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Clase 23
Clases de Álgebra Lineal
Caṕıtulo VI
Transformaciones Lineales
MSc. Jorge Campos
Sección de Matemáticas
Departamento de Estudios Generales y Básicos
Vicerrectorado Barquisimeto
UNEXPO
Agosto 2020
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo VI: Transformaciones Lineales
Clase 23 Transformaciones Lineales
Clase 23:
Transformaciones Lineales (Parte II)
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo VI: Transformaciones Lineales
Clase 23 Transformaciones Lineales
Transformaciones Lineales
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo VI: Transformaciones Lineales
Clase 23 Transformaciones Lineales
Teorema 5
Sean V y W dos espacios vectoriales y G = {v1, v2, . . . , vk} un conjunto generador de V.
Supongamos que T y L son dos transformaciones lineales de V en W tales que T (vi) = L(vi)
para cada i ∈ {1, . . . , k}. Entonces T = L, esto es, T (v) = L(v) para cada v ∈ V.
El teorema anterior nos dice que si T : V −→ W es una transformación lineal y V tiene dimensión
finita, basta con conocer cómo actúa T sobre algún conjunto generador de V y con eso podemos
saber cómo actúa T sobre V, en particular, si sabemos cómo actúa T en una base cualquiera de V,
podemos saber cómo actúa T en cualquier v ∈ V.
Corolario 6
Sean V, W, T y L como en el teorema 5 y consideremos una base
β = {v1, v2, . . . , vn} de V tal que T (vi) = L(vi) para cada i ∈ {1, . . . , n}. Entonces T = L.
Demostración.
¡Ejercicio!
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Clase 23 Transformaciones Lineales
Ejemplo 2
Hallar la transformación lineal T de P2[x] en R2 tal que
T (1) = (2,−1); T (x) = (3, 4); T (x2) = (−1, 5)
Solución.
Notemos primero que {1, x, x2} es una base de P2[x] (la base canónica), aśı que para cada
p(x) ∈ P2[x] se tiene que existen a0, a1, a2 ∈ R tales que p(x) = a0 + a1x+ a2x2, luego
T (p(x)) = T (a0 + a1x+ a2x
2
)
= T (a0 · 1 + a1x+ a2x2)
= a0T (1) + a1T (x) + a2T (x
2
)
= a0(2,−1) + a1(3, 4) + a2(−1, 5)
= (2a0 + 3a1 − a2,−a0 + 4a1 + 5a2)
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Teorema 7 (Existencia y Unicidad de una Transformación Lineal)
Sean V y W dos espacios vectoriales, β = {v1, v2, . . . , vn} una base de V y
w1, w2, . . . , wn ∈ W. Entonces existe una única transformación lineal T : V −→ W tal que
T (vi) = wi para cada i ∈ {1, . . . , n}.
Como consecuencia del teorema 7 tenemos el siguiente resultado cuya demostración se deja como
ejercicio.
Corolario 8
Sean V y W dos espacios vectoriales, L = {v1, v2, . . . , vk} ⊂ V un conjunto linealmente
independiente y w1, w2, . . . , wk ∈ W. Entonces existe una transformación lineal T : V −→ W tal
que T (vi) = wi para cada i ∈ {1, . . . , k}.
Demostración.
¡Ejercicio!
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Ejemplo 3
Hallar una transformación lineal T : R3 −→ M2×2(R) (si existe) tal que
T (−2, 2,−1) =
 2 0
1 −2
 ; T (0, 1,−3) =
 0 −1
4 3
 ;
T (−2, 1, 2) =
 2 1
−3 −5
 ; T (1,−1, 0) =
 4 −2
1 0

Solución. Veamos cuales de los vectores v1 = (−2, 2,−1), v2 = (0, 1,−3), v3 = (−2, 1, 2),
v4 = (1,−1, 0) son linealmente independientes, para ello, consideremos la matriz
[
[v1]βc [v2]βc [v3]βc [v4]βc
]
=

−2 0 −2 1
2 1 1 −1
−1 −3 2 0

y hallemos su FERF.
−2 0 −2 1
2 1 1 −1
−1 −3 2 0
F1 ↔ F3→

−1 −3 2 0
2 1 1 −1
−2 0 −2 1

F1 → −F1→

1 3 −2 0
2 1 1 −1
−2 0 −2 1
 F2 → F2 − 2F1→
F3 → F3 + 2F1

1 3 −2 0
0 −5 5 −1
0 6 −6 1

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F2 → F2 + F3→

1 3 −2 0
0 1 −1 0
0 6 −6 1
 F1 → F1 − 3F2→
F3 → F3 − 6F2

1 0 1 0
0 1 −1 0
0 0 0 1

Dado que los pivotes se encuentran en las columnas 1, 2 y 4, y en virtud del teorema 25 del
caṕıtulo 3, los vectores v1, v2 y v4 son linealmente independientes, y en consecuencia, forman una
base para R3 y por el teorema 7, concluimos que existe una única transformación lineal tal que
T (−2, 2,−1) =
 2 0
1 −2
 ; T (0, 1,−3) =
 0 −1
4 3
 y T (1,−1, 0) =
 4 −2
1 0

La matriz anterior también nos garantiza, en virtud del teorema 25 del caṕıtulo 3, que
v3 = 1 · v1 + (−1) · v2 + 0 · v3 = v1 − v2. Aśı que T debe satisfacer:
T (−2, 1, 2) = T (v3) = T (v1 − v2) = T (v1)− T (v2) =
 2 0
1 −2
−
 0 −1
4 3

=
 2 1
−3 −5
 .
Por lo tanto existe una transformación lineal T : R3 −→ M2×2(R) satisfaciendo las condiciones
requeridas. Vamos a hallar dicha transformación. Sea (x, y, z) ∈ R3 cualquiera. Hagamos
β = {(−2, 2,−1), (0, 1,−3), (1,−1, 0)}
debemos calcular [(x, y, z)]β , para ello hallemos la matriz Mβc,β .
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Clase 23 Transformaciones Lineales

−2 0 1 1 0 0
2 1 −1 0 1 0
−1 −3 0 0 0 1
F1 ↔ F3→

−1 −3 0 0 0 1
2 1 −1 0 1 0
−2 0 1 1 0 0

F1 → −F1→

1 3 0 0 0 −1
2 1 −1 0 1 0
−2 0 1 1 0 0

F2 → F2 − 2F1→
F3 → F3 + 2F1

1 3 0 0 0 −1
0 −5 −1 0 1 2
0 6 1 1 0 −2

F2 → F2 + F3→

1 3 0 0 0 −1
0 1 0 1 1 0
0 6 1 1 0 −2

F1 → F1 − 3F2→
F3 → F3 − 6F2

1 0 0 −3 −3 −1
0 1 0 1 1 0
0 0 1 −5 −6 −2

Por lo tanto
Mβc,β =

−3 −3 −1
1 1 0
−5 −6 −2

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En consecuencia
[(x, y, z)]β = Mβc,β [(x, y, z)]βc =

−3 −3 −1
1 1 0
−5 −6 −2


x
y
z
 =

−(3x+ 3y + z)
x+ y
−(5x+ 6y + 2z)

Es decir
(x, y, z) = −(3x+ 3y + z)(−2, 2,−1) + (x+ y)(0, 1,−3)− (5x+ 6y + 2z)(1,−1, 0)
De donde
T (x, y, z) = −(3x+ 3y + z)T (−2, 2,−1) + (x+ y)T (0, 1,−3)− (5x+ 6y + 2z)T (1,−1, 0)
= −(3x+ 3y + z)
 2 0
1 −2
+ (x+ y)
 0 −1
4 3

−(5x+ 6y + 2z)
 4 −2
1 0

=
 −26x− 30y − 10z 9x+ 11y + 4z
−4x− 5y − 3z 9x+ 9y + 2z

es la transformación lineal requerida (además, es única). �
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Ejemplo 4
Hallar una transformación lineal (si existe) T : R4 −→ P2[x] tal que
T (1,−2,−3,−1) = 1 + 2x− 3x2 ; T (2, 1, 3, 1) = −x+ 2x2 ;
T (0, 5, 9, 3) = −2− 5x+ 8x2 ; T (1,−7,−12,−4) = 3 + 7x− 11x2
Solución. Veamos si el conjunto
S = {(1,−2,−3,−1); (2, 1, 3, 1); (0, 5, 9, 3); (1,−7,−12,−4)}
es linealmente independiente, para ello consideremos la matriz
1 2 0 1
−2 1 5 −7
−3 3 9 −12
−1 1 3 −4

y hallemos su FERF
1 2 0 1
−2 1 5 −7
−3 3 9 −12
−1 1 3 −4

F2 → F2 + 2F1
F3 → F3 + 3F1→
F4 → F4 + F1

1 2 0 1
0 5 5 −5
0 9 9 −9
0 3 3 −3

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F2 → 15F2→

1 2 0 1
0 1 1 −1
0 9 9 −9
0 3 3 −3

F1 → F1 − 2F2
F3 → F3 − 9F2→
F4 → F4 − 3F2

1 0 −2 3
0 1 1 −1
0 0 0 0
0 0 0 0

Por lo tanto, dado que los pivotes están ubicados en las columnas 1 y 2, al usar el teorema 25
del caṕıtulo 3, sabemos que los dos primeros vectores de S son linealmente independientes, y como
consecuencia del corolario 8, garantizamos que existe una transformación lineal T : R4 −→ P2[x]
satisfaciendo las dos primeras igualdades en el enunciado del ejercicio.
Por otro lado, de nuevo usando el teorema 25 del caṕıtulo 3, esta matriz nos garantiza también
que
(0, 5, 9, 3) = −2 · (1,−2,−3,−1) + 1 · (2, 1, 3, 1)
y (1,−7,−12,−4) = 3 · (1,−2,−3,−1) + (−1) · (2, 1, 3, 1)
aśı que cualquier transformación lineal T , satisfaciendo las dos primeras igualdades en el enunciado
del ejemplo, satisface que:
T (0, 5, 9, 3) = −2 · T (1,−2,−3,−1) + 1 · T (2, 1, 3, 1) = −2(1 + 2x− 3x2) + (−x+ 2x2)
= −2− 5x+ 8x2
y
T (1,−7,−12,−4) = 3 · T (1,−2,−3,−1) + (−1) · T (2, 1, 3, 1)
= 3(1 + 2x− 3x2)− (−x+ 2x2) = 3 + 7x− 11x2
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es decir, toda transformación lineal T , satisfaciendo lo dos primeras igualdades en el enunciado
delejemplo, también satisface las dos últimas igualdades.
No podemos proceder como en el ejemplo anterior, sin embargo, podemos completar una base de
R4 partiendo de los dos primeros vectores linealmente independientes en S (la parte 2 del teorema
19 del caṕıtulo 3 nos lo permite) para ello haremos uso del método aplicado en el ejemplo 32 del
caṕıtulo 3 y que se deriva del teorema 26 del mismo caṕıtulo.
Consideremos la siguiente matriz 
1 2
−2 1
−3 3
−1 1

y eliminemos dos de sus filas, por ejemplo, eliminemos las primeras dos filas, obteniendo la matriz
cuadrada de orden 2× 2  −3 3
−1 1

cuyo determinante es cero, por tanto no es posible agregar los dos primeros vectores canónicos para
completar la base (¿por qué?), pero si eliminamos las dos últimas filas, nos queda la matriz 1 2
−2 1

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la cual tiene determinante no nulo, aśı que, en virtud del teorema 26 del caṕıtulo 3, podemos
completar la base de R4 con los dos últimos vectores canónicos, esto es, una base para R4 es
β = {(1,−2,−3,−1); (2, 1, 3, 1); (0, 0, 1, 0); (0, 0, 0, 1)}.
Haciendo
T (0, 0, 1, 0) = T (0, 0, 0, 1) = 0
garantizamos, según el teorema 7, que existe una única transformación lineal
T : R4 −→ M1×3(R)
que satisface las dos primeras igualdades en el enunciado del ejemplo y las igualdades
T (0, 0, 1, 0) = T (0, 0, 0, 1) = 0
Calculemos dicha transformación lineal. Al calcular la matriz de coordenadas de
(a, b, c, d) ∈ R4 cualquiera, respecto a la base β, obtenemos (¡verificarlo!)
[
(a, b, c, d)
]
β
=

1
5a−
2
5 b
2
5a+
1
5 b
− 35a−
9
5 b+ c
− 15a−
3
5 b+ d

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Por lo tanto
T (a, b, c, d) = T
((
1
5
a−
2
5
b
)
(1,−2,−3,−1) +
(
2
5
a+
1
5
b
)
(2, 1, 3, 1)
+
(
−
3
5
a−
9
5
b+ c
)
(0, 0, 1, 0) +
(
−
1
5
a−
3
5
b+ d
)
(0, 0, 0, 1)
)
=
(
1
5
a−
2
5
b
)
T (1,−2,−3,−1) +
(
2
5
a+
1
5
b
)
T (2, 1, 3, 1)
+
(
−
3
5
a−
9
5
b+ c
)
T (0, 0, 1, 0) +
(
−
1
5
a−
3
5
b+ d
)
T (0, 0, 0, 1)
=
(
1
5
a−
2
5
b
)
(1 + 2x− 3x2) +
(
2
5
a+
1
5
b
)
(−x+ 2x2)
+
(
−
3
5
a−
9
5
b+ c
)
· 0 +
(
−
1
5
a−
3
5
b+ d
)
· 0
=
(
1
5
a−
2
5
b
)
− bx+
(
1
5
a+
8
5
b
)
x
2
.
Debemos hacer notar que, a diferencia del ejemplo previo, existen una infinidad de transfor-
maciones lineales T satisfaciendo las condiciones requeridas en el enunciado del presente ejemplo,
dependiendo éstas de la escogencia de los vectores que completan la base de R4 (espacio de partida)
y de la escogencia de las imágenes de estos vectores. �
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