Final

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE LOS COMECHINGONES 
EXAMEN FINAL – 14-12-2020 CÁLCULO I – (Lic.en Cs. de la Atmósfera y Meteorología aplicada) 
Nombre y Apellido: …………………………………………………………………… 
 
1) a) Dar la definición de derivada de una función 𝑦 = 𝑓(𝑥) en el punto 𝑥 = 𝑎. 
b) Dar una breve interpretación de la definición, geométrica y física. 
c) Emplear la definición para determinar la derivada de 𝑓(𝑥) = 𝑥( en 𝑥 = 4 
 
 
2) Sea 𝑦 = 𝑓(𝑥) una función definida por dos pedazos, sobre el conjunto de los números reales 
𝑓(𝑥) = *ℎ(𝑥) 𝑠𝑖	𝑥 ≤ 𝑎𝑔(𝑥) 𝑠𝑖	𝑥 > 𝑎 
a) Explicitar las condiciones para que la función 𝑓 sea contínua en 𝑥 = 𝑎. 
b) Explicitar las condiciones para que la función 𝑓 sea derivable en 𝑥 = 𝑎. 
c) Dada 𝑓(𝑥) = 2 2 − 𝑥		𝑥( − 2𝑥						
𝑠𝑖	𝑥 ≤ 2
𝑠𝑖	𝑥 > 2 
 
Analizar si esta función es continua en 𝑥 = 2. 
Y Analizar si la misma función es derivable en 𝑥 = 2. 
 
 
3) a) Explicar el método del Disco para el Cálculo de Volúmenes de Sólidos de revolución. Suponga 
una región limitada por arriba por una función y=f(x), entre dos rectas verticales x=a, x=b, que gira 
alrededor del eje x. 
b) Dar la fórmula para calcular el volumen de revolución (método del disco) de la región limitada 
por y=f(x), x=a, x=b y el eje x . 
Aplicar esta fórmula para calcular el volumen del sólido generado al rotar la región limitada por la 
función 𝑓(𝑥) = √𝑥 entre x=0 y x=9, alrededor del eje x. Dibujar. 
 
 
4) Completar en cada caso 
A) 
 
El área de la Región R sombreada, se expresa mediante la siguiente 
 
integral ……………………………………………….. 
 
B) Sea 𝑦 = ℎ(𝑥) la función que limita por abajo la 
región A de la figura. Sea 𝑦 = 𝑔(𝑥) la función que 
limita por arriba la región B de la figura. 
Se sabe que: 
∫ ℎ(𝑥)	𝑑(8 𝑥 = −2 y que ∫ 𝑔(𝑥)	𝑑
9
( 𝑥 = 5,5 
 
ENTONCES EL AREA DE LA REGIÓN SOMBREADA ES IGUAL A ……………………… unidades cuadradas. 
 
C) Sea 𝑓(𝑥) una función derivable. Si se define 𝑦 = <=>?(@)[?(@)]C , entonces 
DE
D@
 es 
 
y=h(x) 
y=g(x) 
 
…………………………………………………………………………………………………………………………………………… 
 
D) La gráfica representa una función derivable, 
Los únicos puntos donde la derivada primera se anula, son 
 
…………………………………………………… 
 
Explicar la razón por la que obtiene que esos puntos son la 
respuesta. 
……………………………………………………………………………………………………………………………………….. 
……………………………………………………………………………………………………………………………………….. 
 
E) El logaritmo del producto de dos números es igual a …………………………………………………. 
 
 
 
5) Para las siguientes afirmaciones indicar si es Verdadera o Falsa. 
En cada caso dar la justificación o explicación de su respuesta (puede que la explicación sea un 
cálculo). 
 
A) Si una función es derivable en un punto, no necesariamente es continua en ese punto. 
 
B)∫ 𝑥 cos 𝑥	𝑑𝑥 = 𝑥	𝑠𝑒𝑛𝑥 + cos𝑥 + 𝐶 
 
C) ∫ D@@MNO = 𝑙𝑛(𝑥
( + 3) + 𝐶 
 
D) La derivada de una función en un punto representa la recta tangente en ese punto. 
 
E) La función 𝑔(𝑥) = 5cos	(3𝑥 + 𝜋) es periodica de período 𝜋 .