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Clase 25
Clases de Álgebra Lineal
Caṕıtulo VI
Transformaciones Lineales
MSc. Jorge Campos
Sección de Matemáticas
Departamento de Estudios Generales y Básicos
Vicerrectorado Barquisimeto
UNEXPO
Agosto 2020
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo VI: Transformaciones Lineales
Clase 25 Rango, Nulidad, Espacio Fila y Espacio Columna de una Matriz
Clase 25:
Rango, Nulidad, Espacio Fila y Espacio Columna de una Matriz
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo VI: Transformaciones Lineales
Clase 25 Rango, Nulidad, Espacio Fila y Espacio Columna de una Matriz
Rango, Nulidad, Espacio
Fila y Espacio Columna
de una Matriz
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo VI: Transformaciones Lineales
Clase 25 Rango, Nulidad, Espacio Fila y Espacio Columna de una Matriz
En la observación 9 del caṕıtulo 3 se afirmó que en la presente sección se probaŕıa formalmente,
usando el corolario 5 del mismo caṕıtulo, que los conjuntos S yR, definidos en la parte 3 del ejemplo
1 de dicho caṕıtulo, son subespacios de Mn×1(R) y Mm×1(R), respectivamente. Antes que nada
definiremos formalmente dichos conjuntos.
Definición 4
Consideremos una matriz A ∈ Mm×n(R). El conjunto
N(A) = Ker(A) = {x ∈ Mn×1(R) : Ax = 0/m×1}
es llamado espacio nulo, núcleo o kernel de A; y el conjunto
Im(A) = {y ∈ Mm×1(R) : Ax = y para algún x ∈ Mn×1(R)}
se conoce como imagen o recorrido de A.
Observación 3
Notemos que por definición y ∈ Im(A) si y sólo si existe x ∈ Mn×1(R) tal que Ax = y.
Antes de dar algún ejemplo enunciaremos el teorema que permite garantizar que N(A) e Im(A)
son subespacios.
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Teorema 14
Sea A ∈ Mm×n(R) cualquiera. Entonces N(A) es un subespacio de Mn×1(R) e Im(A) es un
subespacio de Mm×1(R).
Demostración.
Sólo probaremos que Im(A) es un subespacio de Mm×1(R), se deja como ejercicio probar que
N(A) es un subespacio de Mn×1(R).
Notemos primero que por definición Im(A) ⊂ Mm×1(R). Por otro lado, como A 0/n×1 = 0/m×1,
entonces 0/m×1 ∈ Im(A).
Finalmente, sean α ∈ R y y1, y2 ∈ Im(A) cualesquiera. Entonces existen x1, x2 ∈ Mn×1(R)
tales que Ax1 = y1 y Ax2 = y2. Queremos probar que y1 + αy2 ∈ Im(A).
Escojamos x = x1 + αx2. Entonces x ∈ Mn×1(R) (¿por qué?) y además
Ax = A(x1 + αx2) = Ax1 + αAx2 = y1 + αy2
En consecuencia y1 + αy2 ∈ Im(A)
Por lo tanto, en virtud del corolario 5 y de la observación 8, ambas del caṕıtulo 3, Im(A) es un
subespacio de Mm×1(R).
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Definición 5
Dada una matriz A ∈ Mm×n(R). Definiremos la nulidad de A como el número natural
n(A) = dim(N(A)) y el rango de A como el número natural
r(A) = dim(Im(A)).
Ejemplo 10
Calcular el núcleo, la nulidad, la imagen y el rango de la matriz
A =

2 −3 7 −18
−2 0 −4 6
2 −9 13 −42

Solución. Para hallar el núcleo de A, N(A), necesitamos resolver el sistema Ax = 0/m×1. Para
ello debemos calcular la FERF de A.
A =

2 −3 7 −18
−2 0 −4 6
2 −9 13 −42
 F1 → F1 + F2→
F3 → F3 + F2

0 −3 3 −12
−2 0 −4 6
0 −9 9 −36

F2 → − 12F2→
F3 → F3 − 3F1

0 −3 3 −12
1 0 2 −3
0 0 0 0
F1 → − 13F1→

0 1 −1 4
1 0 2 −3
0 0 0 0

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F1 ↔ F2→

1 0 2 −3
0 1 −1 4
0 0 0 0

Aśı que

x1
x2
x3
x4
 ∈ N(A) si y sólo si
 x1 +2x3 −3x4 = 0x2 −x3 +4x4 = 0
o bien  x1 = −2x3 + 3x4x2 = x3 − 4x4
De donde 
x1
x2
x3
x4
 =

−2x3 + 3x4
x3 − 4x4
x3
x4
 = x3

−2
1
1
0
+ x4

3
−4
0
1

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Por lo tanto
N(A) = span



−2
1
1
0
 ,

3
−4
0
1



No es dif́ıcil probar que el conjunto 

−2
1
1
0
 ,

3
−4
0
1


es linealmente independiente (¡pruébelo!) y por lo tanto es una base para N(A). Aśı que n(A) = 2.
Por otro lado, sea y =

y1
y2
y3
 ∈ M3×1(R). Entonces y ∈ Im(A) si y sólo si existe
x =

x1
x2
x3
x4
 ∈ M4×1(R) tal que Ax = y.
Es decir, y ∈ Im(A) si y sólo si el sistema Ax = y tiene solución.
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Resolvamos entonces este sistema, la matriz ampliada de este sistema es
[A|y] =

2 −3 7 −18 y1
−2 0 −4 6 y2
2 −9 13 −42 y3

La cual es equivalente por filas a la matriz (¡verif́ıquelo!)
1 0 2 −3 − 12y2
0 1 −1 4 − 13y1 −
1
3y2
0 0 0 0 −3y1 − 2y2 + y3

Por lo tanto y ∈ Im(A) si y sólo si
−3y1 − 2y2 + y3 = 0 (¿por qué?)
o equivalentemente
y3 = 3y1 + 2y2
En consecuencia
y =

y1
y2
y3
 =

y1
y2
3y1 + 2y2
 = y1

1
0
3
+ y1

0
1
2

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Por lo tanto
Im(A) = span



1
0
3
 ,

0
1
2



Al igual que antes, no es dif́ıcil probar que

1
0
3
 ,

0
1
2


es linealmente independiente y en consecuencia una base para Im(A). Luego r(A) = 2. �
Con respecto al ejercicio anterior, notemos que los pivotes en la FERF de A están en las columnas
1 y 2, por lo tanto las columnas 1 y 2 de A,
2
−2
2
 ,

−3
0
−9

son linealmente independientes (use el teorema 12 del caṕıtulo 3) y además
A

1
0
0
0
 =

2 −3 7 −18
−2 0 −4 6
2 −9 13 −42


1
0
0
0
 =

2
−2
2

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y A

0
1
0
0
 =

2 −3 7 −18
−2 0 −4 6
2 −9 13 −42


0
1
0
0
 =

−3
0
−9

es decir 
2
−2
2
 ,

−3
0
−9
 ∈ Im(A)
y por lo tanto 

2
−2
2
 ,

−3
0
−9


es un subconjunto linealmente independiente de Im(A). Al usar la parte 2 del teorema 17 del
caṕıtulo 3 tenemos que 

2
−2
2
 ,

−3
0
−9


es una base para Im(A).
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El procedimiento anterior es válido al momento de hallar una base para Im(A) y es una manera
más sencilla que la usada en el ejemplo previo, es decir, si se quiere hallar una base para Im(A), no es
necesario saber para que valores de y el sistema Ax = y tiene solución, basta con saber la posición
de las columnas pivotes en la FERF de A y, en consecuencia, las correspondientes columnas de A
forman una base para Im(A), es decir, si las columnas pivotes de la FERF de A son las columnas
j1, j2, . . . , jr , entonces las columnas j1, j2, . . . , jr de A forman una base para Im(A).
Antes de dar un ejemplo referente a la búsqueda de bases para el espacio nulo y el espacio imagen
de una matriz A, daremos algunos resultados.
Consideremos una matriz A ∈ Mm×n(R). Denotaremos por C(A) al espacio generado por las
columnas de A, el cual llamaremos espacio columna de A, y denotaremos por R(A) al espacio
generado por las filas de A, el cual es llamado espacio fila de A, esto es
C(A) = span({A(1), A(2), . . . , A(n)})
y
R(A) = span({A(1), A(2), . . . , A(m)})
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Teorema 15
Si A,B ∈ Mm×n(R) son tales que A y B son equivalentes por filas, entonces
1 C(A) = Im(A).
2R(A) = R(B).
3 dim(R(A)) = dim(C(A)) = dim(Im(A)) = r(A).
4 r(A) = r(B) y n(A) = n(B).
5 r(A) + n(A) = n.
Corolario 16
A ∈ Mn×n(R) es invertible si y sólo si r(A) = n.
Demostración.
¡Ejercicio!
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Corolario 17
Sean A ∈ Mm×n(R) y b ∈ Mm×1(R). Entonces el sistema Ax = b tiene al menos una solución
si y sólo si r([A|b]) = r(A).
Demostración.
¡Ejercicio!
El ejemplo siguiente nos da un procedimiento genérico para calcular bases para los espacios N(A),
R(A) e Im(A) = C(A) dada una matriz A ∈ Mm×n(R).
Ejemplo 11
Calcular el espacio fila, el espacio columna, el espacio nulo, la imagen, y una base para cada uno
de estos espacios; y la nulidad y el rango de la matriz
A =

2 2 −6 1 8
−4 −1 −3 −2 −19
1 1 −3 1 6
2 4 −16 3 14

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Solución. Sólo hace falta calcular la FERF de A, la cual es
1 0 2 0 3
0 1 −5 0 −1
0 0 0 1 4
0 0 0 0 0

Aśı que

x1
x2
x3
x4
x5

∈ N(A) si y sólo si

x1 +2x3 +3x5 = 0
x2 −5x3 −x5 = 0
x4 +4x5 = 0
o equivalentemente 
x1 = −2x3 − 3x5
x2 = 5x3 + x5
x4 = −4x5
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Luego 
x1
x2
x3
x4
x5

=

−2x3 − 3x5
5x3 + x5
x3
−4x5
x5

= x3

−2
5
1
0
0

+ x5

−3
1
0
−4
1

Por lo tanto, una base para el espacio nulo de A es:

−2
5
1
0
0

,

−3
1
0
−4
1


y aśı
N(A) = span



−2
5
1
0
0

,

−3
1
0
−4
1



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Además, una base para el espacio fila de A es:{[
1 0 2 0 3
]
,
[
0 1 −5 0 −1
]
,
[
0 0 0 1 4
]}
luego
R(A) = span
({[
1 0 2 0 3
]
,
[
0 1 −5 0 −1
]
,
[
0 0 0 1 4
]})
Como los pivotes de la FERF de A están en las columnas 1,2 y 4, entonces las columnas 1,2 y 4
de A forman una base para el espacio imagen o espacio columna de A, es decir,

2
−4
1
2
 ,

2
−1
1
4
 ,

1
−2
1
3


es una base para C(A) = Im(A) y en consecuencia
C(A) = Im(A) = span



2
−4
1
2
 ,

2
−1
1
4
 ,

1
−2
1
3



Finalmente la nulidad y el rango de A son, respectivamente, n(A) = dim(N(A)) = 2
y r(A) = dim(Im(A)) = dim(R(A)) = dim(C(A)) = 3. �
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