10-DESCARGAR-FRACCIONES-ALGEBRAICAS--ALGEBRA-TERCERO-DE-SECUNDARIA

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3 
AÑO 
Fracciones algebraicas 
 
 
 
 
 
La historia del número irracional "" 
 
 = 3.141592653589793 ... 
 
 
 
 
 
Fracción algebraica 
 
 
 
Fracciones 
 
Los antiguos le daban un valor de 3 con lo que erraban 
 
Es una expresión que se puede escribir como cociente 
 
en un 5 %; Arquímedes le dio el valor
 
 
22 
, los chinos en el
 
 
de dos polinomios 
P(x) 
Q
 
 
. El polinomio "P(x)" es el 
 
7 
 
siglo I le asignaron el valor de 10 con un error de 
1 
. 
50 
(x) 
numerador y "Q(x)" el denominador de la fracción, donde 
Q(x)  0 
 
Ejemplo: 
 
En la India un valor de 3,1416, con un error de 
 
1 
. 
400 000 
 
3x  4 
x
2 
 6x  8 
 
x3  2y2 
y 
x 4  3xy  2y3 
 
En el siglo XVII, Adriano Mecio le asigna la fórmula son fracciones algebraicas 
 
Las reglas para el cálculo con fracciones algebraicas
 
355 
, con un error de 
113 
1 
. Legendre, en 1794, 
10 000 000 
 
son las mismas que las correspondientes de las fracciones 
en Aritmética. Una de las fundamentales es: El valor de 
demostró que "" no podía ser una fracción, y en 1882 
Lindemann probó que era un número trascendente , y por 
tanto no podía ser solución de ninguna ecuación cuyos 
coeficientes fueran enteros. 
 
Actualmente las máquinas electrónicas lo calcularon con 
una fracción no se altera si se multiplican, o dividen, el 
numerador y el denominador por una misma cantidad, 
siempre que ésta sea distinta de cero. En estas condiciones 
las fracciones se llaman equivalentes. 
 
Por ejemplo, si se multiplica el numerador y denomi- 
 
x  2 
por (x - 1), se obtiene la fracción equivalente:
 
más de diez mil decimales. Semejante precisión no tiene nador de: 
 
x  3 
aplicación práctica. (x  2) (x  1) 

(x  3)(x  1) 
x2  x  2 
x2  4x  3 
 
siempre que (x - 1) sea distinto 
El valor asignado por los chinos, o sea 10 , es 
sumamente práctico; basta construir un triángulo rectángulo 
de la siguiente forma: uno de los catetos se lo construye 
de cero, es decir, x  1. 
 
Análogamente, la fracción 
 
 
x2  3x  2 
x2  4x  3 
 
 
 
se puede 
igual al diámetro de la circunferencia, y el otro cateto igual 
a tres veces dicho diámetro. La hipotenusa del mismo es 
 
expresar por 
(x  2) (x  1) 
(x  3) (x  1) 
 
y dividir, entonces, su numerador 
igual a la longitud de la circunferencia. y denominador por (x + 1), siempre que (x + 1) sea distinto 
 
Si consideramos el diámetro de una circunferencia igual 
a la unidad, su longitud será: 
 
de cero, o bien, x  -1, obteniéndose 
 
x  2 
. 
x  3 
 
La operación 
 
. d 
 
Si: d = 1, longitud de la circunferencia es igual a: .1 = 
de dividir por un factor común al numerador y denominador 
recibe el nombre de simplificación y se indica tachando el 
término común; por ejemplo: 
(x  2) (x 1) 
 
 x  2) 
.
 
Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo antes 
mencionado, cuyo cateto menor es 1, y el mayor 3, su 
(x  3) (x 1) (x  3) 
hipotenusa será: 
 
 
32  12  10 
Simplificar una fracción, es transformarla en otra 
equivalente cuyo numerador y denominador no tengan más 
factores comunes que la unidad, ±1. La fracción que resulta 
es i rr ed uc ti bl e. E st a re du cc ió n se l le va a c ab o 
des compon iendo en f actore s el numer ador y el 
denominador, simplificando, seguidamente, los factores 
comunes siempre que sean distintos de cero. 
 
2 
Ejemplo: El producto de dos o más fracciones es otra fracción 
cuyo denominador es el producto de los numeradores, y 
cuyo denominador es el producto de los denominadores. 
x 2  4xy  3y2 
 
(x  3y) (x  y) 
x  3y 
x 2  y2 (x y) (x  y) x  y Ejemplos: 
 
También: 2 
. 
4 
. 
15 
 
2. 4 .15 
 
1 
3 5 16 3.5.16 2 
 
a 
 
a
 
  
a 
; 
 a 

 
a 
;   
 a 
   
a
 
x2  9 
 
x  5 
 
(x  3) (x  3) 
 
x  5 
   .  . b  b b  b b   b  b x2  6x  5 x  3 (x  5) (x 1) x  3 
 
* Muchas veces la simplificación consiste en un cambio 
de signo. 
 
Ejemplo: 
 
 
(x  3) (x  3) (x  5) 

(x  5) (x 1) (x  3) 
 
x  3 
x 1 
 
 
x  3x  2 
 
(x  2) (x  1) 
 
(x  2) (x  1) 
 
x  1 
 1  x 
El cociente de dos fracciones es otra fracción que se 
obtiene multiplicando la fracción dividendo (o fracción 
numerador) por el recíproco de la fracción divisor (o fracción 
2  x 2  x  (x  2)  1 denominador). 
 
 
La suma algebraica de fracciones que tienen el 
mismo denominador es otra fracción cuyo numerador es la 
Ejemplos: 
 
3 
suma algebraica de los numeradores de las fracciones 3  
5 ó 8  
3 
. 
4 
 
3 
dadas, y cuyo denominador es el denominador común. 
 
Ejemplos: 
8 4 5 8 
4 
 
 
7 
 
xy 

2 
5 10 
 
 
 
7 
 
 
 
 
. 
x  2 
 
7 
• 
3 
 
4
 
5 5 
 
2 
 
1
 
5 5 
 
3  4  2  1 

5 
2 
  
2
 
5 5 
x  4 x  2 (x  2)(x  2) xy xy(x  2) 
 
 
2 
• 
x  3 


 
 
3x  4 

x  3 
 
 
x 2  5 
x  3 
=
 
Una fracción compuesta es aquella que tiene una o 
más fracciones en el numerador o en el denominador. Para 
simplificarla: 
 
1. Se reducen el numerador y denominador a fracciones 
 
2  (3x  4)  (x 
2
  5) 

x 2  3x  3 simples. 
2. Se dividen las dos fracciones que resultan. 
x  3 x  3 
 
Para sumar y restar fracciones de distinto 
x  
1 x 
2 
 1 
2 2
 
denominador, se transforman éstas en otras equivalentes 
que tengan un denominador común. 
 
Ejemplos: 
 x 
1  
1 
x 
 x  
x 
 x  1 
x 
 1 
. 
x 
x x  1 
 
x  1 
x  1 
 
• 
3 
 
4
 
4 5 
 
7 
 
15 
10 20 
 
16 
20 
 
14 
20 
 
15  16  14 
20 
 
13 
20 
 
(x  1)(x  1) 
(x  1) 
 
 x  1 
 
 
2 3 x 2(14)  3(7x)  x(2x2) 28  21x  2x3 
•   
x2 2x 7 
 
14x
2
 

14x2 
 
 
2x  1 3 (2x 1)(x 1)3x 2x2 4x 1 
•  
x(x 2) (x 2)(x 1) 
 
x(x 2)(x 1) 

x(x 2)(x 1) 
 
a) m - 1 b) m - 2 c) m - 3 
d) m - 4 e) m - 5 
 
2 
 Problemas resueltos 
 
1. Simplificar: 
 
M  
a 
 
 
 
 
 
 2 a 3 
 
 
 
Bloque I 
 
1. Efectuar:
 
 
Problemas para la clase 
a2  a  6 
2 2
 
Solución 
 
Buscando reducir numerador y denominador, para esto 
tratamos de factorizar. 
 
• a2 + 2a - 3 = (a + 3) (a - 1) 
a 3 
 
 
 
 
a 
a) 
x - y 
 
a - x 
a x - a y 
ax2 - ay2 
 
 
a 
b) 
x  y 
c) 
 
x 
 
 
 
 
a  x 
a  y 
a -1 
 
• a2 + a - 6 = (a + 3) (a - 2) 
a 3 
a -2 
d) 
a - y 
 
 
2. Efectuar: 
e) 
y 
 
* Reemplazando: 
 
e indique como respuesta el denominador. 
 
 
 
 
2. Efectuar: 
M  
(a  3) (a  1) 

(a  3)(a  2) 
 
 
 
2
 
a  1 
a  2 
 
 
 
2
 
 
a) n b) n + 1 c) n - 1 
d) n + 2 e) 1 
 
3. Simplificar: 
B  
(a  1)  
1  a y
2 
 2y - 3 
 
Solución: 
a  1 1  a y2  y - 6 
 
Factorizando los numeradores por diferencia de 
cuadrados. 
 
y - 1 
a) 
y - 2 
 
y  1 
d) 
 
y  1 
b) 
y  2 
 
y 
e) 
 
1 
c) 
y 
B  
(a  1)(a  1) 

(a  1) 
(1  a)(1  a) 
(1  a) 
y 2 
 
4. Efectuar: 
 
 
 
3. Efectuar: 
B = a - 1 + 1 + a = 2a 
 
x2 - 1 
x  1 
 
1 - x2 

1 - x 
 
M 
 
 
Solución: 
 
m  5 
m2  7m  10 
 
 
m  1 
m2  m  2 
 
a) x b) 2x c) 3x 
d) 2 e) 1 
 
5. Efectuar: 
 
Primero verifiquemos que cada fracción sea irreductible. 
35 - 7x 

x2 - 25 
7 
x  5 
 
 
M  
m  5 
(m  5) (m  2) 
m2  7m 10 
Aspa simple 
 
 
m  1 
(m  1)(m  2) 
m2 m2 
Aspa simple 
a) 1 b) 0 c) 2 
d) 3 e) 14 
 
6. Reducir: 
 
m2n - 8mn  15n 
 
M  
1 
m  2 
 
 
1 
m  2 
mn - 3n 
 
 
M = 0 
 
7. Reducir: 
 
 
ax  ay  bx  by 
am  bm  an  bn 
13.Simplificar: 
 
 
x2y3  8xy3  7y3 
x2y3  xy3 
 
 
a) x  y 
m - n 
 
b) x - y 
m  n 
 
c) a - b 
m - n 
x  7 
a) 1 b) x + 7 c) 
x 
 
1 
d) x  ym  n 
e) a 
b 
d) 
x 
 
14.Reducir: 
e) 0 
8. Efectuar: 
 
x  5 

x 2  7x  10 
 
 
x - 1 
x 2  x - 2 
 
6x2  x - 1 
10x - 3 - 3x2 
 
 
2x  1 
x - 3 
 
a) 1 b) 0 c) - 1 a) x b) 1 c) 
x 
1 1 
d) e) 
d) - 1 e) 0 
 
15.Reducir: 
9. Efectuar: 
 
6x2 - x - 2 
 
a2 
- a 
a - b 
2
 
2x2  7x  3 
 
señalar el numerador de la fracción resultante. 
b 
 b 
a - b 
a) a b) b c) 1 
a) x + 3 b) 2x + 3 c) 3x - 2 
d) 4x + 1 e) 2x - 3 
 
10.Al simplificar: 
 
a b 
d) - e) 
b a 
 
x 
- 
x - y 
 
x 
x  y 
16.Efectuar: 
 
a - b 

 
 
2a 
- 
 
 
a3  a2b 
y 
x - y 
y 

x  y 
b a - b a2b - b3 
 
se obtiene: 
 
a) x y b) x c) y 
b 
a) b) 
a - b 
a 
c) 
a - b 
 
a 
1 
a  b 
 
x 
d) 1 e) 
y 
 
 
Bloque II 
d) (a - b)- 1 e) 
b 
 
17. Simplificar: 
 
 
 
 
 
-1 
 x
3 
- x
2
y 
 
11.Calcular el numerador de la fracción que resulta de 
efectuar: 
[x - xy(x + y)-1]  2 
 x 
2 - y 
 
1 

x - 1 
4 
- 
x2 - 1 
 
x  3 
x2 - 2x  1 
a) - 1 b) 1 c) x 
 
x 
d) x2 e) 
y 
a) 1 b) x c) -8 
d) x + 1 e) 2 
 
12.Simplificar: 
 
(x - y)(z - x) 
- 
(x - z)(y - x) 
 
 
18.Simplificar: 
 
 
 
(x - 5)(y - 8)(z - 1) 
(8 - y)(5 - x)(1 - z) 
(y - x)(b - a) (a - b)(x - y) 
a) 1 b) - 1 c) 0 
 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 0 
 
1 
d) 2 e) 
3 
 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5 
 

19.Simplificar: 
 
 
x - 
1 
24.Simplificar: 
 x - 1  x  1  
1  
1 - 
1  x 3 (x  3)
 
 5
 
 
x 2 - x 
 
 
a) 1 b) x - 1 c) x2 
d) x e) - 1 



 
x - 
x - 4 
 
x  5  
 
 
1 
 
20.Simplificar: 
 
 
 
1  
a 
a) x b) 1 c) 
x 
d) 2x e) x + 5 
a  1 
 
 1 - a 25.Hallar el verdadero valor de la fracción: 
a - 1 1 - 
a 
a  1 
 
 
 
para: x = - 1 
x 2 - 1 
x 3  1 
a) 1 b) 0 c) - 1 
d) 2 e) - 2 
 
 
Bloque III 
 
21.Efectuar: 
 
 
2 
a) 3 b) 1 c) - 
3 
 
1 1 
d) - e) 
3 3 
 
x - 4  
4 
 
26.Calcular el verdadero valor de: 
2  x 
1 - 
2
 
x 
 
 
 
para: x = 5. 
x 2  2x - 35 
x 2 - 3x - 10 
 
 
1 
a) b) 2 c) x 
x 
d) 1 e) - x 
 
22.Efectuar: 
1 7 3 
a) b) c) 
7 12 7 
 
5 12 
d) e) 
12 7 
 
a - b - 
1 
 
27. Calcular el verdadero valor de: 
 a b 
2
 x 4 - x 3 - 12x 2 
a - 
b  1 
a 
 
 
para: x = - 3. 
x 2 - 4x - 21 
 
 
a) (a + b)- 1 b) 
 
b 
 
b 
a - b 
 
a 
 
a 
c) 
a - b 
a) 5,1 b) 6,3 c) 7,2 
d) 6,8 e) 8,1 
 
28.Sabiendo que: 
d) 
a  b 
e) 
a  b 
 
ac  b(a  b) 
 3 
23.Efectuar: 
 
Calcular: 
 
 a 
bc 
 
 
 b 
 


 
x 
xy  M =  
b 
 1 
c 
1
 x - y   x - y 
  
 . 

 x -  
xy   x  y 

 x  y 
 
a) - 1 b) 1 c) 0 
d) x e) y 
 
2 
29.Hallar: 
 
 
m2  3m 

m  n 
 
 
m3  3n2 
mn  n2 
4. Efectuar y reducir: 
 
 
M  
1 
 
1 
 
Si: m2n- 1 = 2 
(a  b)(a  c) (a  b)(c  a) 
 
a) 2 b) 8 c) 10 
d) - 1 e) 5 
 
a) 1 b) 0 c) 
 
 
1 
 
1 
a  b 
30.Simplificar: 
 
x 3n 
- 
 
 
x 2n 1 1 
- 
d) 
c  a 
e) -1 
x n - 1 x n  1 x n - 1 x n  1 
5. Simplificar: 
a) x2n + 1 b) x2n - 2 c) x2n + 2 
d) xn + 2 e) xn - 2 
 
 
a2 (a  b)  ab(a  b) 
a
2 
(a
2 
 b
2 
) 
 
 
 
 
 
 
 
1. Simplificar: 
Autoevaluación 
 
1 
a) a b) 1 c) 
a 
d) -1 e) 0 
 
M  
3x 
 
 4x  15 
(x) 
x2  5x  6 
 
dar su denominador. 
 
a) x - 1 b) x - 2 c) x + 3 
d) x - 3 e) x + 5 
 
 
2. Transformar y simplificar: 
 
 
 
R (x) 
x2  4 
5ax  10a 
 
 
a) x  1 
a 
 
d) 
 
x x  
y 
b) x  2 
5a 
 
e) x  2 
5a 
c) x  2 
3a 
 
 
 
3. Simplificar: 
 
x 2  x  xy  y 
M 
x 2  2xy  y 2 
 
 
a) x  1 
x  y 
 
d) 
 
x 
x  
y 
b) x  1 
x  y 
 
e) x  y 
x  1 
 
c) x  1 x 
 y 
 
Claves 
 
1. b 
2. b 
3. a 
4. b 
5. c