UNIDAD 3 1

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UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS
UNIDAD NIVELACIÓN
UNIDAD #3
• La Relación-Función es un concepto muy importante en
Matemáticas.
• Comprenderlo y aplicarlo en ejercicios
La definición de relación es un subconjunto de pares ordenados que
corresponden a elementos de otro conjunto, a cada elemento del primer
conjunto le corresponde al menos un elemento del segundo conjunto.
X Y
Definición de función: Sean X y Y dos variables reales, se dice
entonces que y es función de x si a cada valor que tome x le
corresponde un valor de y."
La variable independiente es la x mientras que y es la variable dependiente o función:
y=ƒ(x)
El conjunto en que varía la x se denomina dominio de la función (original) y
el de la variación de y rango de la función (imagen).
El conjunto de pares (x, y) tales que y=ƒ(x) se denomina grafo de la función;
si se representan en unos ejes cartesianos se obtiene una familia de puntos
que se denomina gráfica de la función.
Para que una relación se considere una función, se deben cumplir 
dos condiciones elementales:
1.Unicidad: Ningún elemento perteneciente al conjunto de salida 
puede estar relacionado con dos elementos del conjunto de salida, 
es decir, si se calcula el valor f(x) para un mismo x, el resultado 
debe ser el mismo.
2.Existencia: Todo elemento del conjunto de salida debe tener una 
imagen en el conjunto de llegada, es decir, y = f(x) debe existir para 
todo x en el conjunto de salida
DOMINIO Y RANGO
Dominio
• Conjunto formado por todos los elementos del conjunto de partida que
posee una imagen en el conjunto de llegada, también se le conoce como
conjunto de preimágenes; el dominio de una función puede describirse
explícitamente junto con la función o está implícito en la fórmula que
define la función.
• El dominio de una función es el conjunto de todos los posibles valores de
entrada de la función. Por ejemplo, el dominio de f(x)=x² consiste de todos
los números reales, y el dominio de g(x)=1/x consiste de todos los números
reales excepto x=0.
TÉCNICA PARA HALLAR EL DOMINIO
• 1)Despejar “y” en términos de “x”, si esto es posible
• 2)Analizar ¿Qué valores reales debe tener “x” para que la variable 
“y” sea un número real?
• 3) Dicho de otra forma, para calcular el dominio de una función,
debemos obtener los valores de x, para los que exista esa función. O
dicho de otra forma, debemos encontrar para qué valores de x,
la función no existe y quedarnos con los valores de x donde
la función sí existe. El dominio de una función depende mucho del
tipo de función
Determinación del dominio 
• Determinar el dominio de la siguiente 
relación
Ejemplos
EJERCICIOS PARA LA CASA
RANGO
• Conjunto formado por todos
los elementos del conjunto de
llegada que son imágenes de
algún elemento del conjunto
de salida. También se le
conoce como Recorrido o
conjunto de imágenes
TÉCNICA PARA HALLAR EL RANGO
• Despejar “x” en términos de “y”, si esto es posible 
• 2)Analizar ¿Qué valores reales debe tener “y” para que la variable “x” sea un 
número real?
EJEMPLO DE FUNCION CUADRÁTICA (dominio y rango)
Determinación el rango
Ejercicios para la casa
ALGEBRA DE 
FUNCIONES
Si dos funciones f y g están definidas para todos los números reales, entonces es po
sible hacer operaciones numéricas reales como la suma, resta, multiplicación y divisió
n (cociente) con f(x) y g(x).
Definición: La suma, resta, multiplicación y cociente de las funciones f y g 
son las funciones definidas por:
Cada función está en 
la intersección de los dominios de f y g, excepto que los valores de x donde g(x) = 0 
se deben excluir del dominio de la función cociente.
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Una función compuesta es la imagen resultado de la aplicación
sucesiva de dos o más funciones sobre un mismo elemento x.
Siendo f y g dos funciones, se define la composición de dos
funciones (denotada por g o f) como:
http://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/funciones/
http://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/funciones/
La composición de funciones se realiza aplicando dichas
funciones en orden de derecha a izquierda, de manera que
en (g o f)(x) primero actúa la función f y luego la g sobre f(x).
http://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/funciones/
Propiedades de la composición de funciones
• La composición de funciones es asociativa
• La composición de funciones no es conmutativa
• El elemento neutro en la composición de funciones es la función 
identidad (id).
• El función inversa de la composición de funciones f y g es: 
http://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/funcion-identidad/
http://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/funcion-inversa/
Dominio de la función composición
Sean Dom f el dominio de la función f y Dom g el
de g, entonces el dominio de la función compisición
es:
http://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/dominio-funcion/
http://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/funciones/
http://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/dominio-funcion/
EJERCICIOS
Aplicando sucesivamente la función f(x) y la función g(x) sobre los
valores de x obtenemos el mismo resultado que si aplicásemos
directamente una función (g∘f)(x) sobre los valores de x. A esta
función se la denomina función compuesta de f y g.
•Se define la función compuesta de dos
funciones f(x) y g(x) cualesquiera, y designada por (g∘f)(x), a la función
que transforma x en g[f(x)]:
Se realiza aplicando dichas funciones en orden de derecha a izquierda,
de manera que en (g o f)(x) primero actúa la función f y luego
la g sobre f(x).
¿Cómo se calcula?
Para realizar la composición propiamente dicha de dos funciones ilustramos el proceso con el ejemplo
con el que abríamos el apartado: siendo f(x)=x2 y g(x)=x+2, podemos calcular (g∘f)(x) sin más que
sustituir f(x) en los lugares donde pone x en g(x), es decir:
(g∘f)(x)=g[f(x)]=g(x2)=x+2x⇒x2= x²+2
Observa que en general (g∘f)(x)≠(f∘g)(x). En el ejemplo:
(f∘g)(x)=f[g(x)]=f(x+2)=x2x⇒x+2=(x+2)2= x²+4x+4
EJEMPLOS
Dominio
El dominio de una función es el conjunto de valores para los cuales está definida. En el caso de 
la función compuesta (g ∘ f)(x), este depende de los dominios de las funciones f y g.
El dominio de la función compuesta (g ∘ f)(x) es el conjunto:
Domg∘f : x ∈ Domf ∧ f(x)∈ Domg
•Dos casos
Composición y operaciones con
funciones
Las funciones con dominios que pertenecen a los
reales pueden ser sumadas, restadas, multiplicadas
y divididas. Si f ( x ) y g ( x ) son dos funciones,
entonces para todas las x en el dominio de ambas
funciones la suma, diferencia, producto y cociente
están definidos como sigue.
Gráficamente una función crece cuando al recorrer la grafica de izquierda a derecha va hacia arriba. Decrece
cuando va hacia abajo y es constante cuando va en horizontal.
En Matemáticas se habla de funciones monótonas para referirse a las funciones que bien son decrecientes o
crecientes en todo su dominio.
Gráficamente:
Las caracterizaciones que hemos notado se pueden usar para
determinar criterios sobre el crecimiento de una función de la
siguiente forma: Sea ʄ (x) una función definida en un intervalo
(a,b) tenemos que para todo x € (a,b)
Si ʄ (x) ˃0, entonces ʄ (x) es creciente
Si ʄ (x) ˂0, entonces ʄ (x) es decreciente
EJEMPLO 1:
DETERMINE LA MONOTONIA DE LA FUNCION ʄ (x) = 
𝟕
𝑿
EN EL 
INTERVALO (3,10)
Una de las características mas importantes de una función que nos facilita el estudio
de las funciones como su representación es la simetría:
En matemáticas, se puede clasificar a las funciones según su paridad: Las
funciones pueden ser pares, impares o no tener paridad. Aquellas funciones que
poseen paridad satisfacen una serie de relaciones particulares de simetría, con
respecto a sus funciones inversas aditivas (funciones inversas aditivas u opuestas
son funciones que al sumarlas el resultado es cero).
Una función espar si, para cada x en el dominio de f , f (– x ) = f ( x ). Las 
funciones pares tienen simetría reflectiva a través del eje de las y . 
• Un función es impar si, para cada x en el dominio de f , f (– x ) = – f ( x ). Las
funciones impares tienen simetría rotacional de 180º con respecto del
origen.
• Cuando no hay paridad tanto en par e impar indicara que no existe 
paridad.
• Una asíntota es una recta a la cual se aproxima indefinidamente una 
función, sin llegar nunca a tocarla.
• Solo existirá asíntotas, si hay denominador 
• Existen 3 y son:
• Asíntota vertical
• Asíntota horizontal
• Asíntota oblicua
Una función f(x) tiene la asíntota vertical x=k∈R si su límite cuando x tiende a k es infinito.
También, distinguimos tres casos:
•Asíntota vertical por la izquierda si
• Asíntota vertical por la derecha si 
• Si ambos límites son iguales, decimos simplemente 
que y=k es una asíntota vertical de f(x). 
• Una función f(x) tiene la asíntota horizontal y=k si su límite cuando x tiende a infinito es k.
• Distinguimos tres casos:
• Asíntota horizontal por la izquierda si
• Asíntota horizontal por la derecha si
• Si ambos límites son iguales, decimos simplemente que y=k es una asíntota horizontal de f(x).
• Para calcular la asíntota horizontal sólo tenemos que calcular los límites cuando x→±∞.
•Asíntota horizontal por la izquierda si
Calculamos los límites cuando x→5:
Por tanto, x=5es una asíntota por ambos lados.
Gráfica:
Calculamos los límites:
La función tiene la asíntota y=2 por ambos lados.
Gráfica:
• El coeficiente m es la pendiente de la recta y n es la ordenada en el 
origen.
• La recta y=mx+n es una asíntota oblEs asíntota oblicua de f(x) por su 
izquierda si
• Y es asíntota oblicua por su derecha si
• Encontrar las asíntotas oblicuas parece más complicado que 
las horizontales y las verticales, sin embargo, el siguiente 
resultado facilita la tarea:
Si la recta y=mx+n es una asíntota oblicua de f(x), entonces 
• Calculamos la asíntota oblicua de la función
La pendiente es
La ordenada en el origen es
La asíntota oblicua es
Gráfica: