02-DESCARGAR-LÓGICA-CUANTIFICACIONAL-QUINTO-DE-SECUNDARIA (1)

Vista previa del material en texto

Lógica cuantificacional 
 
 
 
 
 
 
 
1. Función proposicional 
 
Es aquel enunciado que contiene una variable y que 
tiene la propiedad de convertirse en verdadero o falso 
para cierto valor de la variable. Las funciones 
proposicionales se pueden representar por: p
(x)
, q
(x)
, 
r
(x)
, etc., donde "x" sería la variable. 
2.2.Cuantificador Existencial 
 
Si a una función proposicional, le anteponemos la 
expresión "existe un x tal que", estaremos indicando 
el sentido existencial (que exista) de dicha función: 
 
Notación: 
 
Ejemplos: 
 
 
 
p
(x) 
: x - 2 > 18 
 
x: p(x) ó 
 
x/p(x) ó (x) (p ()x) 
q
(x) 
: x2 + 4 = 16 Se lee: "existe un x, tal que, se verifique p ". 
r
(x) 
: “x” es un número primo 
 
Si en la primera función proposicional p
(x) 
a "x" le damos 
diferentes valores tendremos: 
 
 
 
 
 
Ejemplo: 
(x) 
"existe por lo menos un x, tal que, se 
verifique p
(x)
". 
"al menos un x, verifica p
(x)
". 
para: x = 10  p
(10)
: 10 - 2 > 18 
8 > 18 (falso) 
 
para: x = 23  p
(23)
: 23 - 2 > 18 
21 > 18 (verdadero) 
 
Como puede verse, dependiendo del valor de la variable 
podemos obtener resultados diferentes. 
 
 
2. Cuantificadores universal y existen- 
cial 
 
2.1.Cuantificador Universal 
Si a una función proposicional, le anteponemos la 
expresión "para todo x", estaremos indicando el 
sentido universal de dicha función proposicional, 
obteniéndose ahora una proposición lógica. 
p
(x)
: x - 3 > 10 [función proposicional] 
x: p
(x) 
x: x - 3 > 10 [proposición lógica] 
 
Para verificar que es una proposición lógica, podemos 
darnos cuenta que si x = 15, se cumple la 
desigualdad, ya hemos encontrado por lo menos un 
"x", que verifique p
(x)
, por lo tanto es una proposición 
lógica, cuyo valor es verdadero. 
 
3. Negación de proposiciones que tie- 
nen cuantificadores 
 
Sea la proposición: 
x: p
(x) 
 
 
su negación será: ~[x: p(x)] = x: ~p(x) 
 
Notación: 
 
 
 
x: p(x) ó x/p(x)(xó) (x)[p ] 
 
De la misma forma, si tenemos la proposición: 
x: p(x) 
 
Se lee: "para todo x, tal que, se verifique p
(x)
". su negación será: ~[x: p(x)] = x: ~p(x) 
 
Ejemplo: 
Si tenemos una función proposicional: 
P
(x)
: x + 5 > 2 [no es proposición lógica] 
y ahora le agregamos el cuantificador universal "". 
x: P
(x) 
x: x + 5 > 2 [proposición lógica] 
tendremos una proposición lógica, cuyo valor es falso, 
por que no todos los valores de "x" cumplirán la 
proposición, por ejemplo: para x = -4, no se cumple. 
Entonces es falso que para todo "x", se cumpla: 
x + 5 > 2 
 
Ejemplos: 
i. x: x = 7 
~[x: x = 7] = x: x  7 
ii. x: "x" es un número par. 
~[x: x es un número par] = x: "x" no es un nú- 
mero par. 
iii. x: x2 >1 
~[x: x2 > 1] = x: x2  1 
 
 
) 
4. Circuitos lógicos 
 
El valor de verdad de una proposición puede asociarse 
con interruptores que controlan el paso de la corriente. 
Así si una proposición es verdadera, el interruptor estará 
cerrado y la corriente pasará. Si la proposición es falsa, 
el interruptor estará abierto y la corriente no pasará. 
I.  x  B/x2 < 0 
II.  x  B: x2 + 1  0 
III.  x  B / (x + 1) (x - 1) > 2 
 
a) FVV b) FVF c) FFV 
d) VVF e) VFV 
 
5. Dadas las proposiciones: p, q y r 
p:  x  IR/x2 > 0 
q:  x  IR: x2 + x < 1 
4 


p = V p = F 
 
Los interruptores pueden estar en serie o paralelo: 
Equivalencia Lógica 
4.1. Serie p q p  q 
 
 
p 
r:  x  IR: 
x 
3
 
hallar el valor de verdad de: 
(p  ~q)  (q  ~r) 
 
a) V b) F c) V o F 
d) F.D. e) N.A. 
 
6. La negación de la expresión: 
"Para todo número real "x" existe un número real "y" tal 
4.2. Paralelo 
q 
 
p q 
4.3. Mixto 
~r 
p  q 
 
 
 
(p  q)  (~r) 
que: x.y  0" 
 
a)  x  IR;  y  IR: x.y < 0 
b)  x  IR;  y  IR: x.y = 0 
c)  x  IR;  y  IR: x.y < 0 
d)  x  IR,  y  IR: x.y < 0 
e) N.A. 
Problemas para la clase 
 
7. Escribir la negación de las siguientes proposiciones: 
 
Bloque I 
 
p(x) 
 
:  x R ; x 0 x < 0 
1. ¿Cuál de las siguientes expresiones son funciones 
proposicionales? 
q(x) :  x IR ;  n ZZ, n x < n + 1 
r(x) :  x IR; 2 x + 4 7 
s
(x;y) 
:  x IR;  y IR; (x
2 + y2 = 4) (x = y) 
I. p(x): x
2 + x > 4 
II. q
(x)
: "x" es un número impar 
t
(x) :  x IR ; x 3 x 2 
III. r
(x)
: 3x + 7 
 
a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III 
8. Dado el conjunto: A = {-2; -1; 0; 1; 2}; determinar el 
valor de: ~ p q, siendo: 
d) I y III e) I y II 
 
p(x;y) 
 
:  x A ;  y A; x + y = 0 
2. Dada la función proposicional: p
(x)
: x3 - 2x > 0 
hallar los valores de verdad para: x = -1; x = 2; x = 1 
 
a) VVV b) VVF c) VFV 
d) FVV e) FVF 
q
(x;y) 
:  x A;  y A; xy = 0 
 
9. Si: A = {-2; -1; 0; 1;2} y 
 
p
(x;y) 
:  x A,  y A; x . y = y 
q
(x;y) 
:  x A,  y A; xy no está definido 
3. Dado el conjunto: A = {3;4;5;6} 
hallar el valor de verdad de cada proposición. 
r
(x;y) :  x A,  y A; -2 x + y < 1 
 
 
I.  x  A: x + 3 > 4 
II.  x  A/x - 5 > 1 
III.  x  A/x2 - 15 > 0 
 
a) VVF b) FFF c) FVF 
d) VFV e) VFF 
 
4. Dado el conjunto: B = {-1;0;1;2} 
s(x;y) :  x A,  y A; x
2 - y2 = (x + y) (x - y) 
 
Hallar el valor de: [(p m) (q n)] (r s) 
 
10.Dadas las proposiciones: 
 
p
(x) 
: (  x IR; x-1 IR) (  x IR; x2 + 3 < x) 
q
(x) 
: (  x Q; x I) (  x I; x2 - 4 0) 
hallar el valor de verdad de cada proposición. r(x) : (  x IR; x
0 1) (  x ZZ; 7  x / 3
x = 0,6) 
 
 
 
A. Hallar el valor de: [p (~ q r)] [~ r (r ~ 
q)] B. Negar simbólicamente cada proposición. 
 
11.Hallar la expresión equivalente al circuito mostrado: 
p 
~r 
4. Si se sabe que: U = {x ZZ/ -2 < x 6} 
 
p
(x;y) 
: x U,  y U / x2 + y2 < 36 
q
(x;y) 
: x U, y U / 2(x + y) - 2(x - y) = 4y 
r
(x;y) 
: x U,  y U / x + y = 0 
s(x;y) : { x U / (x > 10) (x > 6)} = 
q 
 
 
a) (p  q)  r b) (p  q)  ~r 
c) (p  q)  ~r d) (p  q)  r 
e) (p  q)  ~r 
 
12.Hallar la expresión equivalente del circuito mostrado: 
 
Hallar el valor de verdad de: 
[ ~ p ( ~ q r)] (s  q) 
 
 
5. Si: A = {2; 1/2; 2 ; -2; - 2 } 
 
p
(x) 
: x A, x2 > 0 x es par 
2 2
 
p q
(x) 
: x A, x = x x - 4 = (x + 2) (x - 2) 
 
q 
 
 
r ~s 
 
 
a) p  (r  s) 
b) (p  q)  (r  ~s) 
c) (p  q)  (r  ~s) 
d) (p  q)  (r  ~s) 
e) (p  q)  (r  s) 
r
(x;y) 
: x A, y A, x + y > 0 
s
(x; y) 
:  x A,  y A, x3 - y3 = (x - y) (x2 + xy + y2) 
 
A. Determinar el valor de verdad de p; q; r y s 
B. Negar cada una de las proposiciones. 
 
6. Dadas las proposiciones: 
 
p
(x) 
:  x U; x > 3 x 2 
q
(x) 
:  x U; x2 = 2 x 1 
x2  4 
Bloque II 
r
(x) 
:  x U; x  2 
= x - 2 
 
1. Dado el conjunto: 
 
 
A = {1; 2; 3; 4; 5} 
 
Donde: U = {x A / x 2 x < 2} 
A = {-2; -1; 0; 1; 2; 3} 
decir el valor de verdad de: 
 
I.  x  A/x2 - 9 = 0 
II.  x  A/x + 3 > 7 
III.  x  A/x + 5 < 4 
 
a) VVV b) VFV c) VVF 
d) VFF e) FFF 
 
2. Si: U = {1; 2; 3; 4; 5} 
¿cuál es el valor de verdad de las siguientes 
proposiciones? 
 
I.  x  U: x  3  x < 4 
II.  x  U: x + 2 < 8  x > 6 
III.  x  U: x + 2 = 5  x - 1 = 2 
 
a) VVV b) FFV c) VFF 
d) FVV e) FFF 
 
3. Sea: A = {x ZZ/ -3 x < 3} 
 
p
(x;y) 
:  x A,  y A / x = 2(y - 1) 
q
(x;y) 
:  x A,  y A / 2x + y = y 
Hallar el valor de verdad de: (p q) r 
 
7. Hallar el equivalente del circuito: 
~p 
~p 
~q 
 
 
a) ~ p b) ~ q c) ~ p q 
d) p ~q e) p 
 
8. Hallar el equivalente del circuito: 
~p 
p 
q 
 
a) p b) ~ p c) q 
d) p q e) p q 
 
9. Hallar la expresión equivalente que representa al circuito: 
~(p  q) 
~(p  q) ~q 
r 
r(x;y) :  x A,  y A / x
-1 = y 
x 2  y 2 
a) p b) ~ p c) q 
d) ~ q e) (p q) 
s
(x;y) 
:  x A,  y A / 
 
x  y 
 x  y 
10.Dado el conjunto: A = {2;3;4;5} 
Hallar el valor de verdad de: (p q) (~r ~ s) Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas: 
 
 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5 
 
I.  x; x2- 2x - 1 > 0 
II.  x;  y/x + y < 6 
III.  x;  y: x + y < 10 
IV.  x;  y: x + y < 10 
V.  x;  y/x + y < 10 
 
III.  x  M;  y  M/x + y > 6 
IV.  x  M/2x < 11 
 
a) 0 b) 1 c) 2 
d) 3 e) 4 
 
12.De las siguientes expresiones, ¿cuáles son funciones 
proposicionales? 
 
11.Dado el conjunto: 
M = {3; 4; 5; 6} 
I. "x" es un número par. 
II. (x2 - 3x + 2) - (5x + 2) 
¿Cuántas de las siguientes proposiciones son 
verdaderas? 
 
I.  x  M/(2x - 5)  1 
II.  x  M;  y  M/x3 + y3 > 16 
III. todos los gatos son negros. 
 
a) I y II b) Todas c) Sólo I 
d) Sólo III e) II y III