ALG - Guía 4 - Teorema del Resto

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((11559966 -- 11665500)) 
 
 Nació: 31 de marzo de 1596 en La Haye (hoy Descartes, en su 
honor). 
 Murió: 11 de febrero de 1650 en Estocolmo. 
 Nació en una familia bien situada. Su padre era consejero en el 
parlamento de Bretaña. Su madre murió en un parto cuando él tenía 14 
meses. Vivió con su abuela hasta que ingresó en el colegio de los jesuitas 
de La Fléche en Anjou, abierto unos meses antes, cuando tenía 8 años. 
 Descartes tenía un carácter triste o melancólico (hoy diríamos 
depresivo); se achaca este carácter a la temprana pérdida de su 
madre y a la falta de relación con su padre, y una salud delicada. En el 
colegio, le concedieron permiso para levantarse a las 11. Esta 
costumbre la mantuvo hasta su muerte. 
 Estudió derecho en la universidad de Poitiers. En 1616 se alistó en el 
ejército del Príncipe Maurice de Nassau y fue enviado a Breda (la del 
cuadro de Velázquez). Estando en Breda, un día vio un cartel, en la calle, en 
la que se proponía la resolución de un problema matemático. Descartes lo 
resolvió y de esta forma conoció a Isaac Beeckman, el mejor matemático de 
Holanda en aquella época. En 1618 empezó a estudiar matemáticas con 
Isaac Beeckman. En 1619 Descartes comunicó a Beeckamn el descubrimiento de un método que le iba a permitir resolver 
todos los problemas que se puedan proponer de Geometría. Descartes estaba anunciando el descubrimiento de la Geometría 
Analítica, aunque no lo publicaría hasta 1637, en su trabajo Geometrie. 
 Entre 1619 y 1622 estuvo en el ejército Bávaro. En esta época fue cuando decidió dudar metódicamente de 
todo lo que sabía y que debía encontrar puntos de partida evidentes para reconstruir todas las ciencias. Por fin 
encontró una verdad incuestionable: Pienso luego existo. 
 En 1625 regresó a Paris y entró en contacto con el círculo del padre Mersenne, al que había conocido en el 
colegio de La Fléche en Anjou. Mersenne fue el mejor amigo de Descartes. En esta época de su vida, incrementó su 
actividad social y su padre dijo de él: ‘no vale para nada, salvo para acicalarse’. 
 En 1628 decidió instalarse en Holanda, pero siguió en contacto con Mersenne que le mantenía al corriente de 
las novedades científicas. 
 En 1649 llegó a Estocolmo, reclamado por la reina Cristina como profesor de Filosofía. Un carruaje le recogía 
tres veces por semana, a las cuatro de la mañana. Descartes que toda su vida se había levantado a las diez, no lo 
soportó (cosa que no es de extrañar) y murió de pulmonía en febrero de 1650. 
 Se ha especulado sobre la posibilidad de que Descartes hubiese sido envenado por los luteranos (para impedir 
que un católico influyese en la Reina Cristina) pero esto está descartado. 
 En 1666 sus restos fueron exhumados y trasladados a París. 
 Descartes ha pasado a la historia de las matemáticas por haber unido la geometría y el álgebra. 
 Presionado por sus amigos, escribió un tratado de ciencia con el título: “Discours de la méthod pour bien 
conduire sa raison et chercher la vérité dans les sciencies”, que fue publicado en Leiden en 1637 (Descartes no 
consintió que se publicase en Le Monde). Este trabajo tenía tres apéndices: 
 La Dioptrique: trabajo sobre óptica. 
 Les Meteoros: trabajo sobre meteorología. 
 La Geometrie: trabajo sobre Geometría. Es el más importante de los tres. Está dividido en tres libros: en el 
Libro I (sobre los problemas que pueden construirse empleando solamente círculos y líneas rectas) establece una 
base geométrica para el álgebra. En el Libro II (sobre la naturaleza de las curvas) clasifica las curvas mediante 
ecuaciones algebraicas y establece un método para calcular tangentes a curvas, que es muy parecido al que se 
utiliza actualmente. El Libro III (sobre la construcción de problemas sólidos y supersólidos) trata de la solución de 
raíces de ecuaciones. El Discurso del método: fundó el cartesianismo. Descartes, para llegar al conocimiento de la 
verdad, preconizaba someter las ideas a la prueba de la duda, porque el espíritu sólo debe admitir la evidencia. 
Demostró luego que la proposición Pienso, luego existo resiste a esta prueba de la duda y permite guiarse por la 
razón. Descartes deseaba crear un método que pudiera aplicarse a la resolución de todos los problemas de la 
geometría. La teoría se basa en dos conceptos: el de las coordenadas y el de representar en forma de curva plana 
cualquier ecuación algebraica con dos incógnitas, valiéndose para ello el método de las coordenadas. 
 
René 
Descartes 
 
 135 
TEOREMA DEL RESTO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Teorema que permite hallar el resto en una división sin efectuarla. Es decir, en forma directa. 
 Para aplicar este teorema es necesario que el polinomio divisor sea de primer grado. 
 
Procedimiento 
Ejemplo: 
 Hallar el resto en la siguiente división: 
1x
4xx2 2
−
++
 
 
Paso 1 : El divisor se iguala a cero: 
 x – 1 = 0 
 
Paso 2 : Se despeja la variable: 
 x – 1 = 0  x = 1 
 
Paso 3 : El valor de la variable despejada se reemplaza en el dividendo: 
 Como: D(x) = 2x2 + x + 4 
  Resto = D(1) = 2(1)2 + (1) + 4 
  Resto = 2 . 1 + 1 + 4 
 Resto = R(x) = 7 
 
Ejemplo: 
 Hallar el resto en la siguiente división: 
1x
7x8x3 2
+
++
 
 
Paso 1 : El divisor se iguala a cero: 
 x + 1 = 0 
 
Paso 2 : Se despeja la variable: 
 x + 1 = 0  x = -1 
 
Paso 3 : Reemplazamos en el dividendo: 
 Como: D(x) = 3x2 + 8x + 7 
  Resto = D(-1) = 3(-1)2 + 8(-1) + 7 
  R(x) = D(-1) = 3 . 1 – 8 + 7 
 Resto = R(x) = 2 
 
 
Puedes comprobar 
dividiendo por el 
Método de Horner o 
de Ruffini cada uno de 
los ejemplos y 
encontraras las 
mismas respuestas. 
Para aplicar el 
Teorema del Resto 
no es necesario que 
el polinomio 
dividiendo sea 
completo y 
ordenado. 
Recuerda 
 
 136 
Ejemplo: 
 Hallar el resto en la siguiente división: 
2x
4x3x4x2 23
−
++−
 
 
Paso 1 : x - 2 = 0 
 
Paso 2 : x - 2 = 0  x = 2 
 
Paso 3 : R(x) = D(2) = 2(2)3 – 4(2)2 + 3(2) + 4 
  R(x) = 2 . 8 – 4 . 4 + 6 + 4 
 Resto = R(x) = 10 
 
Ejemplo: 
 Halla el residuo en: 
1x2
5x6x13 2
−
−+
 
 
Paso 1 : 2x - 1 = 0 
 
Paso 2 : 2x - 1 = 0  x = 
2
1
 
 
Paso 3 : R(x) = D(
2
1
) = 13(
2
1
) + 6(
2
1
)2 - 5 
  R(x) = 5)
4
1
(6
2
13
−+ 
 R(x) = 5
4
6
2
13
−+ 
 R(x) = 8 – 5 = 3 
 
Ejemplo: 
 Halla el residuo en: 
2x3
7xx3 2
−
++
 
 
Paso 1 : 3x - 2 = 0 
 
Paso 2 : 
3
2
x = 
 
Paso 3 : R(x) = 7
3
2
)
3
2
(3 2 ++ 
  R(x) = 7
3
2
)
9
4
(3 ++ 
 R(x) = 7
3
2
3
4
++ 
 R(x) = 9 
 
 
 
 
El uso de las letras finales 
del alfabeto (x, y, z, …) para 
representar las incógnitas y 
las primeras para valores 
conocidos, fue introducido 
por Descartes, aunque 
parece que fue su editor el 
que eligió estas letras. 
Curiosidade
s 
¡Ahora 
tu! 
 
 137 
 
 
 
 En cada caso hallar el residuo: 
 
 
3x
4x16x5 2
−
+−
 
 
Paso 1 : 3x - 2 = 0 
 
Paso 2 : x = 
 
Paso 3 : R(x) = 5( )2 - 16( ) + 4 
  R(x) = 
 
 
 
 
2x
15x11x10 2
+
−+
 
 
Paso 1 : 3x - 2 = 0 
 
Paso 2 : x = 
 
Paso 3 : R(x) = 10( )2 + 11( ) - 
  R(x) = 
 
 
1x3
8x3x2 2
−
−+
 
 
Paso 1 : 3x - 2 = 
 
Paso 2 : x = 
 
Paso 3 : R(x) = 2( ) + 3( )2 - 
  R(x) = 
 
 
 
 
1x4
x39x4 2
−
++
 
 
Paso 1 : 3x - 2 = 
 
Paso 2 : x = 
 
Paso 3 : R(x) = 4( )2 + + 3( ) 
  R(x) = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EJERCICIOS DE APLICACIÓN 
El Libro III del “Discurso 
del Método”; Descartes 
propuso el Teorema del 
Resto y es por esta razón 
que también es conocido 
como “Teorema de 
Descartes” 
Sabías 
que 
 
 138 
 
 
I. Utilizando el Teorema del Resto, en cada suma 
de las siguientes divisiones hallar el residuo 
respectivo: 
1. 
1x5xx2
−
++
 
 
a) 5 b) -1 c) 7 
d) 4 e) 5 
 
2. 
2x
1xx2
−
+−
 
 
a) -4 b) -1 c) 5 
d) 2 e) 3 
 
3. 
1x
2x2x3x2 23
−
+−+
 
 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 5 e) 9 
 
4. 
1x
11x3x2
+
++
 
 
a) 9 b) 8 c) -1 
d) 11 e) 3 
 
5. 
2x
4x2x2
+
−−
 
 
a) 4 b) 5 c) 6 
d) -5 e) -6 
6. 
1x
8xx3x3 34
+
+++
 
 
a) -1 b) -3 c) 7 
d) 1 e) 3 
 
7. 
1x2
xx2 2
−
+
 
 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) -1 e) 0 
 
8. 
1x3
x2x3 2
−
+
 
 
a) 0 b) -1 c) 3 
d) 4 e) 1 
9. Hallar “b” en la siguiente división: 
1x
bxx2 2
−
+−
 
Si el resto que se obtiene es 7. 
 
a) 5 b) 7 c) 6 
d) 4 e) 1 
 
10. La siguiente división: 
2x
3bxx3 2
−
−+
 tiene resto 5 
Hallar: “b” 
 
a) -2 b) -1 c) -4 
d) -5 e) -7 
 
11. Hallar el valor de “b” en la siguiente división: 
1x
x4x2bx 23
+
+++
 
Si el resto es 3. 
 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) -1 e) 4 
 
12. Hallar el valor de “b” si el resto de la 
siguiente división: 
bx
23x2
−
+
 es 27. 
 
a) 4 b) 2 c) 5 
d) 3 e) 1 
 
13. Hallar el resto en la siguiente división: 
2x
1x3x8x4 45
−
++−
 
 
a) 3 b) 2 c) 7 
d) 0 e) 1 
 
14. Calcular el resto de: 
1x
1x)1x2()1x( 20032004
−
−+−+−
 
 
a) 1 b) 2 c) 0 
d) 2003 e) -1 
 
15. Calcular el resto de: 
1x
xx
2
24
−
+
 
 
a) 0 b) 2 c) 1 
d) 3 e) 4 
 
 
 
 
 139 
TAREA DOMICILIARIA Nº 4 
 
 
I. Utilizando el Teorema del Resto, en cada una 
de las siguientes divisiones hallar el residuo 
respectivo: 
1. 
1x
2x2x2
−
++
 
 
a) 4 b) 5 c) 3 
d) -1 e) 2 
 
2. 
2x
2x3x2
−
−+
 
 
a) -2 b) 8 c) -8 
d) 2 e) 0 
 
3. 
1x
2x5x2x5 23
−
+−−
 
 
a) 3 b) 4 c) -1 
d) 0 e) 1 
 
4. 
1x
8x6x2
+
++
 
 
a) 3 b) 5 c) -2 
d) 0 e) -1 
 
5. 
3x
1xx2
−
−+
 
 
a) 2 b) 4 c) 5 
d) 3 e) -8 
 
6. 
1x
2x2x8x8 34
+
+++
 
 
a) -4 b) 4 c) 0 
d) 1 e) -1 
 
7. 
1x2
x3x2 2
−
−
 
 
a) -1 b) 2 c) 0 
d) -2 e) 1 
 
8. 
1x3
x5x3 2
−
+
 
 
a) 2 b) -2 c) 0 
d) 3 e) -3 
 
 
9. Hallar “b” en la siguiente división: 
2x
bx3x2 2
−
+−
 si el resto es 3. 
 
a) -3 b) 4 c) 0 
d) 2 e) 1 
 
10. La siguiente división: 
3x
4bxx2 2
−
++
 tiene 
resto 7. 
Hallar: “b” 
 
a) 8 b) -2 c) 0 
d) -5 e) 4 
 
11. Hallar el valor de “b” en la siguiente división: 
1x
2x3x3bx 23
+
++−
 si el resto es 5. 
 
a) 0 b) 4 c) 3 
d) -1 e) -7 
 
12. Hallar el valor de “b” si el resto de: 
bx
15x2
−
+
 
es 40. 
 
a) 3 b) 4 c) 2 
d) 1 e) 5 
 
13. Indicar el resto en la siguiente división: 
2x
3x2x4x2 67
−
++−
 
 
a) -1 b) 7 c) 0 
d) 2 e) 5 
 
14. Calcular el resto de: 
2x
2)1x()5x3( 20032004
−
−−+−
 
 
a) 1 b) 4 c) 8 
d) -1 e) 0 
 
15. Calcular el resto de: 
1x
xx
2
64
−
+
 
 
a) 2 b) 3 c) 2 
d) 1 e) 0