05-DIVISIÓN-DE-POLINOMIOS-HORNER-RUFFINI-Y-TEOREMA-DEL-RESTO

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4 
AÑO 
División de polinomios: 
Horner 
 
 
 
 
División de polinomios 
 
 
Es aquella operación algebraica que tiene como objetivo 
encontrar dos únicos polinomios llamados cociente entero q(x) 
y residuo R(x) a partir de otros dos polinomios llamados 
dividendo D(x) y divisor d(x). 
 
D(x) 
R(x) 
 
d(x) 
q(x) 
 
 
la 
Identidad fundamental 
 
Propiedades Clases de división 
 
es 1 exacta 
 
 
D(x)  d(x).q(x) + R(x) 
d(x) 0 
El grado del dividendo es mayor 
o por lo menos igual al grado 
del divisor: D°  d° 
 
R(x)  0 
 
para: x = 1 2 inexacta 
 
D(1)  d(1).q(1) + R(1) 
Suma de coeficientes 
del dividendo 
El grado del cociente es igual 
al grado del dividendo menos 
el grado del divisor: q° = D° - d° 
 
R(x)  0 
 
para: x = 0 3 
 
D(0)  d(0).q(0) + R(0) 
Término independiente 
del dividendo 
El grado máximo del resto es 
igual al grado del divisor 
disminuido en 1: R°max. = d° - 1 
 
 
Para todos los métodos es necesario que el dividendo y 
divisor estén ordenados y completos en forma descendente, 
si falta algún término completar con el cero. 
 
Por ejemplo, así en la división: 
2x5  3x2 - 1 
2x3 - x2  6 
completando con ceros se tiene: 
2x5  0x 4  0x3  3x2  0x - 1 
2x3 - x2  0x  6 
 
Método de Horner 
 
Para este método sólo se utilizarán coeficientes empleando 
el siguiente esquema: 
 
Con su 
 
1. Se distribuyen los coeficientes del dividendo en forma 
horizontal. 
2. Se distribuyen los coeficientes del divisor en forma 
vertical donde el primero de ellos lleva signo propio y 
los restantes se colocan con signo cambiado. 
3. La línea que separa el cociente del resto se traza de 
acuerdo al grado del divisor. Es decir, se cuenta de 
derecha a izquierda tantos lugares cómo lo indica el 
número que representa el grado del divisor. 
4. Se dividen los primeros coeficientes del dividendo y 
divisor, siendo este el primer coeficiente del cociente. 
5. Se multiplica el primer coeficiente del cociente por los 
términos que cambiaron de signo y los resultados se 
escriben en fila a partir de la segunda columna; se reduce 
los coeficientes de la segunda columna dividiendo este 
resultado entre el primer coeficiente del divisor, el 
resultado es el segundo coeficiente del cociente. 
6. Se continuará hasta completar los coeficientes del 
mismo signo 
 
 
Con 
signo 
cambiado 
D D I V I D E N D O 
I 
V 
I 
S 
O 
R C O C I E N T E R E S I D U O 
cociente y residuo. 
 

 Problemas resueltos 
 
1. Dividir: 
Solución: 
Utilizando el esquema de Horner: 
1 a b c d e 
2
 
4x5 - 12x4  13x3  12x2 - x  1 
2x2 - 3x  1 
0 0 a

2 
0 
 
2
 
 
b
2
 
0 
 
 
 
c
2
+a
4
 
Solución: 
Utilizando el esquema de Horner: 
a 
En el residuo: 
b c+a 0 0 
2 4 -12 
3 6 
-1 
13 12 -1 1 
-2 
-9 3 
3 -1 
- d + b2 = 0  2 = - 
d 
... (1) 
b 
- e + c2 + a4 = 0 ... (2) 
Reemplazando (1) en (2): 
 
2
 
27 -9  
- 
d   
- 
d 
2 -3 1
 
9 25 -8
 e + c  b 
 + a   = 0 
- El divisor: 
 
 
2x2 - 3x + 1 
   b 
 
cd ad
2 
es de grado: d° = 2, entonces separamos dos 
columnas para el residuo. 
 
- 
D  5 
 q° = 5 - 2 = 3; R°  1
 
d  2 
e - + = 0 
b b2 
Transformando: 
eb2 - cbd + ad2 = 0 
 ad2 + b2e = cdb 
- Finalmente: 
q(x) = 2x3 - 3x2 + x + 9 
R(x) = 25x - 8 
 
4. Determinar “” para que el polinomio: 
x4 + y4 + z4 - (x2y2 + y2z2 + x2z2) 
sea divisible por (x + y + z). 
2. La siguiente división: 
 
ax 5  bx 4  1 
(x - 1)2 
es exacta. Hallar “a” y “b”. 
 
Solución: 
 
 
 
; x  IR - {1} 
 
Solución: 
Calculando el residuo de la división: 
- Se iguala el divisor a cero: 
x + y + z = 0 
- Con la anterior, se cumple: 
x4 + y4 + z4 = 2(x2y2 + y2z2 + x2z2) 
En toda división exacta se establece que es posible 
invertir los coeficientes del dividendo y divisor y ésta 
seguirá siendo exacta. 
Ordenando y completando se tiene: 
 
ax5  bx4  0x3  0x2  0x  1 
x2 - 2x  1 
Utilizando el esquema de Horner: 
- Reemplazando en el dividendo: 
R = 2(x2y2 + y2z2 + x2z2) 
- (x2y2 + y2z2 + x2z2) 
- Como es divisible entonces: R  0 
2(x2y2 + y2z2 + x2z2)  (x2y2 + y2z2 + x2z2) 
Finalmente:  = 2 
 
 
Problemas para la clase 
 
1 1 0 
2 2 
-1 
 
0 0 b a 
-1 
4 -2 
6 -3 
 
1. Dividir: 
 
 
 
10x 4  6x3 - 37x2  36x - 12 
5x2 - 7x  3 
8 -4 
e indicar el resto. 
1 2 3 4 (b + 5) (a - 4) 
 
a) 2x + 1 b) 2x - 1 c) 3x + 1 
En la columna del residuo: 
b + 5 = 0  b = - 5 
a - 4 = 0  a = 4 
d) 3x - 1 e) 3x - 3 
 
2. Dividir: 
 
3. La siguiente división: 
ax4 + bx3 + cx2 + dx + e ÷ (x2 - 2) 
es exacta. Calcular el valor de: ad2 + b2e 
12x 4 - 14x3  15x2 - 6x  4 
4x2 - 2x  1 
e indicar la suma de coeficientes del cociente. 
 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5 
 
3. Calcular “m.n”, en la siguiente división exacta. 
 
8x 4  6x3 - 23x2  mx - n 
4x2 - 3x  1 
 
a) 15 b) 19 c) 11 
d) 48 e) 60 
 
4. Calcular “m + n + p”, si la división: 
 
8x5  4x 3  mx 2  nx  p 
2x 3  x 2  3 
deja como resto: 
R(x) = 5x2 - 3x + 7 
 
a) 32 b) 23 c) 21 
d) 15 e) 12 
 
5. En la división: 
 
6x3 - 12x2  3ax  a 
3x2  3 
el residuo toma la forma “mx + m”. Calcular “m + a”. 
 
a) 21 b) - 21 c) 30 
d) - 30 e) 9 
 
6. Calcular “a - b” en la siguiente división exacta. 
7. En la siguiente división exacta: 
 
6x 4  11x3  Bx2 - 7x - 3B 
3x2  4x  5 
Hallar el valor de “B”. 
 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5 
 
8. Calcular “A - B” si la división es exacta: 
 
x7  Ax  B 
x2  x  1 
 
a) 3 b) - 2 c) 2 
d) 1 e) - 1 
 
9. Si la división: 
 
x5  3x 4 - 3x3 - 4x2  Ax  B 
x2  2x - 2 
deja por resto: 2x - 1, calcular “A + B”. 
 
a) 7 b) 8 c) 9 
d) 23 e) 24 
 
10.En la división: 
 
ax 4  bx3 - 4x2  19x  14 
3x2 - x  7 
2x 4  5x3  Ax  A 
x2 - x  1 
el residuo es un término constante, indique dicho resto. 
 
a) 13 b) - 13 c) 7 a) -1 b) -4 c) -2 
d) - 7 e) 3 d) -8 e) -3 
 
 
 
 
Comparación cuantitativa 
 
A continuación se propone en cada pregunta, dos expresiones o enunciados matemáticos y se pide determinar la relación 
entre ambos, considerando las siguientes alternativas : 
 
A. La cantidad en A es mayor que en B. 
B. La cantidad en B es mayor que en A. 
C. La cantidad en A es igual a B. 
D. No se puede determinar. 
E. ¡NO DEBE USAR ESTA OPCIÓN! 
 
 
Preg. Información Columna A Columna B 
 
Al dividir: 
 
 
11 
 
se obtiene: 
 
 
6x 4  13x3  6x2 - 3x  5 
2x2  3x  2 
 
 
 
q(2) R(-1) 
q(x) = cociente 
R(x) = residuo 
 
a) 4 - x b) 4x c) x 
d) x + 4 e) x - 4 
 
Preg. Información Columna A Columna B 
 
Dividir: 
 
12 
 
 
4x 4  3x2  8x - 5 
2x2  x - 1 
 
Suma de 
coeficientes 
del cociente 
 
Término 
independiente 
del residuo 
 
La división: 
 
13 x
5 
 3x 4 - 3x3 - 4x2  Ax  B 
x2  2x - 2 
deja como resto “2x - 1”. 
 
Dada la división exacta: 
 
14 8x 
4 - 2x3  7x2  mx  n 
4x2  x  2 
 
 
A  B 
A - B - 25 
 
 
 
 
m - n 
m 
 
 
 
B2 
 
 
 
 
 
n - m 
n 
 
Al dividir: 
 
 
15 
 
 
6x 4  Ax3  Bx2  Cx  D 
3x2  2x - 1 
 
 
 
 
A - C B - D 
se obtiene un cociente cuyos coeficientes son 
números enteros consecutivos y un resto igual a 
“2x + 7”. 
 
 
 
Suficiencia de Datos 
 
En cada caso se plantea un problema y se ofrecen dos 
datos o dos series de datos para resolverlo. Debe 
determinar qué datos se necesitan y marcar de acuerdo a 
estas alternativas: 
 
A. El dato I es suficiente y el dato II no lo es. 
B. El dato II es suficiente y el dato I no lo es. 
C. Es necesario utilizar I y II conjuntamente. 
D. Cada uno de los datos por separado, es suficiente. 
E. Se necesitan más datos. 
 
16.En la división: 
 
6x5 - 2ax 4  5bx2  cx 
3x2 - x  3 
I. D(x) = d(x) q(x) + R(x) 
II. q(x) = x2 - 5x + 2 
 
18.Si: 
P(x) = ax4 + bx3 + cx2 + 3x + 1 
se divide por: x2 - x + 1. 
Calcule “a + b + c”. 
 
I. Suma de coeficientes del cociente es 22. 
II. Suma de coeficientes del residuoes 9. 
 
 
19.Si la siguiente división: 
 
2x 4  3x2  (A  1)x  (B - 3) 
2x2  2x  3 
deja como residuo: R(x) = x + 3. 
 
Hallar: 
 
a3  b3 
 
 c3 
Hallar “A.B” 
3 
 
I. Los coeficientes del cociente disminuyen de 2 en 2. 
II. El residuo es un polinomio de grado 0. 
 
17. El residuo en la siguiente división: 
a) 9 b) - 9 c) 0 
d) 11 e) 21 
 
20.En la división indicada: 
 
x6 - 25x2  x - 4 
3
 
ax5  bx4  cx3  2x2 - 5x - 3 
2x3  x2 - x - 2 
es: 7x2 + 8x - 3. Calcular “a + b + c”. 
 
Hallar el residuo. 
x - 5x 
 
3 
 
K1 
K2 
4 -12 
6 -18 
-14 42 
 2 3 -7 
 
a) 10 b) 4 c) 6 
d) 3 e) N.A. 
 
a) 1 b) 3 c) 4 
d) 5 e) 7 
 
a) 10 b) 8 c) 4 
d) 6 e) N.A. 
 
21.Si: {m; n}  ZZ y al efectuarse la división: 
 
x3 - x 
el resto obtenido es: 6ab + b2. 
Calcular: 
x2  mx  n 3a
2
  b2 
2
 
se obtiene como resto 6. 
Calcular “m + n”. 
 
a) 0 b) 1 c) 2 
d) 5 e) 4 
 
22.Calcular: (m + p)n, si la siguiente división: 
a 
 
a) 6 b) 8 c) 10 
d) 12 e) 14 
 
27. Si la división: 
 
 
 
 
tiene residuo: 
 
mx 4  nx 3  px 2  17x - 5 
2x 2 - x  2 
 
R(x) = 6x - 3 
Ax 4 - 7x3  Bx2  15x - 9 
4x2 - 3x  2 
deja como residuo: 2x - 3 
Hallar “A - B”. 
y un cociente cuya suma de coeficientes es 4. 
 
a) 10 b) 70 c) - 70 
d) 100 e) - 7 
a) 12 b) - 14 c) 28 
d) - 12 e) 14 
 
28.En el esquema de Horner mostrado: 
 
23.Calcular “b - a” si al dividir: 
 
ax 4  bx3  13x  18 
3x2 - x  7 
se obtiene como resto “2x - 3”. 
1 
m 
2 
 
 
 
 
Determinar: 
3 a 1 
9 d 
e 
 
 
n -2 p 
b c 
 
 
f 
g h 
4 -3 
 
 
24.Al efectuar: 
 
 
 
 
2x5  7x 4 - 3x3  5x  1 
x3  3x2 - 4x  K 
(m +n + p) - (a + b + c) 
 
a) 12 b) 18 c) 14 
d) 17 e) N.A. 
 
29.Si el polinomio: 
se obtiene un residuo de primer grado. Calcular dicho 
resto. 
 
es divisible por: 
ax7 + bx5 - 1 
 
mx5 + nx4 + px3 - x - 1 
a) 13x + 4 b) 14x + 3 c) 12x + 4 
d) 13x + 3 e) 12x + 3 
calcular el valor de “ab + mn + p”. 
 
25.En la división: 
 
6x5 - x 4  ax3 - 3x2  4 
3x3 - 2x2 - x - 2 
 
 
 
30.En el esquema de Horner mostrado: 
se obtiene como resto: bx + c. 
Indique “a + b + c”. 
 
a) 3 b) - 4 c) - 2 
d) - 1 e) 2 
A1 A2 A3 A4 A5 
6 8 
26.En la división: 
 
9x 4  6ax 3  (a2  3b)x 2  abx  9a2 
3x 2  ax - b 
 
se pide encontrar el mayor coeficiente del dividendo. 
 
 
 
Autoevaluación 
 
1. Dividir: 
 
x 4  4x3  6x2 - 7x  2 
x2  2x  1 
a) - 25 b) 25 c) 24 
d) 21 e) 0 
Indicar el resto. 4. Calcular “a
b” si la división: 
 
a) 1 - 10x b) 1 + 11x c) 1 - 11x 
ax 4  bx3  7x2 
 
 10x  3 
d) 10x - 2 e) 4x - 1 
 
 
es exacta. 
3x2  x  3 
 
2. Calcular “a + b” si la siguiente división: 
 
5x 4  4x 3 - 13x 2  ax  (b  1) 
x 2  2x - 1 
deja como residuo a: -12. 
a) 1 b) 27 c) 16 
d) 4 e) 2 
 
 
5. Si: 
 
a) 2 b) 3 c) - 3 
x5  3x 4 - 3x 3 - 4x 2 
 
 (A - 1)x  (B  1) 
d) - 2 e) 1 
 
 
3. Calcular (mn)2 si la siguiente división: 
 
6x 4  5x3  2mx - 3n 
2x2  x  3 
x 2  2x - 2 
deja como resto 4x - 10, calcular “A + B”. 
 
a) 4 b) 3 c) 2 
d) 1 e) 0 
es exacta. 
 
 
4 
AÑO 
 - 
a 
a 
División de polinomios: 
Ruffini - Teorema del Resto 
 
 
 
Método de Ruffini 
 
Se aplica cuando el divisor es un polinomio de primer grado 
 
 
 
Solución: 
Por Ruffini: 
3x - 1 = 0 3 
 
 
 
 
 
5 -17 8 7 
de la forma: 
ax + b ; a  0 x = 
1  1 
3 
2 -5 1 
 
Al igual que en Horner, utilizaremos sólo coeficientes 
cumpliendo el siguiente esquema: 
3 6 -15 3 8 
   
1 2 -5 1 
 
 
D I V I D E N D O 
 
Como: 
q° = 4 - 1 = 3 
Coeficientes del cociente 
ax + b = 0 
 
 
x = - 
b 
a 
 
 
 
 
 
C O C I E N T E R E S T O 
q = x3 + 2x2 - 5x + 1 
R = 8 
 
 
Teorema del Resto 
 
Se utiliza para calcular el resto sin tener que efectuar la 
división, se aplica cuando el divisor es un polinomio de 
primer grado de la forma: ax + b, y en algunos casos 
 Problemas resueltos 
 
1. Dividir: 
especiales. 
 
Sea P(x) un polinomio no constante. El resto de dividir P(x) 
3x5 - 2x 4  7x3 - 11x2  5x  1 
x - 2 
 
por (ax + b) donde: a  0, viene dado por P 

 
b 


 
Solución: 
Por Ruffini: 
 
x - 2 = 0 
x = 2 
 
 
 
 
3 -2 7 
 6 8 
3 4 15 
 
 
 
 
-11 5 1 
30 38 86 
19 43 87 
Demostración: 
 
Sea la división: P(x) ÷ (ax + b), de residuo “R”. 
De la identidad fundamental, se tiene: 
P(x)  (ax + b)q(x) + R 
b 
 
 
Como: 
resto 
En esta identidad “R” se obtiene cuando: x = - 
a 
 

q° = 5 - 1 = 4
 
 - 
b  
=  a - 
b 
  b  q  - 
b 
 + R  P  - 
b 
 = 0 + R
 
 
q(x) = 3x4 + 4x3 + 15x2 + 19x + 43
 P  
 
 a 
  
  a 
  
 a 

 
R(x) = 87 
 a  
  
0 
 
Observación: Si el divisor: ax + b; a  1, luego de dividir 
Finalmente: 
 
 
- 
b 

por Ruffini, los coeficientes del cociente deben dividirse entre 
“a” para obtener el cociente correcto. 
R = P  
 
 
 
2. Dividir: 
 
3x 4  5x3 - 17x2  8x  7 
3x - 1 
Regla para calcular el Resto 
 
- Se iguala el divisor a cero. 
- Se calcula el valor de la variable que aparece con 
frecuencia en el dividendo. 
- El valor obtenido se reemplaza en el dividendo. 
 
 Problemas resueltos 
 
1. Hallar el resto de dividir: 
Solución: 
Por Ruffini, ordenando y completando: 
2x2  5x  3 
x - 2 + 1 = 0 1 0 (3 2 - 2) 0 0 (2 2 + 7) 
2x - 1 x = 2 - 1  2 - 1 (3 - 2 2) 1 2 - 1 3 - 2 2 
 
Solución: 
Siguiendo la regla antes mencionada: 
- 2x - 1 = 0 
 
1 
1 2 - 1 
 
Finalmente: R(x) = 10 
(1 + 2) 1 2 - 1 10 resto 
- x = 
2 
 
 
 1 

2 
 
 
 
1 

5. Hallar el residuo en la siguiente división: 
 
(x - 4)4  (x - 2)5
 
- Resto = 2   + 5   + 3 
 2 
1 5 
 2 
x2 - 6x  8 
Resto = 
2 
+ 
2 
+ 3  Resto = 6 
Solución: 
Aplicando la identidad fundamental: 
D(x)  d(x).q(x) + R(x) 
2. Calcular el residuo en la división: 
 
(x  1)(x - 2)(x  4)(x - 5)(x  7)(x - 8)  1 
(x  9)(x - 10) 
Donde: R°
máx. 
= d° - 1 
Reemplazando datos: 
 
(x - 4)4 + (x - 2)5  (x2 - 6x  8) q(x) + 
2do grado 
 
 
 
R(x) 
1er grado 
Solución: 
Multiplicando convenientemente se tiene: 
* 1er grado  R 
 
(x) = ax + b 
 
(x 2 - x - 2)(x 2 - x - 20)(x 2 - x - 56)  1 
x 2 - x - 90 
Hacemos el cambio: x2 - x = y 
 
(x - 4)4 + (x - 2)5  (x2 - 6x + 8)q(x) + ax + b 
 
Para: x = 4 
 
(y - 2)(y - 20)(y - 56)  1 
y - 90 
(4 - 4)4 
0 
+ (4 - 2)5 = (42 - 6(4)  8) q(4) + 4a + b 
0 
 32 = 4a + b ...... (1) 
- y - 90 = 0  y = 90 
- Resto = (90 - 2)(90 - 20)(90 - 56) + 1 
- Resto = (88)(70)(34) + 1 = 210 441 
Para: x = 2 
 
(2 - 4)4 + (2 - 2)5 
0 
 
 
= (22 - 6(2)  8) q(2) + 2a + b 
0 
 
3. Calcular el resto en: 
 
2y13 - 21y10  y 8 - y7  3y 4  2y  1 
y2 - 2 
 
De (1) y (2): 
 16 = 2a + b ...... (2) 
 
 

4a  b  32 ......(1) 

2a  b  16 ......(2) 
 
Solución: 
Aplicando la regla: 
- y2 - 2 = 0  y2 = 2 
Dando forma al dividendo: 
2(y2)6y - 21(y2)5 + (y2)4 - (y2)3y + 3(y2)2 + 2y + 1 
Reemplazando: y2 = 2 
- Resto = 2(2)6y - 21(2)5 + (2)4 - (2)3y + 3(2)2 + 2y + 1 
Resto = 128y - 672 + 16 - 8y + 12 + 2y + 1 
Resto = 122y - 643 
 
 
4. Hallar el residuo en: 
Restando: 2a = 16  a = 8; b = 0 
Luego: R(x) = ax + b = 8x 
 
 
 
Problemas para la clase 
 
 
1. Dividir: 
 
4x 4  x2 - 3x  4 
2x - 1 
e indicar el producto de coeficientes del cociente. 
 
x5  (3 
 
2 - 2)x 3  2 
 
2  7 
 
a) 2 b) - 2 c) 4 
x - 2  1 
d) - 4 e) 6 
 
a) 50 b) 53 c) 51 
d) 52 e) 60 
 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5 
 
2. Hallar el residuo en la siguiente división: 
 
5x 4  16x3 - 8x  2 
x  3 
a) - 4 b) 4 c) - 6 
d) - 24 e) - 2 
 
10.Al dividir: 
 
a) 1 b) - 2 c) - 1 
d) 4 e) 10 
 
3 x 4 - 2 
 
2 x 3 - (2 
x - 
 
3 - 1)x 2 - 
6 
 
6 x  m 
 
3. Hallar el residuo en: 
 
15x4 - 8x3 - 9x2  7x  1 
5x - 1 
 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5 
 
4. Calcularel valor de “a”, si la división: 
 
x3 - ax2 - 2ax - a2 
x - a - 3 
se obtuvo como resto: 3m - 4. Calcular “m”. 
 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5 
 
11.Hallar la suma de coeficientes del cociente de la división: 
(n  IR) 
 
nx 4  (3 - n2 - n)x 3  (5n - 3)x 2 - 8nx - 8n2 
x - n - 1 
si el resto es 64. 
da residuo: 7a + 2 
 
a) 8 b) 5 c) - 5 
d) 6 e) - 6 
 
5. Hallar el resto en la división: 
x 4 
x  2 
 
a) 16 b) - 16 c) 0 
d) 1 e) 1024 
 
6. Calcular el resto de la división: 
 
(2x  3)5  (x  3)4 - 6x 
x  2 
 
a) 1 b) - 6 c) - 3 
d) 12 e) 40 
 
7. Calcular el resto en la siguiente división: 
 
 
 
12.Hallar el resto en la división: 
 
3x7  2x6  5x 4  x3  x  4 
x3 - 1 
 
a) 9x + 1 b) 7x + 9 c) 7x + 2 
d) 4x + 14 e) 9x + 7 
 
13.Hallar el resto en: 
 
x70  x60  x 40  x20  7 
x10  1 
 
a) 8 b) 9 c) 10 
d) 7 e) 6 
 
14.Hallar el resto en: 
 
x 3 (x - 3)3  5(x 2  1) - 15x  14 
2
 
4x 40  8x39  1 
x  2 
x - 3x  1 
a) 14 b) 8 c) 26 
d) 15 e) 13 
 
 
 
8. Calcular el resto de: 
 
(x  1)(x  3)(x  5)(x  7)  4 
x 2  8x  11 
 
a) - 9 b) - 10 c) - 11 
d) - 12 e) - 13 
 
9. Hallar el resto en la división: 
 
(x 6 - 6x  6)2002  (x 6 - 6x  4)2003 - 2(x 6 - 6x) - 14 
Comparación cuantitativa 
 
A continuación se propone en cada pregunta, dos 
expresiones o enunciados matemáticos y se pide determinar 
la relación entre ambos, considerando las siguientes 
alternativas : 
 
A. La cantidad en A es mayor que en B. 
B. La cantidad en B es mayor que en A. 
C. La cantidad en A es igual a B. 
D. No se puede determinar. 
x6 - 6x  5 E. ¡ N O DEBE USAR ESTA OPCIÓN! 
 
Preg. Información Columna A Columna B 
 
 
 
15. 
En la siguiente división: 
2x 32  bx  5 
x - 1 
la suma de coeficientes del cociente entero es 
64. 
 
Efectúe la siguiente división: 
 
 
Residuo b 
 
 
 
 
 
Suma de coeficientes 
16. x5  (3 2 - 2)x 3  2 2  7 del cociente Residuo 
x - 2  1 
 
 
 
 
17. 
 
 
 
 
 
 
 
 
18. 
 
 
 
 
 
 
 
19. 
En la siguiente división: 
 
3nx5  (n  3)x 4  2(2n - 1)x 3 - 4nx 2  9nx - 2n 
3x - 2 
se obtiene un cociente entero cuya suma de 
coeficientes es igual al duplo del resto. 
 
Al efectuar la división por la regla de Ruffini, se 
obtuvo el siguiente esquema: 
4 -3 -b a 
2  8a c m 
x 4 b d n 
 
* “R1” es el residuo de dividir: 
(3x3 - 5x - 8)2 - 4(x + 3) + 7 
entre: (x - 2) 
* “R2” es el residuo de dividir: 
x300 - 25x298 + x2 + x + 9 
entre: (x - 5) 
 
Grado del polinomio 
cociente n 
 
 
 
 
 
 
 
 
a + b + c n + d 
 
 
 
 
 
 
 
R
1 
R
2
 
 
 
 
Suficiencia de datos 
 
En cada caso se plantea un problema y se ofrecen dos 
datos o dos series de datos para resolverlo. Debe 
determinar qué datos se necesitan y marcar de acuerdo a 
estas alternativas: 
 
A. El dato I es suficiente y el dato II no lo es. 
B. El dato II es suficiente y el dato I no lo es. 
C. Es necesario utilizar I y II conjuntamente. 
D. Cada uno de los datos por separado, es suficiente. 
E. Se necesitan más datos. 
 
 
20.Hallar el término independiente del polinomio P(x); si: 
P(x + 2) = P(x + 4) + 4 + P(x) 
 
I. Al dividir P(x) ÷ (x - 2) se obtuvo “5” como residuo. 
II. Al dividir P(x) ÷ (x - 4) se obtuvo “4” como residuo. 
21.Hallar el resto en la siguiente división: 
 
(x - 4)4  (x - 2)5 
x2 - 6x  8 
 
I. D(x)  d(x).q(x) + R(x); R° < d° 
II. q(x) = x2 + x + 2 
 
 
22.En la división: 
[x3 - (m - 1)x2 + 2m] ÷ (x - 1) 
el resto obtenido es nulo. Hallar “m”. 
 
a) - 1 b) - 2 c) - 3 
d) - 4 e) - 5 
 
23.Hallar el valor de “a”, si al dividir: 
 
x a17  x a16  x a15  ...  x2  x  1 
x - 1 
se observa que la suma de los coeficientes del cociente 
es igual a 90 veces su resto. 
 
 A B C D E F 
-1 1 3 5 7 9 
 e d c b a 0 
 
a) - 6 b) - 2 c) - 3 
d) - 4 e) - 5 
 
a) 161 b) 162 c) 163 
d) 164 e) 165 
 
24.Del esquema de Ruffini: 
29.Calcular el residuo de dividir: 
 
(x  1)8 - x 8  7 
2x2  2x  1 
 
a) 1 b) 3 c) 7 
d) x + 1 e) x - 1 
 
Determinar la suma de coeficientes del polinomio 
dividendo. 
 
a) 10 b) - 40 c) 40 
d) 50 e) - 50 
 
25.Hallar el resto de dividir: 
 
2x120  1 
x 2 - x  1 
Autoevaluación 
 
1. Hallar el cociente en la división: 
 
3x 4  x3  6x2  5x - 1 
3x  1 
 a) x3 + 2x + 1 b) x3 + 2x - 1 
a) 2x - 3 b) - 2x + 3 c) x - 3 c) x3 + 2x2 + 1 d) x3 + 2x2 - 1 
d) 3x + 3 e) 5x - 1 e) x3 + x2 + 2x - 1 
26.Calcular el valor de: 
 
2. Hallar el residuo en la división: 
n  2 
R = 2 n-2 
 
8x5 
 
- x 4 
 
 16x3 
 
- 2x2  4 
si el residuo de la división: 
x 2
n1 
x 2
n-1 
 22
n 
es 256. 
8x - 1 
 
a) 0 b) 1 c) 2 
d) 3 e) 4 
 
3. Determinar el residuo en la siguiente división: 
2x30 - 128x24  8x15 - 32x13  4x - 5 
1 
a) 
8 
1 
b) 
4 
1 
c) 
2 
x - 2 
d) 1 e) 2 
 
27. Dado el polinomio: 
P(x) = ( 2 + 1)x4 + 2 2 x - 3 2 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5 
 
4. Hallar el resto en: 
Evaluar: 
P( 2 - 1) 
(x - 4)20  (x - 4)10 
x - 5 
 
 x - 1 
 
a) 1 b) 2 + 1 c) 2 - 1 
d) - 2 e) - 3 
 
28.Determine el valor de “m” para que la división: 
 
(x2 - y2  z2 )(x2  y2 - z2 )  mx2 yz 
x  y  z 
arroje como residuo un polinomio idénticamente nulo. 
 
a) 4 b) 5 c) 6 
d) 7 e) 8 
 
5. Hallar el resto en la división: 
x5 
x  2 
 
a) - 32 b) 32 c) 31 
d) - 31 e) 1