UNIDAD 03-TEORÍA

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UNIDAD 03: PROBABILIDAD 
El Cálculo de Probabilidad nos provee reglas para el estudio de los experimentos aleatorios 
o al azar, constituyendo la base inductiva o inferencial. 
Experimentos aleatorios: son aquellos en los que no se puede predecir el resultado final, a 
diferencia de los determinísticos, en los cuales, realizados de una misma forma y bajo las 
mismas condiciones iniciales, el resultado siempre es el mismo. 
Las condiciones que se verifican en un experimento aleatorio son : 
 Se puede repetir indefinidamente, siempre en las mismas condiciones. 
 Antes de realizarlo, no se puede predecir el resultado que se va a obtener. 
 El resultado que se obtenga, pertenece a un conjunto de resultados posibles 
conocidos previamente. 
Espacio Muestral: Es el conjunto de resultados posibles al realizar un experimento 
aleatorio y se denota con la letra S. Los elementos de un espacio muestral se denominan 
Sucesos Elementales (E). 
Los sucesos aleatorios que con gran frecuencia aparecen en el cálculo de probabilidades, 
son los siguientes: 
 Suceso Seguro: Es aquel que siempre se verifica después del experimento aleatorio, 
es decir , el mismo S. 
 Suceso imposible: Es aquel que nunca se verifica como resultado del experimento 
aleatorio. Por lo tanto, la única posibilidad es que el suceso imposible sea un 
conjunto  . 
 Suceso Complementario a un suceso A: Es aquel que se verifica si, como 
resultado del experimento aleatorio no se verifica A y se denota A . 
Operaciones Básicas con Sucesos Aleatorios: 
 Unión: Dados dos sucesos aleatorios A y B S , se denomina Suceso 
Unión entre A y B , al conjunto formado por todos los sucesos elementales 
que pertenecen a A o bien a B. La unión entre A y B se denota A  B. 
 Intersección: Dados dos sucesos aleatorios A y B S , se denomina 
Suceso Intersección entre A y B , al conjunto formado por todos los sucesos 
elementales que pertenecen a A y a B a la vez. La intersección entre A y B 
se denota A B. 
 Diferencia: Dados dos sucesos aleatorios A y B S , se denomina Suceso 
Diferencia entre A y B , al conjunto formado por todos los sucesos 
elementales que pertenecen a A pero no a B. La diferencia entre A y B se 
denota A -B. 
 Diferencia Simétrica: Dados dos sucesos aleatorios A y B S, se 
denomina Diferencia simétrica entre A y B , al conjunto formado por todos 
los sucesos elementales que están en A o en B pero que no pertenecen 
simultáneamente a ambos. La diferencia simétrica entre A y B se denota 
 A  B. 
Las leyes de De Morgan: Son propiedades que relaciones las operaciones unión, 
intersección y sucesos o eventos complementarios. Las mismas expresan lo siguiente: 
 BABA  
 A  B  A  B 
 
Probabilidad Clásica: Si un experimento cualquiera puede dar lugar a un número finito de 
resultados posibles, y no existe ningún motivo que favorezca a unos resultados en contra de 
otros, se calcula la probabilidad de un suceso A, como el cociente entre el número de casos 
favorables y el número de caos posibles. Esto es : 
P(A)=
𝐧ú𝐦𝐞𝐫𝐨 𝐝𝐞 𝐜𝐚𝐬𝐨𝐬 𝐟𝐚𝐯𝐨𝐫𝐚𝐛𝐥𝐞𝐬 𝐚 𝐀
𝐧ú𝐦𝐞𝐫𝐨 𝐝𝐞 𝐜𝐚𝐬𝐨𝐬 𝐩𝐨𝐬𝐢𝐛𝐥𝐞𝐬
 
Probabilidad Frecuencial: En los experimentos aleatorios se observa que cuando el 
número de experimentos aumenta, las frecuencias relativas con las que ocurre cierto suceso 
A tienden a converger hasta cierta cantidad que se denomina probabilidad de A. De modo 
que se tiene: 
fn(A)=
𝐧ú𝐦𝐞𝐫𝐨 𝐝𝐞 𝐨𝐜𝐮𝐫𝐫𝐞𝐧𝐜𝐢𝐚 𝐝𝐞 𝐀
𝐧
=
𝒏𝒊
𝒏
 (frecuencia relativa del evento A) 
P(A)=lim
→
f (A) = lim
→
𝒏𝒊
𝒏
 (probabilidad del evento A) 
Probabilidad Axiomática: 
 La probabilidad sólo puede tomar valores entre 0 y 1. En particular, no puede ser 
negativa. 
 La probabilidad del suceso seguro es 1 
 La probabilidad de dos sucesos excluyentes (de intersección igual al conjunto 
vacío) es la suma sus probabilidades respectivamente. 
 La probabilidad de la intersección de dos sucesos es menor o igual que la 
probabilidad de cada uno de los sucesos por separado. 
 La probabilidad de la unión de dos sucesos es mayor o igual que la probabilidad de 
cada uno de los sucesos por separado. 
 La probabilidad del complemento de un evento A es P(�̅�)=1-P(A). 
Probabilidad Condicionada: Si B es un suceso del espacio muestral S, con probabilidad 
no nula y A es cualquier otro suceso también del espacio muestral S, llamamos 
Probabilidad Condicionada de A dado B, a la cantidad que se representa mediante la 
notación P(A/B) y que se calcula como: P(A/B)=
( ∩ )
( )
. 
Por ejemplo, la probabilidad de que llueva puede cambiar cuando se conoce la dirección 
del viento que soplará. 
De acuerdo a esta definición, la probabilidad de la intersección de dos sucesos de 
probabilidad no nula se puede definir como: 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =
𝑃(𝐴): 𝑃(𝐵/𝐴)
𝑃(𝐵). 𝑃(𝐴/𝐵)
  
Si entre dos sucesos no existe ninguna relación cabe esperar que la expresión “dado que” 
no aporte ninguna información. De ese modo aparece el concepto de Independencia de dos 
sucesos A y B como: 
A es independiente de B si y sólo si P(A∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴). 𝑃(𝐵). 
Si en particular A y B son sucesos de probabilidad no nula , tenemos entonces que: 
 
𝐴 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝐵, 𝑃(𝐴) ≠ 0 𝑦 𝑃(𝐵) ≠ 0 ⇔
𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐴/𝐵)
ó
𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐵/𝐴)
  
 
Regla de la Adición: Si A y B son dos sucesos de un espacio muestral S , no 
necesariamente disjuntos, la probabilidad de la unión entre ambos es: 
P(A∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃𝐴 ∩ 𝐵) 
Si en particular A y B son disjuntos ,entonces P(A∪ 𝐵 = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) (ya que 𝐴 ∩ 𝐵 =
∅). 
Ejemplo: 
De 200 estudiantes de la UNLC, 80 están inscriptos en Estadística y 40 están inscriptos 
en Inglés. Estas cifras de inscripción incluyen a 30 estudiantes inscritos en ambos 
cursos. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante aleatoriamente elegido esté 
inscripto en Estadística o en Inglés o en ambas?. 
P(A∪B)= 80/200 + 40/200 – 30/200 
Teorema de la Probabilidad Total: Si A1, A2,……….., An, ∈ 𝑆 es un sistema exhaustivo 
y excluyente de sucesos, entonces, para cualquier suceso B de S : 
𝑃(𝐵) = ∑ 𝑃(𝐴 ). 𝑃(𝐵/𝐴 ) (es la suma exhaustiva de las probabilidades de todos los 
casos mutuamente excluyentes que conducen a dicho evento 
Ejemplo: 
Atendiendo al nivel de contaminación, una ciudad está dividida en tres zonas A, B y C. 
El 50% de la población vive en la zona A, el 40% en B y el resto en C. El nivel de 
contaminación influye en la incidencia de una determinada enfermedad pulmonar; dicha 
enfermedad afecta a 10 de cada 100 personas que viven en A, mientras que sólo afecta a 
1 de cada 100 de las que viven en B y a 5 de cada 1.000 en C. ¿Cuál es la probabilidad 
de que una persona de esa ciudad, elegida al azar, contraiga esa enfermedad pulmonar?. 
De acuerdo la situación tenemos el siguiente esquema: 
 
 
Donde A,B y C son los eventos excluyentes cuya unión representa toda la ciudad e I el 
suceso incidencia que puede provenir de alguno de los eventos anteriores. 
Completando el esquema con los datos del problema, tenemos que : 
P(I)=P(A).P(I/A)+P(B)P(I/B)+P(C).P(I/C)→P(I)=0,0545→ 𝑃(𝐼) ≅5,5% 
 
Teorema de Bayes: Si A1, A2,……….., An, ∈ 𝑆 es un sistema exhaustivo y excluyente de 
sucesos y B un suceso del cual conocemos todas las probabilidades P(𝐴 ), i=1,2,3,…n a las 
que denominaremos verosimilitudes. Entonces se cumple que, para cualquier j=1,2,……,n 
𝑃(𝐴 /𝐵) =
𝑃 𝐴 . 𝑃(𝐵/𝐴 )
∑ 𝑃(𝐴 ). 𝑃(𝐵/𝐴 )
 
 
 
Nota: Este teorema es utilizado para calcular la probabilidad de un suceso, teniendo 
información de antemano sobre ese suceso. Por otra parte, tiene vinculación íntima con la 
comprensión de la probabilidad de aspectos causales dados los efectos observados. 
 𝑃(𝐴 ) probabilidad de la causa y 𝑃(𝐵/𝐴 ) probabilidad del suceso con respecto a la 
causa. 
Ejemplo: Con respecto al problema anterior sobre el nivel de contaminación que influyeen la incidencia de una determinada enfermedad pulmonar, ¿cuál es la probabilidad de que 
una persona elegida al azar viva en la zona C sabiendo que está afectada por dicha 
enfermedad?. 
Aquí los aspectos causales son las distintas zonas que corresponden a la ciudad y los 
efectos observados son las respectivas incidencias. Observando el esquema y la Fórmula 
de Bayes, se tiene que : P(C/I)= 
,
, , ,
→P(C/I)≅0,009