12-INECUACIONES-CUADRÁTICAS--ALGEBRA-TERCERO-DE-SECUNDARIA

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4 
AÑO 
Inecuaciones Cuadráticas 
 
 
 
 
 
Inecuación cuadrática 
 
Forma general: 
 
P
(x) 
= ax2 + bx + c >< 0 ; a  0 
 
Donde: {a; b; c}  IR 
 
Del rectángulo se obtiene: 
 
ax2 + bx + c > 0; ax2 + bx + c < 0 
ax2 + bx + c  0; ax2 + bx + c  0 
 
La solución de la inecuación depende del primer coeficiente 
y del discriminante: 
 
 = b2 - 4ac 
 
 
Primer caso 
 
Si:  > 0; (a > 0), el polinomio: ax2 + bx + c, es factorizable 
en el campo real, para resolver utilizaremos el método de 
los puntos críticos. 
 
a(x - x1)(x - x2) 
>< 0 
 
 
 
Procedimiento: 
 
1. Se factoriza el polinomio. 
2. Hallar los dos puntos críticos, luego se ordenan en la 
recta real en forma creciente. 
3. Es indispensable que el primer coeficiente de cada factor 
lineal sea positivo, por ello se colocan entre los puntos 
críticos los signos (+) y (-) alternadamente de derecha 
a izquierda; comenzando por el signo (+). 
4. Si tenemos: 
 
P
(x) 
= ax2 + bx + c < 0 ó P
(x) 
= ax2 + bx + c  0 
 
El conjunto solución estará formado por los intervalos 
donde aparezca el signo (-). 
 
En forma análoga: 
 
P
(x) 
= ax2 + bx + c > 0 ó P
(x) 
= ax2 + bx + c  0 
 
El conjunto solución estará formado por el intervalo 
donde aparece el signo (+). 
 
Ejemplos: 
 
 
 
 
 
Intervalos 
 
Factorizando 
Puntos 
críticos 
 
Graficando 
 
Conjunto solución 
 
x2 + x - 20  0 ( )( ) { } 
- +
 
5x2 + x - 6 > 0 
 
 
20x2 - x - 1 < 0 
 
 
6x2 - 13x + 6  0 
ax2+(a+1)x+1<0 
2x2 + 9x + 9  0 
 
 
4x2 + 7x + 3  0 
 
 
2x2 - 7x + 3 < 0 
( )( ) { } 
- +
 
( )( ) { } 
- +
 
( )( ) { } 
- +
 
( )( ) { } 
- +
 
( )( ) { } 
- +
 
( )( ) { } 
- +
 
( )( ) { } 
- +
 
< 




Segundo caso 
 
Si:  = 0; (a > 0), el polinomio: ax2 + bx + c, se transforma 
a un trinomio cuadrado perfecto de la forma: 
 
 (mx + n)2 >< 0 
Ejemplo: 
Resolver: 
x2 - 10x + 25 >< 0 
 
Solución: 
Calculando la discriminante: 
 = (-10)2 - 4(1)(25) = 0 
 
x 2 - 10x  25 > 0 
trinomio cuadrado 
perfecto 
(x - 5)2 >< 0 
Resolviendo cada una de las desigualdades: 
 
a. (x - 5)2  0 
se verifica:  x  IR  C.S. = IR 
 
b. (x - 5)2 > 0 
se verifica:  x  IR; a excepción de: 
x - 5 = 0 
x = 5 
 C.S. = IR - {5} 
 
c. (x - 5)2 < 0 
se observa una inecuación, la cual no se verifica para 
ningún valor de x  IR. 
 C.S. = 
 
d. (x - 5)2  0 
la inecuación sólo se cumple si: x - 5 = 0 
 C.S. = {5} 
 
 
Inecuación Trinomio cuadrado perfecto Conjunto solución 
x2 - 6x + 9 > 0 
x2 - 6x + 9  0 
 
x2 - 6x + 9 < 0 
x2 - 6x + 9  0 
x2 + 4x + 4 > 0 
x2 + 4x + 4  0 
x2 + 4x + 4 < 0 
x2 + 4x + 4  0 
 
 
Tercer caso Resolviendo cada una de las desigualdades: 
a. (x  1)2  5 > 0
 
Si:  < 0; (a > 0), el polinomio: ax2 + bx + c, se transforma 
en un cuadrado perfecto más un cierto número real positivo, 
de la forma: 


 

se verifica:  x  IR 
 C.S. = IR =<-; +> 
 
 
 
Ejemplo: 
(mx + n)2 + k >< 0 ; k > 0 
 
b. (x  1)2  5  0  

 
 
Resolver: 
también se verifica:  x  IR 
 C.S. = IR = <-; +> 
x2 + 2x + 6 >< 0 c. (x  1)2  5 < 0  

Solución: 
Calculando la discriminante: 
 = 22 - 4(6)(1) 
 = -20 < 0 
Luego: 
nunca se verifica pues el primer miembro siempre es 
mayor que cero: 
 C.S. = 
 
d. (x  1)2  5  0 
x2  2x  1
 + 5 >< 0 
 

trinomio cuadrado 
perfecto 
(x + 1)2 + 5 >< 0 
nunca se verifica: 
 C.S. = 
 
Inecuación 
x2+2x+9>0 
 
Completando 
cuadrados 
Comentario 
- Se verifica  x  IR 
- Nunca se verifica 
 
- C.S.=IR=<-;+> 
- C.S.=
 
4x2-4x+6<0 
 
x2+4x+120 
 
x2-6x+100 
 
x2-2x+7>0 
 
4x2+4x+9<0 
 
x2+6x+100 
 
x2+8x+200 
 
4x2-3x+1>0 
 
2x2+x+2<0 
 
6x2-3x+20 
 
5x2-2x+10 
 
 
 
Teorema del trinomio positivo 
 
Si el polinomio: 
 
P
(x) 
= ax2 + bx + c; {a; b; c}  IR 
 
tiene discriminante ( = b2 - 4ac) negativo y (a > 0), 
entonces: 
 
 
 
 
 
Graficando: 
 = 16 - 4(M + 12)  0 
16 - 4M - 48  0 
-32  4M  4M  -32 
M  -8 
 
 
 
 
- -8 +
 
 
 
 
Ejemplo: 
 
ax2 + bx + c > 0 ;  x  IR 
Del gráfico, el menor valor de “M” es -8. 
 
 
Corolario 
 
Hallar el menor de los números “M” que cumple la siguiente 
condición: 
 
Si el polinomio: 
 
2
 
 x  IR: 4x - x2 - 12  M 
P
(x) 
= ax + bx + c ; {a; b; c}  IR 
 
Solución: 
 
 
4x - x2 - 12  M 
 
tiene discriminante:  < 0; (a < 0), entonces: 
 
ax2 + bx + c < 0  x  IR 
multiplicando a todos los términos de la desigualdada por 
(-1) se tiene: 
x2 - 4x + 12  -M 
x2 - 4x + (M + 12)  0 
como se verifica  x  IR y el primer coeficiente es positivo 
(1 > 0), entonces el discriminante debe ser menor o igual 
a cero. Luego tenemos: 
 
 Problemas resueltos 
 
1. Resolver: 
 
= 
- 4  2 19 
6 
 
= 
- 2  19 
3 
x2 - 11x + 28 > 0 Estos dos valores representan a los puntos críticos: 
 
 
 
Solución: 
+ + 
- +
 = (-11)2 - 4(1)(28) = 9 > 0 
Como la discriminante es positiva podremos factorizar 
el trinomio: 
 
 
 
como: 
-2 - 19 
3 
-2+ 19 
3 
(x - 4)(x - 7) > 0 
igualando cada factor a cero: 
x - 4 = 0  x = 4 
3x2 + 4x - 5 < 0 
la solución está en la zona negativa. 
x - 7 = 0  x = 7 
P.C. = {4; 7} 
Graficando los puntos críticos en la recta real y aplicando 
la regla de los signos se tendrá: 
 
 x 
- 2 - 
3 
19 
; 
- 2  19 
3 
 
 
 
-
como: 
 
- 
4 7 +
 
4. Hallar el menor número “M” con la propiedad: 
 x  IR: 1 + 6x - x2  M 
 
Solución: 
(x - 4)(x - 7) > 0 
elegimos las zonas de signo (+) 
 x  <-; 4>  <7; +> 
Trasponiendo: 
x2 - 6x + (M - 1)  0;  x  IR 
Luego por propiedad, discriminante  0: 
(-6)2 - 4(M - 1)  0  9 - (M - 1)  0 
10  M 
2. Resolver: 
- x2 - 2x + 8  0 
 M = 10 
 
Solución: 
El primer coeficiente debe ser positivo, entonces 
multiplicamos por (-1) a los miembros de la desigualdad: 
5. Si “x” es un número positivo, múltiplo de 17 que satisface 
las siguientes desigualdades: 
 
2
 
x2 + 2x - 8  0 
 = 22 - 4(1)(-8) = 36 > 0 
5(x 
0 < 
- 115x - 600) 
x(x  5) 
< 1
 
Factorizando el trinomio se tendrá: 
(x + 4)(x - 2)  0 
P.C. = {-4; 2} 
Hallar el valor de “x”. 
 
Solución: 
Graficando: 
 
+ 
- -4 
 
 
+ 
2 +
 
5(x - 120)(x  5) 
0 < 
x(x  5) 
< 1 
 
5x - 600 
Como: 
x2 + 2x - 8  0 
0 < 
x 
< 1
 
el conjunto solución está en la zona negativa. 
 x  [-4; 2] 
5x 
0 < 
x 
-
 
 
600 
600 
x 
< 1
 
 
600 
 
3. Resolver: 
0 < 5 - 
x 
< 1  -5 < - 
x 
< -4 
3x2 + 4x - 5 < 0 
Dividamos a toda la desigualdad por (-600): 
 
Solución: 
 
 
3x2 + 4x - 5 < 0 
-5 
- 600 
>
 
-600 
- 600x 
-4 
> 
- 600 
 = 42 - 4(3)(-5) = 76 > 0 
como el trinomio no es factorizable hacemos: 
3x2 + 4x - 5 = 0 
 
 
Invirtiendo: 
1 
120 
>
 
1 1 
x 
> 
150 
de donde: 120 < x < 150 
o 
 
 - 4 
x = 
 
16 - 4(3)(-5) 
2(3) 
 
= 
- 4  76 
6 
como “x” es 17  x = 136 
 
 
 
 
1. Resolver: 
Problemas para la clase a) <-; +> b) <-; 5 - 3 > 
c) <-3 - 5 ; +> d) <-3 + 5 ; +> 
e) 
2x2 - 7x + 6  0 
8. Resolver: 
 
3 3 
 
x2 + 10x + 27  0 
a) [2; +> b) [- 
2 
; 2] c) [ 
2 
; 2]
 
d) <-; 2] e) <4; +> 
 
2. Resolver: 
3x2 - 7x + 4 > 0 
indicar un intervalo. 
 
a) x   b) x  <-; +> 
 
c) <-; -2> d) <- 2 - 1; - 2 + 1> 
e) <-; -3> 
 
9. Resolver: 
 
 
3 
a) <-; 1> b) <-; 
2 
>
 
c) <-3; +> d) <-4; +> 
1 
 
 
 
2 
a) x  [- 
5 
;
 
(5 + 2x)(3 - 4x)  0 
 
 
3 
4 
]
 
 
2 3 
e) < 
3 
; 4> 
b) x  <-; - 
5 
]  [ 
4 
; +>
 
 
5 3 
3. Resolver: 
2x2 - 3x - 9 < 0 
c) x  [- 
2 
; 
4 
]
 
e indicar la suma de valores enteros que la verifican. 5 3 
d) x  <-; - ]  [ ; +> 
 
a) 2 b) 3 c) 5 
d) 6 e) 9 
 
4. Resolver: 
x2 - 14x < -49 
 
a) x  <-7; +> b) x  <-; -7> 
c) x  <7; +> d) x  IR 
e) x  
2 
e) x  IR 
 
10.Resolver: 
 
 
 
5 
a) x  [-2; 
2 
]
 
4 
 
 
 
 
- 2x2 -x + 10  0 
 
 
 
 
 
5 
 
5. De los siguientes enunciados, ¿cuántas son verdaderas? 
 
I. x2 > 0  x  IR 
II. (x - 1)2  0  x  IR 
III. (x + 3)2  0  x  IR 
3 
IV. (2x - 3)2  0  x   
b) x  <-; -3]  [ 
2 
; +>
 
 
5 
c) x  <-; - 
2 
]  [2; +>
 
 
5 
d) x  [- 
2 
; 2]
 
e) x  IR 
 
V. x2  0  x  0 
 2 
 
 
11.Resolver: 
 
 
 
x2 - 20x  -(25 + 3x2) 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5 
 
 
5 
 
6. Resolver: 
x2 + 2x - 1 < 0 
a) x  IR b) x  IR - 
 2 
 
5 
c) x   d) x    
a) <- 2 ; 2 > b) <- 2 - 1; - 2 + 1> 
 
 
2 

 2 
c) <1 - 2 ; 1 + 2 > d) <- 2 - 1; 2 - 1> 
 
e) <-2 - 2 ; 2 - 2 > 
 
7. Resolver: 
x2 + 10x + 27  0 
e) x  IR -  
5 
 
12.Hallar el mayor valor entero “m” tal que para todo 
x  IR, se cumple: 
m  x2 - 10x + 32 
 
; 
; 
a) 5 b) 8 c) 6 
d) 7 e) 10 
20.Indicar el mayor número entero “m” que satisface la 
desigualdad: 
 
13.Hallar el menor número entero “M” tal que para todo x 
 IR, se cumpla: 
 
 x  IR. 
2x2 - 4x + 1 > 2m 
- x2 + 4x - 10 < M 
 
a) -5 b) -3 c) -1 
d) 1 e) 2 
 
14.Resolver: 
a) 3 b) -2 c) 0 
d) -1 e) 1 
 
21.Resolver el sistema: 
5x - 1 < x2 + 2x + 1 < 7x - 3 
x3 - 1 < (x - 1)3 
 
a) x  <0; 1> b) x  <-; 1] 
c) x  [-1; 0] d) x  [-1; +> 
e) x  <-1; 1> 
 
15.Resolver: 
x(x + 4)(x + 6) + 16  (x + 1)(x + 2)(x + 6) 
 
a) x   b) x  {-2} 
c) x  <-; +> d) x  <2; +> 
e) x  {2} 
a) ]-; 2[ b) ]4; +[ c) ]1; 5[ 
d) ]-; 2[  ]-4; +[ e) ]2; 4[ 
 
22.Cuántos valores verifican la siguiente inecuación: 
x(2x - 28) 
98 
 - 1
 
 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) infinitos 
 
23.Cuántos valores enteros no negativos verifican: 
4x2 - 4x - 49 < 0 
 
16.Resolver: 
(2x + 5)2  (5x + 2)2 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5 
dar un intervalo solución. 
 
a) x  <-; 1> b) x  [-1; +> 
c) x  <-; -1] d) x  <-; +> 
e) x  [-1; 1] 
 
24.Al resolver: 
(x - 2)(x + 1)(x - 3) > (x - 1)(x + 2)(x + 4) 
se obtiene como conjunto solución: x  <; >. Indique 
“ + ”. 
 
17. Resolver: 
7x2 - 5x + 1  0 
 
2 1 
a) b) - c) -9 
 
 
 5 - 2 
a) x  

 
 
 
7 5  2 7 

3 
 
1 
d) 
3 
9 
 
e) -3 
 14 14 
 
 
25.Al resolver: 
 - 5 - 2 
b) x  
 
14
 
7 - 5  2 7 
14 



x2 - 5x + 2  0 
se obtiene como conjunto solución: x  IR - <m; n>. 
Indique “m + n”. 
c) x  [-2 7 ; 2 7 ] 
d) 
e) 
x  IR 
x  
 a) -5 
d) 4 
b) -1 
e) 5 
c) 2 
 
18.Resolver: 
 
 
(x - 1)2 - x2  -(x - 2)2 
 
26.Si la inecuación: 
 
 
x2 - mx + n < 0 
dar el conjunto no solución. 
 
a) x  [1; 5] b) x  [5; +> 
c) x  <-; 1] d) x  <-; 5] 
e) x  <1; 5> 
presenta como conjunto solución: x  <3; 5>. Hallar 
“2m + n”. 
 
a) 23 b) 18 c) 31 
d) 15 e) 24 
 
19.Indicar el mayor valor de “”, si: 
x2 + 10x + 31  
27. Si la inecuación: 
-5x2 + x +  > 0 
se cumple  x  IR. 
 
a) 4 b) 6 c) 7 
d) 8 e) 25 
presenta como conjunto solución: <-5; 5>, luego el valor 
de “ - ” es: 
 
a) -125 b) 5 c) 10 
d) 12 e) 25 
 
; 
2 2 
 
 
 
 
28.Dados los conjuntos: 
2. Resolver: 
x2 - 13x + 30 < 0 
A = {x  IR / x2 - 5x + 4 < 0} 
B = {x  IR / x2 - 5x + 6 > 0} 
Hallar “A  B”. 
a) x  <3; +> b) x  <-; 10> 
c) x  IR d) x  
e) x  <3; 10> 
 
a) x   b) x  IR 
c) x  <2; +> d) x  <2; 3> 
e) x  <1; 2>  <3; 4> 
 
3. Resolver: 
 
 
x2 + x - 1  0 
 
29.Si: 
 
 - 1 - 5 
 
- 1  5 
 
 - 1  5 
ax2 + b + x < 0 
se verifica  x  IR, ¿qué tipo de número es “b”? 
a)  ; 


2 
b) 

; 4

 
a) cero b) positivo c) negativo 
d) impar e) entero 
 
30.Si: 
c) x   d) x  IR 
 
- 1  5 
e) - ; 2 


 
tal que la expresión: 
m  <a; b> 
x2 + 1 < 2x2 + x + m < 3x2 + 2 
se verifica para cualquier tipo de valor para “x”, encontrar 
el valor de: 
4. Resolver: 
4x2 - 12x + 9  0 
4(a + b) 
 
a) 32 b) -8 5 c) -16 
d) -16 2 e) N.A. 
 
 
Autoevaluación 
a) x  IR b) x  
c) x  <4; +> d) x  <-; 4] 
e) x  [-4; 4] 
 
 
5. Resolver: 
-6x2 - x + 2  0 
 
 
1. Resolver:  1 
- b) x  [-; 1] x2 - x - 12  0 
 
a) x  <-; -3]  [4; +>
 
a) x  

 


2 
 
2 
; 
1 
- d) x  IR
 
b) x  [-3; 4] c) x  [4; 6] 
d) x  [-5; -3] 
e) x  