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I.E.S LA ARBOLEDA (LEPE) DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
SOLUCIONES
Examen de Matemáticas I (1º Bachillerato)
UNIDAD 4: RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS
 Fecha: 15/12/2009 
Notas: 
1) El examen ha de hacerse limpio, ordenado y sin faltas de ortografía.
2) El examen ha de realizarse en bolígrafo, evitando tachones en la medida de lo posible.
3) Debe aparecer todas las operaciones, no vale con indicar el resultado.
4) Los problemas deben contener: Datos, Planteamiento y Resolución, respondiendo a lo que se 
pregunte, no vale con indicar un número como solución del problema. 
1. Uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide 4,8 cm y el ángulo opuesto a este cateto mide 
54º. Halla la medida del resto de los lados y de los ángulos del triángulo. (1.25p)
Solución:
Como el triángulo es rectángulo, los ángulos son:


90
36549090
=
=−=−=
Ĉ
B̂Â
Hallamos los lados:
cm 935
54
848454 ,
sen
,c
c
,sen
c
bB̂sen ==→=→= 

cm 493
54
848454 ,
tg
,a
a
,tg
a
bB̂tg ==→=→= 

Por tanto:
 



90ˆ cm; 93,5
54ˆ cm; 8,4
36ˆ cm; 49,3
==
==
==
Cc
Bb
Aa
2. Un mástil de 5 metros se ha sujetado al suelo con un cable como muestra la figura: (1.5p)
Halla el valor de c y la longitud del cable.
Solución:
m 775
60
5560 ,
sen
a
a
sen ==→= 

m 892
60
5560 ,
tg
x
x
tg ==→= 

Por otra parte, si consideramos el otro triángulo:
m 787
40
5540 ,
sen
b
b
sen ==→= 

m 965
40
5540 ,
tg
y
y
tg ==→= 

Por tanto:
La longitud del cable es a + b = 5,77 + 7,78 = 13,55 metros.
El valor de c es x + y = 2,89 + 5,96 = 8,85 metros.
3. Sabiendo que sen 25º = 0,42, cos 25º = 0,91 y tag 25º = 0,47, halla: 
sin utilizar las teclas trigonométricas de la calculadora, las razones trigonométricas de 155º y de 205º. 
Describe el proceso seguido, justificando así tu respuesta. (1p)
Solución:
:entonces ,25180205 y 25180155 Como  +=−=
47025155
91025155
42025155
,tgtg
,coscos
,sensen
−=−=
−=−=
==



47025205
91025205
42025205
,tgtg
,coscos
,sensen
==
−=−=
−=−=



4. Halla los lados y los ángulos del triángulo: (1.25p)
Solución:
Hallamos el lado b con el teorema del coseno:
2 2 2
2 2 2
2
ˆ2
15 12 2 15 12 35
225 144 294,89
b a c accosB
b cos
b
= + −
= + − ⋅ ⋅ ⋅
= + −
o
cm 61811742 ,b,b =→=
Como conocemos los tres lados, la solución es única.
: ángulo el Hallamos Ĉ
618
3512
35
61812
,
senĈsen
sen
,
ĈsenB̂sen
b
Ĉsen
c 
 =→=→=
"26'4537990 =→= Ĉ,Ĉsen
: ángulo el hallamos último, Por Â
( ) "34'5591180  =+−= ĈB̂Â
Por tanto:
"26'453ˆ cm; 12
35ˆ cm; 61,8
"34'5591ˆ cm; 15



==
==
==
Cc
Bb
Aa
5. Dos de los lados, a y b, de una finca de forma triangular miden 20 m y 15 m, respectivamente. El 
ángulo comprendido entre estos dos lados es de 70º.
Si deseáramos vallar la finca, ¿cuántos metros de valla necesitaríamos? (1p)
Si el metro lineal de valla cuesta 20 €, ¿tendremos suficiente con 1000 €? Razona tu respuesta. (0.5p)
Solución:
Hallamos el lado c aplicando el teorema del coseno:
Ĉcosabbac 2222 −+=
70600225400
152021520
2
222
cosc
Ĉcosc
⋅−+=
⋅⋅⋅−+=
m 492079419
21205225400
2
2
,c,c
,c
=→=
−+=
Los metros de valla necesarios serían:
m 49,5549,201520 =++=++ cba
Con 1000 euros tendríamos para 1000 euros : 20 euros/m = 50 metros. Como nuestra finca tiene 55,49 m, no 
podremos vallarla de momento, hasta que no reunamos más dinero.
6. (1.5p)
°ˆa) En un triángulo se conoce 5 cm, 3 cm y 85 . ¿Cuántos triángulos hay
 con estos datos?
a b A= = =
°ˆb) Comprueba que no hay ningún triángulo que cumpla 5,8 cm, 5 cm y 110 .b c C= = =
Solución:
a) 
ˆCalculamos aplicando el teorema del seno:
ˆ 3 85ˆ 0,5977ˆ ˆ 5
B
a b b sen A sensenB
asen A senB
°= → = = ≈
ˆHay dos soluciones para :
ˆ ˆ ˆ ˆ36 42' 24 '' y 143 17 ' 36 '' (esta no es válida pues 180 )
B
B B A B= ° = ° + > °
Por tanto, solo hay un triángulo con los datos dados.
b)
ˆCalculamos aplicando el teorema del seno:
ˆ 5,8 110ˆ 1,09 1ˆ ˆ 5
B
b c b senC sensenB
csenB senC
°= → = = ≈ >
No existe ningún triángulo con esos datos.
7. Queremos calcular la distancia entre dos montañas separadas por un lago. Desde los puntos C y 
D, situados en una explanada cercana, se han tomado los siguientes datos: (2p)
° ° ° °= = = = =ˆ ˆ ˆ ˆ200 m, 35 , 50 , 55 , 34 . Calcula .CD ACB BCD ADC BDA AB
Solución:
Vayamos por partes:
Primero:
Calculamos .AD
En el triángulo ADC:
ˆ 180 85 55 40
Por el teorema del seno:
200 200 85 309,96 m
40 85 40
A
AD senAD
sen sen sen
= ° − ° − ° = °
⋅ °= → = ≈
° ° °
Segundo:
Calculamos .BD
En el triángulo BCD:
ˆ 180 89 50 41
Por el teorema del seno:
200 200 50 233,53 m
41 50 41
B
BD senBD
sen sen sen
= ° − ° − ° = °
⋅ °= → = ≈
° ° °
Para terminar:
 
Consideramos el triángulo ABD y aplicamos el teorema del coseno:
2 2 2
2 2 2
2 34
309,96 233,53 2 309,96 233,53 34
AB AD BD AD BD cos
AB cos
= + − ⋅ ⋅ ⋅ ° →
→ = + − ⋅ ⋅ ⋅ ° →
2
30591,76 174,91 mAB AB→ ≈ → ≈