Función exponecial y logarítmica - Carla Justiniano

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Matemática para Agronomía, Recursos Naturales y Biología 
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Capítulo 4: Funciones trascendentes 
En el campo de las Ciencias Naturales, para la descripción y análisis de numerosos fenómenos 
naturales, se utilizan modelos matemáticos, expresados mediante una fórmula, una gráfica o una 
tabla que representan funciones trascendentes: exponenciales, logarítmicas o trigonométricas. 
 
Función Exponencial 
El número de cierta bacteria se duplica cada 20 minutos. Un experimento se inicia con una bacteria y dura 
dos horas. ¿Qué expresión matemática modela la situación? 
t : Tiempo (períodos de 20 minutos); 1período: (20 min); 2 período: (40min) … 
N: número de bacterias 
t 0 1 2 3 4 5 6 
N 1 2 4 8 16 32 64 
Regla: 
𝑡 = 0 → 𝑁 = 1; 
 𝑡 = 1 → 𝑁 = 2 = 2 ∙ 1; 
 𝑡 = 2 → 𝑁 = 2 ∙ 2 = 22; 
𝑡 = 3 → 𝑁 = 22 ∙ 2 = 23; 
𝑡 = 4 → 𝑁 = 23 ∙ 2 = 24; ⋯ 
 En general, para 𝑡 ≥ 0 la regla establece: 𝑁(𝑡) = 2𝑡  Función exponencial 
 
Definición: Una función exponencial responde a la forma: 𝑓(𝑥) = 𝑏𝑥 con 𝑏 ∈ 𝑅  𝑏 > 0  𝑏 ≠ 1. 
Dominio: 
∀𝑥 ∈ 𝑅, ∃𝑦 = 𝑓(𝑥)  𝐷𝑓 = 𝑅 
Imagen: 
Si 𝑦 = 𝑏𝑥 , ∀𝑥 ∈ 𝑅 es 𝑏𝑥 > 0 de modo que: 𝐼𝑓 = 𝑅
+ 
Asíntota horizontal: 
La recta 𝑦 = 0 se constituye en la asíntota horizontal de 
la gráfica de la función exponencial, por cuanto los 
valores 𝑓(𝑥) → 0 cuando 𝑥 → +∞ o 𝑥 → −∞, 
dependiendo del comportamiento de 𝑓. 
 
Intersección con los ejes de coordenadas: 
La gráfica de la función exponencial no cortará al eje de las abscisas porque 0𝐼𝑓 
La gráfica interseca al eje de las ordenadas en 1, de modo que el punto es 𝑃(0,1) 
(Haciendo x= 0, y=b0 luego y=1) 
 
Capítulo 4 
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Puntos singulares para las gráficas de las funciones exponenciales: 𝑦 = 𝑏𝑥 
Si 𝑥 = −1, 𝑦 =
1
𝑏
  𝑃(−1,
1
𝑏
); 
Si 𝑥 = 0, 𝑦 = 1  𝑄(0, 1); 
Si 𝑥 = 1, 𝑦 = 𝑏  𝑅(1, 𝑏) 
Comportamiento 
El comportamiento de una función exponencial dependerá del valor de la base. 
 𝑏 > 1 la función exponencial es creciente. 
Si 
 0 < 𝑏 < 1 la función exponencial es decreciente. 
 
Ejemplo: 𝑓(𝑥) = (
3
2
)
𝑥
 y 𝑔(𝑥) = (
2
3
)
𝑥
 
Dominio: 𝐷𝑓 = 𝑅 ; Imagen: 𝐼𝑓 = 𝑅
+ ; Asíntota: 𝑦 = 0 
Interseca al eje de las ordenadas en 𝑃(0, 1). 
En 𝑓, 𝑏 =
3
2
 , (b>1) entonces la función exponencial es creciente. 
En 𝑔, 𝑏 =
2
3
 , (0<b<1) entonces la función exponencial es decreciente. 
 
¿Por qué 𝑏 ≠ 1 y 𝑏 > 0? 
 
 
 
 
 
Propiedades de potenciación 
Sean 𝑎 ∈ 𝑅 , 𝑛 ∈ 𝑅 y 𝑚 ∈ 𝑅, 𝑏 ∈ 𝑅 
1) 𝑎0 = 1  𝑎 ≠ 0 2) 𝑎1 = 𝑎 3) 𝑎−𝑛 =
1
𝑎𝑛
; 𝑎 ≠ 0 𝑛 > 0 
4) (𝑎𝑚)𝑛 = 𝑎𝑚.𝑛 5) 𝑎𝑚. 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛 6) 
𝑎𝑚
𝑎𝑛
= a𝑚−𝑛  𝑎 ≠ 0 
Si 𝑏 = 1: la expresión es 𝑦 = (1)𝑥 , en este caso ∀𝑥 ∈ 𝑅, 𝑦 = 1 es una función constante. 
Si 𝑏 < 0: por ejemplo, la expresión 𝑦 = (−4)𝑥 
Para 𝑥 =
1
2
 ; 𝑦 = (−4)
1
2 como 𝑦 = √−4 es un número que no pertenece al conjunto de 
números reales, es decir no existe un valor real como imagen de ½. 
 
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7) (𝑎. 𝑏)𝑚 = 𝑎𝑚. 𝑏𝑚 8) 
𝑎𝑚
𝑏𝑚
= (
𝑎
𝑏
)
𝑚
 𝑏 ≠ 0 9) 𝑠𝑖 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛  𝑚 = 𝑛 
Función exponencial natural 
La base de una función exponencial natural es el número “𝑒”, su expresión es: 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥. 
Dominio: 𝐷𝑓 = 𝑅 ; Imagen: 𝐼𝑓 = 𝑅
+; interseca al eje de las ordenadas en 𝑃(0, 1). 
El número “𝑒” es un valor comprendido entre: 2 < 𝑒 < 3, de modo que la función exponencial 
natural es una función creciente. 
Número 2.718281828… recibe el nombre “e” en honor a Leonhard Euler. También, conocido como el n° de Neper por John Napier. 
Influencia de parámetros 
Sea 𝑦 = 𝑏𝑥  𝐴 ≠ 0 entonces, 𝑓(𝑥) = 𝐴. 𝑏𝑥 ( 𝐴 ≠ 0, factor que multiplica a la función exponencial) 
(𝑏 > 0 𝑏 ≠ 1 ) 𝐶 ∈ 𝑅 entonces, 𝑓(𝑥) = 𝑏𝑥 + C (a la función exponencial se le suma un número real 𝐶) 
 𝐴 ≠ 0 entonces, 𝑓(𝑥) = 𝐴. 𝑏𝑥 + C (𝐴 ≠ 0, factor que multiplica a la función y 𝐶 ∈ 𝑅) 
 
Expresión: 𝑓(𝑥) = 𝐴. 𝑏𝑥 con 𝐴 ∈ 𝑅  𝐴 ≠ 0 
El parámetro 𝐴 produce una traslación horizontal de la gráfica de la función 𝑦 = 𝑏𝑥 . 
Dominio: ∀𝑥 ∈ 𝑅, ∃ 𝑦 = 𝑓(𝑥)  𝐷𝑓 = 𝑅 
Imagen: 
Si 𝐴 > 0, el conjunto imagen: 𝐼𝑓 = 𝑅
+ (𝑓(𝑥) = 𝐴. 𝑏𝑥 > 0: observe que los factores A y 𝑏𝑥 son positivos) 
Si 𝐴 < 0, el conjunto imagen: 𝐼𝑓 = 𝑅
− (𝑓(𝑥) = 𝐴. 𝑏𝑥 < 0: observe que A es negativo y 𝑏𝑥es positivo) 
¡¡Atención!! Si el factor 𝐴 es negativo se produce una reflexión de la gráfica sobre la asíntota. 
Intersección con los ejes de coordenadas: El punto donde la gráfica interseca al eje de las 
ordenadas es 𝑃(0, 𝐴). 
Ejemplo 1: Sea 𝑓(𝑥) = 2𝑥 graficar ℎ(𝑥) = 2. 2𝑥 y 𝑔(𝑥) =
1
2
. 2𝑥 
En ℎ , A= 2 y b= 2, la función, aplicando 
propiedades que se puede escribir: ℎ(𝑥) = 2𝑥+1 
(la gráfica de la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥 se traslada horizontalmente 1 
unidad hacia la izquierda, cortando al eje 𝑦 en 𝑃(0, 2)) 
En 𝑔 , 𝐴 = 
1
2
 y b= 2, la función, aplicando 
propiedades que se puede escribir: 𝑔(𝑥) = 2𝑥−1 
(la gráfica de la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥 se traslada horizontalmente 1 
unidad hacia la derecha, cortando al eje 𝑦 en 𝑃 (0,
1
2
)) 
 
Figura1 
Por ejemplo: ubicado en P(0, 1), en la figura se observa el 
traslado horizontal de la gráfica de la función 𝑓 
 
Capítulo 4 
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Ejemplo 2: Sea 𝑓(𝑥) = (
1
2
)
𝑥
 graficar ℎ(𝑥) = 2. (
1
2
)
𝑥
 y 𝑔(𝑥) =
1
2
. (
1
2
)
𝑥
 
En ℎ , A= 2 y 𝑏 = 
1
2
, la función, aplicando propiedades que se puede escribir: ℎ(𝑥) = (
1
2
)
𝑥−1
 
(La gráfica de la función 𝑓(𝑥) = (
1
2
)
𝑥
 se traslada horizontalmente 1 unidad hacia la derecha) 
En 𝑔 , 𝐴 = 
1
2
 y 𝑏 = 
1
2
, la función, aplicando propiedades que se puede escribir: 𝑔(𝑥) = (
1
2
)
𝑥+1
 
(La gráfica de la función 𝑓(𝑥) = (
1
2
)
𝑥
 se traslada horizontalmente 1 unidad hacia la izquierda) 
 
Figura2 
Ej. ubicado en P(0, 1), en la figura se observa el traslado horizontal de la gráfica de la función 𝑓 
 
¿Cómo se determina la cantidad (distancia) que se 
traslada la gráfica, cuando el factor A no está 
expresado como una potencia de base “b”? 
 
Para determinar la cantidad que se traslada la gráfica es necesario 
escribir A≠0 como una potencia de base b aplicando una propiedad de 
potencia:
)(log AbbA = siendo A el valor absoluto de A. 
Ejemplo: 
xy 2.3= entonces A=3 y en base 2 se expresa, 
)3(2log23=
 La gráfica se trasladará horizontalmente una cantidad: )3(log
2
. 
 
 
Ejemplo 3: Graficar la función ℎ(𝑥) = −3. (
1
2
)
𝑥
 y 𝑔(𝑥) = −3𝑥 
En ℎ , A= -3 entonces 𝐼𝑓 = 𝑅
− y 𝑏 = 
1
2
, 
(La gráfica de la función ℎ es una reflexión de la función 𝑦1 = 3 (
1
2
)
𝑥
sobre la recta 𝑦 = 0) 
ℎ(𝑥) = −3. (
1
2
)
𝑥
 se traslada un valor 𝑑 = |𝑙𝑜𝑔1
2
(3)| hacia la derecha de la función 𝑦2 = − (
1
2
)
𝑥
 
En 𝑔 , 𝐴 = −1 entonces 𝐼𝑓 = 𝑅
− y 𝑏 = 3 
(La gráfica de 𝑔 es una reflexión de la función 𝑦3 = 3
𝑥 sobre la recta 𝑦 = 0, no sufre transformación horizontal) 
El estudio realizado se ilustra con las siguientes gráficas. 
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Figura 3 
Expresión: 𝑓(𝑥) = 𝐴. 𝑏𝑥 + C con 𝐴 ∈ 𝑅 ; 𝐴 ≠ 0; 𝐶 ∈ 𝑅 ; 𝑏 > 0  𝑏 ≠ 1 
El parámetro 𝐶 produce una traslación vertical de la gráfica de la función 𝑦 = 𝐴𝑏𝑥. 
La transformación que sufre la gráfica por influencia del parámetro 𝐶 determina que la asíntota 
horizontal de la función es la recta 𝑦 = 𝐶 (los valores 𝑓(𝑥) → 𝐶 cuando 𝑥 → −∞ o 𝑥 → +∞) 
Dominio: 
∀𝑥 ∈ 𝑅, ∃ 𝑦 = 𝑓(𝑥)  𝐷𝑓 = 𝑅 
Imagen: 
La imagen de la función, dependerá del signo de 𝐴. 
 Si 𝐴 > 0  𝐼𝑓 = (𝐶, ∞) 
Mientras que, si 𝐴 < 0  𝐼𝑓 = (−∞, 𝐶) 
Intersección con los ejes de coordenadas: 
Haciendo 𝑥 = 0 
𝑦 = 𝐴b0 + C 𝑦 = 𝐴 + C 
El punto de corte con el eje de las ordenadas es: 𝑃(0, 𝐴 + C) 
Para 𝑦 = 0 se resuelve, 0 = 𝐴𝑏𝑥 + 𝐶  −𝐶 = 𝐴𝑏𝑥  −
𝐶
𝐴
= 𝑏𝑥  −
𝐶
𝐴
> 0(𝑏𝑥𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜) 
Multiplicando por (-1) resulta: 
𝐶
𝐴
< 0 
Por propiedad la desigualdad de cumple si 𝐶 > 0  𝐴 < 0 o bien cuando 𝐶 < 0  𝐴 > 0 
 la gráfica de una función exponencial interseca al eje de las abscisas sólo si los parámetros 𝐴 y 𝐶 
tienen distinto signo. 
Ejemplo: Graficar las funciones: a) 𝑔(𝑥) = (
3
2
)
𝑥
+ 2 ; b) ℎ(𝑥) = (
3
2
)
𝑥
− 1 
a) La gráfica de 𝑔 no corta al eje de las abscisas porque 𝐴 > 0 y 𝐶 > 0 
𝑔(𝑥) = (
3
2
)
𝑥
+ 2 (la gráfica de la función 𝑦 = (3
2
)
𝑥
 se traslada verticalmente 2 unidades hacia arriba) 
b) La gráfica de ℎ si corta al eje de las abscisas porque 𝐴 > 0 y 𝐶 < 0. 
Capítulo 4 
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ℎ(𝑥) = (
3
2
)
𝑥
− 1 (la gráfica de la función 𝑦 = (3
2
)
𝑥
 se traslada verticalmente 1 unidad hacia abajo) 
Haciendo 𝑦 = 0; 0 = (
3
2
)
𝑥
− 11 = (
3
2
)
𝑥
 
 (
3
2
)
0
= (
3
2
)
𝑥
 por propiedad de 
potenciación  0 = 𝑥 
El punto de intersección de la gráfica con 
los ejes es el origen de coordenadas 𝑃(0,0). 
La Figura 4 muestra las gráficas de las 
funciones estudiadas: 
 
 
Figura 4 
Ubicado en P(0, 1), en la figura se observa el traslado vertical de la 
gráfica de la función 𝑓 
Comportamiento 
El comportamiento de una función exponencial afectada por los parámetros estudiados en los 
apartados precedentes dependerá del signo del factor 𝐴 y del valor de la base 𝑏. 
 𝑏 > 1  𝑓 crece en su dominio. 
𝐴 > 0 0 < 𝑏 < 1  𝑓 decrece en su dominio. 
Si 𝑏 > 1  𝑓 decrece en su dominio. 
𝐴 < 0 0 < 𝑏 < 1  𝑓 crece en su dominio. 
Observación: En los ejemplos analizados precedentemente puede confirmar lo expresado. 
Resumen 
Función Asíntota 
Interceptos con el: Conjunto Imagen 
Comportamiento 
A>0 A<0 
eje x eje y A>0 A<0 b>1 0<b<1 b>1 0<b<1 
𝑓(𝑥) = 𝑏𝑥 𝑦 = 0 No posee 𝑃(0, 1) 𝐼𝑓 = 𝑅
+ (A=1A>0) Crece Decrece No corresponde 
𝑓(𝑥) = 𝐴. 𝑏𝑥 𝑦 = 0 No posee 𝑃(0, 1) 𝐼𝑓 = 𝑅
+ 𝐼𝑓 = 𝑅
− Crece Decrece Decrece Crece 
𝑓(𝑥) = 𝑏𝑥 + 𝐶 𝑦 = 𝐶 Sólo si 𝐶 < 0 𝑃(0, 1 + 𝐶) 𝐼𝑓 = (𝐶, ∞) (A=1A>0) Crece Decrece No corresponde 
𝑓(𝑥) = 𝐴. 𝑏𝑥 + 𝐶 𝑦 = 𝐶 
Sólo si A y C 
tienen ≠ signo 
𝑃(0, 𝐴 + 𝐶) 𝐼𝑓 = (𝐶, ∞) 𝐼𝑓 = (−∞, 𝐶) Crece Decrece Decrece Crece 
En ciencias naturales el número de Neper está presente en algunos modelos matemáticos tales 
como: 𝑓(𝑥) = 𝐴. 𝑒𝑘𝑥 o 𝑓(𝑥) = 𝐴. 𝑒𝑘𝑥 + 𝐶 siendo 𝐴  𝑘 números reales no nulos. 
Siendo el análisis para el comportamiento, el siguiente: 
Función Base 
Comportamiento 
A>0 A<0 
k>0  b>1 K<0  0<b<1 k>0  b>1 K<0  0<b<1 
𝑓(𝑥) = 𝐴. 𝑒𝑘𝑥 𝑏 = 𝑒𝑘 Crece Decrece Decrece Crece 
𝑓(𝑥) = 𝐴. 𝑒𝑘𝑥 + 𝐶 𝑏 = 𝑒𝑘 Crece Decrece Decrece Crece 
 
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Ejemplo: Obtener los valores de los parámetros de la función exponencial ℎ(𝑥) = 𝐴2𝑥 + C que 
pasa por el punto 𝑃(2, −1) y su imagen es 𝐼𝑓 = (−3, ∞) 
Desarrollo: 
C=-3  ℎ(𝑥) = 𝐴2𝑥 − 3 
𝑃(2, −1) ∈ ℎ  −1 = 𝐴22 − 3 
−1 + 3 = 𝐴. 4  2 = 4𝐴  
1
2
= 𝐴 
La expresión es: ℎ(𝑥) =
1
2
. 2𝑥 − 3 
 
Función Logarítmica 
Definición: Una función logarítmica responde a la forma: xxf
b
log)( = con 10  bb . 
Variable independiente o argumento: 𝑥 
Base: 𝑏 
Dominio: 
Por definición de logaritmo: 
 ∀𝑥 > 0 ∈ 𝑅, ∃ 𝑦 = 𝑓(𝑥)  𝐷𝑓 = 𝑅
+ 
Imagen: 
Por definición 𝑙𝑜𝑔𝑏𝑥 = 𝑐  𝑐 ∈ 𝑅 de modo que: 𝐼𝑓 = 𝑅 
Asíntota vertical: La recta 𝑥 = 0 se constituye en la asíntota vertical de la gráfica de la función 
logarítmica, por cuanto los valores 𝑓(𝑥) → −∞ o 𝑓(𝑥) → +∞) cuando 𝑥 → 0(𝑥 > 0) 
Intersección con los ejes de coordenadas: 
La gráfica de la función logarítmica no cortará al eje de las ordenadas porque 0𝐷𝑓 
La gráfica interseca al eje de las abscisas en 1, de modo que el punto es 𝑃(1,0) 
(Haciendo y= 0, 0 = 𝑙𝑜𝑔𝑏(𝑥)  𝑏
0 = 𝑥 luego x=1) 
Puntos singulares: 
Si 𝑥 =
1
𝑏
 y= -1,  P( 
1
𝑏
, −1); Si 𝑥 = 1, y= 0,  Q(1, 0); Si 𝑦 = 𝑏, y= 1,  R(b, 1) 
Comportamiento 
El comportamiento de una función logarítmica depende del valor de la base. 
 𝑏 > 1 la función logarítmica es creciente. 
Si 
 0 < 𝑏 < 1 la función logarítmica es decreciente. 
Ejemplo: Graficar 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔2(𝑥) y 𝑔(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔1
2
(𝑥) 
Dominio: 𝐷𝑓 = 𝑅
+ ; Imagen: 𝐼𝑓 = 𝑅 ; Asíntota: 𝑥 = 0 
Logaritmo de un número 
Sean 𝑎 ∈ 𝑅  𝑎 > 0 ; b> 0  b ≠ 1 ; 𝑐 ∈ 𝑅 , el logaritmo 
del número “𝑎” se define como: 𝑙𝑜𝑔𝑏𝑎 = 𝑐  𝑎 = 𝑏
𝑐 
Ejemplos: 𝑙𝑜𝑔28 = 3; y verifica que: 8 = 2
3; 
 𝑙𝑜𝑔1
3
27 = −3; y verifica que: 27 = (
1
3
)
−3
 
Capítulo 4 
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Interseca al eje de las ordenadas en P(1, 0). 
En 𝑓, 𝑏 = 2 , (𝑏 > 1) entonces la función es creciente. 
En 𝑔, 𝑏 =
1
2
 , (0 < 𝑏 < 1) entonces la función es decreciente. 
 
Figura 5 
Propiedades de logaritmo 
Sean 𝑎 ∈ 𝑅  𝑎 > 0 ; b> 0  b ≠ 1 ; 𝑀 ∈ 𝑅  M > 0 ; 𝑁 ∈ 𝑅  N > 0 ; 𝑛 ∈ 𝑅 
1) 𝑙𝑜𝑔𝑏1 = 0 5) 𝑙𝑜𝑔𝑏𝑏 = 1 
2) 𝑙𝑜𝑔𝑏𝑎
𝑛 = 𝑛. 𝑙𝑜𝑔𝑏𝑎 6) 𝑙𝑜𝑔𝑏𝑏
𝑛 = 𝑛 
3) 𝑏𝑙𝑜𝑔𝑏(𝑀) = 𝑀 7) 𝑙𝑜𝑔𝑏(𝑀. 𝑁) = 𝑙𝑜𝑔𝑏𝑀 + 𝑙𝑜𝑔𝑏𝑁 
4) 𝑙𝑜𝑔𝑏 (
𝑀
𝑁
) = 𝑙𝑜𝑔𝑏𝑀 − 𝑙𝑜𝑔𝑏𝑁 8) Si 𝑙𝑜𝑔𝑏(𝑀) = 𝑙𝑜𝑔𝑏𝑁𝑀 = 𝑁 
Notación: Logaritmo en base 10 (logaritmo decimal): log (𝑎) = log10(𝑎) 
Logaritmo en base e (logaritmo natural): ln (𝑎) = log𝑒(𝑎) 
Cambio de base 
Sean 𝑎 ∈ 𝑅  𝑎 > 0 ; b> 0  b ≠ 1 ; 𝑐 > 0  c ≠ 1 
El logaritmo de un número en una base distinta se calcula realizando la siguiente operación: 
𝑙𝑜𝑔𝑏𝑎 =
𝑙𝑜𝑔𝑐(𝑎)
𝑙𝑜𝑔𝑐(𝑏)
 
Ejemplo 1: Calcular el logaritmo de 𝑙𝑜𝑔3(100) . 
𝑙𝑜𝑔3(100) =
𝑙𝑜𝑔 (100)
𝑙𝑜𝑔 (3)
  𝑙𝑜𝑔3(100) =
2
0.477
  𝑙𝑜𝑔3(100) = 4.1918 
Ejemplo 2: Escribir como un solo logaritmo la expresión 3𝑙𝑜𝑔5(2) + 1 + 𝑙𝑜𝑔1
5
(4) y obtener su 
valor. 
3𝑙𝑜𝑔5(2) + 1 + 𝑙𝑜𝑔1
5
(4) = 𝑙𝑜𝑔5(2)
3 + 𝑙𝑜𝑔5(5) +
𝑙𝑜𝑔5(4)
𝑙𝑜𝑔5(
1
5
)
 (propiedades de logaritmo y cambio de base) 
3𝑙𝑜𝑔5(2) + 1 + 𝑙𝑜𝑔1
5
(4) = 𝑙𝑜𝑔5(8) + 𝑙𝑜𝑔5(5) +
𝑙𝑜𝑔5(4)
−1
 (por propiedad 𝑙𝑜𝑔5 (
1
5
) = log5 1 − log5 5) 
3𝑙𝑜𝑔5(2) + 1 + 𝑙𝑜𝑔1
5
(4) = 𝑙𝑜𝑔5(8 × 5) − 𝑙𝑜𝑔5(4) (propiedad de logaritmo y resolución del cociente) 
Matemática para Agronomía, Recursos Naturales y Biología 
52 
 
3𝑙𝑜𝑔5(2) + 1 + 𝑙𝑜𝑔1
5
(4) = 𝑙𝑜𝑔5(40) − 𝑙𝑜𝑔5(4) 
3𝑙𝑜𝑔5(2) + 1 + 𝑙𝑜𝑔1
5
(4) = 𝑙𝑜𝑔5(40 ÷ 4) (propiedad de logaritmo) 
3𝑙𝑜𝑔5(2) + 1 + 𝑙𝑜𝑔1
5
(4) = 𝑙𝑜𝑔5(10)  expresión solicitada 
3𝑙𝑜𝑔5(2) + 1 + 𝑙𝑜𝑔1
5
(4) =
𝑙𝑜𝑔 (10)
𝑙𝑜𝑔 (5)
 (cambio de base) 
3𝑙𝑜𝑔5(2) + 1 + 𝑙𝑜𝑔1
5
(4) = 1.43  valor 
Función logarítmica natural 
La base de una función logarítmica natural es el número “𝑒”, su expresión es: 𝑓(𝑥) = ln (𝑥). 
Dominio: 𝐷𝑓 = 𝑅
+ ; Imagen: 𝐼𝑓 = 𝑅; interseca al eje de las ordenadas en 𝑃(1,0) y es una función 
creciente. 
Influencia de parámetros 
Expresión: 𝑓(𝑥) = 𝐴. 𝑙𝑜𝑔𝑏(𝑥) con 𝐴 ∈ 𝑅  𝐴 ≠ 0 
Sea 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑏(𝑥)  𝐴 ≠ 0 entonces, 𝑓(𝑥) = 𝐴. 𝑙𝑜𝑔𝑏(𝑥) ( 𝐴 ≠ 0, factor que multiplica a la función) 
El parámetro 𝐴 produce una elongación o compresión vertical de la gráfica de la función 
𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑏(𝑥) . 
Dominio: 𝐷𝑓 = 𝑅
+; 
Imagen: 𝐼𝑓 = 𝑅 
Si 𝐴 < 0 se produce una reflexión de la gráfica sobre su eje, en este caso la recta 𝑦 = 0. 
Comportamiento: 
 𝑏 > 1  𝑓 crece en su dominio. 
𝐴 > 0  0 < 𝑏 < 1  𝑓 decrece en su dominio. 
Si 𝑏 > 1  𝑓 decrece en su dominio. 
𝐴 < 0  0 < 𝑏 < 1  𝑓 crece en su dominio. 
 
Ejemplo: Sea 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔2(𝑥), graficar ℎ(𝑥) = 2𝑙𝑜𝑔2(𝑥); 𝑔(𝑥) =
1
2
. 𝑙𝑜𝑔2(𝑥) y 𝑓(𝑥) =−2. 𝑙𝑜𝑔2(𝑥) 
El Dominio de las funciones es: 𝐷 = 𝑅+ y el conjunto Imagen: 𝐼 = 𝑅; Asíntota: 𝑥 = 0. 
En ℎ , A= 2 y b= 2, la función, aplicando propiedades que se puede escribir: ℎ(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔2(𝑥)
2 
(el número 2 produce una elongación de la gráfica de la función 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔2(𝑥)) 
En 𝑔 , 𝐴 = 
1
2
 y b= 2, la función, aplicando propiedades que se puede escribir: ℎ(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔2(𝑥)
1
2 
(el número
1
2
 produce una compresión de la gráfica de la función 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔2(𝑥)) 
En 𝑓 , A=- 2 y b= 2, la función, aplicando propiedades que se puede escribir: 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔2(𝑥)
−2 
(el número -2 produce una reflexión de la gráfica de la función ℎ = 2𝑙𝑜𝑔2(𝑥) sobre su eje) 
El estudio realizado se visualiza en la siguiente figura: 
Capítulo 4 
53 
 
 
Figura6 
(posicionado en la grafica de 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔2(𝑥) se observa la elongación de h y compresión de g, como así también, se 
observa que f es la reflexión de la función h sobre el eje x) 
 
Expresión: 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔𝑏(𝑐𝑥 + 𝑝) con 𝑏 ∈ 𝑅  𝑏 > 0  𝑏 ≠ 1 ; 𝑐 ∈ 𝑅  𝑐 ≠ 0  𝑝 ∈ 𝑅 
Dominio: 
La condición para la existencia del logaritmo es: “𝑎𝑟𝑔𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 > 0” 
 𝑐𝑥 + 𝑝 > 0 
Despejando 𝑥: 
𝑐𝑥 > −𝑝 (recordar que 𝑐 ≠ 0 y propiedades de desigualdad) 
 si 𝑐 > 0 ,  𝑥 > −
𝑝
𝑐
  𝐷𝑓 = (−
𝑝
𝑐
, ∞) 
 si 𝑐 < 0 ,  𝑥 < −
𝑝
𝑐
  𝐷𝑓 = (−∞, −
𝑝
𝑐
) 
Imagen: 
𝐼𝑓 = 𝑅 
Asíntota vertical: 
La recta 𝑥 = −
𝑝
𝑐
 se constituye en la asíntota vertical de la gráfica de la función. 
Intersección con los ejes de coordenadas: 
La gráfica de la función logarítmica cortará al eje de las ordenadas sólo si 0 ∈ 𝐷𝑓 
La gráfica interseca al eje de las abscisas en 𝑥 = 1
𝑐
(1 − 𝑝 ), y el punto es 𝑃 (
1
𝑐
(1 − 𝑝 ), 0) 
(Haciendo y= 0, 0 = 𝑙𝑜𝑔𝑏(𝑐𝑥 + 𝑝)𝑏
0 = 𝑐𝑥 + 𝑝 luego 𝑥 =
1
𝑐
(1 − 𝑝 )) 
Ejemplo: Graficar𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔2(3𝑥 − 6) y 𝑔(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔1
2
(4 − 𝑥) 
En 𝑓 , 𝑏 = 2 ; 𝑐 = 3 y 𝑝 = −6 
Dominio: 3𝑥 − 6 > 0  3𝑥 > 6  𝑥 > 2  𝐷𝑓 = (2, ∞) 
Asíntota: 𝑥 = 2 
No corta al eje de las ordenadas (0𝐷𝑓) 
Matemática para Agronomía, Recursos Naturales y Biología 
54 
 
Corta al eje 𝑥: 0 = 𝑙𝑜𝑔2(3𝑥 − 6)  2
0 = 3𝑥 − 6  1 + 6 = 3𝑥  
7
3
= 𝑥 
 
Figura 7 
(función creciente 𝐴 > 0, 𝑐 > 0 y 𝑏 > 1) 
En 𝑔 , 𝑏 =
1
2
 ; 𝑐 = −1 y 𝑝 = 4 
Dominio:4 − 𝑥 > 0  −𝑥 > −4  𝑥 < 4  𝐷𝑓 = (− ∞, 4) 
Asíntota: 𝑥 = 4 
Corta al eje de las ordenadas 0 ∈ 𝐷: 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔1
2
(4 − 0)  𝑦 = 𝑙𝑜𝑔1
2
(4)  𝑦 = −2 
Corta al eje de las abscisas: 0 = 𝑙𝑜𝑔1
2
(4 − 𝑥)  (
1
2
)
0
= 4 − 𝑥  1 − 4 = −𝑥  3 = 𝑥 
 
Figura 8 
(función creciente A>0, c<0 y 0<b<1) 
Comportamiento 
El comportamiento de una función logarítmica 𝑓(𝑥) = 𝐴. 𝑙𝑜𝑔𝑏(𝑐𝑥 + 𝑝) dependerá del valor de la 
base 𝑏 y del signo de los factores 𝐴 y 𝑐. En el siguiente cuadro se analizan los distintos casos: 
Función 
Comportamiento 
A>0 A<0 
c>0 c<0 c>0 c<0 
b>1 0<b<1 b>1 0<b<1 b>1 0<b<1 b>1 0<b<1 
𝑓(𝑥) = 𝐴. 𝑙𝑜𝑔𝑏(𝑐𝑥 + 𝑝) Crece Decrece Decrece crece Decrece Crece Crece Decrece 
 
Aplicación: La gráfica representa, aproximadamente, la variación exponencial en la masa de 
ciertas bacterias durante dos días (tiempo en horas). Describa la situación y obtenga el modelo 
matemático, utilizando la expresión: tkeAtM =)( . 
Capítulo 4 
55 
 
 
La gráfica permite realizar, a priori, la siguiente lectura: 
-La masa inicial es 10 g 
-La masa se incrementa a medida que transcurre el tiempo. 
-El tiempo de duplicación de la masa es de 5 horas. 
-El dominio de la función que describe la situación es:  48,0 
Expresión algebraica: Reemplazando las coordenadas de los puntos 𝑃(0, 10) y 𝑄(5, 20) en la 
expresión: tkeAtM =)( . 
MP )10,0( 0keA10 = A= 10 ; (𝑒0 = 1) 
520)20,5( keAMQ = 
Reemplazando 10A = en la segunda ecuación: 5ke1020 = 
Multiplicando por el inverso multiplicativo de 10: 5k5k e2e
10
20
== 
Aplicando logaritmo neperiano: )eln(2ln k5= 
Por propiedad de logaritmo: eln)k5(2ln = ; siendo 𝑙𝑛𝑒 = 1 
Resulta: 
𝑙𝑛2
5
= 𝑘 
La expresión que describe la situación es: 𝑀(𝑡) = 10. 𝑒
𝑙𝑛2
5
𝑡 con 0 ≤ 𝑡 ≤ 48 
O bien 𝑀(𝑡) = 10. 2
1
5
𝑡
(𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜𝑠: 𝑀(𝑡) = 10. 𝑒𝑙𝑛2
𝑡
5) 
 
Autoevaluación 
Actividades de revisión e integración 
 
 Defina función exponencial e indique las características de sus gráficas (asíntota, imagen y corte con 
el eje de las ordenadas, crecimiento, decrecimiento) 
 Enuncie las propiedades de potenciación y radicación. 
 Si la expresión de una función exponencial es multiplicada por una constante distinta de cero, ¿cómo 
influye, dicha constante, en su comportamiento? (caso 𝑓(𝑥) = 𝐴𝑏𝑥con 𝐴 ≠ 0). Esboce gráficas que 
ilustren cada situación. 
 Si𝑓(𝑥) = 𝐴𝑏𝑥 con 𝐴 ≠ 0¿Cuál es el conjunto imagen según el signo de A y cuál es el punto donde la 
gráfica corta al eje de las ordenadas? 
 Si a la expresión de una función exponencial se le suma una constante ¿cómo influye, dicha 
constante, en su comportamiento? (caso𝑓(𝑥) = 𝐴𝑏𝑥 + 𝐶 con 𝐶 ∈ 𝑅) Esboce gráficas que ilustren cada 
situación. 
 Analice el comportamiento de la función exponencial𝑓(𝑥) = 𝐴𝑏𝑥 + 𝐶con 𝐴 ≠ 0 y 𝐶 ∈ 𝑅, considerando 
las distintas posibilidades. 
 Si 𝑓(𝑥) = 𝐴𝑏𝑥 + 𝐶 ¿Dónde corta la gráfica al eje de las ordenadas? ¿en qué casos la gráfica de la 
función intersecará a los dos ejes de coordenadas? Analice todas las posibilidades. 
Matemática para Agronomía, Recursos Naturales y Biología 
56 
 
 Si 𝑓(𝑥) = 𝐴𝑏𝑥 + 𝐶, escriba el conjunto imagen según los posibles valores de 𝐶 y 𝐴. 
 Si el modelo es𝑓(𝑥) = 𝐴𝑒𝑘𝑥 + 𝐶, con 𝑘 ≠ 0 ¿Cuál es la base de la función de acuerdo a la definición de 
función exponencial? Realice un análisis de la influencia de𝑘 en el comportamiento de la función, 
teniendo en cuenta el valor de A. Esboce gráficas que ilustren cada situación. 
 Defina logaritmo de un número y enuncie las propiedades de logaritmo. Ejemplifique. 
 ¿Cómo realiza el cambio de base de un logaritmo? Ejemplifique. 
 Defina función logarítmica e indique las características de sus gráficas (asíntota, dominio y corte con 
el eje de las abscisas, crecimiento, decrecimiento). Esboce gráficas para ilustrar cada situación. 
 Si la expresión de una función logarítmica es multiplicada por una constante distinta de cero, ¿cómo 
influye, dicha constante, en su comportamiento? (caso 𝑓(𝑥) = 𝐴 log𝑏 𝑥 con 𝐴 ≠ 0) 
 Si la función logarítmica es 𝑓(𝑥) = 𝐴 log𝑏(𝑐𝑥 + 𝑝) ¿Cuál es la condición para determinar el dominio? 
Escriba la expresión del dominio en cada caso. 
 ¿Cuál es la asíntota de la gráfica de la función logarítmica considerada en el inciso precedente? 
 Si𝑓(𝑥) = 𝐴 log𝑏(𝑐𝑥 + 𝑝) ¿en qué casos la gráfica de la función interceptará a los dos ejes de 
coordenadas? Analice todas las posibilidades. 
Ejercitación 
 
 Para cada una de las siguientes funciones, indique: 
a) Dominio e imagen de la función. 
b) Valor de los parámetros A, b y C. 
c) Ecuación de la asíntota 
d) Intersección con los ejes y comportamiento de la gráfica. 
e) Esboce las gráficas correspondientes. 
2
3
2
+






=
x
)x(f)i ( ) 1250 2
1
−=
x
.y)ii 2−=
−xe)x(f)iii 
2
2
1
2
+





−=
x
)x(g)iv 1
8
2
2 −








=
x
y)v 3
2
1
+





=
−x
)x(g)vi 
 Dos poblaciones a través de los años varían en forma exponencial, el comportamiento de la primera 
está dado por la expresión 𝑃(𝑡) = 4000 − 2000 (
1
2
)
𝑡
 y la segunda por 𝑃(𝑡) = 4000 + 2000 (
1
2
)
𝑡
 . 
a) Identifique los parámetros en cada expresión exponencial, (A, b, C). 
b) Determine la cantidad inicial, escriba la asíntota y analice el comportamiento de cada población. 
c) Esboce la gráfica que describe el comportamiento de cada población.d) En cada situación ¿cuál es el significado de la asíntota? 
e) ¿Es posible que las poblaciones tiendan a la extinción? Explique. 
 La expresión 𝑙𝑛𝑃 = ln(2.4) + 1.84 ℎ relaciona la estatura ℎ (en metros) con el peso promedio 𝑃 (en 
kilogramos) para niños entre 5 y 13 años de edad. 
a) Despeje ℎ y calcule la altura de un niño que pesa 30 kilogramos. 
b) Despeje 𝑃 y determine le peso promedio de un niño de 8 años y 1,5 metros de altura. 
c) Esboce la gráfica que describe la situación. 
 Los puntos 𝑃(4 , 1) y 𝑄(10 , 2) pertenecen a la gráfica de la función 𝑓(𝑥) = log𝑏(𝑥 − 𝑎) 
a) Determine el valor de 𝑎 y 𝑏. 
b) Escriba la expresión de la función, identifique su dominio y la asíntota. 
c) Esboce la gráfica de la función.