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UNIVERSIDAD NACIONAL DE LOS COMENHINGONES ALGEBRA y ANALISIS GEOMETRICO Repaso para Parcial N° 2 PARTE TEÓRICA: 1.-Dos rectas alabeadas pueden tener sus vectores directores perpendiculares . 2.-Dos planos que tienen sus vectores normales paralelos se intersecan en una recta. 3.-Si �⃑� y �⃗� son dos vectores, del espacio, tal que �⃑� x �⃗� =0⃗ , entonces |�⃗�| = 0 ó 𝑏 = 0. 4.-La condición que deben cumplir los vectores normales a dos planos paralelos es que 𝑛 . 𝑛 = 0. 5.-La condición para que una recta de ecuación 𝑥 = (𝑥 , 𝑦 , 𝑧 ) + 𝜆𝑑 sea perpendicular a un plano de ecuación ax+by+cz=d es que 𝑑. 𝑛 = 0 donde 𝑛 = (𝑎, 𝑏, 𝑐). 6.-Si una recta corta perpendicularmente a un plano, los correspondientes vectores director y normal tienen, como resultado del producto vectorial, al vector nulo. 7.- Si una recta está contenida en un plano, entonces un vector director de la misma ,es paralelo a cualquier vector normal de dicho plano. 8.- Si dos rectas son alabeadas, el sistema de ecuaciones correspondiente puede ser un sistema homogéneo. 9.- Un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas puede tener solución única. 10.-Para que una matriz admita inversa, es suficiente con que sea cuadrada. 11.-El producto de dos matrices se puede realizar siempre que las ellas tengan el mismo orden. 12.-Un sistema de ecuaciones homogéneo es siempre compatible. DEMUESTRA QUE : 1.- Un plano de ecuación : ax+by+cz=0 siempre contiene al origen. 2.- Si �⃑� y 𝑏 son dos vectores no nulos y paralelos ,en el espacio, entonces �⃑� x �⃗� =0⃗. 3.-Que la recta r: 𝑥 = 0 𝑦 = −𝜇 𝑧 = −𝜇 𝜇𝜖𝑅, está contenida en el plano -3x-2y+2z=0 y es perpendicular al plano 2y+2z= . 4.- El punto P( , , ) del plano π: 2x-y+z=0 es el más próximo al punto A(1,1,1) A(1,1,1) PARTE PRÁCTICA: Ejercicio N°1: : Dados los puntos A= (0, 2,3) B= (-2, 1, 2) C = (-3, 0,3) a) Halla las componentes de los vectores AB, AC, BC b) Encuentra el vector unitario que tiene la misma dirección que BCAB 2 1 c) Encuentra la ecuación del plano que pasa por el punto A y contiene a las rectas que pasan, respectivamente, por los puntos A, B y A , C . Ejercicio N° 2: Determina la posición relativa de las rectas r y s, siendo a)r: 22 1 y x s : 41 22 y x b) r : 7 22 31 z y x s : 24 41 62 z y x En caso de ser paralelas indicar si son coincidentes o no. En caso de ser secantes encontrar las coordenadas del punto intersección. Ejercicio N°3: Dado el plano de ecuación: π: −3𝑥 + 2y + 𝑧 + 1 = 0. a) El vector de componentes (6,-4,-2), ¿es normal al plano?.Justifique. b)¿Pertenece el origen al plano?.Justifique. Ejercicio N°4: Halla las ecuaciones paramétricas de la recta dada por los planos 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = −1 2𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 = −2 Ejercicio N°5: Considera el plano que contiene el punto P(3, 1, 2) y a la recta r : Estudia la posición relativa de este plano y la recta: s: (x, y, z) = (0, 1, 0) + λ(1, 2, –3) , Ejercicio N°6: Estudia la posición relativa entre los planos: π : 3x-2y+z=1 y π2:-3 x+2y-z=1. Ejercicio N°7: Calcula la ecuación de la recta que pasa por (1, 1, 1) y con respecto al plano π:x+y-z=0: a) Es perpendicular . b) Es paralela al plano c) Interseca al plano pero no perpendicularmente. EjercicioN°8: .-a)Resuelve por el método de Gauss los siguientes sistemas: 2𝑥 + 3𝑦 = 6 𝑥 − 2𝑦 = 10 − 𝑥 − 2𝑦 = −3 2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 4 2𝑥 + 𝑦 − 5𝑧 = 4 b)interpreta geométricamente las soluciones obtenidas, en cada caso. Ejercicio N°9:Tres personas: María, Esteban y Federico reparten hojas de propaganda. María reparte siempre el 20% del total, Federico reparte 100 hojas más que la María. Entre María y Esteban, reparten 850 hojas. Plantea un sistema de ecuaciones que permita saber cuántas hojas reparte cada uno de ellos. Ejercicio N°10:Dadas las siguientes matrices : A= 2 − 2 4 1 − 1 − 3 B= −3 2 2 − 1 −1 0 C= 3 2 1 2 − 1 2 1 − 2 − 2 D= −2 − 5 1 3 1 3 a)Indica el orden de cada matriz. b)Completa con elvalor que corresponda a : 𝑎 =…………….., 𝑏 =……………….. c)Calcula C-1 d)Halla 2 A – D e)Halla B.D en caso de ser posible. Ejercicio N°11: Utiliza el método de la matriz inversa para resolver el siguiente sistema: 𝑥 + 4𝑦 − 𝑧 = 12 −𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 12 2𝑥 + 2𝑦 = 12 Ejercicio N°12: En base a la siguiente situación gráfica ¿Cuáles de los siguientes sistemas de ecuaciones podría corresponderle?.Justifica tu respuesta. 𝑥 = 0 𝑦 = 0 𝑥 = 1 𝑥 + 𝑦 = 0 𝑥 − 𝑧 = 0 𝑦 − 𝑧 = 0 2𝑥 + 2𝑧 = 0 𝑥 + 𝑦 = 1 𝑦 + 𝑧 = 3 Ejercicio N°13: Dada la siguiente secuencia de operaciones elementales para resolver un sistema : 2 1 − 1/ 3 −2 − 1 1/ 1 → 1 − / −2 − 1 1 /4 → 1 − / 0 0 0 / 4 Responde: a)¿De cuántas incógnitas y ecuaciones es el sistema correspondiente?. b)¿Qué significa lo obtenido en la segunda fila de la última matriz ampliada?. c)¿Qué puede decir acerca de la compatibilidad del sistema?.
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