sem 10

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Tema: Lógica proposicional
Docente: César Roque Minalaya
RAZ. MATEMÁTICO
OBJETIVO
Comprender y aplicar correctamente
los conectores lógicos, su tabla de
verdad así como también las leyes del
álgebra proposicional.
Conectivos 
lógicos
Leyes de lógica 
proposicional
Tablas de 
Verdad
1. CONCEPTOS PREVIOS
Estudia a las proposiciones y la relación existente entre
ellas así como la función que tiene las variables
proposicionales y los conectivos lógicos.
Lógica Proposicional
Enunciado
Es toda frase, oración o expresión que nos expresa una o
más ideas.
Proposición lógica
Es todo enunciado que tiene un único valor de verdad, es
decir, puede ser verdadero (V) o falso (F) sin ambigüedad.
Por ejemplo:
p: Voy a postular a la UNMSM
q: 5 + 3 = 20
r: Perú participó en el mundial Rusia 2018.
s: El 2 es un número impar.
( V )
( F )
( V )
( F )
Son proposiciones lógicas:
Clases de proposiciones lógicas
1.- Proposiciones simples o atómicas
Las proposiciones lógicas se clasifican en simples
(atómicas) y compuestas (moleculares)
Son proposiciones que expresan una sola idea, no poseen 
conectores lógicos.
Por ejemplo:
p: Hoy es lunes
q: Susy es más alta que Camila
2.- Proposiciones compuestas o moleculares
Son proposiciones que expresan más de una idea, poseen
al menos un conector lógico.
Por ejemplo:
• Camila es ingeniera y Juana es matemática
p q
• No vas al cine 
t
1. CONECTIVOS LÓGICOS
Son palabras que se representan por símbolos, se utilizan
para negar o enlazar proposiciones simples.
I. NEGACIÓN (Símbolo: ~)
• No es cierto que 
• Nunca 
• Es falso que 
Por ejemplo: No voy a dormir 
p
~
II. CONJUNCIÓN (Símbolo: )
• Además
• Pero
• Sin embargo
• Aunque
• También
Por ejemplo: 
Ricardo enseña y aprende
p q

III. DISYUNCIÓN DÉBIL O INCLUSIVA (Símbolo: v)
• Salvo que
• O sino
• Excepto que
Por ejemplo: Kiara cocina o lee 
p q
v 
IV. CONDICIONAL
• Si p, q
• p sólo si q
• p por lo tanto q
• q porque p
• q, si p
• q dado que p
(Símbolo:→ )
Por ejemplo:
Si estudia entonces ingresas 
p q
→
V. BICONDICIONAL (Símbolo: )
• Cuando y solo cuando
• Es necesario y suficiente para
• Es lo mismo que
Por ejemplo:
Ingresaras si y sólo si estudias 
p q

VI. DISYUNCIÓN FUERTE O EXCLUSIVA (Símbolo:  )
• salvo que solo
• O bien…o bien
• a menos que solamente
Por ejemplo:
O Andrés camina o duerme
p q

Resolución:
APLICACIÓN 01 
Nos piden: Simbolizar la siguiente expresión.Simbolizar la siguiente expresión:
O Elena estudia o, si Elena no se va de
viaje entonces, no estudia; pero Elena si
Ingresa a la universidad.
p: Elena estudia.
q: Elena se va de viaje.
r: Elena ingresa a la universidad.
a) 𝑝 ∨ ~𝑞 → ~𝑝 ∨ 𝑟
b) 𝑝 ∨ ~𝑞 → ~𝑝 ∧ 𝑟
c) 𝑝 △ ~𝑞 → ~𝑝 ∧ 𝑟
d) 𝑝 △ ~𝑞 → ~𝑝 ∧ 𝑟
e) 𝑝 ∨ ~𝑞 → ~𝑝 ∧ 𝑟
O Elena estudia o , si Elena no se va de viaje entonces , no estudia ; pero
Elena si ingresa a la universidad.
𝑝 ~𝑞 ~𝑝
𝑟
△ → ∧
Luego, La simbolización es:
𝑝 △ ~𝑞 → ~𝑝 ∧ 𝑟
3. TABLAS DE VERDAD
Es un cuadro que muestra ordenadamente todas las combinaciones posible de los valores de las variables de una
proposición compuesta, con el fin de establecer el valor de verdad de acuerdo al conector lógico.
V
V
F
F
V
F
V
F F
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
V
V
V
F
F
V
V
F
F
Disyunción
Inclusiva
Conjunción Condicional Bicondicional
Disyunción 
Exclusiva
Resolución:
APLICACIÓN 02 
Nos piden: La cantidad de valores verdaderos que tiene la matriz principal.Determine el número de valores
verdaderos de la matriz principal de
(∼p ∨ q) ↔ ((∼q → p) ∆ ∼p) 
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
𝑝 𝑞 ∼ 𝒑 ∨ 𝒒 ↔ ~𝒒 → 𝒑 ∆ ~𝒑
F
F
V
V
F
F
V
V
V
F
V
F
V
F
V
V
F
V
F
V
V
V
F
F
V
V
V
F
V
V
F
V
V
F
F
V
La matriz principal
1º 2º 3º4º
𝐿𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 2 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜𝑠.
V
V
F
F
V
F
V
F
Recordar:
p q p ∨ q
V V
V F
F V
F F F
V
V
V
p → q
F
V
V
V
p ∆ q
V
F
V
F
p ↔ q
V
F
V
F
Resolución:
APLICACIÓN 03 
Nos piden: el valor de verdad de p, q y r.Si la proposición
~(~𝑝 → 𝑞) → (𝑞 ↔ ~ 𝑟) es falsa, halle
el valor de verdad de 𝑝, 𝑞 y 𝑟 en ese
orden.
a) VVF
b) FFV
c) FFF
d) VFF
e) FVF
Del dato se tiene:
≡ F
V F
F
→ ≡ F
~ ~ 𝑝 → 𝑞 → ( 𝑞 ↔ ~ 𝑟 )
V F
F
En conclusión: 𝑝 ≡ F
F
𝑞 ≡ F
↔
diferente valor 
de verdad
F V
F
𝑟 ≡ F
𝐸𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑝, 𝑞 𝑦 𝑟 𝑒𝑠 𝐹𝐹𝐹.
4. LEYES DE LÓGICA PROPOSICIONAL
Veamos algunas leyes importantes atener en cuenta:
DOBLE NEGACIÓN
∼ ∼ 𝑝 ≡ 𝑝
IDEMPOTENCIA
𝑝 ∧ 𝑝 ≡ 𝑝
𝑝 ∨ 𝑝 ≡ 𝑝
IDENTIDAD
𝑝 ∨ 𝑉 ≡ 𝑉
𝑝 ∧ 𝑉 ≡ 𝑝
𝑝 ∨ 𝐹 ≡ 𝑝
𝑝 ∧ 𝐹 ≡ 𝐹
COMPLEMENTO 
𝑝 ∨∼ 𝑝 ≡ 𝑉
𝑝 ∧∼ 𝑝 ≡ 𝐹
DE MORGAN 
∼ 𝑝 ∧∼ 𝑞≡∼ 𝑝 ∨ 𝑞
∼ 𝑝 ∨∼ 𝑞≡∼ 𝑝 ∧ 𝑞
ABSORCIÓN
≡𝑝 ∧ 𝑝 ∨ 𝑞 𝑝
≡𝑝 ∨ 𝑝 ∧ 𝑞 𝑝
≡𝑝 ∧ ∼ 𝑝 ∨ 𝑞 𝑝 ∧ 𝑞
≡𝑝 ∨ ∼ 𝑝 ∧ 𝑞 𝑝 ∨ 𝑞
CONDICIONAL
𝑝 → 𝑞 ≡ ∼ 𝑝 ∨ 𝑞
𝑝 → 𝑞 ≡ ~𝑞 → ~𝑝
Ejemplo:
Halle la proposición equivalente de “Si Karina estudia
mucho entonces Karina ingresará”
A) Karina no estudia mucho o Karina no ingresará.
B) Karina estudia mucho o Karina ingresará.
C) Karina estudia mucho o Karina no ingresará.
D) Karina no estudia mucho o Karina ingresará.
E) Karina estudia mucho y Karina ingresará.
Resolución:
“Si Karina estudia mucho entonces Karina ingresará”
𝑝 𝑞→
𝑝 → 𝑞 ≡ ~𝑝 ∨ 𝑞
Karina no estudia mucho o Karina ingresará.
PROBLEMA 1 
Resolución:
𝑝 𝑞
V V
V F
F V
F F
Halle la matriz principal, al elaborar la 
tabla de verdad de la proposición.
[~p → (~p ∨ q)] ∧ ~ q
Nos piden: La matriz principal
F
F
V
V
V
F
V
F
La matriz principal
1º2º 3º
∼ 𝒑 → ~ 𝒑 ∨ 𝒒 ~ 𝒒˄[ ]
V
F
V
V
F
F
V
V
V
V
V
V
F
V
F
V
F
V
F
V
La matriz principal es: FVFV
Elaboramos la tabla de verdad.
A) VVVV 
B) FFFF 
C) VVFF 
D) FVFV
E) VVVF 
PROBLEMA 2 
Resolución:
𝑝 𝑞
V V
V F
F V
F F
𝑝 𝑞
V V
V F
F V
F F
Si ambas proposiciones tienen el mismo 
valor de verdad
I. ∼ q → p II. p  q
¿Cuál de las siguientes proposiciones es 
verdadera?
A) ∼p v ∼q 
B) p ∧ q 
C) p  q 
D) q → ∼p
E) p ∧ ∼ q 
Nos piden: la proposición verdadera.
Elaboramos la tabla de verdad en cada caso.
V
V
F
F
∼ 𝒒 → 𝒑
F
V
F
V
V
V
V
F
V
F
V
F
𝒑 ↔ 𝒒
V
V
F
F
V
F
F
V
Ambas proposiciones poseen mismo valor de verdad, cuando 𝒑 ≡ V 𝒒 ≡ V
Analizamos cada alternativa:
A) ∼p v ∼q B) p ∧ q C) p  q D) q → ∼p
F F
≡ F
V V
≡ V
V V
≡ F
V F
≡ F
La proposición verdadera es: p ∧ q 
E) p ∧ ∼q ≡ F
V F
PROBLEMA 3 
Resolución:
Si la proposición compuesta:
(~p∧ q) → (q∧ ~r) es falsa, los valores
de verdad de p, q y r son
respectivamente.
A) FFV 
B) VVV 
C) FVV 
D) FVF
E) FFF 
Nos piden: Los valores de verdad de las proposiciones 𝑝, 𝑞 y 𝑟. 
Del dato, se tiene:
( ~ p ∧ q ) → ( q ∧ ~ r ) ≡ F
𝒑 ≡ F
𝒒 ≡ V
𝒓 ≡ V
V V
V F
V F
F
Recordar:
F V V
Los valores de verdad de p, q y r son respectivamente: FVV
PROBLEMA 4 
Resolución:
Si (p → ~q) es falsa y (r ∆ s) es verdadera, 
indique el valor de verdad de las 
siguientes proposiciones.
I. (r ∧ s) → q 
II. p ∧ (r ↔ ~ s)
III. q ∧ ~ p
A) VFV 
B) VVF 
C) FFV 
D) VVV
E) VFF
Nos piden: El valor de verdad de las proposiciones dadas.
Del dato, se tiene:
( p → ~ q ) r ∆ s≡ F ≡ V
V F
F
V V
𝒑 ≡ V 𝒒 ≡ V
V ----- F
V
F ----- V 𝒓 𝒚 𝒔 poseen diferente 
valor de verdad
Analizamos cada proposición dada.
I. ( r ∧ s ) → q 
V
V
Valores diferentes
FRecordar:
I. p ∧ ( r ↔ ~ s )
Valoresiguales
VV
V
III. q ∧ ~ p
V F
F
El valor de verdad de las proposiciones es, respectivamente: VVF
PROBLEMA 5 
Resolución:
Ley de identidad
¿Cuáles de las siguientes proposiciones 
son equivalentes? 
I. p ∧ (q → p) 
II. p ∧ (q → q) 
III. (p → p) ∧ q 
A) I y II 
B) I y III 
C) II y III 
D) I; II y II
E) ninguna
Nos piden: Las proposiciones equivalentes.
Analizamos cada proposición dada.
I. p ∧ ( q → p ) Ley de la condicional p→ q ≡ ~p  q
~𝑞 ∨ 𝑝p ∧ ( ) 
𝑝 ∨ ~𝑞P ∧ ( ) 
Ley conmutativa p V q ≡ 𝑞 V p
Ley de absorción p  (p  q) ≡ p
≡ P
II. p ∧ ( q → q ) 
Recordar:
p ∧ V p  V ≡ P
≡ P
III. ( p → p ) ∧ q 
V ∧ q Ley de identidad p  V ≡ P
≡ q
Son equivalentes, las proposiciones: I y II
PROBLEMA 6 
Resolución:
Determine el l valor de verdad de los 
siguientes enunciados: 
I. [p ∧ (p → q)] → [ (r V q) ∧ q ]
II. ~ ( ~r→ q) ∧ (q ∧ q)
A) VV B) FF C) FV 
D) VF E) No se puede determinar
Nos piden: El valor de verdad de los enunciados.
Analizamos cada proposición.
I. [ p ∧ ( p → q ) ] → [ ( r V q ) ∧ q ] II. ~ ( ~ r → q ) ∧ ( q ∧ q )
[ p ∧ ( ) ]
( p ∧ q )
~ p V q → [q ∧ ]
De la condicional
p→ q ≡ ~p  q
Conmutativa
p  q ≡ q  p
p  q ≡ q  p
( q V r )
De absorción
p  (p  q) ≡ p
p  (p  q) ≡ p
p  (~ p  q) ≡ p  q
p  (~ p  q) ≡ p  q
→ q 
~ ( p ∧ q ) V q De Morgan
~ (p  q) ≡ ~ p  ~q
~ (p  q) ≡ ~ p  ~q
( ~ p V ~ q ) V q 
~ p V ( ~ q V q ) 
~ p V 
Del complemento
p  ~p ≡ F
p  ~p ≡ V
V
Identidad
p  V ≡ p
p  F ≡ F
p  V ≡ V
p  F ≡ p
V
Idempotencia
p  p ≡ p
p  p ≡ p
q ~ ( )~(~ r ) V q ∧
~ ( )r V q q ∧
( ~ r ∧ ~ q ) q ∧
~ r ∧ ~ q ∧ q( ) 
~ r ∧ F
F
El valor de verdad de los enunciados es: V F
PROBLEMA 1 
Resolución:
Halle la matriz principal, luego de
construir la tabla de verdad
(p → q) ∨ (p ∧ q)
A) VVFF
B) VFVV
C) FVFV
D) FFVF
E) VVVV
Nos piden: Los valores de verdad que tiene la matriz principal.
𝑝 𝑞 𝒑 → 𝒒 ∨ 𝒑 ∧ 𝒒
V
F
V
F
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
V
V
F
F
V
F
F
F
V
F
V
V
La matriz principal
1º 2º3º
V
V
F
F
V
F
V
F
Recordar:
𝐿𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑉𝐹𝑉𝑉.
PROBLEMA 2 
Resolución:
Si la proposición (r → q) ∨ (r ∧ p) es falso;
determine el valor de verdad de p, q y r
respectivamente.
A) VFF 
B) VFV 
C) FVF 
D) FFV 
E) FFF 
Nos piden: el valor de verdad de p, q y r.
Del dato se tiene:
( r → q ) ∨ ( r ∧ 𝐩 ) ≡ F
𝒓 ≡ V
𝒒 ≡ F
𝒑 ≡ F
V F
F F
V
F
F
Los valores de verdad de p, q y r son respectivamente: FFV
PROBLEMA 3 
Resolución:
Nos piden:Simplifique la expresión
p ∧ [ p ∨ (p ∧ q)]
A) q 
B) p 
C) ~ p 
D) p ∨ q 
E) ~ q 
1
Simplificar la expresión.
p ∧ [ p ∨ (p ∧ q)]
Pp ∧
Ley de absorción p  (p  q) ≡ p
Ley de idempotencia 𝑝 ∧ 𝑝 ≡ 𝑝
P
𝐴𝑙 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑠𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑃.
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