Resolución-Tema-02

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Resolución Parcial 2 - Tema 2
1) Hallar las ecuaciones vectorial, paramétricas, impĺıcita y normal del plano que pasa por los puntos
P (2,−1,1), Q(0,1,2) y R(0,1,0)
Los vectores directores son
# »
PQ = (−2,2,1) y
# »
PR = (−2,2,−1).
Ecuación Vectorial: π ∶ (2,−1,1) + α(−2,2,1) + β(−2,2,−1), con α,β ∈ R
Ecuación Paramétrica: π ∶
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
x = 2 − 2α − 2β
y = −1 + 2α + 2β
z = 1 + α − β
α,β ∈ R
El vector normal del plano lo obtenemos haciendo
# »
PQ ×
# »
PR = (−4,−4,0)
Ecuación Impĺıcita: π ∶ (−4,−4,0) ⋅ (x − 2, y + 1, z − 1) = 0
Efectuando el producto punto y realizando las operaciones correspondientes obtenemos:
Ecuación Normal: π ∶ −4x − 4y = −4
2) Estudiar la posición relativas de las siguientes rectas (en caso de que sean secantes, dar las coordenadas
del punto donde se cortan): r ∶
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
x = 1 + µ
y = 1 − µ
z = 4
µ ∈ R ; s ∶
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
x = β
y = β
z = 3 + β
β ∈ R
Analizando los vectores directores
#»
d1 = (1,−1,0) y
#»
d2 = (1,1,1) vemos que no son paralelos, las rectas pueden
cortarse o cruzarse. Igualamos las ecuaciones paramétricas y obtenemos el sistema
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
1 + µ = β
1 − µ = β
4 = 3 + β
. Resolviendo
este por cualquier mtodo obtenemos que β = 1 y µ = 0. Por lo tanto, las rectas dadas se cortan y el punto
de corte es (1,1,4).
3) Analizar la posición relativa entre los siguientes planos (en caso de que sean secantes, dar la ecuación de la
recta donde se intersecan):
π1 ∶ x + y + 3z = 2 y π2 ∶ 2x + 2y + 6z = 4
Consideremos los vectores normales de cada plano #»n1 = (1,1,3) y
#»n2 = (2,2,6). Claramente
#»n1 = 2
#»n2 por lo que
los vectores normales, y por lo tanto los planos, son paralelos. Analicemos adems el trmino independiente de
cada uno, ac vemos tambin que se cumple d1 = 2d2. Esto indica que los planos son paralelos coincidentes.
4)
a) Utilizar el método de Gauss para resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
1
⎧⎪⎪⎪
⎨
⎪⎪⎪⎩
x + y − 2z = 5
2x + 3y + 4z = 2
La matriz ampliada correspondiente al sistema dado es
⎛
⎝
1 1 −2 5
2 3 4 2
⎞
⎠
Aplicamos el método de Gauss:
⎛
⎝
1 1 −2 5
2 3 4 2
⎞
⎠
− 2F1 + F2 → F2
⎛
⎝
1 1 −2 5
0 1 8 −8
⎞
⎠
Obtenemos una variable libre, llammosle z = α. Haciendo sustitucin hacia atrs y despejando encontramos
y = −8 − 8α y x = 13 + 10α.
Aśı la solución del sistema es
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
x = 13 + 10α
y = −8 − 8α
z = α
α ∈ R
b) Clasificarlo en compatible (determinado o indeterminado) o incompatible.
Este sistema es compatible indeterminado.
c) Dar una interpretación geométrica del sistema y la solución hallada.
Geométricamente son dos planos que se intersecan en una recta cuya ecuación es
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
x = 13 + 10α
y = −8 − 8α
z = α
α ∈ R
5) Verdadero o Falso. Justifique adecuadamente.
a) La recta
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
x = 2 + µ
y = 1 − µ
z = 4 + 2µ
µ ∈ R es perpendicular al plano x − y + 2z = 4
VERDADERO. El director de la recta
#»
d = (1,−1,2) y el normal del plano #»n = (1,−1,2) son paralelos
(por tratarse del mismo vector)
b) El punto P (−1,2,1) pertenece al plano −x + 2y + z = 4
FALSO. Si reemplazamos x = −1, y = 2, z = 1 en la ecuación del plano, vemos que no se satisface la
igualdad.
c) Dos vectores serán perpendiculares si el producto cruz entre ellos es cero.
FALSO. Para que sean perpendiculares, el producto punto entre ellos debe ser cero.
d) Si una recta está contenida en un plano, el normal del plano y el director de la recta son perpendiculares.
VERDADERO. El normal del plano es perpendicular a cualquier vector en él, en particular al vector
director de cualquier recta contenida en él.
2
e) Dos planos que se intersecan en una recta se pueden representar mediante un sistema de ecuaciones
Compatible Determinado.
FALSO. La situación planteada se representa con un sistema compatible indeterminado.
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