FUNCIONES

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FUNCIONES
UNIVERSIDAD NACIONAL DE
 LOS 
COMECHINGONES
LICENCIATURA EN CIENCIAS
 DE LA 
ATMÓSFERA Y METEOROLOG
ÍA 
APLICADA 
Espacio Curricular
CÁLCULO I
Profesora: Lic. Nélida H
. Pérez
§ Funciones por secciones o por trozos.
§ Función valor absoluto.
§ Función entero mayor.
§ Funciones polinómicas.
§ Funciones racionales.
DOMINIO DE UNA FUNCIÓN
• DOMINIO ES EL CONJUNTO FORMADO POR TODOS LOS VALORES QUE PUEDE 
TOMAR LA VARIABLE INDEPENDIENTE; SERÁ UN SUBCONJUNTO NO VACÍO DE
NÚMEROS REALES O TODO ℝ.
Con frecuencia, el dominio de una función f no se 
especifica, sólo se da una regla o ecuación que 
define a la función. En esos casos decimos que f 
está definida en su dominio natural, o dicho de otra 
manera, es el conjunto de todos los números reales 
tales que f(x) es también un número real.
Para determinar el dominio 
de una función es necesario 
analizar las operaciones que 
intervienen en la regla o 
ecuación que define a dicha 
función
EJEMPLO
• Determinar el dominio de ! " = $"%& . 
Para encontrar el dominio debemos garantizar que la fórmula tenga sentido. En este caso
el denominador no puede ser cero. Por lo tanto:
'() * = {, ∈ ℝ /, − 5 ≠ 0} equivale a pedir , ≠ 5. Puede expresarse también el dominio
así: ℝ− {5}, o como unión de dos intervalos (−∞, 5) ∪ (5,+∞).
Tener en 
cuenta para 
determinar 
el DOMINIO 
de una 
función
Dada una función explicitar el Dominio en forma de intervalo
Para resolver una inecuación debemos tener en cuenta
las propiedades de las desigualdades de números
reales:
Si a < b , entonces a +c < b+c para todo número c
Si a < b y c > 0 , entonces a.c < b.c
Si a < b y c < 0, entonces a.c > b.c
Ejemplo: Dada la función ℎ " = 2"% − 3
sabemos que el Dominio será
()* ℎ = {" ∈ ℝ /2"% − 3 ≥ 0}
Para obtener explícitamente el dominio debemos
resolver la inecuación o desigualdad : 2"% − 3 ≥ 0
al hacerlo se obtendrá que
()* ℎ = {" ∈ ℝ /" ∈ (−∞, 5− 32 ∪ 7
3
2 , +∞)}
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Observación desde el conocimiento de la 
gráfica de una función
• Dominio de una función: Son
todos los valores que puede tomar
la variable independiente. 
Gráficamente, proyectamos la
gráfica de la función sobre el eje x.
• Imagen de una función: son todos
los valores que obtengo al
aplicarle la función a los valores
del dominio. Gráficamente, 
proyectamos la gráfica de la
función sobre el eje y.
Dominio: [-2,3]
Imagen: [0,2.3]
• Una función f es creciente si al 
aumentar los valores de x, 
también aumentan los valores de 
f(x).
• Una función es decreciente, si al 
aumentar los valores de x, los de 
f(x) disminuyen.
Función creciente Función decreciente
Creciente - Decreciente
Al trazar la gráfica de una función y trazar 
la recta tangente en algunos puntos de ella, 
podemos ver si es creciente o decreciente 
dependiendo de la pendiente de dichas 
rectas
Creciente - Decreciente FUNCIONES POR TROZOS O SECCIONES
Hay situaciones que pueden 
ser representadas mediante 
funciones definidas por 
pedazos, secciones o trozos.
En estos casos, la regla de 
correspondencia no es una 
fórmula única, se indica la 
fórmula que se empleará 
según cada porción del 
dominio.
Ejemplo:
FUNCIONES POR TROZOS O SECCIONES
Ejemplo:
FUNCIONES POR TROZOS O SECCIONES
g(x)=!"# − 1 &' " ≤ 12" &' " > 1
Ejemplo:
Dar el conjunto DOMINIO y el 
conjunto IMAGEN de la función 
y=g(x) . GRAFICAR
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Dar el conjunto DOMINIO y el 
conjunto IMAGEN y graficar
|x|=! " #$ " ≥ 0−" #$ " < 0
FUNCION VALOR ABSOLUTO
f(x)= |3x-1|
SIGNO DE UNA FUNCIÓN
Para ayudar a tener idea de cómo es la gráfica de una función conviene 
a veces determinar los intervalos en los que f x > 0, en este caso la 
gráfica estará por estará por encima del eje x; en los intervalos en los 
que f x < 0 la gráfica quedará por debajo del eje x.
¿CUÁL ES EL EFECTO GRÁFICO DEL VALOR 
ABSOLUTO?
Ejemplo:
Conocemos la gráfica de ! " = "$ − 4
¿cómo es la gráfica de y = |! " | = |"$ −4|
Conocida la gráfica de ) = ! " ¿cómo es la gráfica de y = |! " |
Función par e impar
si se conocen las gráficas, o construye las 
gráficas usando un software, la propiedad de 
par o impar se observa visualmente, según la 
simetría que tenga.
En la gráfica de la función t(x) puede observar el punto A
simétrico respecto de (0,0) del punto B.
Función par e impar
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Desplazamientos verticales
TRANSFORMACIONES 
GRÁFICAS
Consideraremos dada la gráfica 
de la función f(x), y las 
transformaciones realizadas a 
f x las denotaremos con g(x)
Desplazamientos horizontales
FUNCIONES POTENCIALES
FUNCIONES POLINÓMICAS
FUNCIÓN RECÍPROCA
FUNCIONES RACIONALES
Hemos visto: funciones lineales, cuadráticas, polinómicas de grado mayor 
que dos. 
Una función racional resulta del cociente de dos funciones polinómicas:
! " = $(&)((&)
El dominio de estas funciones es el conjunto de los números reales 
exceptuando aquellos valores que anulan el denominador 
EJEMPLOS
o El dominio de g(x)= !!"#$ está formado por todos los números reales 
excepto x=3 y x=-3 . 
Dom(g(x))={x∈ ℝ: ( ≠ 3, ( ≠ −3}
o El dominio de h(x)= !!"-$ está formado por todos los números reales 
excepto dado que no existe ningún número real que anule el denominador
Analizaremos el comportamiento 
de algunas gráficas.
•¿Qué podemos decir de la 
gráfica de ! " = $%&' ?. 
En primer lugar determinamos el 
dominio.
Dom(f(x))={x∈ ℝ: " ≠ 2}
Usando intervalos: 
−∞,2 ∪ 2,+∞
EJEMPLO GRÁFICO DE UNA FUNCIÓN RACIONAL
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Observamos que la variable x puede 
acercarse a 2, por la derecha y por la 
izquierda, pero no está definida para el valor 
2.
Si x se aproxima a 2 por la izquierda, los 
valores de f(x) son grandes en valor absoluto 
pero negativos. Lo denotaremos:
lim$→&' ( ) = −∞
(se lee límite de f(x) cuando x tiende a 2 por la 
izquierda es menos infinito)
Si x se aproxima a 2 por la derecha, los 
valores de f(x) son grandes en valor absoluto, 
positivos.
lim$→&- ( ) = ∞
(se lee límite de f(x) cuando x tiende a 2 por la 
derecha es infinito).
ASÍNTOTAS
La recta ) = 2 es asíntota vertical
Observemos ahora que ocurre con esta 
gráfica si x aumenta, se hace cada vez más 
grande, diremos en ese caso que x tiende a 
infinito (escribimos ! → +∞) los valores de 
% ! (ver gráfica) tienden a confundirse con 
1, aunque no lo alcanzan.
Lo expresamos así: “el límite de f cuando x
tiende a + ¥, es 1” . Simbólicamente:
lim)→*+% ! = 1 . 
De manera similar ocurre si x tiende a menos 
infinito (! → −∞), en este caso: “el límite 
de f cuando x tiende a - ¥, es 1”. 
Simbólicamente: lim)→/+% ! = 1.
ASÍNTOTAS
La recta 0 = 1 es asíntota horizontal