17-DESCARGAR-FICHA-DE-LOGICA-PROPOSICIONAL-CUARTO-DE-SECUNDARIA

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ARITMETICA 
4 
AÑO 
p q p v q 
 
V V 
V F 
F V 
 
V 
V 
V 
F F F 
 
Lógica proposicional 
 
 
 
 
 
 
1. Lógica proposicional 
 
Es una parte de la lógica que estudia las proposiciones 
y la relación existente entre ellas, así como la función 
que tienen los conectivos lógicos. 
 
 
2. Proposición lógica 
 
Es aquella expresión u oración coherente que puede 
calificarse o bien como verdadero (V) o bien como falso 
(F) y sin ambigüedad. Las proposiciones lógicas 
generalmente se denotan con letras minúsculas, tales 
 
 
4. Conectivos lógicos 
 
Son elementos que sirven de enlace entre las 
proposiciones, para formar otra, denominada a veces 
proposición molecular. 
 
Ejemplos: 
 
 
a) Lima es la capital del Perú y Barcelona es la capital de España 
 
p q 
 
CONECTIVO LÓGICO 
como: p, q, r, s, ..., etc. 
 
Ejemplo: 
 
 
 
 
Valor veritativo 
b) 4 es un número impar o 15 es un número primo 
 
p q 
 
CONECTIVO LÓGICO 
p : 5 + 4 = 8 (F) 
q : Todo hombre es mortal. (V) 
r : El Libertador Simón Bolívar nació en Lima. (F) 
s : 14 es un número primo. (F) 
 
Nota: Las preguntas, mandatos, exclamaciones, deseos, 
etc. NO son proposiciones lógicas ya que no se pueden 
calificar como verdaderas (V) o falsas (F). 
 
Ejemplo: 
 
Los conectivos lógicos empleados son: 
 
4.1 Disyunción (se simboliza: “", se lee: "o") 
 
Dos proposiciones se pueden enlazar por medio de 
la palabra "o", para formar una nueva proposición 
llamada disyunción de ambas. La disyunción de las 
proposiciones "p o q" se denota: p  q. 
 
¿Cómo te llamas? 
Buenos días 
¡Haz tu tarea! 
 
 
3. Negación de una proposición 
 
Consiste en cambiar el valor de verdad que tiene una 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo: 
p v q es falsa (F) 
únicamente cuando 
"p" y "q" son ambas 
falsas, en los demás 
casos es verdadera. 
proposición. Si la proposición es "p", su negación se 
denota por "~p" y se lee: "no p" o "es falso que p". Las 
diferentes posibilidades las podemos esquematizar en 
una tabla, denominada Tabla de verdad. 
 
 
p ~p 
p: 4 es menor que 7. (V) 
q: 4 es igual a 7. (F) 
La disyunción de ambas será: 
 
 
“4 es menor que 7” o “4 es igual a 7” 
simbólicamente: p v q 
V F 
F V 
 
Ejemplo: 
 
p: 6 es un número par. (V) 
~p: 6 no es un número par. (F) 
Su valor de verdad (según la tabla): 
V  F = V 
 
4.2 Conjunción (se simboliza: "", se lee: "y") 
 
Dos proposiciones se pueden enlazar por medio de 
la palabra "y" para formar una nueva proposición 
llamada conjunción de ambos. La conjunción de las 
proposiciones "p y q" se denota: p  q. 
p q p q 
 
 V V V 
V F 
F V 
F F 
F 
F 
F 
 
p q p  q 
 
 V V V 
V F 
F V 
F 
F 
 F F V 
 
p q p q 
 
V V 
 
F 
 V F 
F V 
V 
V 
 
F F F 
 
p q p  q 
 
V V 
 
V 
V F F 
F V 
F F 
V 
V 
 
 
 
p  q es verdadera 
(V ) ú n i c a m e n t e 
cuando "p" y "q" son 
ambas verdaderas. 
4.4 Bicondicional (simbolizada por: "", se lee: "si y 
sólo si") 
 
Es aquel conectivo que al enlazar "p" con "q" se 
denota "p  q" y se lee: "p si y sólo si q". 
 
 
 
Ejemplo: 
p: 4 es menor que 7. (V) 
q: 4 es igual a 7. (F) 
 
La conjunción de ambas será: 
“4 es menor que 7” y “4 es igual a 7” 
 
simbólicamente: p q 
Su valor de verdad: V F = F 
[Según la tabla] 
 
Nota: Las palabras “sin embargo”, “pero”, “además”, 
“también”, “incluso”, “no obstante”, “aunque”, “así 
mismo”, “tanto... como”, etc, equivalen al conectivo 
lógico “y”. 
 
4.3 Condicional (se simboliza por: "", se lee: "si 
...entonces...") 
 
Muchas proposiciones, especialmente matemáticas, 
son de la forma "si p entonces q". Tales proposiciones 
se denominan condicionales y se les denota por: 
p  q. 
p  q es verdadera 
(V ) ú n i c a m e n t e 
cuando “p” y “q” 
tienen el mismo valor 
de verdad. 
 
 
Ejemplo: 
p: 4 es menor que 7. (V) 
q: 4 es igual a 7. (F) 
 
La bicondicional de ambas será: 
“4 es menor que 7” si y sólo si “4 es igual a 7” 
 
simbólicamente: p  q 
Su valor de verdad: V  F = F 
[Según la tabla] 
 
Nota: las palabras “cuando y sólo cuando”, “entonces 
y sólo entonces”, etc, equivalen al conectivo lógico 
“si y sólo si”. 
 
 
4.5 (Se simboliza: " ", se lee: “o ... o ...”) 
 
A la proposición "p" se le denomina "antecedente" y 
a "q" "consecuente". 
 
 
 
p  q es falsa (F) 
únicamente cuando 
“p” es verdadera y “q” 
es falsa, en los demás 
casos es verdadera. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo: 
p: Marco juega (V) 
q: Marco estudia (F) 
p q es verdadera 
(V ) ú n i c a m e n t e 
cuando “p” y “q” 
t i e n e n d i f e r e n t e 
valor de verdad. 
 
Ejemplo: 
p: 4 es menor que 7. (V) 
q: 4 es igual a 7. (F) 
La disyunción exclusiva de ambos será: 
o bien Marco juega o bien estudia 
simbólicamente: p  q 
 
La condicional de ambas será: Su valor de verdad: V  F = V 
 
Si: “4 es menor que 7” entonces “4 es igual a 7” 
[Según la tabla] 
simbólicamente: p 
 
 q 
5. Proposiciones compuestas 
Su valor de verdad: V  F = F 
[Según la tabla] 
 
Nota: Las palabras “por consiguiente”, “de modo 
que”, “por lo tanto”, “en consecuencia”, “luego”, “dado 
que”, equivalen al conectivo condicional. 
 
Utilizando conectivos lógicos se puede combinar 
cualquier número finito de proposiciones; para obtener 
otras, denominados proposiciones compuestas. 
 
Ejemplos: 
 
i. (p  q)  ( p  s) 
ii. (p  q)  ( t  r) 
p q (p q)p
 
V V 
V F 
F V 
F F 
 
V 
V 
V 
F 
 
F 
F 
V 
V 
 
F 
F 
V 
V 
 
6. Tautología, Contradicción y Contingencia 
 
6.1 Tautología 
 
Es toda proposición cuyo valor de verdad es siempre 
verdadero (V), para cualquier combinación de los 
valores de verdad de sus componentes, se le denota 
por "V". 
 
Ejemplo: 
 
La proposición: "p  (p  q)" es una tautología, tal 
como se puede comprobar en su tabla de verdad. 
7. Implicación lógica 
 
Se denomina así a toda condicional "p  q" que sea 
una tautología y en tal caso la condicional se denota por 
"p  q". 
 
7.1 Equivalencia lógica 
 
Se denomina así a toda bicondicional "p  q" que 
sea una tautología y en tal caso la bicondicional se 
denota por "p  q". 
p q p 
 
V V V 
V F V 
F V F 
F F F 
(p v q) 
 
V 
V 
V 
F 
8. Álgebra de proposiciones 
 
Son equivalencias lógicas que nos permiten simplificar 
un problema y expresarlo en forma más sencilla. Las 
demostraciones se hacen construyendo la tabla de 
verdad en cada caso. 
 
Entonces: "p  (p  q)" = V 
 
6.2 Contradicción 
 
Es toda proposición cuyo valor de verdad es siempre 
falso (F), para cualquier combinación de los valores 
de verdad de sus componentes. Se le denota por 
“F”. 
 
Ejemplo: 
 
La proposición: "(p  q)  ~q" es una contradicción, 
tal como se puede comprobar en su tabla de verdad. 
 
p q (p q)q 
 
V V 
V F 
F V 
F F 
 
V 
F 
F 
F 
 
F 
F 
F 
F 
 
F 
V 
F 
V 
 
Entonces: "(p  q)  ~q" = F 
 
6.3 Contingencia 
 
Es toda proposición lógica cuyo valor de verdad tiene 
al menos un verdadero (V) y un falso (F). 
 
Ejemplo: 
 
La proposición "(p  q)  ~p" es una contingencia 
tal como se puede comprobar en su tabla de verdad. 
Principales leyes: 
 
8.1 Ley de Idempotencia 
 
p  p  p 
p  p  p 
 
8.2 Ley Conmutativa 
 
p  q  q  p 
p  q  q  p 
 
8.3 Ley Asociativa 
 
(p  q)  r  p  (q  r) 
(p  q)  r  p  (q  r) 
 
8.4 Ley Distributiva 
 
p  (q  r)  (p  q)  (p  r) 
p  (q  r)  (p  q)  (p  r) 
 
8.5 Ley de la Doble Negación 
 
~ (~p)  p 
 
8.6 Leyes de Identidad 
 
p  V  V; p  F  p 
p  V  p; p  F  F 
 
8.7 Leyes del Complemento 
 
p ~p  V 
p  ~p  F 
 
8.8 Ley del Condicional 
 
p  q  ~p  q 
8.9 Ley del Bicondicionalp  q  (p  q)  (q  p) 
p  q  (p  q)  (~p  ~q) 
 
8.10 Ley de Absorción 
 
p (p q)  p 
p (p  q)  p 
p  (~p  q)  p q 
p (~p  q)  p  q 
 
8.11 Leyes de Morgan 
 
~(p  q)  ~p  ~q 
~(p  q)  ~p  ~q 
 
Ejercicios 
 
1. ¿Cuál de los siguientes enunciados no es una proposición 
lógica? 
 
a) Todo hombre es inmortal. 
b) Cali es la capital de Colombia. 
c) Perú clasificará al mundial 2006 de fútbol. 
d) Muchas felicidades. 
e) Viva el Perú. 
f) 7 es un número primo. 
2. Los valores de verdad de las siguientes proposiciones: 
I. (2 + 5 = 7)  (3 - 1 = 4) 
II. (3 + 5 = 8)  (4 + 2 = 7) 
III. (4 - 0 = 0)  (6 - 4  1) 
IV. (5 + 4  9)  (2 + 5 = 8) 
 
Son respectivamente: 
Rpta.: ...... 
3. Mediante una tabla de verdad comprobar las siguientes 
equivalencias lógicas: 
 
a) p  q  (p  q)  ( p  q) 
b) (p  q)  p  q 
c) p  q  p  q 
 
4. Si los valores veritativos de "p", "q" y "r" son V, F y V 
respectivamente, hallar el valor de verdad de las 
siguientes proposiciones: 
 
a) p  r b) q  q 
c) q  (r  p) d) r  (p  q) 
 
5. Si los valores veritativos de "m", "t" y "s", son F, V y V 
respectivamente, hallar el valor de verdad de cada una 
de las siguientes proposiciones: 
 
a) m  t b) m  s 
c) (t  s)  m d) (s  m)  (t  m) 
6. Construir la tabla de verdad de las siguientes fórmulas, 
indicando si se trata de una tautología, contradicción o 
contingencia: 
 
a) (r  q)  r 
b) (p  q)  p 
c) (r  q)  ( p  r) 
d) (p  m)  ( p  m) 
 
 
Problemas para la clase 
 
Bloque I 
 
1. De las siguientes expresiones, ¿cuáles son proposiciones 
lógicas: 
 
I. Colombia es un país sudamericano. 
II. 13 es un número primo. 
III. Me siento bien. 
IV. ¿Cómo llegaste? 
 
a) Sólo II b) I y II c) Sólo III 
d) Sólo I e) I y III 
 
2. Dadas las premisas: 
 
p : Luis es doctor. 
q : Carlos es abogado. 
r : Pedro es ingeniero. 
 
Cuál será la expresión simbólica del enunciado: 
 
“Si Carlos es abogado y no es cierto que Luis es doctor, 
entonces Luis no es doctor o Pedro es ingeniero”. 
 
a) (q  ~ p)  (~ p  r) 
b) (q  ~ p)  (p  r) 
c) (q  ~ p)  (~ p  r) 
d) (q  ~ p)  (p  r) 
e) N.A. 
3. Dadas las proposiciones compuestas: 
I. (3 . 0 = 3)  (4 + 0 = 4) 
II. (1 < -1)  (5  2 < 2,5) 
III. (20 = 2)  (4 + 5  9) 
IV. (8 . 0 = 0)  (7 . 1 = 7) 
 
Hallar sus valores de verdad. 
 
a) VFFF b) VFVV c) VVFF 
d) FFFV e) VFFV 
 
4. Dadas las proposiciones lógicas: 
 
p : 12 es un número primo. 
q : 3 es un número racional. 
r : 16 es un cuadrado perfecto. 
a) VV b) VF c) FV 3. Al construir la tabla de verdad de: 
d) FF e) F.D. (p ~q)  (p 
 
Hallar los valores de verdad de: 
 
I. ( ~ p  q)  (r  p) 
II. ~ (p  q)  (q  ~ r) 
 
a) VV b) VF c) FF 
d) FV e) Faltan Datos 
 
5. Si la proposición compuesta: 
(~p  r)  q 
es falsa, hallar los valores de verdad de “p”, “q” y “r” 
respectivamente. 
 
a) FFV b) FFF c) VVF 
d) VVV e) FVF 
 
6. Si la siguiente proposición: 
(~p  r)  (p  s) 
es falsa, hallar el valor de verdad de: 
 
I. (p  ~q)  r 
II. (q  ~r)  (s  p) 
a) Tautología b) Contingencia 
c) Contradicción d) Equipotencia 
e) Equivalencia 
 
Bloque II 
 
1. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas? 
 
I. (3 + 7  10)  (4 . 0 = 4) 
II. (12 + 5 < 15)  (5 > -10) 
III. (7 . 1 = 7)  (12  9 + 3) 
 
a) I y II b) II y III c) Sólo I 
d) Sólo II e) Sólo III 
 
2. Construir la tabla de verdad de la siguiente proposición 
compuesta: 
(~p  q)  (p  q) 
y dar el resultado. 
 
a) FFVV b) FVVV c) FVVF 
d) VVVF e) VVFF 
 
 
 
 
 
7. Si la siguiente proposición: 
(~q  p)  (~p r) 
es verdadera, hallar el valor de: 
~q) 
el número de valores verdaderos en el resultado es: 
 
a) 0 b) 1 c) 2 
d) 3 e) 4 
 
I. (q  ~r)  p 
II. (~p  ~q)  (p  r) 
4. Sabiendo que: 
(r  q)  ~p 
 
a) VV b) VF c) FV 
d) FF e) Faltan datos 
 
8. Construir la tabla de verdad de: 
(~p  q) (p ~q) 
e indicar de qué se trata. 
es falsa, hallar los valores de verdad de: 
 
I. (p  r)  (~q  t) 
II. ~(~p  q)  (r  q) 
 
a) VV b) VF c) FV 
d) FF e) Faltan datos 
 
a) tautología b) contradicción 
c) contingencia d) composición 
5. Si la negación de: 
~p  (~q  r) 
e) equipotencia 
 
9. Construir la tabla de verdad de: 
(p ~q) (~p q) 
luego indicar cuál de las proposiciones siguientes es 
verdadera. 
 
I. Es una contingencia. 
II. Es una contradicción. 
III. Hay tres valores de verdad. 
 
a) Sólo I b) Sólo II c) I y II 
d) I y III e) Sólo III 
 
10.La siguiente proposición compuesta: 
~(q  p)  (p ~q) 
es una: 
es verdadera, hallar las proposiciones verdaderas. 
 
I. p  q, es verdadero. 
II. ~q  r, es falsa. 
III. “q” puede ser verdadero. 
 
a) Sólo I b) Sólo II c) I y II 
d) I y III e) II y III 
 
6. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son lógicamente 
equivalentes? 
 
I. ~p  ~q 
II. ~p  q 
III. p  q 
 
a) I y II b) I y III c) II y III 
d) Todas e) Ninguna 
7. La siguiente proposición compuesta: 
~(p  ~q)  (p  q) 
e) I. (r  ~p)  q 
II. (p  ~r) 
es una: 
 
a) tautología b) contingencia 
c) contradicción d) equivalencia 
e) faltan datos 
 
8. Si: “p” = todos los hombres son inmortales; y la 
proposición: 
[(q  ~p)  (s  ~q)] (r  ~p) 
es falsa. Hallar: 
 
I. (p  ~q)  (r  q) 
II. ~(q  ~p)  ~(p  ~r) 
 
a) VV b) VF c) FV 
d) VV e) Faltan datos 
 
9. Sabiendo que la proposición “p” es verdadera, ¿en cuál 
de los siguientes casos es suficiente dicha información 
para determinar el valor de las proposiciones? 
 
I. p  ~q 
II. (~q  p) ~r 
III. (~p  q)  r 
 
a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III 
d) I y II e) II y III 
 
10.Si la proposición compuesta: 
(p  q)  (~q  ~r) 
es falsa. Hallar el valor de verdad de: 
 
I. ~(p  ~q)  (~r  q) 
II. (~p  r)  ~(q  p) 
 
a) VV b) VF c) FV 
d) FF e) Faltan datos 
 
Bloque III 
 
1. Dadas las proposiciones: 
 
p : Luis es abogado. 
q : Carlos es biólogo. 
r : Juan es administrador. 
 
¿Cuál es la expresión simbólica de los siguientes 
enunciados? 
 
I. Si Juan es administrador y Luis no es abogado 
entonces Carlos no es biólogo. 
II. Luis es abogado pero Juan no es administrador. 
 
a) I. (r  ~p)  q b) I. (r  ~p)  ~q 
II. p  r II. p  ~ r 
c) I. r  (~p  q) d) I. (r  ~p)  ~q 
II. p  ~r II. p  r 
2. De las siguientes proposiciones compuestas: 
I. Si: 5 + 3 = 7 entonces 8 < 7. 
II. 9 es mayor que 5 ó 4 es menor que 3. 
III. 25 = 5, sin embargo -42 = 16. 
IV. 3 < 4 si y sólo si 13 + 6 < 5 + 6. 
Indicar los valores de verdad respectivamente. 
a) V V V V b) V V V F c) F V F V 
d) F V V V e) V V F F 
 
3. Sabiendo que: (~r  q)  p es falso, hallar los valores 
de verdad de: 
 
I. (~q  p)  (~r  q) 
II. (p  ~q)  (~p  r) 
 
a) FF b) FV c) VF 
d) VV e) Faltan datos 
 
4. Sabiendo que: 
 
(p  q) ~r; es falsa. 
(s  p)  r; es verdadera. 
¿Cuáles de las afirmaciones son verdaderas? 
I. ~(p  s) es verdadera. 
II. s  q es falsa. 
III. ~s es verdadera. 
 
a) I y II b) I y III c) II y III 
d) Todos e) Sólo una de ellas 
 
5. La proposición: (p  q)  (r  s) es verdadera, teniendo 
“r” y “s” valores de verdad opuestos. Hallar los valores 
de verdad de: 
 
I. (~p  ~q)  (r  s) 
II. [ ~(p  q)  (r  s)]  (~p  q) 
 
a) VV b) VF c) FV 
d) FF e) Faltan datos 
 
6. Simplificar: 
[(~p  q)  r]  (~q  r) 
 
a) ~q b) ~q  r c) q  r 
d) q  ~r e) q p 
 
7. De la falsedad de la proposición: 
(p  ~ q) (~r  s) 
se deduce los valores de verdad de: 
I. (~ p  ~q)  ~q 
II. (~r  q)  [(~q  r)  s] 
III. (p  q)  [(p  q)  ~q] 
 
a) VFV b) VVF c) FVF 
d) FFV e) FFF 
 
8. Si la proposición: 
(p  ~q) (p  r) 
es falsa. ¿Cuál de las siguientes proposiciones son 
verdaderas? 
 
I. p  q es falsa. 
II. r  q es verdadera. 
III. ~q  p es verdadera. 
 
a) I y II b) I y III c) II y III 
d) Todas e) Ninguna 
 
9. La siguiente proposición: 
~(p  ~q)  (q  ~p) 
es una: 
 
a) tautología b) contradicción 
c) contingencia d) equipotencia 
e) inducción 
 
10.Se define el conectivo “#” por: 
p # q = ~p  q 
Hallar el equivalente de: 
(p # ~q) # (q # ~p) 
 
a) ~p  q b) p  ~q c) ~q  p 
d) p  q e) tautología 
a) [(r  ~p)  q]  (q  ~r) 
b) [(r  ~p)  q]  (q  ~r) 
c) [(r  ~p)  ~q]  (q  ~r) 
d) [(r  ~p)  q]  (q  ~r) 
e) [(r  ~p)  q]  (q  ~r) 
 
2. Si la proposición compuesta: 
(p  ~q)  ~t 
es falsa, hallar los valores de verdad de “p”, “q” y “t” 
respectivamente. 
 
a) VFF b) VVF c) FVF 
d) VFV e) FFV 
 
3. Al construir la tabla de verdad de: 
(p  ~q)  (~p  ~q) 
el número de valores verdaderos en el resultado es: 
 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 0 
 
4. Si “p” es una proposición falsa, ¿a cuáles de las 
siguientes proposiciones compuestas se puede hallar 
su valor? 
 
I. (p  ~q)  r 
II. ~p  (q  ~r) 
III. (p  q)  ~r 
 
a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III 
d) I y II e) I y III 
 
5. Dado el conector lógico “*”, cuya tabla es: 
 
 
Autoevaluación 
 
 
1. Si tenemos las proposiciones: 
 
p: Luis estudia inglés 
q: Luis trabaja por las tardes 
r: Luis es profesor de Física 
 
simbolizar: 
 
“Luis es profesor de Física y no estudia inglés, por lo 
tanto trabaja por las tardes; sin embargo trabajar por 
las tardes es condición suficiente y necesaria para no 
ser profesor de Física”. 
p q p * q 
V V V 
V F V 
F V F 
F F V 
 
construir la tabla de verdad de: 
[p * (q * ~p)] * q 
e indicar de que se trata. 
 
a) tautología b) contradicción 
c) contingencia d) equivalencia 
e) negación