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M ìkhaild Flores P. RLGEBRH Teoria y práctica ► Exámenes UNI desarrollados ►Actualizado según últimos ►Desarrollo completo por temas v con claves prospectos de todo el curso ► Nuevos problemas resueltos »claves para todos los V propuestos tipo UNI problemas propuestos COLECCION U N n iE N O A Mikhaild Flores R RLGEBRO Teoría y práctica E d ito r ia l COLECCIÓN;#LEC C J l \ l E ^'üU N I I I E N C I A5 A R I E N S M 4M Á lg h b r a ; T e o r ìa y práctica C olección U n ic ie n c ia Sapiens M ik h a il d F lores P. © Mikhaild Flores R, 2007 Asesoría académica: Salvador Timoteo V. © Editorial San Marcos E. I. R. L., editor Jr. Dávalos Lissón 135, Lima, Lima, Lima Teléfono; 331-1522 RUC: 20260100808 E-mail: informes@editorialsanmarcos.com Diseño de portada; Gustavo Tuppia Composición de interiores: Gina Condori Responsable de edición; Alex Cubas Primera edición; 2007 Segunda edición; 2014 Tercera edición: 2015 Primera reimpresión; abril de 2018 Tiraje; 500 ejemplares Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú N.° 2018-03930 ISBN: 978-612-315-276-5 Registro de proyecto editorial N.° 31501011800267 Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra sin la previa autorización escrita del autor y el editor. Impreso en el Perú / Printed in Peru Pedidos: Jr. Dávalos Lissón 135, Lima Teléfono: 433-7611 E-mail: ventasoficina@editorialsanmarcos.com www.editorialsanmarcos.com Impresión; Editorial San Marcos de Aníbal Jesús Paredes Galván Av. Las Lomas 1600, Urb. Mangomarca, San Juan de Lurigancho, Lima, Lima RUC; 10090984344 Publicado en mayo de 2018 mailto:informes@editorialsanmarcos.com mailto:ventasoficina@editorialsanmarcos.com http://www.editorialsanmarcos.com INDICE Presentación................................................................................................................................................. 11 CAPÍTULO 01: LÓGICA PROPOSICIONAL Biografía: Gottlob Frege............................................................................................................................... 13 Enunciado..................................................................................................................................................... 14 Proposición................................................................................................................................................... 14 Variables lógicas........................................................................................................................................... 14 Clases de proposiciones............................................................................................................................... 14 Conectivos lógicos........................................................................................................................................ 14 Tablas de verdad o Wilttgenstein.................................................................................................................. 14 Estudio de los conectivos lógicos................................................................................................................. 14 Tautología, contradicción y contingencia...................................................................................................... 15 Problemas resueltos..................................................................................................................................... 17 Problemas de examen de admisión UNI...................................................................................................... 29 Problemas propuestos.................................................................................................................................. 32 CAPÍTULO 02; CONJUNTOS Biografía: Georg Cantor............................................................................................................................... 39 Definición...................................................................................................................................................... 40 Nomenclatura............................................................................................................................................... 40 Relación de pertenencia (e )......................................................................................................................... 40 Determinación de un conjunto...................................................................................................................... 40 Clases de conjuntos...................................................................................................................................... 40 Relaciones entre conjuntos.......................................................................................................................... 40 Comparación entre conjuntos....................................................................................................................... 41 Representación gráfica de los conjuntos...................................................................................................... 41 Operaciones con conjuntos........................................................................................................................... 41 Número de elementos de un conjunto.......................................................................................................... 43 Problemas resueltos..................................................................................................................................... 45 Problemas de examen de admisión UNI...................................................................................................... 58 Problemas propuestos.................................................................................................................................. 60 CAPÍTULO 03: EXPONENTES Y RADICALES EN IB Biografía; Christoph Rudolff......................................................................................................................... 67 Leyes de exponentes.................................................................................................................................... 68 Ecuaciones exponenciales........................................................................................................................... 70 Problemas resueltos..................................................................................................................................... 71 Problemas de examen de admisión UNI...................................................................................................... 82 Problemas pospuestos.................................................................................................................................. 84 CAPÍTULO 04: EXPRESIONES ALGEBRAICAS Biografía; Jean D’AIembert........................................................................................................................... 89 Conceptos previos........................................................................................................................................ 90 Expresiones algebraicas............................................................................................................................... 90 Expresiones trascendentes........................................................................................................................... 91 Término algebraico....................................................................................................................................... 91 Clasificación de las expresiones algebraicas............................................................................................... 91 Valor numérico de un polinomio y cambio de variables............................................................................... 91 Problemasresueltos..................................................................................................................................... 93 Problemas de examen de admisión UNI...................................................................................................... 97 Problemas propuestos.................................................................................................................................. 98 CAPÍTULO 05: GRADOS Biografía: Simón Stevin................................................................................................................................ 101 Definición...................................................................................................................................................... 102 Clases de grados.......................................................................................................................................... 102 Problemas resueltos..................................................................................................................................... 104 Problemas de examen de admisión UNI...................................................................................................... 108 Problemas propuestos.................................................................................................................................. 109 CAPÍTULO 06: POLINOMIOS ESPECIALES Biografía: Évariste Galois............................................................................................................................. 113 Definición...................................................................................................................................................... 114 Polinomio homogéneo.................................................................................................................................. 114 Polinomio ordenado...................................................................................................................................... 114 Polinomio completo....................................................................................................................................... 114 Polinomio completo y ordenado............................................................................ ....................................... 114 Polinomios idénticos..................................................................................................................................... 114 Polinomios idénticamente nulos................................................................................................................... 114 Problemas resueltos..................................................................................................................................... 116 Problemas de examen de admisión UNI...................................................................................................... 120 Problemas propuestos.................................................................................................................................. 123 CAPÍTULO 07: MULTIPLICACIÓN ALGEBRAICA - PRODUCTOS NOTABLES Biografía: Adrien-Marie Legendre................................................................................................................. 127 Mulliplicación algebraica............................................................................................................................... 128 Productos notables....................................................................................................................................... 128 Problemas resueltos..................................................................................................................................... 131 Problemas de examen de admisión UNI...................................................................................................... 143 Problemas propuestos.................................................................................................................................. 144 CAPÍTULO 08: DIVISIÓN ALGEBRAICA - COCIENTES NOTABLES Biografía: Paolo Ruffini......................................................... 149 División algebraica....................................................................................................................................... 150 División de polinomios.................................................................................................................................. 150 Regla de Ruffini............................................................................................................................................ 152 Teorema del residuo...................................................................................................................................... 153 Divisibilidad poiinómica................................................................................................................................. 154 Residuos especiales..................................................................................................................................... 155 Cocientes notables....................................................................................................................................... 155 Probiemas resueltos..................................................................................................................................... 157 Problemas de examen de admisión UNI............................................................................................... 169 Problemas propuestos.................................................................................................................................. 171 CAPÍTULO 09: FACTORÍZACÍÓN Biografía: Jean-Robert Argand..................................................................................................................... 177 Definición...................................................................................................................................................... 178 Polinomio primo................................................................................................................................................. 178 Métodos de faetorización.............................................................................................................................. 178 Faetorización reciproca o recurrente............................................................................................................ 184 Método de los artificios................................................................................................................................. 186 Faetorización simétrica y alternativa............................................................................................................ 187 Problemas resueltos..................................................................................................................................... 189 _________________ A lgebra ■ Problemas de examen de admisión UNI................ 198 Problemas propuestos.................................................................................................................................. 200 CAPÍTULO 10: MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO FRACCIONES ALGEBRAICAS Biografìa: William Homer.............................................................................................................................. 205 Máximo común divisor (MCD)....................................................................................................................... 206 Mínimo común múltiplo (MCM)..................................................................................................................... 206 Fracciones algebraicas.................................................................................................................................208 Problemas resueltos..................................................................................................................................... 213 Problemas de examen de admisión UNI...................................................................................................... 218 Problemas propuestos.................................................................................................................................. 219 CAPÍTULO 11: POTENCIACIÓN • BINOMIO OE NEWTON Biografía: Isaac Newtori............................................................................................................................... 225 Factorial de un número entero y positivo..................................................................................................... 226 Cofactorial o semifactorial............................................................................................................................ 226 Análisis combinatorio.................................................................................................................................... 227 Binomio de Newton...................................................................................................................................... 232 El triángulo de Pascal o Tartaglia................................................................................................................. 237 Problemas resueltos..................................................................................................................................... 239 Problemas de examen de admisión UNI...................................................................................................... 250 Problemas propuestos.................................................................................................................................. 252 CAPÍTULO 12; RADICACIÓN Biografía: Gerolamo Cardano....................................................................................................................... 257 Definición...................................................................................................................................................... 258 Clasificación.................................................................................................................................................. 258 Homogeneización de radicales..................................................................................................................... 258 Valor aritmético de un radical....................................................................................................................... 258 Valor algebraico de un radical...................................................................................................................... 258 Raíz cuadrada de polinomios....................................................................................................................... 258 Transformación de radicales dobles a suma o diferencia de radicales simples o sencillos........................ 259 Racionalización............................................................................................................................................ 261 Problemas resueltos..................................................................................................................................... 263 Problemas de examen de admisión UNI...................................................................................................... 273 Problemas propuestos.................................................................................................................................. 275 CAPÍTULO 13: NÚMEROS COMPLEJOS Biografía: Lodovico Ferrari........................................................................................................................... 281 Cantidades imaginarias................................................................................................................................ 282 Potencias de la ur\idad imaginaria................................................................................................................ 282 Número complejo......................................................................................................................................... 282 Representación gráfica de los números complejos...................................................................................... 283 Operaciones con números complejos.......................................................................................................... 283 Propiedades de las raíces cúbicas de la unidad.......................................................................................... 285 Fórmula de Euler........................................................................................................................................... 285 Problemas resueltos..................................................................................................................................... 288 Problemas de examen de admisión UNI...................................................................................................... 300 Problemas propuestos.................................................................................................................................. 303 CAPÍTULO 14: MATRICES Y DETERMINANTES Biografía: Gabriel Cramer............................................................................................................................. 309 Matrices......................................................................................................................................................... 310 Orden de una matriz..................................................................................................................................... 310 Matrices especiales...................................................................................................................................... 310 Igualdad de matrices.................................................................................................................................... 310 Operaciones con matrices............................................................................................................................ 310 Transpuesta de una matriz........................................................................................................................... 311 Taza de una matriz A [TrazíA)]..................................................................................................................... 312 Matrices cuadradas especiales.................................................................................................................... 312 Caracteristicas notables de algunas matrices cuadradas............................................................................ 312 Determinantes.............................................................................................................................................. 312 Menor complementario de una componente................................................................................................ 313 Determinante de Vandennonde.................................................................................................................... 313 Matriz inversa............................................................................................................................................... 313 Problemas resueltos..................................................................................................................................... 316 Problemas de examen de admisión UNI...................................................................................................... 331 Problemas propuestos..................................................................................................................................333 CAPÍTULO 15: TEORÍA DE ECUACIONES Biografía: Al-Juarismi ............................................................................................................................... 341 Igualdad......................................................................................................................................................... 342 Clasificación................................................................................................................................................. 342 Conjunto solución de una ecuación (CS)..................................................................................................... 342 Clases de ecuaciones.................................................................................................................................. 342 Teorema para transformar ecuaciones en equivalentes............................................................................... 342 Ecuaciones de primer grado......................................................................................................................... 343 Sistemas de ecuaciones............................................................................................................................... 347 Sistema de ecuaciones lineales o de primer grado...................................................................................... 348 Sistemas lineales: el método de eliminación de Gauss y Gauss-Jordan................................ 354 Ecuaciones de segundo grado..................................................................................................................... 360 Ecuaciones de grado superior...................................................................................................................... 365 Ecuaciones recíprocas................................................................................................................................. 367 Sistemas de ecuaciones de segundo grado y grado superior...................................................................... 368 Ecuaciones cúbicas y cuárticas.................................................................................................................... 369 Problemas resueltos..................................................................................................................................... 373 Problemas de examen de admisión UNI...................................................................................................... 386 Problemas propuestos.................................................................................................................................. 389 CAPÍTULO 16: DESIGUALDADES - INECUACIONES - VALOR ABSOLUTO Biografía: Bernhard Riemann....................................................................................................................... 401 Desigualdades.............................................................................................................................................. 402 Axiomas de relación de orden...................................................................................................................... 402 Relaciones que expresan desigualdades..................................................................................................... 402 Clases de desigualdades............................................................................................................................. 402 Intervaio......................................................................................................................................................... 403 Propiedades generales de las desigualdades.............................................................................................. 403 Inecuaciones................................................................................................................................................ 404 Gráfica de desigualdades con dos variables................................................................................................ 407 Valor absoluto............................................................................................................................................... 411 Ecuaciones con valor absoluto..................................................................................................................... 411 Inecuaciones con valor absoluto.................................................................................................................. 412 Problemas resueltos..................................................................................................................................... 415 Problemas de examen de admisión UNI...................................................................................................... 429 Problemas propuestos.................................................................................................................................. 432 CAPÍTULO 17: PROGRAMACIÓN LINEAL Biografía: George Dantzig............................................................................................................................ 443 Definición............... 444 Desigualdades lineales.................................................................................................................................. 444 Sistema de inecuaciones.............................................................................................................................. 444 Problema general.......................................................................................................................................... 446 Problemas resueitos...................................................................................................................................... 452 Problemas de examen de admisión UNI...................................................................................................... 462 Problemas propuestos................................................................................................................................... 465 c a p ít u l o 18: SUCESIONES Y SERIES Biografía: Gustav Dirichiet............................................................................................................................ 469 Sucesiones.................................................................................................................................................... 470 Series............................................................................................................................................................ 470 Problemas resueltos...................................................................................................................................... 474 Problemas de examen de admisión UNI...................................................................................................... 483 Problemas propuestos.................................................................................................................................. 485 CAPÍTULO 19: PROGRESIONES Biografía: Fibonacci....................................................................................................................................... 491 Progresión..................................................................................................................................................... 492 Progresiones aritméticas (PA)...................................................................................................................... 492 Progresiones geométricas (PG)................................................................................................................... 495 Problemas resueltos...................................................................................................................................... 499 Problemas de examende admisión UNI...................................................................................................... 506 Problemas propuestos..i............................................................................................................................... 508 CAPÍTULO 20: RELACIONES Y FUNCIONES Biografía: Leonhard Euler............................................................................................................................. 513 Definiciones previas..................................................................................................................................... 514 Relación......................................................................................................................................................... 514 Función......................................................................................................................................................... 514 Dominio y rango de una función................................................................................................................... 514 Función de variable real............................................................................................................................... 515 Funciones especiales y representación gráfica............................................................................................ 517 Gráfica de funciones de fonmas especiales.................................................................................................. 518 Tipos de funciones: inyectiva, suryectiva, biyectiva..................................................................................... 519 Operaciones con funciones.......................................................................................................................... 520 Composición de funciones........................................................................................................................... 520 Funciones monótonas crecientes y decrecientes......................................................................................... 520 Función inversa............................................................................................................................................ 521 Función exponencial..................................................................................................................................... 521 Gráfica de la función exponencial................................................................................................................ 521 Función exponencial de base e .................................................................................................................... 522 Inecuaciones exponenciales........................................................................................................................ 522 Función logarítmica...................................................................................................................................... 523 Gráfica de la función logarítmica.................................................................................................................. 523 Problemas resueltos..................................................................................................................................... 525 Problemas de examen de admisión UNI...................................................................................................... 536 Problemas propuestos.................................................................................................................................. 538 CAPÍTULO 21: LOGARITMOS Biografía: John Napier.................................................................................................................................. 547 Definición...................................................................................................................................................... 548 Igualdades fundamentales........................................................................................................................... 548 Propiedades generales................................................................................................................................. 548 Cologaritmo (colog)...................................................................................................................................... 549 Antilogaritmo (antilog)................................................ .................................................................................. 549 Logaritmos cxtmo progresiones..................................................................................................................... 549 Sistema de logaritmos................................................................................................................................... 549 Logaritmos de números negativos................................................................................................................ 550 Operaciones con logaritmos decimales........................................................................................................ 551 El número e y los logaritmos naturales........................................................................................................ 552 Problemas resueltos...................................................................................................................................... 555 Problemas de examen de admisión UNI...................................................................................................... 562 Problemas propuestos................................................................................................................................... 564 CAPÍTULO 22: LÍMITES Y DERIVADAS Biografía; Gottfried Leibniz............................................................................................................................ 569 Limite............................................................................................................................................................. 570 Formas determinadas.................................................................................................................................... 570 Formas indeterminadas................................................................................................................................. 570 Derivadas...................................................................................................................................................... 571 Regla de L'Hospital-Bernoulli....................................................................................................................... 572 Máximos, mínimos y representación gráfica de funciones........................................................................... 575 Problemas resueltos...................................................................................................................................... 576 Problemas de examen de admisión UNI...................................................................................................... 588 Problemas propuestos............................................................................................... 590 PRESENTACION Este texto propone el desarrollo de los conceptos más elementales del curso, para llegar a temas recientemente incorporados en los exámenes de admisión, según el prospecto de la UNI . En suma, la intención es que el estudiante encuentre un curso completo de Álgebra elemental de acuerdo a las últimas exigencias. En cuanto a la propuesta pedagógica de cada tema, el joven estudiante encontrará la teoría respectiva y luego su parte práctica, es decir, una primera que consta de ejercicios de aplicación y la otra, donde se proponen problemas resueltos, probiemas de examen de admisión UNI y problemaspropuestos con claves. La sección de ejercicios de aplicación, se ha considerado en aquelios capítulos que, según nuestra experiencia, ofrecen cierta dificultad en su comprensión; son ejercicios bastante sencillos. Y tienen como in tención que el estudiante vaya familiarizándose con esta parte de la ciencia matemática sin problemas. Inclu sive puede servir de material de aula a los profesores de educación secundaria, ya que están dosificados de menor a mayor grado de dificultad, además de contar con sus respuestas respectivas después de los enun ciados. En cuanto a la sección de problemas resueltos y propuestos, estos están presentados de acuerdo al grado de dificultad de los mismos. Las repuestas de estos últimos, se encuentran al fínal de cada capítulo. Se ha sido cuidadoso en cuanto a la teoría expuesta, respetando la rigurosidad matemática, pero a su vez se ha sido concreto en muchos aspectos ya que (como se entenderá) la dimensión del libro no lo permite; de ia misma manera, se emplea un lenguaje sencillo en cuanto a la explicación teórica y en la parte práctica se ha utilizado el criterio de lo fácil a lo complejo, por eso es que sí el lector da un recorrido visual a las páginas, notará que (en la parte de ejercicios, problemas resueltos y propuestos) los primeros de ellos son muy fáciles y progresivamente se van haciendo un poco más difíciles en cuanto a su resolución, es decir, el libro es para estudiantes de todo nivel. En cuanto a los capítulos, el estudiante podrá encontrar los temas ciásicos de: iógica proposicional, conjuntos, exponentes y radicales en IR, expresiones algebraicas, grados, polinomios especiales, multipli cación algebraica, productos notables, división algebraica, cocientes notables, factorízacíón, MCD y MCM, fracciones algebraicas, potenciación, binomio de Newton, radicación, números complejos, teoría de ecua ciones, desigualdades, inecuaciones, sucesiones y series, progresiones, logaritmos. Se han incluido los capítulos de: matrices y determinantes, programación lineal, relaciones y funciones, límites y derivadas. Esperamos que esta publicación logre convertirse en un importante auxiliar pedagógico para todos los estudiantes de educación secundaria, preuniversitaria y superior, además que logre aportar en su prepara ción para afrontar con éxito el examen de admisión y en su posterior desarrollo profesional. Si este texto logra ser parte fundamental en la construcción de un futuro profesional peruano, entonces nos daremos por satisfechos. El Editor Lógica proposicional _ o z> a o o Friedrich Ludwig Gottlob Fre§e nació el 8 de noviembre de 1848 en Wismar y murió el 26 de ju lio de 1925 en Bad Kleinen. Fue un matemático. lógico y filósofo alemán, padre de la lógica ma temática y la filosofía analítica. Frege es am pliam ente reconoci do como el m ayor lógico desde Aristóteles. Comenzó sus estu dios en la Universidad de Jena en 1869 trasladándose a Gotinga para com pletar sus estudios de Física. Química, Filosofía y Ma temáticas. licenciándose en esta última en 1873. En 1879. Frege publicó su revo lucionaria obra titulada Concep- tografía o Escritura de concep tos. en la que sentó las bases de la lógica m atem ática m oderna. Mediante la introducción de una nueva sintaxis, con la inclusión de los llamados cuantificadores «para todo» o «para ai menos un» permitió formalizar una enorm e cantidad de nuevos argumentos. También fue el primero en distinguir la caracterización formal de las leyes lógicas de su contenido semántico. Frege fue un defensor deí logícismo y de la ¡dea de que las m atem áticas son reducibles a la lógica, en el sentido de que las verdades de la m atem ática son deducibles de las verdades de la lógica. Sin embargo, su defensa del logicismo era de alcance limitado, aplicándola solo a la aritmética y a la teoría de conjuntos, puesto que Frege perm aneció en gran m edida feantiano respecto de la geometría. Su obra titulada Leyes básicas de la aritmética fue un intenio de llevar a cabo el proyecto logicista. Fuente: Wifeipedia <4 ENUNCIADO Es toda frase u oración (escrita o hablada). Ejemplos; El muro está hecho de ladrillo Quiero ese juguete. ¡Fuera! ¿Quién es? 2 + 3 = 5 <<l PROPOSICIÓN Es aquel enunciado al que se le puede asignar sola mente uno de los llamados valores de verdad (verda dero o falso). Ejemplos: El azufre es de color amarillo. Los mamíferos son vertebrados. Los canguros se encuentran en Australia. No se consideran proposiciones a las preguntas, inter jecciones, mandatos, deseos, dudas o a cualquier otro enunciado que no indique una vendad o falsedad. Ejemplos: ¿Cuál es tu nombre? ¡Eder, ayúdame! Apaga el ventilador ¡Fuera! <4 VARIABLES LÓGICAS En el lenguaje de ia lógica las proposiciones se denotan por lo general con las siguientes letras del alfabeto: p, q. r, s, t, etc. Ejemplos: P : Felipe es futbolista P Q: Mario es ingeniero y Rosa es doctora p q ^ CLASES DE PROPOSICIONES Simples o atómicas Son aquellas que están compuestas de una sola pro posición. Ejemplos: p: Roberto estudia. q; La mesa es de color manrón. Pueden ser de dos tipos: I. Predicativa; cuando establece una característica o cualidad del sujeto. Ejemplo: p: Pedro es basquetbolista. ti. Relacionante: cuando establece una comparación entre dos o más sujetos. Ejemplo: q: Eder es más fuerte que Jorge. Compuestas o moleculares Aquellas que están compuestas de dos o más propo siciones. Ejemplos: Pedro es marino y Raúl es gimnasta p q Luis se encuentra en Lima o se encuentra en Europa P q <4 CONECTIVOS LÓGICOS Son símbolos que permiten ligar o enlazar una proposi ción con otra. Entre los cuales tenemos: Símbolo Operación Significado negación no p V disyunción inclusiva p o q y o A disyunción exclusiva 0 p 0 q A conjunción p y q condicional p entonces q O blcondicional p si y solo si q ^ TABLAS DE VERDAD O WITTGENSTEIN Toda variable lógica p puede ser sustituida por cual quier enunciado y sus posibles valores de verdad son; Verdadero (V) Falso (F) Para dos variables: P q V V V F F V F F Para tres variables: P q r V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F De donde: N = 2"; (n = n.® de variables) ^ ESTUDIO DE LOS CONECTIVOS LÓGICOS Negación (~) Tiene como significado no; no es cierto que; es fólso que, etc. Ejemplo: Sea p: La nube es blanca. Su negación será ~p: La nube no es bianca. Siendo su tabla de verdad: p ~P V F F V Disyunción (V) Disyunción débil o Inclusiva (v). Tiene como signi ficado (O), indica dentro de ia proposición que la ocu rrencia de uno de elios no descarta la ocurrencia del otro. Ejemplo: El veneno es mortal o dañino Su tabla de verdad es: P q p v q V V V V F V F V V F F F Fuerte o exclusiva (A o v ) . Tiene como significado (O... O-..). Indica dentro de una proposición molecular la ocurrencia de uno de ios hechos más no la de ambos. Ejemplo: O Luis se encuentra en Lima o se encuentra en Brasii Su tabla de verdad es: P q p A q V V F V F V F V V F F F Conjunción (a) Cuando se usa ei término de enlace (y), también puede hacerse ta consideración para las siguientes palabras: pero, sin embargo, además, aunque, a la vez, no obs tante, dado que, etc. Ejemplo: Su tabla de verdad es: 2 + 2 = 4 3 + 4 = 7 P q p A q V V V V F F F V F F F F Condicional (=») Cuando se usa el conectivo (entonces) y se puede cam biar por: luego, por lo tanto, ya que, es consecuencia. Ejemplo: Si estudias entonces apruebas. p =» q Su tabla de verdad es; P q p =» q V V V V F F F V V F F V Bicondicionai («») Está representado por el (si y solo si). Ejemplo: Todo número es par si y solo si es divisible por 2. P q Su tabla de verdad es: P q p « q V V V V F F F V F F F V El valor de verdad de las proposiciones compuestas se puede determinar a partir del valor de verdad de sus componentes. <4 TAUTOLOGÍA. CONTRADICCIÓN Y CONTIN GENCIA Evaluar una fórmula proposicional consiste en haliar su tabla de valores de verdad, pueden ser:Tautología Si todos los valores de verdad son verdaderos. Contradicción Si todos los valores de verdad son falsos. Contingencia Si algunos valores de verdad son verdaderos y otros falsos. Ejemplo: 1. De las siguientes proposiciones: I. Tol<ío es la capital de Japón, es una proposición verdadera. II, Ricardo Palma fue arequipeño, es una contra* dicción. III. - p v q tiene la misma tabla de valores de ver dad que p q. IV. ¡Vamos Boysl, es una proposición. Determinar sus valores de verdad. Resolución: I. Verdadera II. Faisa. es una afirmación. p q ~P V q p q V V F T v l V V T v l V V F F 1 ^ 1 F V 1 P 1 F F V V 1V 1 V F 1 v 1 V F F V lV j F F lV j F ‘----- iguales— ' Verdadera, tiene la misma tabla de valores de verdad. IV. Falsa, las exclamaciones no son proposiciones. 2. Al evaluarla fórmula lógica: [(p a q) v ~p] » p Se obtiene que su tabla de valores de verdad es equivalente a: I. q II. pA q fll. ~q IV. p V. -p Resolución: Evaluando la fórmula, se tendrá: P q [(P A q) V ~P] P V V V V F V V V F F F F V V F V F V V F F F F F V V F F (1) (3) (2) (4) Et resultado (4) es equivalente a la proposición p. Respuesta (IV). 3. De las proposiciones: I. 3 + 4 = 7, es una tautologia, li. jArríba Perú!, es una proposición. III. José es un buen estudiante, aprobará el ciclo en ía universidad, es una disyunción. IV. (p =» q) V (~r =» t), es una contingencia. Determinar sus valores de verdad. Resolución: I. Falsa, es una proposición. II. Falsa, es un enunciado. III. Falsa, la coma (.) intermedia indica (entonces), luego se trata de una condicional. IV. Verdadera, ya que: P q r t (P =» -q) V (~r ^ t) V V V V F V V V V V F F V V V V F V F V V V V F F F F F V F V V V F V F V F V V V F F V V • V F F F V • F V V V V • F V V F V • • • • . ; Se trata de una contingencia. La proposición es verdadera. 4. Si la proposición compuesta; [(p « q) V (q V ~r)] es falsa; determine los valores de verdad de p; q y r. Resolución: Por condición: [(p =» q) V (q V ~r)l = F Entonces; (p =» q) = F; donde solo se cumple si p = V y q = F. (q V ~r) = F; de lo anterior se sabe que q = F; luego ~r debe ser F, entonces r = V. Finalmente: p = V;q = F y r = V 5. Si la proposición compuesta: (p ^ q) V ~[(q A ~r) v (r a ~q)] v ~(p v r) es falsa, determine los valores de verdad de p, q y r. Resolución: Sea: a = (p =» q); b = ~[{q a ~r) v (r a ~q)] y c = ~(p v r) Entonces se tendrá: a V b V c = F; donde soío es posible sí a = F; b = F y c = F. Entonces: a = (p ^ q) = F (así: p = v y q = F) b = ~l(q A ~ r ) v ( r A ~ q ) l = F y c = ~ ( p v r ) s F í(q A ~ r) V ( r a ~ q ) ] = V p v r = V F F V V como p = V F V r = V o F Finalmente; p = V; q = F; r = V 6. Determine si estas proposiciones son motecutares o atómicas. I. La teoría de Newton es correcta pero la de Einstein más moderna. II. Sí una persona se corta la yugular por lo tanto se desangra. III. X + 1 = 3 IV. Fortunato cobra su sueldo y no trabaja. Resolución: I. 2 proposiciones » Molecular 1 conjunción (pero) II. 2 proposiciones ^ Molecular 1 condicional (por lo tanto) III. 1 proposición » Atómica IV. 2 proposiciones =» Molecular 1 conjunción (y) 7. De las siguientes proposiciones compuestas: • Si; 5 + 3 = 7, entonces 7 < 6 • 8 es mayor que 4 o 7 es menor que 5. . /Te = 4 y -3^ = 9 . 2 < 4 » 1 2 + 5 < 4 + 5 Determine sus valores de verdad. Resolución: • Si: 5 + 3 = 7. entonces 7 < 6 F =» F = V • 8 es mayor que 4 o 7 es menor que 5 V V F = V . VÌ6 = 4 y -3^ = 9 V T = F • 2 < 4 «^12 + 5 < 4 + 5 V «• F = F WFF 8. Se sabe que; (p a q) = V; (q t) = F y se arirma: I. ~ H q A p ) A p ] II. ~ ( ~ p v t ) v q lil. [~p V (q A M)] « ~(q => t) Determinar cuáles son verdaderas. Resolución : De; p A q = V » p = V ; q = V Pero: q =» t = F Entonces; q = V; t = F Enl: ~[~(VAV)AV] = ~[~(V)AV] = ~tFAV]=~F = V En H: V F) V V = ~F v V = V V V = V Enlll: [Fv(VAV)]o~(V=»F) = [V ] «V = V V F Todas son verdaderas 9. Si la pnDposición: ~[(~p A q) (~r =» ~s)] es ver dadera, determinar ̂ valor de verdad de p, q, r, s. Resolución: ~t(~p A q) =» (~r => ~s)l = V (~p A q) =*■ (~r =» ~s) = F F Donde: ~p a q = V p = F;q = V También: ~r =3 ~s = F r = F; s = V V T 10. Dadas las proposiciones; I. p A ( ~ q v r ) ; r = V II. (pvq) « ~ (qvp) :q = V III. (~p vq ) =»r; r = V Determinar si la información es suficiente o no para hallar el valor de verdad de ias proposiciones. Resolución: I. p a (~q V r) : r = V T V No es suficiente II. (pvq) ~ (qvp) : q = V F Si es suficiente I. (~p V q) =» r : V(r) = V V V Si es suficiente .-. Solo 11 y lll cumplen la condición. PRO BLEM AS RESUELTOS B " " * 1. Simbolizar: ‘ Si Julieta es española entonces es afi cionada a la fiesta brava y Julieta no es aficionada a la fiesta brava por lo tanto, no es española". De terminar su tabla de venilad. Resolución: Sea p: Julieta es española q: Es aficionada a la fiesta brava [(p =» q) A ~q] V F V V (1) F F V F V V F F V V V V (3) (2) (4) Tautología 2. Sabiendo que ia proposición: (p ^ ~q) v {~r => s) es falsa; reduzca el vaior de verdad de; [(~ r V q) A q] « [(~ q v r) A s] Resolución: (p=»~q)v(~r=»s) = F 1 1 V F y T V F F F Entonces; [(~r V q) A q] » [(~q v r) a s] = [(V vV) a V] « [(F V F) A F] = V « F = F 3. Si p jj q se define por (~p) a (~q). Haiiar el equiva lente de ~(p q). Resolución: ~(p q) = ~[(p =3 q) A (q =» p)] s~[(~p V q) A (~q V p)] = (p A ~q) v (q a ~p) Se tiene: (p il q) = (~P) A (~q ) Entonces; ( p A ~ q ) v ( q A ~ p ) = ( - p l l q ) v { ~ q ) l p ) 4. ¿Cuái de ias siguientes proposiciones es equiva lente de; "Es necesario pagar 10 soles y ser socio para ingresar ai teatro”? I. No ingresar ai teatro o pagar 10 soles y ser socio. II. Pagar 10 soles o ser socio, y no ingresar al teatro. III. Pagar 10 soles y ser socio, o no ingresar al teatro. IV. Pagar 10 soles o ser socio, e ingresar al teatro. Resolución: p ; pagar 10 soles q ; ser socio r ; ingresar al teatro r = ( p A q ) s ~ r v ( p A q ) Pagar 10 soles y ser socio, o no ingresar ai teatro. 5. Si (~(q » p)) =» (s r) es felsa, determinar el valor veritativo de ias proposiciones adjuntas; siendo w y t proposiciones lógicas. I. (~ r« p )= . t II. q v ( t= » w ) Ili. (p » r) » (q « s) Resolución: ~(q ^ p) ^ (s =9 r) es F Entonces: ~(q =» p) es V y s r es F De donde; (q ^ p) es F Es decir: q es V y p es F; s es V y r es F. I. <=> p) « t V ^ F ^ ? . V II. q v(t=»w/) V V ? V III. (p «=» r) <=» (q « s) F « F V » V V V V W 6. Clasificar las siguientes proposiciones: I. ( p A q ) « ( q A ~ p ) II. [ p A ( p V t ) ] A H v p ) III. (p=»q)^q Como tautología (T), contradicción (F) o contingen cia (C). Resolución: Hagamos la tabla de verdad en cada caso; i. til. p q (p A q) « (q A ~p) V V F ¡ F 1 V V F V ! F 1 F F V V : F F F F F ! F : ' í ' V Es una contradicción (F) P t [P A (pVt)] A ( - t V V V F V V V F F V V F V V V F F F F V t V Es una tautología (T) P q (p=*q) = q V V V ; V : V V F F ¡ \ ¡ F F V V ¡ V ! V F F V 1 F ' 1 1 F Es *C una contingencia (C) 7. Señale la secuencia correcta, al determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F), si (p A q) A p es verdadera: I. pA(~q=»p) II. p =. [(~p V q) A {p A q)3 III. (p A ~q) =» (p A ~q) Resolución: (p A q) A p es V, entonces (p A q) es V y p es V; qesF. I. p A ( ^ =» p) V =» V V A V F II. P = » [ ( ^ V q ) A ( £ _ ^ ) ] F V F V F A V. V V lll. ( p A ^ ) = V A V V ( p A ^ ) V A V FVF 8. Si la siguiente proposición: (p a ~q) » (r ^ t), es fóisa, indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones; I. (r «91) V ~ r II. [{ r ** p) A (t V r)] V H ) III. ( ~ p « r ) v ~ t Resolución: (p A ~q) => (r =» t) es F entonces: (p A ~q) es V y (r =» t) es F, entonces; p es V; q es F; r es V y t es F I. { r * * t ) v ~ r = ( V « F ) v F = {F )vF = F II. [ { r « p ) A ( t v r ) l v ( ~ t ) = [(V V) a (F V V)] V (V) =((V) A (V)] v V = V III. (~p =» r) V ~t = (F =» V) W = (V) v V = V FW 9. Dada la siguiente fónmula iógica S: (r=» p)«»(-q » r); Indique el valor de verdad de las siguientes afirma- dones: I. Si p y q son verdaderas, para que S sea verda dera el valor de verdad de r siempre es F. Ii. Si r es falsa y S es falsa, entonces q es F. ill. Si r es venjadera y P es falsa, entonces S es V. Resolución: Si (r =» p )« (- q=»r) I. p e s V y q e s V S = (r=»V)«»(F=»r) = (V)o(V) = V S siempre es V, para cualquier valor de r. (F) II. r es F y 8 es F, se tiene: { F - p ) « ( - q « F) = F (V ) « ( ~ q » F ) = F ^ (~q=,F) = F =► ~q = V; q es F (V) MI. r es V y p es F, se tiene: S = (V =» F) « (~q « V) S = (F)«(V) = F (F) FVF 10. Simplificar la siguiente proposición compuesta: [p « (q V ~r)] a { [p ^ (q a ~r)] a [p A (q r)]}. Resolución: [p « (q V ~ r)] A { [p =í (q A -r)] A [p A {q =» r)]} = S Nótese que: p =» (q A ~r) A p = ~(~q v r) = p =» ~(q r) = ~p V -(q =» r) = ~[p a (q =» r)] Luego, S quedará asi: ^ S = [p « (q V ~r)] A {-[p A (q « r)] a [p a (q - r)]} S = [p « (q V ~r)] A {~t A t} S = [p » (q V ~r)] A F = F t 11. S im p lifica r la s igu ien te p roposic ión com puesta: ~ { [{~ q =* ~P ) A ~ (~ p ^ ~ q ) ] V (p =9 ~q)}. Resolución: ~ {[{~ q =* ^ p ) A ~ (~ p =» ~ q )] V (p =» ~ q )} = ~ {[(q V ~ p ) A ~ (p V ~ q ) ] V (~ p V ~ q )} = - {[(q V ~ p ) A (~ p A q ) l V (~ p V ~ q )} = - {[(q V ~ p ) A ~ p ] A q ) V (~ p V ~ q )} = ~ {( [ ~ p ] A q ) v (~ p V ~ q )} pues: (q v ~ p ) a ~ p = ~ p = ~ { ( ( ~ p A q ) v ~ p ] v ~ q } = ~ { ( ~ p ) v ~ q } = ~ ( ~ p ) A ~ ( ~ q ) = p A q 12. S im p lifica r la s igu ien te p roposic ión com puesta: [~ p ^ ~ (p ^ q)] V [(p A (p « q )) => p]. Resolución: [~ p =» ~ (p =» q )] V [(p A (p =» q )) =» p] = [ ~ p =» ~ (~ p V q ) ] V [(p A (~ p V q )) =» p] = h p =» (p A ~ q ) l V [((p A - p ) V (p A q ) ) =» p ] = [p V (p A ~ q ) ] V ((F V (p A q )) =* p j = (P) ((P A q ) « p] pues: p V (p A ~ q ) = p; F v (p a q ) = p a q = p V h ( p A q ) V p] = p v [ ( ~ p v ~ q ) v p ] = p V [V V - q ] : pu es ~ p v p = V = p v l V ] = V 13. Si # es un operador lógico definido por: p # q = {p V [(r « p) A p]} A {q A (p « ~p)} Haiiar p # q Resolución: p # q = { p v í ( r p )Ap] } A { q A ( p * * ~ p ) } . p # q = {p V I (~ r V p ) A p ] } A F p # q = {p V (p)} A F = p A F p # q = p 14. Si ~(~(p A q)) =» ~(r A p) es una proposición com puesta fóisa, determine ¿cuái(es) de ias siguientes proposiciones son verdaderas? i. (~pAm)=»{x«y) ll. (p r) =» (8 A q) iii. ( x v - y ) = * ( p A r A ~ q ) Resolución: ~(~(p A q)) ~(r A p) es F Entonces: p A q es V y ~(r a p) es F De donde: r a p es V; es decir: r es V y p es V; como p A q es V, entonces q es F. i. (~p A m) ^ (x «> y) F =» ? (P « r) V » V (SAq) ? A F l l l . (X V ~ y ) =» ( p _ ^ A V A V q ) V Son verdaderas I y iii. 15. De las siguientes proposiciones'. I. p « ( p v q ) II. (pAq)=»p IIL (p=.q)<»(~q=»~p) IV. A (~p =» q)] V ~p Son tautológicas. Resolución: I. p=»(pvq) = ~ p v ( p v q ) = ( ~ p v p ) v q = V v q = V Es una tautología II. (pAq)=>p = ~ ( p A q ) v p = ( ~ p v ~ q ) v p = { ~ p v p ) v ~ q = (V) V ~q = V Es una tautología Ili. Como ~q =» --p = p s» q, entonces; (p =» q ) « (~q =» ~p) - ** ^=»_q) = r » r = V Es una tautología IV. [p A (~p q)] V ~p = [p A (p V q)] V ~p = (p)v~p = V Es una tautología 1,11, ili y IV 16. En relación a la proposición compuesta: T; Ip =» (q A r)l A [p A (~q V ~r)l indique cuál de los siguientes enunciados son co rrectos: I. S es una contradicción. II. S es una contingencia. III. S es una tautologia. Resolución: La proposición T se puede mejorar así: T : Ip =» (q A r)] A [p A ~(q A r)] = [p =» (q A r)l A ~[~p V (q A t )] s [p =» (q A r)] A ~[p « (q A r)} Por lo que T tiene la forma a A ~a, y como a, ~a son de valores opuestos, entonces a A ~a es V siempre: por lo tanto, T es una tautología. Soío lll es correcto. 17. i ^ siguiente proposición: [(~p V q) V ~(p A ~q)J A [p A ~ r] ; es equivalente a: I. (p =. q) A ~{p =» r) II. (p A q) V ~(p =. r) III. {p =» q) => (p A r) IV. ~(p A q) =» r V (p^q)A(p=^r ) Resolución: I(~p V q) V ~(p A ~q)] A (p A ~r) s {(-p V q) V [~p V ~(~q)I} a (p a -r ) = [-P V q) V (~p V q)} A ~ {-p V r) = h p v q l A ~ ( ~ p v r ) s (p =» q) A ~(p =» r) Es equivalente a I. 18. Si * es un operador lógico definido mediante la si guiente tabla de verdad: p q P * q V V F V F F F V F F F V Simplificar la proposición: (p*q) * (q*p Resolución; p - q -(P V q) F ( V ) F ( V ) F ( V ) V ( F ) Se nota que: p *q = ~ (pvq) = ~pA~q También, nótese que: p .q = q«p A r * r = ~r Luego: {p * q) • ( q * p) s { p • q) * ( p * q) = ~(p»q) = - l~(pvq)3 = p v q 19. Si * es un operador lógico definido mediante la ta bla adjunta, tai que (s * t) • ( t • s) es verdadero. p q p * q V V F V F F F V V F F F Hallar el valor de verdad de ~ (s * t). Resolución: P q p .q V V F V F F F V V F F F Ai igual que en el problema anterior: p • q = ~(q =» p) = q A ~p Luego: (s • t) * (l * s) = (t a ~ s ) • (s a - t) = (s A ~ i) A A ~ s) = ( s A ~ t) A (~ t V S) = S A [~ t A (~ t V S)] = s A (~t) = -(s =» t) es V Entonces: s ̂ t es F Luego: s es V y t es F ~(s • t) = ~(t A ~s) = ~ t V s = t s es V ~(s * t) es V 20. Si □ es un operador lógico definido mediante la si guiente tabla: P q p o q V V F V F F F V V F F F Simplificar la proposición'. [ p D ( ~ p a q ) ] ü q Resoiución: Se nota que: pD q = ~(q=>p) = q A ~ p Luego: [p o (~ p a q)] d q = [p □ (q a p)] o q = l(q A p) A ~ Pl D q = [q A (p A ~ p)l □ q = [q A (F)] o q = F □ q = qA (~ F ) = q A V = q 21. Si p, q. X, z, y, t son proposiciones lógicas, tal que cumplen las condiciones: p A q es verdadera, ~x y es verdadera, indicar el valor de la verdad de las siguientes proposiciones: I. z=»~pv- -q II. p « ~ q III. ( ~ x A ~ y ) » t Resoiución: p A q e s V A - x ^ y e s V Luego: p y q tienen valores opuestos ( ~ x ^ y = x v y ) es V I. z = * ~ p v ~ q V pues uno de ellos es V = z=»V = V II. p«»~qesV pues p y >̂ q tienen el mismo valor. III. (~ x A - y) ̂ t = ~(x V y) =» t = -(V ) =» t = F =» t = V V W 22. Simplificar la proposición: -{ [(~ p A ~q) V (p A (~p V q))] =* ~(p V q)} Resolución: ~{[~P A ~q) V (p A (-P Vq))]« p Vq)} = (p V q) V [(pA ~p) V (p A q)lJ ~(p V q)} F = ~ {[ ~{p V q) V (p A q)] =» ~(p V q)} = ~ (p V q) V (p A q)] V ~(p V q)} Por una de las leyes de Morgan: = Q ~ (p v q )v ( p Aq ) lA (p v q ) = [~ (p vq) A (p vq) I VI(p Aq) A(p Vq)] F = (p A q) A (p V q) = p A [q A (p V q)l q = pAq 23. Si se cumple: (~ p A q) =» (p V r) = (s A t ) «»(- s V ~ t) Simplificar la proposición: [(P A r) =» (s V t)] A (q A t) Resolución: (SA t )« (~ S V~t ) = {S A t) « ~ (S A t) = F Es decir: (~p a q) =» (p v r) es F Entonces: (~ p a q) es V y (p v r) es F, de donde puede notarse que p es F; q es V y r es V. Luego: [(p a r )» (s v t)] a (q a t) F a y F ? = V A (q A t) = q A t = V A t = t 24 . H a lla r e i va lo r de ve rdad de: M = [(p A q ) =» r] + (p =» (q « r)] Resolución: M = l ( p A q ) « r ] « [ p = » ( q « r ) ] M = [~ (p A q ) V r] « [p =» ( - q v r)] M = h ( p A q ) V r] « [~ p V (~ q v r)] M = [ ~ (p A q ) V r ] « [(~ p V ~ q ) V r] M = h ( p A q ) V r ] «. h ( p A q ) V r] M = s <9 s = V M es una tau to log ía 25. S im plificar: { [~ (q =» p)] a [~ (p v ~ q )]} v ~ q Resolución: { [ - (q - P)1 A h (p V ~ q )]} V ~ q = ~ t ( q « p ) v ( p v ~ q ) 3 v ~ q = - I ( - ' q v p ) v ( p v ~ q ) 3 v ~ q = ~ [ - q v p 3 v ~ q pues: r V r = r = ~ [ ( ~ q v p ) A q ] = ~ [(~ q A q ) V (p A q)l = ~ [F V (p A q ) l = ~ (p A q) = ~ p v ~ q = p = ' - q o tam b ién = q ^ - p 26 . S i se de fine : p V q = ~ p A ~ q , s im plificar: M = [ (p V q ) V q ] V [ ( p V p ) V ~ p ] Resolución: p V q = ~ p A - - q = ~ ( p v q ) M = [ ( p V q ) V q ] V [ ( p V p ) V ~ p l r s r = (p V q ) V q = ( ~ p A ~ q ) V q = - ( ~ p A ~ q ) A ~ q s ( p v q ) A ~ q = { p A - q ) v ( q A - q > = p A ~ q F s = ( p V p ) V ~ p = ~ ( p v p ) V ~ p = ~ p V ~ p = ~ ( ~ p )A ~ (~ .p ) = p A p = p Luego; M = (p A ~ q ) V p M = ~ (p A ~ q ) A ~ p M = (~ p V q ) A - p . M = - p 27. Si se conoce [(p * q) * r] * s es F, además: p q p * q V V V V F V F V F F F V Determinar los valores de verdad de los siguientes enunciados: I, p=» r II. s « r III. ~ p » q Resolución: De la tabla, se puede notar que: p • q = q ^ p Además: [(p * q) * r] • s es falsa s (p * q) * r es falsa Entonces; s es V y (p * q) * r es F r => (p * q) es falsa, de donde r es V y (p • q) es F; y entonces; q es V y p es F. Luego: I. p » r es V II. s «» r es V F V V V III. ~p «»q es V V V 28. Si definimos # como: p # q = ( p v q ) A ~(p A q) Determíne una expresión equivalente de p # q. Resolución: p X q = (p V q) A ~ (p A q) = (pvq) A ( ~ p v ~ q ) = [p A (~ p V ~ q)] V [q A ("P V ~q)] = t(p A ~ p) V (p A ~q)l V [(q A ~p) V (q A -q )} = ÍF v ( p A ~ q ) J v í { q A ~ p ) v F ] = (p A ~ q) V (q A ~p) = ~ ( ~ p v q ) v ~ ( ~ q v p ) = ~ (p - q) V ~ (q - p) = ~((p=»q)A(q=»p)] = ~{p«*q) 29. Sea A = {1; {1; 1}; {1}; {1; 1; 1}}, detennine la se cuencia correcta, al determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F). I. A tiene 4 elementos II. {1}eA III. {1 }cA Resolución: A = {1;{1;1}; =*A = {1:{1}: {1}: {1}} « A - { 1 ; { i y } I. A tiene 2 elementos. (F) II. {1}esunelenr»ntodeA,porloque;{1}G A (V) III. Tenga en cuenta que: s i x eA = >{ x } cA Como; 1 e A ^ {1} c A (V) .-. FW 30. Si p, q, r, s, t, u y w son proposiciones lógicas tal que: p » (q ^ r) es falsa, q «»(p » t) es falsa, indi car el valor de verdad de las siguientes proposicio nes, es: I. ~ tA { r = w) II. qv (~ r«* u ) lll.t=»(s Ar) Resolución; Si: p » (q r) es F » p es V y q » r es F Entonces: p es V; q es V y r es F q « (p => t) es F. Entonces p =* t es F y como p es V Entonces t es F I. ~ t A (r=> w) = V A (F =» w) = V A (V) = V II. q V ( ~ r « u) = V V (~r*=» u) = V III. t ^ (sAr) = F ^ (sAr) = V V W 31. Se sabe que x es un conjunto tal que; x g P(A). Para todo conjunto A. Determinar cuáles de las si guientes afinmaciones son verdaderas: I. x n x = x, V A II. x - A = x , VA l l l . ( A - x ) u ( x - A ) = A . VA Resolución: X e P(A), VA =» x c A I. x n x = x. VA (V) II. x - A = x , VA (F) Como x c A = » x - A = 0 III. ( A - x ) u (X - A ) = A (F) Es igual a: A - x VFF 32. Sea el conjunto A = {0;1; {1}; {0;1}; {0 } } y las siguientes proposiciones; I. { l l e A II. {0:1} eA IM . Í D c A I V { 0 ; { 1 } } c A V { { 0 } } c A Determinar el número de proposiciones verda deras. Resolución; A - { 0 ; 1 : { 1 } ; { 0 : 1 } ; { 0 » I. { 1 } g A (V) II. {0:1} e A (V) III. { 1 } c A (V) IV. { 0 ; { 1 } } c A (V), puesOeAA {1} eA. V. { { 0 } } c A (V), pues {0 } g A .'. Las 5 son verdaderas 33. Sean los conjuntos A = {{1; {1}} ; { 0 }}, y B = {{1>: 4; 0 }. Hallar el valorde verdad de las siguientes proposiciones: I. ín(P(A)}eB II. A n B $ A, entonces (ji ^ P(A) n B III. ( 1 } e A , si y solo si A - B e P(A) IV. {{1}¡ 0 }e P (B ) Resolución: A = {{1: {1} } ; { 0 } } B = { { 1 } ; 4 ; 0 } n(A) = 2 ^ n(P(A)) = 2 ̂= 4 I. ín(P(A))} = { 4 } e B (F) pues: {4 } c B II. A n B í A » 0 ^ P ( A ) n B F; pues: A n B = 0 c A Luego, la proposición es (V) III. { 1 } e A « A - B e P(A) F V, pues; A - B = A Luego, la proposidón es (F) IV. {{1} ; 0 } e P(B); V, pues {{1}; 0 } c B .-. FVFV 34. Indicar el valor de verdad de cada una de las pro posiciones: I. V x e IR, X* e E II. v x G ® , V y eE : x ' 'em III. VxEiR, 3 y E ( S /x ’ E(& Resolución: I. V X e IR: x* e E (F), pues: ( - 0,5)"®® í E II. V x e ® , v y eE: x ^ e E (F) ■j \-0.S pues: ? E lll. v x e E : 3 y e®/x^e® (F), pues; x* € ®, V y € ® .-. FFF 35. Sea A={ xeE/x <1 «x>0} yB = {xeZ/{x*/16)eA>, halle el número de elementos de B. Resoiución: A = { x e E / x < 1 * » x > 0 } p q = (p A q) V (~p A ~q) x < 1 » x > 0 = (x< 1 A X > 0 ) V ( X > 1 A X < 0 ) = = x < l A x > 0 = x e ( 0 ; 1 ) A = (0; 1); B = { x e Z / x V l 6 e A } ^ O < xVl6 < 1 =» O < x^< 16 « B = { - 3 ; - 2 ; -1 ;0 ; 1;2;3} .-. n(B) = 7 36. Sea el conjunto A = {3; 5; {2; 8}}, halle el valorde verdad de cada una de las proposiciortes: I. 3 x e P ( A ) / 2 e x II. 3 x e P ( A ) / { 2 ; 8 } c x III. 3 x g P(A)/{{<|)}}c x IV. 3 X € P(A)/{3} c X Resolución: A = { 3 ; 5; {2; 8}} I. 3 x e P ( A ) / 2 e x (F) No hay un subconjunto x c A, de modo que: 2 e x. ti 3 xeP (A ) / { 2 ;8 } 1 c x(F) {2:8} e A =» {2:8} O i x c A III. 3 x e P ( A ) / { { 0 } } C x (F) pues { 0 } í A. IV. 3 X € P(A)/ {3 } c X (V) Pues: 3 eA A {3 } c {3: 5} c A FFFV 37. Si el valor de verdad de la siguiente proposición; (r u s) ^ [(p n -s ) => (p n ~ q ) ] es falso, hatiar el valor de verdad de las proposiciones: I. (p n ~ q ) r II. q n (~p u ~s) l l l .(~p=>r)u~s Resolución: (*3) (*1) (*2) (r V s) ® [(p A ~s) ® (p A ~ q )] V V V F V________ F De (*1) De(*2) De (*3) PesV • ~ s es V = ~ q es F = r V s = V; i i V F Luego tenemos: I) ( p A ~ q ) « r V F V 8 es F q es V res V II) q A ( ~ p A ~ s ) V V ~V V V (F) lll) ( ~ p « r ) v (V) V (V) 38. Simpliflcar ta siguiente proposición: t = {(~p V q) V [(p =» q) A r]} A q Resolución: Sabemos que: p ^ q = ~p v q t = {(~p V q) V t(~p V q) A r]} A q Absorción t = ( - P V q) A q t = q A (q V ~p) => t = q Absorción 39. Se definen las operaciones: p *q = - . p « . ^ q A p # q = ~ p A q Simplificar: [ ( ~p ) * q ]# [ ( -q )# p ] Resolución: ~ p * q = p )= » ^ q = p = ,- ,q = ^ p u ~ q = ~ ( p n q ) - q # p = ~<~<i) n p = q n p = p n q Entonces: [(~p) * q] # [(~q) # p] = [~(p n q)] # Ip n qj = (p n q) n (p n q) = p n q 40. Sabiendo que: p q p o q V V V V F V F V F F F V y si [(p o q) o r] o s, es falso Hallar los valores de verdad de; l )p=«r i D s ^ r l l l )~p«»q Resolución: De la tabla de verdad: p o q, es Falso « p es F a q es V [(p o q) o r ] o s es falso p es F F V q es V res V s es V V . S o r V ~ p « q V « V V 41 . Aque es igual: {(p ^ q) A [(p ^ q) v r]} a q Resolución: Í(P q) A [{p =9 q) V r]} A q: Absorción A q; Condicional A q: Conmutativa A q; Conmutativa Absorción (P=>q) í~pv q) (q V ~p) q A (q V ~p); 42 . Simplificar el esquema: {(~p vq) v [ (p^q) A r ] } A q Resolución: Se sabe que: p » q = ~p v q: Con lo cual: {(~p v q) v [(~p v q) a r ] } a q Absorción Luego se tendrá: ( - p v q ) A q : (qv~p)Aq : q A ( q v ~ p ) = q Conmutativa Conmutativa Absorción 43. Simplificar la siguiente proposición; ~ r~ (p A ~q) =*. p] V q Resolución: Se sabe que: p ^ q = ~p v q: luego aplicamos esta propiedad dentro del corchete. ~ [(p A ~q) V p] V q: ~ [p V (p A ~ q ) ] v q Conmutativa '(P) v q = ~ p v q = p Absorción 44. Simplificar el esquema: (~p a q) (q =» p) Resolución: Dado que: p =» q = ~p v q; entonces se tiene que: (~p A q) (~q V p); ~ (~p A q) v (-q v p) — I— — I— (P V ~q) V (~q V p)Condicional (p V ~q) V (p V ~q) = p V ~q Conmutativa Idempotencia 45. Si: p O q = [((p => q) => p) V q] A p Simplificar: {[(~p A r) O qí O (p O q)} 0 (p v r ) Resolución: Vamos a redefinir p O q p O q = { [(p =► q) =» p] V q} A p Aplicando dos veces condicional: p O q = { [~(~p V q) V p] V q} A p Por Morgan: = { [ (p A ~ q ) v p ] v q} a p Por absonsión, dos veces: = (p v q) a p = p pG q = p Luego, en la expresión a simplificar: { [(~p A r) Q q] Q (p O q)} O (p v r) = [(~p A r) G q] O (p O q), (definición de O) = (~p A r) O q = ~p A r 46. La proposición equivalente a: No es un buen estudiante, sin embarco destaca en el fútbol es: I. No es cierto que, sea un buenestudiante o no destaque en fútbol. II. Es un buen estudiante o no destaca en fútbol. III. No es un buen estudiante y no destaca en fútbol. IV. No es cierto que, no sea un buen estudiante y destaque en fútbol. V. No es el caso que, sea buen estudiante y no destaque en el fútbol. Resolución: Consideremos: p : es un buen estudiante q : destaca en fútbol Formalizando; no p, sin embargo q Simbolizando: = ~pAq = ~(p V ~q), por Morgan Resulta: I. No es cierto que, sea un buen estudiante o no destaque en fútbol. 47. Si el Siguiente esquema es falso: {[(p Aq)=>r] a s } =>(q v r) Hallar el valor de verdad de: L t ( p v s ) A q ] « ( r v s ) II. p = , [q ^ ( r A s ) l ill. (~p A q) =» [p V (~q V r)] Resolución: Sabemos que: {[(p A q) =* rl A s} =» (q V r) = F V F • q v r = F=»q = F ; r = F • [(p A q) =» r] A s = V V V s = V; p = F Además: (p A q) =» r = V F F F Luego; I. [ ( pvs )A q ]= >( r vs ) = V V F V Jí. [q ^ (r A s) J = V F V l ll. (~ p A q ) [p V (~ q V r)] = V .-. V W 48. El equivalente de la proposición: “Hay que pagar 100 soles y ser socio para ingresar al teatro" es; I. No ingresar al teatro o pagar 100 soles, y ser socio. il. Pagar 100 soles o ser socio, y no ingresar al teatro. III. Pagar 100 soles y ser socio, o no ingresar ai teatro. IV. Pagar 100 soles y no ser socio, y enb-ar ai teatro. V: No es cierto que se pague 100 soles o sea so cio, o ingrese al teatro. Resolución: Formalizando tenemos: p : pagar 100 soles q ; ser socio r ; ingresar al teatro Simbolizando se tiene; tiay que p y q para r = (p A q) r. por condicional; = -(p a q) v r No es cierto que se pague 100 soles y sea socio, o ingrese al teatro. 49. Si la proposición compuesta; ~ {~(t => s) a ~ [ ( ~ p a q) (r a p)]} es falsa, ¿cuántas de las proposiciones p, q, r, s y t son verdaderas? Resolución: Sea: I. ~{~(t => s) A ~[(~p A q) => (r A p)]} = F V II. ~( t=»s)A~[ (~pAq)«( rAp) ] = V V V 11!. ~ ( t ^ s ) = « V t = » s = F =»t = V ; s = F IV. ~[(~pAq) => (rAp)] = V F - Luego: (~p a q) =» (r A p) = F y Entonces: ~p a q = V V V =>p = F ;q = V También: r A p = F rA F = F = » r = F Son verdaderos: 2 50. Si: p V (r => w) = ~(t => t) V ~(p p) Simplificar la proposición molecular; [(p =í (q A r)] A { [ ( ~ t V q) A (q =* ~q)] v ~ t } Resoiución; p V (r =» Vií) = ~ ( t =» t) V ~ (p =* p) = ~ H V t) V ~(~p V p) V V F V F = F p V (r ^ w) = F t t t F V F Reemplazando estos valores en la proposición pedida: [(p =» (q A r)] A { [(~t V q) A (q =» ~q)] v ~t} t F V A { [(~t V q) A (~q V --q)] v ~t} Idempotencia V A { [ ( ~ t vq ) A~q 3 v ~t} Absorción V A {[(~q A ~ t)] V --t} Absorción V A ~t = ~t 51. “Et equivalente de la proposición: Si Juan es depor tista. mantiene una dieta estricta" Es: I. O Juan es deportista o mantiene una dieta es tricta. IL Juan no es deportista y mantiene una dieta es tricta. III. Juan mantiene una dieta estricta o no es depor tista. IV. Juan es deportista y no mantiene una dieta es tricta. V. Juan no es deportista y no mantiene ta dieta estricta. Resoiución: Simbolizando; Si Juan es deportista, mantiene una dieta estricta, p : Juan es deportista q : mantiene una dieta estricta Si:p, q = p=»q Equivatente: ~p v q, por condicional Luego; ‘Juan no es deportista o mantiene una dieta es tricta". = “Juan mantiene una dieta estricta o no es de portista”. 52. Si vas at estadio pierdes tu dinero. Si no vas al es tadio, vas a la playa. Si no fuiste a la playa, entonces: I. No fuiste al estadio. II. No perdiste tu dinero, til. Pierdes tu dinero. IV. Fuiste al estadio y ganaste dinero. V. Perdiste tu dinero y no fuiste a la playa. Resoiución: Consideremos: p : vas al estadio q ; pierdes tu dinero r : vas a la playa Simbolizando tos enunciados, tenemos; I. p=»q II. ~p ^ r Por propiedad de la condicional; ~p =» r = ~r » ~(~p), transposición. = ~r =» p, doble negación III. -r=»p De I y Iti: ~r => p a p q ~r=» q (transitiva) Luego: “Si no vas a la playa entonces pierdes tu dinero”. 53. Si la proposición: (~p A q) => [(p a r) V t] = F Hallar el valor de verdad de; I- ~ t (~ pv ~q )« ( r v~ t ) ] II. ( ~ q A ~ r ) v H A ( p v q ) ] III. ~ {~[~(p « p) - (s A w ))} Resoiución: De; (~p A q) * [(p A r) V t] = F • ~p A q = V V V p = F; q = V • (p A r) V t = F F F t = F Luego, analizando cada caso: I. ~ [ {~ p v ~ q )^ ( r v ~ t ) ] = F V V V V I. (~q A~ r )v [~ tA (p vq ) ] = V F y V. F V II. W H p «P)== (s a w ) ] } = V F F V F FW 54. De la ̂ Isedad de: (p => ~q) v (~ r : Hallar el valor de verdad de: I. - ( ~ q v ~ s ) « ~ p II. ~(~r A s) ^ (~p =» q) III. p =, ~[q => ~{s =» r)] Resoiución: Del problema: rp = V (p=»~q) = F=» Iq _ y (~-r^~s) = f q » { g “ y q Al reemplazar, se tendrá; V F -s) ' R A ^ y ® y F (~P =» q) F V F l -^=»~[q_« V V v i FFF 55. Hallar el equivalente del drcuito: --------- ~p----------- h P - Resoiuclón: Reduciendo el circuito; (~ p V q ) A p p A (~p V q) p v q Conmutativa Absorción 56. Si el costo de cada llave en la instalación mostrada es de S/.10, ¿en cuánto se redudrá el costo de esta instalación si se reemplaza este drcuito por uno equivalente más simple? Resolución: Considerando que: p q. = p A q = p v q |— P— 1 — q — El circuito mostrado es equivalente a: [ (p V q ) A p A q ] V p A r A (~r V q) Absordón Absordón ( p A q ) v ( r A q A p ) = p A q s — p q> Absorción 2 llaves Por lo tanto, las 8 llaves del drcuito mostrado pue den ser reemplazadas por 2. Ahorro; (8 - 2) x S/.10 = S/.60 57. El circuito lógico más simple que representa a: ---------- p------------- 1 I— P- — -p. Es: Resolución: Simbolizando el circuito, tenemos: [~ p V (~ p A q A r)] A ( p V q) Por la absorción, se tiene: = -p A ( p V q) = ~ p A q El circuito equivalente resulta; ~ p q ------ 58. Dada las proposiciones: q; “ (7 es un número nactonal’’ p y r cualquier proposición, además se sat>e que: ~ l(r V q) =» (r => p)] es verdadera. Hallar el valor de verdad de: ¡. r - ( ~ p v ~ q ) II. [(r ̂ (p A q)] « (q A ~p) m. (r V ~p) A (q V p) Resolución; Del dato, q = F, además: ( r v q ) « ( r « p ) = F F I. r=* p = F II. r V q = V V F V F p s F ; q = F-, r = V Luego; I. r=»(~pv~q) = V V V V V II. [ r « ( p A q ) ] (qA~p) = V V F F V III. ( r v~p) A ( q v p ) = F V V F F V F W F 59. Si la proposición q =» r es falsa, detennine el valor de verdad de las siguientes proposiciones; i. r A (p V r) II. ~(q A r) l l i .(rA~q)=sp IV. p A (q » r) Resolución: Sabemos que: q ^ r = F V F .-. q = V; r = F Luego; I. r A (p V r) = F F V ~ ( q A r ) s V V F p = V IV. p A (q , V • r) = F F_, ill. ( rA~q) F F F .-. FWF 60. ¿Cuál(es) de ias proposiciones son equivalentes a: Es necesario ser adulto y pagar diez soles para ver )a película en el cine. i. No ser adulto o no pagar diez soles es suficien te para no ver la película en el cine. II. No ver la pelícuia o ser adulto, y pagar diez sotes, ili. Pagar diez soles y ser adulto, o no ver la pelícu la en ei cine. Resolución: Sean las proposiciones: p; ser aduito q: pagar diez soies r: ver la película en eí cine Luego: Es necesario ser aduito y pagar diez soies para ver ía petíojía en el cine. Se simboliza; r =» (p A q) y las 3 proposiciones si guientes: i. ( ~ p v ~ q ) = » ~ r = - ( ~ p v ~ q ) v ~ r = (p A q) V ~ r = r (p A q) II. ( ~ r v p ) A q Iii. (qAp)v(~r ) = r ^ ( p A q ) .'. i y ííl son equivalentes a la primera. 61. Cuáles de ias siguientes proposiciones son equiva lentes: I. El café es agradable, a menos que se le añada azúcar. II. El café es agradable s) no añadimos azúcar. Iii. SI añadimos azúcar, ei café es agradabíe. ÍV. Si añadimos azúcar, ei café no es agradabíe. Resolución: Simbolizando las proposiciones, tenemos: p ; el café es agradable q ; se le añade azúcar I. p, a menos que q = p a q II. p si no q = ~q =» p III. si q, p = q » p ÍV. si q, no p = q => ~p Expresando tas condicionaíes en función