FUNCIÓN CUADRÁTICA-1 6

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Apuntes para CÁLCULO – Capítulo 1: FUNCIONES 
Universidad Nacional de Los Comechingones 
Lic. Nélida H. Pérez 
 
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1.6 FUNCIÓN CUADRÁTICA 
Este tipo de funciones aparece con mucha frecuencia en aplicaciones de la matemática. Por 
ejemplo, una función que proporciona la altura s de un objeto que cae en función del tiempo t 
se llama función de posición. Sin considerar la resistencia del aire, la posición de un objeto que 
cae admite el modelo cuadrático: donde g denota la aceleración de la 
gravedad, v0 la velocidad inicial y s0 la altura inicial. (En la Tierra la constante g vale 
aproximadamente -9,8m/s2) 
 
Ejemplo: el mono que cayó de un árbol 1 
Un mono se encuentra colgando de la rama de un árbol a 7,2 metros del suelo. Descubre que 
en el piso hay una fruta que se ve deliciosa, decide dejarse caer para buscarla. A un investigador 
del parque natural donde vive el mono, le interesa conocer a qué distancia del suelo se encuentra 
el mono en cada instante durante la caída libre. 
Aplicando la fórmula de la caída libre de los cuerpos, tenemos que 𝑣" = 0 (porque el mono 
simplemente se suelta) ; ℎ" = 7,2 metros (altura al inicio de la caída) 
La función ℎ(𝑡) = −-
.
𝑔𝑡. + 𝑣"𝑡 + ℎ" = −
-
.
(9,8)𝑡. + 7,2 = −4,9𝑡. +
7,2 describe la situación. 
La función está definida para valores de 𝑡 ≥ 0 ya que la variable t 
representa el tiempo. 
¿Cuánto tarda el mono en tocar el suelo? 
Debemos calcular ℎ(𝑡) = 0	𝑒𝑠	𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟	𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟	𝑙𝑎	𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛	 − 4,9𝑡. +
7,2 = 0 
𝑡. = −7,2/−4,9 → 𝑡. = 1,47 → |𝑡| = ±1,21 , la variable tiempo no 
toma valores negativos, entonces se considera como respuesta 𝑡 = 1,21 
segundos. Ese es el tiempo que tarda el mono en caer del árbol. 
Pueden contestarse varias preguntas usando la función, por ejemplo, ¿a 
qué distancia del suelo se encuentra el mono 5 décimas de segundo 
después de soltarse? ; ¿en qué instante se encuentra a 1 metro de altura?. 
Para hacer la gráfica, podemos marcar los puntos encontrados 
analíticamente y como sabemos que la función es un polinomio de 
segundo grado, la forma será de parábola. 
 
Toda función cuya expresión es: , con a, b y c números reales, 
se llama función cuadrática, es conocida por ustedes y en cursos anteriores se ha realizado un 
estudio detallado de la misma. 
 
Estas funciones están definidas para todo número real, es decir su dominio es el conjunto de los 
números reales, ℝ. La representación gráfica es una curva llamada parábola, los puntos del 
plano que verifican la ecuación constituyen la gráfica. 
 
La intención es familiarizarnos con las gráficas de las funciones cuadráticas y reconocer las 
principales características y propiedades. 
Cada parábola (que es función) tiene un eje se simetría vertical y sobre él un punto llamado 
vértice desde el que la curva pasa de ser decreciente a creciente ó de creciente a decreciente, 
según si las ramas de la parábola se abren hacia arriba o hacia abajo. El único punto que 
pertenece al eje de simetría y también a la parábola es el vértice. 
 
1 Situación tomada del libro Estrada 
 00
2
2
1)( stvgtts ++=
0,)( 2 ¹++= acbxaxxf
0,2 ¹++= acbxaxy
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Ejemplos gráficos 
 
 
Puedes observar que el gráfico 
de 𝑔(𝑥) = 𝑥. + 2, es el mismo 
que el de 𝑓(𝑥) = 𝑥. pero 
desplazado 2 unidades hacia 
arriba. Lo mismo ocurre con el 
gráfico de ℎ(𝑥) = 𝑥. − 4 tiene 
un desplazamiento hacia abajo 
de 4 unidades, respecto de 
𝑓(𝑥) = 𝑥. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como ya vimos en la sección 1.4.4 sobre transformaciones gráficas, en general, a partir del 
gráfico de 𝑦 = 𝑥. se puede trazar la parábola 𝑦 = 𝑥. ± 𝑐, trasladando c unidades hacia arriba 
la curva 𝑦 = 𝑥., si c es positivo, y c unidades hacia abajo, si c es negativo. 
 
El vértice es V(0, c), y el eje de simetría es x = 0. 
En el caso de 𝑔(𝑥) = 𝑥. + 2 , el vértice es el punto V(0, 2), el dominio es ℝ y la imagen el 
conjunto de los números reales mayores o iguales que 2. 
Para ℎ(𝑥) = 𝑥. − 4, el vértice es V(0, -4), el dominio es ℝ y la imagen el conjunto de los 
números reales mayores o iguales que -4, usando intervalos el conjunto imagen se expresa: 
[−4,+¥) 
Consideraremos ahora las siguientes gráficas donde pueden observarse desplazamientos 
horizontales respecto de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥.. 
 
 
 
El vértice de la nueva 
parábola 
𝑦 = (𝑥 + 2).se ubica 
en el punto (-2,0), el 
vértice de 
 𝑦 = (𝑥 − 4). es el 
punto (4,0). 
 
 
 
 
 
 
 
 2)( 2 += xxf
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En general la gráfica de 𝑦 = (𝑥 ± ℎ). se obtiene de la de 𝑦 = 𝑥.	trasladándola en 
dirección del eje x. Si h > 0, se traslada a la izquierda y si h < 0, se traslada a la derecha. 
 
 
 
 
¿Qué efecto produce multiplicar 𝑦 =
𝑥. por un número 
 𝑎 ≠ 0	𝑦	𝑎 ≠ 1? 
 
Es decir, qué podemos decir de la 
gráfica de 𝑦 = 𝑎𝑥. respecto de la 
conocida parábola 𝑦 = 𝑥.. 
 
 
Observar los ejemplos gráficos. 
 
El signo del coeficiente de 𝑥. indica 
si la parábola tiene sus ramas hacia 
arriba o hacia abajo. 
 
 
Parábolas de ecuación 𝑦 = 𝑎𝑥. 
Si 𝑎 > 0, las ramas se abren hacia arriba, N		𝑎 > 1,				𝑙𝑎𝑠	𝑟𝑎𝑚𝑎𝑠	𝑒𝑠𝑡á𝑛	𝑚𝑎𝑠	𝑝𝑟ó𝑥𝑖𝑚𝑎𝑠	𝑎𝑙	𝑒𝑗𝑒	𝑦𝑎 < 1, 𝑙𝑎𝑠	𝑟𝑎𝑚𝑎𝑠	𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛	𝑚á𝑠	𝑎𝑙𝑒𝑗𝑎𝑑𝑎𝑠	𝑑𝑒𝑙	𝑒𝑗𝑒	𝑦 
 
Si 𝑎 < 0, las ramas se abren hacia abajo, N		|𝑎| > 1,				𝑙𝑎𝑠	𝑟𝑎𝑚𝑎𝑠	𝑒𝑠𝑡á𝑛	𝑚𝑎𝑠	𝑝𝑟ó𝑥𝑖𝑚𝑎𝑠	𝑎𝑙	𝑒𝑗𝑒	𝑦|𝑎| < 1, 𝑙𝑎𝑠	𝑟𝑎𝑚𝑎𝑠	𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛	𝑚á𝑠	𝑎𝑙𝑒𝑗𝑎𝑑𝑎𝑠	𝑑𝑒𝑙	𝑒𝑗𝑒	𝑦 
 
La función cuadrática se expresa en forma general por la fórmula 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥. + 𝑏𝑥 + 𝑐		, 𝑦		 
N	𝑠𝑖	𝑎 > 0	𝑠𝑒	𝑎𝑏𝑟𝑒	ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎	𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎	𝑦	𝑒𝑙	𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒	𝑒𝑠	𝑢𝑛	𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜𝑠𝑖	𝑎 < 0	𝑠𝑒	𝑎𝑏𝑟𝑒	ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎	𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜	𝑦	𝑒𝑙	𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒	𝑒𝑠	𝑢𝑛	𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 
 
Para dibujar una parábola lo importante es localizar el vértice, la abscisa del vértice es 
 𝑥W = −
X
.Y
. 
Es decir que las coordenadas del vértice son (𝑥W, 𝑦W) = (−
X
.Y
, 𝑓 Z− X
.Y
[) 
 
Ejemplo 
Dar coordenadas del vértice de la parábola 𝑔(𝑥) = −𝑥. + 2𝑥 + 3, puntos de corte con los ejes 
x e y (si los tiene), intervalos de crecimiento y decrecimiento. Representar aproximadamente la 
función g. 
 
Solución 
Como 𝑎 = −1, negativo, las ramas están hacia abajo. 
h
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La abscisa del vértice es 𝑥W = −
X
.Y
= − .
].
= 1. La ordenada es 𝑦W = −1 + 2 + 3 = 4. El 
vértice: 𝑉(1,4). 
Los puntos de corte con los ejes aportan más precisión 
para el trazado. Haciendo x=0, se obtiene el corte con 
eje y. y=3. 
Para determinar los puntos de corte con el eje x, 
hacemos y=0, o sea resolvemos la ecuación 
0 = −𝑥. + 2𝑥 + 3, obtenemos dos valores 𝑥- = 3 y 
𝑥. = −1. 
Con estos datos puede trazarse una gráfica aproximada. 
g es creciente en (−∞, 1) y decreciente en (1,+∞). 
El Dominio es todo el conjunto de números reales y el conjunto imagen el intervalo (−∞, 4). 
 
 
La función cuadrática puede también expresarse de la forma. 𝑦 = 𝑎(𝑥 − ℎ). + 𝑘	(𝑎	¹0)	, ó 
𝑦 − 𝑘 = 𝑎(𝑥 − ℎ).	(𝑎	¹0), en este caso el vértice claramente es V(ℎ, 𝑘). 
 
Se puede pasar de la forma general 𝑦 = 𝑎𝑥. + 𝑏𝑥 + 𝑐		(𝑎¹0) a la forma anterior, una manera 
es usando la técnica de completar cuadrados. La otra forma es buscando los ceros de la función 
y usando la simetría de la curva, determinar el vértice. 
Veamos el siguiente ejemplo que muestra las dos opciones. 
𝑓(𝑥) =
1
2 𝑥
. − 𝑥 − 4 
 
 
 
 
 
Completando cuadrados 
 
 
Escrita la ecuación de esta forma 
sabemos que el vértice de esta 
parábola está en el punto 
V (1, ) y a partir de este dato se 
puede construir una tabla devalores 
para graficar dicha curva. 
( )
( )
( )[ ] ( )
2
91
2
1811
2
1
8)1()1(2
2
1
82
2
14
2
1
22
222
22
--×=---×
=----+-×
=--×=--
xx
xx
xxxx
2
9-
Buscando las raíces 
 como es una ecuación 
de segundo grado, para determinar sus 
raíces usamos la fórmula : 
 
En este caso tenemos: 
 
 
 a partir de estos valores se puede 
determinar el vértice ya que e 
 o lo que es lo mismo calcular 
 
04
2
1 2 =-- xx
a
acbb
2
42 -±-
( )
91
1
811
2
12
4
2
1411 2
±=
+±
=
×
-××-±
231431 21 -=-==+= xx
2
21 xxxv
+
=
)( vv xfy =
a
bxv 2
-
=
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Dominio (−∞,+∞) ; Imagen [− a
.
, +∞); Intervalos 
de positividad (−∞,−2) y (4,+∞); 
Intervalo de negatividad (−2,4) ; intervalo de 
crecimiento (1, +∞) ; intervalo de decrecimiento 
(−∞, 1) 
 
 
 
 
 
1.6.1 Problemas que se modelizan por una función cuadrática 
 
En secciones anteriores hemos trabajado varios ejemplos de modelos, algunos de ellos nos 
llevaron a funciones del tipo polinómico de segundo grado, es decir funciones cuadráticas. 
 
Recordar que es importante leer con cuidado lo que plantea la situación, identificar las 
variables, elegir una notación, hacer un esquema, expresar las cantidades en términos de 
la variable, relacionar adecuadamente, plantear la fórmula, resolver el problema y verificar 
si la solución encontrada satisface el problema original y responde a lo que se pregunta. 
 
 
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Problema 1 
 Dentro de un rectángulo de 30 cm de base por 20 cm de altura 
se construyen cuadriláteros, tomando como vértices puntos 
que se encuentran a la misma distancia hacia la derecha de 
cada vértice del rectángulo. Como en los dibujos siguientes. 
 
¿Cuál será el cuadrilátero de menor área que se pueda construir? 
 
 
 
 
 
Solución: 
Llamo x a la variable que es la distancia de los vértices del rectángulo a los vértices del 
cuadrilátero. 
Para calcular el área del cuadrilátero interior al rectángulo, podemos calcular el área del 
rectángulo y restarle el área de los cuatro triángulos rectángulos. En el dibujo, dos sombreados 
con rayas verticales y dos con rayas 
horizontales. 
 
 
Función cuadrática, donde x por los datos del 
problema, varía entre 0 y 20. 
La gráfica de la función área es una parábola 
con ramas hacia arriba, por lo tanto el mínimo se alcanzará en el vértice de la parábola. 
Haciendo los cálculos se obtiene que la absisa del vértice es 12,5. 
El valor del área se obtiene evaluando la función en 12,5. 
 
Es decir las coordenadas del vértice son (12,5;287,5). 
 
Respuesta al problema: el cuadrilátero de menor área que se puede construir es de 287,5 cm2. 
 
La gráfica de la parábola es la siguiente, observa que a efectos del 
problema solamente una parte de la gráfica tiene sentido. 
 
( ) ( ) ( )
2
202
2
30.220.30 xxxxxA ----=
( ) 2250600 xxxA +-=
( ) ( ) 5,2875,122)5,12(506005,12 2 =+-=A
( ) 2250600 xxxA +-=
20-x 
30-x 
x 
x 
x 
x 
20-x 
30-x 
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Ejercitación: 
 
Demostrar que la abscisa del vértice de una parábola de ecuación 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥. + 𝑏𝑥 + 𝑐		(𝑎¹0) 
 Es 𝑥W = −
X
.Y
.