Funciones-II

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FUNCIONES (II)
UNIVERSIDAD NACIONAL D
E LOS 
COMECHINGONES
LICENCIATURA EN CIENCIAS 
DE LA 
ATMÓSFERA Y METEOROLOG
ÍA APLICADA Espacio Curricular
CÁLCULO I
Profesora Responsable:
 Lic. Nélida H. Pérez
Profesor Colaborador: Ing
. Bernardo Firpo
DOMINIO DE UNA FUNCIÓN
• DOMINIO ES EL CONJUNTO FORMADO POR TODOS LOS VALORES QUE PUEDE 
TOMAR LA VARIABLE INDEPENDIENTE; SERÁ UN SUBCONJUNTO NO VACÍO DE
NÚMEROS REALES O TODO ℝ.
Con frecuencia, el dominio de una función f no se 
especifica, sólo se da una regla o ecuación que 
define a la función. En esos casos decimos que f 
está definida en su dominio natural, o dicho de otra 
manera, es el conjunto de todos los números reales 
tales que f(x) es también un número real.
Para determinar el dominio 
de una función es necesario 
analizar las operaciones que 
intervienen en la regla o 
ecuación que define a dicha 
función
EJEMPLO
•Determinar el dominio de ! " = $"%& . 
Para encontrar el dominio debemos garantizar que la fórmula tenga sentido. 
En este caso el denominador no puede ser cero. Por lo tanto:
'() * = {, ∈ ℝ /, −5 ≠ 0} equivale a pedir , ≠ 5. Puede expresarse
también el dominio ası́: ℝ− {5}, o como unión de dos intervalos (−∞,5) ∪
(5,+∞).
Tener en 
cuenta para 
determinar 
el DOMINIO 
de una 
función
Dada una función explicitar el Dominio en forma de intervalo
RECORDAR: Para resolver una inecuación debemos
tener en cuenta las propiedades de las desigualdades
de números reales:
Si a < b , entonces a +c < b+c para todo número c
Si a < b y c > 0 , entonces a.c < b.c
Si a < b y c < 0, entonces a.c > b.c
Para obtener explícitamente el dominio 
debemos resolver la inecuación o desigualdad : 
2"# − 3 ≥ 0
al hacerlo se obtendrá que 
()* ℎ = {" ∈ ℝ /" ∈ (−∞, 4− 32 ∪ 6
3
2 ,+∞)}
Ejemplo: Dada la función
ℎ " = 2"# − 3
sabemos que el Dominio será
()* ℎ = {" ∈ ℝ /2"# − 3 ≥ 0}
"# ≥ 3/2
√"# ≥ √3/2 • Dominio de una función: Son todos los valores que puede tomar la 
variable independiente. 
Gráficamente, proyectamos la gráfica 
de la función sobre el eje x. En la 
imagen inferior esta indicado el 
intervalo dominio en color rojo
• Imagen de una función: son todos los 
valores que obtengo al aplicarle la 
función a los valores del dominio. 
Gráficamente, proyectamos la gráfica 
de la función sobre el eje y. 
Indicado en color verde sobr el eje y.
Dominio: [-2,3]
Imagen: [0,2.3]
Dominio e Imagen, conociendo la gráfica de la función
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¿CUÁNDO UN GRÁFICO REPRESENTA UNA FUNCIÓN Y CUÁNDO NO?
• EJEMPLOS: ANALIZAREMOS LOS SIGUIENTES GRÁFICOS DE RELACIONES !: # → ℝ CON # ⊂ ℝ
Recordar
Criterio de la 
recta vertical
Un gráfico 
representa una 
función si cualquier 
recta r trazada por 
un elemento del 
dominio de la 
función, paralela al 
eje y, corta al 
gráfico en un único 
punto.
¿CUÁNDO UN GRÁFICO REPRESENTA UNA FUNCIÓN Y CUÁNDO NO?
RESPUESTAS: 
• Una función f es creciente si al 
aumentar los valores de x, 
también aumentan los valores de 
f(x).
• Una función es decreciente, si al 
aumentar los valores de x, los de 
f(x) disminuyen.
Función creciente Función decreciente
Creciente - Decreciente
Al trazar la gráfica de una 
función y trazar la recta 
tangente en algunos 
puntos de ella, podemos 
ver si es creciente o 
decreciente dependiendo 
de la pendiente de dichas 
rectas
Creciente - Decreciente
SIGNO DE UNA FUNCIÓN
Para ayudar a tener idea de cómo es la gráfica de una función conviene 
a veces determinar los intervalos en los que f x > 0, en este caso la 
gráfica estará por estará por encima del eje x; en los intervalos en los 
que f x < 0 la gráfica quedará por debajo del eje x.
Función par e impar
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si se conocen las gráficas, o construye las 
gráficas usando un software, la propiedad de 
par o impar se observa visualmente, según la 
simetría que tenga.
En la gráfica de la función t(x) puede observar el punto A
simétrico respecto de (0,0) del punto B.
Función par e impar
Desplazamientos verticales
TRANSFORMACIONES 
GRÁFICAS
Consideraremos dada la gráfica 
de la función f(x), y las 
transformaciones realizadas a 
f x las denotaremos con g(x)
Desplazamientos horizontales
CLASIFICACIÓN
Esta no es la única manera de 
clasificar las funciones, hay otras 
funciones muy utilizadas como las 
funciones definidas por partes o 
trozos que no figuran en esta 
clasificación; se explica en el hecho 
que cuando en el siglo XVIII, 
Leonhard Euler (1707-1783) propone 
esta la clasificación de funciones 
elementales, se manejaba el 
concepto de función asociado a una 
única expresión analítica.
ALGEBRAICAS 
TRASCENDENTES 
Irracionales
Racionales 
Polinómicas 
Logarítmicas
Exponenciales
Trigonométricas 
Hiperbólicas
Clasificación de las Funciones Elementales
POLINÓMICA
• Una función ! " definida por ! " = $%"% + $%'( "%'(+. . . +$(" + $*
donde $+ es diferente de cero, se denomina función polinómica de grano n o de 
n-ésimo grado. 
• Los números reales $%, $%'(,……. . $(, $* se llaman los coeficientes de la función. 
• Ejemplos
. " = /, función constante, / ≠ 0, es un polinomio de grado cero.
. " = 2" + /, con 2 ≠ 0: función lineal, polinomio de primer grado.
. " = $"2 + /" + 4, con $ ≠ 0: función cuadrática, polinomio de segundo grado.
.(") = $"3 + /"2 + 4" + 8, con $ ≠ 0: función cubica, polinomio de tercer grado.
El dominio de una función polinómica es el 
conjunto de todos los números reales. 
La Imagen es el conjunto de todos los reales o un 
subconjunto de ellos.
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FUNCIONES POTENCIA O POTENCIALES DE LA FORMA 
! " = $"%CON n entero positivo par
Es un &po de función polinómica. 
Si el exponente n en ! " = $"% es 
un número entero par posi(vo, la 
gráfica es una curva simétrica con 
respecto al eje y.
El dominio de la función: todos los 
números reales.
La Imagen de la función dependerá 
del signo de a. a>0 a<0
FUNCIONES POTENCIA O POTENCIALES DE LA FORMA 
! " = $"%CON n entero positivo impar
Si el exponente n en & ' =
(') es impar positivo, la 
gráfica será una curva 
simétrica con respecto al 
origen.
El dominio siempre es el 
conjunto de los números 
reales, es decir que x puede 
tomar cualquier valor real.
La imagen es el conjunto de 
los números reales, 
independiente del valor que 
tome a.
a>0
a<0
RAÍZ O CERO DE UNA FUNCIÓN POLINÓMICA
Teorema Fundamental del álgebra: Todo polinomio con coeficientes 
reales o complejos de grado ! ≥ 1 3ene exactamente n raíces o 
ceros, reales o complejos.
•Si $% , $' , … … $) son raíces o ceros de *($) entonces se puede 
expresar en forma factorizada
•* $ = . $ − $% $ − $' …… . ($ − $))
Un número r es raíz o solución de una función polinómica P, si *(1) = 0. 
Gráficamente las raíces son los puntos de intersección o corte de la función 3 =
*($) con el eje x.
FORMA FACTORIZADA
Cuando un polinomio está expresado de la siguiente manera:
! " = $ " −"& " − "' ……. (" − "+) se dice que está, en forma 
factorizada. Los números "&,"',…."+ son las raíces del polinomio.
EJEMPLO: 
! " = "- −5"/ + 6"' + 4" −8
Se sabe que " = 2 es raíz múltiple de orden 3; " = −1 es raíz simple, 
entonces podemos expresar en forma factorizada el polinomio dado:
! " = (" −2)(" −2)(" − 2)(" + 1) = " −2 / " +1
Trazado de curvas polinómicas
La dificultad del trazado de las curvas polinómicas y de la determinación de las raíces 
actualmente se ha ido superando con el uso de la tecnología. Calculadoras, software para 
graficar, software de cálculo simbólico, etc. cada vez están más disponibles y constituyen un 
auxiliar importante de la matemática. 
Pero debemos considerar las limitaciones de las herramientas para graficar, entre ellas la falta de 
resolución de la pantalla, las escalas de los ejes, etc. Por lo cual será importante desarrollar 
habilidades para visualizar las gráficas, analizar si lo que muestra la pantalla es razonable, 
interpretar si cumple con las características que deberían observarse a partir del conocimiento 
de la expresión analítica de la función. 
Puede suceder que la ventana donde se muestra la imagen de lafunción no permita percibir la 
forma de la curva y sus características principales. 
Ejemplos: 
A) Graficar de la función 
polinómica:
! = #$ − #& − 25. 
Usar un programa para 
graficar.
B) Graficar: 
) # = 8# +4
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Solución: debemos resolver la desigualdad. 
−2#$ +4 > 0
−2#$ > −4
2#$ < 4
#$ < 42
#$ < 2 ⇔ # < 2⇔ # ∈ (− 2, 2)
./0(ℎ) = {# ∈ 4 ∣ # ∈ (− 2, 2)}
C) Dar el dominio de: 
ℎ # = 789:9$8;<=; 
para lo cual debemos pedir que 
la función dentro del radical sea 
positiva (no puede ser cero 
porque está en denominador).
FUNCIONES RACIONALES
Una función racional resulta del cociente de dos funciones polinómicas:
! " = $(&)((&)
El dominio de estas funciones es el conjunto de los números reales 
exceptuando aquellos valores que anulan el denominador. 
Hemos visto, funciones polinómicas, entre ellas las funciones lineales, las 
cuadráticas y las polinómicas de grado mayor que dos. 
EJEMPLOS
El dominio de g(x)= !!"#$ está formado por todos los números reales excepto 
los x tales que %& − 9 = 0.Resolviendo la ecuación, obtenemos % = 3 y % =
−3. En conclusión
Dom(g(x))={x∈ ℝ:% ≠ 3, % ≠ −3}
ℎ(%) = !5!"6$ es una función racional, el dominio de ella es el conjunto de 
todos los números reales, dado que no existe ningún número real que anule el 
denominador.
FUNCIONES IRRACIONALES
Funciones irracionales o Radicales son aquellas que en su expresión 
análi0ca la variable independiente aparece dentro de un radical: 
! " = $ %(") donde g(x) es una función polinómica, o 
una función racional u otro 0po de funciones.
Si el índice n de la raíz es par, necesitamos que %(") sea posi0va o 
cero, ya que raíces de índice par de un número nega0vo no son 
números reales. Por lo tanto el dominio de ( = !(") son las soluciones 
de la inecuación %(") ≥ 0.
+, ! " = $ %(") - ./0 , 2-34-526 748(!) = {" ∈ ; ∣ %(") ≥ 0}.
EJEMPLOS FUNCIONES IRRACIONALES
Determinar el dominio 
de ! " = 4−"&
Para determinar el 
dominio resolvemos 
4−"& ≥ 0
4−"& ≥ 0
−"& ≥ −4
"& ≤ 4
|"| ≤ 2
Es decir
,-. ! " = −2,2
Determinar el dominio de ! " = "& − 4
Para determinar el dominio resolvemos 
"& − 4 ≥ 0 y se obtiene " ≥ 2, es decir
,-. ! " = (−∞, ]−2 ∪ [2, )+∞
FUNCIONES ALGEBRAICAS EN GENERAL
Empleando las operaciones entre 
funciones como suma, multiplicación, 
resta, división podemos generar 
nuevas funciones algebraicas, 
combinando las polinomiales, 
racionales e irracionales, las cuales 
reciben en general el nombre de 
funciones algebraicas.
Las gráficas de estas funciones pueden 
tener formas muy diferentes, el uso de 
las técnicas de trazado de curvas a 
partir del conocimiento de la derivada 
de funciones es uno de los recursos 
que aprenderemos a utilizar en 
cálculo.
ℎ(#) = #&/( # − 2 & trazado con Geogebra
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