Funciones Exponenciales y Logarítmicas

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TALLER 
 
 FUNCIONES EXPONENCIALES 
 
 Y LOGARÍTMICAS 
 
 
 Universidad de Puerto Rico en Bayamóm 
 
 Departamento de Matemáticas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Preparado por: 
 
 Prof. Eileen Vázquez 
 
 
 
 2
 
 TABLA DE CONTENIDO 
 
PRE – PRUEBA 4 
 
OBJETIVOS 6 
 
JUSTIFICACIÓN 7 
 
FUNCIONES EXPONENCIALES 8 
 
 DEFINICIÓN 8 
 
 GRÁFICAS 9 
 
 PROPIEDADES 12 
 
ECUACIONES EXPONENCIALES – TIPO I 15 
 
APLICACIONES 18 
 
EJERCICIOS DE PRÁCTICA I 19 
 
FUNCIONES LOGARÍTMICAS 20 
 
 DEFINICIÓN DE UN LOGARITMO 20 
 
 DEFINICIÓN DEL LOGARITMO COMÚN 21 
 
 DEFINICIÓN DEL LOGARITMO NATURAL 21 
 
 PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS – PARTE I 22 
 
 DEFINICIÓN DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA 23 
 
 GRÁFICAS 23 
 
 DOMINIO 23 
 
 PROPIEDADES 26 
 
 EJERCICIOS DE PRÁCTICA II 27 
 
 3
 
 
RELACIÓN ENTRE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Y 
LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA 28 
 
PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS – PARTE II 30 
 
ECUACIONES LOGARÍTMICAS 31 
 
ECUACIONES EXPONENCIALES – TIPO II 34 
 
APLICACIONES 36 
 
EJERCICIOS DE PRÁCTICA III 37 
 
EJERCICIOS ADICIONALES 38 
 
POS – PRUEBA 39 
 
RESPUESTAS 41 
 
 RESPUESTAS DE LA PRE – PRUEBA 41 
 
 RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS DE PRÁCTICA I 42 
 
 RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS DE PRÁCTICA II 43 
 
 RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS DE PRÁCTICA III 44 
 
 RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS ADICIONALES 45 
 
 RESPUESTAS DE LA POS – PRUEBA 46 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4
PRE-PRUEBA 
 
1) Halla el valor exacto de: 
 a) 32log2 
 b) 10log 
 c) ln1 
 d) 3log 55 
 e) 3ln2ln −e 
 
 
2) Traza la gráfica de las siguientes funciones. Traza también la gráfica de la asíntota, si 
 es distinta al eje de x o al eje de .y 
 a) xxf 3)( = 
 b) 
x
xg 




=
2
1
)( 
 c) xxh 3log)( = 
 d) xxk
3
1log)( = 
 
3) Halla el dominio y la ecuación de la asíntota vertical para la gráfica de las siguientes 
 funciones: 
 a) xxf 5log)( = 
 b) )4(log)( 3 −= xxg 
 
 
4) Halla la función inversa para las siguientes funciones: 
 a) xxf 5)( = 
 b) xxg 6log)( = 
 c) )2(ln)( −= xxk 
 
 
5) Escribe la siguiente expresión como una suma y/o resta de logaritmos. Expresa las 
 potencias como factores. 
 
2
3
log
xy
z
 
 
6) Escribe como un solo logaritmo: 
 yxx 3333 log2)1(log4loglog −−++ 
 
 
7) Halla el valor exacto de: 
 
5log
16log
4log
5log ⋅ . 
 
 5
 
8) Resuelve las siguientes ecuaciones: 
 a) 61 22 =−x 
 b) 
5
1
5 3 =+x 
 c) 72 =x 
 
 d) xx 43 21 =− 
 
 e) 3)14(log2 =−x 
 
 f) 3)2(loglog 22 =++ xx 
 
9) Una substancia se desintegra de acuerdo a la función 5)2(100)(
t
tQ
−
= , donde Q (en gramos) 
 es la cantidad presente al cabo de t años. ¿ Cuál será la cantidad presente al cabo de 
 15 años ? 
 
10) Suponer que la función tePtP 04.00)( = , donde 0P representa la población inicial y 
 t representa el tiempo medido en años, se usa para predecir el crecimiento poblacional 
 de cierta ciudad. Si la población actual de la ciudad es 50,000 habitantes, ¿ cuánto 
 tiempo le tomará a la ciudad duplicar esta población ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 6
OBJETIVOS 
 
Al finalizar este taller los participantes podrán: 
 
1) reconocer una función exponencial definida por una regla. 
 
2) trazar la gráfica de una función exponencial definida por una regla. 
 
3) determinar las propiedades de una función exponencial de la forma: 
 a) xaxf =)( , para 1>a b) xaxf =)( , para 10 << a 
 
4) determinar las propiedades de una función exponencial, luego de trazar 
 su gráfica. 
 
5) resolver ecuaciones exponenciales con: 
 a) bases iguales b) bases distintas que se pueden igualar 
 
6) resolver problemas de aplicación en los cuales la función exponencial 
 está dada: 
 a) hallando valores funcionales b) usando logaritmos 
 
7) hallar el valor racional de un logaritmo. 
 
8) cambiar de forma logarítmica a forma exponencial. 
 
9) cambiar de forma exponencial a forma logarítmica. 
 
10) determinar el dominio y la asíntota vertical de una función logarítmica, cuando 
 el argumento de la función es lineal. 
 
11) trazar la gráfica de una función logarítmica definida por una regla. 
 
12) determinar las propiedades de una función logarítmica de la forma 
 xxf alog)( = , para 1,0 ≠> aa . 
 
13) determinar las propiedades de una función logarítmica, luego de trazar 
 su gráfica. 
 
14) hallar la función inversa de una función exponencial. 
 
15) hallar la función inversa de una función logarítmica. 
 
16) usar las propiedades de los logaritmos para: 
 a) hallar el valor exacto de una expresión 
 b) resolver ecuaciones logarítmicas 
 c) resolver ecuaciones exponenciales 
 
 
 7
 
 
 
 
JUSTIFICACIÓN 
 
 Muchas situaciones en nuestro mundo presentancrecimiento o decrecimiento que se 
puede representar mediante una función o modelo exponencial. Ejemplo de esto es el 
crecimiento natural de bacterias en una colonia, el crecimiento poblacional, la 
descomposición química, la presión atmosférica y las concentraciones de droga y de 
alcohol en la sangre, entre otros. Las funciones exponenciales se usan también en 
estadística para determinar probabilidad. En el área de administración de empresas se 
usan estas funciones para calcular interés compuesto y depreciación. Entre las funciones 
exponenciales más usadas está la función exponencial base e , conocida también como 
la función exponencial natural. 
 
 Como se menciona en el párrafo anterior, hay muchos modelos matemáticos que son 
exponenciales. Los logaritmos son importantes porque nos permiten resolver ecuaciones 
exponenciales. O sea, usando logaritmos podemos hallar el valor de la variable de una 
ecuación cuando está usada como un exponente. También hay fórmulas importantes definidas en 
términos de un logaritmo. Ejemplo de esto es la fórmula usada en la escala Richter, la cual se usa 
para medir la magnitud e intensidad de un terremoto. El logaritmo en esta fórmula tiene 
base 10 ( logaritmo común). También los logaritmos tienen su uso en química. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 8
FUNCIONES EXPONENCIALES 
 
 Las funciones exponenciales son funciones en las cuales la variable independiente 
está en la posición del exponente. Recordemos que al tener 53 , al 3 le llamamos la base 
y al 5 le llamamos el exponente o la potencia. A las funciones exponenciales se les llama 
de acuerdo al valor de la base. Veamos la definición formal de esta función. 
 
 
DEFINICIÓN: 
Sea x cualquier número real. La función exponencial base a es una función de la 
forma xaxf =)( , donde a es un número real positivo ( a > 0) y 1≠a . 
 
 
EJEMPLOS DE FUNCIONES EXPONENCIALES: 
 
1) xxf 2)( = 
2) 23)( += xxg 
3) )5(2)( 1−= tth 
4) 
x
xF 




=
3
1
)( 
5) xexG =)( ( e es un número irracional cuyo valor es un decimal infinito 
 no periódico, 72.2≈e ) 
 
 
OBSERVACIÓN: No se incluye la base 1=a , porque si 1=a entonces tendríamos la 
 función constante 11)( == xxf . También se excluyen las bases que son negativas, porque, 
 de otra manera tendríamos que excluir muchos valores del dominio de la función. 
 Por ejemplo, si la base fuera 2− , entonces: 
 ℜ∉−=− 2)2( 2
1
 
 ℜ∉−=−=− 44 34
3
8)2()2( 
 ℜ∉−=− 6 56
5
)2()2( 
 
 
 
CUIDADO: Es importante distinguir entre la función 2)( xxf = , la cual es una función 
 polinomial de grado 2 y la función xxg 2)( = , la cual es una función exponencial de base 2. 
 En una función polinomial, la base es una variable y el exponente es una constante. En una 
 función exponencial, la base es una costante y el exponente es una variable. 
 
 
 
 
 
 9
GRÁFICAS DE FUNCIONES EXPONENCIALES 
 
 
ASÍNTOTA HORIZONTAL 
 
 La asíntota horizontal es una recta horizontal a la cual la gráfica de la función se va 
acercando cuando los valores en el dominio de la función aumentan o disminuyen. Si la 
gráfica de la función tiene esta asíntota, entonces ella nos describe el comportamiento al 
final de la gráfica. Las asíntotas no son parte de la gráfica, pero ayudan a trazarla. Como 
no son parte de la gráfica, por eso se trazan entrecortadas. 
 
 
DEFINICIÓN: La recta Ly = ( )ℜ∈L es una asíntota horizontal para la gráfica de la función 
f si a medida que x disminuye )( −∞→x o a medida que x aumenta ( )∞→x , los valores 
 de f se acercan a .L 
 Esta idea se estudia en Cálculo, usando el concepto del límite de una función. 
 
 
 
Recordemos lo siguiente acerca de los exponentes. 
 
 
LEYES DE LOS EXPONENTES: 
 
Sean nmba ,,, números reales, con .0,0 ≠≠ ba 
 I. nmnm aaa += IV. nmn
m
a
a
a −= 
 
 II. ( ) nmnm aa = V. m
mm
b
a
b
a =





 
 
 III. ( ) mmm baab = 
 
 
 
PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES: 
 
Sean a , n números reales, con 0≠a y .0>n 
 a) n
n
a
a 1=− 
 b) 10 =a 
 
 
 
 
 
 10
EJEMPLOS: Traza la gráfica de : 
 1) xxf 2)( = 
 La variable x puede ser cualquier número real, pero por conveniencia usaremos valores 
 enteros. 
 
 
 4− 
16
1
2 4 =− 




 ==−
16
1
2
1
2
4
4 
 3− 
8
1
2 3 =− 




 ==−
8
1
2
1
2
3
3 
 2− 22− =
4
1
 




 ==−
4
1
2
1
2
2
2 
 1− 
2
1
2 1 =− 




 ==−
2
1
2
1
2
1
1 
 0 120 = 
 1 221 = 
 2 422 = 
 3 2 83 = 
 4 1624 = 
 
 
 
 Propiedades de la función que se observan de la gráfica y de la tabla de valores : 
 
 1)el dominio )(D es ℜ 
 2) el campo de valores ( )CV es ),0( ∞ 
 3) no hay interceptos en el eje de x 
 4) el intercepto en el eje de y es (0,1) 
 5) la función es uno-a-uno 
 6) la función es creciente en todo su dominio 
 7) el eje de x (con ecuación )0=y es una asíntota horizontal para la gráfica 
 De la gráfica se observa que a medida que los valores de x disminuyen, los 
 valores de y se acercan a cero. En símbolo podemos expresar esta idea así: 
 A medida que ∞−→x , 0→y . 
 x y 
 11
 2) 
x
xg 




=
2
1
)( 
 
 OBSERVACIÓN: 
 xxx
xx
xg −===




= 2
2
1
2
1
2
1
)( 
 
 
 4− 1624 = 
 3− 823 = 
 2− 422 = 
 1− 221 = 
 0 120 = 
 1 
2
1
2 1 =− 
 2 
4
1
2 2 =− 
 3 
8
1
2 3 =− 
 4 
16
1
2 4 =− 
 
 
 Propiedades de la función que se observan de la gráfica y de la tabla de valores : 
 1) el dominio )(D es ℜ 
 2) el campo de valores ( )CV es ),0( ∞ 
 3) no hay interceptos en el eje de x 
 4) el intercepto en el eje de y es (0,1) 
 5) la función es uno-a-uno 
 6) la función es decreciente en todo su dominio 
 7) el eje de x (con ecuación 0=y ) es una asíntota horizontal para la gráfica 
 Esto ocurre porque a medida que los valores de x aumentan, los valores de y se 
 acercan a cero. En símbolos podemos expresar esta idea así: 
 A medida que ∞→x , 0→y . 
 x y 
 12
 OBSERVACIÓN: Si conocemos la gráfica de )(xfy = , podemos usarla para trazar la 
 gráfica de ),( xfy −= ya que la gráfica de )( xfy −= es la reflección a través del eje 
 de y de la gráfica de ).(xfy = 
 Si xxf 2)( = entonces xxf −=− 2)( . Por lo tanto, para trazar la gráfica de xy −= 2 , 
 pudimos haber reflejado la gráfica de xy 2= a través del eje de y . Esto quiere decir 
 que si el par ordenado ),( yx está en la gráfica de xy 2= entonces el par ordenado ),( yx− 
 está en la gráfica de .2 xy −= Por ejemplo, como el par ordenado (2,4) pertenece a la gráfica 
 de xy 2= entonces el par ordenado ( )4,2− pertenece a la gráfica de .2 xy −= O sea, se le 
 cambia el signo a la x de cada par ordenadoque está en la gráfica de xy 2= . El valor de y 
 se queda igual. De esta manera se obtienen los pares ordenados de la gráfica de .2 xy −= 
 
 A continuación, aparecen resumidas las propiedades que se observaron en los ejemplos 
 discutidos. Estas propiedades dependen de la base que tenga la función exponencial. 
 
 
 RESUMEN DE LAS PROPIEDADES PRESENTADAS EN LOS EJEMPLOS 
 ANTERIORES: 
 
 PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL xaxf =)( , para 1>a : 
 
 1) el dominio )(D es ℜ 
 2) el campo de valores ( )CV es ),0( ∞ 
 3) no hay interceptos en el eje de x 
 4) el intercepto en el eje de y es (0,1) 
 5) la función es uno-a-uno 
 6) la función es creciente en todo su dominio 
 7) el eje de x (con ecuación )0=y es una asíntota horizontal para la gráfica 
 Esto ocurre porque a medida que los valores de x disminuyen, los valores de y se 
 acercan a cero. En símbolos podemos expresar esta idea así: 
 A medida que ∞−→x , 0→y . 
 
 
 PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL xaxf =)( , para 10 << a : 
 
 1) el dominio )(D es ℜ 
 2) el campo de valores ( )CV es ),0( ∞ 
 3) no hay interceptos en el eje de x 
 4) el intercepto en el eje de y es (0,1) 
 5) la función es uno-a-uno 
 6) la función es decreciente en todo su dominio 
 7) el eje de x (con ecuación 0=y ) es una asíntota horizontal para la gráfica 
 Esto ocurre porque a medida que los valores de x aumentan, los valores de y se 
 acercan a cero. En símbolos podemos expresar esta idea así: 
 A medida que ∞→x , 0→y . 
 13
Veamos otro ejemplo de la gráfica de una función exponencial. 
 
 
EJEMPLO: Traza la gráfica de .13)( += xxf 
 
Haremos una tabla de valores para la función .f 
 
 
 2− 
9
1
113 2 =+− 




 ==−
9
1
3
1
3
2
2 
 1− 
3
1
113 1 =+− 




 ==−
3
1
3
1
3
1
1 
 0 2130 =+ ( )130 = 
 1 4131 =+ 
 2 10132 =+ 
 
 
 
 
Esta gráfica tiene una asíntota horizontal que es la recta .1=y 
 
 
 
 
OBSERVACIÓN: Si conocemos la gráfica de )(xfy = , entonces la gráfica de 
hxfy += )( es la gráfica de )(xfy = movida h unidades hacia arriba si 0>h 
 y h unidades hacia abajo si h < 0. En el caso del ejemplo anterior, la gráfica de 
13)( += xxf se puede obtener moviendo 1 unidad hacia arriba la gráfica de la 
 función xy 3= . Al mover la gráfica 1 unidad hacia arriba, también se mueve la 
 asíntota horizontal. Por lo tanto, la ecuación de la asíntota horizontal de la gráfica 
 de 13)( += xxf es la recta .1=y 
 
 
 
 
 x y 
 14
 
LA BASE e 
 
 Esta base es muy importante porque se usa para modelar situaciones que ocurren en la 
 
naturaleza. Como ya mencionamos antes, el número e es un número irracional. El número e 
está definido como el número al cual se acerca la expresión 
n
n





 + 11 , cuando ∞→n . Como 
se mencionó anteriormente, esta idea se relaciona con el concepto del límite de una función 
 
que se estudia en Cálculo. A este número se le llama e , en honor al matemático suizo 
 
Leonard Euler (1707-1783). La función exponencial base e se define como xexf =)( y 
 
es llamada la función exponencial natural. A continuación aparece su gráfica. 
 
 
 
EJEMPLOS: Traza la gráfica de: 
 
1) xexf =)( ( )72.2≈e 
 Como 1>e , la gráfica es creciente en todo su dominio. El intercepto en y es (0,1). La 
 recta 0=y (el eje de )x es la asíntota horizontal. Le aplican las restantes propiedades que 
 se enumeran para la función .1,)( >= aaxf x 
 
 
 2− 14.02 ≈−e 
 1− 3−e 37.0≈ 
 0 1 
 1 2.72 
 2 7.39 
 
 
 
 xexf =)( 
 
 x y 
 15
2) 2)( −= −xexg 
 Para trazar la gráfica de xey −= , reflejamos la gráfica de xey = a través del eje de .y 
 Como ya mencionamos, se cambia el signo de la x en cada par ordenado de la tabla 
 anterior. Los signos de la y se quedan igual. La gráfica de 2−= −xey se obtiene 
 moviendo 2 unidades hacia abajo la gráfica de xey −= . La asíntota horizontal también 
 se mueve 2 unidades hacia abajo. La ecuación de la asíntota horizontal es: .2−=y 
 
 
 xey −= 2)( −= −xexg 
 
 
 
 
ECUACIONES EXPONENCIALES – TIPO I 
 
Las ecuaciones exponenciales son ecuaciones con términos de la forma xa , 
donde 0>a , 1≠a . Estudiaremos primero ecuaciones exponenciales que tienen las 
bases iguales o bases distintas que se pueden igualar. Llamaremos a estas ecuaciones, 
Ecuaciones del Tipo I. Para resolver estas ecuaciones se usan las leyes de los exponentes 
y la propiedad que sigue. 
 
 Propiedad I: 
 Si qp aa = entonces .qp = 
 Esta propiedad se cumple porque las funciones exponenciales son funciones uno-a-uno. 
 
 
EJEMPLOS: Resuelve las siguientes ecuaciones: 
1) xx 31 22 =− 
2) 
5
1
5 31 =− x 
3) 13 84 −= tt 
4) 13 −=⋅ xxx eee 
5) 
5
4 1)(
2
e
ee xx =⋅ 
 
 16
SOLUCIÓN: 
 
1) xx 31 22 =− 
 Para resolver estas ecuaciones, las bases deben ser iguales para poder utilizar la 
 Propiedad I. Como en esta ecuación las bases son iguales, procedemos a igualar los 
 exponentes. 
 xx 31 =− 
 12 =− x 
 
2
1
−
=x ó 
2
1−=x 
 La solución de una ecuación se puede escribir como un conjunto, al cual llamamos el 
 conjunto solución (C.S.) de la ecuación. 
 





−=∴
2
1
..SC ( E l símbolo ∴ significa por lo tanto.) 
 
2) 
5
1
5 31 =− x 
 Como las bases no son iguales, procedemos a hacerlas iguales. 
 131 55 −− =x 
 Entonces: 131 −=− x 
 23 −=− x 
 
3
2
−
−=x ó 
3
2=x 
 ∴ C.S.=






3
2
 
 
3) 13 84 −= tt 
 
 Como las bases no son iguales, procedemos a hacerlas iguales 
 
 ( ) ( ) 1332 22 −= tt 
 
 336 22 −= tt 
 Entonces: 336 −= tt 
 33 −=t 
 1−=t 
 ∴ C.S.={ 1− } 
 
4) 13 −=⋅ xxx eee 
 
 Usando las leyes de los exponentes, efectuamos la operación del lado izquierdo 
 de la ecuación. 
 
 13 −+ = xxx ee 
 
 
 17
 Entonces: 14 −= xx 
 13 =x 
 
3
1=x 
 ∴ C.S.=






3
1
 
 
 
5) 
5
6 1)(
2
e
ee xx =⋅ 
 
 
5
6 12
e
ee xx =⋅ 
 
 Usando las leyes de los exponentes, efectuamos la operación del lado izquierdo 
 de la ecuación. 
 
 56
2 −+ = ee xx 
 
 Entonces: 56 2 −=+ xx 
 0562 =++ xx 
 0)1)(5( =++ xx 
 05 =+x ó 01 =+x 
 5−=x ó 1−=x 
 
 ∴ C.S.={ 1,5 −− } 
 
 
 
 
 
 
OBSERVACIÓN: 
 
¿ Qué pasaría si quisiéramos resolver la siguiente ecuación? 
 
 72 =x 
 
 En esta ecuación no se pueden igualar las bases. Se usan logaritmos para 
 resolver este tipo de ecuación. Los logaritmos los estudiaremos más adelante 
 y resolveremos la ecuación planteada. 
 
 
 
 
 
 
 18
APLICACIONES: 
 
Como habíamos mencionado antes,las funciones exponenciales tienen diversas 
aplicaciones, ya que hay situaciones en las distintas disciplinas cuyo comportamiento 
es exponencial. Veamos los siguientes ejemplos. 
 
EJEMPLOS: 
 
1) El número de bacterias en cierta colonia aumentó de 600 a 1,800 entre las 7:00 A.M. y 
 las 9:00 A.M. Suponiendo que el crecimiento es exponencial, el número de bacterias t horas 
 después de las 7:00 A.M. , está dado por la siguiente función: 2)3(600)(
t
tf = . Halla el 
 número de bacterias en la colonia a las: 
 a) 9:00 A.M. 
 b) 11:00 A.M. 
 
SOLUCIÓN: 
 
 a) Es importante observar que t es el número de horas después de las 7:00 A.M. 
 Por lo tanto, a las 9:00 A.M. han transcurrido 2 horas después de las 7:00 A.M. 
 2=∴ t 
 Al evaluar la función en 2=t obtenemos: 
 800,1)3(600)3(600)3(600)2( 12
2
====f 
 ∴ A las 9:00 A.M. hay 1,800 bacterias en el cultivo. 
 
 b) A las 11:00 A.M. han transcurrido 4 horas después de las 7:00 A.M. 
 4=∴ t 
 Al evaluar la función en 4=t obtenemos: 
 400,5)3(600)3(600)4( 22
4
===f 
 ∴ A las 11:00 A.M. hay 5,400 bacterias en el cultivo. 
 
 
2) La función hehD 4.05)( −= puede usarse para hallar el número de miligramos presentes 
 en la sangre de un paciente, h horas después de habérsele admnistrado cierta droga. 
 ¿Cuántos miligramos están presentes en la sangre del paciente después de 6 horas de 
 habérsele administrado la droga? 
 
 SOLUCIÓN: 
 
 Evaluamos la función para 6=h , ya que h representa el número de horas después de habérsele 
 administrado la droga al paciente. 
 45.055)6( 4.2)6(4.0 ≈== −− eeD mg (miligramos) ( Se usó una calculadora científica para 
 aproximar este resultado. La calculadora 
 nos permite evaluar xe .) 
 
 
 19
 
EJERCICIOS DE PRÁCTICA I : 
 
 1) Traza la gráfica de las siguientes funciones. Traza también la gráfica de la asíntota, 
 si es distinta al eje de .x 
 
 a) xxf 3)( = 
 b) 43)( −= −xxg 
 c) 32 += xy 
 d) 3)( += xexf 
 
 2) Resuelve las siguientes ecuaciones: 
 
 a) 152 33 −+ = xx 
 b) 42 12 =−x 
 c) 
7
1
7 3 =+t 
 d) 124
2
)( eee xx =⋅ 
 
3) Suponer que una substancia se va desintegrando al cabo de los años. La función 
 5)2(100)(
t
tq
−
= nos permite hallar la cantidad en gramos, que queda de esta 
 substancia al cabo de t años. ¿Cuántos gramos quedan de esta substancia al cabo 
 de 10 años ? 
 
4) Suponer que para cierta colonia de bacterias, la cantidad de bacterias presentes al 
 cabo de t horas está dada por la función tetQ 3.0000,15)( = . ¿Cuántas bacterias están 
 presentes al cabo de 5 horas? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 20
FUNCIONES LOGARÍTMICAS 
Comenzaremos definiendo lo que es un logaritmo. 
 
DEFINICIÓN : Sea a un número real positivo diferente de 1. El exponente único y 
 tal que xa y = , se llama el logaritmo de x a la base a ( o con base a ) y se denota por 
 .log yxa = 
 
 La definición anterior se puede expresar de la siguiente forma: 
 xy alog= si y sólo si 
yax = , para todo 0>x , 0>a , 1≠a , ℜ∈y . 
 
 Las dos ecuaciones presentadas en la definición anterior son equivalentes. Esto significa 
que una implica la otra. A la primera ecuación se le llama la forma logarítmica y a la segunda 
se le llama la forma exponencial. Las bases son iguales en ambas formas. La variable y es el 
exponente en la segunda ecuación y es el logaritmo en la primera ( ver el diagrama que sigue). 
Esto nos indica que el logaritmo es un exponente. 
 _____________________ 
 ↓ exponente ↓ 
yxa =log xa
y = 
 ↑ _______________________ ↑ 
 base 
 
EJEMPLO: Cambia a forma logarítmica: 
 1) 823 = 3) 5 10 = 5) 3=xe 
 2) 
16
1
4 2 =− 4) 000,1103 = 
 
 SOLUCIÓN: 
 
 Usemos el diagrama anterior para hacer el cambio. El exponente se iguala al logaritmo. 
 1) 38log2 = 3) 01log5 = 5) xe =3log 
 2) 2
16
1
log4 −= 4) 3000,1log10 = 
 
 
EJEMPLO: Cambia a forma exponencial: 
 1) 481log3 = 3) 11.0log10 −= 5) te 24log = 
 2) 1
5
1
log5 −=





 4) 5)1(log2 =+x 
 
SOLUCIÓN: 
 
Usemos el diagrama anterior para hacer el cambio. El logaritmo es el exponente. 
1) 8134 = 3) 1.010 1 =− 5) 42 =te 
2) 
5
1
5 1 =− 4) 125 += x 
 21
EJEMPLO: Halla el valor de los siguientes logaritmos: 
1) 25log5 4) 3log9 
2) 1log4 5) 32
1
log2 
3) 
3
1
log3 
 
SOLUCIÓN: 
 
Al buscar el logaritmo estamos buscando un exponente. 
1) 2 porque 2552 = 
2) 0 porque 140 = 
3) 1− porque 
3
1
3 1 =− 
4) 
2
1
 porque 399 2
1
== 
5) 5− porque 
32
1
2
1
2
5
5 ==− 
 
 
 
DEFINICIÓN DEL LOGARITMO COMÚN: 
 El logaritmo común es el que tiene base 10. Se define así: 
 xx 10loglog = , para todo 0>x . 
 
 EJEMPLO: 1) 100log100log 10= 
 2) 4log4log 10= 
 
 
 
DEFINICIÓN DEL LOGARITMO NATURAL: 
El logaritmo natural es el que tiene base .e se define así: 
 ln xx elog= , para todo 0>x . 
 
 EJEMPLO: 1) ln 3 = 3log e 
 2) ln 1 = 1loge 
 
 
OBSERVACIÓN: De ahora en adelante al escribir un logaritmo en base 10 y en 
 base e , lo haremos como dicen las definiciones anteriores. 
 
 
 
 
 
 22
 
PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS: PARTE I 
 
Las siguientes propiedades vienen como consecuenia de que el logaritmo es un exponente. 
 
Sea .1,0 ≠> aa 
I. 01log =a porque 1
0 =a 
 
 EJEMPLOS: 1) 01log6 = 2) 01log2 = 3) ln 1 = 0 
 
 
 
II. 1log =aa porque aa =
1 
 
 EJEMPLOS: 1) 15log5 = 2) 110log = 3) ln e = 1 
 
 
 
III. xa xa =log porque 
xx aa = 
 
 EJEMPLOS: 1) 104log 104 = 
 2) 
3
1
2log2log 3
1
2
3
2 == 
 
 
IV. xa xa =log , para 0>x 
 
 Razón: Esta propiedad se obtiene de la definición de logaritmo, la cual establece: 
 si xy alog= entonces xa
y = ó xa xa =log . 
 
 EJEMPLOS: 1) 43 4log 3 = 
 
 2) 5 4
3
log 5
 = 
4
3
 
 
 3) 10 3log = 3 
 
 3) 22 =nle 
 
 
 
 
 
 
 
 23
 
FUNCIONES LOGARÍTMICAS 
 
Usamos el concepto de un logaritmo para definir una función logarítmica. 
 
 
DEFINICIÓN: 
Sea 0>a , .1≠a Sea x cualquier número real positivo. La función logarítmica con base a 
 se define por xxf alog)( = ó xy alog= , donde xy alog= si y sólo si 
yax = . 
 
 
 
 
GRÁFICAS DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS 
 
 
ASÍNTOTA VERTICAL 
 
 La asíntota vertical es una recta vertical a la cual la gráfica de la función se acerca 
cuando la variable independiente ( x ), se acerca a un valor fijo c . Si la gráfica tiene este 
comportamiento, se diceentonces que la recta cx = es una asíntota vertical para la gráfica. 
La gráfica de una función nunca interseca la asíntota vertical. 
 
 
DEFINICIÓN: La recta cx = es una asíntota vertical para la gráfica de la función f 
si a medida que los valores de x se acercan a un número real c , los valores de la función 
aumentan ( ∞→)(xf ) o disminuyen ( −∞→)(xf ). 
Como ya habíamos mencionado, este comportamiento se estudia en Cálculo, usando el 
concepto del límite de una función. 
 
 
 
 
 
DOMINIO DE UNA FUNCIÓN LOGARÍTMICA 
 
 El dominio ( )D de una función logarítmica es el subconjunto de números reales para 
 los cuales la expresión a la cual le hallamos el logaritmo ( o sea, el argumento de la función), 
 es siempre un número positivo. Esto lo establece la definición de la función logarítmica que 
 aparece al principio de esta página, cuando dice que la función xxf alog)( = está definida 
 cuando x es un número real positivo. Para hallar este dominio formamos una desigualdad 
 colocando el argumento de la función mayor que cero y resolviendo. 
 
 
 
 
 
 
 24
EJEMPLO: Traza la gráfica de: 
 1) xxf 2log)( = 
 xy 2log= 
 xy 2log= si y solo si x
y =2 
 
 Dominio: 0>x 
 ),0( ∞=∴ D 
Para hacer la tabla de valores le asignaremos valores a la variable x , para los cuales x2log 
resulte cómodo de hallar . Siempre es conveniente usar el 1 y la base del logaritmo, así como 
potencias enteras de la base del logaritmo. Como la base es 2, podemos usar: 422 = ; 
823 = ; 
2
1
2 1 =− ; 
4
1
2 2 =− ; entre otros. 
 xy 2log= ( yx =2log es equivalente a x
y =2 ) 
 
 ( Esta tabla se puede también construir asignando valores a 
 la variable y , y sustituyendo estos valores en la ecuación 
 
4
1
 -2 xy =2 . Los valores de la variable y , pueden ser cualquier 
 
2
1
 -1 número real.) 
 1 0 
 2 1 
 4 2 
 8 3 
 
 
Propiedades de la función que se observan de la gráfica y de la tabla de valores : 
 1) el dominio ( D ) es ),0( ∞ 
 2) el campo de valores ( )CV es ℜ 
 3) no hay intercepto en el eje de y 
 4) el intercepto en el eje de x es (1,0) 
 5) la función es uno-a-uno 
 6) la función es creciente en todo su dominio 
 7) el eje de y (con ecuación )0=x es una asíntota vertical para la gráfica 
 De la gráfica se observa que a medida que los valores de x se acercan a cero por 
 la derecha* , los valores de y disminuyen en sentido negativo. Podemos expresar esta 
 idea así: A medida que +→ 0x , −∞→y . 
x y 
 25
* Decir que los valores de x se acercan al cero por la derecha quiere decir que los valores 
 de la variable x serán números mayores de cero, empezando con números que están lejos 
 del cero y terminando con números cercanos al cero. 
 
2) xxf
2
1log)( = 
 Dominio: 0>x 
 ),0( ∞=∴ D 
 
 yx =
2
1log ó x
y
=





2
1
 
 
 
 
4
1
 2 
 
2
1
 1 
 1 0 
 2 -1 
 4 -2 
 
 
 
 
 Propiedades de la función que se observan de la gráfica y de la tabla de valores : 
 
 1) el dominio ( D ) es ),0( ∞ 
 2) el campo de valores ( )CV es ℜ 
 3) no hay intercepto en el eje de y 
 4) el intercepto en el eje de x es (1,0) 
 5) la función es uno-a-uno 
 6) la función es decreciente en todo su dominio 
 7) el eje de y (con ecuación )0=x es una asíntota vertical para la gráfica 
 De la gráfica se observa que a medida que los valores de x se acercan a cero por 
 la derecha, los valores de y aumentan en sentido positivo. Podemos expresar esta idea 
 así: A medida que +→ 0x , ∞→y . 
 x y 
 26
 
 RESUMEN DE LAS PROPIEDADES PRESENTADAS EN LOS EJEMPLOS 
 ANTERIORES PARA LA FUNCIÓN: xxf alog)( = 
 
 1) el dominio ( D ) es ),0( ∞ 
 2) el campo de valores ( )CV es ℜ 
 3) no hay intercepto en el eje de y 
 4) el intercepto en el eje de x es (1,0) 
 5) la función es uno-a-uno 
 6) la función es decreciente si 0 < 1<a 
 7) la función es creciente si 1>a 
 7) el eje de y (con ecuación )0=x es una asíntota vertical para la gráfica 
 
 
 
 
EJEMPLO: Traza la gráfica de )1(log)( 2 −= xxf . 
 
 Dominio: 
 01 >−x 
 1>x 
 
 Asíntota vertical: 
 Para hallar la asíntota vertical se iguala el argumento de la función a cero y se resuelve, 
 ya que la gráfica de una función logarítmica puede estar a la derecha o a la izquierda de la 
 asíntota vertical. 
 01 =−x 
 1=x 
 Por lo tanto, la recta 1=x es una asíntota vertical para la gráfica. 
 
 Para hallar los valores de x de la tabla, igualamos el argumento a 1 , a 2 y a potencias 
 enteras de 2, como por ejemplo 4 y 8 ( 422 = , 823 = ). 
 
 
 2 0 11 =−x , 2=x , 0)2( =f 
 3 1 21 =−x , 3=x , 1)3( =f 
 5 2 41 =−x , 5=x , 2)5( =f 
 9 3 81 =−x , 9=x , 3)9( =f 
 
 
 
 OBSERVACIÓN: Sea )(xfy = . La gráfica de )( hxfy −= es la gráfica de la función f 
 movida h unidades hacia la derecha si 0>h y h unidades hacia la izquierda si .0<h 
 Por lo tanto, para trazar la gráfica de )1(log2 −= xy , pudimos haber movido la gráfica de 
 xy 2log= ( la cual aparece en la página 19), 1 unidad hacia la derecha. 
 
 x y 
 27
CONTINUACIÓN DEL EJEMPLO ANTERIOR: 
 
 
 
 
 
 
EJERCICIOS DE PRÁCTICA II: 
 
1) Cambia a forma logarítmica: 
 a) 12553 = c) 10 =e 
 b) 01.010 2 =− d) 327 3
1
= 
 
2) Cambia a forma exponencial: 
 a) 3000,1log = c) 
2
1
5log25 = 
 b) 
3
2
4log8 = d) 13
1
log3 −=





 
3) Halla el valor de: 
 a) 001.0log c) ln 10e e) 7log 55 
 b) 
32
1
log2 d) 4log
4
1 f) 
3lne 
 
4) Halla el dominio y la asíntota vertical para la gráfica de las siguientes funciones: 
 a) xxf 4log)( = c) )3log()( += xxh 
 b) 1)(log3)( 2 +−= xxg d) )1log()( xxp −= 
 
5) Traza la gráfica de las siguientes funciones. Traza también la gráfica de la asíntota, si 
 es distinta al eje de .y 
 a) =)(xf x3log c) =)(xF 1log2 +x 
 b) xxg
3
1log)( = d) )3(log)( 2 −= xxG 
 
 28
 
RELACIÓN ENTRE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LA FUNCIÓN 
LOGARÍTMICA 
 
 Sea xaxf =)( , con 0>a , 1≠a y .ℜ∈x 
 Sea xxg alog)( = , con 0>a , 1≠a y .0>x 
 Tanto f como g son funciones uno-a-uno. 
 
Tenemos que: 
 a) ( f ))(xg = xaxfxgf xa a ===
log)(log))(( , para todo x en el dominio de g 
 b) xaagxfgxfg xa
x ==== log)())(())((  , para todo x en el dominio de f 
 
 Además, tenemos que: 
 a) Dominio de la función logarítmica = Campo de Valores de la función exponencial = ),0( ∞ 
 b) Campo de Valores de la función logarítmica = Dominio de la función exponencial = ℜ 
 
 Por lo tanto, la función exponencial base a ( xaxf =)( ) y la función logarítmica 
 base a ( xxg alog)( = ) sonfunciones inversas. O sea, una función es la inversa de la otra. 
 
 
 
EJEMPLO: En el mismo sistema cartesiano, traza la gráfica de: 
 a) xy 2= ; xy 2log= 
 b) xey = ; =y ln x 
 
 SOLUCIÓN: 
 
a) b) 
 
 
Como estas parejas de funciones son funciones inversas, entonces sus gráficas son 
simétricas con respecto a la recta xy = . En general, si tenemos la gráfica de xay = y la 
reflejamos a través de la recta xy = , obtenemos la gráfica de xy alog= y viceversa. 
 
 29
 
EJEMPLO: Halla la función inversa para las siguientes funciones: 
 
 1) xxf 5)( = 
 2) xxf log)( = 
 3) 12)( += xxh 
 4) )1(ln)( −= xxg 
 
 
 
SOLUCIÓN: 
 
 Todas las funciones de este ejemplo son funciones uno-a-uno, ya que son funciones 
 exponenciales y logarítmicas. 
 
 1) Como la función inversa de xaxf =)( es xxg alog)( = , entonces: 
 xxf 5
1 log)( =− . 
 
2) Como la función inversa de xxf alog)( = es 
xaxg =)( , entonces: 
 xxf 10)(1 =− . 
 
3) 12)( += xxh 
 12 += xy 
 12 += yx ( Para hallar la función inversa se intercambian x y y .) 
 1log2 += yx ( Se cambió la ecuación a forma logarítmica.) 
 yx =−1log2 ( Se resolvió para .)y 
 1log)( 2
1 −=∴ − xxh (Se cambió y por ).(1 xh− ) 
 
4) )1(ln)( −= xxg 
 )1(ln −= xy 
 )1(ln −= yx 
 1−= yex 
 yex =+1 
 1)(1 +=∴ − xexg 
 
Recuerda los siguientes pasos para hallar la función inversa: 
 1) Verificar que la función es uno-a-uno. 
 2) Cambiar la notación funcional por .y 
 3) Intercambiar x y .y 
 4) Resolver para la variable y , la ecuación que resultó en el paso anterior. 
 5) Cambiar la variable y por la notación de función inversa. 
 
 
 30
PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS: PARTE II 
 
Sean NM , y a números positivos con .1≠a Sea r cualquier número real. 
 
I. ( )NMalog = NM aa loglog + 
II. NM
N
M
aaa logloglog −=





 
III. MrM a
r
a loglog = 
IV. NM aa loglog = si y sólo si NM = 
 
Para trabajar estos ejemplos haremos referencia a las propiedades que aparecen al principio 
de esta página. 
 
EJEMPLO: Escribe las siguientes expresiones como una suma y/o resta de logaritmos. 
Expresa las potencias como factores. 
1) 3 5log +xxa 2) ln 3
2
)1( +a
b
 
 
 SOLUCIÓN: 
1) 33 5loglog5log ++=+ xxxx aaa ( Propiedad I ) 
 = 3
1
)5(loglog ++ xx aa ( Se cambió la notación del radical 
 por la notación exponencial.) 
 = )5(log
3
1
log ++ xx aa ( Propiedad III ) 
2) ln =
+ 3
2
)1(a
b
ln −2b ln 3)1( +a ( Propiedad II ) 
 = 2 ln 3−b ln )1( +a ( Propiedad III ) 
 
 
 
EJEMPLO: Halla el valor exacto de: 
 
 1) 4log2log 88 + 
 
 2) 9ln6ln −e 
 
 SOLUCIÓN: 
 
 1) 18log)42(log4log2log 8888 ==⋅=+ 
 Una suma de logaritmos que tienen la misma base es igual al logaritmo del producto de los 
 números o expresiones a los cuales se les está hallando el logaritmo. O sea, tenemos el 
 lado derecho de la Propiedad I y lo igualamos al lado izquierdo de dicha propiedad. 
 
 
 31
CONTINUACIÓN DEL EJEMPLO ANTERIOR: 
 
2) 
3
2
9
69
6
ln
9ln6ln ===− ee ( Recuerda: xa xa =log ) 
 Una resta de dos logaritmos que tienen la misma base es igual al logaritmo de la división de 
 los números o expresiones a los cuales se les está hallando el logaritmo. O sea, tenemos el 
 lado derecho de la Propiedad II y lo igualamos al lado izquierdo de dicha propiedad. 
 
 
 
 
 ECUACIONES LOGARÍTMCAS 
 
 Para resolver las ecuaciones logarítmicas usaremos la forma exponencial de la ecuación 
 y las propiedades de los logaritmos. Todo dependerá del tipo de ecuación que vayamos 
 a resolver. 
 
EJEMPLO: Resuelve las siguientes ecuaciones: 
 
 1) 2)24(log3 =−x 
 2) 1)2(log)6(log 55 =+++ xx 
 3) 1)3log()2log( =−− xx 
 4) 8log)2(log 44 =+t 
 
 
SOLUCIÓN: 
 
1) 2)24(log3 =−x 
 Para resolver esta ecuación la cambiamos a la forma exponencial. 
 2432 −= x 
 9 = 24 −x 
 11 = x4 
 x=
4
11
 
 El valor obtenido es solución si al ser sustituido en el argumento de la ecuación original, 
 ( o en la base*, según sea el caso), siempre obtenemos un número positivo, ya que el 
 logaritmo de un número negativo no está definido en el conjunto de los números reales. 
 O sea: 4 02
4
11 >−





 
 11 2− > 0 
 9 > 0 
 ∴ C.S = 






4
11
. 
 
* En el caso de que la variable esté en la posición de la base, tampoco la variable puede 
 tener valor de 1. 
 32
2) 1)2(log)6(log 55 =+++ xx 
 
 SOLUCIÓN: 
 Usamos la Propiedad I de los logaritmos, que aparece en la página 30. Convertimos la suma 
 de dos logaritmos con la misma base, en el logaritmo de una multiplicación. 
 
 [ ] 1)2)(6(log5 =++ xx 
 )2)(6(51 ++= xx (Cambiamos la ecuación a la forma exponencial.) 
 1285 2 ++= xx (Observa que en este caso se obtuvo una ecuación cuadrática.) 
 ó 
 051282 =−++ xx (Igualamos la ecuación cuadrática a cero para resolverla usando 
 el método de factorización.) 
 0782 =++ xx 
 0)1)(7( =++ xx 
 07 =+x ó 01 =+x 
 7−=x 1−=x 
 7−=x no es una solución porque al sustituirse en 6+x obtenemos un número negativo. 
 Sin embargo al sustituir 1−=x en 6+x y en 2+x , obtenemos números positivos. 
 ∴ C.S. = { }1− 
 
 
3) 1)3log()2log( =−− xx 
 
 SOLUCIÓN: 
 Usamos la Propiedad II de los logaritmos, que aparece en la página 30. Usando esta 
 propiedad convertimos la resta de dos logaritmos con la misma base, en el logaritmo de 
 una división. 
 1
3
2
log =
−x
x
 
 
3
2
101
−
=
x
x
 
 
3
2
10
−
=
x
x
 ( Observa que se obtuvo una ecuación fraccionaria.) 
 xx 2)3(10 =− ( Se eliminó el denominador.) 
 xx 23010 =− 
 308 =x 
 
8
30=x 
 
4
15=x 
 Se obtiene un número positivo al sustituir 
4
15
 en x2 y en .3−x 
 ∴ C.S. = 






4
15
 
 
 33
 
4) 8log)2(log 44 =+t 
 
 SOLUCIÓN: Usamos la Propiedad IV de los logaritmos, que aparece en la página 24. 
 Si NM aa loglog = entonces NM = . 
 Por lo tanto, 
 82 =+t 
 6=t 
 Se obtiene un número positivo al sutituir 6=t en .2+t 
 ∴ C.S. = {6} 
 
 
TEOREMA DE CAMBIO DE BASE: 
 
 Sean ba, y M números reales positivos con .1,1 ≠≠ ba Entonces, 
 
a
M
M
b
b
a log
log
log = . 
 
 Este teorema es especialmente útil para aproximar , usando una calculadora, el valor de 
 los logaritmos cuya base es distinta de 10 y de .e 
 
 EJEMPLO: Aproxima el .3log5 
 
 SOLUCIÓN: 
 
 6826.0
5log
3log
3log5 ≈= 1 
 
 El logaritmo dado se cambió a una fracción en la cual el logaritmo del numerador, al 
 igual que el logaritmo del denominador, tienen base 10. Se recomiendacambiar la base 
 a base 10 ó a basee porque las calculadoras sólo tienen logaritmos en base 10 y base e . 
 Se obtiene la misma respuesta si cambiamos el ejercicio a base .e 
 
 6826.0
5ln
3ln
3log5 ≈= 
 
 EJEMPLO: Halla el valor exato de: .4log6log 62 ⋅ 
 
 SOLUCIÓN: 
 
 24log
2log
4log
6log
4log
2log
6log
4log6log 262 ===⋅=⋅ 
 
 Primero usamos el Teorema de Cambio de Base para cambiar cada logaritmo. Al final 
 volvemos a usar este teorema para cambiar la fracción a un logaritmo. 
 
 34
 
ECUACIONES EXPONENCIALES – TIPO II 
Estudiaremos en esta parte ecuaciones exponenciales con bases distintas que no se 
pueden igualar. Usaremos logaritmos para resolver este tipo de ecuación. 
 
 
EJEMPLO: Resuelve las siguientes ecuaciones: 
 
 1) 72 =x 
 
 2) 6)3(8 =t 
 
 3) xx 53 12 =− 
 
 4) 13 2 −+ = xxe 
 
 
SOLUCIÓN: 
 
1) 72 =x 
 
 Observamos que no se pueden igualar las bases. Por lo tanto, no podemos usar el 
 método que habíamos explicado anteriormente. En este caso cambiamos la ecuación 
 a la forma logarítmica. 
 x=7log2 ó 7log2=x 
 
 Usando el Teorema de Cambio de Base podemos escribir la solución de esta otra 
 forma: 
 
2log
7log
7log2 ==x 
 
 
 
2) 6)3(8 =t 
 
8
6
3 =t ( Se despejó para la expresión exponencial.) 
 
4
3
3 =t 
 t=





4
3
log3 ó 




=
4
3
log3t ( Se cambió la ecuación a la forma logarítmica.) 
 
3log
4
3
log 





= 
 
 
 
 35
 
3) xx 53 12 =− 
 
Usaremos la propiedad IV de la página 24, la cual establece una equivalencia o una implicación 
doble. Usaremos esta implicación: 
 Si NM = , entonces .loglog NM aa = 
Podemos usar cualquier base permitida. La base es un número real positivo y distinto de 1. 
Como explicamos anteriormente, se recomienda usar la base 10 y la base e . 
Se aplica log a ambos lados. 
 
 
log xx 5log3 12 =− 
5log3log)12( xx =− ( Propiedad III de la página 30) 
 Al usar esta propiedad convertimos el exponente en 
 un factor. 
5log3log3log2 xx =− 
3log5log3log2 =− xx ( Se agruparon los términos que tienen la variable x .) 
3log)5log3log2( =−x ( Se factorizó usando x como factor común.) 
 
5log3log2
3log
−
=x (Solución exacta de la ecuación) 
 
 
 
4) 13 2 −− = xxe 
 
Es recomendable usar ln, ya que una de las bases es .e El resto del proceso es similar al ejemplo 
anterior. 
 13 2lnln −− = xxe 
 2ln)1(ln)3( −=− xex 
 2ln)1()1)(3( −=− xx ( )1ln =e 
 2ln2ln3 −=− xx 
 2ln32ln −=− xx 
 2ln3)2ln1( −=−x 
 
2ln1
2ln3
−
−=x (Solución exacta de la ecuación) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 36
APLICACIONES 
 
1) Una colonia de bacterias crece de acuerdo a la siguiente función: tetN 045.0100)( = , 
 donde N se mide en gramos y t representa el tiempo y se mide en días. 
 ¿Qué tiempo le tomará alcanzar 140 gramos? 
 
 SOLUCIÓN: 
 tetN 045.0100)( = , 
 140 = te 045.0100 ( Se sustituyó )(tN por 140.) 
 
 Usaremos logaritmo, ya que la variable de la ecuación está en la posición del exponente. 
 
 te 045.0
100
140 = ( Se despejó para la expresión que tiene el exponente.) 
 1.4 = te 045.0 
 ln 1.4 = t045.0 ( Se cambió la ecuación a la forma logarítmica.) 
 
 t=
045.0
4.1ln
 ó 5.7
045.0
4.1ln ≈=t días 
 
 
2) Se puede medir la concentración de alcohol en la sangre de una persona. Suponer que 
 el riesgo R ( dado como un por ciento) de tener un accidente cuando se maneja un auto 
 se puede modelar por la ecuación, xkeR 3= , donde x es la concentración de alcohol 
 en la sangre y k es una constante. 
 a) Si una concentración de alcohol en la sangre de 0.06, resulta en un riesgo de 10% 
 de tener un accidente, halla el valor de .k 
 b) Usando el valor de k obtenido, ¿ cual es el riesgo de tener un accidente cuando 
 la concentración de alcohol en la sangre es de 0.17 ? 
 
 SOLUCIÓN: 
 
 a) 06.0=x 10=R 
 
 xkeR 3= 
 10 = 3 )06.0(ke 
 ke 06.0
3
10 = ( Se despejó para la expresión exponencial.) 
 
 Cambiamos la ecuación a la forma logarítmica porque la variable para la que 
 vamos a resolver está en el exponente. 
 




=
3
10
ln06.0 k 
 07.20
06.0
3
10
ln
≈






=k 
 37
 CONTINUACIÓN DEL EJEMPLO ANTERIOR: 
 
 b) 17.0=x , 07.20≈k 
 xkeR 3= 
 )17.0(07.203eR = 91≈ 
 
 ∴El riesgo es de aproximadamente 91% . 
 
 
 
 
EJERCICIOS DE PRÁCTICA III: 
 
1) Halla la función inversa para las siguientes funciones: 
 a) xxf 4)( = 
 b) xxg 5log)( = 
 c) 23)( −= xxh 
 d) )1(ln)( += xxp 
 
2) Escribe la siguiente expresión como una suma y/o resta de logaritmos. 
 Expresa las potencias como factores. 
 
yz
xx
b 4
35 2
log
+
 
 
3) Escribe como un solo logaritmo: 
 xxx ln)1(ln3ln2 −−+ 
 
4) Halla el valor exacto de: 
 a) 9log4log 66 + 
 b) 10 5log20log − 
 c) 9log5log 53 ⋅ 
 
 
5) Resuelve las siguientes ecuaciones: 
 a) 3)13(log2 =+x 
 b) 1)3log(log =++ xx 
 c) 2)4(log)12(log 33 =−−− xx 
 d) )12(log)3(log 22 −=+ xx 
 e) 27 =x 
 f) 123 −= xx 
 
6) El tamaño de una población de insectos al cabo de t días, está dado por la función 
 .500)( 02.0 tetP = ¿ Cuándo esta población tendrá 1,000 insectos ? 
 
 38
EJERCICIOS ADICIONALES: 
 
1) Traza la gráfica de las siguientes funciones. Traza también la gráfica de la asíntota, si 
 es distinta al eje de x o al eje de .y 
 a) )2(3)( xxf = 
 b) 3log)( 2 −= xxg 
 c) )1(log)( 3 −= xxh 
 
2) Resuelve las siguientes ecuaciones: 
 a) 432 −= xx ee d) 212 65 −+ = xx 
 b) xx 27 273
2
=− e) 1)42(log =− x 
 c) 38 =t f) )6(ln)4(lnln +=−+ xxx 
 
3) Halla el valor exacto de: 
 a) 125log5 d) 
3log10 
 b) 
16
1
log4 e) 
5ln2ln +e 
 c) eln f) 
4log
25log
5log
4log ⋅ 
 
4) Escribe la siguiente expresión como una suma y/o resta de logaritmos. 
 Expresa las potencias como factores. 
 
56
log
bc
a
 
 
5) Escribe como un solo logaritmo: 
 52 ln)ln(
3
1
ln3 yyxy −+ 
 
6) Halla el dominio y la asíntota vertical para la gráfica de las siguientes funciones: 
 a) xxf ln)( = 
 b) )5(log)( 7 += xxg 
 
7) Halla la función inversa para las siguientes funciones: 
 a) xexf =)( 
 b) )5(log)( 4 += xxg 
 
8) La función tetP 009.0266)( = describe la población de Estados Unidos a partir del 
 año 1997, medida en millones. 
 a) ¿Cuál será la población de Estados Unidos para el año 2020 ? 
 b) ¿Qué tiempo tomará para que la población de Estados Unidos sea 500 millones? 
 
 
 
 39
POS-PRUEBA 
 
1) Halla el valor exacto de: 
 a) 32log2 
 b) 10log 
 c) ln1 
 d) 3log 55 
 e) 3ln2ln −e 
 
 
2) Traza la gráfica de las siguientes funciones. Traza también la gráfica de la asíntota, si 
 es distinta al eje de x o al eje de .y 
 a) xxf 3)( = 
 b) 
xxg 




=
2
1
)( 
 c) xxh 3log)( = 
 d) xxk
3
1log)( = 
 
3) Halla el dominio y la ecuación de la asíntota vertical para la gráfica de las siguientes 
 funciones: 
 a) xxf 5log)( = 
 b) )4(log)( 3 −= xxg 
 
 
4) Halla la función inversa para las siguientes funciones: 
 a) xxf 5)( = 
 b) xxg 6log)( = 
 c) )2(ln)( −= xxk 
 
 
5) Escribe la siguiente expresión como una suma y/o resta de logaritmos. Expresa las 
 potencias como factores. 
 
2
3
log
xy
z
 
 
6) Escribe como un solo logaritmo: 
 yxx 3333 log2)1(log4loglog −−++ 
 
 
7) Halla el valor exacto de: 
 
5log
16log
4log
5log ⋅ . 
 
 40
 
8) Resuelve las siguientes ecuaciones: 
 a) 61 22 =−x 
 b) 
5
1
5 3 =+x 
 c) 72 =x 
 
 d) xx 43 21 =− 
 
 e) 3)14(log2 =−x 
 
 f) 3)2(loglog 22 =++ xx 
 
 
9) Una substancia se desintegra de acuerdo a la función 5)2(100)(
t
tQ
−
= , donde Q (en gramos) 
 es la cantidad presente al cabo de t años. ¿ Cuál será la cantidad presente al cabo de 
 15 años ? 
 
 
10) Suponer que la función tePtP 04.00)( = , donde 0P representa la población incial y 
 t representa el tiempo medido en años, se usa para predecir el crecimiento poblacional 
 de cierta ciudad. Si la población actual de la ciudad es 50,000 habitantes, ¿ cuánto 
 tiempo le tomará a la ciudad duplicar esta población ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 41
RESPUESTAS: 
 
RESPUESTAS DE LA PRE-PRUEBA: 
 
1) a) 5 b) 1 c) 0 d) 3 e) 
3
2
 
 
2) a) c) 
 
 
 
 b) d) 
 
 
 
 
3) a) ),0( ∞=D ; 0=x 
 b) ;),4( ∞=D 4=x 
 
4) a) xxf 5
1 log)( =− 
 b) xxg 6)(1 =− 
 c) 2)(1 +=− xexk 
 
5) yxz log2loglog
3
1 −− 
 
 42
CONTINUACIÓN DE LAS RESPUESTAS DE LA PRE-PRUEBA: 
 
6) 
23
)1(4
log
y
xx −
 
7) 2 
8) a) 7 d) 
4log3log2
3log
+
 
 b) 4− e) 
4
9
 
 c) 
2log
7log
 f) 2 
 
9) 12.5 gramos 
 
10) aproximadamente 17.3 años 
 
 
 
 
RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS DE PRÁCTICA I: 
 
 1) a) c) 
 
 
 
 
 b) d) 
 
 
 43
CONTINUACIÓN DE LAS RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS 
DE PRÁCTICA I: 
 
 
2) a) }6{− 
 b) 






2
3
 
 
 c) }4{− 
 
 d) }2,6{− 
 
3) 25 gramos 
 
4) aproximadamente 67,225 bacterias 
 
 
 
 
 
RESPUESTAS DE LOS EJERCICI OS DE PRÁCTICA II: 
 
1) a) 3125log5 = c) ln 1 = 0 
 b) 201.0log −= d) 
3
1
3log27 = 
 
2) a) 000,1103 = c) 525 2
1
= 
 b) 48 3
2
= d) 
3
1
3 1 =− 
 
 
3) a) 3− d) 1− 
 b) 5− e) 7 
 c) 10 f) 3 
 
 
4) a) ),0( ∞=D ; 0=x 
 b) )0,(−∞=D ; 0=x 
 c) ),3( ∞−=D ; 3−=x 
 d) )1,(−∞=D ; 1=x 
 
 
 
 
 
 44
CONTINUACIÓN DE LAS RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS 
DE PRÁCTICA II: 
 
 
 a) c) 
 
 
 b) d) 
 
 
 
 
RESPUESTAS DE LOS EJERCICI OS DE PRÁCTICA III: 
 
1) a) xxf 4
1 log)( =− c) 2log)( 3
1 +=− xxh 
 b) xxg 5)(1 =− d) 1)(1 −=− xexp 
 
2) yzxx bbbb loglog4)2(log3
1
log5 −−++ 
3) 
x
xx 32 )1(
ln
−
 
 
4) a) 2 b) 4 c) 2 
 
5) a)






3
7
 b) {2} c) {5} d) {4} e) 






7log
2log
 f) 






− 3log2log
2log
 
 
6) Después de aproximadamente 34.7 días. 
 45
RESPUESTAS DE LOS EJERCICI OS ADICIONALES: 
 
1) a) b) 
 
 
 c) 
 
 
 
2) a) {4} b) { 7,1− } c)






8log
3log
 d) 






−
−−
6log5log2
6log25log
 e){ }2− f) {6} 
3) a) 3 b) 2− c) 
2
1
 d) 3 e) 10 f) 2 
4) bca log
5
1
log6log
2
1 −− 
 
5) 








2
3 2
ln
y
yx
 
6) a) 0;),0( =∞= xD 
 b) 5;),5( −=∞−= xD 
 
7) a) xxf ln)(1 =− 
 b) 54)(1 −=− xxg 
 
8) a) aproxoximadamente 327 millones 
 b) aproxoximadamente 45 años 
 46
RESPUESTAS DE LA POS-PRUEBA: 
1) a) 5 b) 1 c) 0 d) 3 e) 
3
2
 
2) a) c) 
 
 
 b) d) 
 
 
3) a) ),0( ∞=D ; 0=x b) ;),4( ∞=D 4=x 
 
4) a) xxf 5
1 log)( =− b) xxg 6)(1 =− c) 2)(1 +=− xexk 
5) yxz log2loglog
3
1 −− 
6) 
23
)1(4
log
y
xx −
 
7) 2 
8) a) 7 d) 
4log3log2
3log
+
 
 b) 4− e) 
4
9
 
 c) 
2log
7log
 f) 2 
 
9) 12.5 gramos 10) 17.3 años 
 
 47