ARITMETICA - MCD - MCM

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AÑO ACONTECIMIENTOS 
IV a.C.  El método de obtención del M.C.D. por divisiones 
sucesivas. Aparece ya descrito en su obra “Elementos” 
del matemático griego Euclides. 
1200  Leonardo Pisano. Escribió un libro titulado Liber 
Abaci, donde explica las matemáticas usada por los 
árabes que fue aprendida de los Indus. El cero es la 
nada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Euclides 
IV a.C.. 0 1200 
Inicio de 
nuestra era 
Leonardo 
Pisano 
 
 
 67 
MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD) Y 
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
JJUUSSTTIICCIIAA DDIIVVIINNAA 
 
 Cierto día se había cometido en una ciudad 
un terrible crimen por lo cual los habitantes de la 
ciudad buscaron a los culpables y decidieron 
matarlos, pero en su afán por capturar a los 
culpables capturaron a 16 sospechosos, siendo 5 de 
ellos inocentes. 
 
 Para saber quienes eran culpables y quienes 
inocentes los habitantes de la ciudad consultaron 
con los dioses, recibiendo la siguiente respuesta: 
 
 “A lo largo y ancho de un terreno lanzaremos 
rayos muriendo todo aquel que no este en una 
posición adecuada estará distanciada “x” metros 
una de otra, y además esta distancia divide 
exactamente el largo y ancho del terreno en partes 
iguales, no pudiendo colocarse una persona en las 
esquinas. ¿Cuál es el valor de esta medida “x”? 
además se sabe que “x” es lo mayor posible: 
Ancho = 12 metros Largo = 16 metros” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como se puede ver la distancia “x” debe ser 
un número que divide exactamente a 16 y 12 y 
además la mayor posible, ¿Cuánto vale esta 
medida? 
 
 
 
MMÁÁXXIIMMOO CCOOMMÚÚNN DDIIVVIISSOORR ((MMCCDD)) YY 
MMÍÍNNIIMMOO CCOOMMÚÚNN MMÚÚLLTTIIPPLLOO ((MMCCMM)) 
 
 
 MMÁÁXXIIMMOO CCOOMMÚÚNN DDIIVVIISSOORR ((MMCCDD)) 
Es el mayor divisor que tienen en común dos o 
más números. 
 
Ejm: 
 
Hallar el MCD de 12 y 18 
 
 Divisores 
 
12 : 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12 
 
18 : 1 , 2 , 3 , 6 , 9 , 18 
 
 
divisores comunes de 12 y 18: 1, 2, 3, 6 
 
Pero el mayor es 6. 
 
 6 es el máximo común divisor de 12 y 18. 
 MCD (12, 18) = 6 
 
 
 
 MMÍÍNNIIMMOO CCOOMMÚÚNN MMÚÚLLTTIIPPLLOO ((MMCCMM)) 
Es el menor múltiplo que tienen en común dos o 
más números. 
 
 
 
 
 
 
 
x 
x 
x x 
12 metros 
x 
16 m 
posición 
prohibida 
posición 
prohibida 
posición 
prohibida 
 
 
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Ejm: 
 
Hallar el MCM de 12 y 18. 
 
Múltiplos 
 
12 : 12 , 24 , 36 , 48 , 60 , 72 , … 
 
18 : 18 , 36 , 54 , 72 , … 
 
 
Múltiplos comunes de 12 y 18: 36 y 72, … 
 
Pero el menor es 36: 
 
 36 es el mínimo común múltiplo de 12 y 18. 
 
MCM (12, 18) = 36 
 
 
 
 MMÉÉTTOODDOOSS DDEE CCÁÁLLCCUULLOO DDEELL MMCCDD YY MMCCMM 
 
II.. PPoorr ddeessccoommppoossiicciióónn ccaannóónniiccaa 
 
 Hallar el MCD y MCM de 40 y 60. 
 
 
Paso 1: Descomposición canónica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
40 = 23 x 5 
 
60 = 22 x 3 x 5 
 
 
 
Paso 2: Comparación: 
 
Para el MCD 
 
 
23 > 22 22 
 
5 = 5 5 
 
 
 
 
 
 
 
Para el MCM 
 
 
23 > 22 23 
 
5 = 5 5 
 
 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 AAHHOORRAA TTÚÚ:: 
 
 Halla el MCD y MCM de 54 y 30. 
 
 Halla el MCD y MCM de 36 y 48. 
 
 
 
 
IIII.. PPoorr ddeessccoommppoossiicciióónn ssiimmuullttáánneeaa 
 
 Hallar el MCD y MCM de 60 y 84 
 
 
Paso 1: Se descompone a todos a la vez. 
 
 60 - 84 2 
 30 - 42 2 
 15 - 21 
 
 
Paso 2: Analizo: 
15 y 21 no tienen divisor 2 
 
 Pruebo con divisor 3, luego 5, luego 7 y así 
sucesivamente 
 
 60 - 84 2 
 30 - 42 2 
 15 - 21 3 
 5 - 7 
 
 
Como 5 y 7 son PESI entonces: 
La descomposición simultánea para el MCD llega 
a su fin. 
 
 MCD (60 y 84) = 22 x 3 = 12 
 
 
40 2 
20 2 
10 2 
 5 5 
 1 
 = 23 x 5 
60 2 
30 2 
15 3 
 5 5 
 1 
 = 22 x 3 x 5 
Coloco a los menores o 
iguales 
¿Qué pasa con el 3? 
Como no hay con quien 
compararlo no se coloca 
MCD (40, 60) 
= 22 x 5 = 20 
Coloco a los mayores o 
iguales 
¿Qué pasa con el 3? 
Como no hay con quien 
compararlo se coloca 
MCD (40, 60) 
= 23 x 5 x 3 = 120 
 
 
 69 
 
 
Paso 3: Para el MCM 
Se sigue dividiendo, no importa si 
solo uno tiene divisores diferentes 
del otro. 
 
 
 60 - 84 2 
 30 - 42 2 
 15 - 21 3 
 5 – 7 5 1 
 1 – 7 7 2 
 1 - 1 
 
 
1. ¿Pero 5 tiene divisor 5 pero 7 no? 
No importa se sigue dividiendo. 
 
2. ¿Pero 7 tiene divisor 7 pero 1 no? 
No importa se sigue dividiendo. 
 
 
La descomposición simultánea para el MCM llega 
a su fin cuando se obtienen puros unos. 
 
 
 
 
 AAHHOORRAA TTÚÚ:: 
 
 Hallar el MCD y MCM de: 
a) 45 y 35 
b) 240 y 180 
 
 
 
 
 CCOONNCCLLUUSSIIOONNEESS 
 
 Para el MCD: 
La descomposición simultánea acaba 
cuando se obtienen números PESI. 
 
 Para el MCM: 
La descomposición simultánea llega a su fin 
cuando se obtienen puros unos. 
 
Además: 
 
Para 2 números: 
 
 
MCM(A, B) x MCD(A, B) = A x B 
 
 
 
 
 
Ejm: 
 
MCD(40, 60) = 20 A = 40 
MCM(40, 60) = 120 B = 60 
 
MCM(40 , 60) x MCM(40, 60) = 40 x 60 
 
 20 120 = 40 x 60 
 
 2400 = 2400 
 
 
Ejm: 
 
Si el MCM de dos números es 22 x 3 x 5 x 7 y 
el producto de estos números es 24 x 32 x 5 x 7. 
Hallar su MCD. 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Hallar el MCD de: 
 
i) 72 y 86 
ii) 135 y 90 
iii) 54 y 144 
 
2. Hallar el MCD de A y B si: 
 
A = 22 x 33 x 7 x 1110 
B = 23 x 34 x 56 x 1310 
 
a) 2 x 32 b) 22 x 34 c) 23 x 33 
d) 22 x 33 e) 24 x 33 
 
3. Hallar el valor de “n” si el MCD de A y B tiene 
15 divisores. 
 
A = 2n x 34 
B = 2n–1 x 32 x 52 
 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5 
 
4. Hallar el valor de “n” si el MCD de A y B tiene 
24 divisores. 
 
A = 3n x 52n+1 x 7 
B = 32n x 2 x 5n + 2 
 
EEjjeerrcciicciiooss 
ddee 
AApplliiccaacciióónn 
 
 
 70 
 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5 
 
5. Hallar el MCD de A y B: 
 
A = 4 x 9 x 15 
B = 2 x 6 x 14 
 
a) 12 b) 10 c) 4 
d) 6 e) 18 
 
6. Si MCD( b4,a5 ) = 14. Hallar (a + b) 
 
a) 4 b) 5 c) 6 
d) 7 e) 8 
 
7. Si MCD ( a)a2(,a7 ) = 6. Hallar “a” 
 
a) 2 b) 3 c) 4 
d) 5 e) 6 
 
8. Un negociante tiene 3 barriles de vino de 360, 
480 y 600 litros, desea venderlos en 
recipientes pequeños de modo que no sobre ni 
falte vino en ninguno de los barriles. ¿Cuál es 
la máxima capacidad de los recipientes? 
 
a) 60  b) 80  c) 100  
d) 120  e) 140  
 
9. Calcular el MCM de: 
 
i) 360 y 150 
ii) 82 y 7 
iii) 27 y 54 
 
10. Hallar el MCM de A y B si: 
 
A = 23 x 54 x 76 
B = 22 x 5 x 11 
 
a) 23 x 54 x 76 x 11 d) 54 x 76 x 22 x 11 
b) 22 x 5 e) 54 x 116 x 7 
c) 23 x 11 x 76 
 
11. Hallar el valor de “n” si el MCM de A y B, 
tiene 60 divisores. 
 
A = 2n + 1 x 34 x 7 
B = 22n x 35 
 
a) 0 b) 1 c) 2 
d) 3 e) 4 
 
 
 
12. Hallar el valor de “n” si el MCM de A y B tiene 
48 divisores (“n” es un número primo) 
 
A = nn x 23 x 112 
B = n x 11 x 22 
 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 5 e) 7 
 
13. Si MCM ( b4,a9 ) = 90. Hallar (a + b) 
 
a) 4 b) 6 c) 8 
d) 9 e) 10 
 
14. Si MCM ( a2,a9 ) = 196 
 
a) 8 b) 7 c) 6 
d) 5 e) 4 
 
15. El MCM de A y 36 es 180 y su MCD es 9. 
Hallar el valor de A. 
 
a) 45 b) 30 c) 35 
d) 40 e) 48 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Colocar verdadero (V) o falso (F) según 
corresponda: 
 
i) MCD significa “mínimo común divisor” 
ii) El MCM de dos números contiene 
exactamente a dichos números siempre. 
iii) El MCM y MCD de dos números pueden ser 
iguales. 
 
2. Hallar elMCD de A y B si: 
 
A = 72 x 113 x 5 
B = 52 x 7 x 13 
 
a) 25 b) 30 c) 35 
d) 40 e) 65 
 
3. Hallar el MCD de A y B: 
 
A = 16 x 3 
B = 8 x 15 
 
TTaarreeaa 
DDoommiicciilliiaarr
iiaa 
NNºº 77 
 
 
 71 
 
 
a) 20 b) 16 c) 24 
d) 30 e) 35 
 
4. Si MCD ( b1,a5 ) = 6 
Hallar (a + b) 
 
a) 2 b) 5 c) 3 
d) 4 e) 6 
 
5. Si MCD ( 9)a2(1,7a1 ) = 21 
Hallar el valor de “a” 
 
a) 2 b) 3 c) 4 
d) 5 e) 6 
 
6. Hallar el valor de “n” si el MCD de A y B tiene 
12 divisores. 
 
A = 2n x 75 
B = 22n x 72 
 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5 
 
7. Hallar el valor de “n” si el MCD de A y B tiene 
20 divisores. 
 
A = 7n x 11 x 132 
B = 2 x 72n x 11 x 13 
 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5 
 
8. Hallar el MCD de A y B si: 
 
A = 6 x 14 x 72 
B = 21 x 11 x 9 
 
a) 33 x 2 b) 33 x 7 c) 23 x 3 
d) 23 x 32 e) 11 x 32 
 
9. Relacione correctamente ambas columnas: 
 
I. 24 y 48 A) Su MCD es 24 
II. 21 y 16 B) Su MCD es 1 
III. 26 y 52 C) Su MCD es 26 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10. Hallar el MCM de A y B si: 
 
A = 32 x 7 x 11 
B = 2 x 72 x 3 
 
a) 2 x 7 x 3 d) 7 x 11 x 32 
b) 2 x 3 x 7 x 11 d) 2 x 32 x 72 x 11 
c) 72 x 3 
 
11. Hallar el valor de “n” si el MCM de A y B tiene 
56 divisores. 
 
A = 11n – 1 x 13n 
B = 11n + 2 x 132 
 
a) 4 b) 5 c) 6 
d) 7 e) 8 
 
12. Hallar el valor de “n” si el MCM de A y B tiene 
60 divisores. 
 
A = 73 x 14 
B = 7 x 2n x 3 
 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5 
 
13. Hallar (a + b) si MCM( b17,a10 ) = 525 
 
a) 4 b) 6 c) 8 
d) 10 e) 12 
 
14. Hallar “a” si MCM ( 7a,5)a2( ) = 135 
 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5 
 
15. El producto de dos números es 1750 y su MCM 
es 350. Hallar su MCD. 
 
a) 2 b) 3 c) 5 
d) 7 e) 11