barra está horizontal
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SOLUCIÓN PARTE ()
Ejercicios de aplicación
CINÉTICA DE cuerpo rígido 
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4. el sistema se compone de un disco A de 20 lb, una barra delgada BC de 4 lb y un collarín C de 1 lb. si el disco Rueda sin deslizarse, determine la velocidad del collarín cuando la barra está horizontal, es decir . el sistema se suelta desde el punto de reposo cuando . 
Ejercicios de aplicación
Se pide:
Determine la velocidad del collarín cuando la barra está horizontal
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SOLUCIÓN PARTE ()
Ejercicios de aplicación
conclusiones
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1
Se desarrollo en la sesión los conceptos de Dinámica de Cuerpo Rígido, de esa manera incorporando estos conocimientos en el alumno para su aplicación y desarrollo. 
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Se planteo y desarrollo ejemplos respecto a energía cinética de cuerpo rígido y conservación de la energía mecánica, aplicando los conceptos mencionados en clase.
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Es importante que el alumno reconozca los conceptos desarrollados en esta sección ya que le darán un enfoque a su carrera.
GRACIAS 
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