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6 METAS DE APRENDIZAJE Al estudiar este capítulo, usted aprenderá: • Qué significa que una fuerza efectúe trabajo sobre un cuerpo, y cómo calcular la cantidad de trabajo realizada. • La definición de energía cinética (energía de movimiento) de un cuerpo, y lo que significa físicamente. • Cómo el trabajo total efectuado sobre un cuerpo cambia la energía cinética del cuerpo, y cómo utilizar este principio para resolver problemas de mecánica. • Cómo usar la relación entre trabajo total y cambio de energía cinética, cuando las fuerzas no son constantes y el cuerpo sigue una trayectoria curva, o ambas situaciones. • Cómo resolver problemas que implican potencia (tasa para efectuar trabajo). 181 TRABAJO Y ENERGÍA CINÉTICA ?Cuando una arma de fuego se dispara, los gases que se expanden en el cañón empujan el proyectil hacia afuera, de acuerdo con la tercera ley de Newton, el proyectil ejerce tanta fuerza sobre los gases, como éstos ejercen sobre aquél. ¿Sería correcto decir que el proyectil efectúa trabajo sobre los gases? Suponga que trata de calcular la rapidez de una flecha disparada con un arco.Aplica las leyes de Newton y todas las técnicas de resolución de problemas que hemos aprendido, pero se encuentra un obstáculo importante: después de que el arquero suelta la flecha, la cuerda del arco ejerce una fuerza variable que depende de la posición de la flecha. Por ello, los métodos sencillos que aprendimos no bastan para calcular la rapidez. No debe temer; nos falta mucho para acabar con la mecánica, y hay otros métodos para manejar esta clase de problemas. El nuevo método que vamos a presentar usa las ideas de trabajo y energía. La im- portancia del concepto de energía surge del principio de conservación de la energía: la energía es una cantidad que se puede convertir de una forma a otra, pero no pue- de crearse ni destruirse. En un motor de automóvil, la energía química almacenada en el combustible se convierte parcialmente en la energía del movimiento del auto, y parcialmente en energía térmica. En un horno de microondas, la energía electromag- nética obtenida de la compañía de electricidad se convierte en energía térmica en el alimento cocido. En éstos y todos los demás procesos, la energía total —es la su- ma de toda la energía presente en diferentes formas— no cambia. Todavía no se ha hallado ninguna excepción. Usaremos el concepto de energía en el resto del libro para estudiar una amplísima gama de fenómenos físicos. La energía nos ayudará a entender por qué un abrigo nos mantiene calientes, cómo el flash de una cámara produce un destello de luz, y el sig- nificado de la famosa ecuación de Einstein E 5 mc2. En este capítulo, no obstante, nos concentraremos en la mecánica. Conoceremos una importante forma de energía, la energía cinética o la energía de movimiento, y su relación con el concepto de trabajo. También consideraremos la potencia, que es la rapidez con que se realiza trabajo. En el capítulo 7 ampliaremos las ideas de trabajo y energía cinética, para comprender más a fondo los conceptos de energía y conser- vación de la energía. 182 C APÍTU LO 6 Trabajo y energía cinética 6.1 Estos hombres realizan trabajo con- forme empujan sobre el vehículo averiado, porque ejercen una fuerza sobre el auto al moverlo. F x s Si un cuerpo se mueve con un desplazamiento s mientras una fuerza constante F actúa sobre él en la misma dirección ... ... el trabajo realizado por la fuerza sobre el cuerpo es W 5 Fs. S S S S 6.2 El trabajo realizado por una fuerza constante que actúa en la misma dirección que el desplazamiento. 6.1 Trabajo Seguramente usted estará de acuerdo en que cuesta trabajo mover un sofá pesado, le- vantar una pila de libros del piso hasta colocarla en un estante alto, o empujar un au- tomóvil averiado para retirarlo de la carretera. Todos estos ejemplos concuerdan con el significado cotidiano de trabajo: cualquier actividad que requiere esfuerzo muscu- lar o mental. En física el trabajo tiene una definición mucho más precisa. Al utilizar esa defini- ción, descubriremos que, en cualquier movimiento, por complicado que sea, el traba- jo total realizado sobre una partícula por todas las fuerzas que actúan sobre ella es igual al cambio en su energía cinética: una cantidad relacionada con la rapidez de la partícula. Esta relación se cumple aún cuando dichas fuerzas no sean constantes, que es una situación que puede ser difícil o imposible de manejar con las técnicas que es- tudiamos en los capítulos 4 y 5. Los conceptos de trabajo y energía cinética nos per- mitirán resolver problemas de mecánica que no podríamos haber abordado antes. En esta sección aprenderemos cómo se define el trabajo y cómo se calcula en diver- sas situaciones que implican fuerzas constantes. Aunque ya sabemos cómo resolver problemas donde las fuerzas son constantes, el concepto de trabajo nos resultará útil. Más adelante en este capítulo deduciremos la relación entre trabajo y energía cinética, y la aplicaremos después en problemas donde las fuerzas no son constantes. Los tres ejemplos de trabajo antes mencionados —mover un sofá, levantar una pi- la libros y empujar un automóvil— tienen algo en común. En ellos realizamos trabajo ejerciendo una fuerza sobre un cuerpo mientras éste se mueve de un lugar a otro, es decir, sufre un desplazamiento (figura 6.1). Efectuamos más trabajo si la fuerza es mayor (empujamos más fuerte el auto) o si el desplazamiento es mayor (lo empu- jamos una mayor distancia). El físico define el trabajo con base en estas observaciones. Considere un cuerpo que sufre un desplazamiento de magnitud s en línea recta. (Por ahora, supondremos que to- do cuerpo puede tratarse como partícula y despreciaremos cualquier rotación o cambio en la forma del cuerpo.) Mientras el cuerpo se mueve, una fuerza constante actúa sobre él en la dirección del desplazamiento (figura 6.2). Definimos el trabajo W rea- lizado por esta fuerza constante en dichas condiciones como el producto de la magni- tud F de la fuerza y la magnitud s del desplazamiento: (fuerza constante en dirección del desplazamiento rectilíneo) (6.1) El trabajo efectuado sobre el cuerpo es mayor si la fuerza F o el desplazamiento s son mayores, lo que coincide con nuestras observaciones anteriores. CUIDADO Trabajo 5 W, peso 5 w No confunda W (trabajo) con w (peso). Si bien los símbolos son casi iguales, se trata de cantidades distintas. ❚ La unidad de trabajo en el SI es el joule (que se abrevia J y se pronuncia “yul”, nombrada así en honor del físico inglés del siglo XIX James Prescott Joule). Por la ecuación (6.1), vemos que, en cualquier sistema de unidades, la unidad de trabajo es la unidad de fuerza multiplicada por la unidad de distancia. En el SI la unidad de fuer- za es el newton y la unidad de distancia es el metro, así que 1 joule equivale a un new- ton-metro En el sistema británico, la unidad de fuerza es la libra (Ib), la unidad de distancia es el pie (ft), y la unidad de trabajo es el pie-libra Estas conversiones son útiles: Como ilustración de la ecuación (6.1), pensemos en una persona que empuja un automóvil averiado. Si lo empuja a lo largo de un desplazamiento con una fuerza constante en la dirección del movimiento, la cantidad de trabajo que efectúa sobre el auto está dada por la ecuación (6.1): W 5 Fs. Sin embargo, ¿y si la persona hubie- ra empujado con un ángulo f con respecto al desplazamiento del auto (figura 6.3)? Entonces tiene una componente en la dirección del desplazamiento y una componente que actúa perpendicular al desplazamiento. (Otras fuerzas deben actuar sobre el automóvil para que se mueva en la dirección de no sS, F' 5 F sen f Fi 5 F cos fF S F S sS 1 J 5 0.7376 ft # lb 1 ft # lb 5 1.356 J 1 ft # lb 2 . 1 joule 5 11 newton 2 11 metro 2 o bien 1 J 5 1 N # m 1N # m 2 : W 5 Fs sS F S 6 .1 Trabajo 183 ... el trabajo efectuado por la fuerza sobre el auto es W 5 Fis 5 (F cos f)s 5 Fs cos f. Sólo Fi realiza trabajo sobre el auto. F' no efectúatrabajo sobre el auto. F S f s S Si el automóvil se mueve con un desplazamiento s mientras una fuerza constante F actúa sobre él, con un ángulo f con respecto al desplazamiento ... S S F' 5 F sen f Fi 5 F cos f 6.3 El trabajo realizado por una fuerza constante que actúa con un ángulo relativo al desplazamiento. en la dirección de ; sin embargo, sólo nos interesa el trabajo realizado por la perso- na, así que sólo consideraremos la fuerza que ésta ejerce.) En este caso, sólo la com- ponente paralela es eficaz para mover el auto, por lo que definimos el trabajo como el producto de esta componente de fuerza y la magnitud del desplazamiento. Por lo tanto, o bien, (fuerza constante, desplazamiento rectilíneo) (6.2) Estamos suponiendo que F y f son constantes durante el desplazamiento. Si f 5 0 y y tienen la misma dirección, entonces cos f 5 1 y volvemos a la ecuación (6.1). La ecuación (6.2) tiene la forma del producto escalar de dos vectores (presentado en la sección 1 .10): Quizá usted desee repasar esa definición. Ello nos permite escribir la ecuación (6.2) de forma más compacta: (fuerza constante, desplazamiento rectilíneo) (6.3) CUIDADO El trabajo es un escalar Veamos un punto fundamental: el trabajo es una cantidad escalar, aunque se calcule usando dos cantidades vectoriales (fuerza y desplazamien- to). Una fuerza de 5 N al este que actúa sobre un cuerpo que se mueve 6 m al este realiza exac- tamente el mismo trabajo, que una fuerza de 5 N al norte que actúa sobre un cuerpo que se mueve 6 m al norte. ❚ W 5 F S # sS A S # BS 5 AB cos f. sSF S W 5 Fs cos f W 5 Fis 5 1F cos f 2 s, Fi F S Ejemplo 6.1 Trabajo efectuado por una fuerza constante a) Esteban ejerce una fuerza constante de magnitud 210 N (aproximada- mente 47 lb) sobre el automóvil averiado de la figura 6.3, mientras lo em- puja una distancia de 18 m. Además, un neumático se desinfló, así que, para lograr que el auto avance al frente, Esteban debe empujarlo con un ángulo de 308 con respecto a la dirección del movimiento. ¿Cuánto trabajo efectúa Esteban? b) Con ánimo de ayudar, Esteban empuja un segundo au- tomóvil averiado con una fuerza constante El desplazamiento del automóvil es ¿Cuánto trabajo efectúa Esteban en este caso? SOLUCIÓN IDENTIFICAR: En ambos incisos, a) y b), la incógnita es el trabajo W efectuado por Esteban. En ambos casos, la fuerza es constante y el des- plazamiento es rectilíneo, así que podemos usar la ecuación (6.2) o la ecuación (6.3). PLANTEAR: El ángulo entre y se da explícitamente en el inciso a), de manera que podemos aplicar directamente la ecuación (6.2). En sSF S sS 5 1 14 m 2 d̂ 1 1 11 m 2ê.F S 5 1 160 N 2 d̂ 2 140 N 2ê. el inciso b), no se da el ángulo, así que nos conviene más calcular el producto escalar de la ecuación (6.3), a partir de las componentes de y como en la ecuación (1.21): EJECUTAR: a) Por la ecuación (6.2), b) Las componentes de son Fx 5 160 N y Fy 5 240 N, en tanto que las componentes de son x 5 14 m y y 5 11 m. (No hay com- ponentes z para ningún vector.) Así, utilizando las ecuaciones (1.21) y (6.3), EVALUAR: En cada caso, el trabajo que efectúa Esteban es mayor que 1000 J. Nuestros resultados muestran que 1 joule es relativamente poco trabajo. 5 1.8 3 103 J 5 1 160 N 2 1 14 m 2 1 1240 N 2 111 m 2 W 5 F S # sS 5 Fx x 1 Fy y sS F S W 5 Fs cos f 5 1210 N 2 118 m 2 cos 30° 5 3.3 3 103 J Ay By 1 Az Bz .A S # BS 5 Ax Bx 1sS, F S Trabajo: Positivo, negativo o cero En el ejemplo 6.1, el trabajo efectuado al empujar los autos fue positivo. No obstante, es importante entender que el trabajo también puede ser negativo o cero. Ésta es la diferen- cia esencial entre la definición de trabajo en física y la definición “cotidiana” del mismo. 5.1 Cálculos de trabajo O N L I N E 184 C APÍTU LO 6 Trabajo y energía cinética F S ... pero como la barra está estacionaria (su desplazamiento es cero), no realiza trabajo sobre ella. El halterófilo ejerce una fuerza hacia arriba sobre la barra ... 6.5 Un halterófilo no realiza trabajo sobre una barra si la mantiene estacionaria. Si la fuerza tiene una componente en la misma dirección que el desplazamiento (f entre 0 y 908), cos f en la ecuación (6.2) es positivo y el trabajo W es positivo (figura 6.4a). Si la fuerza tiene una componente opuesta al desplazamiento (f entre 90 y 1808), cos f es negativo y el trabajo es negativo (figura 6.4b). Si la fuerza es perpendicular al des- plazamiento, f 5 908 y el trabajo realizado por la fuerza es cero (figura 6.4c). Los casos de trabajo cero y negativo ameritan mayor estudio; veamos algunos ejemplos. Hay muchas situaciones donde actúan fuerzas pero no realizan trabajo. Quizás us- ted piense que “cuesta trabajo” sostener una barra de halterofilia inmóvil en el aire durante cinco minutos (figura 6.5); pero en realidad no se está realizando trabajo so- bre la barra porque no hay desplazamiento. Nos cansamos porque las componentes de las fibras musculares de los brazos realizan trabajo al contraerse y relajarse continua- mente. Sin embargo, se trata de trabajo efectuado por una parte del brazo que ejerce fuerza sobre otra, no sobre la barra. (En la sección 6.2 hablaremos más del trabajo realizado por una parte de un cuerpo sobre otra.) Aun si usted camina con velocidad constante por un piso horizontal llevando un libro, no realiza trabajo sobre éste. El libro tiene un desplazamiento, pero la fuerza de soporte (vertical) que usted ejerce sobre el libro no tiene componente en la dirección (horizontal) del movimiento: f 5 908 en la ecuación (6.2) y cos f 5 0. Si un cuerpo se desliza por una superficie, el trabajo realizado sobre él por la fuerza normal es cero; y cuando una pelota atada a un cordón se pone en movimiento circular uniforme, el trabajo realizado sobre ella por la tensión en el cordón es cero. En ambos casos, el trabajo es cero porque la fuerza no tiene componente en la dirección del movimiento. ¿Qué significa realmente realizar trabajo negativo? La respuesta está en la tercera ley de Newton del movimiento. Cuando un halterófilo (levantador de pesas) baja una barra como en la figura 6.6a, sus manos y la barra se mueven juntas con el mismo desplazamiento La barra ejerce una fuerza barra sobre manos sobre sus ma- nos en la misma dirección que el desplazamiento de éstas, así que el trabajo realizado por la barra sobre sus manos es positivo (figura 6.6b). Sin embargo, por la tercera ley de Newton, las manos del halterófilo ejerce una fuerza igual y opuesta manos sobre barra 5 2 barra sobre manos sobre la barra (figura 6.6c). Esta fuerza, que evita que la barra se estrelle contra el piso, actúa opuesta al desplazamiento de la barra. Por lo tanto, el tra- bajo realizado por sus manos sobre la barra es negativo. Puesto que las manos del halterófilo y la barra tienen el mismo desplazamiento, el trabajo realizado por sus ma- nos sobre la barra es justo el negativo del realizado por la barra sobre sus manos. En general, cuando un cuerpo realiza trabajo negativo sobre otro cuerpo, éste realiza una cantidad igual de trabajo positivo sobre el primero. CUIDADO Tenga presente quién hace el trabajo Siempre hablamos de trabajo realiza- do sobre un cuerpo específico por una fuerza determinada. Nunca olvide especificar exactamen- F S F S F S sS. F F s c) f 5 908 La fuerza es perpendicular a la dirección del desplazamiento: • La fuerza no realiza trabajo sobre el objeto. • De forma más general, cuando una fuerza que actúa sobre un objeto tiene una componente F' perpendicular al desplazamiento del objeto, dicha componente no efectúa trabajo sobre el objeto. S S S FF s a) f f F' Fi 5 F cos f La fuerza tiene una componente en la dirección del desplazamiento: • El trabajo sobre el objeto es positivo. • W 5 Fis 5 1F cos f2 s SS S FF s b) f f F' Fi 5 F cos f La fuerza tiene una componente opuesta a la dirección del desplazamiento: • El trabajo sobre el objeto es negativo. • W 5 Fis 5 1F cos f2 s • Matemáticamente, W , 0 porque Fcos f es negativo para 908 , f , 2708. SS S 6.4 Una fuerza constante puede efectuar trabajo positivo, negativo o cero, dependiendo del ángulo entre y el desplazamiento sS.F S F S ? 6 .1 Trabajo 185 b) La barra efectúa trabajo positivo sobre las manos del halterófilo. La fuerza de la barra sobre las manos del halterófilo tiene la misma dirección que el desplazamiento de las manos. Fbarra sobre manos S s S c) Las manos del halterófilo realizan trabajo negativo sobre la barra. La fuerza de las manos del halterófilo sobre la barra es opuesta al desplazamiento de la barra. Fmanos sobre barra S sS a) Un halterófilo baja una barra al piso. sS 6.6 Las manos de este halterófilo efectúan trabajo negativo sobre la barra, mientras que la barra realiza trabajo positivo sobre sus manos. te qué fuerza realiza el trabajo en cuestión. Si levantamos un libro, ejercemos una fuerza hacia arriba sobre el libro y el desplazamiento de éste es hacia arriba, así que el trabajo realizado por la fuerza de levantamiento sobre el libro es positivo. En cambio, el trabajo realizado por la fuer- za gravitacional (peso) sobre el libro que se levanta es negativo, porque tal fuerza es opuesta al desplazamiento hacia arriba. ❚ Trabajo total ¿Cómo calculamos el trabajo cuando varias fuerzas actúan sobre un cuerpo? Pode- mos usar las ecuaciones (6.2) o (6.3) para calcular el trabajo realizado por cada fuerza individual. Puesto que el trabajo es una cantidad escalar, el trabajo total Wtot realiza- do por todas las fuerzas sobre el cuerpo es la suma algebraica de los trabajos reali- zados por las fuerzas individuales. Otra forma de calcular Wtot es calcular la suma vectorial de las fuerzas (es decir, la fuerza neta) y usarla en vez de en la ecuación (6.2) o en la (6.3). El siguiente ejemplo ilustra ambas técnicas. F S Ejemplo 6.2 Trabajo realizado por varias fuerzas Un granjero engancha su tractor a un trineo cargado con leña y lo arrastra 20 m sobre el suelo horizontal (figura 6.7a). El peso total del trineo y la carga es de 14,700 N. El tractor ejerce una fuerza constante de 5000 N a 36.98 sobre la horizontal, como se indica en la figura 6.7b. Una fuerza de fricción de 3500 N se opone al movimiento del trineo. Calcule el trabajo realizado por cada fuerza que actúa sobre el trineo y el trabajo total de todas las fuerzas. SOLUCIÓN IDENTIFICAR: Todas las fuerzas son constantes y el desplazamiento es rectilíneo, de manera que podemos calcular el trabajo empleando los conceptos usados en esta sección. Obtendremos el trabajo total de dos maneras: 1. sumando los trabajos efectuados por cada fuerza sobre el trineo, y 2. calculando el trabajo efectuado por la fuerza neta que ac- túa sobre el trineo. PLANTEAR: Puesto que estamos trabajando con fuerzas, los primeros pasos son dibujar un diagrama de cuerpo libre que muestre todas las fuerzas que actúan sobre el trineo, y elegir un sistema de coordenadas (figura 6.7b). Conocemos el ángulo entre el desplazamiento (en la di- rección 1x) y cada una de las cuatro fuerzas: peso, fuerza normal, fuerza del tractor y fuerza de fricción. Por lo tanto, con la ecuación (6.2) calculamos el trabajo realizado por cada fuerza. Como vimos en el capítulo 5, para obtener la fuerza neta sumamos las componentes de las cuatro fuerzas. La segunda ley de Newton nos dice que, como el movimiento del trineo es exclusivamente horizontal, la fuerza neta sólo tiene una componente horizontal. EJECUTAR: El trabajo Ww realizado por el peso es cero, porque su dirección es perpendicular al desplazamiento. (compare esto con la figura 6.4c) Lo mismo sucede con la fuerza normal, el trabajo Wn a) b) Diagrama de cuerpo libre para el trineo f 6.7 Cálculo del trabajo realizado sobre un trineo de leña que es arrastrado por un tractor. continúa 186 C APÍTU LO 6 Trabajo y energía cinética Evalúe su comprensión de la sección 6.1 Un electrón se mueve en línea recta hacia el este con una rapidez constante de 8 3 107 m>s. Tiene fuerzas eléctrica, magnética y gravitacional que actúan sobre él. Durante un desplazamiento de 1 metro, el trabajo total efectuado sobre el electrón es i) positivo, ii) negativo, iii) cero, iv) no hay suficiente información para decidir. ❚ 6.2 Energía cinética y el teorema trabajo-energía El trabajo total realizado por fuerzas externas sobre un cuerpo se relaciona con el des- plazamiento de éste (los cambios en su posición), pero también está relacionado con los cambios en la rapidez del cuerpo. Para comprobarlo, considere la figura 6.8, que Si usted empuja a la derecha sobre el bloque en movimiento, la fuerza neta sobre el bloque es hacia la derecha. Un bloque que se desliza hacia la derecha sobre una superficie sin fricción. • El trabajo total efectuado sobre el bloque durante un desplazamiento s es positivo: Wtot � 0. • El bloque aumenta de rapidez. • El trabajo total efectuado sobre el bloque durante un desplazamiento s es negativo: Wtot , 0. • El bloque se frena. • El trabajo total realizado sobre el bloque durante un desplazamiento s es cero: Wtot 5 0. • La rapidez del bloque permanece igual. Si usted empuja a la izquierda sobre el bloque en movimiento, la fuerza neta sobre el bloque es hacia la izquierda. Si usted empuja directo hacia abajo sobre el bloque en movimiento, la fuerza neta sobre el bloque es cero. F s n w v n F w n F w vv S s S s S SSS a) b) c) 6.8 La relación entre el trabajo total efectuado sobre un cuerpo y la manera en que cambia la rapidez del cuerpo. realizado por la fuerza normal es cero. Entonces, Ww 5 Wn 5 0. (Por cierto, la magnitud de la fuerza normal es menor que el peso; véase el ejemplo 5.15 de la sección 5.3, donde el diagrama de cuerpo libre es muy similar.) Nos queda la fuerza FT ejercida por el tractor y la fuerza de fric- ción f. Por la ecuación (6.2), el trabajo WT efectuado por el tractor es La fuerza de fricción es opuesta al desplazamiento, así que f 5 1808 y cos f 5 21. El trabajo Wf realizado por la fuerza de fricción es El trabajo total Wtot realizado por todas las fuerzas sobre el trineo es la suma algebraica del trabajo realizado por cada fuerza individual: Usando la otra estrategia, primero obtenemos la suma vectorial de todas las fuerzas (la fuerza neta) y la usamos para calcular el tra- 5 10 kJ Wtot 5 Ww 1 Wn 1 WT 1 Wf 5 0 1 0 1 80 kJ 1 1270 kJ 2 5 270 kJ Wf 5 fs cos 180° 5 1 3500 N 2 120 m 2 121 2 5 270,000 N # m f S 5 80 kJ WT 5 FTs cos f 5 15000 N 2 120 m 2 10.800 2 5 80,000 N # m bajo total. La mejor forma de hacerlo es usando componentes. De la figura 6.7b, No necesitamos la segunda ecuación; sabemos que la componente y de fuerza es perpendicular al desplazamiento, así que no realiza trabajo. Además, no hay componente y de aceleración, así que de cualquier forma gFy debe ser cero. Por lo tanto, el trabajo total es el realizado por la componente x total: EVALUAR: Obtenemos el mismo valor de Wtot con los dos métodos, como debería ser. Observe que la fuerza neta en la dirección x no es cero, así que el trineo se está acelerando. En la sección 6.2 volveremos a este ejemplo y veremos cómo usar el concepto de trabajo para explorar el movi- miento del trineo. 5 10 kJ Wtot 5 1aFS 2 # sS 5 1aFx 2 s 5 1 500 N 2 120 m 2 5 10,000 J 5 15000 N 2 sen 36.9° 1 n 2 14,700 N aFy 5 FT sen f 1 n 1 12w 2 5 500 N aFx 5 FT cos f 1 12 f 2 5 15000 N 2 cos 36.9° 2 3500 N 6 .2 Energía cinética y el teorema trabajo-energía 187 Fuerza neta F S S Rapidez v1 x1 x2 Rapidez v2 m m s x 6.9 Una fuerza neta constante efectúa trabajo sobre un cuerpo en movimiento. F S muestra tres ejemplos de un bloque que se desliza sobre una mesa sin fricción. Las fuerzas que actúan sobre el bloque son su peso 1a fuerza normal y la fuerza ejercida por la mano. En la figura 6.8a, la fuerza neta sobre el bloque es en la dirección de su movi- miento. Por la segunda ley de Newton, ello significa que el bloque se acelera; la ecuación (6.1) nos indica también que el trabajo total Wtot efectuado sobreel bloque es positivo. El trabajo total es negativo en la figura 6.8b porque la fuerza neta se opone al desplazamiento; aquí el bloque se frena. La fuerza neta es cero en la figura 6.8c, así que la rapidez del bloque no cambia y el trabajo total efectuado sobre él es cero. Podemos concluir que, si una partícula se desplaza, se acelera si Wtot . 0, se frena si Wtot , 0 y mantiene su rapidez si Wtot 5 0. Hagamos más cuantitativas tales observaciones. Considere una partícula con ma- sa m que se mueve en el eje x bajo la acción de una fuerza neta constante de magni- tud F dirigida hacia el eje 1x (figura 6.9). La aceleración de la partícula es constante y está dada por la segunda ley de Newton, F 5 max. Suponga que la rapidez cambia de v1 a v2 mientras la partícula sufre un desplazamiento s 5 x2 2 x1 del punto x1 al x2. Usando una ecuación de aceleración constante, ecuación (2.13), y sustituyendo v0x por v1, vx por v2 y (x 2 x0) por s, tenemos Al multiplicar esta ecuación por m y sustituir max por la fuerza neta F, obtenemos y (6.4) El producto Fs es el trabajo efectuado por la fuerza neta F y, por lo tanto, es igual al trabajo total Wtot efectuado por todas las fuerzas que actúan sobre la partícula. Llama- mos a la cantidad la energía cinética K de la partícula (definición de energía cinética): (definición de energía cinética) (6.5) Igual que el trabajo, la energía cinética de una partícula es una cantidad escalar; sólo depende de la masa y la rapidez de la partícula, no de su dirección de movimien- to. Un automóvil (visto como partícula) tiene la misma energía cinética yendo al norte a 10 m/s que yendo al este a 10 m/s. La energía cinética nunca puede ser nega- tiva, y es cero sólo si la partícula está en reposo. Ahora podemos interpretar la ecuación (6.4) en términos de trabajo y energía ciné- tica. El primer término del miembro derecho de la ecuación (6.4) es la energía cinética final de la partícula (es decir, después del desplazamiento). El segun- do término es la energía cinética inicial, y la diferencia entre estos tér- minos es el cambio de energía cinética. Así, la ecuación (6.4) dice: El trabajo efectuado por la fuerza neta sobre una partícula es igual al cambio de energía cinética de la partícula: (teorema trabajo-energía) (6.6) Éste es el resultado del teorema trabajo-energía. Wtot 5 K2 2 K1 5 DK K1 5 1 2 mv1 2, K2 5 1 2 mv2 2, K 5 1 2 mv2 1 2 mv 2 Fs 5 1 2 mv2 2 2 1 2 mv1 2 F 5 max 5 m v2 2 2 v1 2 2s ax 5 v2 2 2 v1 2 2s v2 2 5 v1 2 1 2axs F S nSwS, m m vS vS La misma masa, la misma rapidez, direcciones de movimiento diferentes: la misma energía cinética. m 2m vS vS El doble de masa, la misma rapidez: el doble de energía cinética. m m vS 2vS La misma masa, el doble de rapidez: el cuádruple de energía cinética. 6.10 Comparación entre la energía cinéti- ca de cuerpos distintos.K 5 12 mv 2 188 C APÍTU LO 6 Trabajo y energía cinética El teorema trabajo-energía concuerda con nuestras observaciones acerca del blo- que de la figura 6.8. Si Wtot es positivo, la energía cinética aumenta (la energía cinéti- ca final K2 es mayor que la energía cinética inicial K1) y la partícula tiene mayor rapidez al final del desplazamiento que al principio. Si Wtot es negativa, la energía ci- nética disminuye (K2 es menor que K1) y la rapidez es menor después del desplaza- miento. Si Wtot 5 0, la energía cinética permanece igual (K1 5 K2) y la rapidez no cambia. Observe que el teorema trabajo-energía sólo indica cambios en la rapidez, no en la velocidad, pues la energía cinética no depende de la dirección del movimiento. Por la ecuación (6.4) o la (6.6), la energía cinética y el trabajo deben tener las mis- mas unidades. Por lo tanto, el joule es la unidad del SI tanto del trabajo como de la energía cinética (y, como veremos, de todos los tipos de energía). Para verificarlo, ob- serve que la cantidad tiene unidades de o recorda- mos que así que En el sistema británico, la unidad de energía cinética y trabajo es Puesto que usamos las leyes de Newton para deducir el teorema trabajo-energía, sólo podemos usarlo en un marco de referencia inercial. Además, observe que el teorema es válido en cualquier marco inercial; sin embargo, los valores de Wtot y K2 2 K1 podrían diferir de un marco inercial a otro (porque el desplazamiento y la rapidez de un cuerpo pueden ser diferentes en diferentes marcos). Dedujimos el teorema trabajo-energía para el caso especial de movimiento rec- tilíneo con fuerzas constantes, y en los siguientes ejemplos sólo lo aplicaremos a ese caso especial. En la siguiente sección veremos que el teorema es válido en ge- neral, aun si las fuerzas no son constantes y la trayectoria de la partícula es curva. 1 ft # lb 5 1 ft # slug # ft/s2 5 1 slug # ft2/s2 1 J 5 1 N # m 5 1 1kg # m/s2 2 # m 5 1 kg # m2/s2 1 N 5 1 kg # m/s2, kg # m2/s2;kg # 1m/s 2 2K 5 12 mv2 Estrategia para resolver problemas 6.1 Trabajo y energía cinética IDENTIFICAR los conceptos pertinentes: El teorema trabajo-energía es extremadamente útil en situaciones donde se desea relacionar la rapidez v1 de un cuerpo en un punto de su movimiento, con su rapidez v2 en otro punto. (El enfoque es menos útil en problemas donde in- terviene el tiempo, como determinar cuánto tarda un cuerpo en ir del punto 1 al punto 2. Ello se debe a que en el teorema trabajo-energía no interviene el tiempo. Si es preciso calcular tiempos, suele ser me- jor utilizar las relaciones entre tiempo, posición, velocidad y acelera- ción que describimos en los capítulos 2 y 3.) PLANTEAR el problema con los pasos siguientes: 1. Elija las posiciones inicial y final del cuerpo, y dibuje un diagrama de cuerpo libre con todas las fuerzas que actúan sobre él. 2. Elija un sistema de coordenadas. (Si el movimiento es rectilíneo, lo más fácil suele ser que las posiciones tanto inicial como final estén sobre el eje x.) 3. Elabore una lista de las cantidades conocidas y desconocidas, y de- cida cuáles son las incógnitas. En algunos casos, la incógnita será la rapidez inicial o final del cuerpo; en otros, será la magnitud de una de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo, o sobre el desplaza- miento de éste. EJECUTAR la solución: Calcule el trabajo W efectuado por cada fuerza. Si la fuerza es constante y el desplazamiento es en línea recta, se puede usar la ecuación (6.2) o la (6.3). (Más adelante en este capí- tulo veremos cómo manejar fuerzas variables y trayectorias curvas.) Revise el signo del trabajo; W debe ser positivo si la fuerza tiene una componente en la dirección del desplazamiento, negativo si la fuerza tiene una componente opuesta al desplazamiento, y cero si la fuerza y el desplazamiento son perpendiculares. Sume los trabajos realizados por cada fuerza para obtener el tra- bajo total Wtot. A veces es más fácil obtener primero la suma vectorial de las fuerzas (la fuerza neta) y luego calcular el trabajo efectuado por la fuerza neta; este valor también es Wtot. Escriba expresiones para la energía cinética inicial y final (K1 y K2). Tenga presente que en la energía cinética interviene la masa, no el peso; si le dan el peso del cuerpo, tendrá que usar la relación w 5 mg para calcular la masa. Por último, use Wtot 5 K2 2 K1 para despejar la incógnita. Re- cuerde que el miembro derecho de esta ecuación es la energía cinética final menos la energía cinética inicial, nunca al revés. EVALUAR la respuesta: Compruebe que su respuesta sea lógica física- mente. Recuerde sobre todo que la energía cinética nunca puede ser negativa. Si obtiene una K negativa, quizás intercambió las energías inicial y final en Wtot 5 K2 2 K1 o tuvo un error de signo en uno de los cálculos de trabajo. K 5 12 mv 2 6 .2 Energía cinética y el teorema trabajo-energía 189 Ejemplo 6.4 Fuerzas sobre un martillo En un martinete, un martillo de acero con masa de 200 kg se levanta 3.00 m sobre el tope de una viga en forma de I vertical, que se está cla- vando en el suelo (figura 6.12a). El martillo se suelta, metiendo lavi- ga-I otros 7.4 cm en el suelo. Los rieles verticales que guían el martillo ejercen una fuerza de fricción constante de 60 N sobre éste. Use el teo- rema trabajo-energía para determinar a) la rapidez del martillo justo antes de golpear la viga-I y b) la fuerza media que el martillo ejerce so- bre la viga-I. Ignore los efectos del aire. SOLUCIÓN IDENTIFICAR: Usaremos el teorema trabajo-energía para relacionar la rapidez del martillo en distintos lugares con las fuerzas que actúan sobre él. Aquí nos interesan tres posiciones: el punto 1, donde el marti- llo parte del reposo; el punto 2, donde hace contacto primero con la vi- ga-I; y el punto 3, donde el martillo se detiene (véase la figura 6.12a). Las dos incógnitas son la rapidez del martillo en el punto 2 y la fuerza que el martillo ejerce entre los puntos 2 y 3. Entonces, aplicaremos el teorema trabajo-energía dos veces: una al movimiento del punto 1 al 2, y otra al movimiento de 2 a 3. PLANTEAR: La figura 6.12b muestra las fuerzas verticales que actúan sobre el martillo en caída del punto 1 al punto 2. (Podemos ignorar cualesquiera fuerzas horizontales que pudieran estar presentes, pues no efectúan trabajo cuando el martillo se desplaza verticalmente.) En esta parte del movimiento, la incógnita es la rapidez del martillo v2. La figura 6. 12c muestra las fuerzas verticales que actúan sobre el martillo durante el movimiento del punto 2 al punto 3. Además de las fuerzas mostradas en la figura 6.12b, la viga-I ejerce una fuerza nor- mal hacia arriba de magnitud n sobre el martillo. En realidad, esta fuerza varía conforme el martillo se va deteniendo; pero por sencillez continúa Ejemplo 6.3 Uso de trabajo y energía para calcular rapidez Veamos otra vez el trineo de la figura 6.7 y las cifras finales del ejem- plo 6.2. Suponga que la rapidez inicial v1 es 2.0 m/s. ¿Cuál es la rapi- dez final del trineo después de avanzar 20 m? SOLUCIÓN IDENTIFICAR: Usaremos el teorema trabajo-energía, ecuación (6.6) (Wtot 5 K2 2 K1), pues nos dan la rapidez inicial v1 5 2.0 m/s y nos pi- den calcular la rapidez final. PLANTEAR: La figura 6.11 muestra nuestro esquema de la situación. El movimiento es en la dirección 1x. EJECUTAR: Ya calculamos que trabajo total de todas las fuerzas en el ejemplo 6.2: Wtot 5 10 kJ. Por lo tanto, la energía cinética del trineo y su carga debe aumentar en 10 kJ. Si queremos escribir expresiones para las energías cinéticas inicial y final, necesitamos la masa del trineo y la carga. Nos dicen que el pe- so es de 14,700 N, así que la masa es Entonces, la energía cinética inicial K1 es La energía cinética final K2 es K2 5 1 2 mv2 2 5 1 2 11500 kg 2v2 2 5 3000 J K1 5 1 2 mv1 2 5 1 2 1 1500 kg 2 12.0 m/s 2 2 5 3000 kg # m2/s2 m 5 w g 5 14,700 N 9.8 m/s2 5 1500 kg donde v2 es la rapidez que nos interesa. La ecuación (6.6) da Igualamos estas dos expresiones de K2, sustituimos 1 J 5 y despejamos v2: EVALUAR: El trabajo total es positivo, de manera que la energía ciné- tica aumenta (K2 . K1) y la rapidez aumenta (v2 . v1). Este problema también puede resolverse sin el teorema traba- jo-energía. Podemos obtener la aceleración de y usar des- pués las ecuaciones de movimiento con aceleración constante para obtener v2. Como la aceleración es en el eje x, Entonces, con la ecuación (2.13), Obtuvimos el mismo resultado con el enfoque de trabajo-energía; no obstante, ahí evitamos el paso intermedio de calcular la aceleración. Veremos varios ejemplos más en este capítulo y en el siguiente que pueden resolverse sin considerar la energía, aunque son más fáciles si lo hacemos. Si un problema puede resolverse con dos métodos distin- tos, resolverlo con ambos (como hicimos aquí) es una buena forma de comprobar los resultados. v2 5 4.2 m/s 5 17.3 m2/s2 v2 2 5 v1 2 1 2as 5 12.0 m/s 2 2 1 2 1 0.333 m/s2 2 1 20 m 2 5 0.333 m/s2 a 5 ax 5 aFx m 5 1 5000 N 2 cos 36.9° 2 3500 N 1500 kg gFS 5 maS v2 5 4.2 m/s 1 kg # m2/s2, K2 5 K1 1 Wtot 5 3000 J 1 10,000 J 5 13,000 J TrineoTrineo 6.11 Nuestro esquema para este problema. 190 C APÍTU LO 6 Trabajo y energía cinética 6.12 a) Un martinete clava una viga-I en el suelo. b) Diagramas de cuerpo libre. Las longitudes de los vectores no están a escala. a) 3.00 m Punto 1 Punto 2 Punto 3 7.4 cm b) Diagrama de cuerpo libre del martillo que cae c) Diagrama de cuerpo libre del martillo al clavar la viga-I y x v f 5 60 N w 5 mg y x w 5 mg n f 5 60 N consideraremos n constante. Así n representa el valor medio de esta fuerza hacia arriba durante el movimiento. La incógnita en esta parte del movimiento es la fuerza que el martillo ejerce sobre la viga-I; es la fuerza de reacción a la fuerza normal ejercida por la viga-I, así que por la tercera ley de Newton su magnitud también es n. EJECUTAR: a) Del punto 1 al punto 2, las fuerzas verticales son el pe- so hacia abajo w 5 mg 5 (200 kg) (9.8 m/s2) 5 1960 N hacia abajo, y la fuerza de fricción f 5 60 N hacia arriba. La fuerza neta es entonces w 2 f 5 1900 N. El desplazamiento del martillo del punto 1 al punto 2 es de sl2 5 3.00 m hacia abajo. El trabajo total sobre el martillo al bajar del punto 1 al 2 es, entonces, En el punto 1, el martillo está en reposo, así que su energía cinética K1 es cero. De manera que la energía cinética K2 en el punto 2 es igual al trabajo total realizado sobre el martillo entre los puntos 1 y 2: Ésta es la rapidez del martillo en el punto 2, justo antes de golpear la viga-I. b) Mientras el martillo se mueve hacia abajo entre los puntos 2 y 3, la fuerza neta hacia abajo que actúa sobre él es w 2 f 2 n (véase la v2 5 Å 2Wtot m 5 Å 2 1 5700 J 2 200 kg 5 7.55 m/s Wtot 5 K2 2 K1 5 K2 2 0 5 1 2 mv2 2 2 0 Wtot 5 1w 2 f 2 s12 5 1 1900 N 2 1 3.00 m 2 5 5700 J figura 6.12c). El trabajo total realizado sobre el martillo durante el desplazamiento es La energía cinética inicial en esta parte del movimiento es K2 que, del inciso a), es igual a 5700 J. La energía cinética final es K3 5 0, porque el martillo se detiene. Entonces, por el teorema trabajo-energía, La fuerza hacia abajo que el martillo ejerce sobre la viga-I tiene esta misma magnitud, 79,000 N (unas 9 toneladas): más de 40 veces el pe- so del martillo. EVALUAR: El cambio neto en la energía cinética del martillo del punto 1 al punto 3 es cero; una fuerza neta relativamente pequeña efectúa tra- bajo positivo durante una distancia grande, y luego una fuerza neta mucho mayor realiza trabajo negativo en una distancia mucho más corta. Lo mismo sucede si usted acelera un automóvil gradualmente y choca contra una pared. La fuerza tan grande necesaria para reducir la energía cinética a cero en una distancia corta es lo que daña el auto (y quizás a usted). 5 79,000 N 5 1960 N 2 60 N 2 0 J 2 5700 J 0.074 m n 5 w 2 f 2 K3 2 K2 s23 Wtot 5 1w 2 f 2 n 2 s23 5 K3 2 K2 Wtot 5 1w 2 f 2 n 2 s23 Significado de la energía cinética El ejemplo 6.4 ilustra el significado físico de la energía cinética. El martillo se deja caer del reposo y, al golpear la viga-I, su energía cinética es igual al trabajo total rea- lizado hasta ese punto por la fuerza neta. Esto se cumple en general: para acelerar una partícula de masa m desde el reposo (cero energía cinética) hasta una rapidez v, 6 .2 Energía cinética y el teorema trabajo-energía 191 el trabajo total efectuado sobre ella debe ser igual al cambio de energía cinética des- de 0 hasta Así, la energía cinética de una partícula es igual al trabajo total que se efectuó para acelerarla desde el reposo hasta su rapidez actual (figura 6.13). La definición no se eligió al azar: es la única definición que concuerda con esta inter- pretación de la energía cinética. En la segunda parte del ejemplo 6.4, se usó la energía cinética del martillo para efectuar trabajo sobre la viga-I y clavarla en el suelo. Esto nos brinda otra interpreta- ción: la energía cinética de una partícula es igual al trabajo que puede efectuar una partícula mientras se detiene. Por ello, hacemos hacia atrás la manoy el brazo cuan- do atrapamos una pelota. Al detenerse la pelota, realiza una cantidad de trabajo (fuer- za por distancia) sobre la mano igual a la energía cinética inicial de la pelota. Al hacer la mano hacia atrás, aumentamos la distancia donde actúa la fuerza y así reducimos la fuerza ejercida sobre nuestra mano. K 5 12 mv 2, Wtot 5 K 2 0 5 K K 5 12 mv 2: 6.13 Cuando un jugador de billar golpea una bola blanca en reposo, la energía cinética de la bola después de ser golpeada es igual al trabajo que el taco efectuó sobre ella. Cuanto mayor sea la fuerza ejercida por el taco y mayor sea la distancia que la bola se mueve mientras está en contacto con el taco, mayor será la energía cinética de la bola. 2m m F s Salida Meta F 6.14 Carrera entre veleros en el hielo. Ejemplo conceptual 6.5 Comparación de energías cinéticas Dos veleros para hielo como el del ejemplo 5.6 (sección 5.2) compiten en un lago horizontal sin fricción (figura 6.14). Los veleros tienen ma- sas m y 2m, respectivamente; pero sus velas son idénticas, así que el viento ejerce la misma fuerza constante sobre cada velero. Los 2 ve- leros parten del reposo y la meta está a una distancia s. ¿Cuál velero cruza la meta con mayor energía cinética? SOLUCIÓN Si usamos la definición matemática de energía cinética, [ecuación (6.5)] la respuesta a este problema no es tan evidente. El velero con masa 2m tiene mayor masa, y podríamos suponer que alcanza mayor energía cinética en la línea de meta; no obstante, el velero más pequeño de masa m cruza la meta con mayor rapidez, y podríamos suponer que este velero tiene mayor energía cinética. ¿Cómo decidimos? La forma correcta de enfocar el problema es recordar que la energía cinética de una partícula es igual al trabajo total realizado para ace- lerarla desde el reposo. Ambos veleros recorren la misma distancia s, y sólo la fuerza F en la dirección del movimiento realiza trabajo so- bre ellos. Por lo tanto, el trabajo total efectuado entre la salida y la meta es el mismo para los dos veleros, Wtot 5 Fs. En la meta, cada velero tie- ne una energía cinética igual al trabajo Wtot efectuado sobre él, ya que cada velero partió del reposo. Así, ¡ambos veleros tienen la misma energía cinética en la meta! K 5 12 mv 2, F S Quizás el lector piense que se trata de una pregunta “capciosa”, pero no es así. Si usted entiende realmente el significado físico de cantidades como la energía cinética, será capaz de resolver problemas de física con mayor rapidez y comprensión. Observe que no necesitamos mencionar el tiempo que cada velero tardó en llegar a la meta. La razón es que el teorema trabajo-energía no hace referencia directa al tiempo, sólo al desplazamiento. De hecho, el velero de masa m tarda menos tiempo en llegar a la meta, que el velero más grande de masa 2m, porque aquél tiene mayor aceleración. Trabajo y energía cinética en sistemas compuestos En esta sección nos hemos cuidado de aplicar el teorema trabajo-energía sólo a cuer- pos que podemos representar como partículas, esto es, como masas puntuales en mo- vimiento. En los sistemas complejos que deben representarse en términos de muchas partículas con diferentes movimientos, surgen aspectos más sutiles que no podemos ver con detalle en este capítulo. Sólo veremos un ejemplo. 192 C APÍTU LO 6 Trabajo y energía cinética x1 x2 F1x F2x x b) c) x Fx a) La partícula se mueve de x1 a x2 en respuesta a una fuerza cambiante en la dirección x. Gráfica de fuerza en función de la posición. x Fx x1 x2 x2 2 x1 F1x F2x Fax Fbx Fcx Fdx Fex Ffx La altura de cada franja representa la fuerza promedio para ese intervalo. x1 x2Δxa Δxc ΔxeΔxb Δxd Δxf 6.16 Cálculo del trabajo efectuado por una fuerza variable Fx en la dirección x cuando una partícula se mueve de x1 a x2. F r wr n2 rn1 r 6.15 Las fuerzas externas que actúan sobre un patinador que se empuja de una pared. El trabajo realizado por estas fuerzas es cero, pero aun así su energía cinética cambia. Evalúe su comprensión de la sección 6.2 Clasifique los siguientes cuerpos de acuerdo con su energía cinética, de menor a mayor. i) un cuerpo de 2.0 kg que se mueve a 5.0 m>s; ii) Un cuerpo de 1.0 kg que inicialmente estaba en reposo y que luego tiene 30 J de trabajo realizado sobre él; iii) un cuerpo de 1.0 kg que inicialmente estaba moviéndose a 4.0 m/s y luego tiene 20 J de trabajo efectuado sobre él; iv) un cuerpo de 2.0 kg que inicialmente estaba moviéndose a 10 m/s y luego hizo 80 J de trabajo sobre otro cuerpo. ❚ Considere a un niño parado en patines, sin fricción, sobre una superficie horizontal viendo hacia una pared rígida (figura 6.15). Él empuja la pared, poniéndose en movi- miento hacia la derecha. Sobre el niño actúan su peso las fuerzas normales y hacia arriba ejercidas por el suelo sobre sus patines, y la fuerza horizontal ejercida sobre el niño por la pared. No hay desplazamiento vertical, así que y no efectúan trabajo. es la fuerza que lo acelera a la derecha, pero el punto donde se aplica (las manos del niño) no se mueve, así que tampoco efectúa trabajo. ¿De dón- de proviene entonces la energía cinética del niño? El asunto es que simplemente no es correcto representar al niño como una masa puntual. Para que el movimiento se dé como se describió, diferentes partes del cuerpo deben tener diferentes movimientos; las manos están estacionarias contra la pared y el torso se aleja de ésta. Las diversas partes del cuerpo interactúan y una puede ejer- cer fuerzas y realizar trabajo sobre otra. Por lo tanto, la energía cinética total de este sistema de partes corporales compuesto puede cambiar, aunque no realicen trabajo las fuerzas aplicadas por cuerpos (como la pared) externos al sistema. En el capítulo 8 veremos más a fondo el movimiento de un conjunto de partículas que interactúan. Descubriremos que, al igual que en el niño del ejemplo, la energía cinética total del sistema puede cambiar aun cuando el exterior no realice trabajo sobre alguna parte del sistema. F S F S nS2w S, nS1 F S nS2n S 1w S, 6.3 Trabajo y energía con fuerza variable Hasta ahora hemos considerado sólo trabajo efectuado por fuerzas constantes. Pero, ¿qué sucede cuando estiramos un resorte? Cuanto más lo estiramos, con más fuerza debemos tirar, así que la fuerza ejercida no es constante al estirarlo. También anali- zamos únicamente movimiento rectilíneo. Podemos imaginar muchas situaciones en las que una fuerza que varía en magnitud, dirección o ambas cosas actúa sobre un cuerpo que sigue una trayectoria curva. Necesitamos poder calcular el trabajo reali- zado por la fuerza en estos casos más generales. Por fortuna, veremos que el teorema trabajo-energía se cumple aun cuando las fuerzas varían y la trayectoria del cuerpo no es recta. Trabajo efectuado por una fuerza variable, movimiento rectilíneo Agreguemos sólo una complicación a la vez. Consideremos un movimiento rectilíneo en el eje x con una fuerza cuya componente x Fx varía conforme se mueve el cuerpo. (Un ejemplo de la vida cotidiana es conducir un automóvil en una carretera recta, pero el conductor está acelerando y frenando constantemente.) Suponga que una partícula se mueve sobre el eje x de x1 a x2 (figura 6.16a). La figura 6.16b es una gráfica de la componente x de la fuerza en función de la coordenada x de la partícula. Para deter- minar el trabajo realizado por esta fuerza, dividimos el desplazamiento total en seg- mentos pequeños, Dxa, Dxb, etcétera (figura 6.16c). Aproximamos el trabajo realizado por la fuerza en el segmento Dxa como la componente x media de fuerza Fax en ese segmento multiplicada por el desplazamiento Dxa. Hacemos esto para cada segmento y después sumamos los resultados. El trabajo realizado por la fuerza en el desplaza- miento total de x1 a x2 es aproximadamente W 5 Fax Dxa 1 Fbx Dxb 1 c 6 .3 Trabajo y energía con fuerza variable 193 Fx O x x1 s 5 x2 � x1 F x2 El área rectangular bajo la línea representa el trabajo efectuado por la fuerza constante de magnitud F duranteel desplazamiento s: W 5 Fs 6.17 El trabajo realizado por una fuerza constante F en la dirección x conforme una partícula se mueve de x1 a x2. x 2Fx Fx 5 kx 6.18 La fuerza necesaria para estirar un resorte ideal es proporcional a su alarga- miento: Fx 5 kx. El área triangular bajo la línea representa el trabajo realizado sobre el resorte cuando éste se estira de x 5 0 a un valor máximo X: W 5 kX 212 Fx O x kX X Fx 5 kx 6.19 Cálculo del trabajo efectuado para estirar un resorte una longitud X. En el límite donde el número de segmentos se hace muy grande y su anchura muy pe- queña, la suma se convierte en la integral de Fx de x1 a x2: (6.7) Observe que FaxDxa es el área de la primera franja vertical de la figura 6.16c y que la integral de la ecuación (6.7) representa el área bajo la curva de la figura 6.16b entre x1 y x2. En una gráfica de fuerza en función de posición, el trabajo total realizado por la fuerza está representado por el área bajo la curva entre las posiciones inicial y final. Otra interpretación de la ecuación (6.7) es que el trabajo W es igual a la fuerza media que actúa en todo el desplazamiento, multiplicada por el desplazamiento. Si Fx, la componente x de la fuerza, es constante puede sacarse de la integral de la ecuación (6.7): (fuerza constante) Pero x2 2 x1 5 s, el desplazamiento total de la partícula. Así, en el caso de una fuerza constante F, la ecuación (6.7) indica que W 5 Fs, lo cual coincide con la ecuación (6.1). La interpretación del trabajo como el área bajo la curva de Fx en función de x también es válida para una fuerza constante; W 5 Fs es el área de un rectángulo de altura F y anchura s (figura 6.17). Apliquemos ahora lo aprendido al resorte estirado. Para mantener un resorte esti- rado una distancia x más allá de su longitud sin estiramiento, debemos aplicar una fuerza de igual magnitud en cada extremo (figura 6.18). Si el alargamiento x no es excesivo, vemos que la fuerza aplicada al extremo derecho tiene una componente x directamente proporcional a x: (fuerza requerida para estirar un resorte) (6.8) donde k es una constante llamada constante de fuerza (o constante de resorte) del re- sorte. Las unidades de k son fuerza dividida entre distancia, N>m en el SI y lb>ft en unidades británicas. Un resorte blando de juguete (como Slinky™) tiene una constan- te de fuerza de cerca de 1 N>m; para los resortes mucho más rígidos de la suspensión de un automóvil, k es del orden de 105 N>m. La observación de que el alargamiento (no excesivo) es proporcional a la fuerza fue hecha por Robert Hooke en 1678 y se conoce como ley de Hooke; sin embargo, no debería llamarse “ley”, pues es una afir- mación acerca de un dispositivo específico y no una ley fundamental de la naturaleza. Los resortes reales no siempre obedecen la ecuación (6.8) con precisión, aunque se trata de un modelo idealizado útil. Veremos esta ley más a fondo en el capítulo 11. Para estirar un resorte, debemos efectuar trabajo. Aplicamos fuerzas iguales y opuestas a los extremos del resorte y las aumentamos gradualmente. Mantenemos fijo el extremo izquierdo, así que la fuerza aplicada en este punto no efectúa trabajo. La fuerza en el extremo móvil sí efectúa trabajo. La figura 6.19 es una gráfica de Fx con- tra x, el alargamiento del resorte. El trabajo realizado por Fx cuando el alargamiento va de cero a un valor máximo X es (6.9) También podemos obtener este resultado gráficamente. El área del triángulo sombrea- do de la figura 6.19, que representa el trabajo total realizado por la fuerza, es igual a la mitad del producto de la base y la altura: W 5 1 2 1X 2 1 kX 2 5 1 2 kX2 W 5 3 X 0 Fx dx 5 3 X 0 kx dx 5 1 2 kX2 Fx 5 kx W 5 3 x2 x1 Fx dx 5 Fx 3 x2 x1 dx 5 Fx 1 x2 2 x1 2 (componente x de fuerza variable, desplazamiento rectilíneo) W 5 3 x2 x1 Fx dx 194 C APÍTU LO 6 Trabajo y energía cinética 6.20 Cálculo del trabajo efectuado para estirar un resorte desde cierta extensión hasta una extensión mayor. El área trapezoidal bajo la línea representa el trabajo efectuado sobre el resorte para estirarlo de x 5 x1 a x 5 x2: W 5 kx2 2 2 kx1 21 2 1 2 x x x 5 0 x 5 x1 x 5 x2 x 5 0 x 5 x1 x 5 x2 kx1 kx2 a) Estiramiento de un resorte de un alargamiento x1 a un alargamiento x2 b) Gráfica de fuerza contra distancia Fx Esta ecuación también indica que el trabajo es la fuerza media kx>2 multiplicada por el desplazamiento total X. Vemos que el trabajo total es proporcional al cuadrado del alargamiento final X. Para estirar un resorte ideal 2 cm, necesitamos efectuar cuatro veces más trabajo que para estirarlo 1 cm. La ecuación (6.9) supone que el resorte no estaba estirado originalmente. Si el re- sorte ya está estirado una distancia x1, el trabajo necesario para estirarlo a una distan- cia mayor x2 (figura 6.20) es (6.10) El lector debería utilizar lo que sabe de geometría para convencerse de que el área trapezoidal bajo la línea en la figura 6.20b está dada por la expresión de la ecuación (6.10). Si el resorte tiene espacios entre las espiras cuando no está estirado, también pue- de comprimirse. La ley de Hooke se cumple también para la compresión. En este ca- so, la fuerza y el desplazamiento tienen direcciones opuestas a las de la figura 6.18, así que Fx y x en la ecuación (6.8) son ambas negativas. Puesto que tanto Fx como x se invierten, de nuevo la fuerza tiene la dirección del desplazamiento y el trabajo reali- zado por Fx otra vez es positivo. El trabajo total sigue siendo el dado por la ecuación (6.9) o por la (6.10), aun si X es negativo o x1 o x2, o ambos, son negativos. CUIDADO Trabajo efectuado sobre un resorte contra trabajo efectuado por un resorte Observe que el trabajo dado por la ecuación (6.10) es el que usted debe efectuar sobre un re- sorte para alterar su longitud. Por ejemplo, si estira un resorte que originalmente está relajado, x1 5 0, x2 . 0 y W . 0. Ello se debe a que la fuerza aplicada por usted a un extremo del resorte tiene la misma dirección que el desplazamiento y a que el trabajo efectuado es positivo. En con- traste, el trabajo que el resorte efectúa sobre el objeto al que se une está dado por el negativo de la ecuación (6.10). Por lo tanto, cuando estiramos un resorte, éste efectúa trabajo negativo sobre nosotros. ¡Fíjese bien en el signo del trabajo para evitar confusiones más adelante! ❚ W 5 3 x2 x1 Fx dx 5 3 x2 x1 kx dx 5 1 2 kx2 2 2 1 2 kx1 2 Ejemplo 6.6 Trabajo sobre una balanza de resorte Una mujer que pesa 600 N se sube a una báscula que contiene un re- sorte rígido (figura 6.21). En equilibrio, el resorte se comprime 1.0 cm bajo su peso. Calcule la constante de fuerza del resorte y el trabajo to- tal efectuado sobre él durante la compresión. SOLUCIÓN IDENTIFICAR: En equilibrio, la fuerza hacia arriba ejercida por el re- sorte equilibra la fuerza hacia abajo del peso de la mujer. Usaremos es- te principio y la ecuación (6.8) para determinar la constante de fuerza k, y emplearemos la ecuación (6.10) para calcular el trabajo W que la mujer efectúa sobre el resorte para comprimirlo. PLANTEAR: Hacemos que los valores positivos de x correspondan al alargamiento (hacia arriba en la figura 6.21), de modo que tanto el des- plazamiento del resorte (x) como la componente x de la fuerza que la mujer ejerce sobre él (Fx) son negativos. EJECUTAR: La parte superior del resorte se desplaza x 5 21.0 cm 5 20.010 m y la fuerza que la mujer aplica al resorte es Fx 5 2600 N. Por la ecuación (6.8), la constante de fuerza es Entonces, usando x1 5 0 y x2 5 20.010 m en la ecuación (6.10), EVALUAR: La fuerza aplicada y el desplazamiento del extremo del re- sorte tuvieron la misma dirección, así que el trabajo efectuado debe haber sido positivo, tal como lo calculamos. Nuestra selección arbitra- ria de la dirección positiva no afecta el valor de W obtenido. (Com- pruébelo haciendo que la dirección 1x corresponda a una compresión (hacia abajo). Obtendrá los mismos valores de k y W.) 5 1 2 1 6.0 3 104 N/m 2120.010 m 2 2 2 0 5 3.0 J W 5 1 2 kx2 2 2 1 2 kx1 2 k 5 Fx x 5 2600 N 20.010 m 5 6.0 3 104 N/m Por nuestra elección del eje, tanto la componente de fuerza como el desplaza- miento son negativos. El trabajo realizado sobre el resorte es positivo. 21.0 cm 1x Fx , 0 6.21 Compresión de un resorte en una báscula de baño. 6 .3 Trabajo y energía con fuerza variable 195 Teorema trabajo-energía para movimiento rectilíneo, con fuerzas variables En la sección 6.2 dedujimos el teorema trabajo-energía, Wtot 5 K2 2 K1, para el caso específico de movimiento rectilíneo con fuerza neta constante. Ahora podemos de- mostrar que dicho teorema se cumple aun si la fuerza varía con la posición. Al igual que en la sección 6.2, consideremos una partícula que sufre un desplazamiento x bajo la acción de una fuerza neta F con componente x, que ahora permitimos variar. Como en la figura 6.16, dividimos el desplazamiento total en muchos segmentos pequeños Dx. Podemos aplicar el teorema trabajo-energía, ecuación (6.6), a cada segmento porque el valor de Fx es aproximadamente constante en cada uno. El cambio de energía ciné- tica en el segmento Dxa es igual al trabajo FaDxa, y así sucesivamente. El cambio total de la energía cinética es la suma de los cambios en los segmentos individuales y, por lo tanto, igual al trabajo total efectuado sobre la partícula en todo el desplazamiento. Así, Wtot 2 DK se cumple para fuerzas variables y también para fuerzas constantes. Veamos una deducción alternativa del teorema trabajo-energía para una fuerza que varía con la posición, la cual implica hacer un cambio de variable usando vx en vez de x en la integral de trabajo. Para ello, recordamos que la aceleración a de una partícula puede expresarse de varias formas. Usando ax 5 dvx>dt, vx 5 dx>dt y la regla de la ca- dena para derivadas: (6.11) Con este resultado, la ecuación (6.7) nos dice que el trabajo total efectuado por la fuerza neta Fx es (6.12) Ahora, (dvx>dx) dx es el cambio de velocidad dvx durante el desplazamiento dx, así que podemos sustituir dvx por (dvx>dx) dx en la ecuación (6.12). Esto cambia la varia- ble de integración de x a vx, así que cambiamos los límites de x1 y x2 a las velocidades correspondientes v1 y v2 en esos puntos. Esto nos da La integral de vxdvx es vx 2>2. Sustituyendo los límites, tenemos finalmente (6.13) Ésta es la ecuación (6.6). Por lo tanto, el teorema trabajo-energía es válido aun sin el supuesto de que la fuerza neta es constante. Wtot 5 1 2 mv2 2 2 1 2 mv1 2 Wtot 5 3 v2 v1 mvx dvx Wtot 5 3 x2 x1 Fx dx 5 3 x2 x1 max dx 5 3 x2 x1 mvx dvx dx dx ax 5 dvx dt 5 dvx dx dx dt 5 vx dvx dx Un deslizador de riel de aire con masa de 0.100 kg se conecta al ex- tremo del riel horizontal con un resorte cuya constante de fuerza es 20.0 N>m (figura 6.22a). Inicialmente, el resorte no está estirado y el deslizador se mueve con rapidez de 1.50 m>s a la derecha. Calcule la distancia máxima d que el deslizador se mueve a la derecha, a) si el riel está activado, de modo que no hay fricción; y b) si se corta el su- ministro de aire al riel, de modo que hay fricción cinética con coefi- ciente mk 5 0.47. SOLUCIÓN IDENTIFICAR: La fuerza ejercida por el resorte no es constante, así que no podemos usar las fórmulas de aceleración constante del capítu- lo 2 al resolver este problema. En cambio, emplearemos el teorema trabajo-energía, en el que interviene la distancia recorrida (nuestra in- cógnita) a través de la ecuación para el trabajo. PLANTEAR: En las figuras 6.22b y 6.22c, elegimos la dirección 1x a la derecha (la dirección del movimiento del deslizador), con x 5 0 en la posición inicial del deslizador (donde el resorte está relajado) y x 5 d (la incógnita) en la posición donde se detiene el deslizador. En ambos casos, el movimiento es exclusivamente horizontal, así que sólo las fuerzas horizontales realizan trabajo. Cabe señalar que la ecuación (6.10) da el trabajo efectuado sobre el resorte al estirarse; no obstante, si queremos usar el teorema trabajo-energía necesitaremos el trabajo Ejemplo 6.7 Movimiento con fuerza variable continúa 196 C APÍTU LO 6 Trabajo y energía cinética Teorema trabajo-energía para movimientos en una curva Podemos generalizar nuestra definición de trabajo para incluir una fuerza que varía en dirección, no sólo en magnitud, con un desplazamiento curvo. Suponga que una partícula se mueve de P1 a P2 siguiendo una curva, como se muestra en la figura 6.23a. Dividimos la curva entre esos puntos en muchos desplazamientos vectoria- les infinitesimales, siendo uno representativo. Cada es tangente a la trayec- toria en su posición. Sea la fuerza en un punto representativo de la trayectoria, y sea f el ángulo entre y en ese punto. De manera que el elemento pequeño de trabajo dW realizado sobre la partícula durante el desplazamiento puede escribirse como dW 5 F cos f dl 5 Fi dl 5 F S # d lS d l S d l S F S F S d l S d l S a) k m v1 b) Diagrama de cuerpo libre para el deslizador sin fricción c) Diagrama de cuerpo libre para el deslizador con fricción cinética resorteresorte resorteresorte 6.22 a) Deslizador sujeto a un riel de aire con un resorte. b) y c) Diagrama de cuerpo libre. d 5 2 1 0.461 N 2 6 "1 0.461 N 2 2 2 4 110.0 N/m 2 120.113 N # m 2 2 1 10.0 N/m 2 Usamos d para representar un desplazamiento positivo, así que sólo tiene sentido el valor positivo de d. Así, con fricción, el deslizador se mueve una distancia EVALUAR: Con fricción, son menores el desplazamiento del desliza- dor y el estiramiento del resorte, como esperábamos. Una vez más, el deslizador se detiene momentáneamente y de nuevo el resorte tira de él hacia la izquierda; que se mueva o no dependerá de la magnitud de la fuerza de fricción estática. ¿Qué valor debería tener el coeficien- te de fricción estática ms para evitar que el deslizador regrese a la izquierda? d 5 0.086 m 5 8.6 cm 5 0.086 m o 20.132 m efectuado por el resorte sobre el deslizador, es decir, el negativo de la ecuación (6.10). EJECUTAR: a) Al moverse de x1 5 0 a x2 5 d, el deslizador efectúa sobre el resorte un trabajo dado por la ecuación (6.10): W 5 El resorte efectúa sobre el deslizador un tra- bajo igual pero negativo: El resorte se estira hasta que el desli- zador se detiene momentáneamente, así que la energía cinética final del deslizador es K2 5 0. Su energía cinética inicial es donde v1 5 1.50 m>s es la rapidez inicial del deslizador. Usando el teorema trabajo-energía, tenemos Despejamos la distancia d que recorre el deslizador: 5 0.106 m 5 10.6 cm d 5 v1 Å m k 5 1 1.50 m/s 2Å 0.100 kg 20.0 N/m 2 1 2 kd2 5 0 2 1 2 mv1 2 1 2 mv1 2, 2 12kd 2. 1 2 kd 2 2 12 k 10 2 2 5 12 kd2. Después, el resorte estirado tira del deslizador hacia la izquierda, así que éste sólo está en reposo momentáneamente. b) Si se apaga el aire, debemos incluir el trabajo efectuado por la fuerza de fricción cinética constante. La fuerza normal n es igual en magnitud al peso del deslizador, ya que el riel es horizontal y no hay otras fuerzas verticales. La magnitud de la fuerza de fricción cinética es, entonces, dirigida opuesta al desplazamiento, y el trabajo que efectúa es El trabajo total es la suma de Wfric y el trabajo realizado por el resorte, kd 2. Por lo tanto, el teorema trabajo energía indica que Ésta es una ecuación cuadrática en d. Las soluciones son 110.0 N/m 2 d2 1 10.461 N 2 d 2 10.113 N # m 2 5 0 5 2 1 2 10.100 kg 2 11.50 m/s 2 2 2 10.47 2 1 0.100 kg 2 19.8 m/s2 2d 2 12 1 20.0 N/m 2d2 2mk mgd 2 1 2 kd2 5 0 2 1 2 mv1 2 2 12 Wfric 5 fk d cos 180° 5 2fk d 5 2mk mgd fk 5 mk n 5 mk mg 6 .3 Trabajo y energía con fuerza variable 197 donde es la componente de en la dirección paralela a (figura 6.23b). El trabajo total realizado por sobre la partícula al moverse de P1 a P2 es, entonces, (6.14) Ahora podemos demostrar que el teorema trabajo-energía, ecuación (6.6), cum- ple aún con fuerzas variables y desplazamiento en una trayectoriacurva. La fuerza es prácticamente constante en cualquier segmento infinitesimal de la trayectoria, así que podemos aplicar el teorema trabajo-energía para movimiento rectilíneo a ese segmento. Entonces, el cambio de energía cinética de la partícula en ese segmento, K, es igual al trabajo realizado sobre la partícula. La suma de estos trabajos infinitesimales de todos los segmentos de la trayectoria nos da el tra- bajo total realizado, ecuación (6.14), que es igual al cambio total de energía cinética en toda la trayectoria. Por lo tanto, Wtot 5 DK 5 K2 2 K1 se cumple en general, sea cual fuere la trayectoria y el carácter de las fuerzas. Esto puede demostrarse con ma- yor rigor usando pasos como los de las ecuaciones (6.11) a (6.13) (véase el problema de desafío 6.104). Observe que sólo la componente de la fuerza neta paralela a la trayectoria, realiza trabajo sobre la partícula, así que sólo dicha componente puede cambiar la rapidez y la energía cinética de la partícula. La componente perpendicular a la tra- yectoria, F' 5 F sen f, no afecta la rapidez de la partícula; sólo cambia su dirección. La integral de la ecuación (6.14) es una integral de línea. Para evaluar la integral en un problema específico, necesitamos una descripción detallada de la trayectoria y de cómo varía a lo largo de ésta. Normalmente expresamos la integral de línea en términos de alguna variable escalar, como en el ejemplo que sigue. F S Fi , dW 5 Fi dl 5 F S # d lS d l S F S (trabajo en una trayectoria curva)W 5 3 P2 P1 F cos f dl 5 3 P2 P1 Fi dl 5 3 P2 P1 F S # d lS F S d l S F S Fi 5 F cos f 6.23 Una partícula sigue una trayectoria curva de P1 a P2 bajo la acción de una fuerza que varía en magnitud y dirección. F S sensen s a) R b) Diagrama de cuerpo libre de Morton (se desprecia el peso de las cadenas y del asiento) u uF S dl S 6.24 a) Empujando al primo Morton en un columpio. b) Diagrama de cuerpo libre. Ejemplo 6.8 Movimiento en una trayectoria curva I En un día de campo familiar, le piden a usted empujar a su odioso pri- mo Morton en un columpio (figura 6.24a). El peso de Morton es w, la longitud de las cadenas es R, y usted lo empuja hasta que las cadenas forman un ángulo u0 con la vertical. Para ello, usted ejerce una fuerza horizontal variable que comienza en cero y aumenta gradualmente apenas lo suficiente para que Morton y el columpio se muevan lenta- mente y permanezcan casi en equilibrio. ¿Qué trabajo total realizan to- das las fuerzas sobre Morton? ¿Qué trabajo realiza la tensión T en las cadenas? ¿Qué trabajo efectúa usted aplicando la fuerza (Ignore el peso de las cadenas y el asiento.) SOLUCIÓN IDENTIFICAR: El movimiento sigue una curva, así que usaremos la ecuación (6.14) para calcular el trabajo efectuado por la fuerza neta, por la fuerza de tensión y por la fuerza PLANTEAR: La figura 6.24b muestra el diagrama de cuerpo libre y el sistema de coordenadas. Sustituimos las dos tensiones de las cadenas por una sola tensión, T. EJECUTAR: Hay dos formas de obtener el trabajo total efectuado du- rante el movimiento: 1. calculando el trabajo efectuado por cada fuerza y sumando después las cantidades de esos trabajos, y 2. calculando el trabajo efectuado por la fuerza neta. La segunda estrategia es mucho más fácil. Puesto que en esta situación Morton está siempre en equili- brio, la fuerza neta sobre él es cero, la integral de la fuerza neta de la ecuación (6.14) es cero y el trabajo total realizado sobre él por todas las fuerzas es cero. F S . F S ? F S También es fácil calcular el trabajo efectuado sobre Morton por la tensión de las cadenas, porque esta fuerza es perpendicular a la direc- ción del movimiento en todos los puntos de la trayectoria. Por lo tanto, en todos los puntos, el ángulo entre la tensión de la cadena y el vector de desplazamiento es 908, en tanto que el producto escalar de la ecuación (6.14) es cero. De esta manera, el trabajo realizado por la ten- sión de la cadena es cero. d l S continúa 198 C APÍTU LO 6 Trabajo y energía cinética Para calcular el trabajo realizado por debemos averiguar cómo esta fuerza varía con el ángulo u. La fuerza neta sobre Morton es cero, así que gFx 5 0 y gFy 5 0. De la figura 6.24b obtenemos Eliminando T de estas dos ecuaciones: El punto donde se aplica describe el arco s, cuya longitud s es igual al radio R de la trayectoria circular multiplicado por su longitud u (en radianes): s 5 Ru. Por lo tanto, el desplazamiento que corres- ponde al pequeño cambio de ángulo du tiene magnitud dl 5 ds 5 R du. El trabajo efectuado por es W 5 3FS # d lS 5 3F cos u ds F S d l S F S F 5 w tan u aFy 5 T cos u 1 12w 2 5 0 aFx 5 F 1 12T sen u 2 5 0 F S , Expresando ahora todo en términos del ángulo u, cuyo valor se incre- menta de 0 a u0: EVALUAR: Si u0 5 0, no hay desplazamiento; en tal caso, cos u0 5 1 y W 5 0, como esperábamos. Si u0 5 908, entonces, cos u0 5 0 y W 5 wR. Aquí el trabajo que usted realiza es el mismo que efectuaría si levantara a Morton verticalmente una distancia R con una fuerza igual a su peso w. De hecho, la cantidad R(1 2 cos u0) es el aumento en su altura sobre el suelo durante el desplazamiento, por lo que, para cualquier valor de u0, el trabajo efectuado por es el cambio de altura multiplicado por el peso. Éste es un ejemplo de un resultado más ge- neral que demostraremos en la sección 7.1. F S 5 wR 1 1 2 cos u0 2 W 5 3 u0 0 1w tan u 2 cos u 1R du 2 5 wR3 u0 0 sen u du Ejemplo 6.9 Movimiento en una trayectoria curva II En el ejemplo 6.8, el desplazamiento infinitesimal (figura 6.24a) tiene magnitud ds, su componente x es ds cos u y su componente y es ds sen u. Por lo tanto, Use esta expre- sión y la ecuación (6.14) para calcular el trabajo efectuado durante el movimiento por la tensión de la cadena, por la fuerza de gravedad y por la fuerza SOLUCIÓN IDENTIFICAR: De nuevo utilizamos la ecuación (6.14), utilizando la ecuación (1.21) para obtener el producto escalar en términos de com- ponentes. PLANTEAR: Usamos el mismo diagrama de cuerpo libre del ejemplo 6.8 (figura 6.24b). EJECUTAR: La figura 6.24b nos indica que podemos escribir las tres fuerzas en términos de vectores unitarios: Para utilizar la ecuación (6.14), tenemos que calcular el producto es- calar de cada una de estas fuerzas con Usando la ecuación (1.21), F S # d lS 5 F 1ds cos u 2 5 F cos u ds wS # d lS 5 12w 2 1ds sen u 2 5 2w sen u ds T S # d lS 5 12T sen u 2 1ds cos u 2 1 1T cos u 2 1 ds sen u 2 5 0 d l S . F S 5 d̂F wS 5 ê 12w 2 T S 5 d̂ 12T sen u 2 1 êT cos u F S . d l S 5 d̂ ds cos u 1 ê ds sen u. d l S Puesto que la integral de esta cantidad es cero y el trabajo efectuado por la tensión de la cadena es cero (tal como vimos en el ejemplo 6.8). Utilizando ds 5 Rdu como en el ejemplo 6.8, el trabajo efectuado por la fuerza de gravedad es El trabajo efectuado por la gravedad es negativo porque la gravedad ti- ra hacia abajo mientras Morton se mueve hacia arriba. Por último, el trabajo efectuado por la fuerza es la integral que calculamos en el ejemplo 6.8; la respuesta es EVALUAR: Como comprobación de las respuestas, vemos que la suma de las tres cantidades de trabajo es cero. Esto es lo que concluimos en el ejemplo 6.8 empleando el teorema trabajo-energía. El método de componentes suele ser la forma más cómoda de calcular productos escalares. ¡Úselo cuando facilite las cosas! 1wR 1 1 2 cos u0 2 . ∫ FS # d lS 5 ∫F cos u ds,FS 5 2wR 11 2 cos u0 2 3wS # d lS 5 3 12w sen u 2 R du 5 2wR3 u0 0 sen u du T S # d lS 5 0, Evalúe su comprensión de la sección 6.3 En el ejemplo 5.21 (sección 5.4), analizamos un péndulo cónico. La rapidez de la lenteja del péndulo permanece constante mientras viaja por el círculo que se muestra en la figura 5.32a. a) En un círculo completo, ¿cuánto trabajo ejerce la fuerza de tensión F sobre la lenteja? i) una cantidad positi- va; ii) una cantidad negativa; iii) cero. b) En un círculo completo, ¿cuánto trabajo ejerce el pe- so sobre la lenteja? i) unacantidad positiva; ii) una cantidad negativa; iii) cero. ❚ 6 .4 Potencia 199 6.4 Potencia La definición de trabajo no menciona el paso del tiempo. Si usted levanta una barra que pesa 100 N a una distancia vertical de 1.0 m con velocidad constante, realiza (100 N) (1.0 m) 5 100 J de trabajo, ya sea que tarde 1 segundo, 1 hora o 1 año. No obstante, muchas veces necesitamos saber con qué rapidez se efectúa trabajo. Describimos esto en términos de potencia. En el habla cotidiana, “potencia” suele emplearse como si- nónimo de “energía” o “fuerza”. En física usamos una definición mucho más precisa: potencia es la rapidez con que se efectúa trabajo; al igual que el trabajo y la energía, la potencia es una cantidad escalar. Si se realiza un trabajo DW en un intervalo Dt, el trabajo medio efectuado por uni- dad de tiempo o potencia media Pmed se define como (potencia media) (6.15) La rapidez con que se efectúa trabajo quizá no sea constante. Podemos definir la po- tencia instantánea P como el cociente de la ecuación (6.15) cuando Dt se aproxima a cero: (potencia instantánea) (6.16) En el SI la unidad de potencia es el watt (W), llamada así por el inventor inglés Ja- mes Watt. Un watt es igual a un joule por segundo: 1 W 5 1 J>s (figura 6.25). Tam- bién son de uso común el kilowatt (1 kW 5 103 W) y el megawatt (1 MW 5 106 W). En el sistema británico, el trabajo se expresa en pie-libras, y la unidad de potencia es el pie-libra por segundo. También se usa una unidad mayor, el caballo de potencia (hp) (figura 6.26): Es decir, un motor de 1 hp que trabaja con carga completa realiza de tra- bajo cada minuto. Un factor de conversión útil es El watt es una unidad común de potencia eléctrica; una bombilla eléctrica de 100 W convierte 100 J de energía eléctrica en luz y calor cada segundo. Sin embargo, los watts no son inherentemente eléctricos. Una bombilla podría especificarse en térmi- nos de caballos de potencia; mientras que algunos fabricantes de automóviles especi- fican sus motores en términos de kilowatts. El kilowatt-hora es la unidad comercial usual de energía eléctrica. Un kilowatt-hora es el trabajo total realizado en 1 hora (3600 s) cuando la potencia es 1 kilowatt (103 J>s), así que El kilowatt-hora es una unidad de trabajo o energía, no de potencia. En mecánica, también podemos expresar la potencia en términos de fuerza y velo- cidad. Suponga que una fuerza actúa sobre un cuerpo que tiene un desplazamiento Si es la componente de tangente a la trayectoria (paralela a ), el trabajo realizado por la fuerza es DW 5 Ds, y la potencia media es (6.17) La potencia instantánea P es el límite de esta expresión cuando (6.18)P 5 Fi v Dt S 0: Pmed 5 FiDs Dt 5 Fi Ds Dt 5 Fi vmed Fi D sSF S FiD s S. F S 1 kW # h 5 1 103 J/s 2 13600 s 2 5 3.6 3 106 J 5 3.6 MJ 1kW # h 2 1 hp 5 746 W 5 0.746 kW 33,000 ft # lb 1 hp 5 550 ft # lb/s 5 33,000 ft # lb/min P 5 lím DtS0 DW Dt 5 dW dt Pmed 5 DW Dt t 5 5 s t 5 0 t 5 0 Trabajo que efectúa usted sobre la caja para levantarla en 5 s: W 5 100 J 20 W Su rendimiento de potencia: P 5 5 5 W t 100 J 5 s t 5 1 s Trabajo que efectúa usted sobre la misma caja para levantarla a la misma distancia en 1 s: W 5 100 J 100 W Su rendimiento de potencia: P 5 5 5 W t 100 J 1 s 6.25 La misma cantidad de trabajo se efectúa en ambas situaciones, pero la potencia (la rapidez a la que se realiza el trabajo) es diferente. 6.26 El valor del caballo de potencia se dedujo de los experimentos de James Watt, quien midió que un caballo podría hacer 33,000 pies-libra de trabajo por minuto, al levantar carbón de una mina abierta. 200 C APÍTU LO 6 Trabajo y energía cinética donde v es la magnitud de la velocidad instantánea. También podemos expresar la ecuación (6.18) en términos del producto escalar: (rapidez instantánea con que la fuerza realiza trabajo sobre una partícula) (6.19)F S P 5 F S # vS Ejemplo 6.10 Fuerza y potencia Cada uno de los dos motores a reacción de un avión Boeing 767 desa- rrolla un empuje (fuerza hacia adelante sobre el avión) de 197,000 N (44,300 lb). Cuando el avión está volando a 250 m>s (900 km>h o aproximadamente 560 mi7h), ¿cuántos caballos de potencia desarrolla cada motor? SOLUCIÓN IDENTIFICAR: La incógnita es la potencia instantánea P, que es la ra- pidez con que el empuje efectúa trabajo. PLANTEAR: Usamos la ecuación (6.18). El empuje tiene la dirección del movimiento, así que es simplemente igual al empuje. EJECUTAR: Con v 5 250 m>s, cada motor desarrolla una potencia: EVALUAR: La rapidez de los aviones comerciales modernos depende directamente de la potencia de los motores (figura 6.27). Los motores más grandes de los aviones de hélice de la década de 1950 desarrolla- ban aproximadamente 3400 hp (2.5 3 106 W) y tenían rapideces máxi- mas del orden de 600 km>h (370 mi>h). La potencia de cada motor de un Boeing 767 es casi 20 veces mayor, y permite al avión volar a cerca de 900 km>h (560 mi>h) y llevar una carga mucho más pesada. Si los motores están produciendo el empuje máximo mientras el avión está en reposo en tierra, de manera que v 5 0, la potencia desa- rrollada por los motores es cero. ¡Fuerza y potencia no son lo mismo! 5 14.93 3 107 W 2 1 hp 746 W 5 66,000 hp P 5 Fi v 5 11.97 3 105 N 2 1250 m/s 2 5 4.93 3 107 W Fi a) b) 6.27 a) Avión impulsado por hélice y b) avión con motor a reacción. Ejemplo 6.11 Un “potente ascenso” Una maratonista de 50.0 kg sube corriendo las escaleras de la Torre Sears de Chicago de 443 m de altura, el edificio más alto de Estados Unidos (figura 6.28). ¿Qué potencia media en watts desarrolla si llega a la azotea en 15.0 minutos? ¿En kilowatts? ¿Y en caballos de potencia? SOLUCIÓN IDENTIFICAR: Trataremos a la corredora como una partícula de masa m. La potencia media que desarrolla Pmed debe ser suficiente para subirla a una rapidez constante contra la gravedad. PLANTEAR: Podemos calcular Pmed que desarrolla de dos maneras: 1. determinando primero cuánto trabajo debe efectuar y dividiendo luego ese trabajo entre el tiempo transcurrido, como en la ecuación (6.15); o bien, 2. calculando la fuerza media hacia arriba que la co- rredora debe ejercer (en la dirección del ascenso) y multiplicándola después por su velocidad hacia arriba, como en la ecuación (6.17). EJECUTAR: Como en el ejemplo 6.8, para levantar una masa m contra la gravedad se requiere una cantidad de trabajo igual al peso mg multi- plicado por la altura h que se levanta. Por lo tanto, el trabajo que la co- rredora debe efectuar es 5 2.17 3 105 J W 5 mgh 5 1 50.0 kg 2 19.80 m/s2 2 1443 m 2 6.28 ¿Cuánta potencia se necesita para subir corriendo las escale- ras de la Torre Sears de Chicago en 15 minutos? 6 .4 Potencia 201 Evalúe su comprensión de la sección 6.4 El aire que circunda un avión en pleno vuelo ejerce una fuerza de arrastre que actúa de manera opuesta al movimiento del avión. Cuando el Boeing 767 del ejemplo 6.10 vuela en línea recta a una altura constante a 250 m>s constantes, ¿cuál es la tasa con que la fuerza de arrastre efectúa trabajo sobre él? i) 132,000 hp; ii) 66,000 hp; iii) 0; iv) 266,000 hp; v) 2132,000 hp. ❚ El tiempo es 15.0 min 5 900 s, así que, por la ecuación (6.15), la po- tencia media es Intentemos ahora los cálculos empleando la ecuación (6.17). La fuerza ejercida es vertical, y la componente vertical media de la veloci- dad es (443 m)>(900 s) 5 0.492 m>s, así que la potencia media es que es el mismo resultado de antes. 5 150.0 kg 2 1 9.80 m/s2 2 1 0.492 m/s 2 5 241 W Pmed 5 Fi vmed 5 1mg 2vmed Pmed 5 2.17 3 105 J 900 s 5 241 W 5 0.241 kW 5 0.323 hp EVALUAR: La potencia total desarrollada por la corredora será mu- chas veces más que 241 W, porque ella no es una partícula, sino un conjunto de partes que ejercen fuerzas unas sobre otras y realizan trabajo, como el necesario para inhalar y exhalar y oscilar piernas y brazos. Lo que calculamos es sólo la parte de su gasto de potencia que se invierte en subirla a la azotea del edificio.
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